正弦函数和余弦函数图像和性质

正弦函数和余弦函数图像和性质

1 / 14

6.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质

一、复习引入

1 、复习

（ 1 ）函数的观点

在某个变化过程中有两个变量

x 、

y ，若对于

x 在某个实数会合

D 内的每一个确立的 值，依据某个对应法例 f

， y 都有独一确立的实数值与它对应，则 y 就是 x 的函数，记作 y f x ， x D 。

（ 2 ）三角函数线

设随意角

的极点在原点

O ，始边与

x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆订交于点 P( x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，设它与角 的

终边（当 在 第一、四象限角时）或其反向延伸线（当 为第二、三象限角时）订交于

T .

规定：当

OM

与 x 轴同向时为正当，当

OM

与 x 轴反向时为负值；

当MP与 y 轴同向时为正当，当 MP 与 y 轴反向时为负值；

当 AT与 y 轴同向时为正当，当 AT 与 y 轴反向时为负值；

依据上边规定，则 OM x , MP y ,

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

sin y y MP ；

r y

1

cos x x OM ；

r x

1

tan y MP AT AT ； x OM OA

这几条与单位圆相关的有向线段 MP ,OM , AT 叫做角 的正弦线 、余弦线 、正切线 。

二、讲解新课

【问题驱动 1 】 ——联合我们刚学过的三角比，就以正弦 (或余弦 )为例，对于每一个给定

的角和它的正弦值 (或余弦值 )之间能否也存在一种函数关系？若存在，

请对这类函数关系下一个定义；若不存在，请说明原因．

1 、正弦函数、余弦函数的定义 正弦函数和余弦函数图像和性质

2 / 14

（ 1 ）正弦函数： y sin x, x R ；

（ 2 ）余弦函数： y cos x, x R

【问题驱动 2 】 ——怎样作出正弦函数 y sin x, x R 、余弦函数 y cos x, x R 的函

数图象？

2 、正弦函数 y sin x, x R 的图像

（ 1 ） y sin x, x 0,2 的图像

【方案 1 】——几何描点法

步骤 1 ：平分、作正弦线——将单位圆平分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；

步骤 2 ：描点——平移定点，即描点 x,sin x ；

步骤 3 ：连线——用圆滑的曲线按序连接各个点

小结：几何描点法作图精准，但过程比较繁。 正弦函数和余弦函数图像和性质

3 / 14

【方案 2 】——五点法

步骤 1 ：列表——列出对图象形状起重点作用的五点坐标；

步骤 2 ：描点——定出五个重点点；

步骤 3 ：连线——用 圆滑 的曲线按序连接五个点

小结： y sin x, x 0,2 的五个重点点是 0,0 、 ,1 、 ,0 、 3 ,0、2,0。

2 2

（ 2 ） y sin x, x R 的图像

由 sin 2k x sin x, k

k Z ,k 0 上的图像与在区间

Z ，因此函数 y sin x在区间 2k ,2k

0,2 上的图像形状同样 ,不过地点不一样

.

2

于是我们只需将函数 y sin x, x 0,2 的图像向左、右平行挪动

(每次平行挪动 2

个单位长度

)，就能够获得正弦函数 y sin x, x R 的图像。

3 、余弦函数 y cos x, x R 的图像

（ 1 ） y cos x, x 0,2 的图像 正弦函数和余弦函数图像和性质

4 / 14

（ 2 ） y cos x, x R 的图像

图像平移法

由 sin x cos x ，可知只须将 y sin x, x R 的图像向左平移 即可。

2 2

三、例题举隅

例、 作出函数 y 1 sin x, x 0,2 的大概图像；

【设计企图】——观察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像

【解】

①列表

x 0 3

2 2

2

sin x 0 1 0 1 0

y 1 sin x 1 2 1 0 1

②描点

在直角坐标系中，描出五个重点点：

0,1 、 ,2 、 ,1 、 3 、 2 ,1 ,0

2 2

③连线

练习、 作出函数 y 1 sin x, x 0,2 的大概图像

2

二、性质 正弦函数和余弦函数图像和性质

5 / 14

1 ．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集 R［或 (－∞，＋∞ ) ］，分别记作：

y ＝ sin x， x∈ R y ＝ cos x， x∈ R

2 ．值域

由于正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，因此｜ sin x｜≤1 ，

｜ cos x｜≤1 ，即－ 1≤sin x≤1 ，－ 1 ≤cos x ≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－ 1， 1］

