《大高考》高考数学(文)一轮总复习高考AB卷：6.2等差数列及其前n项和(含答案解析)

第二节 等差数列及其前n 项和突破点一 等差数列的基本运算[基本知识]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝n a 1＋a n 2.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、填空题1．若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，则m 与n 的等差中项是________． 答案：32．在等差数列{a n }中，a 2＝3，a 3＋a 4＝9，则a 1a 6的值为________． 答案：143．已知{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4a 5，a 2＝－8，则该数列的公差是________． 答案：44．在等差数列{a n }中，已知d ＝2，S 100＝10 000，则S n ＝________. 答案：n 2[典例感悟]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.2．(2019·山东五校联考)已知等差数列{a n }为递增数列，其前3项的和为－3，前3项的积为8.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，∵等差数列{a n }的前3项的和为－3，前3项的积为8，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋da 1＋2d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∵d >0，∴a 1＝－4，d ＝3，∴a n ＝3n －7. (2)∵a n ＝3n －7，∴a 1＝3－7＝－4， ∴S n ＝n －4＋3n －72＝n 3n －112.[方法技巧]解决等差数列基本量计算问题的思路(1)在等差数列{a n }中，a 1与d 是最基本的两个量，一般可设出a 1和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可．(2)与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 和前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，在两个公式中共涉及五个量：a 1，d ，n ，a n ，S n ，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．[针对训练]1．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( )A ．10B ．30C ．40D ．20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是公差为d 的等差数列，∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.2．(2018·信阳二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得________钱．( )A.53 B ．32 C.43D ．54解析：选C 甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，设公差为d ，由题意知a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝52，3a 1＋9d ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，故甲得43钱，故选C.3．(2018·菏泽二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，满足a 1＋a 2＝10，S 5＝40.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|13－a n |，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意知，a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝10，S 5＝5a 3＝40，即a 3＝8，所以a 1＋2d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝2，所以a n ＝4＋(n －1)·2＝2n ＋2.(2)令c n ＝13－a n ＝11－2n ，b n ＝|c n |＝|11－2n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n ≥6，设数列{c n }的前n 项和为Q n ，则Q n ＝－n 2＋10n . 当n ≤5时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝Q n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝c 1＋c 2＋…＋c 5－(c 6＋c 7＋…＋c n )＝－Q n ＋2Q 5＝n 2－10n ＋2(－52＋10×5)＝n 2－10n ＋50.突破点二 等差数列的性质及应用[基本知识]等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(5)S 2n －1＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)，遇见S 奇，S 偶时可分别运用性质及有关公式求解．(6)若{a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.(7)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的12.(8)若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. (9)若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则 ①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n. [基本能力]1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意，得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：742．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是________． 答案：23．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．答案：26[全析考法]考法一 等差数列的性质[例1] (1)(2019·武汉模拟)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 1＝2a 3－3，则S 9＝( )A ．25B ．27C ．50D ．54(2)(2019·莆田九校联考)在等差数列{a n }中，若a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1 010＋a 2 018＝( )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，a 1＝2a 3－3＝2a 1＋4d －3， ∴a 5＝a 1＋4d ＝3，S 9＝9a 5＝27.