高中数学必修5第二章数列测试

高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。

试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。

第二章测试(时间：120分钟 总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题 ,每题5分 ,共60分．在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的)1．S n 是数列{a n }的前n 项和 ,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3 ,…) ,那么数列{a n }( )A ．是公比为2的等比数列B ．是公差为2的等差数列C ．是公比为12的等比数列 D ．既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2 ,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2 ,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4 ,…由此可知 ,数列{a n }既不是等差数列 ,也不是等比数列． 答案 D2．一个数列{a n } ,其中a 1＝3 ,a 2＝6 ,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,那么a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3 , a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3 , a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3．首||项为a 的数列{a n }既是等差数列 ,又是等比数列 ,那么这个数列前n 项和为( )A ．a n －1B ．naC ．a nD ．(n －1)a解析 由题意 ,知a n ＝a (a ≠0) ,∴S n ＝na . 答案 B4．设{a n }是公比为正数的等比数列 ,假设a 1＝1 ,a 5＝16 ,那么数列{a n }的前7项和为( )A ．63B ．64C ．127D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16 ,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5．－9 ,a 1 ,a 2 ,－1四个实数成等差数列 ,－9 ,b 1 ,b 2 ,b 3 ,－1五个实数成等比数列 ,那么b 2(a 2－a 1)的值等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83 , b 22＝(－1)×(－9)＝9 ,∴b 2＝－3 , ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6．在－12和8之间插入n 个数 ,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列 ,那么n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析 依题意 ,得－10＝－12＋82(n ＋2) , ∴n ＝3. 答案 B7．{a n }是等差数列 ,a 4＝15 ,S 5＝55 ,那么过点P (3 ,a 3) ,Q (4 ,a 4)的直线的斜率为( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14解析由a 4＝15 ,S 5＝55 ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15 5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11) ,Q (4,15)．k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8．等差数列{a n }的前n 项和为S n ,假设a 3＋a 17＝10 ,那么S 19＝( )A ．55B ．95C ．100D ．190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95. 答案 B9．S n 是等差数列{a n }的前n 项和 ,假设a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数 ,那么在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A ．S 7B ．S 4C．S13D．S16解析a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7 ,∴a7为常数．∴S13＝a1＋a132×13＝13a7为常数．答案 C10．等比数列{a n}中,a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31 ,a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62 ,那么通项是()A．2n－1B．2nC．2n＋1D．2n＋2解析∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5) ,∴62＝q×31 ,∴q＝2.∴S5＝a1(1－25)1－2＝31.∴a1＝1 ,∴a n＝2n－1.答案 A11．等差数列{a n}中,|a3|＝|a9| ,公差d<0 ,那么使其前n项和S n 取得最||大值的自然数n是()A．4或5 B．5或6C．6或7 D．不存在解析由d<0知,{a n}是递减数列,∵|a3|＝|a9| ,∴a3＝－a9 ,即a3＋a9＝0.又2a6＝a3＋a9＝0 ,∴a6＝0.∴S5＝S6且最||大．答案 B12．假设a ,b ,c成等比数列,那么方程ax2＋bx＋c＝0()A．有两个不等实根B ．有两相等的实根C ．无实数根D ．无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列 ,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根． 答案 C二、填空题(本大题共4小题 ,每题5分 ,共20分．把答案填在题中横线上)13．2 ,x ,y ,z,18成等比数列 ,那么x ＝________.解析 设公比为q ,那么由2 ,x ,y ,z,18成等比数列．得18＝2q 4 ,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314．假设数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n0≤a n ≤1a n －1 a n>1且a 1＝67 ,那么a 2021＝________.解析 由题意 ,得a 1＝67 ,a 2＝127 ,a 3＝57 ,a 4＝107 ,a 5＝37 ,a 6＝67 ,a 7＝127 ,… ,∴a 2021＝a 3＝57.答案 5715．一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,那么S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9 ,S 33＝－16＋33＝17 ,S 50＝－25 ,∴S 17＋S33＋S50＝1.答案 116．设等比数列{a n}的公比q＝12,前n项和为S n,那么S4a4＝________.解析S4a4＝a1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a1⎝⎛⎭⎪⎫123＝15.答案15三、解答题(本大题共6个小题,共70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设S n为数列{a n}的前n项和,a1≠0,2a n－a1＝S1·S n,n ∈N*.(1)求a1 ,a2 ,并求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{na n}的前n项和．解(1)令n＝1 ,得2a1－a1＝a21,即a1＝a21,∵a1≠0 ,∴a1＝1 ,令n＝2 ,得2a2－1＝S2＝1＋a2 ,解得a2＝2.当n≥2时,由2a n－1＝S n,2a n－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n ,即a n＝2a n－1 ,于是数列{a n}是首||项为1 ,公比为2的等比数列,即a n＝2n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知,na n＝n·2n－1.记数列{n·2n－1}的前n项和为B n ,于是B n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1 ,①2B n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18．(12分)等比数列{a n } ,首||项为81 ,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列；(2)假设S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,求{b n }的公差d 的范围． 解 (1)证明：设{a n }的公比为q , 那么a 1＝81 ,a n ＋1a n＝q ,由a n >0 ,可知q >0 ,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数) ,∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列． (2)由(1)知 ,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4 , ∵S 11≠S 12 ,且S 11最||大 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧b 11≥0 b 12<0即⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋10d ≥0 b 1＋11d <0.⎩⎨⎧d ≥－b 110＝－25d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19．(12分)等差数列{a n }的各项均为正数 ,a 1＝3 ,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列 ,b 1＝1 ,且b 2S 2＝64 ,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,那么d >0 ,q ≠0 ,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1 ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2 q ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403 (舍去)．故a n ＝2n ＋1 ,b n ＝8n －1.(2)证明：由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2) , 1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ,∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.20．(12分)等比数列{a n }中 ,a 1＝2 ,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)假设a 3 ,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项 ,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由 ,得16＝2q 3 ,解得 q ＝2 ,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8 ,a 5＝32 ,那么b 3＝8 ,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,那么有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8 b 1＋4d ＝32解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21．(12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N * ,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3 ,n ∈N *.(1)求a n ,b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时 ,a 1＝S 1＝3； 当n ≥2时 ,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *)． 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1 ,得b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1 ,n ∈N * , ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1 , 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22．(12分)数列{a n }满足a 1＝1 ,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N * ,n ≥2)． (1)求证：数列{a n2n }是等差数列；(2)假设数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n . 解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0 ,∴a n 2n －a n －12n －1＝12 ,∴{a n 2n }是以12为首||项 ,12为公差的等差数列． (2)由(1) ,得a n 2n ＝12＋(n －1)×12 , ∴a n ＝n ·2n －1 ,∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 那么2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－② ,得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1·(1－2n)1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。

