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2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（十四）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设复数，(a，b∈R)，那么点P(a，b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、已知函数f(x)=asinx＋cosx(x∈R)的一条对称轴方程，则a的一个可能值是（）A．1B．C．D．3、奇函数y=f(x)(x∈R)的反函数为y=f－1(x)，则必在y=f－1(x)的图像上的点是（）A．(－f(a)，a)B．(－f(a)，－a)C．(－a，－f(a))D．(a，f－1(a))4、下列命题中是假命题的是（）A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B．平面α∥平面β，aα，过β内的一点B有唯一的一条直线b，使b∥aC．α∥β，γ∥δ，α，β，γ，δ的交线为a，b，c，d，则a∥b∥c∥dD．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件5、点P是椭圆C：与双曲线的交点，F1与F2是椭圆C的PF2等于（）焦点，则cos∠F1A．B．0C．D．与a的取值有关6、将各面涂有颜色的正方体沿着各棱的三等分点按照如图1的方式分割成27个大小相，则（）等的小正方体，其中恰有i个面涂有颜色的小正方体的个数记为PiA．P1＋P2－P3=2B．P1＋P3－P2=2C．P2＋P3－P1=2D．P1＋P2＋P3=277、已知点O为△ABC的外心，且等于（）A．2B．4C．6D．88、设，则对任意实数a，b，a＋b＞0是f(a)＋f(b)＞0的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件9、如图2所示，已知点P在焦点为F1、F2的椭圆上运动，则与△PF1F2的边PF2相切，F2，F1P的延长线相切的圆的圆心M一定在（）且与边F1A．一条直线上B．一个圆上C．一个椭圆上D．一条抛物线上10、若m、n∈{x|x=a2×102＋a1×10＋a0}，其中a i∈{1，2，3，4，5，6，7}，i=0，1，2，并且m＋n=636，则实数对(m，n)表示平面上不同点的个数为（）A．60个B．70个C．90个D．120个第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、设二项式展开式各项的系数和为P，二项式系数之和为S，P＋S=35，则正整数n=__________，展开式中常数项的值为__________．12、△ABC中，边AB为最大边，且，则cosA·cos B的最大值是______．13、直线l：x=my＋n(n＞0)过点，若可行域的外接圆直径为，则实数n的值是__________．14、已知方程x3－3x2＋(m＋2)x－m=0的三个根可作为一个三角形的三条边长，那么m 的取值范围是__________．15、请阅读定义：“(1)如果就称直线y=a或y=b为y=f(x)为y=f(x)的一条水平渐近线；(2)如果，就称直线x=x的一条竖直渐近线；(3)如果有a≠0使得，就称直线y=ax＋b为y=f(x)的一条斜渐近线”，下列函数的图像恰有两条渐近线的是_________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)设函数f(x)=a·b＋m，a=(2，－cosωx)，b=(sinωx，－2)(其中ω＞0，m∈R)，且f(x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为2．(1)求ω的值；(2)若f(x)在区间[8，16]上的最大值为3，求m的值．17、(本小题满分12分)如图3所示，O，P分别是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面中．心，E是AB的中点，AB=kAA1(1)求证：A1E∥平面PBC；(2)当时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？18、(本小题满分12分)现有A，B，C，D四个长方体容器，A，B的底面积均为x2，高分别为x，y；C，D的底面积均为y2，高也分别为x，y(其中x≤y的概率为0.6)．现规定一种甲乙两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜，如果盛水相同则先取者负，甲在未能确定x与y大小的情况下先取了A，然后随机又取了一个，那么甲先取时胜乙的概率有多大？19、(本小题满分12分)已知a≥0，函数f(x)=(x2－2ax)e x．(1)当x为何值时，f(x)取得最小值？并证明你的结论；(2)设f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围．20、(本小题满分13分)设定义在R的函数f(x)满足：①对任意的实数x、y∈R有f(x＋y)=f(x)·f(y)．}满足a1=f(0)，且．②当x＞0时，f(x)＞1，数列{an(1)求f(0)，并判断f(x)的单调性；(2)求数列{a n}的通项公式a n；(3)令b n是最接近的正整数，．即求T100021、(本小题满分14分)设斜率为k1的直线l交椭圆C：于A，B两点，点M(其中O为坐标原点，假设k1，k2都存在)．为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2(1)求kk2的值．1(2)把上述椭圆C一般化为，其他条件不变，试猜想k1与k2的关系(不需要证明)．请你给出在双曲线中相类似的结论，并证明你的结论；(3)分析(2)中的探究结果，并做出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线l过原点，P为概括后命题中曲线上一动点，借助直线l及动点P，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决．试题答案选择题提示：1、，点在第一象限.2、由，可解得.3、f(－a)=－f(a)，故点(－a，－f(a))在函数y=f(x)图像上，所以点(－f(a)，－a)在函数y=f－1(x)的图像上.4、一条直线与两个平面成等角时，两个平面可以平行，也可以相交.5、可得，平方相加得，又|F1F2|=2，故∠F1PF2=90°.6、可得P1=6，P2=12，P3=8，则P1＋P3－P2=2.7、设BC边中垂线交BC于D，连接AD，则有.8、，则，又f(x)在R上单调递增，故由a＋b>0，可得a>－b，即f(a)>f(－b)=－f(b)，所以f(a)＋f(b)>0，反之亦成立，所以是充分必要条件.9、设圆与F1P的延长线切于点A，与F1F2的延长线切于点B，与PF2切于点C，因为|PF1|＋|PF2|=2a，|F1F2|=2c，故|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|=2a＋2c，又|PC|=|PA|，|F2C|=|F2B|，则|F1A|＋|F1B|=2a＋2c，又|F1A|=|F1B|，故|F1B|=a＋c为定值，而MB⊥F1F2，故点M横坐标与点B横坐标相同，所以点M的轨迹是一条直线.10、由6=5＋1=4＋2=3＋3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3=2＋1=7＋6－10, 故（1）由3=2＋1知，首位数字的可能选择有2×5=10种；（2）由3=7＋6－10及5=4＋1=2＋3知，首位数字的可能选择有2×4=8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5×(10＋8)=90种.填空题答案：11、3，6 12、13、8 14、15、①③⑤⑥提示：11、，则n=3，常数项为.12、由cos(A－B)=cosAcosB＋sinAsinB得，cosAcosB=cos(A－B)－sinAsinB．由题设，边AB为△ABC的最大边，∴∠C为三角形的最大角．，∴cos(A－B)≤1，(当A=B时取等号)．13、直线l与直线交于点A，设直线l与x轴交于点B（n，0），易得∠AOB=60°，故，则有，解得n=8.14、则可设方程的三个根为1，x1，x2，则有，且，解得.15、根据定义进行判断，①③⑤⑥符合要求.17、(1)过P作MN∥B1C1，分别交A1B1，D1C1于M，N，则M，N分别为A1B1，D1C1的中点，连接MB，NC，则四边形BCNM是平行四边形，∵E、M分别为AB、A1B1的中点，∴A1E∥MB．又∵MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC．(2)过A作AF⊥MB，垂足为F，连接PF．∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，∴AF⊥BC，BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，∴∠APF就是直线AP与平面PBC所成的角，(3)连接OP，OB，OC，则OP⊥BC，由三垂线定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心．又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，则△PBC为正三角形，即PB=PC=BC，所以．反之，当时，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱锥O－PBC为正三棱锥，∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心．18、依题意可知，A，B，C，D四个容器的容积分别为x3，x2y，xy2，y3，按照游戏规则，甲先取A，则只有三种不同的取法：①取A，B；②取A，C；③取A，D．问题的实质是比较两个容器和的大小．①若先取A，B，则后取者只能取C，D．∵(x3＋x2y)－(xy2＋y3)=x2(x＋y)－y2(x＋y)=(x－y)(x＋y)2，显然(x＋y)2＞0，∴当x＞y时，(x－y)(x＋y)2＞0，这时甲取胜．②若先取A，C，则后取者只能取B，D．∵(x3＋xy2)－(x2y＋y3)=x(x2＋y2)－y(x2＋y2)=(x－y)(x2＋y2)，显然x2＋y2＞0，∴当x＞y时，(x－y)(x2＋y2)＞0，这时甲取胜．③若先取A，D，则后取者只能取B，C．∵(x3＋y3)－(x2y＋xy2)=(x＋y)(x2－xy＋y2)－xy(x＋y)=(x＋y)(x2－2xy＋y2)=(x＋y)(x－y)2，又∵x≠y，x＞0，y＞0，∴(x＋y)(x－y)2＞0，即先取A，D时，甲必胜．甲先取A再取B或C的事件发生的概率为，且x＞y的概率为1－0.6=0.4，此时甲胜的概率为．同样，若甲先取A再取D的事件发生的概率为，此时甲胜的概率为．所以，甲取胜的概率为．18、依题意可知，A，B，C，D四个容器的容积分别为x3，x2y，xy2，y3，按照游戏规则，甲先取A，则只有三种不同的取法：①取A，B；②取A，C；③取A，D．问题的实质是比较两个容器和的大小．①若先取A，B，则后取者只能取C，D．∵(x3＋x2y)－(xy2＋y3)=x2(x＋y)－y2(x＋y)=(x－y)(x＋y)2，显然(x＋y)2＞0，∴当x＞y时，(x－y)(x＋y)2＞0，这时甲取胜．②若先取A，C，则后取者只能取B，D．∵(x3＋xy2)－(x2y＋y3)=x(x2＋y2)－y(x2＋y2)=(x－y)(x2＋y2)，显然x2＋y2＞0，∴当x＞y时，(x－y)(x2＋y2)＞0，这时甲取胜．③若先取A，D，则后取者只能取B，C．∵(x3＋y3)－(x2y＋xy2)=(x＋y)(x2－xy＋y2)－xy(x＋y)=(x＋y)(x2－2xy＋y2)=(x＋y)(x－y)2，又∵x≠y，x＞0，y＞0，∴(x＋y)(x－y)2＞0，即先取A，D时，甲必胜．甲先取A再取B或C的事件发生的概率为，且x＞y的概率为1－0.6=0.4，此时甲胜的概率为．同样，若甲先取A再取D的事件发生的概率为，此时甲胜的概率为．所以，甲取胜的概率为．20、(1)令y=0，x=1，得f(1)·f(0)，即f(1)·[f(0)－1]=0．∵x ＞0时f(x)＞1，故f(1)＞1≠0，∴f(0)=1．由①可知f(x)·f(－x)=f(0)=1．∵x ＞0时，f(0)＞1，∴x ＜0时，0＜f(x)＜1，∴x ∈R 时，f(x)＞0．设x 1＜x 2，则f(x 2)=f[x 1＋(x 2－x 1)]=f(x 1)·f(x 2－x 1)．∵x 2－x 1＞0，∴f(x 2－x 1)＞1．又∵f(x 1)＞0，∴f(x 2)＞f(x 1)，∴f(x)在R 上为增函数．(2)∵a 1=f(0)，∴a 1=1．由(1)得，∴f(a n ＋1)=f(a n ＋1)．∵f(x)在R 上为单调函数，∴a n ＋1=a n ＋1，∴a n =a 1＋(n －1)×1=n ，即{a n }的通项公式为a n =n(n ∈N *)．(3)令b n =k ，(k ∈N *)是接近的正整数，则，∵k ，n 均为正整数，∴k 2－k ＋1≤n≤k 2＋k ．∵k ，n 均为正整数，∴n 有k 2＋k －(k 2－k ＋1)＋1=2k 个，∴312＜1000＜322，322－32＋1=993．(3)对(2)的概括：设斜率为k的直线l交二次曲线C：mx2＋ny2=1（mn≠0）于A、B1(其中O 为坐标原点假设k1、k2都存两点，点M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k2在)，则．提出的问题例如：直线l过原点，P为二次曲线mx2＋ny2=1（mn≠0）上一动点，设直线L交曲线于A、B两点，当P异于A、B两点时，如果直线PA、PB的斜率都存在，则它们斜率的积为与点P无关的定值．解法如下：设直线方程为y=kx ，A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(－x 1，－y 1)，则y 1=kx 1．把y=kx 代入mx 2＋ny 2=1得(m ＋nk 2)x 2=1，。
2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（十一）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合M={1，2，3，4}，集合N={a，b，c，d}，设集合M到集合N的不同映射的个数为m，从集合M到集合N的不同的一一映射的个数为n，那么等于（）A．4B．8C．D．2、若f(x)=sin(x＋)＋2cos(x＋)是奇函数，则tan=（）A．－2B．2C．D．3、下列命题中，正确命题的个数是（）①若两条直线无公共点，则这两条直线平行；②与一个平面相交成等角的两条直线平行；③若平面外的一条直线上有两个点到平面距离相等，则此直线与平面平行；④对于两条异面直线及它们之外的任一点，一定存在过该点的一个平面与两条异面直线都平行．A．3个B．2个C．1个D．0个4、已知a>b>0且（）A．3B．5C．7D．95、已知，则sinα=（）6、正三棱锥S—ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若，则正三棱锥S—ABC外接球的表面积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π7、过点M(－2，0)的直线l与椭圆x2＋2y2=2交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于（）设直线l的斜率为k1A．2B．－2C．D．8、已知数列{a n}符合：a1=2，，那么a36等于（）9、由方程x|x|＋y|y|=1确定的函数y=f(x)在（－∞，＋∞）上是（）A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增10、在平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（1，1），C（0，1），映射f将xOy 平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy，x2－y2)，则当点P沿着折线A－B－C运动时，在映射f的作用下，动点P′的轨迹是（）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、某校要求每位学生从8门课程中选修5门，其中甲、乙两门课程至少选修一门，则不同的选课方案有_________种．(以数字作答)12、有3道“四选一”选择题，每题4分．某考生对其中2道题能各排除2个选项，随后他随机猜答，则该考生做这3道题的得分的数学期望是_________分．13、若实数x，y满足，则x＋2y的最大值为_________．14、已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且圆与直线3x＋4y＋4=0相切，则圆的标准方程是_________．15、下列命题中①A＋B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件；②的展开式中的常数项是第4项；③在数列{a}中，a1=2，S n是其前n项和且满足，则数列{a n}为等比n数列；④设过函数f(x)=x2－x(－1≤x≤1)图像上任意一点的切线的斜率为k，则k的取值范围是(－3，1)．