(2)因为a 1，a 2 019为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2 019＝10. 由等差数列的性质可知，a 1 010＝a 1＋a 2 0192＝5，a 2＋a 2 018＝a 1＋a 2 019＝10，所以a 2＋a 1 010＋a 2 018＝10＋5＝15.故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]利用等差数列的性质求解问题的注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m ，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n a 1＋a n 2＝n a 2＋a n －12(n ，m ∈N *)等． [提醒] 一般地，a m ＋a n ≠a m ＋n ，等号左、右两边必须是两项相加，当然也可以是a m －n＋a m ＋n ＝2a m .考法二 等差数列前n 项和最值问题等差数列的通项a n 及前n 项和S n 均为n 的函数，通常利用二次函数法或通项变号法解决等差数列前n 项和S n 的最值问题．[例2] (2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值． [解] (1)设{a n }的公差为d ， 由题意得3a 1＋3d ＝－15. 又a 1＝－7，所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. (2)法一：(二次函数法)由(1)得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 法二：(通项变号法) 由(1)知a n ＝2n －9，则S n ＝n a 1＋a n2＝n 2－8n .由S n 最小⇔⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －9≤0，2n －7≥0，∴72≤n ≤92， 又n ∈N *，∴n ＝4，此时S n 的最小值为S 4＝－16. [方法技巧]求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)二次函数法利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m . [集训冲关]1.[考法一]设S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和，若S 9＝3a 8，则S 153a 5等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21解析：选A 因为S 9＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝3a 8，即3a 5＝a 8.又S 15＝a 1＋a 2＋…＋a 15＝15a 8，所以S 153a 5＝15a 8a 8＝15.2.[考法一]在项数为2n ＋1的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ∵等差数列有2n ＋1项，∴S 奇＝n ＋1a 1＋a 2n ＋12，S 偶＝n a 2＋a 2n2.又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 偶S 奇＝n n ＋1＝150165＝1011，∴n ＝10. 3.[考法二]等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，且a 1＝25，S 17＝S 9，请问：数列前多少项和最大？解：法一：∵a 1＝25，S 17＝S 9，∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2.∵a 1＝25>0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n ≥1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值． 法二：∵a 1＝25，S 17＝S 9， ∴17a 1＋17×162d ＝9a 1＋9×82d ，解得d ＝－2. 从而S n ＝25n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋26n＝－(n －13)2＋169. 故前13项之和最大．突破点三 等差数列的判定与证明[典例] (2019·济南一中检测)各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1a n ＋a n ＋22＝a n ＋2a n ，且a 3＝2a 8＝15.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝a n2n ＋6，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：依题意，a n ＋1a n ＋a n ＋2a n ＋1＝2a n ＋2a n ，两边同时除以a n a n ＋1a n ＋2，可得1a n ＋2＋1a n＝2a n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d .因为a 3＝2a 8＝15，所以1a 3＝5，1a 8＝10，所以1a 8－1a 3＝5＝5d ，即d ＝1，所以1a n ＝1a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×1＝n ＋2，故a n ＝1n ＋2.(2)由(1)可知b n ＝a n 2n ＋6＝12·1n ＋2n ＋3＝12( 1n ＋2－1n ＋3 )，故S n ＝12( 13－14＋14－15＋…＋1n ＋2－1n ＋3)＝n6n ＋3. [方法技巧]等差数列的判定与证明方法 方法 解读适合题型定义法 对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列解答题中的证明问题等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立⇔{a n }是等差数列通项公式法 a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列选择、填空题定中的判问题前n 项和公式法验证S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列[提醒] 判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．[针对训练](2019·沈阳模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝2，S 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)是否存在正整数n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n n －12d ＝7n －3n 2.(2)由(1)知S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4， 若存在正整数n 使得S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列， 则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5， ∴存在n ＝5，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列．。