第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。

新课标数学必修 5 第 2 章数列单元测试题一说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷在各题后直接作答．共 150 分，考试时间 100 分钟．一、选择题（本大题共 11 小题，每题 4 分，共 44 分）1．等差数列 { a n }中, a 1 3, a 57,则数列 { a n } 第9 项等于（）A ．9B ．10C ．11D ．122．等比数列 a n 中 , a 2 9, a 5 243, 则 a n 的第 4 项为（）A ．81B．243 C ．27 D ． 1923． 2 1 与 2 1 ，两数的等比中项是（）A ．1B ．1C ．1D ．124．已知一等差数列的前三项挨次为 x,2x 2,4x3 ，那么 21 是此数列的第（）项A ．2B ．4C ．6D ．85．在公比为整数的等比数列 a n 中，若 a 1 a 3 6, a 2 a 4 12, 则该数列的第 3 项为（）A ．6B ．12C ．24D ．4855556. 数列 a n 的通项公式 a nn 1n ，则该数列的前 9 项之和等于（）A ．1B ．2C ．3D ．47. 设 {a n } 是由正数构成的等比数列，公比 q=2，且 a 1a 3 =24，则 a 1a 2a 3a 4a 5 等于( )A.2 102015168．已知等差数列 a n 的公差为 2 , 若 a 1 ,a 3 , a 4 成等比数列 , 则 a 2 （ ）A ．4B ．6C ．8D． 109．设S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若 S 2 ， ，则S 6 等于（ ）2 S 4 10 A ．12 B ．18 C ．24 D ．4210．已知等差数列 {a }的公差为正数，且 a · a =－12， a +a =－ 4，则 S 为n 3 7 4 620（）A ．180B ．－ 180C ．90D ．－ 9011．现有 200 根同样的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使节余的钢管尽可能的少，那么节余钢管的根数为（）A．9B．10C．19D．29二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共 25 分）12．在等比数列a n中,若a33, a975, 则 a15=___________.13在等比数列a n中,若a1 ,a10是方程3x22x 6 0 的两根则a4 a7=___________.14．在－ 9 和 3 之间插入 n 个数，使这 n+2 个数构成和为－ 21 的等差数列，则 n=_______．15.已知数列a n的前 n 项和 S n 3 2n，求 a n=_______。