则正确的命题的序号是_________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)已知，其中0<x<π．(1)若f(x)=0，求x；(2)求函数f(x)的单调递增区间．17、(本小题满分12分)如图1，已知AB⊥平面ACD，DE//AB，△ACD是正三角形，且AD=DE=2AB．(1)在线段CD上是否存在一点M，使AM//平面BCE?证明你的结论；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．18、(本小题满分12分)已知函数在x=1处取得极值为2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间(m，2m＋1)上为增函数，求实数m的取值范围；(3)若P(x0，y)为图像上的任意一点，直线l与的图像相切于点P，求直线l的斜率的取值范围．19、(本小题满分12分)已知等比数列{a n}的各项是不等于1的正数，数列{b n}满足b n=2log4a n，设a3=8，b5=5．(1)求an 和bn；(2)若数列{cn}满足，求c1＋c2＋c3＋…＋c n；(3)若数列{dn}满足lgd n＋2lgb n=0，求证：d1＋d2＋d3＋…＋d n<2．20、(本小题满分13分)如图2，直线l与抛物线y2=4x交于A、B两点，O为原点，且．(1)求证：直线l恒过一定点；(2)若，求直线l的斜率k的取值范围；(3)设抛物线的焦点为F，试问∠AFB能否等于120°．若能，求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由．21、（本小题满分14分）定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知函数．(1)当a=1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；(3)若m>0，函数g(x)在[0，1]上的上界是T(m)，求T(m)的取值范围．试题答案选择题提示：1、.2、因为函数是奇函数，则有.3、①错误，无公共点也可以异面；②错误，可以相交、平行、异面；③错误，也可以相交，此时两点位于平面的两侧；④错误，若该点在过一条异面直线且与另一条平行的平面上时，不存在符合要求的平面.4、因为a>b>0，故，所以，化简得，所以.5、可得，故，且，故.6、因为MN⊥AM，MN//SB，所以SB⊥AM.又SB⊥AC，所以SB⊥平面SAC，则SB⊥SA，SB⊥SC，易得SC⊥SA.由此可将正三棱锥S-ABC补成正方体，使SA、SB、SC是正方体的三条棱，从而正三棱锥S—ABC的外接球也就是正方体的外接球，其半径等于3，表面积等于.7、直线l方程为y=k1(x＋2)，联立方程组，可得，设，则有，则有，故，所以.8、，累项相加得，故.9、当x≥0，y≥0时，方程为x2＋y2=1，当x≥0，y≤0时，方程为x2－y2=1，当x≤0，y≥0时，方程为y2－x2=1，当x≤0，y≤0时，不存在，分段作出函数图像如下图，由图像可知，函数在（－∞，＋∞）上是减函数.10、当点P沿直线AB运动时，x始终为1，此时，消去y得轨迹方程为，表示焦点在x轴上的椭圆，同理可得沿直线BC运动时的轨迹，只有A答案符合.二、填空题答案：11、50 12、313、6 14、(x－2)2＋y2=415、①③提示：11、甲、乙两门课程都不选有种，故甲、乙至少选修一门有种.12、分.13、作出可行域，当x=2，y=2时，x＋2y有最大值6.14、设圆心（x，0）(x>0)，则有，解得x=2(负根舍去)，故圆方程为.15、命题①，若，反之，若，则，所以是充分不必要条件，正确；命题②，，令，可得r=2，故常数项为第3项，错误；命题③，可求得，故为等比数列，正确；命题④，，因为－1≤x≤1，故，即k∈[－3，1]，错误.则正确的命题为①③.三、解答题17、(1)当M为CD的中点时，有AM//平面BCE．下面给予证明：延长EB、DA相交于F，连CF．∵AB//DE，且，∴B为EF的中点，A为DF的中点．当M为CD的中点时，由三角形中位线定理，有AM//CF．∵AM平面BCE，CF平面BCE，∴AM∥平面BCE．(2)∵△ACD为正三角形，∴AC=AD=AF，∴∠FCD=90°，即CF⊥CD．①∵AB⊥平面ACD，DE//AB，∴DE⊥平面ACD．∵CF平面ACD，∴DE⊥CF．②又CD∩DE=D，③由①②③，得：CF⊥平面CDE．∵CF平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．(3)由上知，平面BCE∩平面ACD=CF．∵A为DF的中点，∴取CF的中点G，则有AG//CD．∵CF⊥CD，∴AG⊥CF．∵AB⊥平面ACD，则AG为BG在平面ACD上的射影，∴由三垂线定理，有BG⊥CF．∴∠AGB为平面BCE与平面ACD所成的角．Rt△BAG中，AB⊥AG，AG=CD=AD=AB，∴∠AGB=45°，即平面BCE与平面ACD所成的锐二面角为45°．19、(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q(q>0)，由题设可知： ∵a 3=8，b 5=2log 4a 5，∴a 5=32．20、(1)设l：x=my＋b，代入y2=4x得：y2－4my－4b=0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2=4m，y1y2=－4b．。
2009年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}2．（5分）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是（）A．y=（x∈R，且x≠﹣）B．y=（x∈R，且x≠）C．y=（x∈R，且x≠1）D．y=（x∈R，且x≠﹣1）3．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n ﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2） D．（，2）5．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．366．（5分）设+a2n x2n，则[（a 0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．7．（5分）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，]D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9．（5分）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C10．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）已知关于x的不等式的解集，则实数a=．12．（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为．13．（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为km．（结果中保留反余弦的符号）．14．（5分）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为．15．（5分）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．17．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*）．（1）令b n=2n a n，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令c n=，试比较T n与的大小，并予以证明．20．（14分）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1、N1．（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．21．（14分）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（）A．{（1，1）}B．{（﹣1，1）}C．{（1，0）}D．{（0，1）}【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．2．（5分）（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是（）A．y=（x∈R，且x≠﹣）B．y=（x∈R，且x≠）C．y=（x∈R，且x≠1）D．y=（x∈R，且x≠﹣1）【分析】从条件中函数y=（x∈R，且x≠﹣）中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．【解答】解：由函数y=（x∈R，且x≠﹣）得：x=，∴函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是：y=（x∈R，且x≠﹣1）．故选D．3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（）A．B．C．D．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）=2mn+（n2﹣m2）i为实数所以n2=m2故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，所以，故选C．4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）A．（，﹣2）B．（，2）C．（，﹣2） D．（，2）【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）﹣2到y=﹣sin2x 的路线，进而确定向量．【解答】解：：∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=﹣sin2x∴=（，2）故选B．5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，顺序有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，两个相减得到结果．【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C42，元素还有一个排列，有A33种，而甲乙被分在同一个班的有A33种，∴满足条件的种数是C42A33﹣A33=30故选C．6．（5分）（2009•湖北）设+a2n x2n，则[（a 0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出A=a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，再令x=﹣1，可得到B=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A与B的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式+a2n x2n中得a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n=，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n=由平方差公式得（a0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2=（a0+a1+a2+a3+…a2n﹣1+a2n）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+…﹣a2n﹣1+a2n）═==所以[（a 0+a2+a4+…+a2n）2﹣（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）2]==0故选择B7．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（）A．K∈[﹣，]B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]C．K∈[﹣，]D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]【分析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c2=a2﹣b2求得b，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范围．【解答】解：根据题意，双曲线中，c2=2+2=4，则c=2，易得准线方程是x=±=±1所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3所以方程是联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0由△≤0解得k∈[﹣，]故选A8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，而球的表面积为S（t）=4πR2（t），=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），所以V表即V=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=表故选D10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n=n2，则由b n=n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解，故选C．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a=﹣2．【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．【解答】解：∵不等式，∴（ax﹣1）（x+1）＜0，又∵关于x的不等式的解集，∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，∴a×（﹣）﹣1=0，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．12．（5分）（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为64，数据落在（2，10）内的概率约为0.4．【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率=，计算频数即得．【解答】解：观察直方图易得数落在[6，10]内的频率=0.08×4；数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．故答案为64 0.4．13．（5分）（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为12800arccos km．（结果中保留反余弦的符号）．【分析】先求出球的半径，然后求出∠AOB的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A，B间的球面距离．【解答】解：如图所示，可得AO=42400，则在Rt△ABO中可得：cos∠AOB=，所以l=cosθ×R=2∠AOB•R=12800arccos．球面距离的最大值约为：12800arccos．故答案为：12800arccos．14．（5分）（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为1．【分析】利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=﹣sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．【解答】解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′（）=﹣1故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．15．（5分）（2009•湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为4，5，32．【分析】由题设知a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=，a6=1，∴a5=2，a4=4，有①②两种情况：①a3=1，a2=2，a1=4，即m=4；②a3=8，a2=16，有③④两种情况：③a1=5，即m=5；④a1=32，即m=32．故答案为：4，5，32．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．【分析】随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．