数列的单调性汇编

专题突破二 数列的单调性和最大(小)项一、数列的单调性(1)定义：若数列{a n }满足：对一切正整数n ，都有a n ＋1＞a n (或a n ＋1＜a n )，则称数列{a n }为递增数列(或递减数列)．(2)判断单调性的方法①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性． ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较a n ＋1与a n 的大小；作商比较法,即作商比较a n ＋1与a n 的大小，从而判断出数列{a n }的单调性．例1 已知函数f (x )＝1－2x x ＋1(x ≥1)，构造数列a n ＝f (n )(n ∈N *)．试判断数列的单调性． 解 f (x )＝1－2x x ＋1＝－2＋3x ＋1. 方法一 ∵a n ＝－2＋3n ＋1(n ∈N *)，a n ＋1＝－2＋3n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝3n ＋2－3n ＋1＝3(n ＋1－n －2)(n ＋1)(n ＋2)＝－3(n ＋1)(n ＋2)＜0. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．方法二 设x 1＞x 2≥1，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋3x 2＋1 ＝3x 1＋1－3x 2＋1＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵x 1＞x 2≥1，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 2－x 1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为减函数，∴a n ＝f (n )为递减数列．反思感悟 研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性．之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x 1<x 2，而数列只需研究相邻两项a n ＋1，a n ，证明难度是不一样的．另需注意，函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列a n ＝f (n )一定单调，反之不成立．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－3×2n －2＋2×3n －1，n ∈N *.求证：{a n }为递增数列． 证明 a n ＋1－a n ＝－3×2n －1＋2×3n －(－3×2n －2＋2×3n －1)＝3(2n －2－2n －1)＋2(3n －3n －1)＝－3×2n －2＋4×3n －1＝2n －2⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3， ∵n ≥1，n ∈N *，∴⎝⎛⎭⎫32n －2≥⎝⎛⎭⎫321－2＝23，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2≥8＞3，∴12×⎝⎛⎭⎫32n －2－3＞0，又2n －2＞0， ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ，n ∈N *.∴{a n }是递增数列．二、求数列中的最大(或最小)项问题常见方法：(1)构造函数，确定函数的单调性，进一步求出数列的最值．(2)利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1(n ≥2)求数列中的最大项a n ；利用⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1(n ≥2)求数列中的最小项a n .当解不唯一时，比较各解大小即可确定．例2 在数列{a n }中，a n ＝n － 2 018n － 2 019，求该数列前100项中的最大项与最小项的项数． 解 a n ＝n － 2 018n － 2 019＝1＋ 2 019－ 2 018n － 2 019，设f (x )＝1＋ 2 019－ 2 018x － 2 019，则f (x )在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数．因为44< 2 019<45，故数列{a n }在0<n ≤44，n ∈N *时递减，在n ≥45时递减，借助f (x )＝1＋2 019－ 2 018x － 2 019的图象知数列{a n }的最大值为a 45，最小值为a 44.所以最大项与最小项的项数分别为45,44.反思感悟 本题考查根据数列的单调性求数列的最大项和最小项，此类题一般借助相关函数的单调性来研究数列的单调性，然后再判断数列的最大项与最小项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝411－2n，则{a n }的最大项是( ) A ．a 3B ．a 4C ．a 5D ．a 6 答案 C解析 f (x )＝411－2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，112，⎝⎛⎭⎫112，＋∞上都是增函数． 且1≤n ≤5时，a n >0，n ≥6时，a n <0.∴{a n }的最大值为a 5.例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4，n ∈N *.(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出其最小值．解 (1)由n 2－5n ＋4＜0，解得1＜n ＜4.∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，且n ∈N *， ∴当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.反思感悟 有时也可借助函数最值来求数列最值．但应注意函数最值点不是正整数的情形．跟踪训练3 已知(－1)n a ＜1－12n 对任意n ∈N *恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，34 解析 设f (n )＝1－12n ，n ≥1，则f (n )单调递增．当n 为奇数时，有－a ＜1－12n 又f (n )min ＝f (1)＝1－12＝12. ∴－a ＜12即a ＞－12. 