2014版高考数学模拟试题精编8
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2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)模拟试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至2页,第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项:全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效.........。
3.第I 卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数131i i-+=+ (A )2i + (B )2i - (C )12i + (D )12i -(2)已知集合{1A =,{1,}B m =,A B A =,则m =(A )0(B )0或3 (C )1(D )1或3(3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为(A )2211612x y += (B )221128x y += (C )22184x y += (D )221124x y += (4)已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中 ,2AB =,1CC =,E 为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为(A )2 (B(C(D )1(5)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11{}n n a a +的前100项和为 (A )100101 (B )99101(C )99100 (D )101100(6)ABC ∆中,AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =,0a b ⋅=,||1a =,||2b =,则AD =(A )1133a b - (B )2233a b - (C )3355a b - (D )4455a b -(7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=,则cos 2α=(A )3- (B )9- (C )9 (D )3(8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠=(A )14 (B )35 (C )34 (D )45(9)已知ln x π=,5log 2y =,12z e -=,则(A )x y z << (B )z x y << (C )z y x << (D )y z x <<(10)已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =(A )2-或2 (B )9-或3 (C )1-或1 (D )3-或1(11)将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A )12种 (B )18种 (C )24种 (D )36种(12)正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==。
2014年高考模拟试题-理科数学试题D变换的充要条件为()f x 是R 上的一次函数其中是真命题有 ______ (写出所有真命题的编号)三.解答题:(本大题共6小题,共75分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
) 16、某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a .①︒︒-︒+︒17cos 13sin 17cos 13sin 22;②︒︒-︒+︒15cos 15sin 15cos 15sin 22;③︒︒-︒+︒12cos 18sin 12cos 18sin 22;④︒︒--︒+︒-48cos )18sin(48cos )18(sin 22;⑤︒︒--︒+︒-55cos )25sin(55cos )25(sin 22.(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a ;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17、已知集合22{|210}A x x ax a =-+-<,1{|}2x B x ax +=-,命题:2P A ∈,命题:1q B ∈,若复合命题“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围。
18、如图,在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC —A 1B 1C 1中,AC=AA 1=2AB = 2,BAC∠=900,点D 是侧棱CC 1 延长线上一点,EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线.(I)求证:EF 丄A 1C;(II)当平面DAB 与的长.19、攀枝花市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医、方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A , B , C 三家社区医院,并且他们对社区医院的选择是相互独立的.(1)求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率;(2)求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率;(3)设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为x ,求x 的分布列和数学期望.20、已知各项均为正数的数列{}na 满足12212+++=n n nn a a a a ,且42342+=+a a a ,其中*N n ∈.(1)求数列{}na 的通项公式;(2)设数列{}nb 满足nnn n na b 2·)12(+=,是否存在正整数nm 、,使得nmb b b 、、1成等比数列?若存在,求出所有n m 、的值;若不存在,请说明理由.(3)令nna n c +=1,记数列{}nc 的前n 项积.为nT ,其中*N n ∈,试比较nT 与9的大小,并加以证明.21、已知函数()()ln 1f x x =+,()()()()()220,,().g x a x x a a R h x f x g x =-≠∈=-2014年高考模拟试题理科数学试题(参考答案)一、选择题1-5 BBAAB 6-10 DCCBC 8.由题意得:(a 1q 16)2=a 1q 23,∴a 1q 9=1.由等比数列的性质知:数列{1a n }是以1a 1为首项,以1q为公比的等比数列,要使不等式成立, 则须a 1(q n-1)q -1>1a 1[1-(1q )n ]1-1q,把a 21=q -18代入上式并整理,得q -18(q n-1)>q(1-1qn ),q n >q 19,∵q >1,∴n >19,故所求正整数n 的取值范围是n≥20.二、填空题:11、 3015 12、1- 13、 14、20 15、○1、○2、○3三.解答题:(本大题共6小题,共75分。
2014届高三数学(理)试题注:请将答案填在答题卷相应的位置上.................一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 已知全集U R =,集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减,则实数a 满足的条件是 A .8a ≥ B .8a ≤ C .4a ≥ D .4a ≥- 3. 下列函数中,满足22()[()]f x f x =的是A .()ln f x x =B .()|1|f x x =+C .3()f x x = D .()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,下面结论错误..的是 A .函数)(x f 的最小正周期为π B .函数)(x f 是偶函数 C .函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D .函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若2x ≥且3y ≥,则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <,则5x y +<”;③在ABC ∆中,“45A >”是“sin 2A >”的充要条件。
④命题 “00,0xx R e ∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4=a 1a 4-a 2a 3;将函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e x y e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩ 其中][x 表示不超过x 的最大整数,如[ 1.2]-=-2,]2.1[=1,]1[=1,若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点,则k 的取值范围是 A .]31,41( B .]41,0( C .]31,41[ D .)31,41[二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,满分30分.9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=,则5cos()6πα-=_____________. 11. 曲线0,,2y y x y x ===-所围成的封闭图形的面积为 .12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真,则m 的取值范围是___. 13. 设25a b m ==,且112a b+=,则m = _________. 14. 若关于x 的方程24xkx x =+有四个不同的实数解,则实数k 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15.(本小题满分12分) 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2(I )求函数)(x f 的最小正周期;(II )确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫π3x +φ,x ∈R ,A >0,0<φ<π2,y =f (x )的部分图象如图所示,P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点P 的坐标为(1,A ).(1)求f (x )的最小正周期及φ的值;(2)若点R 的坐标为(1,0),∠PRQ =2π3,求A 的值.17. (本小题满分14分)已知等比数列{}n a 中,232a =,812a =,1n n a a +<. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+,求n T 的最大值及相应的n 值.18. (本小题满分14分)设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件:(1)(1)(1)f x f x -+=--;(2)函数在y 轴上的截距为1,且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式; (3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.(本题满分14分)已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图,直线0y =在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.(1)求()f x 的解析式(2)若常数0m >,求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值.20.(本小题满分14分)已知函数()ln f x x x a x =--,a ∈R .(Ⅰ)若2a =,求函数()f x 在区间[]1e ,上的最值; (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 注:e 是自然对数的底数2014届高三数学(理)试题数学(理)试题注:请将答案填在答题卷相应的位置上.................一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的.1. 已知全集U R =,集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=( C )A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减,则实数a 满足的条件是( A ) A .8a ≥ B .8a ≤ C .4a ≥ D .4a ≥-3. 下列函数中,满足22()[()]f x f x =的是 ( C ) A .()ln f x x =B .()|1|f x x =+C .3()f x x =D .()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ,下面结论错误..的是 ( C ) A .函数)(x f 的最小正周期为π B .函数)(x f 是偶函数 C .函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D .函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数5. 给出如下四个命题:①若“p 且q ”为假命题,则p 、q 均为假命题;②命题“若2x ≥且3y ≥,则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <,则5x y +<”;③在ABC ∆中,“45A >”是“2sin 2A >”的充要条件。
2014年高考模拟考试数学试卷(理工类) 第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.集合{}2,1=M ,{}3,2,1=N ,{}N b M a ab x x P ∈∈==,,,则集合P 的元素个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 若i 是虚数单位,则复数i i +-12的实部与虚部之积为( ) A.43 B.43- C.i 43D.i 43- 3.若βα,表示两个不同的平面,b a ,表示两条不同的直线,则α//a 的一个充分条件是( ) A.ββα⊥⊥a , B.b a b //,=βα C.α//,//b b a D.ββα⊂a ,// 4. 若312cos =θ,则θθ44cos sin +的值为( )A.1813 B.1811 C.95 D.1 5. 若按右侧算法流程图运行后,输出的结果是76,则输入的N的值为( )A.5 B.6 C.7 D.86. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤-+≥043041y x y x x ,则目标函数y x z -=3的最小值为( )A.4- B.0C.34D.47. 直线02=++y x 截圆422=+y x 所得劣弧所对圆心角为 A.6π B.3πC.32πD.65π8. 如图所示,是一个空间几何体的三视图,且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是( ) A.π949 B.π37C.π328D.π928 9. 等比数列{}n a 中,若384-=+a a ,则()106262a a a a ++ 的值是( )A.9- B.9 C.6- D.3 10. 在二项式n xx )2(4+的展开式中只有第五项的二项式系数最大,把展开式中所有的项重新排成一列,则有理项都互不相邻的概率为( )A.61 B. 41 C.31 D.125 11. 设A 、B 、P 是双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 上不同的三个点,且A 、B 连线经过坐标原点,若直线PA 、PB 的斜率之积为41,则该双曲线的离心率为( )A.25 B. 26 C.2 D.315侧视12. 在平面直角坐标系xOy 中,已知P 是函数()ln f x x x x =-的图象上的动点,该曲线在 点P 处的切线l 交y 轴于点(0,)M M y ,过点P 作l 的垂线交y 轴于点(0,)N N y .则NMy y 的 范围是( ) A .),3[]1,(+∞--∞ B. ),1[]3,(+∞--∞ C. [3,)+∞ D. ]3,(--∞ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡相应的位置上.)13. 已知(0,)2πθ∈,由不等式1tan 2tan θθ+≥, 22222tan tan 2tan 3tan 22tan θθθθθ+=++≥, 33333tan tan tan 3tan 4tan 333tan θθθθθθ+=+++≥,归纳得到推广结论: tan 1()tan nm n n N θθ*+≥+∈,则实数=m _____________ 14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有 两名同学拿对自己衣服的不同情况有_____________种.(具体数字作答)15. 已知(0,1),(0,1),(1,0)A B C -,动点P 满足22||AP BP PC ⋅= ,则||AP BP +的最大值为_____________16. 在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,已知角A 为锐角, 且 22sin sin sin 4sin sin ()B C A B C m+==,则实数m 范围为_____________三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.( 12分) 数列{}n a 满足112,2n n a a a +-==,等比数列{}n b 满足8411,a b a b ==.(I )求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(II )设n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)某高中毕业学年,在高校自主招生期间,把学生的平时成绩 按“百分制”折算,排出前n 名学生,并对这n 名学生按成 绩分组,第一组[75,80),第二组[80,85),第三组[85,90),第四组[90,95),第五组[95,100],如图为频率分布直方图的一部分,其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列,且第四组的人数为60. (I )请在图中补全频率分布直方图;(II )若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q 大学本次面试中有B 、C 、D 三位考官,规定获得两位考官的认可即面试成功,且面试结果相互独立,已知甲同学已经被抽中,并且通过这三位考官面试的概率依次为12、13,15,求甲同学面试成功的概率;②若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试,第3组中有ξ名学生被考官B 面试,求ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分) 如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 为菱形,︒=∠60BAD ,Q 为AD 的中点.(I )若PD PA =,求证:平面⊥PQB 平面PAD ;(II )若平面⊥PAD 平面ABCD ,且2===AD PD PA ,点M 在线段PC 上,试 确定点M 的位置,使二面角C BQ M --大小为︒60,并求出PCPM的值.20.(本小题满分12分) 若点()2,1A 是抛物线px y C 2:2=()0>p 上一点,经过点()2,5-B 的直线l 与抛物线 C 交于Q P ,两点.(I )求证:⋅为定值;(II )若点Q P ,与点A 不重合,问APQ ∆的面积是否存在最大值?若存在,求出最大 值; 若不存在,请说明理由.21.(本小题满分12分) 设a R ∈,函数21()(1)xf x x e a x -=--.(Ⅰ)当1a =时,求()f x 在3(,2)4内的极值; (Ⅱ)设函数1()()(1)xg x f x a x e-=+--,当()g x 有两个极值点1x ,2x (12x x <) 时,总有211()()x g x f x λ'≤,求实数λ的值.(其中()f x '是函数()f x 的导函数.)BACD PQ请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是的⊙O 直径,CB 与⊙O 相切于B ,E 为线段CB 上一点,连接AC 、AE 分别交⊙O 于D 、G 两点,连接DG 交CB 于点F . (Ⅰ)求证:C 、D 、G 、E 四点共圆.(Ⅱ)若F 为EB 的三等分点且靠近E ,EG 1=,GA 3=,求线段CE 的长.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 33,(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ (Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离d 的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .(Ⅰ)解不等式6)3()1(≥++-x f x f ;(Ⅱ)若1,1<<b a ,且0≠a ,求证:)()(ab f a ab f >.C数学(理工类)一、选择题1.C2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C9.B 10.D 11.A 12.A 二、填空题13.nn 14. 20 15. 616. ((22-三、解答题17.解:(I )112,2n n a a a +-==,所以数列{}n a 为等差数列, 则2(1)22n a n n =+-=; ----3分. 11482,16b a b a ====,所以3418,2b q q b ===, 则2nn b =;----------------------6分(II )12n n n n c a b n +==则23411222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++345221222322n n T n +=⋅+⋅+⋅++ 两式相减得2341212223222n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++- ----9分整理得2(1)24n n T n +=-+---12分18.解:(Ⅰ)因为第四组的人数为60,所以总人数为:560300⨯=,由直方图可知,第五组人数为:0.02530030⨯⨯=人,又6030152-=为公差,所以第一组人数为:45人,第二组人数为:75人,第三组人数为:90人--4分(Ⅱ)设事件A =甲同学面试成功,则()=P A 114121111111423523523523515⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………..8分 (Ⅲ)由题意得,0,1,2,3=ξ0333361(0)20===C C P C ξ, 1233369(1)20===C C P C ξ, 2133369(2)20===C C P C ξ, 3033361(3)20===C C P C ξ 分布列为19913()0123202020202=⨯+⨯+⨯+⨯=E ξ…………………..12分 19. (I ) PD PA =,Q 为AD 的中点,AD PQ ⊥∴,又 底面ABCD 为菱形,︒=∠60BAD ,AD BQ ⊥∴ ,又Q BQ PQ = ∴⊥AD 平面PQB ,又 ⊂AD 平面PAD ,∴平面⊥PQB 平面PAD ;-----------------------------6分(II ) 平面⊥PAD 平面ABCD ,平面 PAD 平面AD ABCD =,AD PQ ⊥⊥∴PQ 平面ABCD .