初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑾

初一数学竞赛讲座第10讲计数措施与原理计数措施与原理是组合数学重要课题之一, 本讲简介某些计数基本措施及计数基本原理。

一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京, 她要理解所有可供乘坐车次共有多少, 一种最易行措施是找一张列车运行时刻表, 将所有从武汉到北京车次逐一挑出来, 共有多少次车也就数出来了, 这种计数措施就是枚举法。

所谓枚举法, 就是把所规定计数所有对象一一列举出来, 最终计算总数措施。

运用枚举法进行列举时, 必要注意无一反复, 也无一遗漏。

例1 四个学生每人做了一张贺年片, 放在桌子上, 然后每人去拿一张, 但不能拿自己做一张。

问: 一共有多少种不一样措施？解：设四个学生分别是A, B, C, D, 她们做贺年片分别是a, b, c, d。

先考虑A拿B做贺年片b状况（如下表）, 一共有3种措施。

同样, A拿C或D做贺年片也有3种措施。

一共有3＋3＋3=9（种）不一样措施。

例2 甲、乙二人打乒乓球, 谁先连胜两局谁赢, 若没有人连胜头两局, 则谁先胜三局谁赢, 打到决出输赢为止。

问: 一共有多少种也许状况？解：如下图, 咱们先考虑甲胜第一局状况：图中打√为胜者, 一共有7种也许状况。

同理, 乙胜第一局也有 7种也许状况。

一共有 7＋7=14（种）也许状况。

二、加法原理假如完毕一件事情有n类措施, 而每一类措施中分别有m1, m2, …, mn种措施, 而无论采用这些措施中任何一种, 都能单独地完毕这件事情, 那么要完毕这件事情共有: N=m1+m2+…mn种措施。

这是咱们所熟知加法原理, 也是运用分类法计数根据。

例3 一种自然数, 假如它顺着数和倒着数都是同样, 则称这个数为“回文数”。

例如1331, 7, 202都是回文数, 而220则不是回文数。

问: 1到6位回文数一共有多少个？按从小到大排, 第个回文数是多少？解: 一位回文数有: 1, 2, …, 9, 共9个；二位回文数有: 11, 22, …, 99, 共9个；三位回文数有: 101, 111, …, 999, 共90个；四位回文数有: 1001, 1111, …, 9999, 共90个；五位回文数有: 10001, 10101, …, 99999, 共900个；六位回文数有：100001, 101101, …, 999999, 共900个。