当n 为偶数时，a ＜1－12n . f (n )min ＝f (2)＝1－14＝34. ∴a ＜34.综上，－12＜a ＜34. 例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1，n ∈N *，则该数列是否有最大项，若有，求出最大项的项数；若无，说明理由．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫79n ＋2－n ⎝⎛⎭⎫79n ＋1＝⎝⎛⎭⎫79n ＋1·7－2n 9，且n ∈N *， ∴当n >3，n ∈N *时，a n ＋1－a n <0；当1≤n ≤3，n ∈N *时，a n ＋1－a n >0.综上，可知{a n }在n ∈{1,2,3}时，单调递增；在n ∈{4,5,6,7，…}时，单调递减．所以存在最大项．又a 3＝3×⎝⎛⎭⎫793＋1<a 4＝4×⎝⎛⎭⎫794＋1，所以第4项为最大项． 反思感悟 如果本例用函数单调性来解决，就会变得很麻烦．跟踪训练4 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －92n ，n ∈N *，求{b n }的最大值． 解 ∵b n ＋1－b n ＝2n －72n ＋1－2n －92n ＝－2n ＋112n ＋1，且n ∈N *， ∴当n ＝1,2,3,4,5时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3＜b 4＜b 5.当n ＝6,7,8，…时，b n ＋1－b n ＜0，即b 6＞b 7＞b 8＞…，又b 5＝132＜b 6＝364. ∴{b n }的最大值为b 6＝364. 三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{a n }递增⇔a n ＋1＞a n 恒成立；数列{a n }递减⇔a n ＋1＜a n 恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决．例5 已知数列{a n }中，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *.(1)若{a n }是递增数列，求λ的取值范围．(2)若{a n }的第7项是最小项，求λ的取值范围．解 (1)由{a n }是递增数列⇔a n <a n ＋1⇔n 2＋λn <(n ＋1)2＋λ(n ＋1)⇔λ>－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞)．(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 7≤a 6，a 7≤a 8，即⎩⎪⎨⎪⎧72＋7λ≤62＋6λ，72＋7λ≤82＋8λ， 解得－15≤λ≤－13，即λ的取值范围是[－15，－13]．反思感悟 注意只有对二次函数这样的单峰函数，这个解法才成立，对于如图的多峰函数满足⎩⎪⎨⎪⎧a 7≤a 6，a 7≤a 8，不一定a 7最小．跟踪训练5 数列{a n }中，a n ＝2n －1－k ·2n －1，n ∈N *，若{a n }是递减数列，求实数k 的取值范围．解 a n ＋1＝2(n ＋1)－1－k ·2n ＋1－1＝2n ＋1－k ·2n ，a n ＋1－a n ＝2－k ·2n －1.∵{a n }是递减数列，∴对任意n ∈N *，有2－k ·2n －1＜0，即k ＞22n －1恒成立， ∴k ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1max ＝2， ∴k 的取值范围为(2，＋∞)．1．设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，n ∈N *，则数列{a n }的最大项是( )A ．103B.8658C.8258D ．108答案 D解析 ∵a n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋2×29216＋3，而n ∈N *， ∴当n ＝7时，a n 取得最大值，最大值为a 7＝－2×72＋29×7＋3＝108.故选D.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项也没有最小项答案 C解析 a n ＝⎝⎛⎭⎫49n －1－⎝⎛⎭⎫23n －1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫23n －12－⎝⎛⎭⎫23n －1，令⎝⎛⎭⎫23n －1＝t ，则t 是区间(0,1]内的值，而a n ＝t 2－t ＝⎝⎛⎭⎫t －122－14，所以当n ＝1，即t ＝1时，a n 取最大值．使⎝⎛⎭⎫23n －1最接近12的n 的值为数列{a n }中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项． 3．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．10B ．11C ．10或11D ．12答案 C解析 ∵a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，∴数列{a n }是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，∴{a n }前10项都是正数，第11项是0，∴数列{a n }前10项或前11项的和最大．故选C.4．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ∈N *,2≤n ≤10)，则数列{a n }的最大项的值为 ． 答案 1 024解析 ∵a 1＝2，a n ＝2a n －1，∴a n >0，∴a n a n －1＝2＞1，∴a n ＞a n －1，即{a n }单调递增，∴{a n }的最大项为a 10＝2a 9＝22a 8＝…＝29·a 1＝29·2＝210＝1 024.5．已知数列{a n }中，a n ＝1＋12n －1＋m.若a 6为最大项，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－11，－9)解析 根据题意知，y ＝1＋12x －1＋m 的图象如下：由a 6为最大项，知5＜1－m 2＜6.∴－11＜m ＜－9.一、选择题1．已知数列{a n }满足a 1>0,2a n ＋1＝a n ，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不对答案 B解析 ∵a 1>0，a n ＋1＝12a n ，∴a n >0，∴a n ＋1a n ＝12<1，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．