∴以Q 为坐标原点,分别以QP QB QA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系如图.则)0,3,2(),0,3,0(),3,0,0(),0,0,0(-C B P Q ,所以))1(3,3,2(λλλ--M ,平面CBQ 的一个法向量是)1,0,0(1=n ,设平面MQB 的一个法向量为=2n ),,(z y x ,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−−→−22n QB n QM 取=2n )3,0,233(λλ--------9分由二面角C BQ M --大小为︒60,可得:||||||212121n n n n ⋅=,解得31=λ,此时31=PC PM ------12分 20. 解:(I )因为点()2,1A 在抛物线px y C 2:2=()0>p 上,所以p 24=,有2=p ,那么抛物线x y C 4:2=---------------------------------------2分 若直线l 的斜率不存在,直线l :5=x ,此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -()()0522,4522,4=+-⋅--=⋅-------------------------------------------3分若直线l 的斜率存在,设直线l :()()0,25≠--=k x k y ,点()11,y x P ,()22,y x Q⎩⎨⎧--==2)5(42x k y x y ,有()()⎪⎩⎪⎨⎧>++=∆+-==+⇒=+--0251616820,40254421212k k kk y y k y y k y ky ,---------------5分()()()()()()()024164212416412412,12,12121222121221212122212221212121212211=++-++-+-=++-+++-=++-+++-=--⋅--=⋅y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x y x y x 那么,⋅为定值.--- -7分 (II ) 若直线l 的斜率不存在,直线l :5=x ,此时()()()2,1,52,5,52,5A Q P -5845421=⨯⨯=∆APQ S 若直线l 的斜率存在时,()()221221y y x x PQ -+-=()22221221216328011411kk k k y y y y k++⋅+=-+⋅+=------------------9分 点()2,1A 到直线l :()25--=x k y 的距离2114kk h ++=------------------------------10分()()4221125821k k k k h PQ S APQ+++=⋅⋅=∆,令211⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k u ,有0≥u ,则u u S APQ 482+=∆没有最大值--12分 21. 解:(Ⅰ)当1a =时,21()(1)xf x x e x -=--,则211(2)()x x x x e f x e----'=, 令21()(2)x h x x x e -=--,则1()22x h x x e -'=--,显然()h x '在3(,2)4上单调递减.又因为31()042h '=<,故3(,2)4x ∈时,总有()0h x '<,所以()h x 在3(,2)4上单调递减.-- ----3分 又因为(1)0h =,所以当3(,1)4x ∈时,()0h x >,从而()0f x '>,这时()f x 单调递增, 当(1,2)x ∈时,()0h x <,从而()0f x '<,这时()f x 单调递减, 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:所以()f x 在3(,2)4上的极大值是(1)1f =.-----------------------------5分 (Ⅱ)由题可知21()()xg x x a e-=-,则21()(2)xg x x x a e-'=-++.根据题意方程220x x a -++=有两个不等实数根1x ,2x ,且12x x <,所以440a ∆=+>,即1a >-,且122x x +=.因为12x x <,所有11x <. 由211()()x g x f x λ'≤,其中21()(2)xf x x x e a -'=--,可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--又因为221112,2x x x a x =--=,2112a x x =-,将其代入上式得:1111221111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-,整理得11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤.--------8分即不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意1(,1)x ∈-∞恒成立 (1) 当10x =时,不等式11111[2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立,即R λ∈; (2) 当1(0,1)x ∈时,11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立,即111121x x e e λ--≥+ 令11121()2(1)11x x x e k x e e ---==-++,显然()k x 是R 上的减函数,所以当(0,1)x ∈时,2()(0)1e k x k e <=+,所以21ee λ≥+; (3)当1(,0)x ∈-∞时,11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立,即111121x x e e λ--≤+ 由(2)可知,当(,0)x ∈-∞时,2()(0)1e k x k e >=+,所以21e e λ≤+; 综上所述,21ee λ=+----12分22. (Ⅰ)连接BD ,则ABD AGD ∠=∠,90︒∠+∠=ABD DAB ,90︒∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ,所以180︒∠+∠=C DGE ,所以,,,C E G D 四点共圆.…..5分 (Ⅱ)因为2⋅=EG EA EB ,则2=EB ,又F 为EB 三等分,所以23=EF ,43=FB , 又因为2FB FC FE FD FG =⋅=⋅,所以83=FC ,2=CE …………………….10分 23.(I )直线l 的普通方程为:0333=+-y x ; 曲线的直角坐标方程为1)2(22=+-y x -------4分(II )设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ,则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以d 的取值范围是]2235,2235[+---10分 24. (I )不等式的解集是),3[]3,(+∞--∞ ------------------------------5分(II )要证)()(abf a ab f >,只需证|||1|a b ab ->-,只需证22)()1(a b ab ->-而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ,从而原不等式成立.- --10分。
河南省开封市2014届高三高考复习质量监测数学理试题8一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 集合{}1,M z z z =≤∈C ,1,2N z z bi b ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭R ,则M N =∅ ,则实数b 的取值范围是 ( )A.3(,(,)-∞+∞ B. 3(,[,)-∞+∞C.(D. [ 2. 已知()|2||4|f x x x =++-的最小值为n ,则二项式1()n x x-展开式中2x 项的系数为( ) A .15 B .15- C .30 D .30-3. 设函数()sin()(0)()cos(2)(||)42f x xg x x ππωωφφ=+>=+≤与函数的对称轴完同,则φ的值为( )A .4πB .-4π C .2π D .-2π 4. 已知xdx N dx x M ⎰⎰=-=2012cos ,1π,由如右程序框图输出的=S ( ) A.1 B.2πC.4πD.1-5. 在平面直角坐标系xoy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值为( ) A .2 B .43 C .23D . 3 6.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,其中120,1Ab ==,且ABC ∆面积则sin sin a bA B+=+( )AB.3C.7. 已知函数5()ln ,()log ,()lg f x x g x x h x x ===,若直线222()y m m m =-+-∈R 与(),(),()y f x y g x y h x ===图像交点的横坐标分别为,,a b c ,则( )A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<8.下列四个命题中,错误的个数是( ) ①1x e dx e =⎰;②设回归直线方程为ˆ2 2.5,yx =-当变量x 增加一个单位时,y 大约减少2.5个单位; ③已知ξ服从正态分布N (0,2σ),且(20)0.4P ξ-≤≤=,则:(2)0.1P ξ>= ④对于命题:"0":"0"11x x p p x x ≥⌝<--则 A .0个B .1个C .2个D .3个9.已知 y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥0242c y x y x x ,且目标函数y x z +=3的最小值是5,则z 的最大值是( ) A . 9 B. 10 C. 11 D .12 10. 定义在R 上的函数)(x f y =,对任意不等的实数1x ,2x 都有0))](()([2121<--x x x f x f 成立,又函数)1(-=x f y 的图象关于点)0,1(对称,若不等式0)2()2(22≤-+-y y f x x f 成立,则当41≤≤x 时,xy的取值范围是( ) A.1[,)2-+∞ B.(,1]-∞ C.1[,1]2- D.1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭11. 已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为1,棱BB 1所在直线上的动点M 满足1BB λ=,AM 与侧面BB 1C 1C 所成的角为θ,若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,22λ,则θ的取值范围是( ) A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,12ππ B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,3ππ 12.在曲线C:)0(222 x y x =-上任取A,B 两点,则OB OA ∙的最小值( )A .2 B.4 C.2 D.22二、填空题:(每小题5分,共20分,请将符合题意的最简答案填在题中横线上) 13.某商场在庆元宵促销活动中,对元宵节9时至14时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图所示,已知9时至10时的销售额为2.5万元,则11时至12时的销售额为 万元.14.一个几何体的三视图如上图所示,且其左视图是一个等边..三角形,则这个几何体的体积为 .15. 已知点P 是抛物线24y x =上的动点,点P 在y 轴上的射影是M ,点A 的坐标是(4,a ),则当||4a >时, ||||PA PM +的最小值是 . 16.观察下列等式:1535522C C +=-, 1597399922C C C ++=+,159131151313131322C C C C +++=-,1591317157171717171722C C C C C ++++=+,………由以上等式推测到一个一般的结论:对于*n N ∈,4141n n C ++++=三、解答题:(解答题必须写出解题步骤和必要的文字说明,共70分)17. (本小题满分12分)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,101=a ,1091+=+n n S a .⑴求证:}{lg n a 是等差数列. ⑵设n T 是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+))(lg (lg 31n n a a 的前n 项和,求使)5(412m m T n ->对所有的*∈N n 都成立的最大正整数m 的值 18.(本小题满分12分)某学校为了研究学情,从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩,计算出了他们三次成绩的平均名次如下表:(Ⅰ)对名次优秀赋分2,对名次不优秀赋分1.从这20名学生中随机抽取2名学生,用ξ表示这2名学生两科名次赋分的和,求ξ的分布列和数学期望;第14题图(Ⅱ)根据这次抽查数据,列出2×2列联表,能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认19. (本小题满分12分)如图1, 在直角梯形ABCD 中, 90ADC ∠=︒, //CD AB ,4,2AB AD CD ===,M 为线段AB 的中点. 将ADC ∆沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. (1)求证:BC ⊥平面ACD ;(2)求二面角A CD M --的余弦值.20(题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切,过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。
备战2014年高考之2013届全国统考区(甘肃、贵州、云南)精选理科试题(大部分详解)分类汇编8:直线与圆一、选择题1 .(云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学)1by +=与圆221x y +=相交于A,B两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为 ( )A 1B .2C D 1【答案】A 【解析】因为△AOB 是直角三角形,所以圆心到直线的距离为2,2=,即2222a b +=。
所以2212b a =-,由22102b a =-≥,得22,b b ≤≤≤所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为d ====,即d ==,因为b ≤,所以当b =时,1d ====+A . 2 .(云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考(三)理科数学)若直线20ax by -+=(a >0,b >0)被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4,则11a b+的最小值为()A .14B C .32+D .32+【答案】C 【解析】圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=,所以圆心坐标为(1,2)-,半径为2r =.因为直线被圆截得的弦长为4,所以线长为直径,即直线20ax by -+=过圆心,所以220a b --+=,即22a b +=,所以12ab +=,所以222a b =,a =时取等号,所以11a b +的最小值为32+C .3 .(贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学)过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为()A .40x y +-=B .30x y -=C .40x y +-=或30x y +=D .40x y +-=或30x y -=【答案】D 【解析】若直线过原点,设直线方程为y kx =,把点(1,3)P 代入得3k=,此时直线为3y x =,即30x y -=。
【高考领航】2014高考数学总复习 8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系练习 苏教版【A 组】一、填空题1.若直线l :ax +by =1与圆C :x 2+y 2=1有两个不同交点,则点P (a ,b )与圆C 的位置关系是________.解析:由题意得圆心(0,0)到直线ax +by =1的距离小于1,即d =1a 2+b 2<1,所以有a 2+b 2>1,∴点P 在圆外.答案:在圆外2.(2011·高考某某卷)设圆C 与圆x 2+(y -3)2=1外切,与直线y =0相切,则C 的圆心轨迹为________.解析:设圆心C (x ,y ),由题意得x -02+y -32=y +1(y >0),化简得x 2=8y -8.答案:x 2=8y -83.(2011·高考某某卷)在圆x 2+y 2-2x -6y =0内,过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD ,则四边形ABCD 的面积为________.解析:由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10,且点E (0,1)位于该圆内,故过点E (0,1)的最短弦长|BD |=210-12+22=25(注:过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦),过点E (0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC |=210,且AC ⊥BD ,因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |=12×210×25=10 2.答案:10 24.(2011·高考某某卷)若曲线C 1:x 2+y 2-2x =0与曲线C 2:y (y -mx -m )=0有四个不同的交点,则实数m 的取值X 围是________.解析:整理曲线C 1方程得,(x -1)2+y 2=1,知曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心,以1为半径的圆;曲线C 2则表示两条直线,即x 轴与直线l :y =m (x +1),显然x 轴与圆C 1有两个交点,知直线l 与x 轴相交,故有圆心C 1到直线l 的距离d =|m1+1-0|m 2+1<r =1,解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-33,33,又当m =0时,直线l 与x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去. 答案:(-33,0)∪(0,33) 5.(2012·高考某某卷)过点P (1,1)的直线,将圆形区域{(x ,y )|x 2+y 2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为________.解析:设过P 点的直线为l ,当OP ⊥l 时,过P 点的弦最短,所对的劣弧最短,此时,得到的两部分面积之差最大.易求得直线的方程为x +y -2=0. 答案:x +y -2=06.已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l :y =x -1被圆C 所截得的弦长为22,则过圆心且与直线l 垂直的方程为________.解析:设所求直线的方程为x +y +m =0,圆心(a,0),由题意知:(|a -1|2)2+2=(a -1)2,解得a =3或a =-1,又因为圆心在x 轴的正半轴上,∴a =3,故圆心坐标为(3,0),而直线x +y +m =0过圆心(3,0),∴3+0+m =0, 即m =-3,故所求直线的方程为x +y -3=0. 答案:x +y -3=07.(2012·高考某某卷)直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于________.解析:如图所示:解Rt △ACO ,|OC |为圆心到直线x +3y -2=0的距离, |OC |=|0+3×0-2|12+32=1, |OA |=r =2,|AC |=|OA |2-|OC |2=22-12=3, |AB |=2|AC |=2 3 答案:2 3 二、解答题8.圆经过点A (2,-3)和B (-2,-5).(1)若圆的面积最小,求圆的方程;(2)若圆心在直线x -2y -3=0上,求圆的方程. 解:(1)要使圆的面积最小,则AB 为圆的直径, 圆心C (0,-4),半径r =12|AB |=5,所以所求圆的方程为:x 2+(y +4)2=5. (2)法一:因为k AB =12,AB 中点为(0,-4),所以AB 中垂线方程为y +4=-2x , 即2x +y +4=0,解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y +4=0,x -2y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-2.所以圆心为(-1,-2).根据两点间的距离公式,得半径r =10, 因此,所求的圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=10. 法二:设所求圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2, 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧2-a 2+-3-b 2=r 2-2-a 2+-5-b 2=r 2a -2b -3=0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-2,r 2=10.所以所求圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=10.9.已知圆C 的方程为x 2+y 2=1,直线l 1过定点A (3,0),且与圆C 相切.(1)求直线l 1的方程;(2)设圆C 与x 轴交于P 、Q 两点,M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点,过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2,直线PM 交直线l 2于点P ′,直线QM 交直线l 2于点O ′.求证:以P ′Q ′为直径的圆C ′总过定点,并求出定点坐标.解:(1)∵直线l 1过点A (3,0),且与圆C :x 2+y 2=1相切,设直线l 1的方程为y =k (x -3),即kx -y -3k =0,则圆心O (0,0)到直线l 1的距离为d =|3k |k 2+1=1,解得k =±24,∴直线l 1的方程为y=±24(x -3). (2)证明:对于圆C 的方程x 2+y 2=1,令y =0,则x =±1,即P (-1,0),Q (1,0).又直线l 2过点A 且与x 轴垂直,∴直线l 2方程为x =3.设M (s ,t ),则直线PM 的方程为y=ts +1(x +1).解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =ts +1x +1得P ′(3,4ts +1). 同理可得Q ′(3,2ts -1). ∴以P ′Q ′为直径的圆C ′的方程为(x -3)(x -3)=(y -4t s +1)(y -2t s -1)=0, 又s 2+t 2=1,∴整理得(x 2+y 2-6x +1)+6s -2ty =0,若圆C ′经过定点,只需令y =0,从而有x 2-6x +1=0,解得x =3±22, ∴圆C ′总经过定点,定点坐标为(3±22,0).【B 组】一、填空题1.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay -6=0(a >0)的公共弦长为23,则a =________.解析:方程x 2+y 2+2ay -6=0与x 2+y 2=4. 相减得2ay =2,则y =1a.