2019-2020年高考数学一轮总复习第6章数列第2节等差数列及其前n 项和高考AB 卷理等差数列中的运算问题1.(xx·全国Ⅰ，3)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99 C.98D.97解析 由等差数列性质，知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.答案 C2.(xx·全国Ⅰ，7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 ∵a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3， ∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.答案 C3.(xx·全国Ⅱ，16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________.解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则S 10＝10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝0，①S 15＝15a 1＋15×142d ＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，d ＝23，所以S n ＝－3n ＋n （n －1）2×23＝13n 2－103n .令f (n )＝nS n ，则f (n )＝13n 3－103n 2，设f (x )＝13x 3－103x 2，则f ′(x )＝x 2－203x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝203，∴当x >203时，f ′(x )>0，0<x <203时，f ′(x )<0，则f (n )的最小值在f (6)、f (7)中取到. 则f (6)＝－48，f (7)＝－49， 所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49. 答案 －494.(xx·全国Ⅱ，17)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.5.(xx·大纲全国，18)等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知：等差数列{a n }的公差d 为整数. 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n10（10－3n ）. 6.(xx·全国Ⅰ，17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n ). 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n 3（2n ＋3）. 等差数列中的运算问题1.(xx·重庆，2)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A.－1 B.0 C.1D.6解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B2.(xx·福建，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12D.14解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3d ，所以12＝3×2＋3d ，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C. 答案 C3.(xx·辽宁，8)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A.d <0B.d >0C.a 1d <0D.a 1d >0解析 {2a 1a n }为递减数列，可知{a 1a n }也为递减数列，又a 1a n ＝a 21＋a 1(n －1)d ＝a 1dn ＋a 21－a 1d ，故a 1d <0，故选C.答案 C4.(xx·北京，12)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×（6－1）2×(－2)＝6.答案 65.(xx·江苏，8)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________.解析 设等差数列{a n }公差为d ，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20. 答案 206.(xx·陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.解析 由题意设首项为a 1，则a 1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a 1＝5. 答案 5 等差数列的性质7.(xx·北京，6)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析 A ，B 选项易举反例，C 中若0＜a 1＜a 2， ∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3， 又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3， 即a 2>a 1a 3成立. 答案 C8.(xx·广东，10)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 解析 因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 109.(xx·江西，12)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析 ∵{a n }，{b n }均是等差数列，根据等差数列的性质a 1＋a 5＝2a 3，b 1＋b 5＝2b 3， 即a 5＝2a 3－a 1，b 5＝2b 3－b 1，∴a 5＋b 5＝2(a 3＋b 3)－(a 1＋b 1)＝2×21－7＝35. 答案 35等差数列的综合应用10.(xx·浙江，6)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列 C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A11.(xx·四川，16)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值.解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以公比q ＝2， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n. (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.12.(xx·山东，20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数).令c n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝1， 则a 2＝2a 1＋1，即a 1＝d －1，① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ，② 由①②联立解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由题意知，T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫λ－n 2n－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *).∴R n ＝c 1＋c 2＋…＋c n －1＋c n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1，14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ， 两式相减得34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ，整理得R n ＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1。