2．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列．3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－9n －100，则其最小项是() A ．第4项 B ．第5项C ．第6项D ．第4项或第5项答案 D 解析 f (x )＝x 2－9x －100的对称轴为x ＝92，且开口向上． ∴a n ＝n 2－9n －100的最小项是第4项或第5项．4．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( )A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0.5．函数f (x )满足f (n ＋1)＝f (n )＋3(n ∈N *)，a n ＝f (n )，则{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 答案 A解析 a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＝3>0.6．已知p >0，n ∈N *，则数列{log 0.5p n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．增减性与p 的取值有关D ．常数列 答案 C解析 令a n ＝log 0.5p n .当p >1时，p n ＋1>p n ，∴log 0.5p n ＋1<log 0.5p n ，即a n ＋1<a n ；当0<p ≤1时，p n ＋1≤p n ，∴log 0.5p n ＋1≥log 0.5p n ，即a n ＋1≥a n .故选C.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n 2＋6(n ∈N *)，则该数列的最大项为( ) A ．第2项B ．第3项C ．第2项或第3项D ．不存在 答案 C解析 易知，a n ＝1n ＋6n.函数y ＝x ＋6x (x >0)在区间(0，6)上单调递减，在区间(6，＋∞)上单调递增，故数列a n ＝1n ＋6n(n ∈N *)在区间(0，6)上递增，在区间(6，＋∞)上递减． 又2<6<3，且a 2＝a 3，所以最大项为第2项或第3项．8．已知数列a n 的通项公式a n ＝n ＋k n，若对任意的n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数k 的取值范围为( )A ．[6,12]B ．(6,12)C ．[5,12]D ．(5,12)答案 A解析 n ＋k n ≥3＋k 3对任意的n ∈N *恒成立，则k ⎝⎛⎭⎫1n －13≥3－n ， k (3－n )3n≥3－n ， 当n ≥4时，k ≤3n ，所以k ≤12，当n ＝1时，k ≥3，当n ＝2时，k ≥6，以上三个要都成立，故取交集得6≤k ≤12.二、填空题9．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n ，则数列{a n }的各项中的最小项是第 项． 答案 5解析 易知，a n ＝3n 2－28n ＝3⎝⎛⎭⎫n －1432－1963，故当n 取143附近的正整数时，a n 最小． 又4<143<5，且a 4＝－64，a 5＝－65，故数列{a n }的各项中的最小项是第5项． 10．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为 (填序号)．①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n . 答案 ①③解析 可以通过画函数的图象一一判断，②有增有减，④是摆动数列．11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ．答案 (2,3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7的图象上． 因此当3－a >0时，a 1<a 2<a 3<…<a 7；当a >1时，a 8<a 9<a 10<…；为使数列{a n }递增还需a 7<a 8.故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >0，a >1，f (7)<f (8)，解得2<a <3， 故实数a 的取值范围是(2,3)．三、解答题12．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }递增，求实数k 的取值范围． 解 因为a n ＋1＝(n ＋1)2－k (n ＋1)，a n ＝n 2－kn ， 所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k . 由于数列{a n }递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0，n ∈N *恒成立，分离变量得k <2n ＋1， 故需k <3即可，所以k 的取值范围为(－∞，3)．13．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋11n. (1)判断{a n }的单调性；(2)求{a n }的最小项．解 (1)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋11n ＋1－⎝⎛⎭⎫n ＋11n ＝1＋11n ＋1－11n ＝n (n ＋1)－11n (n ＋1)，且n ∈N *， 当1≤n ≤2时，a n ＋1－a n ＜0，当n ≥3时，a n ＋1－a n ＞0，即n ＝1，n ＝2时，{a n }递减，n ≥3时，{a n }递增．(2)由(1)知{a n }的最小项从a 2，a 3中产生．由a 2＝152＞a 3＝203，∴{a n }的最小项为a 3＝203.14．已知数列a n ＝n ＋13n －16，则数列{a n }中的最小项是第 项．答案 5解析 a n ＝n ＋13n －16＝n －163＋1933n －16＝13＋1933n －16，令3n －16<0，得n <163.又f (n )＝a n 在⎝⎛⎭⎫0，163上单调递减，且n ∈N *， 所以当n ＝5时，a n 取最小值．15．作出数列{a n }：a n ＝－n 2＋10n ＋11的图象，判断数列的增减性，若有最值，求出最值． 解 列表图象如图所示．由数列的图象知， 当1≤n ≤5时数列递增；当n >5时数列递减，最大值为a 5＝36，无最小值．。