由已知条件22-32=1a,即a =1.答案:12.(2013·某某十校联考)已知圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与y 轴相切,与x 轴相交于点A 、B ,若AB =3,则该圆的标准方程是________.解析:根据AB =3,可得圆心到x 轴的距离为12,故圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,故所求圆的标准方程为(x -1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=1.答案:(x -1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆x 2+y 2=4上有且只有四个点到直线12x -5y +c =0的距离为1,则实数c 的取值X 围是________.解析:由题设得,若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d <1.∵d =|c |122+52=|c |13,∴0≤|c |<13,即c ∈(-13,13). 答案:(-13,13)4.直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y +a =0(a <3)相交于A ,B 两点,若弦AB 的中点C 为(-2,3),则直线l 的方程为________.解析:圆的方程可化为(x +1)2+(y -2)2=5-a .由圆的几何性质可知圆心(-1,2)与点C (-2,3)的连线必垂直于l ,∴k AB =--1+22-3=1,∴l 的方程为x -y +5=0. 答案:x -y +5=05.(2013·某某模拟)从圆x 2-2x +y 2-2y +1=0外一点P (3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为________.解析:圆的方程整理为(x -1)2+(y -1)2=1,C (1,1), ∴sin ∠APC =15,则cos ∠APB =cos2∠APC=1-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152=35. 答案:356.直线2x -y +m =0与圆x 2+y 2=5交于A 、B 两点,O 为坐标原点,若OA ⊥OB ,则m 的值为________.解析:当OA ⊥OB 时,圆心(0,0)到直线2x -y +m =0的距离等于22r , ∴|m |5=22· 5. ∴m =±5210.答案:±51027.由直线y =x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线,则切线长的最小值为________.解析:如图所示,设直线上一点P ,切点为Q , 圆心为M ,则|PQ |即为切线长,MQ 为圆M 的 半径,长度为1,|PQ |=|PM |2-|MQ |2=|PM |2-1,要使|PQ |最小,即求|PM |的最小值,此题转化为求直线y =x +1上的点到圆心M 的最小距离,设圆心到直线y =x +1的距离为d ,则d =|3-0+1|12+-12=22,∴|PM |的最小值为22, ∴|PQ |=|PM |2-1≥222-1=7.答案:7 二、解答题8.(2013·某某模拟)已知圆C :(x +1)2+y 2=4和圆外一点A (1,23),(1)若直线m 经过原点O ,且圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1,求直线m 的方程; (2)若经过A 的直线l 与圆C 相切,切点分别为D ,E ,求切线l 的方程及D 、E 两切点所在的直线方程.解:(1)方法一:圆C 的圆心为(-1,0),半径r =2, 圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1, 则圆心到直线m 的距离恰为1,由于直线m 经过原点,圆心到直线m 的距离最大值为1.所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于OC 的直线,即y 轴,所以直线方程为x =0.方法二:圆C 的圆心为(-1,0),半径r =2,圆C 上恰有三个点到直线m 的距离为1. 则圆心到直线m 的距离恰为1.设直线方程为y =kx ,d =|-k -0|1+k 2=1,k 无解. 直线斜率不存在时,直线方程为x =0显然成立. 所以所求直线为x =0.(2)设直线方程为y -23=k (x -1),d =|-2k +23|1+k 2=2,解得k =33, 所求直线为y -23=33(x -1), 即3x -3y +53=0,斜率不存在时,直线方程为x =1,∴切线l 的方程为x =1或3x -3y +53=0,过点C 、D 、E 、A 有一外接圆,x 2+(y -3)2=4,即x 2+y 2-23y -1=0, 过切点的直线方程为x +3y -1=0.9.已知圆M :(x -1)2+(y -1)2=4,直线l :x -y -6=0,A 为直线l 上一点.(1)若AM ⊥直线l ,过A 作圆M 的两条切线,切点分别为P ,Q ,求∠PAQ 的大小;(2)若圆M 上存在两点B ,C ,使得∠BAC =60°,求点A 横坐标的取值X 围. 解:(1)圆M 的圆心M (1,1),半径r =2,直线l 的斜率为-1,而AM ⊥l ,∴k AM =1. ′∴直线AM 的方程为y =x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x ,x +y -6=0解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =3,即A (3,3). 如图,连结MP , ∵∠PAM =12∠PAQ ,sin ∠PAM =PM AM=23-12+3-12=22, ∴∠PAM =45°,∴∠PAQ =90°.(2)过A (a ,b )作AD ,AE ,分别与圆M 相切于D ,E 两点,因为∠DAE ≥∠BAC ,所以要使圆M 上存在两点B ,C ,使得∠BAC =60°,只要做∠DAE ≥60°. ∵AM 平分∠DAE , ∴只要30°≤DAM <90°.类似于第(1)题,只要12≤sin∠DAM <1,即2a -12+b -12≥12且a -12+b -12≥12<1. 又a +b -6=0,解得1≤a ≤5, 即a 的取值X 围是[1,5].。
第6题图俯视图2014年高考数学模拟考试试卷第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}ln A x y x =|=,集合{}2,1,1,2B =--,则A B =A.(1,2)B.{}1,2C.{}1,2--D.(0,)+∞2.若(4i)i i a b +=+其中,a b ∈R ,i 是虚数单位,则a b - = A.3B.5C.3-D.5-3.设0.32a =,20.3b =,2log (0.3)(1)x c x x =+>,则,,a b c 的大小关系是 A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<4.不等式2311x x +≥-的解集是 A.[4,)-+∞ B.(4,)-+∞ C.[4,1)- D.(,4](1,)-∞-+∞5.“1a =”是“函数22cos sin y ax ax =-的最小正周期为π”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件6.一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形, 该四棱锥的体积等于B.C.D.7.袋中有4个形状大小一样的球,编号分别为1,2,3,4,从中任取2个球,则这2个球的编 号之和为偶数的概率为 A.16 B.23 C.12D.13 8.已知等比数列}{n a 满足:354321=++++a a a a a ,122524232221=++++a a a a a ,则54321a a a a a +-+-的值是A.2B.9C.4D.149.设函数3()f x x =+sin x ,若02θπ≤≤时, (cos )(1)0f m f m θ+->恒成立,则实数 m 的取值范围是A.(0,1)B.(,0)-∞C.1(,)2-∞ D.(,1)-∞D CBA10.当n *∈N 且2n ≥时,24112225n p q -++++=+(其中p 、q 为非负整数,且05q ≤≤,则q 的值为A.0B.1C.3D.与n 有关第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在答题卷上对应题号 的横线上.11.若下框图所给的程序运行结果为20S =,那么判断框中应填入的关于k 的条件是 .12.函数()37ln f x x x =-+的零点位于区间(,1)()n n n +∈N ,则n = . 13.已知锐角三角形的边长分别为2、4、x ,试求x 的取值范围 . 14.对于函数321()(2)3f x x ax a x b=-+-+,若()f x 有六个不同的单调区间,则a 的取值范围为 .15.(文科做②;理科从①②两小题中任意选作一题) ①(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线π()6θρ=∈R 截圆π2cos()6ρθ=- 的弦长是 .②(不等式选做题)关于x 的不等式|||1|1x a x ---≤在R 上恒成立(a 为常数),则实数a 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.(本大题满分12分)在ABC ∆中,已知45ABC ∠=,AB =,D 是BC 边上的一点,5,3AD DC ==,求AC 的长.17. (本大题满分12分)A 、B 两个口袋,A 袋中有6张卡片,其中1张写0,2张写1,3张写有2;B 袋中7张卡片,其中4张写有0,1张写有1,2张写有2,从A 袋中取1张卡片,B 袋中取2张卡片,共3张卡片, 求: (1)取出的3张卡片都写0的概率;(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率; (3)取出的3张卡片数字之积的数字期望.18.(本大题满分12分)如图,已知AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,△ACD 为等边三角形,2AD DE AB ==,F 为CD 的中点. (1)求证://AF 平面BCE ; (2)求证:平面BCE ⊥平面CDE ;(3)求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.19.(本大题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且(1)n n S a λλ=+-,其中λ是不等于1-和0的常数. (1)证明:数列{}n a 是等比数列;(2)设数列{}n a 的公比()q f λ=,数列{}n b 满足111,()3n n b b f b -==(n *∈N ,且2n ≥),求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .20.(本大题满分13分)已知函数()sin f x ax b x =+,当3x π=时,()f x取得极小值3π-. (1)求,a b 的值;(2)设直线:()l y g x =,曲线:()S y f x =.若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件: ①直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点;②对任意x ∈R 都有()()g x f x ≥.则称直线l 为曲线S 的“上夹线”.试证明:直线:2l y x =+为曲线:sin S y ax b x =+“上夹线”.A BCDEF21.(本大题满分14分)一直线过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ,且交抛物线于,A B 两点,C 为抛物线准线的一点 (1)求证:ACB ∠不可能是钝角;(2)是否存在这样的点C ,使得ABC ∆为正三角形?若存在,请求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题:1~5. BBBDA ; 6~10. ADCDA. 二、填空题:11.8k >; 12.2; 13.1t ≤<; 14.(1,2); 15. ①2;②[]0,2. 三、解答题:16.解:在ABD ∆中,由正弦定理得sin 22sin 5AB B ADB AD ∠∠===∴3ADB π∠=或23π,①若3ADB π∠=,则23ADC π∠=,ADC ∆中,由余弦定理得222cos 49AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2 ∴7AC =,②若23ADB π∠=,则3ADC π∠=,ADC ∆中,由余弦定理得222cos 19,AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=2∴AC =17.(文科)(1)每颗骰子出现的点数都有6种情况,∴基本事件总数为3666=⨯个.记“点),(y x P 在直线1-=x y 上”为事件A ,A 有5个基本事件:)}5,6(),4,5(),3,4(),2,3(),1,2{(=A , .365)(=∴A P(2)记“点),(y x P 满足x y 42<”为事件B ,则事件B 有17个基本事件: 当1=x 时,;1=y 当2=x 时,2,1=y ;当3=x 时,3,2,1=y ;当4=x 时,;3,2,1=y 当5=x 时,4,3,2,1=y ;当6=x 时,4,3,2,1=y ..3617)(=∴B P (理科)解:(1)设事件A 表示:“取出的3张卡片都写0”F HG EMDCBA2427C 11()6C 21P A =⋅=(2)设事件B 表示:“取出的3张卡片数字之积是4”2112122277C C C 234()6C 6C 63P B =⋅+⋅=(3)设取出的3张卡片数字之积为随机变量ξ,则ξ可取0,2,4,82327C 1537(0)(1)66C 42P ξ==+⋅-=; 111227C C 22(2)6C 63P ξ==⋅= 11121222C C C 234(4)6C 6C 63P ξ==⋅+⋅=; 222C 31(8)6C 42P ξ==⋅= 24863634263E ξ=⋅+⋅+⋅=18.解(1) 证法一:取CE 的中点G ,连FG BG 、.∵F 为CD 的中点,∴//GF DE 且12GF DE =. ∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD , ∴//AB DE ,∴//GF AB . 又12AB DE =,∴GF AB =. ∴四边形GFAB 为平行四边形,则//AF BG . ∵AF ⊄平面BCE ,BG ⊂平面BCE , ∴//AF 平面BCE .证法二:取DE 的中点M ,连AM FM 、. ∵F 为CD 的中点,∴//FM CE .∵AB ⊥平面ACD ,DE ⊥平面ACD ,∴//DE AB . 又12AB DE ME ==, ∴四边形ABEM 为平行四边形,则//AM BE . ∵FM AM ⊄、平面BCE ,CE BE ⊂、平面BCE , ∴//FM 平面BCE ,//AM 平面BCE . 又FMAM M =,∴平面//AFM 平面BCE .∵AF ⊂平面AFM , ∴//AF 平面BCE .(2)证:∵ACD ∆为等边三角形,F 为CD 的中点,∴AF CD ⊥.∵DE ⊥平面ACD ,AF ⊂平面ACD ,∴DE AF ⊥. 又CDDE D =,故AF ⊥平面CDE .∵//BG AF ,∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE , ∴平面BCE ⊥平面CDE .(3)平面CDE 内,过F 作FH CE ⊥于H ,连BH ∵平面BCE ⊥平面CDE ,∴FH ⊥平面BCE ∴FBH ∠为BF 和平面BCE 所成的角设22AD DE AB a ===,则2sin 45FH CF==2BF a ==,Rt FHB ∆中,sin FH FBH BF ∠==∴直线BF 和平面BCF 19.(1)证明:∵(1)n n S a λλ=+-∴11(1)(2)n n S a n λλ--=+-≥∴1n n n a a a λλ-=-+,即1(1)n n a a λλ-+= 又1λ≠-且0λ≠,∴11n n a a λλ-=+ 又11a =,∴数列{}n a 是以1为首项,1λλ+为公比的等比数列.(2)解:由(1)知:()1q f λλλ==+∴111()(2)1n n n n b b f b n b ---==≥+故有1111111n n n n b b b b ---+==+,∴1111(2)n n n b b --=≥ ∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项,1为公差的等差数列,∴2(1)53()22n n n n nT n n *-+=+=∈N20.解:(1)∵()sin f x ax b x =+,∴()cos f x a b x '=+而由已知得:10233a b a ⎧+=⎪⎪⎨ππ⎪⋅+=⎪⎩∴1,2a b ==-此时()2sin f x x x =-,∴()12cos f x x '=-,当(0,)3x π∈时,()0f x '<,当(,)32x ππ∈时,()0f x '>∴当3x π=时,()f x取得极小值3π即1,2a b ==-符合题意(2)由()12cos 1f x x '=-=,得cos 0x =当2x π=-时,cos 0x =,此时1222y x π=+=-+,22sin 22y x x π=-=-+12y y =,∴(,2)22ππ--+是直线l 与曲线S 的切点当2x 3π=时,cos 0x =,此时1222y x 3π=+=+,22sin 22y x x 3π=-=+ 12y y =,∴(,2)223π3π+也是直线l 与曲线S 的切点∴直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点对任意x ∈R ,()()(2)(2sin )22sin 0g x f x x x x x -=+--=+≥即()()g x f x ≥,因此直线:2l y x =+为曲线:2sin S y x x =-“上夹线”21.解:设1122(,),(,),(,)2pA x yB x yC m -,直线AB 方程为2p x ty =+由222p x ty y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得:2220y pty p --=,则212122,y y pt y y p +==-∴2212122,4p x x pt p x x +=+=(1)11(,)2p CA x y m =+-,22(,)2pCB x y m =+- ∴2()0CA CB pt m ⋅=-≥∴,CA CB <>不可能为钝角,故ACB ∠不可能是钝角(2)假设存在点C ,使得ABC ∆为正三角形 由(1)得:线段AB 的中点为2(,)2pM pt pt +①若直线AB 的斜率不存在,这时0t =,(,),(,)22p p A p B p -,点C 的坐标只可能是(,)2pp -,由CM AB =,得:2p p =,矛盾,于是直线AB 的斜率必存在 ②由CM AB ⊥,得:1CM AB k k ⋅=-,即21122pt m p p t pt -⋅=-++∴32m pt pt =+,∴3(,2)2pC pt pt -+2(CM p t =+22(1)AB p t =+由CM =,得:t =,∴(,)2p C -±故存在点(,)2pC -±,使得ABC ∆为正三角形。
小题专项集训(八) 不等式(建议用时:40分钟 分值:75分)1.若b <a <0,则下列结论不正确的是 ( ).A .a 2<b 2B .ab <b 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12b <⎝ ⎛⎭⎪⎫12a D.a b +b a >2解析 取a =-1,b =-2,则⎝ ⎛⎭⎪⎫12-2=4>⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=2.答案 C2.“a +c >b +d ”是“a >b 且c >d ”的 ( ).A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析 “a +c >b +d ”/⇒“a >b 且c >d ”,∴“充分性不成立”,“a >b 且c >d ”⇒“a +c >b +d ”. ∴必要性成立. 答案 A3.不等式x +5(x -1)2≥2的解集是( ).A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-3,12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,3 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1∪(1,3] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,1∪(1,3] 解析 首先x ≠1,在这个条件下根据不等式的性质,原不等式可以化为x +5≥2(x -1)2,即2x 2-5x -3≤0,即(2x +1)(x -3)≤0,解得-12≤x ≤3,故原不等式的解集是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,1∪(1,3].答案 D4.已知a ≥0,b ≥0,且a +b =2,则 ( ).A .ab ≤12 B .ab ≥12 C .a 2+b 2≥2D .a 2+b 2≤3解析 由a +b =2可得2≥2ab ,即ab ≤1;对于选项C :a 2+b 2≥2,即(a +b )2-2ab ≥2,可得ab ≤1.故选项C 正确. 答案 C5.若变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤1,x +y ≥0,x -y -2≤0,则z =x -2y 的最大值是( ).A .4B .3C .2D .1解析 如图,画出约束条件表示的可行域,当直线z =x -2y 经过x +y =0与x -y -2=0的交点A (1,-1)时,z 取到最大值3,故选B. 答案 B6.不等式x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ). A .[-1,4]B .(-∞,-2]∪[5,+∞)C .(-∞,-1]∪[4,+∞)D .[-2,5]解析 因为x 2-2x +5=(x -1)2+4的最小值为4,所以要使x 2-2x +5≥a 2-3a 对任意实数x 恒成立,只需a 2-3a ≤4,解得-1≤a ≤4,故选A. 答案 A7.设a 、b 是实数,且a +b =3,则2a +2b 的最小值是 ( ).A .6B .4 2C .2 6D .8解析 2a +2b ≥22a +b =42,当且仅当2a =2b ,即a =b 时等号成立.故选B. 答案 B8.若a ≥0,b ≥0,且当⎩⎨⎧x ≥0,y ≥0,x +y ≤1时,恒有ax +by ≤1,则以a ,b 为坐标的点P (a ,b )所形成的平面区域的面积是( ).A.12B.π4 C .1D.π2解析 由题意可得,当x =0时,by ≤1恒成立,b =0时,by ≤1显然恒成立;b ≠0时,可得y ≤1b 恒成立,解得0<b ≤1,所以0≤b ≤1;同理可得0≤a ≤1.所以点P (a ,b )确定的平面区域是一个边长为1的正方形,故面积为1. 答案 C9.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 ( ).A .2 000元B .2 200元C .2 400元D .2 800元解析 设需用甲型货车x 辆,乙型货车y 辆,由题目条件可得约束条件为⎩⎨⎧20x +10y ≥100,0≤x ≤4,0≤y ≤8,目标函数z =400x +300y ,画图可知,当平移直线400x +300y =0过点(4,2)时,z 取得最小值2 200,故选B.答案 B10.设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0,若目标函数z =ax +by (a >0,b >0)的最大值为12,则ab 的最大值为( ).A .1 B.12 C.32D .2解析不等式组⎩⎨⎧3x -y -6≤0,x -y +2≥0,x ≥0,y ≥0所表示的可行域如图所示,当平行直线系ax +by =z 过点A (4,6)时,目标函数z =ax +by (a >0,b >0)取得最大值,z 最大值=4a +6b =12,∵4a +6b =12≥24a ×6b ,∴ab ≤32. 答案 C11.若关于x 的不等式m (x -1)>x 2-x 的解集为{x |1<x <2},则实数m 的值为________.解析 由不等式的解集知1,2是方程m (x -1)=x 2-x 的根,将2代入可得m =2. 答案 212.若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,则xy 的最小值是________. 解析 因为正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ,所以由基本不等式得xy ≥22·xy +6(当且仅当x =3,y =6时等号成立),令xy =t ,得不等式t 2-22t -6≥0,解得t ≤-2(舍去)或t ≥32,故xy 的最小值为18. 答案 1813.已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)解析 根据已知条件画出可行域(如下图所示).平移直线3y -2x =0,当经过A 点时,z =2x -3y 取得最大值;当平移到C 点时,z =2x -3y 取得最小值,A 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x -y =3,x +y =-1,解得A (1,-2).C 点坐标满足方程组⎩⎨⎧x -y =2,x +y =4,解得C (3,1),代入直线z =2x -3y 中求得z 的最大值为8,最小值为3,所以取值范围为(3,8). 答案 (3,8)14.设常数a >0,若对任意正实数x ,y 不等式(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y ≥9恒成立,则a 的最小值为________.解析 (x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y =1+a +y x +ax y ≥1+a +2a =(a +1)2,当且仅当y =a x时取等号.所以(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +a y 的最小值为(a +1)2,于是(a +1)2≥9,所以a ≥4,故a 的最小值为4.答案 415.已知实数x ,y 满足⎩⎨⎧y ≥0,y -x +1≤0,y -2x +4≥0,若z =y -ax 取得最大值时的最优解(x ,y )有无数个,则a 的值为________.解析 依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域,如图所示.要使z =y -ax 取得最大值时的最优解(x ,y )有无数个,则直线z =y -ax 必平行于直线y -x +1=0,于是有a =1. 答案 1。
