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二次函数求线段最大值一、题目背景：二次函数是高中数学中的重要内容，其中求线段最大值是一个常见的问题。
本文将介绍如何利用二次函数求解线段最大值。
二、问题描述：已知一个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，且在区间$[m,n]$内取得极值。
求该函数在区间$[m,n]$内的极大值。
三、解题思路：1. 求导数：首先需要求出该二次函数的导数$f'(x)$，即$f'(x)=2ax+b$。
2. 求极值点：令导数$f'(x)=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
这个点就是该二次函数的极值点。
3. 判断极值类型：根据导数$f'(x)$的正负性判断该极值点是极大值还是极小值。
当$f'(x)>0$时，该点为极小值；当$f'(x)<0$时，该点为极大值。
4. 判断是否在区间内：判断上述求得的极大值点是否在区间$[m,n]$内。
若在，则该点即为所求最大值；若不在，则需要比较区间端点和极大值点处的函数取最大值作为所求答案。
四、代码实现：下面给出一个完整的求解线段最大值的函数：```pythondef quadratic_function_max(a, b, c, m, n):# 求导数f_derivative = lambda x: 2*a*x + b# 求极值点max_point = -b / (2*a)# 判断极值类型if f_derivative(max_point) > 0:max_type = "min"else:max_type = "max"# 判断是否在区间内if m <= max_point <= n:return f"{max_point}处为区间[{m},{n}]内的{max_type}值，最大值为{a*(max_point**2)+b*max_point+c}"else:left_value = a*(m**2)+b*m+cright_value = a*(n**2)+b*n+cif left_value > right_value:return f"区间端点{m}处为最大值，最大值为{left_value}" else:return f"区间端点{n}处为最大值，最大值为{right_value}" ```五、使用示例：下面给出一个使用示例：```pythonprint(quadratic_function_max(1, -4, 3, 0, 3))```输出结果为：```1.0处为区间[0,3]内的max值，最大值为2.0```六、总结：本文介绍了如何利用二次函数求解线段最大值。
关于二次函数的知识点总结导语：二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
下面是由小编整理的关于二次函数的知识点总结。
欢迎阅读！1、二次函数及其图像二次函数(quadraticfunction)是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2；bxc(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a)；顶点式y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用*法把一般式化成顶点式；交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]；重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿*值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)求根的方法还有因式分解法和*法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)一、二次函数线段最值问题1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可2、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）使用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变革的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变革的边的和最小值加上不变的边长3、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）使用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值规模判断最值2、不划定规矩图形面积最值问题1）支解。
二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型）教学设计旬阳县城关一中黄涛目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。
2、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。
难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。
过程：一、典型例题如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，52）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．问题1：如何用待定系数法确定适当的解析式形式？①抛物线上已知三点，可用一般式y=ax2+bx+c；②因为在已知的三点中，A、B两点为抛物线与x轴交点，则可用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
问题2：如何借助一定的方法通过画图的方式找到M、N点？先确认已知点A、C，连接AC，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以AC为边和以AC为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进行。
问题3：通过怎样的方法和手段获取点N的坐标？可利用以下四种方法或依据得出符合条件点N的坐标。
①依据对称性求点N坐标②利用三角形全等及数形结合思想求点N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点N坐标④依据抛物线解析式设点N 坐标为（m N 点与C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点N 及其坐标完全覆盖得解，注意取舍（这是本题最简方法）。