数列的单调性(1)一个数列{a n }，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n ＋1>a n ，那么这个数列叫作递增数列．(2)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n ＋1<a n ，那么这个数列叫作递减数列．(3)一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列．(4)如果数列{a n }的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．[典例] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －9，画出它的图像，并判断增减性． [解] 图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．利用数列的图像判断数列的增减性数列的图像可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性．[典例] 已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋1，试判断该数列的增减性． [解] a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ＋1)2＋1－n n 2＋1 ＝1－n 2－n [(n ＋1)2＋1](n 2＋1). 因为n ∈N ＋，所以1－n 2－n <0，所以a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故该数列为递减数列．应用函数单调性判断数列增减性的方法(1)作差法，将a n ＋1－a n 与0进行比较；(2)作商法，将a n ＋1a n与1进行比较(在作商时，要注意a n <0还是 a n >0)． 1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解：法一：假设数列{a n }中存在最大项．∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，且a 9＝a 10＝1010119. 法二：假设数列{a n }中有最大项，并设第k 项为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥a k －1，a k ≥a k ＋1对任意的k ∈N ＋且k ≥2都成立．即⎩⎨⎧ (k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥k ⎝⎛⎭⎫1011k －1，(k ＋1)⎝⎛⎭⎫1011k ≥(k ＋2)⎝⎛⎭⎫1011k ＋1，∴⎩⎨⎧1011(k ＋1)≥k ，k ＋1≥1011(k ＋2)，解得9≤k ≤10.又k ∈N ＋， ∴数列{a n }中存在最大项是第9项和第10项，且a 9＝a 10＝1010119. 题点二：由数列的单调性求参数问题2．已设数列{a n }的通项公式为：a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围 .解：法一：∵数列{a n }是单调递增数列，∴a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立．又∵a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立．即2n ＋1＋k >0.∴k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立．而n ∈N ＋时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，∴k >－3.即k 的取值范围为(－3，＋∞)．法二：结合二次函数y ＝x 2＋kx 的图像，要使{a n }是递增数列，只要a 1<a 2即可， 即1＋k <4＋2k ，得k >－3，所以k 的取值范围为(－3，＋∞)．题点三：数列与函数的综合应用3．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明数列{a n }是递减数列．解：(1)∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ，∴2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，∴a n －1a n ＝－2n ， ∴a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0，∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明：a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. ∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列．函数思想方法在数列问题中的应用(1)数列的单调性是通过比较{a n }中任意相邻两项a n 与a n ＋1的大小来判定的．某些数列的最大项或最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决．(2)数列是特殊函数，一定要注意其定义域是N ＋(或它的有限子集)．n n (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项，若没有说明理由．解：(1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝10.5.又因n ∈N ＋，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为102－21×10＋20＝－90.(2)由(1)知，对于数列{a n }有：a 1>a 2>…>a 10＝a 11<a 12<…，故数列{a n }没有最大项．。

