初一数学竞赛训练 有理数专项1教程文件

老师：耿宏雷学生：科目： 数学 时间:2012年 有理数专题【知识要点】【基础知识】一、整数和分数统称为有理数。

有理数可做如下两种分类：有理数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数负分数正无限循环小数正有限小数正分数分数负整数零正整数整数 或 有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数 1、绝对值x 的绝对值x 的意义如下：x =⎩⎨⎧<-≥00x x x x ，如果，如果x 是一个非负数，当且仅当x=0时，x =0绝对值的几何意义是：一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离；由此可得：b a -表示数轴上a 点到b 点的距离。

a ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a ab ．绝对值基本性质①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==；⑤b a b a +≤+； ⑥b a b a b a +≤-≤-． c ．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．2、倒数1除以一个数(零除外)的商，叫做这个数的倒数。

如果两个数互为倒数，那么这两个数的积等于1。

3、相反数绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。

两个互为相反数的数的和等于0。

专题一：有理数的运算例1、（第18届初一第1试）在2007（-1），3-1， -18（-1），18这四个有理数中，负数共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个例2、（第 9届初一第2试）有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则a 1998＋b 1998＝( ) A ．0 B ．1. C ．－1 D ．2例3、（第10届初一第1试）)1331()2.1()125.0321(117-⨯-÷-⨯-＝______________。

初一数学培优讲义 第3讲 有理数运算有理数及其计算是整个代数学的基础。

有理数的计算不同于算术数的计算——因为有了负数的参与，每一步都需要确定符号。

很多有理数的运算需要借助于运算律，以及一些运算公式。

常用的方法有：提取公因数、裂项相消、错位相减，利用公式，等等。

随着学习的深入，我们在后面将有更多的技巧，比如说因式分解。

例1、计算：2005×20042004+2006×20072007-2004×20052005-2007×20062006例2、(1)1121231259()()...(...)233444606060++++++++++(2)1111...12123123 (100)+++++++++++(3) 10248...2++++例3、将2006减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…,以此类推,直到最后减去余下的12006，最后的得数是多少？例4*、将2，4，8，16，32，64，128，256，512这9个数填写在右边的九宫格中，使得每行、每列、2 条对角线上的数字之积都相等。

练习： 1、计算：(1) 2000×20022002-2002×20001999（2）37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159(3)101111 (242)++++ （4）1111 (24466820042006)++++⨯⨯⨯⨯2、若200420032002,,200320022001a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是___________.3、已知数轴上的3点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 满足a<b<c ，abc<0和a+b+c=0，则线段AB 与BC 的大小关系是( )A.AB>BCB.AB=BCC.AB<BCD.不确定。

(暑)
生活中的数学(暑)
第二讲：全等三角形
第三讲：等腰和等边三角形第四讲：直角三角形
第五讲：折叠、平移、旋转
数学趣谈(暑)第二讲：绝对值
第三讲：平方根和立方根第四讲：实数的运算第五讲：用字母表示数
)
步知识形
形(1）
形
和勾股数换
构造法题
论（二）方
理（二）综合复习测试
步
形
边三角形形
移、旋转第三讲：锐角三角函数
第四讲：解直角三角形(1）第五讲：解直角三角形(2）第六讲：圆的基本性质(1）
法(寒)式(寒)的关系方程(寒)题(寒)寒)
初步
形的性质函数
测试
步
形
边三角形
形
移、旋转
组）
标
知识
数1
数2
数的应用
习
第一讲：二次函数与一次函数综合
初步
变形
方程组。