必修五第二章数列综合测试一、：1.将自然数的前 5 个数：（1）排成 1， 2， 3，4， 5；（2）排成 5， 4， 3，2， 1；（3）排成 2， 1， 5， 3， 4；（4）排成 4， 1， 5，3， 2.那么能够叫做数列的只有()(A) （ 1）(B) （ 1）和（ 2）(C) （ 1），（ 2），（ 3）(D) （ 1），（2），（ 3），（ 4）2. 若数列 {a n} 的通公式是a n=2(n ＋ 1)＋ 3，此数列()(A) 是公差 2 的等差数列(B) 是公差 3 的等差数列(C) 是公差 5 的等差数列(D) 不是等差数列3.等差数列 {a n} 中，若 a2+a4+a9+a11=32 ， a6+a7=()（ A ） 9（B）12（C）15（D）164.已知数列足：>0，，，数列{} 是：（）(A) 增数列( B) 减数列(C)数列(D) 不确立5.等差数列 0，，－7，⋯的第n+1是：（）(A)(B)(C)(D)6.在数列中，，的：（）（ A ） 49（B）50（C）51(D)527．已知数列10,⋯10⋯,使数列前n 的乘不超10最小正整数n 是(A)9(B)10(C)11(D)12()8. 在首81，公差－ 7 的等差数列中，最靠近零的是第()(A)11 (B)12 (C)13 (D)149. 已知等差数列{a n} 的公差d≠ 0,若a5、 a9、 a15成等比数列,那么公比( )(A) (B) (C) (D)10.有 200 根同样的管，把它堆放成正三角形，要使节余的管尽可能少，那么节余管的根数( )(A)9 (B)10 (C)19 (D)29二、填空：11．等差数列110， 116， 122， 128，⋯⋯，在400 与600 之共有________.12. 等比数列 { a n} 的前 n 和 S n，S3 +S6 =2S9，数列的公比______________13．已知数列1,，其前n 的和等于14．数列的第一1，而且n∈ N,n ≥ 2 都有：前n 之n2，此数列的通公式_______三．解答：15．三个互不相等的数成等差数列，假如适合摆列三个数，也可成等比数列，已知三个数的和等于 6，求此三个数。