10．【2012，安徽理21】数列{}n x 满足：2*110,()n n n x x x x c n N +==-++∈（I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列．【答案】（I ）详见解析；（II ）当104c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列．【解析】（I ）必要条件：当0c <时，21n n n n x x x c x +=-++<⇒数列{}n x 是单调递减数列．充分条件．必要条件：数列{}n x 是单调递减数列22121110x x x x c c x ⇒>=-++⇔<=，得：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c <． （II ）由（I ）得：0C ≥．①当0c =时，10n a a ==，不合题意；②当0c >时，22132,201x c x x c c x c c =>=-+>=⇔<<2211010n n n n n x x c x x c x x +-=->⇔<<⇔=≤< 22211111()()()(1)n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x ++++++-=--+-=--+-当14c ≤时，1211102n n n n n x x x x x +++<≤⇒+-<⇔-与1n nx x +-同号，由212100n n n n x x c x x x x ++-=>⇒->⇔>21lim lim()lim n n n n n n n x x x c x +→∞→∞→∞=-++⇔= 当14c >时，存在N ，使121112N N N N N x x x x x +++>⇒+>⇒-与1N N x x +-异号，与数列{}n x 是单调递减数列矛盾，得：当104c <≤时，数列{}n x 是单调递增数列．12．【2009，安徽理21】首项为正数的数列{n a }满足*21),3(41N n a a n n ∈+=+．(Ⅰ)证明：若1a 为奇数，则对一切2≥n ，n a 都是奇数； (Ⅱ)若对一切*N n ∈，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 详见试题解析；(Ⅱ) 101a <<或13a >．．【解析】：（I ）已知1a 是奇数，假设21k a m =-是奇数，其中m 为正整数，则由递推关系得213(1)14k k a a m m ++==-+是奇数．根据数学归纳法，对任何n N +∈，n a 都是奇数．（II ）（方法一）由11(1)(3)4n n n n a a a a +-=--知，1n n a a +>当且仅当1n a <或3n a >．另一方面，若01,k a <<则113014k a ++<<=；若3k a >，则21333.4k a ++>= 根据数学归纳法，1101,01,;33,.n n a a n N a a n N ++<<⇔<<∀∈>⇔>∀∈ 综合所述，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >．（方法二）由21213,4a a a +=>得211430,a a -+>于是101a <<或13a >．22111133()(),444n n n n n n n n a a a a a a a a ---++++--=-=因为21130,,4n n a a a ++>=所以所有的n a 均大于0，因此1n n a a +-与1n n a a --同号． 根据数学归纳法，n N +∀∈，1n n a a +-与21a a -同号．因此，对一切n N +∈都有1n n a a +>的充要条件是101a <<或13a >．21.（本题满分13分）解析：（Ⅰ）若2-=λ，则nn n a a a 221-=+， 由21122000n n n n n n n na a a a a a a a ++->⇔->⇔->⇔>，得2>n a 或02<<-n a ，所以只需21>a 或021<<-a .