苏教版高一数学弧度制

1．1.2弧度制(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解1弧度的角及弧度的定义；(2)掌握角度与弧度的换算公式；(3)熟练进行角度与弧度的换算；(4)理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；(5)理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题．2．过程与方法通过类比角度制的概念引入弧度制的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度．3．情感、态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质．●重点难点重点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用．难点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系．(教师用书独具)●教学建议1．弧度制的概念关于弧度制的概念的教学，建议教师在教学过程中，首先讲清1弧度角的概念，它是建立弧度概念的关键，并且让学生具体操作验证，老师通过多媒体演示，在此直观印象基础上，引导学生证明以弧度为单位的角是一个与半径无关的定值．2．角度制与弧度制的换算关于角度制与弧度制的换算的教学，建议教师教学过程中，讲清“180°＝π”这个等式的意义，抓住这一关键，两种度量制的换算就迎刃而解了．3．弧长公式关于弧长公式的教学，建议教师在教学中让学生先通过自己的活动解决，明确角的度量单位是弧度，而且圆心角是在一定范围中，从而熟练用弧度制表示角，并能应用公式．●教学流程创设问题情境，引出弧度制的概念，使学生认识到弧度制的优越性.⇒引导学生探究角度制与弧度制的换算，理解用弧度制表示角与实数一一对应关系.⇒引导学生探究弧度制下的扇形弧长和面积公式，并理解公式应用的前提是用弧度制表示扇形圆心角的大小.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握弧度与角度的互化方法，使学生逐步养成用弧度表示角的习惯.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用弧度表示区域角的方法和注意事项.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用弧长和扇形面积公式解决有关问题的方法，总结求弧长及扇形面积的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解弧度制．2．会进行弧度与角度的互化．(重点、难点)3．掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式．(难点、易错点)弧度制的概念1．在初中学习角的运算采用十进制还是六十进制？【提示】六十进制．2．我们平时常用运算大多都是六十进制吗？【提示】我们常用的是十进制．(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：|α|＝lr.角度与弧度的互化【问题导思】根据弧度制的定义，周角360°所对应的弧度数是多少？ 【提示】 由2πrr ＝2π得，周角对应弧度数为2π.(1)360°＝2π rad ， (2)1°＝π180rad ≈0.017_45 rad ， 1 rad ＝(180π)°≈57.30°.扇形的弧长及面积公式1．已知扇形圆心角α，半径为r ，如何求弧长l? 【提示】 由|α|＝lr可得：弧长l ＝|α|r .2．能否用扇形的弧长l 与半径表示扇形的面积S? 【提示】 设扇形圆心角为α，则扇形面积S ＝|α|2π·πr 2＝12rl .图1－1－4(1)弧度制下的弧长公式如图1－1－4，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|. (2)扇形面积公式在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12|α|r 2＝12lr .弧度和角度的互化 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－13π3. (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有的角． 【思路探究】 将角度化为弧度，可运用公式1°＝π180弧度；而将弧度化为角度，则可运用公式1弧度＝(180π)°.【自主解答】 (1)∵α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，而－19π6＝－2×2π＋5π6，∴α1＝－2×2π＋5π6，∴α1的终边在第二象限．∵α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6，∴α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k ·360°＋108°(k ∈Z )，∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤k ·360°＋108°＜0°，k ∈Z ，∴k ＝－2或k ＝－1. ∴－720°～0°之间与β1终边相同的角是－612°角和－252°角．β2＝－13π3＝－133×180°＝－780°＝－2×360°－60°，设γ＝k ·360°－60°(k ∈Z )．∵－720°≤γ＜0°，∴－720°≤k ·360°－60°＜0°，k ∈Z ，∴k ＝－1或k ＝0. ∴－720°～0°之间与β2终边相同的角是－420°角和－60°角．1．特殊角的弧度数与角度数的对应值应熟记，并逐步养成用弧度数表示角的习惯． 2．在进行角度制与弧度制换算时，关系式π rad ＝180°是关键，由它得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×(180π)°＝度数．把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？ 【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9＜2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．用弧度表示区域角用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图1－1－5所示(不包括边界)．图1－1－5【思路探究】 求出阴影部分边界角的弧度数，结合区域角的旋转方向及终边相同角的表示方法写出区域角的范围．【自主解答】 (1)如图①，以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12rad ， ∴所求集合为{θ|2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z }．