例谈放缩法证明不等式的基本策略

目录引言 (2)1.放缩法的常用技巧……………………………………………………………………（3）1.1增减放缩法………………………………………………………………………（3）1.2公式放缩法………………………………………………………………………（5）1.3利用函数的性质…………………………………………………………………（6）1.4综合法……………………………………………………………………………（9）1.5数列不等式的证明………………………………………………………………（11）2.放缩法要放缩得恰到好处……………………………………………………………（12）2.1调整放缩量的大小………………………………………………………………（12）2.2限制放缩的项和次数……………………………………………………………（13）2.3将不等式的一边分组进行放缩…………………………………………………（14）总结 (16)致谢 (17)参考文献 (18)浅谈用放缩法证明不等式学生：指导老师：淮南师范学院数学与计算科学系摘要：本文介绍了放缩法的基本概念, 在此基础上总结出增减放缩法、公式放缩法、利用函数的性质放缩和综合法等用放缩法证明不等式的常用技巧,以及数列不等式证明中放缩法的应用,并进而从三个方面阐述使用放缩法过程中如何使放缩适当的问题.这对证明不等式很有帮助。

关键词：不等式;放缩法;技巧;适当Proving the Inequity by Amplification and MinificationStudent：Guide teacher：Huainan Normal University Department of MathematicsAbstract:This paper introduces the fundamental conception of the amplification and minification method. And on the basis of this, it sums up some commonly used skills: increasing or reducing some terms, using important inequality formula, using function properties, synthesis method, and the amplification method to demonstrate the sequence inequality. In addition, it describes how to make it appropriate in proving the inequality by the amplification and minification method from three aspects. They do much help to demonstrating inequality.Key words:inequality; amplification and minification; skill; appropriate引言在证明不等式的过程中,我们的基本解题思路就是将不等式的一边通过若干次适当的恒等变形或不等变形(放大或缩小),根据等式的传递性①和不等式的传递性②逐步转化出另外一边.与等式的证明相比较,不等式的证明最大特色就是在变形过程中它有“不等的”变形,即对原式进行了“放大”或“缩小”.而这种对不等式进行不等变形,从而使不等式按同一方向变换,达到证明目的的特有技巧我们称之为放缩法.因其技巧性强,方法灵活多变,同学们一直较难掌握.想要很好的在不等式证明中运用放缩法,应当注意以下两点：①掌握放缩法的一些常用策略和技巧；②放缩法要放缩得恰到好处,才能达到证题的目的.本文着重就这两点举例加以说明.1 放缩法的常用技巧1.1 增减放缩法1.1.1 增加（减去）不等式中的一些正（负）项在不等式的证明中常常用增加（减去）一些正(负)项,从而使不等式一边的各项之和变大(小),从而达到证明的目的.例1 设c b a ,,都是正数,1=++ca bc ab ,求证：3≥++c b a . 证明：()ca bc ab c b a c b a 2222222+++++=++()()()[]()ca bc ab a c c b b a +++-+-+-=321222 ()33=++≥ca bc ab,3≥++∴c b a 当且仅当33===c b a 时取等号.1.1.2 增大（减小）不等式一边的所有项将不等式一边的各项都增大或减小,从而达到放缩的目的.例2[1](02年全国卷理科第21题) 设数列{}n a 满足121+-=+n nn na a a ,且() ,3,2,12=+≥n n a n ,求证：2111111111321≤++++++++n a a a a 证明：由121+-=+n nn na a a ,得：()11+-=+n a a a n n n , 2≥-n a n ,121+≥∴+n n a a ,()01211>+≥+∴+n n a a ,nn a a +⋅≤+∴+1121111,于是有：12112111a a +⋅≤+, 12231121112111a a a +⋅≤+⋅≤+, 13341121112111a a a +⋅≤+⋅≤+,……,1111121112111a a a n n n +⋅≤+⋅≤+--, 21311211211211112121211111111111112321=+⋅≤+⋅--=+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++++≤++++++++∴-a a a a a a nn n1.1.3 增大（减小）不等式一边的部分项在不等式的证明中,有时候增大或减小不等式一边的所有项会造成放缩过度,因此,在考虑这些问题时要根据题目的具体情况进行部分项的放缩.例3 求证()2,2214131212222≥∈-≥++++*n N n n n n. 