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第0２节 等差数列及其前ｎ项和一、选择题(本大题共1２小题,每小题５分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.）１．【２017届浙江台州中学高三10月月考】一个等差数列的项数为2n ,若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=,24272n a a a ++⋅⋅⋅+=,且1233n a a -=，则该数列的公差是( )Ａ。

3 B 。

-3 C.-２ D 。

—1 【答案】B.２．【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三模考】等差数列{}n a 中，564a a +=,则10122log (222)a a a ⋅= ( )Ａ。

10 B.20 Ｃ。

４0 D.22log 5+ 【答案】B【解析】因为10121056125()54222222a a a a a a a a ++++⨯⋅⋅⋅===，所以10125422log (222)log 220.a a a ⨯⋅⋅⋅==选B 。

3．数列{}n a 为等差数列，满足242010a a a +++=，则数列{}n a 前21项的和等于( )A ．212B ．2１C ．42 Ｄ.84 【答案】B【解析】根据等差数列的求和公式，可知22010()102a a +=，即2202a a +=,所以数列{}n a 前2１ 项的和为1212121()212a a S +==,故答案为Ｂ．4．【云南省玉溪第一中学２0１8届高三上学期第一次月考】数列{}n a 是首项11a =,对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =( )A 。

6.2 等差数列典例精析题型一 等差数列的判定与基本运算【例1】已知数列{an}前n 项和Sn ＝n2－9n.(1)求证：{an}为等差数列；(2)记数列{|an|}的前n 项和为Tn ，求 Tn 的表达式.【解析】(1)证明：n ＝1时，a1＝S1＝－8，当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝n2－9n －[(n －1)2－9(n －1)]＝2n －10，当n ＝1时，也适合该式，所以an ＝2n －10 (n ∈N*).当n≥2时，an －an －1＝2，所以{an}为等差数列.(2)因为n≤5时，an≤0，n≥6时，an ＞0.所以当n≤5时，Tn ＝－Sn ＝9n －n2，当n≥6时，Tn ＝||a1＋||a2＋…＋||a5＋||a6＋…＋||an＝－a1－a2－…－a 5＋a6＋a7＋…＋an＝Sn －2S5＝n2－9n －2×(－20)＝n2－9n ＋40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式. 【变式训练1】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S21＝42，若记bn ＝1391122a a a --，则数列{bn}( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列 【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列，则S21＝21a1＋21×202d ＝42. 所以a1＋10d ＝2，即a11＝2.所以b n ＝1391122a a a --＝22－(2a11)＝20＝1，即数列{bn}是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.题型二 公式的应用【例2】设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.【解析】(1)依题意，有S12＝12a1＋12×(12－1)d 2＞0，S13＝13a1＋13×(13－1)d 2＜0， 即⎩⎨⎧<+>+②① 06 011211d a d a由a3＝12，得a1＝12－2d.③将③分别代入①②式，得⎩⎨⎧<+>+03,0724d d所以－247＜d ＜－3. (2)方法一：由d ＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a 12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得an ＞0，an ＋1＜0，则Sn 就是S1，S2，…，S12中的最大值.由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S 12中，S6的值最大.方法二：由d ＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得an ＞0，an ＋1＜0，则Sn 就是S1，S2，…，S 12中的最大值.故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.【变式训练2】在等差数列{an}中，公差d ＞0，a2 008，a2 009是方程x2－3x －5＝0的两个根，Sn 是数列{an}的前n 项的和，那么满足条件Sn ＜0的最大自然数n ＝ .【解析】由题意知⎩⎨⎧<-=>=+,05,03009 2008 2009 2008 2a a a a 又因为公差d ＞0，所以a2 008＜0，a2 009＞0.当n ＝4 015时，S4 015＝a1＋a4 0152×4 015＝a2 008×4 015＜0；当n ＝4 016时，S4 016＝a1＋a4 0162×4 016＝a2 008＋a2 0092×4 016＞0.所以满足条件Sn ＜0的最大自然数n ＝4 015. 题型三 性质的应用【例3】某地区2019年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.所以9月10日的新感染者人数为40＋(10－1)×40＝400(人).所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390(人).(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10＝10(40＋400)2＝2 200(人)， 9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为－10的等差数列.所以后20天新感染者的人数和为T20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5 900(人). 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人).【变式训练3】设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为【解析】因为等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4≥10，S5≤15，所以5＋3d 2≤a4≤3＋d ，即5＋3d≤6＋2d ，所以d≤1， 所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.总结提高1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am ＝an ＋(m －n)d.2.在五个量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.。

专题6.2 等差数列及其前n 项和1．（江西师范大学附属中学2019届高三三模）已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ）A ．2B ．7C ．14D ．28【答案】C 【解析】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===，本题选C 。

2．（安徽省1号卷A10联盟2019届模拟）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=（ ）A ．12B ．9C ．6D ．3【答案】B【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==本题选B 。

3．（贵州省贵阳市2019届高三模拟）已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A ．6 B ．6-C ．2-D ．4【答案】A【解析】∵{a n }为递增的等差数列，且a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8， ∴a 5+a 6=2，∴a 5，a 6是方程22x 80x --=的两个根，且a 5＜a 6， ∴a 5=-2，a 6=4， ∴d=a 6-a 5=6， 故选A 。

