贝塞尔曲线插值算法

２０１５年６月　第３ｌ卷第３期　陕西理工学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａａｎｘｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊｕｎｅ．２０１５　Ｖ０Ｉ．３１　Ｎｏ．３　

［文章编号］１６７３—２９４４（２０１５）０３—００７１—０４　

Ｂ样条曲线全局插值优化算法及其实现　

吴　婷　，　邹　海　

（１．安徽国防科技职业学院网络信息中心，安徽六安２３７０１１；　２．安徽大学计算机科学与技术学院，安徽合肥２３０６０１）　

［摘要］　通过插值给定的数据点来创建Ｂ样条曲线时，需要对曲线的初始形状进行多次修　

改。为使首次生成的曲线更接近设计者的意图，从数据点参数化和确定节点矢量两个方面优　化了现有算法。提出了一种改进的弦长参数化方法来求取给定数据点的对应参数值，改善了　数据点急转弯处的过渡情况；通过平均值法确定节点矢量，有效避免了系数矩阵中奇异方程组　

的产生。总体上实现了一种Ｂ样条曲线全局插值的优化算法，最后对两组典型数据点的实验　直观地验证了该算法的可行性。　

［关键词］　Ｂ样条曲线；　全局插值；　优化算法　［中图分类号］０２４１．５　［文献标识码］Ａ　

Ｂ样条在ＣＡＤ领域受到人们的广泛关注，非均匀有理Ｂ样条由于诸多优点而被确定为工业产品物　理形状的唯一数学方法¨　。在参数化设计Ｂ样条时，由于通过控制顶点来直接生成曲线的方法很难　

得到满意的形状，设计者一般先通过给定一系列关键点来确定曲线的大致形状，再由造型系统反算出控　制顶点进而插值这些关键点，生成初始的Ｂ样条曲线　４。。由于曲线插值的结果存在不唯一性，初始曲　线可能与设计者意图之间存在较大的出入，通常需通过调整控制顶点或调节权重系数反复修改曲线形　状，才能最终获得满意的设计结果¨５剖。设计者的思想正是通过给定数据点的分布情况来表达的。因　

此，为了提高设计效率，应该使初次生成的曲线尽可能合理地反映数据点分布。Ｂ样条曲线插值最重要　

２０１４年４月　第３５卷第２期　湘南学院学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＸｉａｎｇｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ａｐｒ．，２０１４　Ｖ０１．３５　Ｎｏ．２　

样条插值算法在汽车门曲线设计中的应用　

王福鑫，刘石强，廖芳芳　

（湘南学院数学系，湖南郴州４２３０００）　

摘要：在汽车门曲线设计中，运用三次样条插值法构造了严格对角占优的三弯矩方程组，利用追赶法求解方程组，　并用Ｍａｔｌａｂ进行了数值实验得到了数值解，汇出了曲线图，进而，我们将三次样条插值算法与分段线性插值、分段抛物　插值、邻近点插值的结果进行比较，实验结果表明，三次样条插值算法能获得高精度的插值结果．　

关键词：三次样条插值；三弯矩方程组；追赶法；数值解　中图分类号ｉ　１３２４１．３　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２—８１７３．２０１４．０２．０２９　