【解答】解：随机变量η=x+y，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11得到P（η=5）=；P（η=6）=P（η=7）=；P（η=8）=P（η=9）=；P（η=10）=P（η=11）=∴η的分布列为η56789101 1P∴Eη=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=817．（12分）（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．（1）求向量的长度的最大值；（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．【解答】解：（1）=（cosβ﹣1，sinβ），则||2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．∵﹣1≤cosβ≤1，∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cosβ=﹣1时，有|b+c|=2，所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cosβ﹣1，sinβ），•（）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．∵⊥（），∴•（）=0，即cos（α﹣β）=cosα．由α=，得cos（﹣β）=cos，即β﹣=2kπ±（k∈Z），∴β=2kπ+或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1．18．（12分）（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD⊥平面ABCD，BD是BE在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理只要证AC⊥BD即可．（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，二面角C﹣AE﹣D的平面角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tanθ和tanφ，代入tanθ•tanφ=1，解方程即可．解法二：（向量法）因为DA．DC．DS两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．（Ⅱ）分别求出平面ACE的法向量、平面ABCD与平面ADE的一个法向量，由夹角公式求出cosθ和sinφ，再由tanθ•tanφ=1求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE、BD，由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD．∵SD⊥平面ABCD，∴BD是BE在平面ABCD上的射影，∴AC⊥BE（Ⅱ）解法1：如图1，由SD⊥平面ABCD知，∠DBE=φ，∵SD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴SD⊥CD．又底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，而SD∩AD=D，CD⊥平面SAD．连接AE、CE，过点D在平面SAD内作DF⊥AE于F，连接CF，则CF⊥AE，故∠CFD是二面角C﹣AE﹣D的平面角，即∠CFD=θ．在Rt△BDE中，∵BD=2a，DE=λa∴tanφ=在Rt△ADE中，∵，DE=λa∴AE=a从而DF=在Rt△CDF中，tanθ=．由tanθ•tanφ=1，得即=2，所以λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．（Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），∴，∴，即AC⊥BE．（Ⅱ）解法2：由（I）得，，．设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，得即取，得．易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与．∴，．∵0＜θ＜，λ＞0∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．19．（13分）（2009•湖北）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*）．（1）令b n=2n a n，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．（2）令c n=，试比较T n与的大小，并予以证明．【分析】（1）由题意知S1=﹣a1﹣1+2=a1，，所以2n a n=2n﹣1a n﹣1+1，b n=b n﹣1+1，再由b1=2a1=1，知数列b n是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（1）在中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即当n≥2时，所以所以，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1因为b n=2n a n，所以b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1又b1=2a1=1，所以数列b n是首项和公差均为1的等差数列于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2）由1）得所以①②由①﹣②得所以于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n＞2n+1下面用数学归纳法证明：当n=3时，显然成立假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1所以当n=k+1时，猜想也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立综上所述，当n=1，2时，，当n≥3时，20．（14分）（2009•湖北）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1、N1．（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任意的a＞0，都有S22=λS1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意，可设设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x 可得y2﹣2mpy﹣2ap=0利用根与系数的关系及点A（a，0）得出即可证明出结论；（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论【解答】解：依题意，可设直线MN的方程为x=my+a，M（x1，y1），N（x2，y2），则有M1（﹣a，y1），N1（﹣a，y2）．将x=my+a代入y2=2px（p＞0）消去x可得y2﹣2mpy﹣2ap=0从而有y1+y2=2mp，y1y2=﹣2ap ①于是x1+x2=m（y1+y2）+2a=2（m2p+a）②又由y12=2px1，y22=2px2可得x1x2===a2③（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A（，0）即为抛物线的焦点，l为其准线，其方程为x=﹣此时M1（﹣，y1），N1（﹣，y2）．并由①可得y1y2=﹣p2∵，∴=0，故有AM1⊥AN1；（Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a＞0，都有S22=4S1S3成立，证明如下：证：记直线l与x轴的交点为A1，则|OA|=|OA1|=a．于是有S1=|MM1||A1M1|=（x1+a）|y1|，S2=|M1N1||AA1|=a|y1﹣y2|，S3=|NN1||A1N1|=（x2+a）|y2|，∴S22=4S1S3⇔（a|y1﹣y2|））2=（（x1+a）|y1|）2 ×（（x2+a）|y2|）2 ⇔a2[（y1+y2）2﹣4y1y2]=[x1x2+a（x1+x2）+a2]|y1y2|将①、②、③代入上式化简可得a2（4m2p2+8ap）=4a2p（m2p+2a）上式恒成立，即对任意的a＞0，S22=4S1S3成立21．（14分）（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c ∈R是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）【分析】①由题意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因为在x=1处有极值得到f （1）=﹣，f′（1）=0求出b、c即可；（2）因为切线的斜率为c，则解出f′（t）=c时t的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范围即可．【解答】解：①依题意，解得或．若，，′（x）=﹣x2+2x﹣1=﹣（x﹣1）2≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；若，，f′（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以为所求．②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、，相应的切线为y=cx+bc或．解得x=0或x=3b；解即x3﹣3bx2+4b3=0得x=﹣b或x=2b．综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b ≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和、．③g（x）=|﹣（x﹣b）2+b2+c|．若|b|＞1，则f′（x）在[﹣1，1]是单调函数，M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|}={|﹣1+2b+c|，|﹣1﹣2b+c|}，因为f′（1）与f′（﹣1）之差的绝对值|f′（1）﹣f′（﹣1）|=|4b|＞4，所以M＞2．若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[﹣1，1]取极值，则M=max{|f′（﹣1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）﹣f′（±1）=（b∓1）2．若﹣1≤b＜0，f′（1）≤f′（﹣1）≤f′（b；若0≤b≤1，f′（﹣1）≤f′（1）≤f′（b），M=max{|f′（﹣1）|，|f′（b）|}=．当b=0，时，在[﹣1，1]上的最大值．所以，k的取值范围是．。
2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（九）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数的虚部为（）2、已知集合A={y|y=log2x，x＞1}，，则A∩B等于（）3、把函数y=log a x的图像按向量a=(2，3)平移，得到y=f(x)的图像，则f(x)的表达式为（）A．f(x)=log a(x－3)＋2B．f(x)=log a(x＋3)－2C．f(x)=log a(x－2)＋3D．f(x)=log a(x＋2)－34、设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；②若mβ，n是l在β内的射影，m⊥l，则m⊥n；③若mα，m∥n，则n∥α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题为（）A．①②B．①②③C．①②③④D．③④5、已知等比数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=215，且a9·a22＋a13·a18=4，则=（）A．230B．215C．D．2166、某医学院研究所研制了5种消炎药X1，X2，X3，X4，X5和4种退烧药T1，T2，T3，T4，现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效试验，又知X1和X2两种消炎药必须搭配使用，但X3和T4两种药不能搭配使用，则不同的试验方案有（）A．16种B．15种C．14种D．13种7、如图1所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到平面A1C1的距离是到直线BC的距离的2倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致形状为（）8、已知函数f(x)=x3－3x2＋2，x∈(0，2)的反函数为f－1(x)，则（）9、已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)<f(x)g′(x)，f(x)=a x g(x)，，在有穷数列(n=1，2，…，10)中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率是（）10、双曲线x2－y2=2的左、右焦点分别为F1，F2，点P n(x n，y n)(n=1，2，3，…)在其右F2|=|P n F1|，P1F2⊥F1F2，则x2008的值是（）支上，且满足|Pn＋1[提示]第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、一工厂生产某种产品，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，抽取产品280件，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数恰好组成一个公比为2的等比数列，则属于乙生产线的有__________件产品．12、已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量，则tanA·tanB=__________．13、已知x，y满足，则函数z=x－3y的最大值是__________．14、某学校对学生的身高进行统计，所以学生的身高近似服从正态分布N（160，25），已知所有学生中身高在153厘米以下的人数为202人，则该校总人数约为_________人．(参考数据：(1.3)=0.9032(1.4)=0.9192(1.9)=0.9713(2.0)=0.9772)15、设f(x)的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f(x)|≤M|x|对任意x∈R都成立，则称f(x)为F函数．①f(x)=0；②f(x)=x2；③；④；⑤f(x)是定义域为R的奇函数，且对任意的实数x1，x2，均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|．其中是F函数的序号为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)已知函数．(1)求f(x)的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f(α)=1，求α的值．17、(本小题满分12分)有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1，在其每一个侧面上(不在棱上)安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面．假定更换一个面需100元，用ξ表示维修一次的费用．(1)求面ABB1A1需要维修的概率；(2)写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．18、(本小题满分12分)已知数列{a n}满足a1=1，(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列{a n a n＋1}的前n项和S n．19、(本小题满分12分)如图2，直三棱柱A1B1C1—ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB．D，E分别为棱C1C，B1C1的中点．(1)求A1B与平面A1C1CA所成角的大小；(2)求二面角B—A1D—A的大小；(3)试在线段AC上确定一点F，使得EF⊥平面A1BD．20、(本小题满分13分)如图3，设抛物线C1：y2=4mx(m＞0)的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P．(1)当m=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；(2)在(1)的条件下，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由；(3)是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由．