数列（必修5第二章）水平测试A 卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共50分)1．下列对数列的理解有四种：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2，…，n})上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的． 其中说法正确的序号是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①②③④2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－12 C.12D ．23．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．644．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝12,2a 6－a 5＝15，则a 4等于( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．135．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( ) A ．14 B ．21 C ．28 D ．366．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝2，则a 9＋a 10等于( ) A.12 B ．2 C.14D ．4 7．数列{a n }，{b n }都是等差数列，a 1＝5，b 1＝7，且a 20＋b 20＝60，则{a n ＋b n }的前20项和为( )A ．700B ．710C ．720D ．7308．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．1219．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 6＋a 10为一个确定的常数，则下列各数也是常数的是( )A ．S 6B ．S 11C ．S 12D ．S 1310．△ABC 中，tanA 是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则tanC 等于( )A ．－12 B.12 C ．－112 D.112二、填空题（每小题4分，共28分)11．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋9，则数列{a n }的最大项是______．12．若数列{a n }满足a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，且S 9＝27.则a 2＋a 8＝______.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝a 6＝12，则{a n }的通项公式为______．14．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝4a 25，a 2＝2，则{a n }的前5项和S 5等于________．15．在数列{a n }中a n ＝n(sinnπ2＋cos nπ2)，前n 项和为S n ，则S 100＝__________. 16．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n(n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.17．在数列{a n }中，a n ＝3n －7，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2)，若a n ＋log k b n为常数，则满足条件的k 值为______．三、解答题(72分)18．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，求该数列的通项公式．19．(14分)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n .20．(14分)已知等比数列{a n }中，a 2＝32，a 8＝12，a n ＋1<a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求T n 的最大值及相应的n 值．21．(15分)记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＋a4＝6，S4＝10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝a n·2n(n∈N*)，求数列{a n}的前n项和T n.22．(15分)设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝na n－2n(n－1)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n＋1}的前n项和为T n，试求T n的取值范围．答案解析1、解析：数列的项数可以是无限的，通项公式的表示不唯一，故②④错误． 答案：C2、解析：a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝－a 3＋2d ＝2d ＝－1，∴d ＝－12.答案：B3、解析：a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 答案：A4、解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d ＝12a 1＋6d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2， ∴a 4＝a 1＋3d ＝9. 答案：B5、解析：∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝28.答案：C6、解析：由题得a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10成等比数列，首项为4，公比为12， ∴a 9＋a 10＝4×(12)4＝14.答案：C7、解析：{a n ＋b n }的前20项和S 20＝(a 1＋b 1)＋(a 2＋b 2)＋…＋(a 20＋b 20)＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20)＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 20)＝20(a 1＋a 20)2＋20(b 1＋b 20)2＝10(a 1＋a 20＋b 1＋b 20)＝720. 答案：C 8、解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴前n 项的和S n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n)＝n ＋1－1，当n ＋1－1＝10时，n ＝120.答案：C9、解析：∵a 2＋a 6＋a 10＝3a 6，∴a 6为定值．S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6为定值．答案：B10、解析：由题意知：tanA ＝－1－(－4)7－3＝34，tan 3B ＝412＝8，∴tanB ＝2，∴tanC ＝－tan(A ＋B)＝－tanA ＋tanB1－tanAtanB＝－34＋21－34×2＝112.答案：D 11、解析：∵a n ＝n n 2＋9，∴a n ＝1n ＋9n，∵n ＋9n ≥2n·9n ＝6，当且仅当n ＝9n，即n ＝3时取“＝”号，∴n ＝3时，a n 的最大项是a 3＝39＋9＝16.答案：1612、解析：由a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1得{a n }为等差数列． ∵S 9＝27，∴9(a 1＋a 9)2＝27.∴a 1＋a 9＝6，∴a 2＋a 8＝6. 答案：613、解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝12a 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n.答案：a n ＝2n14、解析：因为a 3a 9＝4a 25，所以q 2＝4，又q>0，所以q ＝2，又a 2＝2，所以a 1＝1，S 5＝1－251－2＝31. 答案：3115、解析：sin nπ2＋cos nπ2＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝4k 时1 n ＝4k ＋1时－1 n ＝4k ＋2时－1 n ＝4k ＋3时，∴S 100＝(1－2－3＋4)＋(5－6－7＋8)＋…＋(97－98－99＋100)＝0.答案：016、解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n)－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2， 当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2(n ∈N *)． 则a n n ＋1＝4(n ＋1)，故a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝2n 2＋6n.答案：2n 2＋6n17、解析：∵b n ＝b 1·(127)n －1＝13·(13)3n －3＝(13)3n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k (13)3n －2＝3n －7＋(3n －2)·log k 13＝(3＋3log k 13)n －7－2log k 13.若a n ＋log k b n 为常数，则3＋3log k 13＝0，则k ＝3.答案：318、解：由S 1＝1得a 1＝1，又由S 2＝2可知a 2＝1. ∵S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，∴S n ＋1－S n －2S n ＋2S n －1＝0(n ∈N * 且n ≥2)， 即(S n ＋1－S n )－2(S n －S n －1)＝0(n ∈N *且n ≥2)，∴a n ＋1＝2a n (n ∈N *且n ≥2)，故数列{a n }从第2项起是以2为公比的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝12n －2，n>1，n ∈N *.19、解：设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16a 1＝－4d. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－8d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n(n －1)＝n(n －9)，或S n ＝8n －n(n －1)＝－n(n －9)．20、解：(1)设公比为q ，则q 6＝a 8a 2＝164，a n ＋1<a n ，所以q ＝12.于是a 1＝a 2q ＝64.所以，通项公式为a n ＝64·(12)n －1＝27－n (n ∈N )．(2)设b n ＝log 2a n ，则b n ＝log 227－n ＝7－n.所以，数列{b n }是以首项为6，公差为－1的等差数列．T n ＝6n ＋n (n －1)2(－1)＝－12n 2＋132n ＝－12(n －132)2＋1698.由n 是自然数，知n ＝6或n ＝7时，T n 最大，其最值为T 6＝T 7＝21.21、解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 4＝6，S 4＝10，可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝64a 1＋4×32d ＝10， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝32a 1＋3d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)＝n ，故所求等差数列{a n }的通项公式为a n ＝n. (2)依题意，b n ＝a n ·2n ＝n·2n ， ∴T n ＝b 1＋b n ＋…＋b n＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n·2n ，又2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)·2n ＋n·2n ＋1， 两式相减得－T n ＝(2＋22＋23＋…＋2n －1＋2n )－n·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n·2n ＋1＝(1－n)·2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.22、解：(1)由S n ＝na n －2n(n －1)，得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －4n ， ∴a n ＋1－a n ＝4.所以，数列{a n }是以1为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝4n －3. (2)∵T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n －3)(4n ＋1)＝14[1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n －3－14n ＋1] ＝14(1－14n ＋1)<14. 又易知T n 单调递增，故T n ≥T 1＝15.∴15≤T n <14，即T n 的取值范围是[15，14)．。