山东省2014届高考仿真模拟测试试题八高三数学(文科)本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题)一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.1.已知x x f -=1)(定义域为M ,()e xg x =值域为N ,则=N M ( )A .]1 , 0[B .]1 , 0(C .) , 0(∞+D .) , 1 [∞+ 2.已知i 是虚数单位,则31ii-=+( ) A. 2+i B. 2-i C. 1+2i D. 1-2i3.空间中,,,αβγ是三个互不重合的平面,l 是一条直线,则下列命题中正确的是( ) A .若αβ⊥,//l α,则l β⊥ B .若αβ⊥,l β⊥,则//l α C .若l α⊥,//l β,则αβ⊥D .若//l α,//l β,则//αβ4.2014年3月,为了调查教师对第十二届全国人民代表大会二次会议的了解程度,安庆市拟采用分层抽样的方法从C B A ,,三所不同的中学抽取60名教师进行调查.已知C B A ,,学校中分别有180,270,90名教师,则从C 学校中应抽取的人数为( ). A .10B .12C .18D .245.下列推理是归纳推理的是 ( )A .,AB 为定点,动点P 满足2PA PB a AB -=<(0)a >,则动点P 的轨迹是以,A B 为焦点的双曲线;B .由12,31n a a n ==-求出123,,,S S S 猜想出数列{}n a 的前n 项和n S 的表达式;C .由圆222x y r +=的面积2S r π=,猜想出椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=;D .科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇.6.定义一种运算符号“⊙”,两个实数a ,b 的“a ⊙b ”运 算原理如图所示,若输人11π2cos,23a b ==, 则输出P =( ) A.-2 B .0 C .2 D. 47.已知a=log 2 0.3,b=30.2,c=0.32,则( ) A . a <c <bB . a <b <cC . c <b <aD . c <a <b8.现有四个函数:①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④x x y 2⋅=的图象(部分)如下,则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A .①④③②B .④①②③ C. ①④②③ D .③④②①9.已知椭圆)0(1222>>n m ny m x =+的左顶点为A ,右焦点为F ,点B 在椭圆上.BC ⊥x 轴,点C 在x 轴正半轴上.如果△ABC 的角C B A ,,所对边分别为c b a ,,,其它的面积S 满足)(5222c a b S --=,则椭圆的离心率为( )A.41 B.51C.22D.4210.下列命题正确的个数是 ( )①命题“2000,13x R x x ∃∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”;②函数22()cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件; ③22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立⇔max min 2)()2(ax x x ≥+在[]1,2x ∈上恒成立;④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“0a b ⋅<”. A.1 B.2 C.3 D. 4第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡上. 11. 曲线21x y xe x =++在点(0,1)处的切线方程为 .12. 已知向量(1,2),(,1),2,2x ===+=-a b u a b v a b ,且u ∥v ,则实数x 的值是 .13. 一个几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则该几何体的体积是 cm 3.14. 设,x y 满足约束条件2044000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最①函数y =f (x )·g (x )的最小正周期为π. ②函数y =f (x )·g (x )的最大值为12.③函数y =f(x )·g (x )的图象关于点(π4,0)成中心对称 ④将函数f (x )的图象向右平移π2个单位后得到函数g (x )的图象三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 16.(本题满分12分)已知函数()sin()2cos()cos 22f x x x x x ππ=⋅--+⋅+.(1)求)(x f 的最小正周期;(2)在ABC ∆中,c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,若4)(=A f ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值. 17.(本题满分12分)育新中学的高二、一班男同学有45名,女同学有15名,老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.(Ⅰ)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数;PABD(Ⅱ)经过一个月的学习、讨论,这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验,方法是先从小组里选出1名同学做实验,该同学做完后,再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验,求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率;(Ⅲ)试验结束后,第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74,第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74,请问哪位同学的实验更稳定?并说明理由. 18.(本题满分12分)如图,四棱锥ABCD P -的俯视图是菱形ABCD ,顶点P 的投影恰好为A . ⑴求证:PC BD ⊥;⑵若a AC 2=,a BD 4=,四棱锥ABCD P -的体积32a V =,求PC 的长.19.(本题满分12分)已知函数2()2,f x x x =+()e x g x x =. (I )求()()f x g x -的极值;(II )当(2,0)x ∈-时,()1()f x ag x +≥恒成立,求实数a 的取值范围. 20.(本小题满分13分)已知{}n a 是公差不等于0的等差数列,{}n b 是等比数列, 且110a b =>.(Ⅰ)若33a b =,比较2a 与2b 的大小关系; (Ⅱ)若2244,a b a b ==.(ⅰ)判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项,并请说明理由;(ⅱ)若m b 是数列{}n a 中的某一项,写出正整数m 的集合(不必说明理由). 21.(本小题满分14分)已知点P 在椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 上,以P 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的右焦点2F ,且,22=⋅OF OP 2tan 2=∠OPF ,其中O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)已知点),(01-M ,设Q 是椭圆C 上的一点,过Q 、M 两点的直线l 交y 轴于点N ,若2NQ QM =, 求直线l 的方程;(Ⅲ)作直线1l 与椭圆D :222221x y a b+=交于不同的两点S ,T ,其中S 点的坐标为(2,0)-,若点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线上一点,且满足4GS GT ⋅=,求实数t 的值.山东省2014届高考仿真模拟测试试题高三数学(文科答案)一、 选择题: BDCAB DACBB 二、 填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11. 31y x =+ 12. 21 13. 12316+π 14. 1 15. ①②④ 三、解答题:16.解:(1)2()22cos 2f x x x ++2cos 232sin(2)36x x x π=++=++.22ππ==∴T ---------------------6分 (2)由4)(=A f ,43)62sin(2)(=++=∴πA A f ,.21)62sin(=+∴πA 又ABC A ∆为 的内角,πππ613626<+<∴A ,ππ6562=+∴A ,.3π=∴A ------9分 23=∆ABC S ,1=b ,23sin 21=∴A bc ,2=∴c ∴32121241cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=A b c b a ,.3=∴a -----------12分 17.解:(Ⅰ)416015n P m ===∴某同学被抽到的概率为115………………2分 设有x 名男同学,则45604x=,3x ∴=∴男、女同学的人数分别为3,1………………4分 (Ⅱ)把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ,则选取两名同学的基本事件有121312123231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a ab a a a a a b a a a a a b 123(,),(,),(,)b a b a b a 共12种,其中有一名女同学的有6种∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==………………………8分 (Ⅲ)16870717274715x ++++==,26970707274715x ++++== 2221(6871)(7471)45s -+-==,2222(6971)(7471) 3.25s -+-==∴第二同学的实验更稳定………………………12分18.解:⑴依题意,⊥PA 底面ABCD 因为⊂BD 底面ABCD ,所以BD PA ⊥……2分 依题意,ABCD 是菱形,BD AC ⊥.因为A AC PA = ,所以⊥BD 平面PAC ……4分, 所以PC BD ⊥……6分. ⑵PA S V ABCD ⨯⨯=31……8分,2421a BD AC S ABCD =⨯⨯=……8分, PA a a ⨯⨯=234312,a PA 23=……10分, 所以a AC PA PC 2522=+=……12分.19.解:(I)令()()()h x f x g x =-,则()(1)(2e )x h x x '=+- ………2分2)………5分1()=(1)1eh x h 极小值∴-=-,2()=(ln 2)ln 2h x h 极大值∴=.………6分(II )由已知,当(2,0)x ∈-时,221x x x axe ++≥恒成立即21212x x x x x x a xe e -++++≥=恒成立, ………8分 令12()x x x t x e -++=,则22(1)(1)()xx x t x x e++'=- ………9分 ∴当(2,1)x ∈--时, ()0t x '>,()t x 单调递增,当(1,0)x ∈-时, ()0t x '<,()t x单调递减故当(2,0)x ∈-时, max ()(1)0t x t =-=0a ∴≥ (12)分20.解: 记{}n a 的11a b a ==,{}n a 公差为d ,{}n b 公比为q,由0d ≠,得1q ≠(Ⅰ)2310b b q =>,1313222a ab b a ++==,2213b bb =,2b = 当2b =22a b >;当2b =132b b +,当且仅当13b b =时取等号,而13b b ≠,所以132b b +>即22a b >.综上所述,22a b >.……………………………4分(Ⅱ)(ⅰ)因为2244,a b a b ==,所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=-所以213,1q q q ++==或2q =-.因为1q ≠,所以2q =-,(1)3d a q a =-=-.令10k a b =,即911(1)a k d b q +-=,93(1)(2)a k a a --=-,172k =,所以10b 是{}n a 中的一项. …………………………8分(ⅱ)假设m k b a =,则111(1)m a k d b q-+-=,13(1)(2)m a k a a ---=-,143(2)m k --=-当1,m =或2m n =,(n *∈N )时,k *∈N . …………………………12分 正整数m 的集合是{}12m m =m =n,n *∈N或. …………………………13分(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆C 的方程为12422=+y x 由题意知直线l 的斜率存在,故设其斜率为k , 则其方程为),0(),1(k N x k y +=设),(11y x Q ,由于2=,所以有),1(2),(1111y x k y x ---=-3,3211ky x =-=∴ ……………………7分又Q 是椭圆C 上的一点,则12)3(4)32(22=+-k解得4±=k所以直线l 的方程为044=+-y x 或044=++y x ……………………9分(2) 当0≠k 时, 则线段ST 垂直平分线的方程为-y +-=+x k k k (14122)41822kk+ 因为点(0,)G t 是线段ST 垂直平分线的一点,令0=x ,得:2416kkt +-= 于是11(2,),(,)GS t GT x y t =--=-由4211224(16151)2()4(14)k k GS GT x t y t k +-⋅=---==+,解得:714±=k 代入2416k kt +-=,解得: 5142±=t .综上, 满足条件的实数t 的值为22±=t 或5142±=t .……………………14分。
2014届预测汇编数学试题一1.已知{}n a 是等差数列,且345610a a a a +++=,则{}n a 的前8项和为 ( ) A.40B.20C.10D.81.【答案】B 【解析】由345610a a a a +++=可得452()10a a +=,即455a a +=,所以,{}n a 的前8项和为184588()8()2022a a a a S ++===. 试题二2.已知i 是虚数单位,1(1)1i z i i+-=-,则2z = ( ) A.112i -B. 1i +C.12i -D.14i -2.【答案】C 【解析】由1(1)1iz i i +-=-可得211(1)11(1)2222i i i i z i i i +++====-+--,故2z =211()22i -+12i =-.试题三3.已知角α是第二象限角,且3sin 5α=,且()sin 2cos cos 2sin f x x x αα=+的图像关于直线0x x =对称,则0tan x = .3.【答案】724-【解析】由条件可得4cos 5α=-, 则24sin 22sin cos 25ααα==-,27cos 212sin 25αα=-=,由()sin 2cos cos 2sin f x x x αα=+sin(2)x α=+关于直线0x x =对称可得022x k ππα=+-()k Z ∈,则0tan x =tan(2)tan(2)22k πππαα+-=-17tan 224α==-. 试题四1.(理)已知四面体P ABC -中, PA=4,AC=PB= BC=PA ⊥平面PBC,则四面体P ABC -的内切球半径与外接球半径的比( )APCB1.【答案】C 【解析】PA⊥平面PBC, AC=, PA=4,∴,PBC ∴∆为等边三角形,设其外接圆半径为R ,四面体P ABC -内切球半径为r,则∴2R=4,∴外接球半径为,PAB PAC S S ∆∆===,1sin 60332PBC S ∆=⨯=,过A 点作AD 垂直于BC 于D,5AD ∴==,152ABC S ∆∴=⨯=,11433P ABC PBC V S PA -∆=⨯⨯=⨯=1()3P ABC PBC ABC PAC PAB V S S S S r -∆∆∆∆=⨯+++⨯13r =⨯34r ∴=∴内切球半径与C APCBD试题五2.已知四面体P ABC -中, PA=4,AC=,PB= BC=,PA ⊥平面PBC,则四面体P ABC-外接球体积为()D.125 6π2.【答案】C【解析】PA⊥平面PBC, AC=, PA=4,∴,PBC∴∆为等边三角形,设其外接球半径为R,,则∴2R=4,∴外接球半径为,其外接球的体积为343Vπ==试题六3.若椭圆1M:2222111x ya b+=11(0)a b>>和椭圆2M2222221x ya b+=22(0)a b>>共长轴,且12()b b>,给出下列四个命题正确的是.①设椭圆的离心率为e,则12e e>;②22221221-=c-cb b;③2112b c b c>④椭圆1M的焦点12F F、1P为椭圆1M上的任意一点,椭圆2M的焦点34F F、,2P为椭圆2M上的任意一点,则当112324F P FF PF∠∠和都取最大角时,112324F P FF PF∠<∠⑤两椭圆中,椭圆1M的最短的焦半径比椭圆2M的最短的焦半径长;3.【答案】②④⑤【解析】由于两椭圆共长轴,所以12=a a,又因为12b b>,所以12c c<12e e∴<,故①错.由于长轴相等,所以22221122+c=+cb b22221221-=c-cb b∴成立,②正确.对于③由于12b b>,12c c<所以12211212c cb c b cb b<∴<,所以③错误.P点在椭圆短轴顶点时,张角最大.由于两椭圆长轴相同,所以谁焦距长谁张角大,所以④正确.椭圆1M的最短的焦半径长为11-a c最短的焦半径22a c-,12c c<所以⑤正确.试题七1.已知函数()sin2xf x x=∈R,,将函数()y f x=图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐不变),得到函数()g x的图象,则关于()()f xg x⋅有下列命题,其中真命题的个数是( )①函数()()y f x g x =⋅是奇函数; ②函数()()y f x g x =⋅不是周期函数;③函数()()y f x g x =⋅的图像关于点(π,0)中心对称;④函数()()y f x g x =⋅. A.1B.2C.3D.41.【答案】A 【解析】()()()h x f x g x =⋅sin sin 2x x =22cos sin 22x x=,①错误,()h x 是偶函数;②错误,4π即为()h x 的一个周期; ③正确,可以验证()(2)0h x h x π+-=恒成立,故(π,0)是()y h x =的图像的一个对称中心;④错误,令t =cos 2x,t ∈[-1,1],则m (t )=2t (1-t 2)=2( t -t 3),令m ′(t )=2( 1-3t 2)=0,得=t .当t =±1时,函数值为0;当t =时,函数值为t =∴m (t )max ,即()h x 试题八2.函数f (x )=xx k ||sin -(k >0)有且仅有两个不同的零点θ,ϕ(θ>ϕ),则以下有关两零点关系的结论正确的是( )A .sin ϕ=ϕcos θB .sin ϕ=-ϕcos θC .sin θ=θcos ϕD .sin θ=-θcos ϕ2.【答案】D 【解析】由f (x )=xx k ||sin -(k >0)有且仅有两个不同的零点θ,ϕ(θ>ϕ)知,sin ||x =kx 有且仅有两个不同的解θ,ϕ,即y =sin ||x 与y kx =有且仅有两个不同的交点,由图像知,y kx =与y =sin ||x 相切于A (ϕ,sin ||ϕ),相交于B (θ,sin θ),且ϕ<0<θ,∴k =cos ϕ-,k θ=sin θ,∴sin θ=cos θϕ-,故选D.试题九3.设函数a ae x x f x-++=-)1ln()(,R a ∈.(Ⅰ)当1=a 时,证明)(x f 在),0(+∞是增函数;(Ⅱ)若),0[+∞∈x ,0)(≥x f ,求a 的取值范围.3.【解析】(1))1()1(11)('x e x a e e a x x f x x x ++-=-+=,当1=a 时, )1()1()('x e x e x f x x ++-=,……2分令x e x g x --=1)(,则1)('-=x e x g ,当),0(+∞∈x 时,01)('>-=x e x g ,所以)(x g 在),0(+∞为增函数,因此),0(+∞∈x 时,0)0()(=>g x g ,所以当),0(+∞∈x 时,0)('>x f ,则)(x f 在),0(+∞是增函数.---------6分(2)由)1()1()('x e x a e x f xx ++-=,由(1)知,,1x e x+≥当且仅当0=x 等号成立. 故)1()1)(1()1()1(1)('x e x a x e x a x x f xx ++-=++-+≥,从而当01≥-a ,即1≤a 时,对),0[+∞∈x ,0)('≥x f ,于是对),0[+∞∈∀x 0)0()(=≥f x f .由),0(1≠+>x x e x 得)0(1≠->-x x e x ,从而当1>a 时,2'22()(1)(1)x x x x x x e a ae a e ae a f x e x e x --+--+<==++故当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)('<x f ,于是当))ln(,0(2a a a x -+∈时,0)0()(=<f x f ,综上, a 的取值范围是]1,(-∞.---------12分。