证明：()11111112+-=+>⋅=n n n n n n n, ()nn n 11111,,413131,312121222-->-->->∴. 把以上（n-2）个不等式相加,得()n n n n 22121114131212222-=->-++++ ()n n nn n n n 22122111413121222222->+->+-++++∴故原不等式成立.1.1.4 增大（减小）分子或分母的值增大或减小不等式一边分数中分子或分母的值,从而达到放缩目的.例4 求证()()*24112125191N n n ∈<++++ . 证明：()()(),111141)1(41112112122≥⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=-+<+k k k k k k k()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅<+++∴111312121141121251912n n n,4111141<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n即().41121251912<++++n1.2 公式放缩法即利用已有的大家熟悉的不等式来进行放缩,这里我们主要利用的是均值不等式1以及()b a R m b a ma ma b a <∈++<+,,,,,下面分别举例说明. 1.2.1 均值不等式例5 若,1,*>∈n N n 求证：()()().6121!2nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++< 证明：,2121222222nn n n+++<⋅⋅⋅ 而()()216121222++=+++n n n n故()()121612122++<⋅⋅⋅n n n n n即()()().6121!2nn n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++< 例6 已知:()13221+⨯++⨯+⨯=n n S n均值不等式：()n i R a n a a a a a a i nnn ,2,1,2121=∈+++≤+.求证:()()21212+<<+n S n n n . 证明:()()211++<+<⨯=n n n n n n n()13221+⨯++⨯+⨯=∴n n S n 2122523+++<n()()21212+<+=n n n 又()13221+⨯++⨯+⨯=n n S n ()2121+=+++>n n n1.2.2()b a R m b a ma m ab a <∈++<+,,,, 例7[4] 若正数c b a ,,满足,c b a >+求证：.111cc b b a a +>+++ 证明：;0,>-+∴>+c b a c b a()(),111111b b a a b a b b a a c b a c c b a c c c +++<+++++=-+++-++<+∴即原不等式成立.1.3 利用函数的性质主要指利用函数的单调性和有界性来进行放缩. 1.3.1 利用特殊函数的单调性这里的特殊函数主要指一些已知单调性的函数,如指数函数和对数函数等. 例8 求证：.4log 3log 32> 证明：我们先给出常规解法；,3lg 2lg 4lg 2lg 3lg 3lg 4lg 2lg 3lg 4log 3log 232⋅⋅-=-=-,3lg 29lg 28lg 24lg 2lg 4lg 2lg 2222=⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⋅.4log 3log ,04log 3log 3232>∴>-∴另外,还有更简便的方法..4log 16log 16log 27log 3log 39882=>>=1.3.2 利用特殊函数的有界性这里的特殊函数主要指一些大家熟知有界性的函数,如0,1|cos |,1|sin |2≥≤≤x x x 等. 例9[5] 已知βα,为整数,并且,πβα≤+求证：.2sin2sin 1sin 1222βαβα+≥+证明： ,,0,0πβαβα≤+>>()(),1cos cos ,0sin ,0sin ≤-<+>>∴βαβαβα()()().2sin2cos 14cos cos 4sin sin 2sin 1sin 1222βαβαβαβαβαβα+=+-≥+--=≥+∴(当且仅当βα=时取等号).1.3.3 利用一般函数的性质利用一般函数的单调性和有界性进行放缩.例10 求证3≤a 时,.,521312111N n a n n n ∈->++++++ 证明：令()(),1312111N n n n n n f ∈++++++= ()()()()().04323132114313312311>+++=+-+++++=-+n n n n n n n n f n f()(),1n f n f >+∴()n f 是增函数,其最小值为()()(),12134131211,1min =++==f n f f故对一切自然数,()11213>≥n f ； 再由3≤a ,知,152≤-a 比较得：当3≤a 时,.,521312111N n a n n n ∈->++++++ 例11 设定义在R 上的函数()ax xx f +=2,求证：对任意的R y x ∈,,()()1||<-y f x f 的充要条件是.1>a证明：利用求导数、均值不等式或判别式法均可求得：()().21,21min max ax f ax f -==根据()(),21,21min max ax f ax f -==得()(),11a y f x f a≤-≤-即()(),1||max ay f x f =-故对,,R y x ∈()()()().1111||1||max >⇔<⇔<-⇔<-a ay f x f y f x f例12 已知n n n n T t t t a ],2,21[,121∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=是{}n a 的前n 项和 求证:nn n T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<222. 