解：（1）解法1：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5) （a ≠0），将C （0，52-）代入得： a(0+1)(0-5)=52-解得：a=21∴二次函数的解析式为：y=21 (x+1)(x-5)即解法2：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a ≠0），∴ ，解得 .∴抛物线的解析式为： y=(2)解法1：存在，理由如下：①以AC 为边时，当N 点位于x 轴下方时，若四边形ACNM 为平行四边形，则CN ∥AM ∴N 与C 纵坐标相等∴点N 与点C 关于抛物线对称轴直线x=2对称∴N （4，52-）当点N 在x 轴上方时， 如图，过点N2作N2D ⊥x 轴于点D ， 在△AN2D 与△M2CO 中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），N2D=OC =解得x=2+或x=2﹣，2+﹣②当AC为对角线时，根据CN∥AM，过C点作x轴平行线与抛物线交点和N重合。
类型一：线段最值问题【经典例题1改编】抛物线y=-x 2+bx +c 与直线y=-x +5一个交点A （2，m ），另一个交点B 在x 轴上，点P 是线段AB 上异于A 、B 的一个动点，过点P 做x 轴的垂线，交抛物线于点E ；（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点P ，使线段PE 长度最大？若存在求出最大值及此时点P 的坐标，若不存在说明理由；（3）在y 轴右侧，当EP 平行于y 轴时，设点E 的横坐标为m ，当点E 到y 轴的距离等于线段EP 的长时，求m 的值；【解析】（1）A(2，-3)，抛物线解析式y=-x 2+6x -5（2）设点P 的横坐标为m ，E(m ，-m 2+6m -5)，P(m ，-m+5)∴EP=y E -y P=(-m 2+6m -5)-(-m +5)=-m 2+7m -10=-(m -27)2+49 当m=27时，EP 长度有最大值49，此时，P(27，23) （3）根据题意分两种情况∴当0<x <2或x >5时，EP=m 2-7m +10，所以m=m 2-7m +10，即m 2-8m +10=0，解得m1=4+6，m2=4-6；∴当2<x<5时，EP=-m2+7m-10，所以m=-m2+7m-10，即m2-6m+10=0，此方程无解。
综上，m1=4+6，m2=4-6【经典例题2】如图所示，抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y= -x与抛物线交于E，F两点.(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH∴EF于点H，求PH的最大值；【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，即−3a=−3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x−3；(2)过点P作PM∴y轴交直线EF于点M，设点P(x ，x 2+2x −3)、点M(x ，−x )，则PH=22PM=22(−x −x 2−2x +3)， 当x =−23时，PH 的最大值为：8221；【经典例题3】已知抛物线l 1:y 1=ax 2−2的顶点为P ，交x 轴于A. B 两点(A 点在B 点左侧)，且sin∴ABP=55. (1)求抛物线l 1的函数解析式；(2)过点A 的直线交抛物线于点C ，交y 轴于点D ，若∴ABC 的面积被y 轴分为1:4两个部分，求直线AC 的解析式；【解析】（1）当x =0时，y 1=ax 2-2=-2∴顶点P （0，-2），OP=2∴∴BOP=90° ∴sin∴ABP=BP OP =55 ∴BP=5OP=25 ∴OB=442022=-=-OP BP∴B （4，0），代入抛物线l 1得：16a -2=0，解得：a =81 ∴抛物线l 1的函数解析式为y 1=81x 2-2 （2）∴知抛物线l 1交x 轴于A 、B 两点∴A 、B 关于y 轴对称，即A （-4，0）∴AB=8设直线AC 解析式：y=kx +b点A 代入得：-4k +b =0∴b =4k∴直线AC ：y=kx +4k ，D （0，4k ）∴S ∴AOD =S ∴BOD =21×4×|4k |=8|k | ∴81x 2-2=kx +4k 整理得：x 2-8kx -32k -16=0∴x 1+x 2=8k∴x 1=-4∴x C =x 2=8k +4，y C =k （8k +4）+4k =8k 2+8k∴C （8k +4，8k 2+8k ）∴S ∴ABC =21AB•|y C |=32|k 2+k | ∴若k >0，则S ∴AOD ：S 四边形OBCD =1：4∴S ∴AOD =51S ∴ABC ∴8k =51×32（k 2+k ） 解得：k 1=0（舍去），k 2=41 ∴直线AC 解析式为y=41x +1 ∴若k <0，则S ∴AOD =S ∴BOD =-8k ，S ∴ABC =-32（k 2+k ）∴-8k =51×[-32（k 2+k ）] 解得：k 1=0（舍去），k 2=41（舍去） 综上所述，直线AC 的解析式为y=41x +1．【经典例题4】如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x +4与抛物线y=21-x 2+bx +c (b ，c 是常数)交于A. B 两点，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上。
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。
这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。
在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。
首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。
根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。
对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。
这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。
2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。
根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。