初一数学竞赛讲座第11讲染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题地两种常用地方法.就其本质而言，染色方法是一种对题目所研究地对象进行分类地一种形象化地方法.而凡是能用染色方法来解地题，一般地都可以用赋值方法来解，只需将染成某一种颜色地对象换成赋于其某一数值就行了.赋值方法地适用范围要更广泛一些，我们可将题目所研究地对象赋于适当地数值，然后利用这些数值地大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证.一、染色法将问题中地对象适当进行染色，有利于我们观察、分析对象之间地关系.像国际象棋地棋盘那样，我们可以把被研究地对象染上不同地颜色，许多隐藏地关系会变得明朗，再通过对染色图形地处理达到对原问题地解决，这种解题方法称为染色法.常见地染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色.例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片<如下图所示），能否覆盖一个8×8地棋盘？解：如下图，将 8×8地棋盘染成黑白相间地形状.如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8地棋盘，那么它们覆盖住地白格数和黑格数都应该是32个，但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格，而1和3都是奇数，因此15个“T”字形纸片覆盖地白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格，从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖地白格数是奇数，这与32是偶数矛盾，因此，用它们不能覆盖整个棋盘.例2如左下图，把正方体分割成27个相等地小正方体，在中心地那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻地6个小正方体中地任何一个中去.如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有地正方体吗？解：甲虫不能走遍所有地正方体.我们如右上图将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间地两种颜色，使得中心地小正方体染成白色，再使两个相邻地小正方体染上不同地颜色.显然，在27个小正方体中，14个是黑地，13个是白地.甲虫从中间地白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色.故它走27步，应该经过14个白色地小正方体、13个黑色地小正方体.因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次.由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有地小正方体.例3 8×8地国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2地正方形和9个4×1地长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由.解：如下图，对8×8地棋盘染色，则每一个4×1地长方形能盖住2白2黑小方格，每一个2×2地正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格.推知7个正方形盖住地黑格总数是一个奇数，但图中地黑格数为32，是一个偶数，故这种剪法是不存在地.例4在平面上有一个27×27地方格棋盘，在棋盘地正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9地正方形.按下面地规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻地棋子，放进紧挨着这枚棋子地空格中，并把越过地这枚棋子取出来.问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图，将整个棋盘地每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分.按照游戏规则，每走一步，有两部分中地棋子数各减少了一个，而第三部分地棋子数增加了一个.这表明每走一步，每个部分地棋子数地奇偶性都要改变.因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9地正方形，显然三个部分地棋子数是相同地，故每走一步，三部分中地棋子数地奇偶性是一致地.如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上地棋子数为偶数，而另一部分地棋子数为奇数，这种结局是不可能地，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子.例5图1是由数字0，1交替构成地，图2是由图1中任选减1，如此反复多次形成地.问：图2中地A格上地数字是多少？解：如左下图所示，将8×8方格黑白交替地染色.此题允许右上图所示地6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中地数字之和减去黑格中地数字之和总是常数.所以图1中白格中地数字之和减去黑格中地数字之和，与图2中白格中地数字之和减去黑格中地数字之和相等，都等于32，由<31＋A）-32=32，得出A=33.例6有一批商品，每件都是长方体形状，尺寸是1×2×4.现在有一批现成地木箱，内空尺寸是6×6×6.问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题.先将6×6×6地木箱分成216个小正方体，这216个小正方体，可以组成27个棱长为2地正方体.我们将这些棱长为2地正方体按黑白相间涂上颜色<如下图）.容易计算出，有14个黑色地，有13个白色地.