所以实数a的取值范围为(∪)+∞. …………6分 (Ⅱ) 2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件为4-≥λ.必要性：由22≥a ，解出4-≥λ；（另解：假设221≥+=+nn n a a a λ，得n n a a 222+-≥λ，令21)21(2)(2+--=n a n f ， 2≥n a ，可得：4)(max -=n f ，即有4-≥λ.） …………8分 充分性：数学归纳法证明：4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立. 证明：（1）显然1=n 时，结论成立；（2）假设)1(≥=k k n 时结论成立，即2≥k a ，当1+=k n 时，kk k a a a λ+=+21.考察函数xx x f λ+=2)(，),2[+∞∈x ，① 若 04≤≤-λ，由02)('2>-=xx f λ，知)(x f 在区间),2[+∞上单调递增.由假设得kk k a a a λ+=+2124λ+≥2≥.② 若0>λ，对),2[+∞∈x 总有242)(>>+=xx x f λ，则由假设得221>+=+kk k a a a λ.所以，1+=k n 时，结论成立，综上可知：当4-≥λ时，对一切*∈N n ，2≥n a 成立.故2≥n a 对任意*∈N n 成立的充要条件是4-≥λ.13．【2008，安徽理21】设数列{}n a 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数．（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；（Ⅱ）设103c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈;（Ⅲ）设103c <<，证明：222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈-． 【命题立意】本题主要考查等比数列的求和、数学归纳法、不等式的性质，综合运送知识分析问题和解决问题的能力．本小题满分13分．【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（Ⅲ）详见解析． 【解析】（Ⅰ）必要性：∵120,1a a c ==-，又∵2[0,1]a ∈，∴011c ≤-≤，即[]0,1c ∈．．充分性：设[]0,1c ∈，对任意*n N ∈用数学归纳法证明[]0,1n a ∈．当1n =时，[]100,1a =∈．假设当n k =时，[]0,1(1)k a k ∈≥，则31111k n a ca c c c +=+-≤+-=，且31110k n a ca c c +=+-≥-≥，[]10,1k a +∈．由数学归纳法知，[]0,1n a ∈对任意*n N ∈成立． (Ⅱ) 设103c <<，当1n =时，10a =，结论成立；当2n ≥时，∵311n n a ca c -=+-，∴3211111(1)(1)(1)n n n n n a c a c a a a -----=-=-++．∵103c <<，由（Ⅰ）知[]10,1n a -∈，∴21113n n a a --++≤且10n a -≥，∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=，∴()113,*n n a c n N -≥-∈．(Ⅲ)设103c <<，当1n =时，2120213a c=>--，结论成立；当2n ≥时，由(Ⅱ)知()1130n n a c -≥->，∴21212(1)1[1(3)]12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ---->-=-+>-， ∴222222112212[(3)(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++2[1(3)]2111313n c n n c c-=+->+---．。