１　问题背景　

汽车造型设计是较为特殊的一个设计范畴，汽车门曲线设计更是一个全新的设计领域，在这个基础上的　

计算机辅助设计因此也具有自身的特点．相对一般产品，汽车门曲线设计的要求非常高，所以汽车门造型设计　

的核心是汽车门的曲线设计．　

在汽车门曲线设计中，为确定满足特定的要求的曲线，所给数据较少时很难有好的近似，但是，如果数据　

很多，那么插值函数变成是高次插值多项式，虽然能得到好的效果，但是计算变得很复杂，随机误差也随之增　

大，从而得不到简单实用的近似函数．所以，目前在汽车门平面曲线设计中，主要采用分段插值．分段线性插值　

与分段二次插值虽然计算简单，也具有一致收敛性，但在各段连接点处只能保证曲线连续而不能保证光滑性　

要求．埃尔米特（Ｈｅｒｍｉｔｅ）插值虽然能保持各节点处都是光滑衔接的，但是要以已知节点导数值为条件，这在　

实际中一般是很难满足的．为了克服尖角问题，需要我们采取一种新的方法一样条插值方法…，即通过分段的　

三次多项式（用样条画出的曲线）．　

将对相邻数据点进行数学模拟，找到得到一条具有二阶连续导数的光滑曲线来拟合所给的数据．这种插　

第30卷第3期高师理科学刊Vol.30No.3

2010年5月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityMay2010

文章编号：1007-9831（2010）03-0020-03

有理Bézier曲线的切触Newton插值逼近算法

蒋莉

（合肥经济管理学校数学教研室，安徽合肥230041）

摘要：采用切触Newton多项式逼近有理Bézier曲线，得到了有理Bézier曲线的多项式逼近算

法，所得逼近曲线与原曲线在端点处能够达到高阶插值．数值实例显示，该方法随着逼近多项式

次数的升高能够达到很好的逼近效果．

关键词：有理Bézier曲线；Newton插值；S幂基；多项式逼近

中图分类号：O241文献标识码：Ａdoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2010.03.007