4．（河北衡水中学2019届高三调研）已知等比数列{}n a 中，若12a =，且1324,,2a a a 成等差数列，则5a =（ ）A ．2B ．2或32C ．2或-32D ．-1【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q （q 0≠），1324,,2a a a 成等差数列， 321224a a a ∴=+，10a ≠， 220q q ∴--=，解得：q=2q=-1或，451a =a q ∴，5a =232或，故选B.5．（浙江省金华十校2019届高三模拟）等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ）A ．1-B ．0C ．2D ．3【答案】B【解析】等差数列{}n a 的公差设为d ，等比数列{}n b 的公比设为q ，0q ≠，由111a b ==，53a b =，可得214d q +=，则2291812(1)211a d q q =+=+-=->-，可得9a 能取到的最小整数是0，故选B 。

§6.2等差数列及其前n项和【考点集训】考点一等差数列的定义及通项公式1.(2018陕西咸阳12月模拟,7)《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾,且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,现在一月(按30天计)共织布390尺,最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺答案C2.(2017安徽淮南一模,15)已知数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a n+2n-1(n∈N*),且为等差数列,则λ的值是.答案-13.(2018河南开封定位考试,17)已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=.(1)求证:数列是等差数列;(2)若b n=a n a n+1,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:∵a=,∴=,n+1∴-=.∴数列是以2为首项,为公差的等差数列.(2)由(1)知a n=,∴b n==4-,∴S n=4--…-=4-=.考点二等差数列的性质(2019届湖北宜昌模拟,6)已知数列{a}满足=25·,且a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=()nA.-3B.3C.-D.答案A考点三等差数列的前n项和1.(2018安徽安庆调研,5)等差数列{a n}中,已知S15=90,那么a8=()A.12B.4C.3D.6答案D2.(2017河南部分重点中学二联,6)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和,且a1>0,若S5=S9,则当S n最大时,n=()A.6B.7C.10D.9答案B3.(2019届福建龙岩永定区模拟,10)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n和T n,且=,则=()A.B.C.D.答案 D炼技法 【方法集训】方法1 等差数列的判定与证明的方法(2019届福建三明模拟,17)已知数列{a n }中,a n =2n-1. (1)证明:数列{a n }是等差数列;(2)若数列{a n }的前n 项和S n =25,求n.解析 (1)证明:∵a n+1-a n =2(n+1)-1-(2n-1)=2,a 1=1, ∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为2. (2)由(1)得数列{a n }的前n 项和S n =n+ -×2=n 2,由S n =25得n 2=25,又n>0,解得n=5.方法2 等差数列前n 项和的最值问题的解决方法1.(2019届江西高安模拟,11)已知数列{a n }是等差数列,其前n 项和为S n ,满足a 1+3a 2=S 6,给出下列结论:(1)a 7=0;(2)S 13=0;(3)S 7最小;(4)S 5=S 8.其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 C2.(2019届福建龙岩新罗区模拟,12)已知等差数列{a n }的公差为-2,前n 项和为S n ,a 3,a 4,a 5为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为120°,若S n ≤S m 对任意的n ∈N *恒成立,则实数m=( ) A.7 B.6 C.5D.4答案 B3.(2019届福建龙岩新罗区模拟,16)等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,且S 6<S 7,S 6>S 8,给出下列结论: ①数列{a n }的公差d<0;②S 9<S 6;③S 14<0;④S 7一定是S n 中的最大值. 其中正确的是 (填序号). 答案 ①②③④过专题【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 等差数列的定义及通项公式(2016课标全国Ⅱ,17,12分)等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析 (1)设数列{a n }的公差为d,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3. 解得a 1=1,d=.(3分) 所以{a n }的通项公式为a n =.(5分) (2)由(1)知,b n =.(6分) 当n=1,2,3时,1≤<2,b n =1; 当n=4,5时,2<<3,b n =2;当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;当n=9,10时,4<<5,bn=4.(10分)所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.(12分)考点二等差数列的性质(2015课标Ⅱ,5,5分)设Sn 是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案A考点三等差数列的前n项和1.(2015课标Ⅰ,7,5分)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A. B. C.10 D.12答案B2.(2014课标Ⅱ,5,5分)等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C. D.-答案A3.(2018课标全国Ⅱ,17,12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.