此中正弦函数 y=sin x ， x∈ R 正弦函数和余弦函数图像和性质

6 / 14

①当且 当 x＝ ＋ 2k π，k∈ Z ， 获得最大 1

2

②当且 当 x＝－ ＋ 2k π，k ∈ Z ，获得最小 － 1

2

而余弦函数 y＝cos x ， x ∈R

①当且 当 x＝2k π，k∈ Z ，获得最大 1

②当且 当 x＝(2 k＋ 1) π，k ∈Z ，获得最小 － 1

3 ．周期性

由 sin(x ＋ 2k π)＝sin x， cos(x ＋ 2kπ)＝ cosx ( k∈Z )知：

正弦函数 、余弦函数 是依据必定 律不停重复地获得的。

一般地， 于函数 f(x)，假如存在一个非零常数 T，使适当 x 取定 域内的每一个

，都有 f(x ＋ T)＝ f (x)，那么函数 f(x)就叫做 周期函数 ，非零常数 T 叫做 个函数的 周

期。

由此可知， 2 π， 4 π，⋯⋯，－ 2 π，－ 4 π，⋯⋯2 kπ(k ∈ Z 且 k≠0) 都是 两个函数的周

期

于一个周期函数 f(x)，假如在它全部的周期中存在一个最小的正数，那么 个最小

正数就叫做 f (x)的最小正周期。

4 ．奇偶性

由 sin( － x)＝－ sinx ， cos( － x)＝ cosx

可知： y＝ sinx 奇函数， y ＝ cosx 偶函数

∴正弦曲 对于原点 O 称 ,余弦曲 对于 y 称

5 ． 性 正弦函数和余弦函数图像和性质

7 / 14

联合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2k π， ＋ 2k π］(k ∈ Z)上都是增函数，其值从－

2 2

1 增大到 1；在每一个闭区间［ ＋2k π， 3

＋ 2k π］(k ∈ Z)上都是减函数，其值从

2 2

1 减小到－ 1 。

余弦函数在每一个闭区间［ (2k － 1) π，2k π］(k ∈ Z)上都是增函数，其值从－ 1 增添

到 1 ；在每一个闭区间［ 2 kπ， (2 k＋ 1) π］ (k ∈Z )上都是减函数，其值从 1 减小到－

1

y=sin x y= cos x

图 象

定义域 R R

值 域 [ 1,1] [ 1,1]

当且仅当 x＝ ＋ 2k π， 当且仅当 x＝ 2k π，k ∈ Z

最 值 2 时，获得最大值 1

k ∈ Z 时，获得最大值 1 当且仅当 x＝ (2 k ＋ 1) π，k

当且仅当 x＝－ ＋ 2k ∈ Z 时，获得最小值－ 1

2

π，k ∈Z 时，获得最小值－ 1

周期性 2 2

奇偶性 奇函数 偶函数

单一性 在闭区间［－ ＋ 2k 在闭区间［ (2k － 1) π，2k

2

π， ＋ 2k π］(k∈Z )上 π］(k ∈ Z)上单一递加；

2

单一递加，；在闭区间

在每一个闭区间［ 2 k π， 3

［ ＋ 2k π， ＋ 2k

2

2

(2 k＋ 1) π］ (k ∈ Z)上单一 π］(k ∈ Z)上单一递减

递减