证明:令()⎪⎭⎫⎝⎛+=n n t t t f 121,则: ()⎪⎭⎫⎝⎛+='+-1112n n t t n t f 令()0='t f ,得1=t .当121<≤t 时, ()0<'t f ；当21≤<t 时, ()0>'t f ; 从而可知()t f 在]1,21[上递减,在]2,1[上递增,故：(){}()n n f f t f 2122,21max max +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=()n n t f 212+≤∴ 即 ,2,1,212=+≤n a n n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++≤nn n T 2121212222122 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nn2112112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=nn211212 nn ⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅->2112212nn ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2221.4 综合法对于比较复杂的不等式证明,有时需要综合以上两种放缩手法进行不止一次的放缩.例13[7](1985年高考题)()()()()N n n n n n n ∈+<+++⋅+⋅<+,2113221212证明：()n n n n =≥+21()()212113221+=+++≥++⋅+⋅n n n n n ① 而()()211+<+n n n n()()2123222113221++++++<++⋅+⋅∴n n n n2122523212122523++++<+++=n n②()()().212211212+=⋅+++=n n n 在①中运用了增减放缩法,②运用了公式放缩法和增减放缩法.例14 数列{}n a 满足11=a 且()1211121≥+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n a n n a n n n(Ⅰ)用数学归纳法证明()22≥≥n a n ； (Ⅱ)已知不等式()x x <+1ln 对0>x 成立. 证明：(Ⅰ)用数学归纳法证明,略； (Ⅱ)用递推公式及(Ⅰ)的结论有()1,21112111221≥⎪⎭⎫⎝⎛+++≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+n a n n a n n a n n n n n 两边取对数并利用已知不等式得：n n n a n n a ln 2111ln ln 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤+ nn n n a 211ln 2+++≤ ()1,211ln ln 21≥++≤-∴+n n n a a n n n上式从1到1-n 求和可得： ()12121212111321211ln ln -++++-++⨯+⨯≤-∴n n n n n a a 211211211113121211-⎪⎭⎫⎝⎛-+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=nnn221111<-+-=n n 证明过程中分别运用了增减放缩法和利用特殊函数性质的放缩法.1.5 数列不等式的证明在数列不等式的证明中,我们大量采用放缩法,在这里我们把它单独提出来说明.而这里的数列主要指“叠加”模型的数列不等式,可以利用放缩法对叠加的数列进行化简,从而达到证明的目的.这里“叠加”模型指的是形如：()n f a a a n ≤+++ 21,这里的≤也可以是≥、<或>.例15 已知N n n ∈≥,2,证明n n n113121222-≤+++ 证明：2111211212-=⋅<； 3121321312-=⋅<；……()nn n n n 1111112--=-<； 各式相加,得：n n n n11113121222-≤-<+++ 例16 若*,131211N n nS n ∈++++=求证：()n S n n 2112<<-+ 证明：()121221--=-+<+=k k k k k k k又()k k k k kk k -+=++>+=121221当n n k ,1,,3,2,1-= 时, ()()01211122-<<-()()12221232-<<-……()()2121112---<-<--n n n n n()()12112--<<-+n n nn n将上式相加,得到：()n S n n 2112<<-+.在数列不等式的放缩中,放缩的主要目的是使不等式裂项相消,也可以组成等差、等比数列,利用公式求和,或者运用根式有理化后的放缩,探索n 项相加的递推式,然后逐项相消.2 放缩法要放缩得恰到好处2.1 调整放缩量的大小放缩量的大小,即放缩的“精确度”,直接影响到是否能达到欲证明的目标.放大多少,缩小多少,把握“度”的火候,要因题适宜.例17 已知nS n 131211++++= ,求证：(Ⅰ)n S n ≥； (Ⅱ)()112-+>n S n ； (Ⅲ)n S n 2<. 