有理曲线（曲面）与多项式曲线（曲面）在几何性质和计算方法上极其相似，但并不是所有计算方法

都是可以平行地类推的．把多项式曲线（曲面）拓广到有理多项式形式时，产生了一些负面影响．一方面，

曲线（曲面）的微分运算和积分运算变得繁琐费时，另一方面，用多项式和有理多项式形式表示的曲线（曲

面）设计系统之间，不能直接进行数据的交换和传递．因此，有必要进行NURBS曲线（曲面）表示与B

样条曲线（曲面）或有理Bézier曲线（曲面）与Bézier曲线（曲面）之间的相互转换．

为了解决以上2个问题，产生了用多项式曲线（曲面）逼近有理多项式曲线（曲面）的一系列工作[1-3]．文

献[4]计算了有理Bézier曲线的Hermite多项式逼近的控制顶点，并给出了Hermite多项式逼近的误差界，

基于Hybrid逼近与Hermite逼近之间的紧密关系，推导了不同阶数的Hermite多项式逼近之间的递推关

系．文献[5]给出了1种用Bézier曲线序列逼近有理Bézier曲线的简单算法．西班牙学者Sánchez-Reyes

第３５卷第６期　２０１６年１２月　北京生物医学工程　Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｂｉｏｍｅｄｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．３５　Ｎｏ．６　Ｄｅｃｅｍｂｅｒ　２０１６　基于皱褶轮廓贝塞尔曲线插值的肠道　内镜图像三维重建　施展廖洪恩　摘要　目的肠道癌症的及早发现与治疗能大大提高患者的存活率。肠道内镜图像的三维重建可　以增强医生对肠道结构的理解。目前肠道三维结构重建方法受肠道皱褶遮挡影响无法重建完整的肠道　结构，并且重建的点云不能直观呈现肠道的结构。本文提出了基于肠道褶皱插值的重建方法拟解决重　建的肠道不完整以及点云显示不直观的问题。方法首先利用肠道呈管道状的先验信息，运用运动恢复　结构技术三维重建肠道褶皱轮廓。然后在皱褶之间进行贝塞尔插值重建肠道褶皱之间的肠壁，实现肠道　整体的三维结构重建。最后在ＯｐｅｎＧＬ平台上，渲染并显示肠道的三维结构。本文应用该方法从两张　内镜肠道图像重建了肠道的结构。结果该方法重建的肠道结构轮廓位置准确，能清晰直观地展现肠道　结构。该方法融入了肠道形状先验信息，从内镜图像重建并直观显示了肠道三维结构。结论基于皱褶　轮廓贝塞尔曲线插值的肠道内镜图像三维重建方法．克服了传统三维重建的缺点．能为医生提供直观的　肠道结构信息，也为从连续多帧内镜图像重建肠道结构提供了技术基础。　关键词三维重建；肠道内镜；贝塞尔曲线；可视化；运动恢复结构　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２—３２０８．２０１６．０６．０５．　中图分类号Ｒ３１８．０４　文献标志码Ａ　文章编号１００２—３２０８（２０１６）０６—０５７６—０６　Ｃｏｌｏｎ　３Ｄ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｅｎｄｏｓｃｏｐｅ　ｉｍａｇｅｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｃｏｌｏｎ　ｆｏｌｄ　Ｂｅｚｉｅｒ　ｃｕｒｖｅ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ　ＳＨＩ　Ｚｈａｎ，ＬＩＡ０　Ｈｕｎｇ’ｅｎ　Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｂｉｏｍｅｄｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍｅｄｉｃｉｎｅ，Ｔｓｉｎｇｈｕａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　１０００８４　【Ａｂｓｔｒａｃｔ】　Ｏｂｊｅｃｆｉｖｅ　Ｅａｒｌｙ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｒｅａｔｍｅｎｔ　ｏｆ　ｃｏｌｏｎ　ｃａｎｃｅｒ　ｃａｎ　ｒａｉｓｅ　ｔｈｅ　ｐａｔｉｅｎｔ　ｓｕｒｖｉｖａｌ　ｒａｔｅ　ｇｒｅａｔｌｙ，ａｎｄ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｅｎｄｏｓｃｏｐｉｃ　ｃｏｌｏｎ　ｉｍａｇｅｓ　ｃａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅ　ｄｏｃｔｏｒ’Ｓ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ｃｏｌｏｎ．Ｗｅ　ｐｒｏｐｏｓｅ　ａ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔｏ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ｃｏｌｏｎ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｏ　ｏｖｅｒｃｏｍｅ　ｔｈｅ　ｗｅａｋｎｅｓｓ　ｏｆ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ．　Ｍｅｔｈｏｄｓ　Ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｔａｋｅｓ　ａｄｖａｎｔａｇｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｉｏｒ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｓｈａｐｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｏｌｏｎ　ｉｓ　ｔｕｂｕｌａｒ．　Ｗｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｔｈｅ　ｃｏｌｏｎ　ｆｏｌｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｆｒｏｍ　ｍｏｔｉｏｎ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ，ａｎｄ　ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅ　ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｗａｌｌ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｃｏｌｏｎ　ｆｏｌｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　Ｂｅｚｉｅｒ　ｃｕｒｖｅ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｗｅ　ｒｅｎｄｅｒ　ａｎｄ　ｄｉｓｐｌａｙ　ｔｈｅ　３Ｄ　ｃｏｌｏｎ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｗｉｔｈ　ＯｐｅｎＧＬ．Ｒｅｓｕｌｔｓ　Ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ａｃｃｕｒａｔｅ　ｃｏｌｏｎ　ｆｏｌｄ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｈｏｗ　ｔｈｅ　ｃｏｌｏｎ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｃｌｅａｒｌｙ．Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ　Ｔｈｅ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｖｅｒｃｏｍｅｓ　ｔｈｅ　ｓｈｏｒｔｃｏｍｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ　３Ｄ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，ｐｒｏｖｉｄｅｓ　ｉｎｔｕｉｔｉｏｎａｌ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｏｃｔｏｒｓ，ａｎｄ　ｉｓ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｔｏｗａｒｄ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｅｎｄｏｓｃｏｐｙ　ｏｆ　ｃｏｌｏｎ　ｆｒｏｍ　ｃｏｌｏｎｏｓｃｏｐｙ　ｖｉｄｅｏｓ．　基金项目：国家自然科学基金（８１２７１７３５，６１３６１１６０４１７，　８１４２７８０３）、北京市科委生命科学领域前沿技术专　项（Ｚ１５１１００００３９１５０７９）资助　作者单位：清华大学医学院生物医学工程系（北京　１０００８４）　通信作者：廖洪恩．教授，博士研究生导师。　Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉａｏ＠ｔｓｉｎ　ｇｈａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ　【Ｋｅｙｗｏｒｄｓ】　３Ｄ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ；ｃｏｌｏｎｏｓｃｏｐｙ；　Ｂｅｚｉｅｒ　ｃｕｒｖｅ；ｖｉｓｕａｌｉｚａｔｉｏｎ；ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｆｒｏｍ　ｍｏｔｉ