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集(01)word版含答案初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1.设a、b为正整数（a＞b），p是a、b的最大公约数，q 是a、b的最小公倍数，则p，q，a，b的大小关系是（）A．p≥q≥a＞bB．q≥a＞b≥pC．q≥p≥a＞bD．p≥a＞b≥q2.下列四个等式：ab=0，a=0，a+b=0中，可以断定a必等于的式子共有（）A．3个B．2个C．1个3.a为有理数，下列说法中，正确的是（）A．B．22（a+）是正数a+是正数C．D．22﹣（a﹣）是﹣a+的值不负数4.a，b，c均为有理数．在下列：甲：若a＞b，则ac＞bc．乙：若ac＞bc，则a＞b．两个结论中（）A．甲、乙都真B．甲真，乙不真C．甲不真，___D．甲、乙都不真5.若a+b=3，ab=﹣1，则a+b的值是（）A．24B．36C．27D．36.a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定7.两个10次多项式的和是（）A．2次多项式B．1次多项式C．100次多项式D．不高于10次的多项式8.在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（）A．奇数B．偶数C．负整数D．非负整数二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9.现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是_________岁．3310.1.2345+0.7655+2.469×0.7655=_________．3.21011.已知方程组abc=_________．1212.若，则=_________．1/413.已知多项式2x﹣3x+ax+7x+b能被x+x﹣2整除，则的值是_________．214.满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于_________．15.若三个连续偶数的和等于1992，则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于_________．642．（4分）下列四个等式：$a^2+b^2=0$，$ab=0$，$a=0$，$a+b=0$中，可以断定$a$必等于的式子共有（）A．3个。

初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除。

0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除.如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99(能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y解:x ，y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6。

∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x ＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4)－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263.练习一1、分解质因数：(写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。

初一奥赛培训01：有理数的巧算（优选.)一、解答题（共16小初一奥赛培训01：有理数的巧算题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）2、计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．3、计算：S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）n+1•n．4、在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“﹣”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？5、计算3001×2999的值．6、计算103×97×10 009的值．7、计算：8、计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．9、计算：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）=_________10、计算：11、某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．12、计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．13、计算1+5+52+53+…+599+5100的值．14、计算：+++…+．15、计算下列各式的值：（1）﹣1+3﹣5+7﹣9+11﹣…﹣1997+1999；（2）11+12﹣13﹣14+15+16﹣17﹣18+…+99+100；（3）1991×1999﹣1990×2000；（4）4726342+472 6352﹣472 633×472 635﹣472 634×472 636；（5）（6）1+4+7+ (244)（7）1+（8）116、某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．答案与评分标准一、解答题（共16小题，满分150分）1、计算：（1）[47﹣（18.75﹣1÷）×2]÷0.46（2）考点：有理数的混合运算。

