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X
1
0
1
p
0.3
0.4
0.3
得 E( X ) 1 0.3 0 0.4 1 0.3 0.
Y 的分布律为
Y
1
2
3
p
0.4
0.2
0.4
得 E(Y ) 1 0.4 2 0.2 3 0.4 2. 由于
p
( X ,Y )
XY
0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1
(1,1) (0,1) (1,1) (1,2) (1,2) (0, 3) (1,3)
二维随机变量函数的数学期望(所涉及的数学期望存在）
(1) 设离散型随机变量（X ,Y）的联合分布列为
pij P Z g(
( X xi ,Y y j )，g( X ,Y )的数学期望为
x,
y)
为二元这函就数是, 则P166的 定理3.4.1
E [g( X ,Y )]
g( xi , y j ) pij
D( X ) E X E( X )2
x E( X )2 f ( x, y)dxdy
x E( X )2 dx
f ( x, y)dy
或
x
E(X )2
fX ( x)dx
●关于Y的边际分布密度为fY ( y),则Y的方差为
D(Y ) E Y E(Y )2
y E(Y )2 f ( x, y)dxdy
ij
(2) 设连续型随机变量（X , Y）的联合分布密度为
f ( x, y), g( x, y) 为二元函数,则Z g( X ,Y )的数学期
望为
E[g( X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)d xd y.
说明：
(1) 当g( X ,Y ) X时，离散型随机变量（X ,Y）的联合
i
j
i
●关于Y的边际分布列为P j ,则Y的方差为
D(Y )
[y j E(Y )]2 pij 或 [y j E(Y )]2 p j
ji
j
(2)当g( X ,Y ) X E( X )2 时,连续型随机变量
（X , Y）的联合分布密度为f ( x, y),
●关于X的边际分布密度为fX ( x),则X的方差为
1 0 1 1 2 1 2 0 1 3
于是
E
X Y
1
0.2
0
0.1
1
0.1
1 2
0.1
1 2
0.1
0
0.3
1 3
0.1
1. 15
由于
p 0.2 0.1 0.1 0.1 0.1 0.3 0.1
(X ,Y ) (1,1) (0,1) (1,1) (1,2) (1,2) (0, 3) (1,3)
(Y X )2 4 1 0 9 1 9 4 得 E[(Y X )2 ] 4 0.3 1 0.2 0 0.1 9 0.4 5.
(a
n2
b)
k e
n(a
n1
b)
k e
na
k0 k !
k0 k !
当 a,b, 给定后, 求 n 使 M (n) 达到极大.
利用软件包求解,并演示计算结果.
单击图形播放/暂停 ESC键退出
(2)当g( X ,Y ) X E( X )2 时,离散型随机变量
联合分布列为pij P( X xi ,Y y j )，
●关于X的边际分布列为Pi ,则X的方差为
D(X ) E X E(X )2
[xi E( X )]2 pij
ij
或 [xi E( X )]2 pij [xi E( X )]2 pi
P{
k}
k
k !
e ,
i e
,
in i !
k n, k n.(k n)
记所得为 , 则 与 的关系如下:
g( )
a
b(n ),
an,
n, n.
因此期望所得为
M (n) E[g()] n1 k e [ka (n k )b] ( k e )na
k0 k !
分布列为pij P X xi ,Y y j ，关于X的边际分布
列为Pi ,则
E (X)
xi pij xi pij
ij
i
j
或 E ( X ) xi Pi
i
同理：E (Y)
yj pij yj pij yj P j
ji
j
i
j
当g( X ,Y ) X时,连续型随机变量（X , Y）的联合
kn k !
而 n1 k e [ka (n k)b] k0 k !
n1
nb
k e
(a
n1
b)
k
e；①
k0 k !
k1 (k 1)!
(
k e )na
(
k
n1
k
)e na
na
n1
k e na， ②
kn k !
k0 k ! k0 k !
k0 k !
M(n) E[g()] ①+②
分布密度为f ( x, y),关于X的边际分布密度为fX ( x),则
E(X )
x f ( x, y)d x d y
xd x f (x, y)d y
或
E(X)
xfX ( x)d x.
同理：E (Y )
y f (x, y)d xd y
yd y
f (x, y)d x
yfY ( y)d y
y E(Y )2 dy
f ( x, y)dx
或
y
E(Y )2
fY ( y)dy
例1 设 ( X , Y0.2
0
0.1
1
0.1
2
3
0.1
0
0
0.3
0.1
0.1
求 : E( X ), E(Y ), E( X Y ), E[(Y X )2].
解 X 的分布律为
§3.4 多维随机变量的特征数
一、多维随机变量函数的数学期望 二、数学期望与方差的运算性质 三、协方差 四、相关系数 五、随机向量的数学期望与协方差阵
一、多维随机变量函数的数学期望
问题：设n维随机变量的函数Z g( X1, X 2 , , X n )，
如何求E(Z )？有两个思路：①用( X1, X 2 , , X n )的 联合分布先求随机变量的函数的分布，而后用期望 定义求.②用类似于定理2.2.1一维随机变量函数的 期望求法，不求随机变量的函数的分布.前者无需再 讲，下面介绍后一种方法.主要研究二维情形.
例2 ( 卖报问题 ) 设某卖报人每日的潜在卖报数
服从参数为 的泊松分布. 如果每卖出一份报
可得报酬a , 卖不掉而退回则每份赔偿 b , 若某日 卖报人买进 n 份报 , 试求其期望所得 .进一步, 再 求最佳的卖报份数 .
解 若记其真正卖报数为,则与的关系如下 :
,
n,
n
,
n
则 的分布为