(2)如图②，以OB 为终边的角225°，可看成是－135°，化成弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4rad ，∴所求集合为{θ|2k π－3π4＜θ＜2k π＋3π4，k ∈Z }．1．用弧度表示区域角，实质上是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度之间的换算，注意单位要统一．2．在表示角的集合时，可以先写出一个周期的范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .3．在进行区间的合并时，注意归纳总结，一定要做到准确无误．一般地，若某角的终边落在某一直线上，则可用k π(或k ·180°)加上已知角来表示该角，其中k ∈Z .图1－1－6求出终边在图1－1－6中所示阴影区域(包括边界)的角的集合．【解】 由于－23π＋2π＝43π，即角－23π与角43π的终边相同，因此图中所示阴影区域的角的集合为{α|π4＋2k π≤α≤43π＋2k π，k ∈Z }．弧长与扇形面积公式的应用一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【思路探究】设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值【自主解答】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ， 则l ＝αr ，依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20， ∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)． ∴当r ＝5时，S 扇形max ＝25. 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．本例中条件不变，再增加一个条件：扇形面积S ＝24，如何求这个扇形的弧长和圆心角？【解】 (1)∵l ＋2r ＝20， ∴l ＝20－2r 且0<r <10. ∴S 扇形＝12lr ＝(10－r )r ＝24，∴r 2－10r ＋24＝0，解得r ＝4或r ＝6.∴当r ＝4时，l ＝20－2×4＝12，α＝lr ＝3 rad ，当r ＝6时，l ＝20－2×6＝8，α＝l r ＝43rad.角度制与弧度制混用致误把角－690°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________． 【错解1】 －690°＝－(690×π180)＝－236π，∴－690°＝－3π－56π.【答案】 －3π－56π【错解2】 －690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋30°. 【答案】 －4π＋30°【错因分析】 错解1中－3π不是2k π的形式，不符合题目要求． 错解2中不符合“在同一表达式中角度与弧度不能混用”这一原则．【防范措施】 (1)在解题时要注意结果的规范要求．(2)在解决角度制和弧度制的有关问题时，要遵循转换的原则，表达的形式要符合基本的原则和规范性．【正解】 法一 －690°＝－(690×π180)＝－236π，∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二 －690°＝－2×360°＋30°， ∴－690°＝－4π＋π6.【答案】 －4π＋π61．准确理解弧度制 (1)弧度制引入的必要性把角的概念推广到任意角后，角的集合和实数集之间建立起一一对应关系． (2)弧度制引入的合理性当圆心角一定时，圆心角所对的弧长与半径成正比，与所取半径无关． 2．求扇形的弧长和面积的解题技巧求扇形的面积关键是明确弧度制下扇形的面积公式S ＝12αr 2＝12lr (0＜α＜2π)，其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角，r 是扇形的半径，三个量中知道任意两个量即可求解.1．下列说法中，正确的序号是________． ①1弧度是长度为半径的弧；②大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大； ③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角； ④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等； ⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．【解析】 由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确；∵弧长l ＝α·r ，∴当α＝1时，l 扇＝r (半径)． ∴④不正确． 【答案】 ③2．下列结论不正确的是________．(只填序号)①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 【解析】5π8 rad ＝5π8×(180π)°＝112.5°，所以④错． 【答案】 ④3．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________． 【解析】 216°＝216×π180＝6π5，l ＝30π＝α·r ＝6π5r ，∴r ＝25.【答案】 254．已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？【解】 设扇形的弧长为l ，由题意得2πR ＝2R ＋l ，所以l ＝2(π－1)R ，所以扇形的圆心角是l R ＝2(π－1) rad ，扇形的面积是12Rl ＝(π－1)R 2.一、填空题1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________； (3)920°＝________；(4)－72°＝________. 【解析】 (1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°. (3)920°＝720°＋200°＝2π＋π＋20×π180＝3π＋π9＝289π.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5.【答案】 (1)24° (2)－216° (3)289π (4)－2π52．α＝－2 rad ，则α的终边在________．【解析】 －2 rad ＝－2×(180π)°≈－57.30°×2＝－114.60°，∴α为第三象限角． 【答案】 第三象限3．在单位圆(注：半径为1的圆)中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为________． 