证明：(Ⅰ) nS n 131211++++=n nn nnn =⋅=+++≥1111 ；(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,为此需调整放缩幅度, 12221++>=k k kk()n k k k ,,3,2,1,12 =-+=nS n 131211++++=∴()()()n n -+++-+->12232122().112-+=n(Ⅲ)改变放缩方向,故12221-+<=k k kk()n k k k ,,3,2,1,12 =--=nS n 131211++++=∴()()()12122012--++-+-<n n().2n =例18 求证(Ⅰ)2!1!21!11<+++n ；(Ⅱ) ().,47!1!21!11N n n ∈<+++证明：(Ⅰ)()()1222112211!1⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅--= n n n n ()3211≥=-n n∴左边132212121!211-+++++<n 1212--=n(Ⅱ)是(Ⅰ)的加强不等式,将放缩间距调整小些,得到：()()12333112211!1⋅⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅--= n n n n ()43212≤⋅=-n n 则左边232321321321!31!211-⋅++⋅+⋅+++<n 473121472<⋅-=-n2.2 限制放缩的项和次数若对不等式中的每一项都进行放缩,很可能造成放得过大或缩得太小,若限制放缩的项,保留一些特定项不变,可以通过这样来调整放缩的“度”,逼近欲证明的目标,这与第一部分的1.1.3也是相通的.例19 求证().,31366112111*222N n n n n∈≥-<+++ 证明：这是一个常见问题的改编题,我们先给出一般算法：()n n n 1132121111121112222-+⨯+⨯+<+++ n12-= 由nn 1366112->-,显然放得过大,要减少放大的项； 先试试减少一项：()n n n 1143132121111211122222-+⨯+⨯++<+++ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=n n 11141313121411 n147-= 由nn 13661147->-.再试试减少两项：()n n n 1143131211112111222222-+⨯+++<+++ n13661-=如此可得出,放缩时减少两项可以得到欲证目标. 2.3 将不等式的一边分组进行放缩把不等式的一边进行分组,将有关联的项放在一起进行放缩,不仅可以减少放缩的项,还可以有效地控制放缩的“度”,减少误差,并且更有方向性,尽量避免放缩的盲目性和随意性.例20 已知数列的通项公式是()nn n a 23--=(Ⅰ)求证：当k 为奇数时,113411++<+k k k a a ；(Ⅱ)求证：()*2121111N n a a a n ∈<++ . 证明：(Ⅰ) 略(Ⅱ) 当n 为偶数时,⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-n n n a a a a a a a a a 1111111111432121 n34343434642++++< 2131121<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n 当n 为奇数时,因为011>+n a ,则：121211111111++++<++n n n a a a a a a a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+14321111111n n a a a a a a 164234343434+++++<n 21311211<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n 例21 求证1021413121510<++++<证明：由于122121213121=⋅=+<+；14414141414171615141=⋅=+++<+++；…… ……12212121211211212199299910999=⋅=+++<-++++； 由12110<,将上面的不等式两边相加,得到： 102141312110<++++又由于2121=；2124141414131=⋅=+>+；214818181818181716151=⋅=+++<+++；…… ……92101010109921212121221121+++<+++++ 21221910=⋅=； 将上面的不等式两边相加,得到：52141312110>++++ ； 于是,综上得到1021413121510<++++< .总 结综上可知,放缩法的技巧千变万化,灵活多样.而事实上,放缩法贯穿于整个不等式的证明过程中,不等式证明的每一步几乎都与“放”与“缩”密切相关.在证明的过程中要注意几点：(1)在放缩过程中不等号的方向必须一致；(2)运算时要注意总结规律,有些不等式用特定的放缩方法可以使计算简便,而有些不等式可以用很多种方法解决；(3)不等式的放缩法在不等式的证明中应用广泛,但是遇到具体题目时不能生搬硬套,必须根据实际情况考虑是用什么方法.另外,用放缩法证明不等式关键就是“度”的把握,如果放得过大或太小就会导致解题失败,而如果放缩不适当要学会调整,一些实用的技巧可以帮助我们把握放缩中的“度”,而具体怎样放缩才适度,需要我们在解题过程中去体会.放缩法有着高度的灵活性和极强的技巧性,放缩方法更是多种多样,要能恰到好处的想到具体解题中的放缩方法,需要积累一定的不等式知识,同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧.致谢感谢我的导师，她在我的论文写作过程中倾注了大量心血，从选题开始到开题报告，从写作提纲到一遍遍的指出稿中的具体问题，每一个工作她都做得那么的细致认真，她的严谨的态度和工作风深深的感动着每一个了解她的人。