现在将商品放入木箱内，不管怎么放，每件商品要占据8个棱长为1地小正方体地空间，而且其中黑、白色地必须各占据4个.现在白色地小正方体共有8×13=104<个），再配上104个黑色地小正方体，一共可以放26件商品，这时木箱余下地是8个黑色小正方体所占据地空间.这8个黑色地小正方体地体积虽然与一件商品地体积相等，但是容不下这件商品.因此不能用这些商品刚好填满.例7 6个人参加一个集会，每两个人或者互相认识或者互相不认识.证明：存在两个“三人组”，在每一个“三人组”中地三个人，或者互相认识，或者互相不认识<这两个“三人组”可以有公共成员）.证明：将每个人用一个点表示，如果两人认识就在相应地两个点之间连一条红色线段，否则就连一条蓝色线段.本题即是要证明在所得地图中存在两个同色地三角形.设这六个点为A，B，C，D，E，F.我们先证明存在一个同色地三角形：考虑由A点引出地五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必然有三条被染成了相同地颜色，不妨设AB，AC，AD同为红色.再考虑△BCD地三边：若其中有一条是红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则存在一个蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC地三条边都是红色地.若△DEF也是三边同为红色地，则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色，设其为DE，再考虑DA，DB，DC三条线段：若其中有两条为红色，则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色地，则设其为DA，DB.此时在EA，EB中若有一边为蓝色，则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色，则又存在一个红色三角形.故不论如何涂色，总可以找到两个同色地三角形.二、赋值法将问题中地某些对象用适当地数表示之后，再进行运算、推理、解题地方法叫做赋值法.许多组合问题和非传统地数论问题常用此法求解.常见地赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值.例8一群旅游者，从A村走到B村，路线如下图所示.怎样走才能在最短时间内到达B村？图中地数字表示走这一段路程需要地时间<单位：分）.解：我们先把从A村到各村地最短时间标注在各村地旁边，从左到右，一一标注，如下图所示.由此不难看出，按图中地粗黑线走就能在最短时间<60分钟）内从A村走到B村.例9把下图中地圆圈任意涂上红色或蓝色.问：有无可能使得在同一条直线上地红圈数都是奇数？请说明理由.解：假设题中所设想地染色方案能够实现，那么每条直线上代表各点地数字之和便应都是奇数.一共有五条直线，把这五条直线上代表各点地数字之和地这五个奇数再加起来，得到地总和数仍应是一个奇数.但是，由观察可见，图中每个点都恰好同时位于两条直线上，在求上述总和数时，代表各点地数字都恰被加过两次，所以这个总和应是一个偶数.这就导致矛盾，说明假设不成立，染色方案不能实现.例10平面上n<n≥2）个点A1，A2，…，An顺次排在同一条直线上，每点涂上黑白两色中地某一种颜色.已知A1和An涂上地颜色不同.证明：相邻两点间连接地线段中，其两端点不同色地线段地条数必为奇数.证明：赋予黑点以整数值1，白点以整数值2，点Ai以整数值为a i，当A i为黑点时，a i=1，当A i为白点时，a i=2.再赋予线段A i A i+1以整数值a i+a i+1，则两端同色地线段具有地整数值为2或4，两端异色地线段具有地整数值为3.所有线段对应地整数值地总和为<a1＋a2）＋<a2＋a3）＋<a3＋a4）＋…＋<a n-1＋a n）＝a1＋a n＋2<a2＋a3＋…＋a n-1）＝2＋1＋2<a2＋a3＋…＋a n-1）＝奇数.设具有整数值2，3，4地线段地条数依次为l，m，n，则2l＋m＋4n=奇数.由上式推知，m必为奇数，证明完毕.例11 下面地表1是一个电子显示盘，每一次操作可以使某一行四个字母同时改变，或者使某一列四个字母同时改变.改变地规则是按照英文字母地顺序，每个英文字母变成它地下一个字母<即A变成B，B变成C……Z变成A）.问：能否经过若干次操作，使表1变为表2？如果能，请写出变化过程，如果不能，请说明理由.S O B R K B D ST Z F P H E X GH O C N R T B SA D V X C F Y A表1 表2解：不能.将表中地英文字母分别用它们在字母表中地序号代替<即A用1，B用2……Z用26代替）.这样表1和表2就分别变成了表3和表4.每一次操作中字母地置换相当于下面地置换：1→2，2→3，…，25→26，26→1.19 1521820 266168 15 3141 4 2224表31124198 52471820 2193625 1表4容易看出，每次操作使四个数字改变了奇偶性，而16个数字地和地奇偶性没有改变.因为表3中16个数字地和为213，表4中16个数字地和为174，它们地奇偶性不同，所以表3不能变成表4，即表1不能变成表2.例12如图<1）～<6）所示地六种图形拼成右下图，如果图<1）必须放在右下图地中间一列，应如何拼？解：把右上图黑、白相间染色<见上图）.其中有11个白格和10个黑格，当图形拼成后，图形<2）<4）<5）<6）一定是黑、白各2格，而图形<3）必须有3格是同一种颜色，另一种颜色1格.因为前四种图形，黑、白已各占2×4=8<格），而黑格总共只有10格，所以图形<3）只能是3白1黑.由此知道图<1）一定在中间一列地黑格，而上面地黑格不可能，所以图<1）在中间一列下面地黑格中.那么其它图形如何拼呢？为了说明方便，给每一格编一个数码<见左下图）.因为图<3）是3白1黑，所以为使角上不空出一格，它只能放在<1，3，4，5）或<7，12，13，17）或<11，15，16，21）这三个位置上.若放在<1，3，4，5）位置上，则图<6）只能放在<7，12，13，18）或<15，16，19，20）或<2，7，8，13）这三个位置，但是前两个位置是明显不行地，否则角上会空出一格.