安徽省数学高考模拟试题精编一【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知复数z =2i1+i,z 的共轭复数为z ,则z ·z =( ) A .1-i B .2 C .1+i D .02.(理)条件甲:⎩⎨⎧ 2<x +y <40<xy <3;条件乙:⎩⎨⎧0<x <12<y <3,则甲是乙的( )A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件(文)设α,β分别为两个不同的平面,直线l ⊂α,则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件3.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k 的值是( )A.4 B.5C.6 D.74.(理)下列说法正确的是()A.函数f(x)=1x在其定义域上是减函数B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C.命题“∃x∈R,x2+x+1>0”的否定是“∀x∈R,x2+x+1<0”D.给定命题p、q,若p∧q是真命题,则綈p是假命题(文)若cos θ2=35,sinθ2=-45,则角θ的终边所在的直线为()A.7x+24y=0 B.7x-24y=0C.24x+7y=0 D.24x-7y=05.如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图,现已知年龄在[30,35)、[35,40)、[40,45]的上网人数呈现递减的等差数列分布,则年龄在[35,40)的网民出现的频率为()A.0.04 B.0.06C.0.2 D.0.36.已知等比数列{a n }的首项为1,若4a 1,2a 2,a 3成等差数列,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.3116 B .2 C.3316 D.16337.已知l ,m 是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是( )A .若l ⊥α,α⊥β,则l ∥βB .若l ⊥α,α∥β,m ⊂β,则l ⊥mC .若l ⊥m ,α∥β,m ⊂β,则l ⊥αD .若l ∥α,α⊥β,则l ∥β 8.(理)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x +12·4x n 的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( ) A.16 B.14 C.13 D.512(文)已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2xf ′(e)+ln x ,则f ′(e)=( ) A .1 B .-1 C .-e -1 D .-e9.将函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象向右平移φ(φ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的12倍,所得图象关于直线x =π4对称,则φ的最小正值为( ) A.π8 B.3π8 C.3π4 D.π2 10.如图所示是一个几何体的三视图,其侧视图是一个边长为a 的等边三角形,俯视图是两个正三角形拼成的菱形,则该几何体的体积为( ) A .a 3B.a 32C.a 33D.a 34 答题栏二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上)11.向平面区域{}(x ,y )|x 2+y 2≤1内随机投入一点,则该点落在区域⎩⎨⎧2x +y ≤1x ≥0y ≥0内的概率等于________.12.(理)如图所示,在平行四边形ABCD 中,AP ⊥BD ,垂足为P ,且AP =3,则AP →·AC→=________.(文)已知向量p =(1,-2),q =(x,4),且p ∥q ,则p ·q 的值为________. 13.给出下列等式:观察各式:a +b =1,a 2+b 2=3,a 3+b 3=4,a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…,则依次类推可得a 6+b 6=________.14.已知不等式xy ≤ax 2+2y 2,若对任意x ∈[1,2],且y ∈[2,3],该不等式恒成立,则实数a 的取值范围是________. 15.如图所示,F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两个焦点,以坐标原点O 为圆心,|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ,B ,且△F 2AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为________.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+2cos 2x -1(x ∈R )(1)求f (x )的单调递增区间;(2)在△ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知f (A )=12,b ,a ,c 成等差数列,且AB →·AC→=9,求a 的值.17.(理)(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x (ax 2-2x -2),a ∈R 且a ≠0. (1)若曲线y =f (x )在点P (2,f (2))处的切线垂直于y 轴,求实数a 的值; (2)当a >0时,求函数f (|sin x |)的最小值;(3)在(1)的条件下,若y =kx 与y =f (x )的图象存在三个交点,求k 的取值范围. (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln x 与g (x )=kx +b (k ,b ∈R )的图象交于P ,Q 两点,曲线y =f (x )在P ,Q 两点处的切线交于点A .(1)当k =e ,b =-3时,求函数h (x )=f (x )-g (x )的单调区间;(e 为自然常数) (2)若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ee -1,1e -1,求实数k ,b 的值.18.(本小题满分12分)如图F 1、F 2为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1的左、右焦点,D 、E 是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率e =32,S △DEF 2=1-32.若点M (x 0,y 0)在椭圆C 上,则点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0a ,y 0b 称为点M 的一个“椭点”,直线l 与椭圆交于A 、B 两点,A 、B两点的“椭点”分别为P 、Q .(1)求椭圆C 的标准方程;(2)问是否存在过左焦点F 1 的直线l ,使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 19.(理)(本小题满分13分)如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ,AA 1=A 1C =AC =2,AB =BC ,AB ⊥BC ,O 为AC 中点. (1)证明:A 1O ⊥平面ABC ;(2)求直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值;(3)在BC 1上是否存在一点E ,使得OE ∥平面A 1AB ?若存在,确定点E 的位置;若不存在,说明理由. (文)(本小题满分13分)如图,直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AB =1,AA 1=62,∠ABC =60°. (1)求证:AC ⊥BD 1;(2)求四面体D 1-AB 1C 的体积.20.(本小题满分13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,S n +1=4a n +2. (1)设b n =a n +1-2a n ,证明:数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.21.(理)(本小题满分13分)某学校为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防安全知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将4种不同的工具与它们的4种不同的用途一对一连线,规定:每连对一条得5分,连错一条得-2分.某参赛者随机用4条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.(1)求该参赛者恰好连对一条的概率;(2)设X为该参赛者此题的得分,求X的分布列与数学期望.(文)(本小题满分13分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学基本公式大赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.(1)求x和y的值;(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.安徽省数学高考模拟试题精编二【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x=()A.0 B.-2C.0或-2 D.0或±22.命题“若x>1,则x>0”的否命题是()A.若x>1,则x≤0 B.若x≤1,则x>0C .若x ≤1,则x ≤0D .若x <1,则x <0 3.若复数z =2-i ,则z +10z =( ) A .2-i B .2+i C .4+2i D .6+3i4.(理)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于5,则该双曲线的方程为( ) A .5x 2-45y 2=1 B.x 25-y 24=1C.y 25-x 24=1 D .5x 2-54y 2=1(文)已知双曲线y 2a 2-x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为3,则双曲线的渐近线方程为( )A .y =±22x B .y =±2x C .y =±2x D .y =±12x5.设函数f (x )=sin x +cos x ,把f (x )的图象按向量a =(m,0)(m >0)平移后的图象恰好为函数y =-f ′(x )的图象,则m 的最小值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.2π36.(理)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+1x n的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 4的系数为( )A .5B .40C .20D .10(文)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,……,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A ,编号落入区间[451,750]的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷C 的人数为( ) A .7 B .9C .10D .157.按如图所示的程序框图运行后,输出的结果是63,则判断框中的整数M 的值是( ) A .5 B .6 C .7 D .88.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上,AB =BC =2,AC =2,若四面体ABCD 体积的最大值为23,则这个球的表面积为( ) A.125π6 B .8π C.25π4 D.25π169.(理)已知实数a ,b ,c ,d 成等比数列,且函数y =ln(x +2)-x 当x =b 时取到极大值c ,则ad 等于( ) A .1 B .0 C .-1 D .2(文)直线y =kx +1与曲线y =x 3+ax +b 相切于点A (1,3),则2a +b 的值为( ) A .2 B .-1 C .1 D .-210.(理)设函数f (x )=x -1x ,对任意x ∈[1,+∞),f (2mx )+2mf (x )<0恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12(文)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ,x ≤0,log 12x ,x >0.若关于x 的方程f (f (x ))=0有且仅有一个实数解,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0) B .(-∞,0)∪(0,1) C .(0,1) D .(0,1)∪(1,+∞) 答题栏二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上)11.已知抛物线x 2=4y 上有一条长为6的动弦AB ,则AB 的中点到x 轴的最短距离为________.12.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.13.若x ,y 满足条件⎩⎨⎧3x -5y +6≥02x +3y -15≤0,y ≥0当且仅当x =y =3时,z =ax -y 取得最小值,则实数a 的取值范围是________.14.已知函数f (x )满足:当x ≥4时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ;当x <4时f (x )=f (x +1),则f (2+log 23)=________.15.(理)已知a n =∫n0(2x +1)d x ,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ,数列{b n }的通项公式为b n =n -8,则b n S n 的最小值为________.(文)在△ABC 中,2sin 2A 2=3sin A ,sin (B -C)=2cos B sin C ,则ACAB =________. 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3sin ωx +φ2cos ωx +φ2+sin 2ωx +φ2(ω>0,0<φ<π2).其图象的两个相邻对称中心的距离为π2,且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,1.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,a =5,S △ABC =25,角C 为锐角,且满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2-π12=76,求c 的值.17.(理)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax sin x +cos x ,且f(x)在x =π4处的切线斜率为2π8.(1)求a 的值,并讨论f(x)在[-π,π]上的单调性;(2)设函数g(x)=ln (mx +1)+1-x1+x ,x ≥0,其中m >0,若对任意的x 1∈[0,+∞)总存在x 2∈[0,π2],使得g(x 1)≥f(x 2)成立,求m 的取值范围.(文)(本小题满分12分)已知函数f(x)=12x 2-13ax 3(a >0),函数g(x)=f(x)+e x (x -1),函数g(x)的导函数为g ′(x). (1)求函数f(x)的极值; (2)若a =e ,(ⅰ)求函数g(x)的单调区间;(ⅱ)求证:x >0时,不等式g ′(x)≥1+ln x 恒成立.18.(本小题满分12分)如图,已知椭圆C :x 24+y 23=1,直线l 的方程为x =4,过右焦点F 的直线l ′与椭圆交于异于左顶点A 的P ,Q 两点,直线AP 、AQ 交直线l 分别于点M 、N.(Ⅰ)当AP →·AQ →=92时,求此时直线l ′的方程;(Ⅱ)试问M 、N 两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由. 19.(理)(本题满分13分)如图,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形,其中BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,CD =AD =2AB ,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点. (Ⅰ)求证:BE ∥平面PAD ;(Ⅱ)若BE ⊥平面PCD ,求平面EBD 与平面BDC 夹角的余弦值.(文)(本小题满分13分)如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都为2,D 为CC 1的中点.(1)求证:AB 1⊥平面A 1BD ;(2)设点O为AB1上的动点,当OD∥平面ABC时,求AOOB1的值.20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7.(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n},求证:{a n}为等差数列;(Ⅱ)设函数y=f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{b n},求{b n}的前n项和S n.21.(理)(本小题满分13分)某高校组织自主招生考试,共有2 000名优秀同学参加笔试,成绩均介于195分到275分之间,从中随机抽取50名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分成8组:第1组[195,205),第2组[205,215),…,第8组[265,275].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在260分(含260分)以上的同学进入面试.(1)估计所有参加笔试的2 000名同学中,参加面试的同学人数;(2)面试时,每位同学抽取三个问题,若三个问题全答错,则不能取得该校的自主招生资格;若三个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上,则获A类资格;其他情况下获B类资格.现已知某中学有3人获得面试资格,且仅有1人笔试成绩在270分以上,在回答三个面试问题时,3人对每一个问题正确回答的概率均为1 2,用随机变量X表示该中学获得B类资格的人数,求X的分布列及期望EX. (文)(本小题满分13分)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095-2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区某年全年每天的PM2.5日均值监测数据中随机地抽取12天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)求空气质量为超标的数据的平均数与方差;(2)从空气质量为二级的数据中任取两个,求这两个数据的和小于100的概率; (3)以这12天的PM 2.5日均值来估计该年的空气质量情况,估计该年(366天)大约有多少天的空气质量达到一级或二级.安徽省数学高考模拟试题精编三【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若复数z 满足3-iz =1+i ,i 是虚数单位,则z =( ) A .2-2i B .1-2i C .2+i D .1+2i2.若集合A ={x ∈Z |2<2x +2≤8},B ={x ∈R |x 2-2x >0},则A ∩(∁R B )所含的元素个数为( ) A .0 B .1 C .2 D .33.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为( ) A .80 B .40 C.803 D.4034.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C =5∶11∶13,则△ABC ( ) A .一定是锐角三角形 B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 5.设l 、m 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列命题: ①l ∥m ,m ⊂α,则l ∥α ②l ∥α,m ∥α,则l ∥m ③α⊥β,l ⊂α,则l ⊥β ④l ⊥α,m ⊥α,则l ∥m其中正确的命题的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .46.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率:先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数,指定0、1表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A .0.852 B .0.819 2 C .0.8 D .0.757.函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω>0),把函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度,所得图象的一条对称轴方程是x =π3,则ω的最小值是( ) A .1 B .2 C .4 D.328.按右面的程序框图运行后,输出的S 应为( ) A .26 B .35 C .40 D .579.(理)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧π4≤x ≤5π4|y |≤1所表示的平面区域为D ,现向区域D 内随机投掷一点,且该点又落在曲线y =sin x 与y =cos x 围成的区域内的概率是( ) A.22π B.2πC .2 2D .1-2π(文)函数f (x )=lg|sin x |是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为2π的奇函数C .最小正周期为π的偶函数D .最小正周期为2π的偶函数10.(理)[x ]表示不超过x 的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5,已知f (x )=x-[x ](x ∈R ),g (x )=log 4(x -1),则函数h (x )=f (x )-g (x )的零点个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4(文)在直角三角形ABC 中,∠C =π2,AC =3,取点D 、E 使BD →=2DA →,AB →=3BE →,那么CD →·CA →+CE →·CA →=( ) A .3 B .6 C .-3 D .-6 答题栏二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上)11.已知双曲线C 的中心在原点,焦点在坐标轴上,P (1,-2)是C 上的点,且y =2x 是C 的一条渐近线,则C 的方程为________________. 12.(理)在(4x -2-x )6的展开式中,常数项为________.(文)若实数x ,y 满足-1<x +y <4,且2<x -y <3,则p =2x -3y 的取值范围是________.13.已知△ABC 中,BC =1,AB =3,AC =6,点P 是△ABC 的外接圆上一个动点,则BP →·BC→的最大值是________. 14.(理)若曲线y =x -12在点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ,m -12处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18,则m =________.(文)已知点P (x ,y )在直线x +2y =3上移动,当2x +4y 取得最小值时,过点P 引圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +142=12的切线,则此切线段的长度为________. 15.