放缩法证明数列不等式数列不等式是指对于数列${a_n}$，能够证明其满足其中一种特定的不等关系。

放缩法是一种常用的证明数列不等式的方法，其核心思想是通过数学推导和合适的放缩操作，将需要证明的不等式转化为已知的不等式或者已有的数学结论。

下面我将详细阐述放缩法的步骤，并通过一个具体的例子来演示放缩法如何证明数列不等式。

步骤一：首先，我们要明确需要证明的不等式形式。

通常，数列不等式可以分为两种情况：单调性不等式和两边夹逼不等式。

单调性不等式需要证明数列${a_n}$的单调性（如$a_{n+1}>a_n$），而两边夹逼不等式需要证明数列${a_n}$的极限（如$\lim_{n\to\infty}a_n=a$）。

在这里，我们以两边夹逼不等式为例来进行讲解。

步骤二：建立需要用到的不等式。

通常，需要利用已知的数学不等式或结论来辅助证明原不等式。

常见的不等式包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反证法等。

在这里，我们以柯西-施瓦茨不等式为例进行讲解。

步骤三：利用放缩操作将原不等式转化为已知的不等式或数学结论。

放缩操作的核心是通过合适的代换或变形，对不等式进行放大或缩小，使得我们能够应用已知的不等式或数学结论。

在这里，我们以一个具体的例子来演示放缩操作的过程。

假设我们要证明数列${a_n}$满足以下不等式：$\frac{a_{n+1}}{a_n}<2$。

我们可以采用放缩法来证明这个不等式。

首先，我们知道对于任意的实数$x$，都有$x^2\geq 0$。

这是由平方数的非负性质可得，也可以通过推导得出。

根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(a_n\cdot 1-a_{n+1}\cdot 1)^2\geq 0$，即$a_n^2+a_{n+1}^2-2a_n\cdot a_{n+1}\geq 0$。

然后，利用放缩操作，我们可以将上述不等式改写为$a_n^2+a_{n+1}^2\geq 2a_n\cdot a_{n+1}$。

《证明不等式的基本方法反证法与放缩法》证明不等式的基本方法包括反证法和放缩法。

反证法是一种常用的证明不等式的方法，它的思路是假设不等式不成立，然后通过推理推出一个矛盾的结论，从而证明原不等式的成立。

放缩法是通过对不等式进行变形、放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

首先介绍反证法。

对于一个要证明的不等式，我们可以假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

然后通过对这个假设的推理，得出一个与已知条件相矛盾的结论，从而证明假设是错误的，进而证明原不等式的成立。

具体步骤如下：1.假设不等式不成立，即假设存在一些满足条件的变量使得不等式不成立。

2.根据已知条件和假设，对变量进行推理，得出结论。

3.利用这个结论推出与已知条件矛盾的结论。

4.由此可以得出假设是错误的，从而证明原不等式的成立。

举个例子来说明反证法的应用：对于不等式x+y>0，假设不等式不成立，即存在一些满足条件的x和y使得x+y≤0。

然后我们通过推理可以得到y≤-x，即y的取值范围在x的左侧。

然而，根据已知条件，对于任意的x和y，x+y的和都大于0，与假设矛盾。

因此，假设错误，原不等式成立。

接下来介绍放缩法。

放缩法是通过对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

放缩法的关键在于找到合适的放缩因子和放缩方法。

具体步骤如下：1.根据不等式的特点，选择合适的放缩因子和放缩方法。

2.对不等式进行变形和放缩，将原不等式转化为一个更易证明的形式。

3.对新形式的不等式进行证明。

4.如果新形式的不等式成立，根据不等式的等价性，原不等式也成立。

举个例子来说明放缩法的应用：对于不等式(x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz，我们可以使用放缩法进行证明。