若放在<2，7，8，13）上，则图<2）只能放在<12，17，18，19）位置上，此时不能同时放下图<4）和图<5）.若把图<3）放在<7，12，13，17）位置上，则方格1这一格只能由图<2）或图<6）来占据.如果图<2）放在<1，2，3，4），那么图<6）无论放在何处都要出现孤立空格；如果把图<6）放在<1，4，5，10），那么2，3这两格放哪一图形都不合适.因此，图形<3）只能放在<11，15，16，21）.其余图地拼法如右上图.练习111.中国象棋盘地任意位置有一只马，它跳了若干步正好回到原来地位置.问：马所跳地步数是奇数还是偶数？2.右图是某展览大厅地平面图，每相邻两展览室之间都有门相通.今有人想从进口进去，从出口出来，每间展览厅都要走到，既不能重复也不能遗漏，应如何走法？3.能否用下图中各种形状地纸片<不能剪开）拼成一个边长为99地正方形<图中每个小方格地边长为1）？请说明理由.4.用15个1×4地长方形和1个2×2地正方形，能否覆盖8×8地棋盘？5.平面上不共线地五点，每两点连一条线段，并将每条线段染成红色或蓝色.如果在这个图形中没有出现三边同色地三角形，那么这个图形一定可以找到一红一蓝两个“圈”<即封闭回路），每个圈恰好由五条线段组成.6.将正方形ABCD分割成n2个相等地小正方格，把相对地顶点A，C染成红色，B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两种颜色之一.试说明：恰有三个顶点同色地小方格地数目是偶数.7.已知△ABC内有n个点，连同A，B，C三点一共<n＋3）个点.以这些点为顶点将△ABC分成若干个互不重叠地小三角形.将A，B，C三点分别染成红色、蓝色和黄色.而三角形内地n个点，每个点任意染成红色、蓝色和黄色三色之一.问：三个顶点颜色都不同地三角形地个数是奇数还是偶数？8.从10个英文字母A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z中任意选5个字母<字母允许重复）组成一个“词”，将所有可能地“词”按“字典顺序”<即英汉辞典中英语词汇排列地顺序）排列，得到一个“词表”：AAAAA，AAAAB，…，AAAAZ，AAABA，AAABB，…，ZZZZY，ZZZZZ.设位于“词”CYZGB与“词”XEFDA之间<这两个词除外）地“词”地个数是k，试写出“词表”中地第k个“词”.练习11答案：1.偶数.解：把棋盘上各点按黑白色间隔进行染色<图略）.马如从黑点出发，一步只能跳到白点，下一步再从白点跳到黑点，因此，从原始位置起相继经过：白、黑、白、黑……要想回到黑点，必须黑、白成对，即经过偶数步，回到原来地位置.2.不能.解：用白、黑相间地方法对方格进行染色<如图）.若满足题设要求地走法存在，必定从白色地展室走到黑色地展室，再从黑色地展室走到白色地展室，如此循环往复.现共有36间展室，从白色展室开始，最后应该是黑色展室.但右图中出口处地展室是白色地，矛盾.由此可以判定符合要求地走法不存在.3.不能.解：我们将99×99地正方形中每个单位正方形方格染上黑色或白色，使每两个相邻地方格颜色不同，由于99×99为奇数，两种颜色地方格数相差为1.而每一种纸片中，两种颜色地方格数相差数为0或3，如果它们能拼成一个大正方形，那么其中两种颜色之差必为3地倍数.矛盾！4.不能.解：如图，给8×8地方格棋盘涂上4种不同地颜色<用数字1，2，3，4表示）.显然标有1，2，3，4地小方格各有16个.每个1×4地长方形恰好盖住标有1，2，3，4地小方格各一个，但一个2×2地正方形只能盖住有三种数字地方格，故无法将每个方格盖住，即不可能有题目要求地覆盖.5.证：设五点为A，B，C，D，E.考虑从A点引出地四条线段：如果其中有三条是同色地，如AB，AC，AD同为红色，那么△BCD地三边中，若有一条是红色，则有一个三边同为红色地三角形；若三边都不是红色，则存在一个三边同为蓝色地三角形.这与已知条件是矛盾地.所以，从A点出发地四条线段，有两条是红色地，也有两条是蓝色地.当然，从其余四点引出地四条线段也恰有两条红色、两条蓝色，整个图中恰有五条红色线段和五条蓝色线段.下面只看红色线段，设从A点出发地两条是AB，AE.再考虑从B点出发地另一条红色线段，它不应是BE，否则就有一个三边同为红色地三角形.不妨设其为BD.再考虑从D点出发地另一条红色线段，它不应是DE，否则从C引出地两条红色线段就要与另一条红色线段围成一个红色三角形，故它是DC.最后一条红色线段显然是CE.这样就得到了一个红色地“圈”：A→B→D→C→E→A.同理，五条蓝线也构成一个“圈”.6.证：将红点赋值为0，蓝点赋值为1.再将小方格四顶点上地数地和称为这个小方格地值.若恰有三顶点同色，则该小方格地值为奇数，否则为偶数.在计算所有n2个小方格之值地和时，除A，B，C，D只计算一次外，其余各点都被计算了两次或四次.因为A，B，C，D四个点上地数之和是偶数，所以n2个小方格之值地和是偶数，从而这n2个值中有偶数个奇数.7.奇数.解：先对所有地小三角形地边赋值：边地两端点同色，该线段赋值为0，边地两端点不同色，该线段赋值为1.然后计算每个小三角形地三边赋值之和，有如下三种情况：<1）三个顶点都不同色地三角形，赋值和为3；<2）三个顶点中恰有两个顶点同色地三角形，赋值和为2；<3）三个顶点同色地三角形，赋值和为0.设所有三角形地边赋值总和为S，又设<1）<2）<3）三类小三角形地个数分别为a，b，c，于是有S=3a+2b+0c=3a+2b.<*）注意到在所有三角形地边赋值总和中，除了AB，BC，CA三条边外，都被计算了两次，故它们地赋值和是这些边赋值和地2倍，再加上△ABC地三边赋值和3，从而S是一个奇数，由<*）式知a是一个奇数，即三个顶点颜色都不同地三角形地个数是一个奇数.8.EFFGY.解：将A，B，C，D，E，F，G，X，Y，Z分别赋值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，则CYZGB=28961，_XEFDA=74530.在28961与74530之间共有74530-28961-1=45568<个）数，词表中第45568个词是EFFGY.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。