解析(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为a n=2n-9.(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2016浙江,8,5分)如图,点列{A n},{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+2,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{}是等差数列答案A2.(2014辽宁,9,5分)设等差数列{a n}的公差为d.若数列{}为递减数列,则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0答案D3.(2015北京,16,13分)已知等差数列{a n}满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求{a n}的通项公式;(2)设等比数列{b n}满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列{a n}的第几项相等?解析(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a4-a3=2,所以d=2.又因为a1+a2=10,所以2a1+d=10,故a1=4.所以an=4+2(n-1)=2n+2(n=1,2,…).(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2=a3=8,b3=a7=16,所以q=2,b1=4.所以b6=4×26-1=128.由128=2n+2得n=63.所以b6与数列{an}的第63项相等.4.(2014浙江,19,14分)已知等差数列{a n}的公差d>0.设{a n}的前n项和为S n,a1=1,S2·S3=36.(1)求d及S n;(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=65.解析(1)由题意知(2a1+d)(3a1+3d)=36,将a1=1代入上式解得d=2或d=-5.因为d>0,所以d=2.从而an=2n-1,S n=n2(n∈N*).(2)由(1)得a m+a m+1+a m+2+…+a m+k=(2m+k-1)(k+1),所以(2m+k-1)(k+1)=65.由m,k∈N*知2m+k-1≥k+1>1,故-所以考点二等差数列的性质1.(2014重庆,2,5分)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14答案B2.(2015陕西,13,5分)中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为. 答案5考点三等差数列的前n项和1.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C2.(2015安徽,13,5分)已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1+(n≥2),则数列{a n}的前9项和等于.答案27C组教师专用题组考点一等差数列的定义及通项公式1.(2013安徽,7,5分)设S n为等差数列{a n}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2答案A2.(2014陕西,14,5分)已知f(x)=,x≥0,若f1(x)=f(x),f n+1(x)=f(f n(x)),n∈N+,则f2014(x)的表达式为.答案f2014(x)=3.(2015福建,17,12分)等差数列{a n}中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=-+n,求b1+b2+b3+…+b10的值.解析(1)设等差数列{an}的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得b n=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(210+10)=(2+22+23+...+210)+(1+2+3+ (10)=--+=(211-2)+55=211+53=2101.4.(2013课标Ⅰ,17,12分)已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3=0,S5=-5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列-的前n项和.解析(1)设{an}的公差为d,则S n=na1+- d.由已知可得-解得a1=1,d=-1.故{an}的通项公式为a n=2-n.(2)由(1)知-=--=---,从而数列-的前n项和为--+-+…+---=-.5.(2013江西,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求的值.解析(1)证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B,因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=.考点二 等差数列的性质(2013辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题: p 1:数列{a n }是递增数列; p 2:数列{na n }是递增数列; p 3:数列是递增数列; p 4:数列{a n +3nd}是递增数列.其中的真命题为( ) A.p 1,p 2 B.p 3,p 4 C.p 2,p 3 D.p 1,p 4 答案 D考点三 等差数列的前n 项和1.(2014天津,5,5分)设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A.2B.-2C.D.-答案 D2.(2014重庆,16,13分)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和.(1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n . 解析 (1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)== -=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16.因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0,即q 2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4. 