初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）设a 、b 为正整数（a ＞b ），p 是a 、b 的最大公约数，q 是a 、b 的最小公倍数，则p ，q ，a ，b 的大小关系是（ ）A ． p ≥q≥a＞bB ． q ≥a＞b≥pC ． q ≥p≥a＞bD ． p ≥a＞b≥q2．（4分）下列四个等式：=0，ab=0，a 2=0，a 2+b 2=0中，可以断定a 必等于0的式子共有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个3．（4分）a 为有理数，下列说法中，正确的是（ ）A ． （a+）2是正数B ． a 2+是正数C ． ﹣（a ﹣）2是负数D ． ﹣a 2+的值不小于4．（4分）a ，b ，c 均为有理数．在下列：甲：若a ＞b ，则ac 2＞bc 2．乙：若ac 2＞bc 2，则a ＞b ．两个结论中（ ）A ． 甲、乙都真B ． 甲真，乙不真C ． 甲不真，乙真D ． 甲、乙都不真5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a 3+b 3的值是（ ）A ． 24B ． 36C ． 27D ． 306．（4分）a 、b 、c 、m 都是有理数，且a+2b+3c=m ，a+b+2c=m ，那么b 与c 的关系是（ ）A ． 互为相反数B ． 互为倒数C ． 相等D ． 无法确定7．（4分）两个10次多项式的和是（ ）A ． 20次多项式B ． 10次多项式C ． 100次多项式D ． 不高于10次的多项式8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（ ）A ． 奇数B ． 偶数C ． 负整数D ． 非负整数二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是 _________ 岁．10．（5分）1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_________ ．11．（5分）已知方程组，哥哥正确地解得，弟弟粗心地把c看错，解得，则abc= _________ ．12．（5分）若，则= _________ ．13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则的值是_________ ．14．（5分）满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于_________ ．15．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于_________ ．16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，的形式，则a1992+b1993= _________ ．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．初一奥林匹克数学竞赛训练试题集（01）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）设a 、b 为正整数（a ＞b ），p 是a 、b 的最大公约数，q 是a 、b 的最小公倍数，则p ，q ，a ，b 的大小关系是（ ）A ． p ≥q≥a＞bB ． q ≥a＞b≥pC ． q ≥p≥a＞bD ． p ≥a＞b≥q考点： 约数与倍数．专题： 分类讨论．分析： 根据两个数的最大公约数与最小公倍数的关系判定即可．解答： 解：∵（a ，b ）=p 且[a ，b]=q ，∴p|a 且p|b ，即a|q 且b|q ．∴q≥a＞b≥p．故选B ．点评： 本题主要考查最大公约数与最小公倍数，两个数的最大公约数最小是一，最大是其中较小的数，两个数的最小公倍数最大是他们的积，最小是其中较大的数．2．（4分）下列四个等式：=0，ab=0，a 2=0，a 2+b 2=0中，可以断定a 必等于0的式子共有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个考点：非负数的性质：偶次方；有理数的加法；有理数的乘法；有理数的除法． 专题：计算题． 分析：按照两数相除商是0，则除数一定是0；两数的积是0，那么其中的一个数必为0；两数的平方和是0，那么两数必都等于0；一个数的偶次方是0，那么这个数一定为0．由此可判断出本题的答案． 解答： 解：∵=0，b≠0，∴a 必为0，符合题意，故正确；又∵ab=0，b=0时成立，a 未必为0，不符合题意，故错误；又∵a 2=0，a 必定=0，符合题意，故正确；又∵a 2+b 2=0，则ab 必都等于0，故正确；∴必等于0的式子共有3个，故B 、C 、D 选项错误，故选A ．点评：本题主要考查有理数加法、乘法、除法中的特殊结果0的出现原因．3．（4分）a 为有理数，下列说法中，正确的是（ ）A ． （a+）2是正数B ． a 2+是正数C ． ﹣（a ﹣）2是负数D ． ﹣a 2+的值不小于考点：有理数的乘方．分析：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．02=0．解答：解：A、（a+）2可为0，错误；B、a2+是正数，正确；C、﹣（a﹣）2可为0，错误；D、﹣a2+的值应不大于，错误．故选B．点评：此题要注意全面考虑a的取值，特别是底数为0的情况不能忽视．4．（4分）a，b，c均为有理数．在下列：甲：若a＞b，则ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中（）A．甲、乙都真B．甲真，乙不真C．甲不真，乙真D．甲、乙都不真考点：不等式的性质．专题：常规题型．分析：若c=0，甲不正确．对于乙，隐含着条件c≠0，则c2＞0，进而推出a＞b，乙正确．解答：解：当c=0时，ac2=bc2，故甲不对；∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，故乙正确．故选C．点评：主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5．（4分）若a+b=3，ab=﹣1，则a3+b3的值是（）A．24 B．36 C．27 D．30考点：立方公式．专题：计算题．分析：将a3+b3展开，然后代入题干中a+b及ab的值即可得出答案．解答：解：∵a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）=（a+b）[（a+b）2﹣3ab]∵（a+b）=3，ab=﹣1，∴原式=3×12=36．故选B．点评：本题考查立方公式的知识，比较简单，关键是掌握立方公式的展开形式．6．（4分）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定考点：代数式．分析：由于a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则a+2b+3c=a+b+2c，则b与c的关系即可求出．解答：解：由题意得，a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则a+2b+3c=a+b+2c，即b+c=0，b与c互为相反数．故选A．点评：本题考查了代数式的换算，比较简单，容易掌握．7．（4分）两个10次多项式的和是（）A．20次多项式B．10次多项式C．100次多项式D．不高于10次的多项式考点：整式的加减．分析：多项式次数的定义：多项式中各单项式次数最高的次数，就是多项式的次数，合并同类项的法则：字母和字母的次数不变，系数相加作为结果的系数；根据这两方面解答本题．解答：解：根据多项式次数的定义，多项式中各单项式次数最高的项的次数就是多项式的次数，而同类项相加减时，系数相加减，字母和字母的次数不变，故多项式相加减时，次数不会高于10次．故选D．点评：本题考查了多项式次数的定义，合并同类项的法则，需要熟练掌握．8．（4分）在1992个自然数1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面添加“+”或“﹣”号，则其代数和一定是（）A．奇数B．偶数C．负整数D．非负整数考点：奇数与偶数．专题：计算题．分析：根据在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变的性质即可得出答案．解答：解：由于在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变，这个性质对n个整数也是正确的，因此，1，2，3，1991，1992的每一个数前面任意添加“+”或“﹣”号，其代数和的奇偶性与﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8﹣1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，故选B．点评：本题考查了整数的奇偶性，难度一般，关键是掌握在整数a、b前任意添加“+”号或“﹣”号，其代数和的奇偶性不变．二、填空题（共8小题，每小题5分，满分40分）9．（5分）现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的，而九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的，则哥哥现在的年龄是24 岁．考点：一元一次方程的应用．专题：应用题；年龄问题．