2014-2015学年高中数学必修5 第二章：数列一、选择题1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )．A ．667B ．668C ．669D ．6702．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )．A ．33B ．72C ．84D ．1893．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ）A ．66B ．99C ．144D ．2974．12+与12-，两数的等比中项是 （ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．21 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为 ( ).A ．81B ．120C ．168D ．1926．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝ ( )．A ．－4B ．－6C ．－8D ． －107．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝95，则59S S ＝ ( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则212b a a -的值是 ( )．A ．21B ．－21C ．－21或21D ．41 二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。

2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________3．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________. 4．数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前99项之和等于___________.三、解答题1. 已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，求n a2．求和：12...321-++++n nxx x3．已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=， 求数列{}n b 的前n 项和。

高中数学必修五《数列》单元测试一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1＝－14，a n ＝1－1a n －1(n >1)，则a 4等于( ) A.45 B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝45，a 4＝1－1a 3＝－14. 【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2【解析】 由a 2－a 1＝3－1＝2，a 3－a 2＝6－3＝3，a 4－a 3＝10－6＝4，a 5－a 4＝15－10＝5，归纳猜想得a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2.【答案】 B3．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C ．4 D ．0【解析】 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，则{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3n ＋2B ．a n ＝3n －2C ．a n ＝3n －1D ．a n ＝3n ＋1【解析】 因为a 1＝2，a n ＋1－a n －3＝0，所以a n －a n －1＝3，a n －2－a n －3＝3，…a 2－a 1＝3，以上各式相加，则有a n －a 1＝(n －1)×3，所以a n ＝2＋3(n －1)＝3n －1.【答案】 C5．已知在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 016＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6【解析】 由题意知：a 3＝a 2－a 1＝3，a 4＝a 3－a 2＝－3，a 5＝a 4－a 3＝－6，a 6＝a 5－a 4＝－3，a 7＝a 6－a 5＝3，a 8＝a 7－a 6＝6，a 9＝a 8－a 7＝3，a 10＝a 9－a 8＝－3，…故知{a n }是周期为6的数列，∴a 2 016＝a 6＝－3.【答案】 B二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n ＝0，则a 2 016－a 2 015＝ .【解析】 由已知a 2 016－a 2 015－2 015＝0，∴a 2 016－a 2 015＝2 015.【答案】 2 0157．已知数列{a n }，a n ＝a n ＋m (a <0，n ∈N *)，满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝ .【解析】 ⎩⎨⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a ＝2， ∴a ＝2或－1，又a <0，∴a ＝－1.又a ＋m ＝2，∴m ＝3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.【答案】 28．如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OA n，…的长度构成数列{a n}，则此数列的通项公式为a n＝ .图2-1-1【解析】因为OA1＝1，OA2＝2，OA3＝3，…，OA n＝n，…，所以a1＝1，a2＝2，a3＝3，…，a n＝n.【答案】n三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…；(2)12，2，92，8，252，…；(3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，….【解】(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，4 11，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n＝43n＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n＝n22.(3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2.(4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n ＝79(10n －1)．10．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2016；(3)2016是否为数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0)，则有⎩⎨⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66，解得k ＝4，b ＝－2.∴a n ＝4n －2.(2)a 2 016＝4×2 016－2＝8 062.(3)由4n －2＝2 016得n ＝504.5∉N *，故2 016不是数列{a n }中的项．[能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．log 23＋log 31325 【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30＝log 23×log 34×log 45×…×log 3132＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31＝lg 32lg 2＝log 232＝log 225＝5.【答案】 B2．已知数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，分离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．【答案】 B3．根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点．图2-1-2【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n (n －1)＋1＝n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋14．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n 2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．【解】 (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项． 令a n ＝1，得n 2－21n 2＝1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1，则有a n ＝a n ＋1，即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2. 解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．。