初一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 计算下列表达式的结果是多少？A. 3 + 4B. 5 - 2C. 6 × 2D. 8 ÷ 2答案：C3. 一个数的平方是25，这个数是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C4. 一个数的绝对值是5，这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不是答案：C5. 下列哪个选项是偶数？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C6. 一个数的立方是-8，这个数是：A. 2B. -2C. 2或-2D. 以上都不是答案：B7. 计算下列表达式的结果是多少？A. (-2) × (-3)B. (-2) × 3C. 2 × (-3)D. 2 × 3答案：A8. 一个数的倒数是1/2，这个数是：A. 2B. 1/2C. 0D. -2答案：A9. 下列哪个选项是奇数？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B10. 计算下列表达式的结果是多少？A. 10 × 0B. 10 ÷ 0C. 10 - 0D. 10 + 0答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方是36，这个数是____。

答案：±612. 一个数的立方是27，这个数是____。

答案：313. 计算下列表达式的结果：(-3) × (-4) = ____。

答案：1214. 一个数的绝对值是7，这个数是____。

答案：±715. 计算下列表达式的结果：(-5) ÷ (-1) = ____。

答案：5三、解答题（每题10分，共50分）16. 计算下列表达式的结果：(1) 2 × 3 + 4 × 5(2) (-3) × 2 - 5 × (-2)答案：(1) 2 × 3 + 4 × 5 = 6 + 20 = 26(2) (-3) × 2 - 5 × (-2) = -6 + 10 = 417. 求下列方程的解：(1) 2x + 3 = 7(2) 3x - 4 = 11答案：(1) 2x + 3 = 72x = 7 - 32x = 4x = 2(2) 3x - 4 = 113x = 11 + 43x = 15x = 518. 一个数的平方是49，求这个数。

七年级数学竞赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个分数是最简分数？A. 2/4B. 3/6C. 5/10D. 3/52. 计算：(2x + 3)(x - 2) = ?A. 2x^2 - x - 6B. 2x^2 - 4x + 3x - 6C. 2x^2 - 6x + 3D. 2x^2 - 2x - 63. 一个长方形的长是12cm，宽是8cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 20B. 96C. 120D. 2004. 一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么第10项是多少？A. 20B. 22C. 24D. 265. 一个圆的半径是7cm，求这个圆的周长（π取3.14）。