数列的单调性与有界性例题和知识点总结在数学的学习中，数列是一个重要的概念，而数列的单调性和有界性更是其中的关键知识点。

理解和掌握这两个性质，对于解决数列相关的问题具有重要的意义。

接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨数列的单调性与有界性，并对相关知识点进行总结。

一、数列单调性的定义数列的单调性指的是数列中的项随着项数的增加而呈现出递增或递减的趋势。

如果对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意两项\（a_n\）和\（a_{n+1}＼），都有\（a_{n+1} ＼geq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递增；如果都有\（a_{n+1} ＼leq a_n\）（＼（n\in N^＼）），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）单调递减。

二、数列有界性的定义数列的有界性指的是数列中的项存在上界和下界。

如果存在一个正数\（M\），使得对于数列\（＼｛a_n\｝＼）中的任意一项\（a_n\），都有\（｜a_n| ＼leq M\），则称数列\（＼｛a_n\｝＼）有界。

三、例题分析例 1：判断数列\（＼｛a_n\｝＝ n^2 2n ＋ 3\）的单调性。

解：我们设\（f(n) ＝ n^2 2n ＋ 3\），对其求导得\（f^＼prime(n)＝ 2n 2\）。

当\（n ＼geq 1\）时，令\（f^＼prime(n) ＞ 0\），即\（2n 2 ＞ 0\），解得\（n ＞ 1\）。

令\（f^＼prime(n) ＜ 0\），即\（2n 2 ＜ 0\），解得\（n ＜ 1\）。

所以数列\（＼｛a_n\｝＼）在\（n ＼geq 2\）时单调递增，在\（n＝ 1\）时为最小值。

例 2：判断数列\（＼｛b_n\｝＝＼frac{n}｛n ＋ 1}＼）的单调性。

解：＼（b_{n ＋ 1} b_n ＝＼frac{n ＋ 1}｛n ＋ 2} ＼frac{n}｛n ＋1} ＝＼frac{（n ＋ 1)＾2 n(n ＋ 2)｝｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＝＼frac{1}｛（n ＋ 2)（n ＋ 1)｝＞ 0\）所以数列\（＼｛b_n\｝＼）单调递增。

单调性函数知识点总结一、基本概念1. 单调性在数学中，函数的单调性是指函数的增减性质，即函数在定义域内的增减情况。

如果函数在其定义域内严格递增或者严格递减，那么我们就称这个函数是单调函数。

2. 单调递增和单调递减函数$f(x)$的定义域是一个区间$I$，如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是单调递减的。

3. 严格单调递增和严格单调递减如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递增的；如果对任意的$x_1, x_2 \in I$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) > f(x_2)$，那么称函数$f(x)$在区间$I$上是严格单调递减的。

4. 单调性与导数函数的单调性与导数之间有一定的关系。

如果函数在某个区间内单调递增，那么其在这个区间内的导数恒大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，那么其在这个区间内的导数恒小于等于零。

二、判断单调性的方法1. 导数法通过求函数的导数，然后分析导数的正负来判断函数的单调性。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