已知数列a n :11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,则a 99+a 100的值为________.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)16.(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,3sin C cos C -cos 2C =12,且c =3.(1)求角C ;(2)若向量m =(1,sin A )与n =(2,sin B )共线,求a 、b 的值. 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )=12ax 2-(2a +1)x +2ln x (a ∈R ). (Ⅰ)若曲线y =f (x )在x =1和x =3处的切线互相平行,求a 的值; (Ⅱ)求f (x )的单调区间;(Ⅲ)设g (x )=x 2-2x ,若对任意x 1∈(0,2],均存在x 2∈(0,2],使得f (x 1)<g (x 2),求a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,点F 1,F 2分别是椭圆C 的左,右焦点,以原点为圆心,椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x -y +6=0相切. (1)求椭圆C 的方程;(2)若过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,求△F 1MN 的内切圆面积的最大值和此时直线l 的方程. 19.(理)(本小题满分13分)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,AA 1=AB =AC =1,AB ⊥AC ,M 、N 分别是CC 1,BC 的中点,点P 在线段A 1B 1上,且A 1P →=λA 1B 1→(1)证明:无论λ取何值,总有AM⊥PN;(2)当λ=12时,求直线PN与平面ABC所成角的正切值.(文)(本小题满分13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,P A⊥平面ABCD,∠ABC =∠ADC=90°,∠BAD=120°,AD=AB=1,AC交BD于O点.(1)求证:平面PBD⊥平面P AC;(2)求三棱锥D-ABP和三棱锥B-PCD的体积之比.20.(本小题满分13分)数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+1=2S n+1(n∈N*),等差数列{b n}满足b3=3,b5=9.(1)分别求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=b n+2a n+2(n∈N*),求证:c n+1<c n≤13.21.(理)(本小题满分13分)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了阶梯水价计费方法,具体为:每户每月用水量不超过a吨的每吨2元;超过a吨而不超过(a+2)吨的,超出a吨的部分每吨4元;超过(a+2)吨的,超出(a+2)吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系;(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表:将12费用,求Y的分布列和数学期望(精确到元);(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府决定适当下调a的值(3<a<4),小明家响应政府号召节约用水,已知他家前3个月的月平均水费为11元,并且前3个月用水量x的分布列为:请你求出今年调整的(文)(本小题满分13分)某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了阶梯水价计费方法,具体为:每户每月用水量不超过4吨的每吨2元;超过4吨而不超过6吨的,超出4吨的部分每吨4元;超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费y(元)的函数关系;(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如下表:(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:安徽省数学高考模拟试题精编四【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z =1+i 2-i (其中是虚数单位),则复数z 在坐标平面内对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.(理)已知f (x )=3sin x -πx ,命题p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )<0,则( )A .p 是真命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )>0B .p 是真命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0C .p 是假命题,綈p :∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x )≥0D .p 是假命题,綈p :∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,f (x 0)≥0(文)已知命题p :∃x 0∈R ,x 20+2x 0+2≤0,则綈p 为( )A .∃x 0∈R ,x 20+2x 0+2>0B .∃x 0∈R ,x 20+2x 0+2<0C .∀x ∈R ,x 2+2x +2≤0D .∀x ∈R ,x 2+2x +2>0 3.(理)如图所示,要使电路接通即灯亮,开关不同的闭合方式有( ) A .11种 B .20种 C .21种 D .12种(文)已知向量a 、b 的夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=( ) A .3 2 B .2 2 C. 2 D .14.“m <0”是“函数f (x )=m +log 2x (x ≥1)存在零点”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件5.已知a 是实数,则函数f (x )=1+a sin ax 的图象不可能是( )6.在圆的一条直径上,任取一点作与该直径垂直的弦,则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D.327.(理)下列四个判断:①某校高三(1)班的人数和高三(2)班的人数分别是m 和n ,某次测试数学平均分分别是a ,b ,则这两个班的数学平均分为a +b 2;②从总体中抽取的样本(1,2.5),(2,3.1),(3,3.6),(4,3.9),(5,4.4),则回归直线y ∧=b ∧x +a ∧必过点(3,3.6);③已知ξ服从正态分布N (1,22),且p (-1≤ξ≤1)=0.3,则p (ξ>3)=0.2 其中正确的个数有( )A .0个B .1个C .2个D .3个(文)某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查,y 与x 具有相关关系,回归方程为y ∧=0.66x +1.562,若某城市居民人均消费水平为7.675千元,估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( ) A .83% B .72% C .67% D .66%8.阅读程序框图(如图),如果输出的函数值在区间[1,3]上,则输入的实数x 的取值范围是( )A .{x ∈R |0≤x ≤log 23}B .{x ∈R |-2≤x ≤2}C .{x ∈R |0≤x ≤log 23或x =2}D .{x ∈R |-2≤x ≤log 23或x =2}9.(理)设方程10x =|lg(-x )|的两个根分别为x 1、x 2,则( ) A .x 1x 2<0 B .x 1x 2=1 C .x 1x 2>1 D .0<x 1x 2<1(文)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x =2对称,且f (x )在(-∞,2)上是增函数,则( )A .f (-1)<f (3)B .f (0)>f (3)C .f (-1)=f (3)D .f (0)=f (3)10.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d ,已知(a 8+1)3+2013(a 8+1)=1,(a 2006+1)3+2013(a 2006+1)=-1,则下列结论正确的是( ) A .d <0,S 2013=2013 B .d >0,S 2013=2013C.d<0,S2013=-2013 D.d>0,S2013=-2013答题栏二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上)11.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的形状为________.12.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14,且样本容量为160,则中间一组的频数为________.13.(理)如图,阴影部分由曲线y=x与y轴及直线y=2围成,则阴影部分的面积S=________.(文)曲线y=x3-2x+3在x=1处的切线方程为________.14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________cm3.15.观察下面两个推理过程及结论:(1)若锐角A,B,C满足A+B+C=π,以角A,B,C分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可得到等式:sin2A=sin2B+sin2C-2sin B sin C cos A,(2)若锐角A ,B ,C 满足A +B +C =π,则⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-A 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-B 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-C 2=π,以角π2-A 2,π2-B 2,π2-C2分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式:cos 2A 2=cos 2B 2+cos 2C 2-2cos B 2cos C 2sin A 2.则:若锐角A ,B ,C 满足A +B +C =π,类比上面推理方法,可以得到的一个等式是________.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)16.(本小题满分12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,已知c =1,C =π3.(1)若cos(α+C )=-35,0<α<2π3,求cos α; (2)若sin C +sin(A -B )=3sin 2B ,求△ABC 的面积S . 17.(理)(本小题满分12分)已知函数g (x )=2a ln(x +1)+x 2-2x (1)当a ≠0时,讨论函数g (x )的单调性;(2)若函数f (x )的图象上存在不同两点A ,B ,设线段AB 的中点为P (x 0,y 0),使得f (x )在点Q (x 0,f (x 0))处的切线与直线AB 平行或重合,则说函数f (x )是“中值平衡函数”,切线叫做函数f (x )的“中值平衡切线”.试判断函数g (x )是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数g (x )的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由. (文)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a >0)的零点的集合为{0,1},且x =13是f (x )的一个极值点. (1)求ba 的值;(2)试讨论过点P (m,0)且与曲线y =f (x )相切的直线的条数.18.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l :y =kx +m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(A ,B 不是左,右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. 19.(理)(本小题满分13分)如图已知:菱形ABEF 所在平面与直角梯形ABCD 所在平面互相垂直,AB =2AD =2CD =4,∠ABE =60°,∠BAD =∠CDA =90°,点H ,G 分别是线段EF ,BC 的中点. (1)求证:平面AHC ⊥平面BCE ;(2)点M 在直线EF 上,且GM ∥平面AFD ,求平面ACH 与平面ACM 所成角的余弦值.(文)(本小题满分13分)如图,已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1.(1)若M 、N 分别是AB 、A 1C 的中点,求证:MN ∥平面BCC 1B 1;(2)若三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长均为2,∠B 1BA =∠B 1BC =60°,P 为线段B 1B 上的动点,当P A +PC 最小时,求证:B 1B ⊥平面APC .20.(本小题满分13分)已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =12(1-a n ). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =na n ,求证:b 1+b 2+…+b n <34.21.(理)(本小题满分13分)空气质量指数PM2.5(单位:μg/m 3)表示每立方米空气中入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重(如下表):某市某年8月8日~9月6日(30天)对空气质量指数PM2.5进行监测,获得数据后得到如图所示的条形图:(1)以该数据为依据,求该城市一个月内空气质量类别为良的概率;(2)在上述30个监测数据中任取2个,设X为其中空气质量类别为优的天数,求X的分布列和数学期望.(文)(本小题满分13分)某车间将10名技术工人平均分为甲、乙两个小组加工某种零件.已知甲组每名技术工人加工的零件合格的分别为4个、5个、7个、9个、10个,乙组每名技术工人加工的零件合格的分别为5个、6个、7个、8个、9个.(1)分别求出甲、乙两组技术工人加工的合格零件的平均数及方差,并由此比较这两组技术工人加工这种零件的技术水平;(2)假设质检部门从甲、乙两组技术工人中分别随机抽取1人,对他们加工的零件进行检测,若抽到的2人加工的合格零件之和超过12个,则认为该车间加工的零件质量合格,求该车间加工的零件质量合格的概率.安徽省数学高考模拟试题精编五【说明】本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数1+2ii 的共轭复数是a +b i(a ,b ∈R ),i 是虚数单位,则点(a ,b )为( ) A .(1,2) B .(2,-1) C .(2,1) D .(1,-2)2.下列说法中,正确的是( )A .命题“若am 2<bm 2,则a <b ”的逆命题是真命题B .命题“p 或q ”为真命题,则命题“p ”和命题“q ”均为真命题C .已知x ∈R ,则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件D .命题“∃x ∈R ,x 2-x >0”的否定是:“∀x ∈R ,x 2-x ≤0”3.已知a =0.7-13,b =0.6-13,c =log 2.11.5,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c <a <b B .c <b <a C .a <b <c D .b <a <c4.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm 2)为( )A .48+12 2B .48+24 2C .36+12 2D .36+24 2 5.(理)如图,A 、B 两点之间有4条网线连接,每条网线能通过的最大信息量分别为1,2,3,4.从中任取2条网线,则这2条网线通过的最大信息量之和等于5或6的概率是( ) A.56 B.12C.13D.16(文)已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤2x +y ≥1x -y ≤1,则z =3x +y 的最大值为( )A .12B .11C .3D .-16.将函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6(x ∈R )图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的解析式为( )A .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3B .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π3C .y =sin x 2D .y =cos x27.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,a 3=5,S k +2-S k =36,则k 的值为( ) A .8 B .7 C .6 D .5 8.某程序框图如图所示,现输入下列四个函数:f (x )=1x ,f (x )=log 3(x 2+1),f (x )=2x +2-x ,f (x )=2x -2-x ,则输出的函数是( ) A .f (x )=1x B .f (x )=log 3(x 2+1) C .f (x )=2x +2-x D .f (x )=2x -2-x9.(理)将5名学生分到A ,B ,C 三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( ) A .18种 B .36种 C .48种 D .60种(文)设O 在△ABC 的内部,且有OA →+2OB →+3OC →=0,则△ABC 的面积和△AOC的面积之比为( ) A .3 B.53 C .2 D.32 10.如图,在等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且AB =2CD ,设∠DAB =θ,θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,以A ,B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为e 1,以C ,D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为e 2,设e 1=f (θ),e 1e 2=g (θ),则f (θ),g (θ)的大致图象是( )答题栏二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.将答案填写在题中的横线上)11.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上,若抛物线的准线与双曲线5x 2-y 2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于45,则抛物线的方程为________.12.设动点P (x ,y )在区域Ω:⎩⎨⎧x ≥0y ≥xx +y ≤4上(含边界),过点P 任意作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________.13.已知下列表格所示数据的回归直线方程为y ∧=3.8x +a ,则a 的值为________.14.经过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速地区的时速(单位:km/h),并绘制成如图所示的频率分布直方图,其中这100辆汽车时速的范围是[30,80],数据分组为[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80].设时速达到或超过60 km/h 的汽车有x 辆,则x 等于________.15.数列{a n }满足:a 1+3a 2+5a 3+…+(2n -1)·a n =(n -1)·3n +1+3(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为a n =________.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤)16.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知cos A cos B=-a b +2c .(1)求角A 的大小. (2)求sin B sin C 的最大值.17.(理)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ln xa -x .。