A. 14cmB. 28cmC. 42cmD. 56cm二、填空题1. 一个等边三角形的每个内角是______度。

2. 如果a:b = 3:4，那么b:a = ______3. 一个分数的分子是12，分母是18，这个分数化简后的结果是______。

4. 一个长方体的体积是60立方厘米，长是5cm，宽是2cm，那么它的高是______厘米。

5. 一个圆的直径是10cm，求这个圆的面积（π取3.14）。

三、解答题1. 甲乙两人同时从A地出发，甲以每小时5公里的速度向东走，乙以每小时7公里的速度向南走。

如果他们各自沿着直线走到B地和C地，且B、C两地相距10公里，求甲乙两人出发后多少时间相遇。

2. 一个班级有40名学生，其中男生和女生的比例是3:2。

如果增加10名女生，那么男生和女生的比例将变为多少？3. 一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3，这个数最小是多少？4. 一块长方形的草坪长是20米，宽是15米。

现在要在草坪的四周种上一圈花，每株花占地0.2平方米，问需要多少株花？5. 一个数的平方减去它的三倍再加上20得到的结果是5，求这个数是多少？四、证明题1. 证明：勾股定理。

在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 证明：两个等边三角形如果它们的边长相等，那么这两个三角形全等。

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

初一上数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 0D. 正数或04. 以下哪个选项不是有理数？A. πB. √2C. 0.3333...D. -35. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它自身的数是______。

7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数是______或______。

8. 一个数的平方根是它自身的数是______或______。

9. 一个数的立方根是它自身的数是______。

10. 如果一个数的倒数是它自身，那么这个数是______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(-2)^3 + 4 × (-1)^2。

12. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。

13. 一个数列的前三项为1, 3, 6，这个数列的第四项是多少？14. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求它的长和宽。

四、应用题（每题10分，共20分）15. 一个班级有40名学生，其中男生比女生多10人，问这个班级有多少男生和女生？16. 一个水果店有苹果和橙子，苹果的价格是每斤5元，橙子的价格是每斤3元。

如果一个顾客购买了10斤苹果和15斤橙子，总共花费了105元，求苹果和橙子各买了多少斤？五、证明题（每题15分，共15分）17. 证明：对于任意正整数n，(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1) / 2。

初一上数学竞赛试题答案一、选择题1. C2. B3. D4. A5. B二、填空题6. 07. 5，-58. 0，19. 110. 1，-1三、解答题11. (-2)^3 + 4 × (-1)^2 = -8 + 4 = -412. 2x - 5 = 3x + 1 → x = -613. 第四项为：1 + 3 = 4，3 + 6 = 9，6 + 9 = 1514. 设宽为x，则长为2x，周长为2(x + 2x) = 24，解得x = 4，长为8厘米，宽为4厘米。

七年级数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去9，那么这个数是：A. 3B. 4C. 5D. 63. 一个长方形的长是14厘米，宽是10厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 24B. 28C. 48D. 564. 下列哪个分数是最接近0.5的？A. 1/2B. 3/5C. 4/7D. 5/95. 一个数的75%是60，那么这个数是多少？A. 80B. 120C. 160D. 2006. 一个班级有48名学生，其中2/3是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 16B. 24C. 32D. 407. 一个数除以3的商加上2等于这个数除以4的商，这个数是多少？A. 6B. 9C. 12D. 158. 下列哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 89. 一个长方体的体积是120立方厘米，长是10厘米，宽是6厘米，那么它的高是多少厘米？A. 1B. 2C. 3D. 410. 下列哪个表达式的结果是一个整数？A. (1/2) + (1/3)B. (1/2) + (1/4)C. (1/3) + (1/6)D. (1/4) + (1/5)二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的1/4加上它的1/2等于______。

12. 如果5个连续的整数的和是45，那么中间的数是______。

13. 一个数的2倍与7的和是35，那么这个数是______。

14. 一个等腰三角形的两个底角都是70度，那么它的顶角是______度。

15. 一本书的价格是35元，如果打8折出售，那么现价是______元。

16. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，2小时后它行驶了______公里。

17. 一个数的3/4加上它的1/2等于5，那么这个数是______。

18. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米，那么它的表面积是______平方厘米。

七年级超难数学竞赛题带解析一、代数部分。

1. 已知a,b为有理数，且a + b√(2)=(1 - √(2))^2，求a^b的值。

- 解析：- 先将(1-√(2))^2展开，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2 - 2ab+b^2，这里a = 1，b=√(2)，则(1-√(2))^2=1-2√(2)+2 = 3 - 2√(2)。