分析：要求哥哥现在的年龄，就要先设出未知数，利用9年前两个人之间的年龄关系作为相等关系“九年前弟弟的年龄，只是哥哥年龄的”和“现在弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的”列方程求解即可．解答：解：设哥哥现在年龄为X，弟弟现在年龄为X，那么哥哥九年前的年龄为X﹣9，弟弟九年前的年龄为X﹣9．由题意得：X﹣9=（X﹣9）解得：X=24，所以哥哥现在的年龄是24岁．故填：24．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解．10．（5分）1.23452+0.76552+2.469×0.7655= 4 ．考点：完全平方公式．分析：本题可根据完全平方公式，设出a，b进行计算即可．解答：解：令x=1.2345，y=0.7655，则2xy=2.469×0.7655，1.23452+0.76552+2.469×0.7655，=（x+y）2，=（1.2345+0.7655）2，=22，=4．故答案为：4点评：本题考查完全平方公式的应用，找出相应关系即可．11．（5分）已知方程组，哥哥正确地解得，弟弟粗心地把c看错，解得，则abc= ﹣40 ．考点：二元一次方程组的解．专题：计算题．分析：先把正确的解代入求出c的值，然后再把解代入ax+by=2即可得出答案．解答：解：把得代入方程组⇒，解得：c=﹣2，再把解代入ax+by=2，∴，解得：，∴abc=4×5×（﹣2）=﹣40．故答案为：﹣40．点评：本题考查了二元一次方程组的解，难度适中，关键是对题中已知条件的正确理解与把握．12．（5分）若，则= ．考点：分式的化简求值．专题：计算题；整体思想．分析：先将化简为含有的形式，然后代入进行求值．解答：解：===，把代入得：a×=．故答案为：．点评：本题考查了分式的化简求值，难度适中，关键是把所求分式化简成含有的形式，然后根据条件求解．13．（5分）已知多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则的值是﹣2 ．考点：解二元一次方程组；有理数的除法；代数式求值；因式分解-十字相乘法等．专题：计算题；方程思想；待定系数法．分析：由于x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），而多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b 能被（x+2）（x﹣1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x﹣1），则x=﹣2和x=1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．解答：解：∵x2+x﹣2=（x+2）（x﹣1），∴2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被（x+2）（x﹣1）整除，设商是A．则2x4﹣3x3+ax2+7x+b=A（x+2）（x﹣1），则x=﹣2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．当x=﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=32+24+4a﹣14+b=4a+b+42=0 ①当x=1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b=2﹣3+a+7+b=a+b+6=0 ②①﹣②，得3a+36=0，∴a=﹣12，∴b=﹣6﹣a=6．∴==﹣2．故答案为﹣2．点评：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=﹣2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．14．（5分）满足的值中，绝对值不超过11的哪些整数之和等于﹣30 ．考点：一元一次不等式的整数解．专题：计算题．分析：首先解不等式，即可求得绝对值不超过11的整数，进而求解．解答：解：∵，即6+3x≥4x﹣2解得：x≤8其中绝对值不超过11有整数之和是﹣9+（﹣10）+（﹣11）=﹣30．故答案是：﹣30．点评：本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．（5分）若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于5312 ．15．考点：有理数的混合运算．专题：应用题．分析：三个连续偶数的和等于1992，则中间的一个偶数为1992÷3=664，求得其余两个偶数分别为662与666，从而算出最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差．解答：解：∵三个连续偶数的和等于1992，∴中间的一个偶数为1992÷3=664，其余两个偶数分别为662与666，∴6662﹣6622=（666+662）（666﹣662）=1328×4=5312．点评：本题考查了有理数的混合运算，解决此题的关键是求得三个偶数．16．（5分）三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b，的形式，则a1992+b1993=2 ．考点：有理数无理数的概念与运算．专题：计算题．分析：根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．解答：解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，与b中有一个为1，但若a=0，会使没意义，所以a≠0，只能是a+b=0，即a=﹣b，又a≠0，则=﹣1，由于0，，b为两两不相等的有理数，在=﹣1的情况下，只能是b=1．于是a=﹣1．所以，a1992+b1993=（﹣1）1992+（1）1993=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．三、解答题（共3小题，满分48分）17．（16分）将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．考点：数的整除性．分析：首先假设出这个九位数奇位数字之和为x，偶位数字之和为y，由被11整除的判别法知x+y与x﹣y 的取值，从进一步分析得出，x与y的值．解答：解：我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判别法知x﹣y=0，11，22，33或44．但x+y与x﹣y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x﹣y也只能取奇数值11或33．于是有①解得：②解得：但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以②的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17，987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行．为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求．点评：此题主要考查了数的整除性与两数和差奇偶性的性质，确定住x﹣y与x+y的取值是解决问题的关键．18．（16分）如果6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m可分解为两个一次因式的积，求m的值，并分解因式．考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：观察6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m式子，只有常数项未确定，又该式可变为因为（3x﹣4y）（2x+y）﹣11x+22y+m．因此可假定多项式可分解为（3x﹣4y+a）（2x+y+b），展开（3x﹣4y+a）（2x+y+b），比较各次项系数，及常数项．并与6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m对应相等，可解得a、b的值，再代入m关于ab的表达式，可得m的值．至此问题得解．解答：解：∵6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m=（3x﹣4y）（2x+y）﹣11x+22y+m∴设多项式可分解为（3x﹣4y+a）（2x+y+b）（3分）则展开得：6x2﹣5xy﹣4y2+（2a+3b）x+（a﹣4b）y+ab∴有（6分）解得：a=2，b=﹣5∴m=ab=﹣10（8分）原式可分解为：（3x﹣4y+2）（2x+y﹣5）（10分）点评：本题考查因式分解．解决本题的关键是首先确定这两个一次因式的系数，并假设常数项，展开与6x2﹣5xy﹣4y2﹣11x+22y+m对应相等．19．（16分）设a、b、c、d都是正整数，且a2+b2=c2+d2，证明：a+b+c+d定是合数．考点：质数与合数．专题：证明题．分析：根据a与a2的奇偶性相同即可作出判断．解答：证明：∵a2+b2与a+b同奇偶，c2+d2与c+d同奇偶，又a2+b2=c2+d2，∴a2+b2与c2+d2同奇偶，因此a+b和c+d同奇偶．∴a+b+c+d是偶数，且a+b+c+d≥4，∴a+b+c+d一定是合数．点评：本题主要考查了整数的奇偶性，a与a2的奇偶性相同，注意：偶数未必都是合数，所以a+b+c+d≥4在本题中是不能缺少的．。