21、(本小题满分14分)如图4a所示，定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数A，都有f(x)≥A成立，则称函数f(x)在D上有下界，其中A称为函数的下界．(提示：图4a、图4b中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零)(1)试判断函数在(0，＋∞)上是否有下界?并说明理由；(2)又如具有图4b特征的函数称为在D上有上界．请你类比函数有下界的定义，给出函数f(x)在D上有上界的定义，并判断(1)中的函数在(－∞，0)上是否有上界?并说明理由；(3)若函数f(x)在D上既有上界又有下界，则称函数f(x)在D上有界，函数f(x)叫做有界函数．试探究函数(a>0，b>0，a，b是常数)是否是[m，n](m>0，n>0，m、n是常数)上的有界函数?试题答案一、选择题提示：1、，故虚部为.2、，所以A∩B=.3、根据向量平移公式易得f(x)=log a(x－2)＋3.4、垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；根据三垂线定理可得②正确；命题③中n可以在平面α内；命题④中α与β可以相交，如长方体共顶点的三个侧面；所以正确的是①②.5、，解得，所以.6、当消炎药中包含x1时，那么另一种必须是x2，此时消炎药只有1种取法，而退烧药可以任取，有4种；当消炎药包含x3时，退烧药不能选取T4，消炎药不能选取x1，x2，共有2×3=6种；当消炎药为x4，x5时，退烧药可以任选，有4种；故一共有4＋6＋4=14种.7、到平面A1C1的距离即是到直线A1B1的距离，到直线BC的距离即是到点B的距离，故等价于点P到点B的距离与到直线A1B1的距离之比为，所以点P的轨迹是椭圆的一部分，所以选C.8、，故函数f(x)在（0，2）上递减，而反函数值域就是原函数的定义域，由，可得.9、令，故h(x)=a x单调递减，所以0<a<1，又，则，其前n项和，由，故所求概率.10、|P n＋1F2|=|P n F1|=2a＋|P n F2|，则有|P n＋1F2|－|P n F2|=2a=，又可求得，所以，则，可得双曲线右准到右准线的距离为d，则有线方程为x=1，离心率，设点P2008，故x=4015＋1=4016.2008二、填空题答案：11、80 12、13、214、2500 15、①④⑤提示：11、设甲、乙、丙依次抽取a，2a，4a件，则有a＋2a＋4a=280，解得a=40，故属于乙生产线的有2×40=80件.12、故有，所以，化简得.13、如图所示，阴影部分为可行域，当目标函数过点时，z有最大值2.14、，故该校总人数约为202÷0.0808=2500人.15、①显然符合要求，取m>0即可，对于④，由|f(x)|≤M|x|，可得，因为，故只需即可，符合要求，对于⑤，令x2=－x1，可得|f(x)|≤2|x|，符合要求.②③中函数均无最大值，不合要求.二、解答题ξ0 100 200 300 400 500 600PEξ=100×6×=300（元）．19、解法一：(1)连接A1C．∵A1B1C1—ABC为直三棱柱，∴CC1⊥底面ABC，∴CC1⊥BC．∵AC⊥CB，∴BC⊥平面A1C1CA．∴∠BA1C为A1B与平面A1C1CA所成的角，，∴A1B与平面A1C1CA所成的角为．(2)分别延长AC，A1D交于G．过C作CM⊥A1G于M，连接BM．∵BC⊥平面ACC1A1，∴CM为BM在平面A1C1CA内的射影，∴BM⊥A1G，∴∠CMB为二面角B—A1D—A的平面角，在平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，∴CG=2，DC=1．在直角三角形CDG中，．即二面角B—AD—A的大小为．1(3)取线段AC的中点F，则EF⊥平面ABD．1证明如下：B1C1—ABC为直三棱柱，∴B1C1//BC，∵A1∵由(1)知BC⊥平面AC1CA，∴B1C1⊥平面A1C1CA，1C1CA内的射影为C1F，当F为AC的中点时，C1F⊥A1D，∵EF在平面A1D．∴EF⊥A1同理可证EF⊥BD，∴EF⊥平面ABD．1解法二：(1)同解法一．B1C1—ABC为直三棱柱，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别为C1C、B1C1(2)∵A1的中点．建立如图所示的坐标系得：C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(O，2，0)，C(0，0，2)，B1(2，0，2)，A1(0，2，2)，1D(0，0，1)，E(1，0，2)．21、(1)∵f′(x)=3x2－，由f′(x)=0得3x2－=0，x4=16，∵x∈(0，＋∞)，∴x=2，∵当0<x<2时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0，2)上是减函数；当x>2时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数；∴x=2是函数f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值点，f(x)=f(2)=8＋=32，min∴对x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥32，即在区间(0，＋∞)上存在常数A=32，使得对任意x∈(0，＋∞)都有f(x)≥A成立，∴函数f(x)=x3＋在(0，＋∞)上有下界．(2)类比函数有下界的定义，函数有上界可以这样定义：定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数B，都有f(x)≤B成立，则称函数f(x)在D上有上界，其中B称为函数的上界．设x<0，则－x>0，由(1)知，对x∈(0，＋∞)，都有f(x)≥32，∴f(－x)≥32，∵函数f(x)= x3＋为奇函数，∴f(－x)=－f(x)，∴－f(x)≥32，∴f(x)≤－32，即存在常数B=－32，对x∈(－∞，0)，都有f(x)≤B，∴函数f(x)= x3＋在(－∞，0)上有上界．。
2009届黄冈中学高考模拟试卷数（理科）（十）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、满足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的个数是（）A．1B．2C．3D．43、为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图1：根据图1可得这100名学生体重在[56.5，64.5)的学生人数是（）A．20B．30C．40D．504、设l，m，n是空间三条互相不重合的直线，α，β是空间两个不重合的平面，则下列结论中：①当mα，且nα时，“n∥m”是“n∥α”的充要条件．②当mα时，“m⊥β”是“α⊥β”的充要条件．③当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件．④当mα且n是l在α内的射影时，“m⊥n”是“l⊥m”的充要条件．正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、设定义域为R函数f(x)满足f(－x)=－f(x＋4)，且当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x<4且(x1－2)(x2－2)<4，则f(x1)＋f(x2)的值（）2A．恒小于0B．恒大于0C．可能为0D．可正可负6、设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，若且，则双曲线的离心率为（）7、将红、黑、白三个棋子放入如图2所示的小方格内，每格内只放一个，且3个棋子既不同行也不同列，则不同的放法有（）A．576种B．288种C．144种D．96种8、已知双曲线C：(a>0，b>0)满足条件：①焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)；②离心率为，求得双曲线C的方程为f(x，y)=0．若去掉条件②，另加一个条件求得双曲线C的方程仍为f(x，y)=0，则下列四个条件中，符合添加要求的条件共有（）|－|PF2||=6；①双曲线C：上的任意点P都满足||PF1②双曲线C：的一条准线为；③双曲线C：上的点P到左焦点的距离与到右准线的距离比为；④双曲线C：的渐近线方程为4x±3y=0．A．1个B．2个C．3个D．4个9、如图3所示,已知D是面积为1的△ABC的边AB上任一点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF,设，记△BDF的面积为S=f(λ1，λ2，λ3)，则S的最大值是（）10、一次研究性课堂上，老师给出函数(x∈R)，三位同学甲、乙、丙探究此函数时分别给出命题：甲：函数f(x)的值域为(－1，1)；乙：若x1≠x2，则一定有f(x1)≠f(x2)；丙：若规定f1(x)=f(x)，f n(x)=f[f n－1(x)]，则对任意n∈N*恒成立．你认为上述三个命题中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、若(x2＋1)(2x＋1)9－x=a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11=__________．12、四面体ABCD的外接球球心在CD上，且CD=2，，在外接球面上A，B 两点间的球面距离是__________．13、已知变量x，y满足，若目标函数z=ax＋y(a＞0)在(4，2)处取得最大值，则a的取值范围是__________．14、如图4，抛物线y=－x2＋1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2，…，Q n－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1，△Q2P1P2，…，△Q n－1P n－2P n－1．当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为_________．（注：）15、下面有五个命题：①函数y=sin4x－cos4x的最小正周期是π．②终边在y轴上的角的集合是．③在同一坐标系中，函数y=sinx的图像和函数y=x的图像有三个公共点．④把函数的图像向右平移得到y=3sin2x的图像．⑤函数在[0，π]上是减函数．其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)已知向量a=(cosx，sinx)，b=(－cosx，cosx)，c=(－1，0)．(1)若，求向量a，c的夹角；(2)当时，求函数f(x)=2a·b＋1的最大值．17、(本小题满分12分)有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一排组成．设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数．(1)求P(ξ=2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的数学期望．18、(本小题满分13分)设函数f(x)=2ax3－(6a＋3)x2＋12x(a∈R)．(1)当a=1时，求函数f(x)的极大值和极小值；(2)若函数f(x)在区间(－∞，1)上是增函数，求实数a的取值范围．19、(本小题满分12分)如图5，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，且PA=AB=1，BC=2．(1)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；(2)在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG的值；若不存在，请说明理由．20、(本小题满分13分)设直线l：y=x＋m，双曲线E：，双曲线E的离心率为，l与E交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点，且．(1)证明：4a2=m2＋3；(2)求双曲线E的方程；(3)若点F是双曲线E的右焦点，M，N是双曲线上两点，且，求实数λ的取值范围．21、(本小题满分14分)设函数f(x)满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)＝f(x)·f(y)－f(y)－x＋2．(1)求f(x)的解析式；}满足：a n＋1=3f(a n)－1(n∈N*)，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{an(3)求证：，(n∈N*)．试题答案选择题提示：1、，对应的点位于第二象限.2、M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}.3、所求学生人数是(0.03×2＋0.05×4＋0.07×2)×100=40人.4、①中应是充分不必要条件，错误；②中应是充分不必要条件，错误；③正确；④正确.5、函数f(x)满足f(－x)=－f(x＋4)，∴f(4－x)=－f(x)，由x1＋x2<4且(x1－2)(x2－2)<4，不妨设x1<x2，∴x1<2<x2<4－x1，又当x>2时，f(x)单调递增，∴f(x1)＋f(x2)<f(x1)＋f(4－x1)=0，故选A.6、可得，联立可得，即.7、首先放第一枚棋子，有16种放法，第二枚棋子和第一枚棋子不同行也不同列，有9种放法，第三枚和前面两枚不同行也不同列，有4种放法，故不同的放法有16×9×4=576种.8、可得双曲线方程为，即有a=3，b=4，c=5，故①④符合要求.9、，故即，所以，10、当x>0时，，当x<0时，，当x=0时，f(x)=0，故函数值域为（－1，1），甲正确；又f(x)是单调函数，乙正确；根据递推公式易得丙也是正确的.二、填空题答案：11、－1 12、13、a>1 14、15、①④提示：11、令x=－1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a11=－1.12、可得外接球球心为CD的中点，设为O，则有OA=OB=1，故，所以A，B两点间的球面距离是.13、根据图像易得，直线y=－ax的斜率必须小于直线x＋y=6的斜率，故－a<－1，a>1.14、可得，所以所以三角形面积之和故.15、，最小正周期为π，①正确；终边在y轴上的角的集合是，②错误；令f(x)=sinx－x，则，故f(x)在R上单调递减，图像与x轴有唯一公共点，所以y=sinx的图像与y=x的图像有一个公共点，③错误；函数的图像向右平移得到，④正确；函数在[0，π]上是增函数，⑤错误.三、解答题17、(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码．(2)由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形．若ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2，则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4．18、(1)当a=1时，f(x)=2x3－9x2＋12x．∴f′(x)=6x2－18x＋12=6(x2－3x＋2)．令f′(x)=0，得x1=1，x2=2．列表如下：∴f(x)的极大值为f(1)=5，f(x)的极小值为f(2)=4．(2)f′(x)=6ax2－(12a＋6)x＋12=6[ax2－(2a＋1)x＋2]=6(ax－1)(x－2)．①若a=0，则f(x)=－3x2＋12x，此函数在(－∞，2)上单调递增，满足题意．②若a≠0，则令f′(x)=0，得x1=2，，由已知，f(x)在区间(－∞，1)上是增函数，即当x＜1时，f′(x)≥0恒成立．若a＞0，则只须，即0＜a≤1；若a＜0，则，当时，f′(x)＜0，则f(x)在区间(－∞，1)上不是增函数．综上所述，实数a的取值范围是[0，1]．19、以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）．21、(1)解法1：∵f(0)=1．∴令x=y=0，得f(1)=f(0)f(0)－f(0)－0＋2=2再令y=0得f(1)=2=f(x)f(0)－f(0)－x＋2，所以f(x)=x＋1，x∈R．解法2：∵对任意x，y∈R，都有f(xy＋1)=f(x)f(y)－f(y)－x＋2，∴f(xy ＋1)=f(y)f(x)－f(x)－y ＋2， ∴－f(y)－x=－f(x)－y ，即f(x)=f(y)＋x －y 令y=0，得f(x)=f(0)＋x=x ＋1．(2)∵f(x)=x ＋1，∴a n ＋1=3f(a n )－1=3(a n ＋1)－1=3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1=3(a n ＋1)，又a 1＋1=2， ∴数列{a n ＋1}是公比为3的等比数列， ∴a n ＋1=2·3n －1，即a n =2·3n －1－1．。