图1俯视图广东省潮州市2014届高三高考系列模拟测试数学文试题8一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 是虚数单位,则复数1-2i 的虚部为A .2B .1C .1-D .2- 2.设全集{}123456U ,,,,,=,集合{}135A ,,=,{}24B ,=,则 A .U A B = B .U =()U A ðB C .U A = ()U B ð D .U =()U A ð()U B ð 3.直线3490x y +-=与圆()2211x y -+=的位置关系是A .相离B .相切C .直线与圆相交且过圆心D .直线与圆相交但不过圆心 4.若函数()y fx =是函数2x y =的反函数,则()2f 的值是A .4B .2C .1D .0 5.已知平面向量a ()2m =-,,b (1=,且()-⊥a b b ,则实数m 的值为A.- B. C. D.6.已知变量x y ,满足约束条件21110x y x y y ,,.⎧+≥⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为A .3-B .0C .1D .3 7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1,则该几何体的体积是A .2B . 1C .23D .138. 已知函数()2fx x sin =,为了得到函数()22g x x x sin cos =+的图象,只要将()y fx =的图象A .向右平移4π个单位长度 B .向左平移4π个单位长度 C .向右平移8π个单位长度 D .向左平移8π个单位长度 9.“2m <”是“一元二次不等式210x mx ++>的解集为R ”的图2ODCBA A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件 10.设函数()fx 的定义域为D ,如果x D y D ,∀∈∃∈,使()()2f x f y C C (+=为常数)成立,则称函数()fx 在D 上的均值为C . 给出下列四个函数:①3yx =;②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭;③y x ln =;④21y x sin =+, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是A .1B .2C .3D .4 二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题(11~13题) 11.函数()()1f x x ln =+-的定义域是12.某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有下表的统计资料:根据上表可得回归方程ˆˆ1.23yx a =+,据此模型估计,该型号机器使用年限为10年的维修费用约 万元(结果保留两位小数).13.已知经过同一点的n n (∈N 3n *,)≥个平面,任意三个平面不经过同一条直线.若这n 个平面将空间分成()fn 个部分,则()3f = ,()f n = .(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为 .15.(几何证明选讲选做题)如图2,AB 是O 的直径,BC 是O 的切线,AC 与O 交于点D ,若3BC =,165AD =,则AB 的长为 .图3a0.06b 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数()sin()4f x A x πω=+(其中x ∈R ,0A >,0ω>)的最大值为2,最小正周期为8.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若函数()f x 图象上的两点,P Q 的横坐标依次为2,4,O 为坐标原点,求cos ∠POQ的值.17.(本小题满分12分)沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收获时,该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg ),获得的所有数据按照区间(4045,,⎤⎦(((455050555560,,,,,⎤⎤⎤⎦⎦⎦进行分组,得到频率分布直方图如图 3.已知样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树株数是产量在区间(5060,⎤⎦上的果树株数的43倍. (1)求a ,b 的值;(2)从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株,求产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中的概率.图4MDCBAP18.(本小题满分14分)如图4,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,60BCD ︒∠=,2AB AD =,PD ⊥平面ABCD ,点M 为PC 的中点.(1)求证:PA //平面BMD ; (2)求证:AD ⊥PB ;(3)若2AB PD ==,求点A 到平面BMD 的距离.19.(本小题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12a =,28a =,()11452n n n S S S n +-+=≥,n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n T ; (3)求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的最大正整数n 的值.20.(本小题满分14分)已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,, 且1l 与2l 交于点P . (1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.21.(本小题满分14分)已知n ∈N *,设函数2321()1,2321n n x x x f x x x n -=-+-+-∈- R .(1)求函数y =2()f x kx k (-∈R )的单调区间;(2)是否存在整数t ,对于任意n ∈N *,关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解,若存在,求t 的值;若不存在,说明理由.参考答案一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分.二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.11.(]1,2 12.1238. 13.8,22n n -+ 14.1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15.4 说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分.② 第14题的正确答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵()f x 的最大值为2,且0A >,∴2A =. ……………1分 ∵()f x 的最小正周期为8,yxQ 1QP 1PO∴28T πω==,得4πω=. ……………3分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………4分 (2)解法1:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭, ……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭, ……………6分∴(4,P Q . ……………7分∴OP =……………10分∴222cos 2OP OQ PQPOQOP OQ+-∠===……12分 解法2:∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭,……………5分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭,……………6分∴(4,P Q . ……………8分∴(4,OP OQ ==. ……………10分∴cos cos ,OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===……………12分 解法3: ∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭,……………5分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭,……………6分∴(4,P Q . ……………7分 作1PP x ⊥轴, 1QQ x ⊥轴,垂足分别为11P Q ,,∴12,OP PP ==114OQ QQ ,==………8分设11POP QOQ ,αβ∠=∠=,则13sin ,cos ,sin ,cos ααββ====. ……………10分∴cos cosPOQ ∠=()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=.………12分 17.(本小题满分12分)(本小题主要考查频率分布直方图、概率等知识,考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想)(1)解:样本中产量在区间(4550,⎤⎦上的果树有520100a a ⨯⨯=(株),…………1分 样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树有()()002520100002b b ..+⨯⨯=+(株), ……………2分依题意,有()41001000023a b .=⨯+,即()40023a b .=+.①…………3分根据频率分布直方图可知()00200651b a ..+++⨯=, ② …………4分 解①②得:008004a b .,.==. ……………6分 (2)解:样本中产量在区间(5055,⎤⎦上的果树有0045204.⨯⨯=株,分别记为123A A A ,,,4A ,……………… 7分 产量在区间(5560,⎤⎦上的果树有0025202.⨯⨯=株,分别记为12B B ,. … 8分 从这6株果树中随机抽取两株共有15种情况:()()1213A A A A ,,,,()14A A ,()()()()()()111223242122A B A B A A A A A B A B ,,,,,,,,,,,,()34A A ,,()31A B ,,()32A B ,,()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ……………10分其中产量在(5560,⎤⎦上的果树至少有一株共有9种情况:()()1112A B A B ,,,,()()()()21223132A B A B A B A B ,,,,,,,,()()4142A B A B ,,,,()12B B ,. ………11分记“从样本中产量在区间(5060,⎤⎦上的果树随机抽取两株,产量在区间(5560,⎤⎦上的果树至少有一株被抽中”为事件M ,则()93155P M ==. ……………12分 18.(本小题满分14分)ONMDCB AP(本小题主要考查空间线面位置关系、点到平面的距离等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)证明:连接AC ,AC 与BD 相交于点O , 连接MO , ∵ABCD 是平行四边形,∴O 是AC 的中点. ……………1分 ∵M 为PC 的中点,∴MO AP //. ……………2分 ∵PA ⊄平面BMD ,MO ⊂平面BMD ,∴PA //平面BMD . ……………3分 (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AD . ……………4分 ∵60BAD BCD ︒∠=∠=,2AB AD =, ∴222260BDAB AD AB AD cos ︒=+-⋅⋅2222AB AD AD =+-22AB AD =-. ……………5分 ∴22AB AD =2BD +.∴AD BD ⊥. ……………6分∵PD BD D = ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AD ⊥平面PBD . ……………7分 ∵PB ⊂平面PBD ,∴AD PB ⊥. ……………8分(3)解:取CD 的中点N ,连接MN ,则MN PD //且12MN PD =. ∵PD ⊥平面ABCD ,2PD =,∴MN ⊥平面ABCD ,1MN =. ……………9分在Rt △PCD 中,2CD AB PD ===,1122DM PC ===,∵BC AD //,AD PB ⊥, ∴BC PB ⊥.在Rt △PBC 中,12BM PC ==.在△BMD 中,BM DM =,O 为BD 的中点, ∴MO BD ⊥.在Rt △ABD 中,602BD AB sin ︒=⋅=⨯=.在Rt △MOB 中,MO ==.∴12ΔABD S AD BD =⨯= ,12ΔMBD S BD MO =⨯= …………11分 设点A 到平面BMD 的距离为h ,∵M ABD A MBD V V --=, ∴13MN 13ΔABD S h =ΔMBD S . ……………12分即13⨯1⨯13h =⨯⨯, 解得h =. ……………13分∴点A 到平面BMD ……………14分 19.(本小题满分14分)(本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等知识,考查分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:∵当2n ≥时,1145n n n S S S +-+=,∴()114n n n n S S S S +--=-. ……………1分∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =,28a =,∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项,公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分(2) 解:由(1)得:2122221n n a n log log -==-, ……………5分∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分 (3)解: 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分 222222222131411234n n----=⋅⋅⋅⋅ ()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n +10102013>,解得:42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得:2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =, ……………1分 ∵2c =, ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. ……………4分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-, 即211412x x x y -=. ② ……………7分 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x +=. ……………9分 代入②得 2141x x y =, ……………10分 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上,……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P , 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………5分 ∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 同理, 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程 y x xy -=002. ……8分 ∵经过),(),,(2211y x C y x B 两点的直线是唯一的,∴直线L 的方程为y x xy -=002,……………9分 ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y . ……………10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . ……………11分 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上,…12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分 ∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=. ……………7分 ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-. 同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分 ∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分 可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21.(本小题满分14分)(本小题主要考查三次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数的零点、数列求和等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1)解:∵232()1,23x x y f x kx x kx =-=-+-- ……………1分∴221(1)y x x k x x k '=-+--=--++. ……………2分方程210x x k -++=的判别式()()214134Δk k =--+=--.当34k ≥-时,0Δ≤,2(1)0y x x k '=--++≤, 故函数y =2()f x kx -在R 上单调递减; ……………3分当34k <-时,方程210x x k -++=的两个实根为1x =,2x =. ……………4分则()1x x ,∈-∞时,0y '<;()12x x x ,∈时,0y '>;()2x x ,∈+∞时,0y '<; 故函数y =2()f x kx -的单调递减区间为()1x ,-∞和()2x ,+∞,单调递增区间为()12x x ,. ……………5分(2)解:存在1t =,对于任意n ∈N *,关于x 的方程()0n f x =在区间1t t ,⎡⎤+⎣⎦上有唯一实数解,理由如下:当1n =时,1()1f x x =-,令1()10f x x =-=,解得1x =,∴关于x 的方程1()0f x =有唯一实数解1x =. ……………6分当2n ≥时,由2321()12321n n x x x f x x n -=-+-+-- , 得22322()1n n n f x x x x x --'=-+-++- . ……………7分 若1x =-,则()(1)(21)0n n f x f n ''=-=--<,若0x =,则()10n f x '=-<, ……………8分若1x ≠-且0x ≠时,则211()1n n x f x x -+'=-+, ……………9分当1x <-时,2110,10,()0n n x x f x -'+<+<<, 当1x >-时,2110,10,()0n n x x f x -'+>+><,∴()0n f x '<,故()n f x 在(,)-∞+∞上单调递减. ……………10分 ∵111111(1)(11)()()()23452221n f n n =-+-+-++--- 0>, ………11分23452221222222(2)(12)()()()23452221n n n f n n --=-+-+-++---24221212121()2()2()223452221n n n -=-+-+-++---2422132312222345(22)(21)n n n n --=-----⋅⋅-- 0<. …………12分 ∴方程()0n f x =在[]1,2上有唯一实数解. ……………13分 当()1x ,∈-∞时,()()10n n f xf >>;当()2x ,∈+∞时,()()20n n f x f <<. 综上所述,对于任意n ∈N *,关于x 的方程()0n f x =在区间12,⎡⎤⎣⎦上有唯一实数解. ∴1t =. ……………14分。
2014年高考数学理科模拟试卷(附答案)2014年高考模拟数学(理)试卷第Ⅰ卷(选择题共40分)一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合,,那么(A)或(B)(C)或(D)2.的展开式中常数项是(A)-160(B)-20(C)20(D)1603.已知平面向量,的夹角为60°,,,则(A)2(B)(C)(D)4.设等差数列的公差≠0,.若是与的等比中项,则(A)3或-1(B)3或1(C)3(D)15.设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面.有下列四个命题:①若,,则;②若//,,则m//;③若,,,则;④若,,,则.其中正确命题的序号是(A)①③(B)①②(C)③④(D)②③6.已知函数若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是(A)(B)(C)(D)7.从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点M取自阴影部分的概率为(A)(B)(C)(D)8.对于定义域和值域均为0,1]的函数f(x),定义,,…,,n=1,2,3,….满足的点x∈0,1]称为f的阶周期点.设则f的阶周期点的个数是(A)2n(B)2(2n-1)(C)2n(D)2n2第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为,则cosα=.10.双曲线的焦点在x轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为.11.已知圆M:x2+y2-2x-4y+1=0,则圆心M到直线(t为参数)的距离为.12.如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB 切⊙O于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP=.13.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下:花期(天)11~1314~1617~1920~22个数20403010则这种卉的平均花期为天.14.将全体正奇数排成一个三角形数阵:135791113151719……按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2+c2-a2=bc.(Ⅰ)求角A的大小;(Ⅱ)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状.16.(本小题共14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(Ⅰ)若点M是棱PC的中点,求证:PA//平面BMQ;(Ⅱ)求证:平面PQB⊥平面PAD;(Ⅲ)若二面角M-BQ-C为30°,设PM=tMC,试确定t的值.17.(本小题共13分)某商场在店庆日进行抽奖促销活动,当日在该店消费的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“生”“意”“兴”“隆”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“隆”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖.(Ⅰ)求分别获得一、二、三等奖的概率;(Ⅱ)设摸球次数为,求的分布列和数学期望.18.(本小题共13分)已知函数,为函数的导函数.(Ⅰ)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是,求的值;(Ⅱ)若函数,求函数的单调区间.19.(本小题共14分)已知点,,动点P满足,记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W的方程;(Ⅱ)直线与曲线W交于不同的两点C,D,若存在点,使得成立,求实数m的取值范围.20.(本小题共13分)已知,或1,,对于,表示U和V中相对应的元素不同的个数.(Ⅰ)令,存在m个,使得,写出m的值;(Ⅱ)令,若,求证:;(Ⅲ)令,若,求所有之和.2014年高考模拟数学(理)试卷参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.题号12345678答案BACCDDBC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.10.,11.212.13.16天(15.9天给满分)14.n2-n+5注:两个空的填空题第一个空填对得3分,第二个空填对得2分.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.(本小题共13分)解:(Ⅰ)在△ABC中,因为b2+c2-a2=bc,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA 可得cosA=.(余弦定理或公式必须有一个,否则扣1分)……………3分∵0∴.……………………5分(Ⅱ)………………7分,……………………9分∵∴∴(没讨论,扣1分)………10分∴当,即时,有最大值是…………………11分又∵,∴∴△ABC为等边三角形.………………13分16.(本小题共14分)证明:(Ⅰ)连接AC,交BQ于N,连接MN.……………………1分∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,又∵点M是棱PC的中点,∴MN//PA……………………2分∵MN平面MQB,PA平面MQB,…………………3分∴PA//平面MBQ.……………………4分(Ⅱ)∵AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.……………………6分∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面P AD∩平面ABCD=AD,……………………7分∴BQ⊥平面PAD.……………………8分∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.…………………9分另证:AD//BC,BC=AD,Q为AD的中点∴BC//DQ且BC=DQ,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD//BQ.∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD.…………………6分∵PA=PD,∴PQ⊥AD.……………………7分∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.…………………8分∵AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.……………………9分(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.……………10分(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的法向量为;,,,.………11分设,则,,∵,∴,∴……………………12分在平面MBQ中,,,∴平面MBQ法向量为.……………………13分∵二面角M-BQ-C为30°,,∴.……14分17.(本小题共13分)解:(Ⅰ)设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A,B,C. (1)分则P(A)=,(列式正确,计算错误,扣1分)………3分P(B)(列式正确,计算错误,扣1分)………5分三等奖的情况有:“生,生,意,兴”;“生,意,意,兴”;“生,意,兴,兴”三种情况.P(C).…7分(Ⅱ)设摸球的次数为,则.……8分,,,.(各1分)故取球次数的分布列为1234…12分.(约为2.7)…13分18.(本小题共13分)解:(Ⅰ)∵,∴.……………………1分∵在处切线方程为,∴,……………………3分∴,.(各1分)…………………5分(Ⅱ)..………………7分①当时,,-0+极小值的单调递增区间为,单调递减区间为.………………9分②当时,令,得或……………10分(ⅰ)当,即时,-0+0-极小值极大值的单调递增区间为,单调递减区间为,;……11分(ⅱ)当,即时,,故在单调递减;……12分(ⅲ)当,即时,-0+0-极小值极大值在上单调递增,在,上单调递减………13分综上所述,当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,当时,的单调递减区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为,.(“综上所述”要求一定要写出来)19.(本小题共14分)解:(Ⅰ)由椭圆的定义可知,动点P的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为的椭圆.2分∴,,.……3分W的方程是.…………4分(另解:设坐标1分,列方程1分,得结果2分)(Ⅱ)设C,D两点坐标分别为、,C,D中点为.由得.……6分所以…………7分∴,从而.∴斜率.………9分又∵,∴,∴即…10分当时,;……11分当时,.……13分故所求的取范围是.……14分20.(本小题共13分)解:(Ⅰ);………3分(Ⅱ)证明:令,∵或1,或1;当,时,当,时,当,时,当,时,故∴………8分(Ⅲ)解:易知中共有个元素,分别记为∵的共有个,的共有个.∴==……13分∴=.法二:根据(Ⅰ)知使的共有个∴==两式相加得=(若用其他方法解题,请酌情给分)。