第一讲有理数的巧算趣题引路】(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算：2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005解析 原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl 型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点 来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。

知识延伸】 一、 巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

7113 1 1例 1 计算：(1)-1999- X 16： (2)(-一一一 +二一一)-(——)86 36 4 12 48解析⑴原式=-(2000-])><168= -(3200-2) = -31998(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22?・6 36 4 12 3 37 1点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘8 8法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、 有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较 大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运 用一些熟知的规律进行比较.1991 QI log? 09例2 (1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序1992 92 1993 93排列是 __________________________________ •a 疋1992(1 92 ,1 1993(1 93(11991 1991 91 91 1992 1992 92 92点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也 是经常用到的方法•实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…199991一'921 1<922 311999999而丄9191-92< >丄9292-939391-92, < 92-9192一93 <一93一921,, < 9 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 << 2 3929999 19'- 9 1 1三. 有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.1 •倒序相加法例 3 计算：(1)1+2 + 3 + ・・・+2003 + 2004：(2)1 — 2 + 3—4+・・・ + 2003 — 2004・解析(1)设S=l+2+3 + ・・・ + 2003+2004 ①则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ②①+②，得2S=(l+2004)+(2+2003)+・・・+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)=2005X2004,即原式=2009010・(2)原式=(1 一2)+(3—4)+・・・ + (2003 — 20Q4)= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项， 通常用“I 表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。