2009届黄冈中学高考模拟试卷数学(理科)(一)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若{x|x2＋x＋m≤0，m∈R}，则m的取值范围是（）A．（－∞，]B．（－∞，）C．[，＋∞）D．（，＋∞）2、在下列函数中，图像关于直线对称的是（）3、在等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7=39，a3＋a6＋a9=27，则数列{a n}的前9项之和S9等于（）A．66B．99C．144D．2974、若a>b>1，，则（）A．R<P<Q B．P<Q<RC．Q<P<R D．P<R<Q5、对任意实数x，不等式asinx＋bcosx＋c>0(a，b，c∈R)恒成立的充要条件是（）6、设椭圆的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点（，0）分成5︰3的两段，则此椭圆的离心率为（）7、有一个正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图1所示．如果记3的对面的数字为m，4的对面的数字为n，那么m＋n 的值为（）A．3B．7C．8D．118、若α，β是两个不重合的平面，给定以下条件：①α，β都垂直于平面γ；②α内不共线的三点到β的距离相等；③l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；④l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．其中可以判定α∥β的是（）A．①②B．②③C．②④D．④9、已知平面向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若|a|=2，|b|=3，a·b=－6，则的值为（）10、在三棱锥A－BCD内部有2009个点，加上A、B、C、D四个顶点，共有2013个点，且这2013个点任意三点不共线，任意四点不共面，把这2013个点连线，将三棱锥A－BCD分割成以这些点为顶点，且互不重叠的小三棱锥，则小三棱锥的个数为（）A．6028B．6027C．6018D．6015第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)=，则f(x)=_________．12、函数f(x)=alnx＋bx2＋6x在x=1和x=2处有极值，则函数f(x)在区间[，3]上取得最小值时，对应的x的值为_________．13、已知点P(x，y)在圆(x－2cosα)2＋(y－2sinα)2=16上运动，当角α变化时，点P(x，y)运动区域的面积为_________．14、在三棱锥A－BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB 的面积分别为，则三棱锥A－BCD外接球的体积为_________．15、已知方程x2＋(a＋2)x＋1＋a＋b=0的两根为x1、x2，且0<x1<1<x2，则的取值范围是_________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)一个电视节目要求参加者回答A、B两个问题．若没有正确回答任何一个问题，则赠送价值20元的纪念品；若正确回答其中的一个问题，则赠送价值100元的礼品；若两个问题都回答正确，则赠送价值400元的礼品．某观众应邀参加这个节目．已知该观众正确回答A问题的概率是0.75，正确回答B问题的概率是0.2．(1)求该观众正确回答的问题的个数ξ的分布列；(2)求该观众参加这个节目获得物品的价值η的数学期望．17、(本小题满分12分)在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边的边长分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．(1)求∠B的取值范围；(2)若关于∠B的不等式恒成立，求m的取值范围．18、(本小题满分12分)如图2，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB=AC=4，∠BAC ＝90°，D为侧面ABBA1的中心，E为BC的中点．1(1)求证：平面DB1E⊥平面BCC1B1；(2)求异面直线A1B与B1E所成的角；(3)求点C1到平面DB1E的距离．19、(本小题满分13分)已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，，∠BAF=150°．(1)求双曲线的方程；(2)设Q是双曲线上的一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的斜率．20、(本小题满分13分)已知二次函数f(x)=ax2＋bx，f(x＋1)为偶函数，函数f(x)的图像与直线y=x相切．(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)=[f(x)－k]x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，那么：①求k的取值范围；②是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．21、(本小题满分14分)已知数列{a n}满足(n∈N*)，且0<a1<1．(1)求证：0<a n<1；(2)若b n=lg(1－a n)，且，求无穷数列所有项的和；(3)对于n∈N*，且n≥2，求证：试题答案一、选择题提示：1、.2、在处取得最值即可，选C.3、a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列，所以a2＋a5＋a8=，故S9=39＋33＋27=99.4、，，综合得P<Q<R.5、不等式等价于恒成立，只需即可，故.6、.7、1的对面为5，3的对面为6，2的对面为4，所以m＋n=6＋2=8.8、①错误，如正方体同一个顶点出发的三个侧面，两两垂直.②错误，也可以是相交，此时有两点在平面β的一侧，另一点在平面β的另一侧.③错误，只有在l，m相交的情况下才有α∥β.9、因为a·b=－|a||b|，故a与b反向共线，可设b=λa(λ<0)，又，解得，故.10、在三棱锥中放入1个点，可以分割成4个小三棱锥，即a1=4，再在任意一个小=7，同理，当放入n个三棱锥中放入1个点，可以分割成4－1＋4=7个小三棱锥，故a2=3n＋1，将n=2009代入可得a2009=3×2009点时，有，则可得an＋1=6028.二、填空题答案：11、12、313、32π14、15、（－2，）提示：11、，联立解得.12、，由，解得，则，由，故函数在上递减，在（1，2）上递增，又f(1)=5，f(3)=9－4ln3<5，故在x=3处取得最小值.13、圆心在圆x2＋y2=4上运动，故点P构成图形的面积是圆x2＋y2=4与圆x2＋y2=36所夹圆环的面积，.14、以AB、AC、AD为棱构造长方体，设AB=a，AC=b，AD=c，则有，故长方体外接球半径，而长方体与三棱锥的外接球相同，故外接球体积.15、令f(x)=x2＋(a＋2)x＋1＋a＋b，则，作出可行域，表示可行域内的点与原点连线的斜率，易得.三、解答题16、(1)∵P(ξ=0)=(1－0.75)×(1－0.2)=0.2，P(ξ=1)=0.75×(1－0.2)＋(1－0.75)×0.2=0.65，P(ξ=2)=0.75×0.2=0.15，∴该观众正确回答的问题的个数ξ的分布列为：(2)Eη=0.2×20＋0.65×100＋0.15×400=129．17、18、18、(1)连接AE．∵AB=AC，且E为BC的中点，∴AE⊥BC．∵BB1⊥平面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥平面BCC1B1，∴平面DB1E⊥平面BCC1B1．(2)延长AB至F，使AB=BF，连接B1F，EF．在△EBF中，EF2=BF2＋BE2－2BE·BF·cos135°=40．B1E2=BB12＋BE2=24，B1F2=B1B2＋BF2=B1B2＋AB2=AB12=32．在△EB1F中，∵B1F∥A1B，∴∠EB1F即为异面直线A1B与B1E所成的角．故异面直线A1B与B1E所成的角为．(3)作C1H⊥B1E于H．∵平面DB1E⊥平面BCC1B1，∴C1H⊥平面DB1E，∴C1H的长即为点C1到平面DB1E的距离．∵△C1HB1∽△B1BE，故点C1到平面DB1E的距离为．20、(1)∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)=f(x＋1)，即a(－x＋1)2＋b(－x＋1)=a(x＋1)2＋b(x＋1)恒成立，即(2a＋b)x=0恒成立，∴2a＋b=0，∴b=－2a，∴f(x)=ax2－2ax．∵函数f(x)的图像与直线y=x相切，∴二次方程ax2－(2a＋1)x=0有两个相等实数根，∴△=(2a＋1)2－4a×0=0，(2)①．∵g(x)在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴g′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，故k的取值范围为．21、(1)运用数学归纳法证明如下：<1，∴0<a n<1成立．①当n=1时，∵0<a1②假设当n=k(k≥1，k∈N*)时，0<a n<1成立，即0<a k<1．当n=k＋1时，a=＋2a k=－(a k－1)2＋1．k＋1<1，∴－1<a k－1<0，∴0<(a k－1)2<1，∵0<ak∴－1<－(a－1)2<0，∴0<－(a k－1)2＋1<1，即0<a k＋1<1．k<1也成立．这就是说，当n=k＋1时，0<an<1恒成立．根据①、②知，对任意n∈N*，不等式0<an。
2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m （0，1），m ∈R}，Q={|=（1，1）+n （﹣1，1），n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q=（ ） A ．{（1，1）} B ．{（﹣1，1）} } C C ．{（1，0）} D ．{（0，1）} 2．（5分）（2009•湖北）设a 为非零实数，函数y=（x ∈R ，且x ≠﹣）的反函数是（ ） A ．y=（x ∈R ，且x ≠﹣） B ．y=（x ∈R ，且x ≠）C ．y=（x ∈R ，且x ≠1） D ．y=（x ∈R ，且x ≠﹣1）3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n ，则复数（m+ni ）（n ﹣mi ）为实数的概率为（）为实数的概率为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos （2x+）﹣2的图象F 按向量平移到F ʹ，F ʹ的函数解析式为y=f （x ），当y=f （x ）为奇函数时，向量a 可以等于（可以等于（ ） A ．（，﹣2）B ．（，2） C ．（，﹣2） D ．（，2）5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36 6．（5分）（2009•湖北）设+a 2n x 2n，则[（a 0+a 2+a 4+…+a 2n ）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1）2]=（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．7．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ） A ．K ∈[﹣，] B ．K ∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞] C ．K ∈[﹣，] D ．K ∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）花的最少运输费用为（A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．则球的表面积的增长速度与球半径．A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C C．成反比，比例系数为C C D D．成反比，比例系数为2C 10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）方形数的是（A．289 B．1024 C．1225 D．1378 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2009•湖北）已知关于x的不等式的解集，则实数a=．12．（5分）（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布）内的概率约为 ．内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约为直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为13．（5分）（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已知地球半径约为6400km，覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km．（结果中保留反余弦则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为的符号）．14．（5分）（2009•湖北）已知函数f（x）=fʹ（）cosx+sinx，则f（）的值为）的值为 ．15．（5分）（2009•湖北）已知数列{a n}满足：a1=m（m为正整数），a n+1=若a6=1，则m所有可能的取值为所有可能的取值为 ．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（10分）（2009•湖北）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．的分布列和数学期望．17．（12分）（2009•湖北）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．的长度的最大值；（1）求向量的长度的最大值；的值．（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．18．（12分）（2009•湖北）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE （Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．的值．19．（13分）（2009•湖北）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣（）n﹣1+2（n∈N*）．（1）令b n=2na n，求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式．的通项公式．（2）令c n=，试比较T n与的大小，并予以证明．的大小，并予以证明．20．（14分）（2009•湖北）过抛物线y2=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M1、N1．（Ⅰ）当a=时，求证：AM1⊥AN1；（Ⅱ）记△AMM1、△AM1N1、△ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在λ，使得对任的值，否则说明理由．意的a＞0，都有S22=λS1S3成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．21．（14分）（2009•湖北）在R上定义运算：（b、c∈R 是常数），已知f1（x）=x2﹣2c，f2（x）=x﹣2b，f（x）=f1（x）f2（x）．①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；的值；②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；的切线与该曲线的公共点；③记g（x）=|fʹ（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k 的取值范围．（参考公式：x3﹣3bx2+4b3=（x+b）（x﹣2b）2）2009年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）分）【考点】交集及其运算．计算题．【专题】计算题．【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个集合的公共元素，通过列方程组解得．元素，通过列方程组解得．【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，再由交集的含义，有⇒，所以选A．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）分）【考点】反函数．【专题】计算题．计算题．【分析】从条件中函数y=（x∈R，且x≠﹣）中反解出x，再将x，y互换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．【解答】解：由函数y=（x∈R，且x≠﹣）得：）得：x=，）的反函数是：∴函数y=（x∈R，且x≠﹣）的反函数是：y=（x∈R，且x≠﹣1）．故选D．