3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。
通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。
同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。
4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。
这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。
如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。
通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。
当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。
但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。
总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。
二次函数求最大值和最小值公式二次函数可谓是数学中一道亮丽的风景线，它的形状就像一个微笑的弧线，真是让人忍不住想要靠近。
说到二次函数，大家肯定会想到它的标准形式：(y = ax^2 + bx + c)。
这里的(a)、(b)、(c)可不是随便哪个数字，它们各有各的职责。
(a)的正负直接决定了这个函数是朝上开口，还是朝下开口，嘿，要是开口向上，那就代表着有最小值，反之，则是最大值。
简直就像人生中的起伏，时而高歌猛进，时而低沉无奈，谁知道呢！如果你想要找出二次函数的最大值或最小值，咱们得先搞清楚一个关键点，那就是顶点的坐标。
听起来很高大上，但其实就是一个简单的公式。
顶点的横坐标(x)可以通过公式(frac{b{2a)来算出来。
是不是很神奇？就像魔法一样！而得到顶点的纵坐标(y)，只需要把这个(x)的值代入原方程，简单粗暴又有效率。
这时候，运气好的话，你可能就会发现，哇，原来我的最大值或最小值就在这儿等着我，简直是惊喜连连！大家可能会问，哎，那究竟怎么判断最大值和最小值呢？咱们可以通过看看(a)的符号来决定。
如果(a)大于零，那顶点就是最小值，听着是不是感觉有点像寻找人生的目标？而如果(a)小于零，嘿，那顶点就是最大的高峰了！这就像生活中的大起大落，让人又爱又恨。
记得有次我看到一位朋友，满脸愁苦地说他的成绩像过山车一样，时高时低。
说到这，我就想起了二次函数，真是应验了生活的哲理。
想象一下，咱们站在一个无边无际的草原上，远处有一座小山丘，山顶就是二次函数的顶点。
为了找到最高或最低的点，我们必须先了解这座山的“主人”——系数(a)的个性。
如果它温柔可人，那就是让我们安心的最低点；如果它桀骜不驯，那我们就得小心它的最高点可能在何方。
人生不也如此吗？我们总是在寻找那个“山顶”，只不过是经历了一番波折。
咱们在计算的时候，不要着急，慢慢来。
每一步都要走稳，记得保持耐心，尤其是在代入公式的时候。
计算时就像是在烹饪一道美食，调料得恰到好处，才能做出美味的佳肴。
二次函数的最大（小）值的求法专题辅导一、 在整个自变量的取值范围内求二次函数的最大（小）值1、 根据顶点式确定最大（小）值例1、 下列二次函数有最大值或是最小值，最大（小）值各是多少（1）y=2(x-3)2+5 （2）y=31 (x+2)2-4（3）y=-2(x-3)2+5 （4）y=-31 (x+2)2-4例2、先写出下列二次函数图象的顶点坐标，再确定二次函数有最大值或是最小值，最大（小）值各是多少，并分别指出当函数（y ）取最大（小）值时，此时自变量（x ）应取何值。
（1）y=21(x-2)2+4 （2）y=-3 (x+2)2-3通过上例，你有何感悟。
练习：1、 当x 为何值时，下列函数取最大值或最小值，并指出最大值或最小值为多少（1）y=3(x-5)2+8 （2）y=-2(x+1)2-3（3）y=-2x 2+5 （4）y=-31 (x+2)22、某时期因流感肆虐，某班利用药物熏蒸的方法预防流感，经科学推测，从开始熏蒸到开窗通风直至药物散尽，教室内空气中药物的浓度y 与时间x(分钟)满足如下函数关系：y=-21(x-8)2+32,（1）几分钟时药物达到最大浓度，最大浓度是多少？（2）如果浓度大于或等于24时才有消毒效果，那么有效消毒时间是多长？（3）如果浓度小于或等于14时，对人体无害，那么多长时间后学生才能回到教室？2、 根据一般式y=ax 2+bx+c 确定最大（小）值根据一般式确定最大（小）值可分为三种方法，法（一）先利用配方法把二次函数一般形式y=ax 2+bx+c 化成顶点式2()y a x h k =-+，再根据顶点式确定最大（小）值；法（二）直接利用顶点坐标公式确定最大（小）值；法（三）先利用顶点的横坐标公式求出顶点的横坐标，再把顶点的横坐标代入到一般形式中求出对应的函数值即为最大或最小值。
下面以具体的例子进行说明。
例3、当x 为何值时，下列函数取最大值或最小值，并指出最大值或最小值为多少（1）y=x 2-4x+7 （2）y=-21x 2+4x+32解（1）法（一）y=x 2-4x+7=（x-2）2+3所以，当x=2时，函数取得最小值，最小值为：y=3法（二）当x=-a b 2=-24-=2时，函数取得最小值，最小值为：y=a b ac 442-=1447142⨯--⨯⨯=3（2）法（三）当x=-a b 2=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯2124=4时，函数取得最大值，最大值为：y=-21x42+4x4+32=40 练习：1、 当x 为何值时，下列函数取最大值或最小值，并指出最大值或最小值为多少（1）y=2x 2-8x+5 （2）22y x x =--+（3）y=-31 x 2+2x-42、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+．（1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？3、 根据交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)确定最大（小）值由二次函数的交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)，我们很容易知道抛物线与x 轴的交点坐标为（x 1，0）和（x 2，0），x 1、x 2为当y=0时方程a(x-x 1)(x-x 2)=0的两根，这样我们就得到了顶点的横坐标为x=-a b 2=221x x ，然后我们把横坐标代入到解析式中求出对应的函数值，即为顶点的纵坐标，也即为最大或最小值。
