安徽省蚌埠市第一中学2018-2019学年高二数学上学期期中试题 文
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蚌埠一中2018-2019学年度第一学期期中考试
高二（文科）数学
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 已知直线：和：互相平行，则实数
A. 或3 B.
C. D. 或
3. 圆的半径为，则a等于
A. 5 B. 或5 C. 1 D. 1或
4. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为
A. B. C. D.
5. 如图，在正方体中，下列结论不正确的是
A.
B.
C.
D.
6. 一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长是
A. 6cm B. 8cm C. D.
7. 一个几何体的三视图如图所示，则其表面积为
A. 2 B.
C.
D.
8. 过点，斜率为k的直线，被圆截得的弦长为，则k的值为
A. B. C. D.
9. 一条光线从点射出，经y轴反射后与圆相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为
A. B. C. D.
10. 若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为，则直线l的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 如图在直三棱柱中，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是______．
12. 如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边，AD是斜边BC上的高，将沿着AD折叠，使二面角为，则三棱锥的体积是______ ． 3
13. 直线l与两直线，分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是，则l的斜率是_________．
14. 若无论实数a取何值时，直线与圆都相交，则实数b的取值范围是__________．
15. 如图，已知和所在平面互相垂直，，，，，且，则三棱锥的外接球的表面积为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共75.0分）
16. 在中，已知，，
求BC边上的高AH所在的直线方程；
求的面积．
4 17. 如图四边形ABCD为梯形，，，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
18. 如图，在三棱锥中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知，，，求证：
直线平面DEF；
平面平面ABC．
19. 已知直线与曲线．
若直线l与直线垂直，求实数m的值；
若直线l与曲线C有且仅有两个交点，求实数m的取值范围． 5
20. 在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形
Ⅰ若，证明：直线平面；Ⅱ设D、E分别是线段BC、的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线平面？请证明你的结论．
21. 已知过原点的动直线l与圆：相交于不同的两点A，B．
求圆的圆心坐标；
求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
是否存在实数k，使得直线L：与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．
6
蚌埠一中2018~2019学年度第一学期期中试题
答案和解析
【答案】
1. D 2. A 3. D 4. A 5. C 6. B 7. B
8. A 9. C 10. A
11.
12.
13.
14.
15.
16. 解：由已知得，B，C两点连线的斜率，
依题意，，又，
由斜截式得高AH所在的直线方程为，即． 7 设BC边上的高为h，则．
．
由，又，
由点斜式得BC边所在的直线方程为，即．
BC边上的高为h就是点到BC的距离，
所以，，
因此，的面积为．
17. 解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面 分
，，．
故所求几何体的表面积为： 分
由，分
分
所以，旋转体的体积为 分
18. 证明：、E为PC、AC的中点，，
又平面DEF，平面DEF，
平面DEF；
、E为PC、AC的中点，；
又、F为AC、AB的中点，；
，
，
；
，，；
，平面ABC；
平面BDE，平面平面ABC．
19. 解：由题可知：直线l的斜率为，直线的斜率为2， 8 直线l与直线l1垂直，
∴（-m）2=-1，
∴m=.
（2）由题可知：直线l方程为y=-mx+2(m+1)，斜率为-m,
由曲线C：可知这是圆的上半圆，
将直线l方程化为，
所以直线l恒过（2,2,）点，
作图可知，当直线l正好过（-1,0）点时，刚好有两个交点，此时-m=,则m=,
当直线l正好与上半圆相切时，此时为临界点，只有一个交点，
d==1,
解得m=,则-m=,
由图可知-m=舍去.
由-m,可得．
20. Ⅰ证明：四边形和都为矩形，
，，
，
平面ABC，
平面ABC，
，
，，
直线平面；Ⅱ解：取AB的中点M，连接，MC，，，设O为，的交点，则O为的中点．
连接MD，OE，则，，，，
，，
连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，
，
平面，平面， 9 平面，
线段AB上存在一点线段AB的中点，使直线平面．
21. 解：圆：，
整理，得其标准方程为：，
圆的圆心坐标为；
设当直线l的方程为、、，
联立方程组，
消去y可得：，
由，可得
由韦达定理，可得，
线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中，
线段AB的中点M的轨迹C的方程为：，其中；
结论：当，时，直线L：与曲线C只有一个交点．
理由如下：
联立方程组，
消去y，可得：，
令，解得，
又轨迹C的端点与点决定的直线斜率为，
当直线L：与曲线C只有一个交点时，
k的取值范围为，
【解析】
1. 【分析】
本题考查由直线的方程求直线的斜率，直线的斜率和倾斜角的关系，应注意直线倾斜角的范围特殊角的三角函数值的求法先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角．
【解答】 10 解：直线的方程为，
直线的斜率为，
即直线倾斜角的正切值，
又倾斜角，
，
故选D．
2. 解：由，解得或．
经过验证都满足两条直线平行，或．
故选：A．
由，解得经过验证即可得出．
本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3. 解：圆的标准方程为，
圆的半径为，
，
，
故选：D．
圆的标准方程为，利用圆的半径为，即可求出a．
本题考查圆的方程，考查半径的求解，比较基础．
4. 【分析】
根据圆锥侧面展开图是面积为的半圆面，可得圆锥的母线长，继而得到圆锥的底面半径，即可求出圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小．
本题主要考查圆锥的侧面积的计算和应用，比较基础．
【解答】
解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，
，即，，
又圆锥的侧面积公式， 11 ，解得，
即，，
则，
．
即圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为，
故选：A．
5. 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设正方体的棱长．
则0，，1，，1，，1，，0，．
，0，．
．
．
因此不可能有C.
故选：C．
如图所示，建立空间直角坐标系利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
本题考查了空间线线位置关系及其判定方法，属于基础题．
6. 解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为，其原来的图形如图所示，
则原图形的周长是：8
故选B．
由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半由于轴上的线段长度为，故在平面图中，其长度为，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原图形的周长．
本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化．