我们选择放缩因子2和放缩方法(x + y) ≥ 2√xy，可以得到(2√xy)(2√yz)(2√xz) ≥ 8xyz。

化简后得到(√xy)(√yz)(√xz) ≥ xyz，即x·y·z ≥ xyz，显然成立。

不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。

1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。

假设不等式是要证明的命题P，即P成立。

我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。

2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。

这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。

3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。

放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。

常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。

4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。

这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。

5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。

证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。

下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。

例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。

解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。

针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。

例二：证明对于任意的正实数x。

解：假设P为要证明的不等式。

针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。

放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点,以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。

放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）2、先放缩再求和（或先求和再放缩）子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）nJ k例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3-它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运用往往对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。

下面结合一例1、已知a n 2n 1(nN ).求证:a1a^a 2 a 3丑(n Na n 1).证明：Q皀ak 12k 1 2k1 2(2k11)1 3.2k2k21,2,..., n.a_a2a2 a3a nan 11 （1 1二（二 二1 a_ 3 a2 a2 a 3多项式的值变小。

由于证若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。

本题在放缩时就舍去了2k 2，从而是使和式得到化简例2、函数f (x ) =±-1 4x，求证:（1）+f （ 2）+…+f (n ) 证明：由f(n)=羊7=1--1 4n1得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(141 1丄2 212 221 1 *芦>1此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分1证明：£a k1< 1+ 兰肩 紀寸(k- 1)k(k +1)------------------------------ =1 V (k- 1)(k+1) ( )=nk ^A k 1)(k 1)5(k-1)—寸(k+ 1)=1 +1 +T n A/(n+1)V2+¥ <3.本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项,最后又放缩,有的放矢，直达目标4、放大或缩小因式” 例4、已知数列｛a n ｝满足a n证明Q0 1 a 1 2，a2 a n , a 2 n (a k k 1a k 1)a k 2 16 n (a k k 1 a 1 - ,求证： (a k ak 1)ak2k 11—,a 3丄L.当k1时,0 4 1611—(a 1 a n 1 ) — 16 32'n12a k 1) a k n(a k 2a3a ；,。

放缩法证明不等式例析放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，特别是高考压轴题中常出现可用放缩法证明的不等式与数列的综合题,掌握了用放缩法证明不等式的技巧就简单多了。

放缩法必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论中提炼，常用的放缩方法有增项，减项，利用分式的性质，利用不等式的性质，利用函数的性质进行放缩等。

一、分式放缩为同分母对于分式不等式，如果分母不统一，可以考虑将分式中的分母放缩为相同分母，再进行合理的计算和推理，从而可以快速证明不等式。

例1．已知a，b，c，d∈r+，s= + + + ，求证：1左边，当n=2时，不等式成立.（2）假设当n=k（k≥2，k∈n+）时，不等式成立，即1+ + +…+ （n∈n+，n>1）证明：∵［1+ 1+ …1+ 2］=（）2（）2… 2> ××…×=∴［1+ 1+ …1+ 2］> > （n∈n+，n>1）四、和与积的相互放缩由于均值不等式体现了和与积的不等关系的相互转换，因此常常利用均值不等式进行不等式中和与积的相互放缩。

例4．已知：数列an中，an= + ++…，求证：ann时， sm-snn时，sm-sn=an+1+an+2+…+am≤an+1+an+2+…+am≤ + +…+ = = ［1- m-n］1）.证明：∵ 0∴sn+1>sn当n≥3时，sn≥s3=4 + + >4 + +=sn=4 + +…+ <4［ + + + +…］①=4 + + -= - <故当n≥3且n∈n+时，有 < + +…+ < .注：在①式处构造了递推关系式 < ，并且保留和不变，其余项放大，最终凑到目标.八、利用不等式的性质放缩例8．设数列an满足an+1=an2-nan+1（n∈n+）.（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an一个通项公式.（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1且 n∈n+，有：①an≥n+2；② + +……≤ .（1）解：易得a2=3，a3=4，a4=5，由此猜想 an的一个通项公式为an=n+1（n∈n+）.（2）证明：①令bk=ak-（k+2），即ak=bk+k+2，代入递推式，有bk+1+k+3=（bk+k+2）（bk+k+2-k）+1，即bk+1=bk2+（k+4）bk+k+2，又b1=a1-3≥0，∴bn≥b1≥0（n∈n+）即an-（n+2）≥0，故an≥n+2②由an+1=an（an-n）+1及①，对k≥2，有ak=ak-1（ak-1-k+1）+1≥ak-1（k-1+2-k+1）+1=2ak-1+1∴ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1（a1+1）-1∴≤·（k≥2）∴≤ += ≤≤ =（作者单位山东省章丘市第五中学）“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以pdf格式阅读”。