【解析】 由S ＝12αr 2＝12α×12＝α2＝1.∴α＝2 (rad)． 【答案】 24．设集合M ＝{α|α＝k π2－π3，k ∈Z }，N ＝{α|－π＜α＜π}，则M ∩N ＝________.【解析】 分别取k ＝－1,0,1,2，得α＝－5π6，－π3，π6，2π3.【答案】 {－5π6，－π3，π6，2π3}5．(2013·温州高一检测)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(图1－1－7阴影部分)是________．图1－1－7【解析】 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z . 因此，③正确．【答案】 ③6．已知角α的终边与π3的终边相同，在0,2π)内终边与α3角的终边相同的角为________． 【解析】 由题意得α＝2k π＋π3(k ∈Z )，故α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )， 又∵0≤α3<2π，所以当k ＝0,1,2时，有α3＝π9，79π，139π满足． 【答案】 π9，79π，139π 7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为r ，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为2r ，则2r ＝r ·α，即α＝ 2.【答案】 28．(2013·泰州高一检测)已知角α，β的终边关于x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则β＝________.【解析】 如图：－π3角的终边关于y ＝－x 对称的射线的对应角为 －π4＋π12＝－π6，∴β＝－π6＋2k π，k ∈Z . 【答案】 2k π－π6，k ∈Z 二、解答题9．已知扇形的周长是8 cm ，圆心角为2 rad ，求该扇形的弧长和面积．【解】 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则有{ 2r ＋l ＝8，l ＝2r ，解得{r ＝2，l ＝4.故S ＝12l ·r ＝4(cm 2)．所以该扇形的弧长是4 cm ，面积是4 cm 2. 10．若角α与角－2π3的终边垂直，试表示满足条件的角α的集合，并探究其终边有何位置关系？【解】 在－π～π范围内，与角－2π3的终边垂直的角为5π6，－π6，与这两个角终边相同的角可分别表示为2k π＋5π6，2k π－π6，k ∈Z ，即{α|α＝2k π＋5π6，或α＝2k π－π6，k ∈Z }＝{α|α＝k π－π6，k ∈Z }． 所以它们的终边在同一条直线上．11．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB 的长；(2)扇形所含弓形的面积．【解】 (1)∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝|α|·r ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，过点O 作OD ⊥AB ，交AB 于D 点，于是有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴弓形的面积为S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形的面积是12π－9 3.(教师用书独具)为什么要引入弧度制为什么要引入弧度制，要考虑以下两个问题：第一：建立弧度制的合理性，即建立弧度制的依据是什么？18世纪以前，人们一直用线段的长来定义三角函数，著名数学家欧拉1748年提出三角函数是对应的三角函数线与圆半径之比，欧拉在这篇著作的第八章中提出弧度制的思想，他认为如果把半径作为一个单位长度，那么半圆的长就是π，所对应的圆心角的弧度数也是π.这时可用平面上一条射线绕其顶点旋转时，射线上不同两点的旋转过程中所形成的两段弧的长度与其半径之比为常数来说明这个比值与半径的大小无关，仅与角的大小有关．因此，我们可用圆弧的长与半径的比值来度量这个圆弧所对的圆心角，即用等于半径的圆弧所对的圆心角作为度量角的单位，叫做1弧度的角，弧度制就是建立在上述基础上的．第二：弧度制有什么优越性？①弧度数可以使角的大小用实数来表示，建立起角的集合与实数集合之间的一一对应关系，使三角函数可以看成是自变量为实数的函数，看成是实数与实数之间的映射关系，也就是说，三角函数也是数集与数集之间的映射，使三角函数也符合现代函数的定义，这就使三角函数脱离单独针对角的具体性、直观性和局限性，变得更抽象、更一般．因而可以给出更多的解释，使之应用研究更广泛．②引用弧度制以后，使得许多公式变得很简单．如弧长公式l ＝α·r ，扇形的面积公式S ＝12lr ，并且在基础理论中采用弧度制可以得到很多简单的公式．③作三角函数图象，若用角度制，则横轴上的角是六十进制，而纵轴上的三角函数值是十进制，两者的进制不同，不便于取统一的单位，就会使画出的三角函数图象没有统一标准，采用弧度制，就解决了这个问题．。

1.1.2 弧度制1.了解弧度制.2.会进行弧度与角度的互化.(重点、难点)3.掌握弧度制下扇形的弧长公式和面积公式.(难点、易错点)[基础·初探]教材整理1弧度制的概念阅读教材P7的有关内容，完成下列问题.1.角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.2.弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1_rad，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大.()(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.()(3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度.()【★答案★】(1)×(2)×(3)×教材整理2角度制与弧度制的换算阅读教材P8的全部内容，完成下列问题.1.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2π rad＝360°180°＝πradπ rad＝180°角度0°1°30°45°60°90°弧度0π180π6π4π3π2角度120°135°150°180°270°360°弧度2π33π45π6π3π22π正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.(1)3π5＝________；(2)－π6＝________；(3)－120°＝________rad；(4)210°＝________rad.【解析】(1)3π5＝35×180°＝108°；(2)－π6＝－16×180°＝－30°；(3)－120°＝－120×π180＝－23π；(4)210°＝210×π180＝7π6.