例如，对于函数$f(x) = x^2$，求导可得$f'(x) = 2x$。

当$x>0$时，导数大于零，即函数单调递增；当$x<0$时，导数小于零，即函数单调递减。

2. 一阶导数和二阶导数法通过分析函数的一阶导数和二阶导数的正负性来判断函数的单调性。

当一阶导数恒大于零且二阶导数恒小于零时，函数单调递增；当一阶导数恒小于零且二阶导数恒大于零时，函数单调递减。

数列的单调性以及恒成立的问题一、数列的单调性（一）数列的单调性与函数的单调性的区别【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是 【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是（二）a n =f (n )的单调性【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2-1)c n +c n-1(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11n n na a a +=+(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；（II ）令n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）若数列{b n }满足()112121212121n nn n b b b a -=-++-+++，求数列{b n }的通项公式； （III ）若3nn n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？【变式训练】设数列{a n }的各项都是正数，且对任意的n *N ∈，都有333212n n a a a S +++=，其中，S n 为数列{a n }的前n 项和.（I ）求证：2112n n n a S a ++=+；（II ）求数列{a n }的通项公式； （III ）设()1312n n a n n b λ-=+-⋅⋅为非零整数，n *N ∈，试确定λ的值，使得对任意的n *N ∈，都有b n+1>b n 成立.（三）a n+1=f (a n )的单调性【知识点】对于迭代数列a n+1=f (a n )，如果有y=f (x )是非递减函数，那么：①若a 1<a 2，则数列{a n }递增；②若a 1=a 2，那么数列{a n }是常数列；③若a 1>a 2，则数列{a n }递减. 特别地，对于迭代数列a n+1=f (a n )，若f (x )是二次函数，则数列单调递增的充要条件是a 1<a 2<a 3，且对于任意的n ≥2，n *N ∈，在[a 2，a n ]上，函数f (x )为单调递增函数.【例题6】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【变式训练】在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=，()n N +∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010*********k a k k ++<<+++【变式训练】数列{x n }满足：x 1=0，x n+1= -x n 2+x n +c （n *N ∈） （I ）证明：数列{x n }单调递减的充分必要条件是c <0； （II ）求c 的取值范围，使数列{x n }是单调递增数列.二、数列的单调性应用 （一）数列的最值问题【例题7】数列{a n }和数列{b n }满足：①a 1=a<0，b 1=b>0；②当k ≥2时，若a k -1+b k -1≥0，则a k =a k -1，112k k k ab b --+=；若a k -1+b k -1<0，则111,2k k k k k a b a b b ---+==. （1）若a= -1，b=1，求a 2，b 2，a 3，b 3的值；（2）设S n =(b 1 –a 1)+(b 2 –a 2)+…+(b n -a n )，求S n (用a ，b 表示)；（3）若存在n *N ∈，对任意的正整数k ，当2≤k ≤n 时，恒有b k -1>b k 成立，求n 的最大值（用a ，b 表示）.【变式训练】在数列{a n }中，a 1=3，a n b n =a n +2，n =2，3，4，… (I)求a 2，a 3，判断数列{a n }的单调性并证明； (II)求证|a n -2|<1124n a --(n =2，3，4，…)； (III)是否存在常数M ，对任意n ≥2，有b 2b 3…b n ≤M ？若存在，求出M 的值；若不存在，说明理由.（二）数列中的恒成立问题【例题8】如图，在平面直角坐标系xOy 中，设a 1=2，有一组圆心在x 轴的正半轴上的圆A n （n *N ∈）与x 轴的交点分别为A 0(1，0)和A n+1(a n +1，0)，过圆心A n 作x 轴的垂线l n 在第一象限与圆A n 交于点B n (a n ，b n ). （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设曲边形A n+1B n B n+1(阴影部分所示)的面积为S n ，若对于任意n *N ∈，12111nm S S S +++≤恒成立，试求实数m 的取值范围.【变式训练】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N .（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-.【课时作业】1、设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=a （a ≠3），a n+1=S n +3n，n *N ∈. （I ）设b n =S n -3n，求证：数列{b n }是等比数列，并写出{b n }的通项公式； （II ）若数列{a n }是单调递增数列，求a 的取值范围.3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，()24*,n n S a n n N R λλ=+-∈∈，且数列|a n -1|为等比数列.（I ）求实数λ的值，并写出数列{a n }的通项公式； （II ）（i ）判断数列111n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭（n *N ∈）的单调性；（ii ）设()11n n nb a --=，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：229n T <.4、已知数列{a n }，{b n }中，a 1=1，b n =221111nn n a a a ++⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭，n *N ∈，数列{b n }的前n 项和为S n .（I ）若a n =2n -1，求S n ；（II ）是否存在等比数列{a n }，使得b n+2=S n 对于任意的n *N ∈恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由. （III ）若{a n }是单调递增数列，求证：S n <2.5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中，a 1=1，且1nn nS a a λ+=(n *N ∈). （I ）求常数λ的值，并写出{a n }的通项公式； （II ）记3nn n a b =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求最小的正整数k ，使得对任意的n ≥k ，都有3144n T n-<成立.6、数列{a n }，a n ≥0，a 1=0，a n+12+a n+1-1=a n 2（n *N ∈），求证：当n *N ∈时，a n <a n+1.7、【变式训练】设a 1=1，11n a +=（n *N ∈），问：是否存在实数c ，使得a 2n <c <a 2n+1对所有的n *N ∈成立？证明你的结论.8、首项为正数的数列a n 满足：a n+1=()2134n a +. n *N ∈ (I)证明：若a 1为奇数，则对于任意的n ≥2，a n 为奇数； (II)若对于任意的n *N ∈，都有a n+1≥a n ，求a 1的取值范围.。