证明不等式的基本方法----放缩法放缩法证明不等式案例分析徐州市第一中学王雪内容摘要,1、放缩法是证明不等式的常用方法。

放缩具有一定的技巧性,对学生知识和能力的要求都较高。

因此,本节选择了三个例题,重点使学生体会放缩法的基本思想,而不在于掌握各类问题的放缩技巧。

2、证明不等式难度大而且有些枯燥,如何提高学生的兴趣,吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手,从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。

3、本章是不等式选讲,书中的内容不宜挖的过于深入,可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型,数列的,分式的等,。

关键词,贝努利不等式,放缩,添项,删项,基本不等式教学目标:(1)认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法;(2)了解贝努利不等式与放缩法;(3)通过放缩法培养学生的思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。

教材分析:1、放缩法是证明不等式的常用方法。

放缩具有一定的技巧性，对学生知识和能力的要求都较高。

因此，本节选择了三个例题，重点使学生体会放缩法的基本思想，而不在于掌握各类问题的放缩技巧。

2、证明不等式难度大而且有些枯燥，如何提高学生的兴趣，吸引学生的注意力呢,可以从书后的链接入手，从贝努利不等式引出利用放缩法证明不等式。

3、本身是不等式选讲，书中的内容不宜挖的过于深入，可以着手处理学生比较熟悉的不等式类型(数列的，分式的等)。

教学建议放缩时应注意应注意以下几点:(1)如果要证明左边小于右边，那么只能将左边放大(不能缩小)，或者将右边缩小(不能放大);如果要证明左边大于右边，那么只能将左边缩小(不能放大)，或者将右边放大(不能缩小)。

(2)放缩后所得的不等式必须是正确的。

如果放缩后的不等式不能够成立，那么表明放得太大或缩得太小了，需要修正。

(3)放缩后的式子应是易于化简、估计或求和的。

(4)放手让学生去做，去讨论，出现问题，解决问题，加深记忆。

教学过程:一、引入练习(教师)前面我们学习了一些证明不等式的方法，下面请大家动手完成这两个练习。

放缩法证明数列不等式的基本策略放缩法是一种常用的证明数列不等式的有效策略，其基本理论为：当一个数列满足某一条件时，如果从这个数列中选定两个数来构造一
个新的数列，使新的数列也满足这个条件时，这种方法就是放缩法。

借助放缩法，我们可以轻松地证明数组的不等式。

步骤如下：
首先，我们从一个原始数列开始，要求这个数列满足某一条件。

其次，从这个原始数列中选定两个数a和b，令a<b，则定义一个新的，数列为(a+b,a,b)。

第三，我们应用原始数列的某一不等式在新的数列上，也就是说把不等式看作是满足a<b的数列(a+b,a,b)上的一个性质，要求它仍然适用于这个新数列。

第四，假设不等式对原始数列不适用，那么就不可能满足上述性质的要求；反之，如果不等式对原始数列适用，那么我们也可以证明它对新的数列也适用。

第五，此时得出的结
论是：如果某一不等式对原始数列不适用，那么就不可能满足上述性
质的要求；反之，如果原始数列本身就满足某一不等式，那么就可以
说明它也适用于新的数列。

最后，这就是放缩法用来证明数组的不等
式的基本策略。

放缩法不仅可以证明数列的不等式，而且在众多领域也有着广泛的应用，比如在几何几何推理中研究几何不等式，在运筹学中研究多项式不等式等。

通过放缩法，我们可以得到复杂的不等式的证明，从而更加有效地研究出数学不等式，给数学研究者提供了更多的研究思路。