又因为b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列,所以b n =b 1q n-1=2×4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =- -= (4n-1). 3.(2013浙江,19,14分)在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(1)求d,a n ;(2)若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.解析 (1)由题意得5a 3·a 1=(2a 2+2)2,即d 2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n =-n+11,n ∈N *或a n =4n+6,n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0,由(1)得d=-1,a n =-n+11,所以当n ≤11时, |a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =-n 2+n.当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=-S n +2S 11=n 2-n+110. 综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | = --【三年模拟】时间:45分钟 分值:60分一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2018河南开封定位考试,5)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1+a 5=10,S 4=16,则数列{a n }的公差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B2.(2017辽宁六校协作体期中,8)已知等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n,T n,若对于任意的正整数n,都有=-,则-+=()A. B. C. D.答案A3.(2018云南玉溪模拟,9)若{a n}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2013(a2012+a2013)<0,则使数列{a n}的前n项和S n>0成立的最大正整数n是()A.4027B.4026C.4025D.4024答案D4.(2017广东惠州二调,7)设S n是等差数列{a n}的前n项和,若=,则=()A.1B.-1C.2D.答案A5.(2019届河北唐山模拟,8)已知数列{a n}的前n项和S n=2+λa n,且a1=1,则S5=()A.27B.C.D.31答案C6.(2019届浙江温州模拟,9)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a2=4,a4=6,b3=3,b7=9,由{a n},{b n}的公共项组成新数列{c n},则c10=()A.18B.24C.30D.36答案C7.(2019届河北唐山模拟,6)设{a n}是任意等差数列,它的前n项和、前2n项和与前4n项和分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是()A.2X+Z=3YB.4X+Z=4YC.2X+3Z=7YD.8X+Z=6Y答案D二、填空题(共5分)8.(2018四川德阳一模,7)我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”:今有与人钱,初一人与三钱,次一人与四钱,次一人与五钱,以次与之,转多一钱,与讫,还敛聚与均分之,人得一百钱,问人几何?意思是:将钱分给若干人,第一人给3钱,第二人给4钱,第三人给5钱,以此类推,每人比前一人多给1钱,分完后,再把钱收回平均分给各人,结果每人分得100钱,问有多少人?则题中的人数是.答案195三、解答题(共20分)9.(2018广东惠州一调,17)已知等差数列{a n}的公差不为0,前n项和为S n(n∈N*),S5=25,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求a n与S n;(2)设b n=,求证:b1+b2+b3+…+b n<1.解析(1)设等差数列{a}的公差为d(d≠0),n则由S=25可得a3=5,即a1+2d=5①,5又S,S2,S4成等比数列,且S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,1所以(2a+d)2=a1(4a1+6d),整理得2a1d=d2,1因为d≠0,所以d=2a②,1联立①②,解得a=1,d=2,1所以a=1+2(n-1)=2n-1,S n=-=n2.n(2)证明:由(1)得b n==-,所以b1+b2+b3+…+b n=-+-+…+-=1-.又∵n∈N*,∴1-<1.∴b1+b2+b3+…+b n<1.10.(2019届河北曲周模拟,17)等差数列{a n}中,公差d<0,a2+a6=-8,a3a5=7.(1)求{a n}的通项公式;(2)记T n为数列{b n}前n项的和,其中b n=|a n|,n∈N*,若T n≥1464,求n的最小值.解析(1)∵等差数列{an}中,公差d<0,a2+a6=-8,∴a2+a6=a3+a5=-8,又∵a3a5=7,∴a3,a5是一元二次方程x2+8x+7=0的两个根,且a3>a5,解方程x2+8x+7=0,得a3=-1,a5=-7,∴--解得a1=5,d=-3.∴a n=5+(n-1)×(-3)=-3n+8.(2)由(1)知{a n}的前n项和S n=5n+-×(-3)=-n2+n.∵b n=|a n|,∴b1=5,b2=2,b3=|-1|=1,b4=|-4|=4,当n≥3时,bn=|a n|=3n-8.当n<3时,T1=5,T2=7;当n≥3时,Tn=-S n+2S2=-+14.∵T n≥1464,∴T n=-+14≥1464,即(3n-100)(n+29)≥0,解得n≥,∴n的最小值为34.。

专题6.2等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 21.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d,则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n,则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一等差数列基本量的运算【典例1】（2019年全国I 卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则()A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。