【点评】求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f （x ）反求出x=Ф（y ）；（2）交换x=Ф（y ）中x 、y 的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．3．（5分）分）【考点】复数的基本概念；古典概型及其概率计算公式． 【专题】计算题．计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi （a ，b ∈R ）的形式，虚部为0，求出m 、n 的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．【解答】解：因为（m+ni ）（n ﹣mi ）=2mn+（n 2﹣m 2）i 为实数所以n 2=m 2故m=n 则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，种可能， 所以，故选C ．【点评】本题考查复数的基本概念，本题考查复数的基本概念，古典概型及其概率计算公式，古典概型及其概率计算公式，古典概型及其概率计算公式，考查分析问题解决问题的考查分析问题解决问题的能力，是基础题．能力，是基础题． 4．（5分）分）【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；余弦函数的奇偶性． 【专题】计算题．计算题． 【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos （2x+）﹣2到y=﹣sin2x 的路线，进而确定向量．【解答】解：：∵y=cos （2x+）﹣2∴将函数y=cos （2x+）﹣2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos （2x+）=﹣sin2x ∴=（，2）故选B ．【点评】本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意向量的平移的方向．减．注意向量的平移的方向． 5．（5分）分）【考点】排列、组合的实际应用． 【专题】计算题．计算题． 【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C 42，顺序有A 33种，而甲乙被分在同一个班的有A 33种，两个相减得到结果．两个相减得到结果．【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C 42，元素还有一个排列，有A 33种，种，而甲乙被分在同一个班的有A 33种，种，∴满足条件的种数是C 42A 33﹣A 33=30 故选C ．【点评】本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题，这种题目是排列组合中经常出现的一个问题．这种题目是排列组合中经常出现的一个问题． 6．（5分）分）【考点】二项式定理的应用． 【专题】计算题．计算题． 【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项的系数和的平方的差，故可以把x 赋值为1代入二项展开式中，求出A=a 0+a 1+a 2+a 3+…a 2n ﹣1+a 2n =，再令x=﹣1，可得到B=a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+…﹣a 2n ﹣1+a 2n =，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A 与B 的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．后由平方差公式即可化简为求得答案．【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式+a 2n x 2n中得中得a 0+a 1+a 2+a 3+…a 2n ﹣1+a 2n =，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+…﹣a 2n ﹣1+a 2n =由平方差公式由平方差公式得（a 0+a 2+a 4+…+a 2n ）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1）2=（a 0+a 1+a 2+a 3+…a 2n ﹣1+a 2n ）（a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+…﹣a 2n ﹣1+a 2n ）═==所以[（a0+a 2+a 4+…+a 2n ）2﹣（a 1+a 3+a 5+…+a 2n ﹣1）2]==0 故选择B 【点评】本题主要考查了二项式定理的应用问题，本题主要考查了二项式定理的应用问题，主要是二项式系数和差的考查，主要是二项式系数和差的考查，主要是二项式系数和差的考查，并兼顾考并兼顾考查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题．查了学生的计算能力与划归能力以及求极限问题． 7．（5分）分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；双曲线的简单性质． 【专题】计算题．计算题．【分析】先求得准线方程，可推知a 和b 的关系，进而根据c 2=a 2﹣b 2求得b ，椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y ，根据判别式小于等于0求得k 的范围．的范围． 【解答】解：根据题意，双曲线中，c 22=2+2=4，则c=2，易得准线方程是x=±=±1 所以c2=a2﹣b2=4﹣b2=1即b2=3 所以方程是联立y=kx+2可得（3+4k2）x2+16kx+4=0 由△≤0解得k∈[﹣，]故选A 【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是先根据椭圆的性质求出椭圆的方程．椭圆的方程．8．（5分）分）【考点】简单线性规划的应用．计算题；压轴题；数形结合．【专题】计算题；压轴题；数形结合．【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值元，根据题意，【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件的最小值．求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．【点评】在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．9．（5分）分）【考点】球的体积和表面积．计算题；应用题；压轴题．【专题】计算题；应用题；压轴题．推出，利【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．【解答】解：由题意可知球的体积为，则c=V ʹ（t ）=4πR 2（t ）R ʹ（t ），由此可得，而球的表面积为S （t ）=4πR 22（t ），所以V 表=S ʹ（t ）=4πR 2（t ）=8πR （t ）R ʹ（t ），即 V 表=8πR （t ）R ʹ（t ）=2×4πR （t ）R ʹ（t ）=故选D 【点评】本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．10．（5分）分）【考点】数列的应用；归纳推理． 【专题】计算题；压轴题；新定义．计算题；压轴题；新定义．【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，再根据通项公式的特点排除，再根据通项公式的特点排除，即可即可求得结果．求得结果．【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n =n 2， 则由b n =n 2（n ∈N +）可排除D ，又由，与无正整数解，无正整数解，故选C ．【点评】考查学生观察、考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的分析和归纳能力，并能根据归纳的结果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题．特性的分析，属中档题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）分）【考点】其他不等式的解法． 【专题】计算题．计算题． 【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣是方程ax ﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．的一个根，最后利用方程的思想求解即得． 【解答】解：∵不等式，∴（ax ﹣1）（x+1）＜0， 又∵关于x 的不等式的解集，∴x=﹣是方程ax ﹣1=0的一个根，的一个根， ∴a ×（﹣）﹣1=0， ∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本小题主要考查分式不等式的解法等基础知识，本小题主要考查分式不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查函数方程考查函数方程思想、化归与转化思想．属于基础题．思想、化归与转化思想．属于基础题． 12．（5分）分）【考点】频率分布直方图． 【专题】计算题；压轴题．计算题；压轴题．【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，再由频率=，计算频数即得．，计算频数即得．【解答】解：观察直方图易得解：观察直方图易得数落在[6，10]内的频率=0.08×4；数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4． 故答案为64 0.4． 【点评】本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，同时考查频率、频数的关系：频率=．13．（5分）分）【考点】球面距离及相关计算． 【专题】计算题．计算题．【分析】先求出球的半径，然后求出∠AOB 的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点A ，B 间的球面距离．间的球面距离．【解答】解：如图所示，可得AO=42400， 则在Rt △ABO 中可得：中可得： cos ∠AOB=，所以所以l=cos θ×R=2∠AOB •R=12800arccos ． 球面距离的最大值约为：12800arccos ．故答案为：12800arccos．【点评】本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题． 14．（5分）分）【考点】导数的运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题．计算题；压轴题．【分析】利用求导法则：（sinx ）ʹ=cosx 及（cosx ）ʹ=﹣sinx ，求出f ʹ（x ），然后把x 等于代入到f ʹ（x ）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f ʹ（）的值，把f ʹ（）的值代入到f （x ）后，把x=代入到f （x ）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f （）的值．）的值．【解答】解：因为f ʹ（x ）=﹣f ʹ（）•sinx+cosx 所以f ʹ（）=﹣f ʹ（）•sin+cos解得f ʹ（）=﹣1 故f （）=f ʹ（）cos+sin=（﹣1）+=1 故答案为1．【点评】此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．式求自变量所对应的函数值，是一道中档题． 15．（5分）分）【考点】数列递推式． 【专题】压轴题．压轴题．【分析】由题设知a 5=2，a 4=4，有①②两种情况：①a 3=1，a 2=2，a 1=4，即m=4；②a3=8，a 2=16，有③④两种情况：③a 1=5，即m=5；④a 1=32，即m=32． 【解答】解：∵数列{a n }满足：a 1=m （m 为正整数）， a n+1=，a 6=1，∴a 5=2，a 4=4，有①②两种情况：两种情况： ①a 3=1，a 2=2，a 1=4，即m=4；②a 3=8，a 2=16，有③④两种情况：两种情况： ③a 1=5，即m=5； ④a 1=32，即m=32． 故答案为：4，5，32． 【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（10分）分）【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】计算题．计算题．【分析】随机变量η=x+y ，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11，结合变量对应的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．的事件，根据相互独立事件同时发生的概率做出概率的值，写出分布列和期望．【解答】解：随机变量η=x+y ，依题意η的可能取值是5，6，7，8，9，10，11 得到P （η=5）=； P （η=6）=P （η=7）=； P （η=8）= P （η=9）=； P （η=10）=P （η=11）=∴η的分布列为的分布列为 η 5 6 7 8 9 10 11 P ∴E η=5×+6×+7×+8×+9×+10×+11×=8 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目．查利用概率知识解决实际问题，本题是一个综合题目． 17．（12分）分）【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系． 【专题】计算题．计算题．【分析】（1）利用向量的运算法则求出，利用向量模的平方等于向量的平方求出的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值．的平方，利用三角函数的平方关系将其化简，利用三角函数的有界性求出最值． （2）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用向量垂直的充要条件列出方程，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，利用两角差的余弦公式化简得到的等式，求出值．求出值． 【解答】解：（1）=（cos β﹣1，sin β），则，则||2=（cos β﹣1）2+sin 2β=2（1﹣cos β）．∵﹣1≤cos β≤1， ∴0≤||2≤4，即0≤||≤2．当cos β=﹣1时，有|b+c|=2， 所以向量的长度的最大值为2．（2）由（1）可得=（cos β﹣1，sin β），•（）=cos αcos β+sin αsin β﹣cos α=cos （α﹣β）﹣cos α． ∵⊥（），∴•（）=0，即cos （α﹣β）=cos α．由α=，得cos （﹣β）=cos ，即β﹣=2k π±（k ∈Z ），∴β=2k π+或β=2k π，k ∈Z ，于是cos β=0或cos β=1．【点评】本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、本题考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件；三向量垂直的充要条件；三角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．角函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式．18．（12分）分）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；直线与平面所成的角；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题．计算题；证明题． 【分析】解法一：（几何法）（Ⅰ）因为SD ⊥平面ABCD ，BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，由三垂线定理只要证AC ⊥BD 即可．即可．（Ⅱ）先找出θ和φ，因为由SD ⊥平面ABCD 知，∠DBE=φ，二面角C ﹣AE ﹣D 的平面角可由三垂线定理法作出．角可由三垂线定理法作出．再用λ表示出tan θ和tan φ，代入tan θ•tan φ=1，解方程即可．，解方程即可． 解法二：（向量法）因为DA ．DC ．DS 两两垂直，故可建立空间直角坐标系，由向量法求解．解．（Ⅰ）写出向量和的坐标，只要数量积为0即可．即可．（Ⅱ）分别求出平面ACE 的法向量、平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量，由夹角公式求出cos θ和sin φ，再由tan θ•tan φ=1求解即可．