2014年上海市高考数学模拟试卷(8)一.填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1. 若集合A ={x|1≤x ≤3},集合B ={x|x <2},则A ∩B =________.2. 函数y =log 2(x 2−9)的定义域是________.3. 抛物线y 2=−4x 的焦点坐标为________.4. 函数y =√3sinxcosx +cos 2x −12的最小正周期是________.5. 已知平面向量a →=(3, 1),b →=(x, 3),且a →⊥b →,则x 的值为________.6. 圆x 2+y 2=4上的点到直线4x −3y +25=0的距离的最大值是________.7. 如图,四边形ABCD ,ADEF 均为正方形,∠CDE =90∘,则异面直线BE 与CD 所成的角的大小为________8. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若c =√2,b =√6,B =120∘,则a =________.9. 已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于________.10. 从{1, 2, 3, 4, 5}中随机选取一个数为a ,从{1, 2, 3}中随机选取一个数为b ,则b >a 的概率是________.11. 已知函数f(x)={x 2−4x +6(x ≥0)x +6(x <0),则满足f(x)>f(1)的x 取值范围是________. 12. 函数f(x)=sinx +2|sinx|,x ∈[0, 2π]的图象与直线y =k 有且仅有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是________.二.选择题(本大题满分30分)本大题共有12题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得零分.13. 已知函数f(x)=2x (x ∈R)的反函数为f −1(x),则f −1(1)等于( )A 0B 1C 2D 414. 经过点P(2,√3)且与直线√3x −y +2=0平行的直线为( )A √3x −y +√3=0B √3x −y −√3=0C √3x +y +√3=0D √3x +y −√3=015. 若a >b >0,则下列不等式不成立的是( )A 1a <1bB |a|>|b|C a +b ≥2√abD (12)a >(12)b16. 函数y =cos2x 为减函数的单调区间为( )A [−π4,π4]B [−π4,3π4]C [0,π2]D [π2,π] 17. (1−2x)5的展开式中x 2的系数是( )A 10B −10C 40D −4018. 条件p:x ≥0,条件q:x 2≤x ,则p 是q 的( )A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件19. 已知实数x ,y 满足方程(x −2)2+y 2=1,那么y x 的最大值为( ) A 12 B √32 C √33D √3 20. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )A f(x)=2sin(12x +π6)B f(x)=2sin(12x −π6)C f(x)=2sin(2x −π6) D f(x)=2sin(2x +π6) 21. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π,则球的表面积为( )A 8√2πB 8πC 4√2πD 4π22. 在复平面内,复数z =i(1+2i)对应的点位于( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限三.解答题(本大题满分41分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.23. 已知复数w 满足w −4=(3−2w)i (i 为虚数单位),z =5w +|w −2|,求一个以z 为根的实系数一元二次方程.24. 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 2+a 4=6,S 4=10.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n ⋅2n (n ∈N ∗),求数列{b n }的前n 项和T n .25. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2, 0),右顶点为(√3, 0)(1)求双曲线C 的方程;(2)若直线l:y =kx +√2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ,且OA →⋅OB →>2(其中O 为原点).求k 的取值范围.26. 已知函数f(x)=−1a +2x (x >0).(1)判断f(x)在(0, +∞)上的单调性,并证明;(2)解关于x 的不等式f(x)>0;(3)若f(x)+2x ≥0在(0, +∞)上恒成立,求a 的取值范围.2014年上海市高考数学模拟试卷(8)答案1. {x|1≤x <2}2. (−∞, −3)∪(3, +∞)3. (−1, 0)4. π5. −16. 77. arctan √28. √29. 3610. 15 11. (−3, 1)∪(3, +∞)12. (1, 3)13. A14. B15. D16. C17. C18. B19. C20. D21. B22. B23. 解:[解法一]∵ 复数w 满足w −4=(3−2w)i ,∴ w(1+2i)=4+3i , ∴ w(1+2i)(1−2i)=(4+3i)(1−2i),∴ 5w =10−5i ,∴ w =2−i .∴ z =52−i +|2−i −2|=5(2+i)(2−i)(2+i)+1=2+i +1=3+i .若实系数一元二次方程有虚根z =3+i ,则必有共轭虚根z ¯=3−i .∵ z +z ¯=6,z ⋅z ¯=10,∴ 所求的一个一元二次方程可以是x 2−6x +10=0.[解法二]设w =a +b ,(a, b ∈Z),∴ a +bi −4=3i −2ai +2b ,得{a −4=2b b =3−2a解得{a =2b =−1,∴ w =2−i , 以下解法同[解法一].24. 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2+a 4=6,S 4=10,可得{2a 1+4d =64a 1+4×32d =10 ,,即{a 1+2d =32a 1+3d =5, 解得{a 1=1d =1, ∴ a n =a 1+(n −1)d =1+(n −1)=n ,故所求等差数列{a n }的通项公式为a n =n .依题意,b n =a n ⋅2n =n ⋅2n ,∴ T n =b 1+b 2++b n =1×2+2×22+3×23++(n −1)⋅2n−1+n ⋅2n , 又2T n =1×22+2×23+3×24+...+(n −1)⋅2n +n ⋅2n+1,两式相减得−T n =(2+22+23++2n−1+2n )−n ⋅2n+1=2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2,∴ T n =(n −1)⋅2n+1+2.25. 解:(1)设双曲线方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0).由已知得a =√3,c =2,再由a 2+b 2=22,得b 2=1.故双曲线C 的方程为x 23−y 2=1.(2)将y =kx +√2代入x 23−y 2=1得(1−3k 2)x 2−6√2kx −9=0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得{1−3k 2≠0△=(6√2k)2+36(1−3k 2)=36(1−k 2)>0.即k 2≠13且k 2<1.①设A(x A , y A ),B(x B , y B ),则x A +x B =6√2k 1−3k 2,x A x B =−91−3k 2,由OA →⋅OB →>2得x A x B +y A y B >2, 而x A x B +y A y B =x A x B +(kx A +√2)(kx B +√2)=(k 2+1)x A x B +√2k(x A +x B )+2=(k 2+1)−91−3k 2+√2k 6√2k1−3k 2+2=3k 2+73k 2−1.于是3k 2+73k 2−1>2,即−3k 2+93k 2−1>0,解此不等式得13<k 2<3.② 由①、②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(−1,−√33)∪(√33,1). 26. 解:(1)f(x)在(0, +∞)上为减函数,证明如下:∵ f ′(x)=−2x 2<0,∴ f(x)在(0, +∞)上为减函数.(2)由f(x)>0得−1a +2x >0,即x−2a ax <0.①当a>0时,不等式解集为{x|0<x<2a}.②当a<0时,原不等式为x−2ax>0.解集为{x|x>0}.(3)若f(x)+2x≥0在(0, +∞)上恒成立,即−1a +2x+2x≥0.∴ 1a≤2x+2x.∵ 2x +2x≥4,∴ 1a≤4.解得a<0或a≥14.。
甘肃省白银市2014届高三高考仿真模拟测试数学文试题8本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分, 考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设a R ∈,且2()a i i +为正实数,则a = .A 2 .B 1 .C 0 .1D -【答案】D 【解析】()()222()1221a i i a a i i a a i+=-+=-+-,因为2()a i i +为正实数,所以210120a a a ⎧-==-⎨->⎩,解得。
2.已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin ,f x x x x x x =+x R ∈,则()f x 是.A 最小正周期为π的奇函数 .B 最小正周期为π的偶函数.C 最小正周期为2π的奇函数 .D 最小正周期为2π的偶函数【答案】A 【解析】3.命题p :若a 、b ∈R ,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件; 命题q :函数y=2|1|--x 的定义域是(-∞,-1∪[3,+∞,则A .“p 或q ”为假B .p 假q 真C .p 真q 假D .“p 且q ”为真 【答案】B 【解析】4.下列说法正确的是.A 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱, .B 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形,.C 有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台,.D 以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.【答案】B【解析】选项A 不正确,如图:棱台是由棱锥截来的,故要求梯形的腰延长后要交与一点,故C 不正确;以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥,故D 不正确。
5.函数)(x f 是奇函数,且在(+∞,0)内是增函数,0)3(=-f ,则不等式0)(<⋅x f x 的解集为 A .}303|{><<-x x x 或 B .}303|{<<-<x x x 或C .}33|{>-<x x x 或D .}3003|{<<<<-x x x 或【答案】D【解析】因为函数)(x f 是奇函数,且在(+∞,0)内是增函数,所以函数)(x f 在(,0-∞)内是增函数,又0)3(=-f ,所以(3)0f =,所以当303x x -<<>或时,()0f x >;当33x x <-<<或0时,()0f x <,所以不等式0)(<⋅x f x 的解集为}3003|{<<<<-x x x 或。
山东省数学高考模拟试题精编八
【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内,第Ⅱ卷可在各题后直接作答.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若复数(a 2
-1)+(a -1)i(i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a =( ) A .±1 B .-1 C .0 D .1 2.
设全集U =R ,A ={x |2
x (x -2)
<1},B ={x |y =ln(1-x )},则图中阴影部分表示的集合( )
A .{x |x ≥1} B.{x |1≤x <2} C .{x |0<x ≤1} D.{x |x ≤1}
3.一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如下,则余下部分的几何体的体积为( )
A.8π3+15
B.16π9+233
C.8π3+233
D.16π3
+ 3
4.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC →2=16,|AB →+AC →|=|AB →-AC →|,则|AM →
|=( ) A .2 B .4 C .6 D .8 5.
如果执行如右图所示的程序框图,则输出的S 值为( ) A .-3 B .-1
2
C .2 D.1
3
6.(理)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中,不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中,则不同的放法有( ) A .36种 B .45种 C .54种 D .96种
(文)给出命题p :直线l 1:ax +3y +1=0与直线l 2:2x +(a +1)y +1=0互相平行的充要条件是a =-3;命题q :若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.对以上两个命题,下列结论中正确的是( ) A .命题“p 且q ”为真 B .命题“p 或q ”为假 C .命题“p 或綈q ”为假 D .命题“p 且綈q ”为真
7.一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发,沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行,某台风中心在点O ,距中心不超过r km 的位置都会受其影响,且r 是区间[5,10]内的一个随机数,则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.
2-12 B .1-2
2
C.2-1 D .2- 2
8.已知函数f (x )=23sin x cos x +2cos 2
x -1(x ∈R ),则f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值
和最小值分别是( )
A .2,-1
B .1,-1
C .1,-2
D .2,-2
9.已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆,P 为球面上一点,若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,则三棱锥P -ABC 的体积为( ) A .5 B .10 C .20 D .30
10.已知等比数列{a n }满足a n >0,n =1,2,…,且a 5²a 2n -5=22n
(n ≥3),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n -1=( ) A .n (2n -1) B .(n +1)2
C .n 2
D .(n -1)2
11.已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,且函数f (x )=1+2sin 2
x sin 2x 的最小值为b ,若函数g (x )=
⎩⎪⎨⎪⎧
-1⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4<x <π28x 2
-6bx +4⎝ ⎛⎭
⎪⎫0<x ≤π4,则不等式g (x )≤1的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,π2
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π
4,32
C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤34,32 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34,π2 12.若曲线f (x ,y )=0上两个不同点处的切线重合,则称这条切线为曲线f (x ,y )=0的“自公切线”.下列方程:①x 2
-y 2
=1;②y =x 2
-|x |;③y =3sin x +4cos x ;④|x |+1=4-y 2
对应的曲线中存在“自公切线”的有( ) A .①② B .②③ C .①④ D .③④ 答题栏
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填写在题中的横线上) 13.已知抛物线y 2
=2px (p >0)的准线与圆x 2
+y 2
-4x -5=0相切,则p 的值为________.
14.(理)设a =∫π
0sin x d x ,则二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫a x -
1x 6
的展开式中的常数项等于________. (文)已知函数f(x)=kx +1,其中实数k 随机选自区间[-2,1].则对∀x ∈[-1,1],都有f(x)≥0恒成立的概率是________.
15.已知O 为坐标原点,点M 的坐标为(2,1),点N(x ,y)的坐标x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x +2y -3≤0x +3y -3≥0y≤1
.则OM →²ON →
的取值范围是________.
16.定义函数f(x)=[x[x]],其中[x]表示不超过x 的最大整数,当x ∈[0,n)(n ∈N *
)时,设函数f (x )的值域为集合A ,记A 中的元素个数为a n ,则
a n +49
n
的最小值为________. 三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程及演算步骤) 17.(本小题满分12分)在锐角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且3a -2c sin A =0. (Ⅰ)求角C 的大小;
(Ⅱ)若c =2,求a +b 的最大值. 18.(理)(本小题满分12分)
如图,已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于直线AC ,EC ⊥平面ABCD ,
AB =1,AD =2,∠ADC =60°,AF = 3.
(1)求证:AC ⊥BF ;
(2)求二面角F -BD -A 的余弦值.
(文)(本小题满分12分)如图,已知BC 是半径为1的半圆O 的直径,A 是半圆周上不同于B ,
C 的点,F 为AC 的中点.梯形ACDE 中,DE ∥AC ,且AC =2DE ,平面ACDE ⊥平面ABC .
(1)求证:平面ABE ⊥平面ACDE ; (2)求证:平面OFD ∥平面ABE .
19.(理)(本小题满分12分)某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动;准备了10张奖券,其中一等奖的奖券有2张,二等奖的奖券有3张,其余奖券均为3等奖. (Ⅰ)求从中任意抽取2张,均得到一等奖奖券的概率;
(Ⅱ)从中任意抽取3张,至多有1张一等奖奖券的概率;
(Ⅲ)从中任意抽取3张,得到二等奖奖券数记为ξ,求ξ的数学期望.
(文)(本小题满分12分)第12届全运会于2013年8月31日在辽宁沈阳举行,组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者,将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm),身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有一人是“高个子”的概率;
(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人,求这2人身高相差5 cm以上的概率.
20.(本小题满分13分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).
(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1,数列{b n}的前n项和为T n,求满足不等式T n-2
2n-1
>2 013的最小n值.
21.(本小题满分13分)已知函数f(x)=e x-ax2(a∈R)
(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数,试求a的范围;
(3)若函数f(x)不出现在直线y=x+1的下方,试求a的最大值.
22.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0)、A2(2,0),再取两个动点N1(0,m)、N2(0,n),且mn=3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;
(2)已知F2(1,0),设直线l:y=kx+m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点,直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β,且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.。