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微积分(二) 期中复习10.4一． 单选题 1．设直线1158:121x y z L --+==与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为【 】A ．π/6 B. π/4 C. π/3 D. π/22．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的【 】A.充分条件，而非必要条件B.必要条件，而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分条件，又非必要条件 3．设函数(),y y x z =由方程()sin yz x y =+所确定，则yx∂=∂【 】 A.zy x )cos(+ B.)cos(1y x z +- C.)cos()cos(1y x z y x +-++ D.)cos()cos(y x z y x +-+4．⎰⎰+=1)1(1D d x I σ，其中1|:|1≤x D ，1||≤y ；⎰⎰=22D xyd I σ，其中2D 是122≤+y x ，则1I 和2I 的值为【 】A.01>I ，02=IB.01<I ，02=IC. 01=I ，02=ID.01>I ，02<I5.参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是【 】Ａ.222x y a += B. cos z x a b = C. sin z y a b = D. cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩6.设(),z f x y =在点),(00y x 处不连续，则(),f x y 在该点处【 】A ．必无定义B ．极限必不存在C ．偏导数必不存在D ．全微分必不存在7.将⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0),(交换积分次序后为【 】A.⎰⎰exdx y x f dy 1ln 0),( B.⎰⎰10),(ee ydx y x f dy C.⎰⎰xedx y x f dy ln 01),( D.⎰⎰e xdx y x f dy 1ln 0),(8.221x y +≤=⎰⎰【 】A ．π35B ．π65C ．π710 D ．π1110 二． 填空1．设已知两点()()1224,0,3M M 和，则与12M M方向一致的单位向量为 . 2．函数yx yx z --+=11的定义域为 .3．若z =(1,1)|dz = .4．函数22u xy z =-在点()2,1,1-处方向导数的最大值是 .5．设,10,:≤≤≤y x D π则⎰⎰+Dd xy σ)2(=_ .6.若函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点（１,1-）取得极值，则常数________a =.7.已知()1,2,3OA = ，()2,1,1OB =-，则△AOB 的面积为 .8.曲线⎩⎨⎧==-09222y z x 绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为 .9.xyy x y x 1sin)(lim 220+→→是 . 10.若),(y x z z =由方程0932222=--+++z xy z y x 确定，则函数),(y x z 的驻点是 .11.设xy z =，而()y x ϕ=是可导的正值函数，则=dxdz. 12.已知()()()1231,2,3,2,3,,2,,6a a ααα=-=-=-如果12,αα⊥则______;a =如果13,αα 则______.a =13.（1）经过()1,2,1P -并且与直线2,:341x t L y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面1∏的方程是_______________;（2）经过P 与直线L 的平面2∏的方程是_____________.14.（1）经过()2,3,1P -并且与平面:3560x y z ∏+++=垂直的直线1L 的方程是_________;（2）经过点P 且与直线12:345x y z L -+==垂直相交的直线2L 的方程是_____________.15.设()f x 为连续函数，()()0,t ty F t dy f x dx =⎰⎰则()2_________.F '=16.将积分化为极坐标形式计算()211222____________.xx dx xydy -+=⎰⎰1.求下列函数的偏导数和全微分 （1）设()1,yz xy =+求,x y z z 和dz .（2）设,uu e xy +=求2ux y∂∂∂.（3）设sin ,xyz e=求dz .（4）设,y z xyf x ⎛⎫=⎪⎝⎭其中()f u 可导，求x y xz yz +. （5）设22,z x z y y ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭其中()u ϕ可导，求y z . 2.设(),,z xy f x y x y =++-而()ln ,23,x s t y s t =+=- 其中(),f u v 具有连续的一阶偏导数，求.zs∂∂ 3.已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面与平面2210x y z ++-=平行，求点P 坐标．4.设()2,sin z f x y y x =-，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，求2.zx y∂∂∂ 5.设,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2.z x y ∂∂∂ 6.设()()2,,,,,0,yu f x y z x e z ϕ== sin y x =其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数且0,z ϕ∂≠∂求.dudx7.在曲线224210,125.z x y x y =++⎧⎨+=⎩上，求竖坐标取最大值和最小值的点. 8.计算 ()2486Dxx y d σ+-+⎰⎰，其中(){}222,.D x y xy R =+≤9.计算()222xy Dx xye d σ++⎰⎰，其中（1）(){}22,1,D x y xy =+≤（2）D 由直线,y x =1,1y x =-=围成.10.计算Dyd σ⎰⎰，其中（1）D 1=与x 轴、y 轴围成，（2）D 由曲线x =直线2,x =-0,2y y ==围成.