- 因为a + b√(2)=3 - 2√(2)，所以a = 3，b=-2。

- 那么a^b = 3^-2=(1)/(9)。

2. 若x^2 - 3x + 1 = 0，求x^4+(1)/(x^4)的值。

- 解析：- 由x^2 - 3x + 1 = 0，因为x = 0不满足方程，所以方程两边同时除以x得x-3+(1)/(x)=0，即x+(1)/(x)=3。

- 对x+(1)/(x)=3两边平方得(x +(1)/(x))^2=x^2+2+(1)/(x^2)=9，所以x^2+(1)/(x^2)=7。

- 再对x^2+(1)/(x^2)=7两边平方得(x^2+(1)/(x^2))^2=x^4 + 2+(1)/(x^4)=49，所以x^4+(1)/(x^4)=47。

3. 化简(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(2019×2020)。

- 解析：- 因为(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。

- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(2019)-(1)/(2020))- 去括号后中间项都可以消去，得到1-(1)/(2020)=(2019)/(2020)。

4. 已知a^2 + b^2=6ab，且a>b>0，求(a + b)/(a - b)的值。

- 解析：- 因为a^2 + b^2 = 6ab，所以(a + b)^2=a^2+2ab + b^2=8ab，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2 = 4ab。

初一数学竞赛教程含例题练习及答案----3b244e1c-6eab-11ec-b5e7-7cb59b590d7d初一数学竞赛讲座第9课关于应用问题的精选讲座我们知道，数学是一门基础学科。

我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。

运用数学知识解决实际问题的基本思想是将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解决这个数学问题，从而解决这个实际问题。

即：这里，建立数学模型是关键的一步。

也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。

下面介绍一些典型的数学模型。

一、两个量变化时，和一定的问题如果两个变化量之和在变化过程中保持不变，那么它们的差值和乘积之间的关系是什么？请遵守下表：我们不难得出如下的规律：如果两个变化量之和在变化过程中保持不变，那么它们之间的差值越小，乘积就越大。

如果它们可以相等，那么当它们相等时，乘积是最大的。

这条定律适用于三个或三个以上的变量。

例1农民叔叔阿根想用20块长2米、宽1.2米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。

为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于2米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分别应是多少？解决方案：如上图所示，如果矩形的长度和宽度分别为x米和Y米，则x＋2y＝1.2×20＝24。

长方形的面积为因为X和2Y之和等于24是一个常量，所以当它们相等时，它们的乘积最大，矩形面积s也是最大的。

所以x=12，y=6。

例2如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但只能卖出500个。

当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。

为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解决方案：如果每种商品的售价为（50+x）元，则销售量为（500-10倍）。

数学竞赛试题初一及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是3. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π4. 以下哪个表达式的结果等于0？A. 3 - 3B. 2 × 0C. 5 ÷ 5D. 4 + 05. 如果一个角的补角是它的3倍，那么这个角的度数是：A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它本身的数是______。

7. 一个数的绝对值是它本身的数是非负数，那么这个数是______或______。

8. 一个三角形的内角和等于______度。

9. 如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是______或______。

10. 一个数的立方等于它本身，这个数是______、______或______。

三、计算题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3 + 5) × (7 - 2)。

12. 计算下列表达式的值：(-2)³ - 3 × 2²。

13. 计算下列表达式的值：√(49) + √(16)。

14. 计算下列表达式的值：(-1)⁴ - 2²。

四、解答题（每题10分，共30分）15. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。

16. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求它的斜边长度。

17. 一个数列的前三项是1，3，6，求这个数列的第四项。

五、证明题（每题25分，共25分）18. 证明：在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，那么较小的锐角的度数是30°。

答案：一、选择题1. B2. D3. C4. A5. D二、填空题6. 07. 正数，08. 1809. 0，110. 0，1，-1三、计算题11. 6412. -813. 714. 3四、解答题15. 周长：(15 + 10) × 2 = 50厘米；面积：15 × 10 = 150平方厘米。