求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）证法1：如图1，连接BE 、BD ，由地面ABCD 是正方形可得AC ⊥BD ． ∵SD ⊥平面ABCD ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影，∴AC ⊥BE （Ⅱ）解法1：如图1，由SD ⊥平面ABCD 知，∠DBE=φ， ∵SD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SD ⊥CD ．又底面ABCD 是正方形，∴CD ⊥AD ，而SD ∩AD=D ，CD ⊥平面SAD ．连接AE 、CE ，过点D 在平面SAD 内作DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CFD 是二面角C ﹣AE ﹣D 的平面角，即∠CFD=θ．在Rt △BDE 中，∵BD=2a ，DE=λa ∴tan φ=在Rt △ADE 中，∵，DE=λa ∴AE=a从而DF=在Rt △CDF 中，tan θ=．由tan θ•tan φ=1，得即=2，所以λ2=2．由0＜λ≤2，解得，即为所求．，即为所求．轴的正方向建立如 （Ⅰ）证法2：以D为原点，以DA．DC．DS的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如所示的空间直角坐标系，则图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（0，0，λa），∴，∴，即AC⊥BE．（Ⅱ）解法2：由（I）得，，．设平面ACE的法向量为n=（x，y，z），则由，得即取，得．的一个法向量分别为易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与．∴，．∵0＜θ＜，λ＞0 ∴tanθ•tanφ=1⇔θ+φ=⇔sinφ=cosθ⇔⇔λ2=2．，即为所求．由0＜λ≤2，解得，即为所求．空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻【点评】本题考查空间线线垂直的证明、本题考查空间线线垂直的证明、空间垂直之间的相互转化、空间角的求解，考查逻辑推理能力和运算能力．辑推理能力和运算能力．19．（13分）分）【考点】数列递推式；数列的求和；等差数列的性质；数学归纳法．【分析】（1）由题意知S1=﹣a1﹣1+2=a1，，所以2n a n=2n﹣1a n﹣1+1，b n=b n﹣1+1，再由b1=2a1=1，知数列b n是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2），，利用错位相减求和法可知，于是确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．猜想当n=1，2时，2n＜2n+1，当n≥3时，2n n＞2n+1．然后用数学归纳法证明．．然后用数学归纳法证明．【解答】解：（1）在中，令n=1，可得S1=﹣a1﹣1+2=a1，即当n≥2时，所以所以，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1 因为b n=2n a n，所以b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1 又b1=2a1=1，所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列的等差数列于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，所以（2）由1）得所以①②由①﹣②得所以于是确定T n 与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．的大小．猜想当n=1，2时，2n ＜2n+1，当n ≥3时，2n ＞2n+1 下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明： 当n=3时，显然成立时，显然成立假设当n=k （k ≥3）时，2k＞2k+1成立成立则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k ﹣1）＞2（k+1）+1 所以当n=k+1时，猜想也成立．时，猜想也成立．于是，当n ≥3，n ∈N *时，2n＞2n+1成立成立 综上所述，当n=1，2时，，当n ≥3时，【点评】本题考查当数列的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，解题时要注意数学归纳法的解题过程．解题时要注意数学归纳法的解题过程．20．（14分）分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想．综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想． 【分析】（Ⅰ）（Ⅰ） 由题意，可设设直线MN 的方程为x=my+a ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有M 1（﹣a ，y 1），N 1（﹣a ，y 2）．将x=my+a 代入y 2=2px （p ＞0）消去x 可得y 2﹣2mpy ﹣2ap=0利用根与系数的关系及点A （a ，0）得出即可证明出结论；即可证明出结论；（Ⅱ）假设存在λ=4，使得对任意的a ＞0，都有S 22=4S 1S 3成立，分别表示出三个三角形的面积，代入验证即可证明出结论面积，代入验证即可证明出结论【解答】解：依题意，可设直线MN 的方程为x=my+a ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有M 1（﹣a ，y 1），N 1（﹣a ，y 2）． 将x=my+a 代入y 2=2px （p ＞0）消去x 可得y 2﹣2mpy ﹣2ap=0 从而有y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=﹣2ap ①于是x 1+x 2=m （y 1+y 2）+2a=2（m 2p+a ） ②又由y 12=2px 1，y 22=2px 2可得x 1x 2===a 2③（Ⅰ）证：如图，当a=时，点A （，0）即为抛物线的焦点，）即为抛物线的焦点，l 为其准线，其方程为x=﹣此时M 1（﹣，y 1），N 1（﹣，y 2）．并由．并由 ①可得y 1y 2=﹣p 2∵，∴=0，故有，故有 AM 1⊥AN 1；（Ⅱ）存在λ=4，使得对任意的a ＞0，都有S 22=4S 1S 3成立，证明如下：成立，证明如下：证：记直线l 与x 轴的交点为A 1，则|OA|=|OA 1|=a ．于是有S 1=|MM 1||A 1M 1|=（x 1+a ）|y 1|，S 2=|M 1N 1||AA 1|=a|y 1﹣y 2|，S 3=|NN 1||A 1N 1|=（x 2+a ）|y 2|，∴S 22=4S 1S 3⇔（a|y 1﹣y 2|））2=（（x 1+a ）|y 1|）2 ×（（x 2+a ）|y 2|）2 ⇔a 2[（y 1+y 2）2﹣4y 1y 2]=[x 1x 2+a （x 1+x 2）+a 2]|y 1y 2| 将①、②、③代入上式化简可得代入上式化简可得 a 2（4m 2p 2+8ap ）=4a 2p （m 2p+2a ）上式恒成立，即对任意的a ＞0，S 22=4S 1S 3成立成立【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合题，考查了根与系数的关系，三角形的面积公式，抛物线的性质等，抛物线的性质等，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，解题的关键是认真审题准确转化题设中的关系，本题综合性强，本题综合性强，符号计算运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．运算量大，解题时要认真严谨避免马虎出错．21．（14分）分） 【考点】利用导数研究函数的极值；反函数；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】压轴题．压轴题． 【分析】①由题意得到f （x ）的解析式，的解析式，求出求出f ʹ（x ）因为在x=1处有极值得到f （1）=﹣，f ʹ（1）=0求出b 、c 即可；（2）因为切线的斜率为c ，则解出f ʹ（t ）=c 时t 的值得到切点坐标，写出切线方程与曲线解析式联立求出公共点可知公共点的个数；（3）根据题意得到g （x ）的解析式，利用已知求出g （x ）的最大值M ，利用M ≥k 列出不等式求出k 的取值范围即可． 【解答】解：①依题意，解得或．若，，ʹ（x ）=﹣x 2+2x ﹣1=﹣（x ﹣1）2≤0f （x ）在R 上单调递减，上单调递减， 在x=1处无极值；若，，fʹ（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），直接讨论知，，直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以为所求．为所求．②解fʹ（t）=c得t=0或t=2b，切点分别为（0，bc）、，相应的切线为y=cx+bc或．解得x=0或x=3b；解即x33﹣3bx22+4b33=0 得x=﹣b或x=2b．时， 综合可知，b=0时，斜率为c的切线只有一条，与曲线的公共点只有（0，0），b≠0时，斜率为c的切线有两条，与曲线的公共点分别为（0，bc）、（3b，4bc）和）和、．③g（x）=|﹣（x﹣b）2+b2+c|．若|b|＞1，则fʹ（x）在[﹣1，1]是单调函数，是单调函数，M=max{|fʹ（﹣1）|，|fʹ（1）|}={|﹣1+2b+c|，|﹣1﹣2b+c|}，因为fʹ（1）与fʹ（﹣1）之差的绝对值|fʹ（1）﹣fʹ（﹣1）|=|4b|＞4，所以M＞2．取极值，若|b|≤1，fʹ（x）在x=b∈[﹣1，1]取极值，则M=max{|fʹ（﹣1）|，|fʹ（1）|，|fʹ（b）|}，fʹ（b）﹣fʹ（±1）=（b∓1）2．若﹣1≤b＜0，fʹ（1）≤fʹ（﹣1）≤fʹ（b ；若0≤b≤1，fʹ（﹣1）≤fʹ（1）≤fʹ（b），M=max{|fʹ（﹣1）|，|fʹ（b）|}=．当b=0，时，在[﹣1，1]上的最大值．所以，k的取值范围是．【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，会利用导数求曲线上某一点的切线方程的能力．能力．。
湖北省黄冈中学2009届高三第二次模拟考试数 学 试 题（理）命题：熊 斌 审稿：程金辉 校对：罗欢一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合{}{}|0,|1,M x x x R y y y R =≠∈≠∈，集合{}|0011,P x x x x x R =<<<>∈或或，则集合M 、P 之间的关系是A ．P M ⊆B ．M P ⊆C ．P M =D ．M P =∅2．如果复数)(12R a iai∈+-为纯虚数，则=a A ． 2- B ．0 C ．1 D ．23.在(2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 A 、 7- B 、7 C 、28- D 、284. 已知函数122log ()(1)x f x x ⎧⎪=⎨⎪-⎩(1)(1)x x ≥<的反函数为1()f x -，在(,1)(1,)-∞+∞上的导函数为()f x '，则1(4)(1)ff -'+-=A ．6-B ．1C ．1-D ．5-5. ),(y x P 是圆1)1(22=-+y x 上任意一点，若不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是A 、]12,21[---B 、),12[+∞-C 、),21[+∞-D 、)12,21(---6. 对于任意实数a ，要使函数*215cos()()36k y x k N ππ+=-∈在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k 可以取A. 12和B. 23和C. 34和D. 27．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A ．234B ．346C ．350D ．3638. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，l 为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是 A ．1(0,)2) B．) C ．1(,1)2 D．9．在半径为R 的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）A ．76R π B ． 2R πC ．73R π D ． 83R π10. 已知函数()32f x x x =-∈R ，．规定：给定一个实数0x ，赋值10()x f x =，若1244x ≤，则继续赋值21()x f x =，…，以此类推，若1n x -≤244，则1()n n x f x -=，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*()n ∈N ．已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围是（ ）A ．65(33]k k --，B ．56(3131]k k --++，C ．65(3131]k k --++，D ．45(3131]k k --++，二、填空题：本大共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置．11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n ．12.已知平面向量b c b a c b a c b a 与，的夹角为与且满足0135,0,,=++的夹角为0120，==a c则,213.()x f 是偶函数，其()x f 在()∞+.0上是增函数，如果⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,,21x 时，不等式()()21-≤+x f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是 14. 将正奇数排列如下表其中第i 行第j 个数表示ij a ),(**N j N i ∈∈，例如932=a ，若2009ij a =，则=+j i ．15. 给出下列命题：①．函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称.②．在R 上连续的函数()f x 若是增函数，则对任意0x R ∈均有/0()0f x >成立.③．已知函数2sin()(0,0),2y x y ωθωθπ=+><<=为偶函数其图象与直线的交点的横坐标为1212,.||,2,x x x x πωθ-若的最小值为则的值为的值为2π.④．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.⑤．若P 为双曲线2219y x -=上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左右焦点，且24PF =，则12PF =或6. 其中正确的命题是＿＿＿＿（把所有正确的命题的选项都填上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1 3 5 79 1113 15 17 19……16．（本题满分12分） 已知函数.,12cos 3)4(sin 2)(2R x x x x f ∈--+=π（1）若函数的值求）对称，且，的图像关于点（t t t x f x h ),,0(06)()(ππ∈-+=；（2）设3)(:],2,4[:<-∈m x f q x p ππ，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.17. (本小题满分12分)某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T (单位：年)有关. 若1T ≤，则销售利润为0元；若13T <≤，则销售利润为100元；若3T >，则销售利润为200元．设每台该种电器的无故障使用时间1T ≤，13T <≤及3T >这三种情况发生的概率分别为1p ，2p ，3p ，叉知1p ，2p 是方程225150x x a -+=的两个根，且23p p =（1）求1p ，2p ，3p 的值；（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的期望.18. (本小题满分12分)已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB =60°，AD =AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点. （1）求证：直线MF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与与平面ABCD 所成二面角的大小.19．(本小题满分12分)已知ABC ∆的三边长||,||,||CB AB CA 成等差数列，若点,A B 的坐标分别为(1,0),(1,0)-． （1）求顶点C 的轨迹W 的方程；（2）若线段CA 的延长线交轨迹W 于点D ，当52||2CB ≤<时求线段CD 的垂直平分线l 与x 轴交点的横坐标的取值范围．20. (本小题满分13分) 已知函数()321,.212x F x x x -⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭（1）求122008200920092009F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）已知数列{}n a 满足12a =,()1n n a F a +=,求数列{}n a 的通项公式； （3） 求证:123...n a a a a21．(本小题满分14分)设函数sin ()x xf x x+=. （1） 判断)(x f 在区间),0(π上的增减性并证明之；（2） 若不等式0≤a ≤x x -+-43对]4,3[∈x 恒成立, 求实数a 的取值范围M ； （3）设0≤x ≤π，若a M ∈，求证：x a a x a )1sin()1(sin)12(--+-≥0.湖北省黄冈中学2009届高三第二次模拟考试数学（理）参考答案1-5 A D B D B 6-10 B B C C B11. 20=n ． 13. [2,0]- 14. 60 15. ①③ 16．解：（Ⅰ）∵)22cos(112cos 3)4(sin 2)(2x x x x f +-=--+-ππ-)32sin(22cos 32sin 12cos 3π-=-=-x x x x∴)322sin(2)1()(π-+=+-t x x f x h ，(3分)∴Z k t k x h ∈-+),0,62()(ππ的图像的对称中心为 又已知点)0,6(π-为)(x h 的图像的一个对称中心。