【★答案★】(1)108°(2)－30°(3)－2π3(4)7π6教材整理3扇形的弧长公式及面积公式阅读教材P9的全部内容，完成下列问题.1.弧度制下的弧长公式：如图1-1-7，l是圆心角α所对的弧长，r是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr ，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.图1-1-72.扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .若扇形的圆心角为π6，半径r ＝1，则该扇形的弧长为________，面积为________.【解析】 ∵α＝π6，r ＝1， ∴弧长l ＝α·r ＝π6×1＝π6， 面积S ＝12lr ＝12×π6×1＝π12. 【★答案★】 π6 π12[小组合作型]角度制与弧度制的互化(1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【精彩点拨】 利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化. 【自主解答】 (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10rad＝π10×180°π＝18°；(3)－4π3rad＝－4π3×180°π＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180rad＝5π8rad.[再练一题]1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.【解】(1)72°＝72×π180rad＝2π5rad；(2)－300°＝－300×π180rad＝－5π3rad；(3)2 rad＝2×180°π＝360°π≈114.60°；(4)－2π9rad＝－2π9×180°π＝－40°.用弧度制表示角的集合阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图1-1-8所示). 【导学号：48582006】图1-1-8【精彩点拨】 先写出边界角的集合，再借助图形写区间角的集合. 【自主解答】 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°，(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.[再练一题]2.如图1-1-9，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).① ②图1-1-9【解】 (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为(2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，所以阴影部分内的角的集合为[探究共研型]扇形的弧长及面积问题探究1公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？【提示】公式l＝|α|r中，“α”必须为弧度制角.探究2在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明.【提示】已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r，可利用l＝|α|r，求l，进而求S＝12lr；又如已知S，α，可利用S＝12|α|r2，求r，进而求l＝|α|r.一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？【自主解答】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝20－2rr.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝12αr2＝12·20－2rr·r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10).∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.[再练一题]3.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径为6，求扇形的弧长和面积.【解】∵α＝120×π180＝2π3.又r＝6，∴弧长l＝αr＝2π3×6＝4π.面积S＝12lr＝12×4π×6＝12π.1.将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)：(1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________.【解析】(1)2π15＝215×180°＝24°.(2)－6π5＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180＝－2π5rad.【★答案★】 (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad2.半径长为2的圆中，扇形的圆心角为2弧度，则扇形的面积为________. 【解析】 S ＝12lr ＝12r 2·α＝12×4×2＝4. 【★答案★】 43.圆的半径变为原来的3倍，而所对的弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍.【解析】 设圆最初半径为r 1，圆心角为α1，弧长为l ，圆变化后的半径为r 2，圆心角为α2，则α1＝l r 1，α2＝l r 2.又r 2＝3r 1，∴α2α1＝r 1r 2＝r 13r 1＝13.【★答案★】 134.用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______. 【解析】 若角α的终边落在x 轴的上方， 则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z . 【★答案★】{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z5.设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角.【导学号：48582007】【解】 (1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6 ＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限. (2)β1＝3π5＝3π5×180°π＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°， 即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。