有理数专项训练【说明】专项训练题，只是在学生某部分知识点相对薄弱时加强学生练习，从而达到掌握知识点目的。

专项训练的目的旨在帮助学子系统知识体系，并附加相关练习题型训练。

学子可以在训练的过程的进一步掌握相关知识点。

专项训练体系组成：【专项知识点】、【专项题型练习】、【疑难点知识点汇总】、【中考精选】部分组成。

希望专项训练各系列题型，帮助到更多学子。

一、知识点总结及回顾1）整数与分数统称有理数说明：（1）正数和零统称为非负数；（2）负数和零统称为非正数；（3）正整数和零统称为非负整数；（4）负整数和零统称为非正整数.2）认识正数与负数：（1）正数：大于0的数，叫做正数。

（2）负数：小于0的数，叫做负数。

“0”既不是正数，也不是负数！3）用正数、负数表示相反意义的量：如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其相反意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其相反意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向西走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示下降2米；+7C表示零上7C，-7C则表示零下7C.4）有理数“0”的作用：作用举例表示数的性质0是自然数、是有理数表示没有3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示表示某种状态0°C表示冰点表示正数与负数的界点0非正非负，是一个中性数1）概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线.2）说明：（1）原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.（2）单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.（3）数轴的画法及常见错误分析1、画一条水平的直线；①在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：②确定向右的方向为正方向，用箭头表示；③选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致 .2、数轴画法的常见错误举例：3)有理数与数轴的关系一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。

1.有理数的运算7,9,10.12.13.15回家做作业，下节讲一，一个小夹子，一个本验算，举手提问，独立解题不探讨，尽量不轻易问老师，实在不会再问。

Ⅰ，类型运算（高中数列内容）存在一类初中杯赛或联赛题目，本身为知识点前置。

其中，有理数运算部分占比较大。

其应为高中必修5的数列内容。

这类问题中，求和是最终目的。

而原式会有省略号，这不算一个结果，目的是去掉省略号。

一般来说两个方案，一个是互相抵消，一个是互相运算。

一，倒序相加类型：等差数列方法：倒序书写，与正序相加即可两边等距相加相等时可以使用1.2)1(321+=++++n n n 2.2135(21)n n ++++-= 二，并项求和类型：类周期，这里先解释周期，再解释类周期方法：以周期长度为组距分组求和即可3.计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．N 偶，n 奇4.已知2222222101100994321+-++-+-= S ，求S 被103除的余数方法1:（后讲）分析：考虑利用6)12)(1(3212222++=++++n n n n 公式来快速解决问题。

解：22222222221234991001012(24100)S =+++++++-++ 2222222222(123499100101)8(1250)=+++++++-+++ 181011012035051101515166=⨯⨯⨯-⨯⨯=答案：5151S =，余数是1方法2：并项求和先找规律，用字母验证一般规律三，裂项相消分数相加，可裂项的5.计算：来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以9991999难度大的，三项裂项1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++特殊的：构造裂项求和2)1(321+=++++n n n 22(1)21n n n +-=+注意，左面是可以相加消去的，右面可以求和四，错位相减等比或等差乘以等比的，先出一个等比的6.计算：5032399353331⨯++⨯+⨯+⨯ .【解析】 n n n S 3)12(35333132⋅-++⨯+⨯+⨯= ，①∴14323)12(3533313+⋅-++⨯+⨯+⨯=n n n S ②①-②，得14323)12(32323232312+⋅--⨯++⨯+⨯+⨯+⨯=-n n n n S 14323)12()3333(231+⋅--+++++⨯=n n n 63)22(1-⋅-=+n n .∴n S 33)1(1+⋅-=+n n .注意：并不是所有的数都可求和，能求和的很有限，都在这四种方法中涵盖。