2009届高三第一轮复习 三角恒等变换训练题一、选择题： 1．（2008江苏，1）若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ . 2．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定 3．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，62c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 4．函数2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数5．已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1-6．设2132tan131cos50cos66,,,21tan 132a b c -===+o o o oo则有（ ） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b c a <<7．（2008四川理，3）()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x8．sin163sin 223sin 253sin313+=oooo（ ）A ．12- B ．12C ．3D 39．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.72510．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2π C ．π D ．2π110cos351sin 20=-（ ）A ．1 B ．2 C 2 D 312．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．513．函数2sin cos 33y x x x =+的图象的一个对称中心是（ ）A.23(,3π B.53(,6π C.23(3π- D.(,3)3π- 14．0(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 215．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x =-的最小值是（ ）A ．4B ．12C ．2D ．1416．已知22ππθ-<<,且sin cos (0,1)a θθ+=∈则关于tan θ的值可能正确的是（ ）A.3-B.3或13 C.13- D.3-或13- 17．已知θ为一个三角形的最小内角，1cos 1m m θ-=+,则m 的取值范围是（ ） A ．m≥3 B ．3≤m<7+43 C ．m<-1 D ．3≤m<7+43或m<-118．若△ABC 的内角满足sin cos 0A A +>，tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π） 二、填空题：19．求值：0tan 20tan 40320tan 40+=_____________。
2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（十八）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、设A＝{x||x－2|≤3}，B＝{x|x<t}，若A∩B＝，则实数t的取值范围是（）A．t<－1B．t>5C．t≤－1D．t≥52、设函数在区间[0，＋∞)上连续，则实数a的值为（）A．3B．1C．0D．23、不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集是（）A．(0，1)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)4、如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1DB1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（）的中点，N是A1A．平行B．相交C．异面垂直D．异面不垂直5、若的展开式中的第5项为常数项，则展开式中系数最大的项是（）A．第8或10项B．第9项C．第8项D．第7或9项6、如果对于某一特定范围内x的任意允许值，p＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|的值恒为常数，则此值为（）A．2B．3C．4D．57、某小组有12名学生，其中男生8名，女生4名，从中随机抽取3名学生组成一兴趣小组，则这3名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为（）8、定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝0，f(x)＋f(1－x)＝1，，且当0≤x1<x2≤1时，f(x1)≤f(x2)，则等于（）9、程序框图如图2：如果上述程序运行的结果为s＝1320，那么判断框中应填入（）A．k<10B．k>10C．k<11D．k>1110、已知O，A，B，C是不共线的四点，若存在一组正实数λ1，λ2，λ3，使，则三个角∠AOB，∠BOC，∠COA中（）A．都是锐角B．至多有两个钝角C．恰有两个钝角D．至少有两个钝角第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、定义一种运算“*”，它对正整数n满足：①1*1001＝1；②(2n＋1)*1001＝3·[(2n－1)*1001]，则2009*1001的值是_________．12、当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题，已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为_________．13、有两个向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，现有点P，从P0(－1，2)开始沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e1＋e2|；另一个动点Q，从Q0(－2，－1)开始沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|．设P、Q在时刻t＝0秒时分别在P0、Q处，则当时，t＝_________秒．14、若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是_________．15、在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数(也称高斯函数)，它表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3．定义函数f(x)＝x－[x]，研究函数f(x)的性质：①函数f(x)的定义域为R，值域为[0，1]；②方程f(x)＝有无数个解；③函数f(x)是周期函数；④函数f(x)是增函数；⑤函数f(x)具有奇偶性．上述命题中正确的是_________ (写出全部正确命题的序号)．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)已知向量．(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值为－7，求实数λ的值．17、(本小题满分12分)某次象棋比赛的决赛在甲、乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分，根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不影响．若甲第n 局的得分记为a n ，令S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ． (1)求S 3＝5的概率；(2)若规定：当其中一方的积分达到或超过4分时，比赛结束，否则，继续进行．设随机变量ξ表示此次比赛共进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．18、(本小题满分12分)已知f(x)＝lnx ，，直线l 与函数f(x)、g(x)的图像都相切，且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1． (1)求直线l 的方程及m 的值；(2)若h(x)＝f(x ＋1)－g′(x)(其中g′(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值． 19、(本小题满分12分)如图3，已知Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，BC ＝2，D 为BC 的中点，将△ADB 沿AD 折起，使点B 在△ADC 所在平面的射影E 在AC 上．(1)求证：CD ⊥平面BDE ；(2)求折起后二面角B —AD —C 的大小； (3)求折起后AB 与平面BDE 所成的角．20、(本小题满分13分)设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，q 为非零常数．已知对任意正整数n ，m ，当n>m 时，S n －S m ＝q m ·S n －m 总成立． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若正整数n，m，k成等差数列，求证：．21、(本小题满分14分)已知F1(－2，0)，F2(2，0)，点P满足| PF1|－|PF2|＝2，记点P的轨迹为E．(1)求轨迹E的方程；且与轨迹E交于P、Q两点，(2)若直线过点F2①无论直线l绕点F怎样转动，在x轴上总存在定点M(m，0)，使MP⊥MQ恒成2立，求实数m的值；②过P、Q作直线的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围．试题答案一、选择题提示：1、A＝[－1，5]，因为A∩B＝，故t≤－1.2、根据，可得a＝2.3、由绝对值不等式的性质，知x·log3x<0，0<x<1.4、取AD中点E，连接A1E，OE，则有AM⊥A1E，又NA1⊥面A1D，故NA1⊥AM，∴AM⊥面A1NOE，故AM⊥NO.5、，因为T5为常数项，则有n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项.6、p＝6－3－(2x＋3x＋4x＋5x＋6x＋7x－8x－9x－10x)＝3.7、男生抽2名，女生抽1名，概率为.8、令x＝0，可得f(1)＝1，故，令，可得，同理可得，因为，且，故.9、S＝1320＝12×11×10，故选A.10、，因为λ1，λ2，λ3都为正实数，则有∠AOB＋∠BOC ＋∠COA＝360°，故∠AOB，∠BOC，∠COA中至少有两个钝角.试题答案一、选择题提示：1、A＝[－1，5]，因为A∩B＝，故t≤－1.2、根据，可得a＝2.3、由绝对值不等式的性质，知x·log3x<0，0<x<1.4、取AD中点E，连接A1E，OE，则有AM⊥A1E，又NA1⊥面A1D，故NA1⊥AM，∴AM⊥面A1NOE，故AM⊥NO.5、，因为T5为常数项，则有n＝16，所以展开式中系数最大的项是第9项.6、p＝6－3－(2x＋3x＋4x＋5x＋6x＋7x－8x－9x－10x)＝3.7、男生抽2名，女生抽1名，概率为.8、令x＝0，可得f(1)＝1，故，令，可得，同理可得，因为，且，故.9、S＝1320＝12×11×10，故选A.10、，因为λ1，λ2，λ3都为正实数，则有∠AOB＋∠BOC ＋∠COA＝360°，故∠AOB，∠BOC，∠COA中至少有两个钝角.二、填空题答案：11、3100412、4013、2 14、（0，1]∪[，＋∞）15、②③提示：11、令a n＝(2n－1)*1001，则a n＋1＝3a n，且a1＝1，故.12、.13、t时刻时点P的位置为(－1＋t，2＋t)，点Q的位置为(－2＋3t，－1＋2t)，则有，又，则(－1＋2t)(－1)＋(－3＋t)(－3)＝0，解得t＝2.14、如图所示，A（1，0），，要使得可行域表示三角形，则a≤1或a≥.15、函数值域为[0,1)，①错误；x＝1.5，2.5，3.5，…都满足f(x)＝，故方程有无数个解，②正确，由此可知③正确；④错误；f(0.1)＝0.1，f(－0.1)＝0.9，故⑤错误.三、解答题(2)f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos2x－2λ(2cosx)＝2cos2x－4λcosx－1＝2(cosx－λ)2－2λ2－1．若λ<0，当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，不合题意；若λ>1，当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由题意有1－4λ＝－7，得λ＝2；若0≤λ≤1，当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－2λ2－1，由题意有－2λ2－1＝－7，得(舍去)．综上所述：λ＝2．17、(1)S3＝5，即前3局甲2胜1平．由已知甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，得S3＝5的概率为．(2)ξ的分布列为：18、(1)依题意知：直线l是函数f(x)＝lnx在点(1，0)处的切线，故其斜率k＝f′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1．又因为直线l与g(x)的图像相切，得△＝(m－1)2－9＝0m＝－2(m＝4不合题意，舍去)．(2)因为h(x)＝f(x＋1)－g′(x)＝ln(x＋1)－x＋2(x>－1)，当－1<x<0时，h′(x)>0；当x>0时，h′(x)<0．因此，h(x)在(－1，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．因此，当x＝0时，h(x)取得最大值h(0)＝2．19、(1)作BO⊥AD于O，连接OE，如图a，由条件及三垂线定理知OE⊥AD，易知点B、O、E共线∵BA＝BD，∴BE是AD的中垂线，∴∠BDE＝∠BAE＝90°，∴CD⊥DE，又∵BE ⊥平面ACD ，∴CD ⊥BE ，∴CD ⊥平面BDE ．(2)由(1)知∠BOE 就是二面角B —AD —C 的平面角，如图a ，(3)作AF ⊥ED 于F ，连接BF ，如图b ，由条件知AF ⊥平面BDE ， ∴∠ABF 就是AB 与平面BDE 所成的角，如图a ，易求得AF ＝，∴∠ABF ＝30°，故AB 与平面BDE 所成的角为30°． 20、(1)因为对任意正整数n ，m ，当n>m 时，S n －S m ＝q m ·S n －m 总成立． 所以，当n≥2时，S n －S n －1＝q n －1S 1，即a n ＝a 1·q n －1，且a 1也适合，又a n >0， 故当n≥2时，(非零常数)，即{a n }是等比数列．(2)若q ＝1，则S n ＝na 1，S m ＝ma 1，S k ＝ka 1．21、(1)由|PF1|－|PF2|＝2<|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1，F2为焦点的双曲线右支，由c＝2，2a＝2得b2＝3，故轨迹E的方程为(x≥1)．(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与双曲线方程联立消去y得：(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，。
