高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案 新人教A版选修2-2

1．4 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2．,2h R V π=由 ,2R V h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R RV π+= ,042)(2=+-='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2课后作业。

§1.4.1生活中的优化问题举例一、教学目标1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际问题中的作用；2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。

二、预习导学(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：①是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？②“汽油的使用率最高”的含义是什么？通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。

三、问题引领，知识探究（1）提出概念生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．（2）引导探究例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？探究1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响①你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？②是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。

已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.8r0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：①瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？②瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？探究2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？例3．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

交通管理最优化
我国城市道路一般交叉口的交通灯只分成两个时段，通行规则是：绿灯亮时，准许车辆通行（可直行和左转弯，但转弯车让直行车先行）：红灯亮时，禁止车辆通行；在不防碍绿灯放行车辆行驶的情况下，准许向右转弯。

实际情况是：在车流量较小的情况下，这种交通能力较大：但在车流量较大的情况下，转弯车辆妨碍直行车辆通行，使道路交叉口通行能力降低。

解决方案如下：1交叉口通行能力与车流量的关系。

选定一个城市车流量较大的交叉口，采集数据，检验你的模型。

2设计交叉路口的分车道，并把交通灯只分成多个时段，让转弯车辆和直行车辆互不影响。

建立数学建模，描述这类样的交叉路口通行能力与车流量的关系。

3比较这两种交叉口设计的车辆通行能力。

道路交叉路口一般可以用交通灯控制或设置环岛，交通灯控制的交叉路口的通行规则是：绿灯亮时，准许车辆通行（可直行和左转弯。

右转弯时，要转弯车辆让直行车先行）：红灯亮时，禁止车辆通行：在不妨碍绿灯放行车辆行使的情况下，准许向右转弯。

设置环岛的交叉口通行规则是：入环岛的车辆不妨碍已在环岛上行驶的车辆。

4建立车辆通过交通控制交叉路口的时间与车流量的数学关系。

5建立车辆通过环岛交叉路口的时间与车流量的数学关系
6选定一交通灯控制交叉口与一环岛交叉路口，采集数据，检验你的模型7比较车辆通过两种交叉路口时间，提出在何种情况下，道路的交叉口应设计为交通灯控制；在何种情况下，道路的交叉口应设置为环岛。

1．4 生活中的优化问题（二）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2,2h R V π=由 ,2R V h π=得 则2222)(R R V R R S πππ+=.222R RV π+= ,042)(2=+-='R R V R S π令,23πV R =解得 从而2R V h π=232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V 34πV =,223πV = 即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为.8125q p -=求产量q 为何值时，利润L 最大． 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2课后作业。

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 提高将实际问题转化为数学问题的能力教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么wG s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题．通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究， 人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的 平均速度v （单位：km/h ）之间有 如图所示的函数关系()g f v =．从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．解：因为 w w gt G s s v t ===这样，问题就转化为求g v 的最小值．从图象上看，gv表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90/km h ．因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90/km h ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即()90f '，约为 L ．例2．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602x h -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -==)600(<<x ． 23()602x V x x '=-)600(<<x 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000 由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积 x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2V h Rπ=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R+2πR 2 令 22()V s R R '=-+4πR=0 解得，R=32V π，从而h=2V R π=23()2V V ππ=34V π=23V π 即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =R R S ππ222- ⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭， 利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用. 课堂练习：第37页练习A 、B课后作业：第38页B:5，6，7。

1．4 生活中的优化问题（一）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例1在边长为60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解：设箱底边长为x cm ，则箱高，260x h -= 箱子容积h x x V 2)(=26032x x -=(0＜x ＜60)． 22360)('x x x V -=,02360)('2=-=x x x V 令 解得 0=x (不合题意，舍去) ,40=x 并求得 .00016)40(=V由题意知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．答：当x ＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3．在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f '(x )＝0 的情形，若函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．这里所说的也适用于开区间或者无穷区间．求最大（最小）值应用题的一般方法：⑴ 分析问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式；⑵ 确定函数的定义域，并求出极值点；⑶ 比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点．练习1．把长为60 cm的铁丝围成矩形，长、宽、高各为多少时，面积最大？2．把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？变为：围成一个正方形与一个圆，怎样分法，能使面积之和最小？练习2.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方形容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．例2．教材P34面的例1。

2021年高中数学 1.4《生活中的优化问题（二）》教案 新人教A 版选修2-2 教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值 教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2．则,042)(2=+-='R R V R S π令 从而232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V即h ＝2R ． 因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的 函数关系式为求产量q 为何值时，利润L 最大．分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84． 因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2 课后作业。

高中数学专题1.4 生活中的优化问题举例教案新人教A版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学专题1.4 生活中的优化问题举例教案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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生活中的优化问题举例【教学目标】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【教法指导】本节学习重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．本节学习难点:导数在解决实际问题中的作用．【教学过程】☆复习引入☆生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习,我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．解析:请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之。

☆探索新知☆探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？例 1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm，则版心的宽为错误! dm，此时四周空白面积为S（x)＝（x＋4)错误!－128＝2x＋错误!＋8，x〉0。

求导数，得S′(x）＝2－错误!.令S′(x)＝2－错误!＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．于是宽为128x＝错误!＝8。

当x∈（0,16）时，S′（x)〈0；当x∈(16，＋∞)时,S′（x)〉0。