高二数学必修5第二章数列测试题一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）：1、给出下列数列：（1）0，0，0，0，0，…；（2）1，11，111，1111，…；（3） ,2,2,2,2432；（4） ,3,1,1,3,5---；（5）1，2，3，5，8，…；其中等差数列有（ ）A 、 1个B 、2个C 、3个D 、4个2、已知=+-=102,31a n n a n 则（ ）A 、1039B 、10310C 、1009D 、103、在等比数列中，已知13,48,2n a a q ===，则n=（ ）A 、 3B 、4C 、5D 、64、在等比数列{}n a 中，,3,21==q a 则=4S （ ）A 、26B 、27C 、80D 、815、等差数列}{n a 的前10项和===d a S 则公差首项,1,100110（ ）A 、1B 、2C 、3D 、46、在数列}{n a 中，已知211+=+n n a a ，且21=a ，则101a 等于（ ）A 、49B 、50C 、51D 、527、已知19,,,4y x 构成等差数列，则y x ,的值分别为（ ）A 、 9，14B 、8，13C 、7，12D 、6，118、等差数列}{n a 中，已知1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）A 、15B 、30C 、31D 、649、在等差数列}{n a 中，9015=S ，则8a =（ ）A 、3B 、5C 、6D 、1210、在等比数列{}n a 中，0,32,251>==q a a 则=5S （ ）A 、60B 、62C 、64D 、6611、在等比数列{}n a 中，,6,584==a a 则=102a a （ ）A 、27B 、28C 、29D 、3012、在等差数列{}n a 中，若,1201210864=++++a a a a a 则=-12102a a 的值为（） A 、20 B 、22 C 、24 D 、26第1页（试卷共2页）13、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且 963,7,3S S S 则==的值是（ ）A 、12B 、15C 、11D 、814、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为45，则其公差是（ ）A 、3B 、4C 、5D 、615、等差数列{}n a 的公差为2，若842,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和=n S （ ）A 、2)1(-n nB 、2)1(+n n C 、)1(-n n D 、)1(+n n16、已知数列{}n a 满足)(1,111*+∈+==N n a a a a n n n ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A 、n a n =B 、n a n 1=C 、1-=n a nD 、11-=n a n17、已知数列{}n a 的前n 项和为1,2-=n S S n n ，则=2016a （ ）A 、4031B 、4032C 、2015D 、201618、在等比数列}{n a 中，各项均为正数，且7,13211=++=a a a a ，则数列}{n a 的通项公式n a =（ ）A 、n 2B 、12-nC 、n 4D 、14-n19、已知三个数成等差数列，且三个数之和为15，首末两项之积为9，则这三个数为（ ）A 、2，5，8B 、1，5，9C 、9，5，1D 、1，5，9或9，5，120、在等差数列{}n a 中，121=a ，其前n 项和为n S ，且1510S S =，则n S 的最大值为（ ）A 、74B 、76C 、78D 、80二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）：21、数列1，4,9,16,25…的一个通项公式为 。