§1.1.2 弧度制（一）学习目标：1.理解1弧度的角、弧度制的定义.2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算.3.熟记特殊角的弧度数学习重点：理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.学习难点：弧度的概念及其与角度的关系.学习过程：一、自学质疑：（A）问题1 我们已经学习了“角的概念的推广”，请简述“角”的概念，并说明什么是“正角”、“负角”、“零角”.（A）问题2 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

初中几何中研究过角的度量，当时是用度做单位来度量角，1°的角是如何定义的？初中我们是如何计算弧长的，其公式是怎么样的？（B）问题3 请研究30°、60°的圆心角，当半径r为1，2，3时，分别计算对应的弧长，再计算弧长与半径的比。

你可以得到什么结论？（B）问题 4 弧度的定义____________________________________________它的单位是rad 读作______，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做______．如下图，用弧度制表示其圆心角大小依次为______、_______、______、______、二、数学运用：1 把'3067化成弧度 2 把rad π53化成度3 用弧度制表示：1 终边在x 轴上的角的集合2 终边在y 轴上的角的集合3 终边在坐标轴上的角的集合三、巩固练习： 1．完成下表，并熟记.A.πππk 222+-和（ｋ∈Ｚ） B.－3π和322πC.－97π和911πD. 9122320ππ和3． (用弧度制表示)第一象限角的集合为 ，第一或第三象限角的集合为 . 4． 7弧度的角在第 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 . 5．圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，则其圆心角的弧度数为 .6．已知集合Ａ＝｛α｜2ｋπ≤α≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ｝，B ＝｛α｜－4≤α≤4｝，求A ∩B .7．现在时针和分针都指向12点，试用弧度制表示15分钟后，时针和分针的夹角.。

一、填空题1．下列命题中，正确的序号是________．①1弧度是长度为半径的弧②大圆中1弧度角比小圆中1弧度的角大③1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角④圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等⑤长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度解析：由弧度的概念知，①⑤错误，③正确；角的大小与圆的半径无关，∴②不正确； ∵弧长l ＝α·r ，∴当α＝1时，l 扇＝ r (半径)．∴④不正确．答案：③2．若α＝－4，则α是第________象限角．解析：∵－4×(180π)°≈－229°∴在第二象限． 答案：二3．半径为12 cm ，弧长为8π cm 的弧所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为________．解析：圆心角α＝l r ＝8π12＝2π3， ∴与α终边相同的角的集合为{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z}． 答案：{β|β＝2k π＋2π3，k ∈Z} 4．设0≤α<2π，将－1 485°表示成2k π＋α，k ∈Z 的形式是________．解析：∵－1485°＝－5×360°＋315°， 而315°＝7π4， ∴－1485°＝2×(－5)π＋7π4. 答案：2×(－5)π＋74π 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z}，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.解析：如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．答案：[－4，－π]∪[0，π]二、解答题6．设角α＝－570°，β＝3π5. (1)将α用弧度制表示出来，并指出它所在的象限；(2)将β用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它有相同终边的所有角． 解：(1)∵180°＝π rad ，∴－570°＝－570×π180＝－19π6. ∴α＝－19π6＝－2×2π＋5π6. ∴α在第二象限．(2)∵β＝3π5＝3π5×180°π＝108°， 设θ＝k ·360°＋β(k ∈Z)．由－720°≤θ<0°，∴－720°≤k ·360°＋108°<0°.∴k ＝－2或k ＝－1.∴在－720°～0°间与β有相同终边的角是－612°和－252°.7．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．解：(1)如图(1)所示，以OB 为终边的角为330°，可看作－30°，∵－30°＝－π6，75°＝5π12， ∴{θ|－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z}． (1)如图(2)所示，以OB 为终边的角为225°，可看作－135°，∵－135°＝－3π4，135°＝3π4， ∴{θ|－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z}． (3)如图(3)所示，∵30°＝π6，210°＝7π6， ∴{θ|π6＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z}∪{θ|7π6＋2k π<θ<3π2＋2k π，k ∈Z}＝{θ|π6＋2k π<θ<π2＋2k π，k ∈Z}∪{θ|π6＋(2k ＋1)π<θ<π2＋(2k ＋1)π，k ∈Z} ＝{θ|π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z}． ∴{θ|π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z}即为所求． 8．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ，∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2 ＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2(rad)．。