（1）()2sgn Dy x d σ-⎰⎰，其中:11,0 1.D x y -≤≤≤≤ （2）22Dx yd x y σ++⎰⎰，其中22:1, 1.D x y x y +≤+≥ （3）x yDe d σ+⎰⎰，其中(){},1.D x y x y =+≤（4）Dσ，其中D为曲线y =1y =-围成的平面区域.12.计算下列二次积分 （1）1.dy ⎰⎰（2）210.y xdx dy ⎰13．计算下列三重积分 （1）,xydv Ω⎰⎰⎰其中Ω是柱面221x y +=及平面0,0,0z x y ===所围成的在第一卦限内的闭区域； （2）,Ω其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的闭区域；（3）()22,xy dv Ω+⎰⎰⎰ 其中Ω是由曲面()222425z x y =+及平面5z =所围成的闭区域；（4）()222222ln 1,1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域；四．证明题1.已知(),z f x y =由xyz a =确定，（其中a 是不为零的常数）证明2.x y xz yz z +=- 2.已知()z xy xF u =+，(),x u F u y =可微，验证：xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂. 3.证明()()()()()0.ayam a x m a x dy ef x dx a x ef x dx --=-⎰⎰⎰苏州大学 高等数学（下） 期中试卷2008.4一、单选题（每题3分，共15分）1．设(),f x y 在点(),a b 处的偏导数存在，则()(),,limx f a x b f a b x→--= （ ）A. (),x f a bB. (),x f a b -C. (),y f a bD. (),y f a b -2．设lnz =则dz = （ ）A.22y x ydyxdx ++ B. 22yx ydy xdx ++ C.2222y x ydy xdx ++ D. 2222yx ydy xdx ++3．若0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，则点),(00y x 是函数),(y x f z =的（ ）A. 极大值点B. 极小值点C. 极值点D. 驻点 4．将1l 0(,)xdx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后为（ ）A. 1l 0(,)xdy f x y dx -⎰⎰ B.1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰C.1l 0(,)dy f x y dx ⎰⎰ D. 1l 0(,)xdy f x y dx -⎰⎰5．设L 为直线y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段，则⎰=Lyds （ ）A.21B. 1C. 0D. 22二．填空（每小题3分，共15分）1．设()2,arctan ,xyf x y e y x =+则()1,1__________;xy f = 2．设()222,,,f x y z x y z =++则()1,1,2_________;f --=grad3．设L 为连接()1,0及()0,1两点的直线段，则()__________;Lx y ds +=⎰4．设3,Dσπ=其中()222:0,D x y a a +≤>则________;a =5．曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的切平面方程为______________. 三．求下列函数的偏导数或全微分（每题5分，共15分）1．由方程xyz =),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分;dz2．设(,)yz yf xy x =，其中f 具有二阶连续的偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂； 3．设1,xyz =求2222.z zx y x y∂∂+∂∂四．计算（每题6分，共48分）1． 求极限()(,0,0limsin x y x y →；2． 求22u x y xz =++在点()1,0,1沿方向()2,2,1=--l 的方向导数； 3． 求二重积分y xDed σ⎰⎰，其中D 由2,0,1y x y x ===所围成的平面区域；4． 计算,Dσ⎰⎰其中(){}2222,|4D x y x y ππ=≤+≤； 5． 计算⎰+Lydy xxydx 2其中L 是沿抛物线21y x =-从点()1,0A 到点()1,0B -的一段弧。
苏州大学 高等数学一（下）期中试卷 共6页 考试形式：闭卷 院系专业学号姓名成绩特别提醒：请将答案填写在答题纸上，若填写在试卷纸上无效. 一． 选择题：（每小题3分，共15分）1. 二元函数22,(,)(0,0),+(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪≠⎩在点(0,0)处 ( )A. 可微B. 连续C. 不连续，但极限存在D.极限不存在 2. 二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微的充分必要条件为( ) A. (,)f x y 在00(,)x y 处连续 B. 00(,)x f x y '与00(,)y f x y '都存在C. 00(,)|(),x y z A x B y o ρ∆=∆+∆+其中,A B 是不依赖于,x y ∆∆的常数，ρ=D. (,)x f x y '与(,)y f x y '都在点00(,)x y 处连续 3. 设函数33,z x y =+则点(0,0)是该函数的( )A. 驻点，但不是极值点B. 驻点，且是极小值点C. 驻点，且是极大值点D. 既不是驻点，又不是极值点 4. 设()d (1,2,3),kk DI x y k σ=+=⎰⎰其中22{(,)|(2)(1)1},D x y x y =-+-≤则( )A. 123I I I <<B. 213I I I <<C. 231I I I <<D. 321I I I<< 5. 100d (,)d I x f x y y =⎰化为极坐标系下的二次积分为( )A. 120d (cos ,sin )d I f r r r r θθθπ=⎰⎰B. 1202d (c o s ,s i n )dI f r r r r θθθππ-=⎰⎰ C. c o s202d (c o s ,s i n )d I f r r r r θθθθππ-=⎰⎰ D. c o s20d (cos ,sin )d I f r r r r θθθθπ=⎰⎰二． 填空题：（每小题3分，共15分）1． 极限(,)limx y →=_____________.2． 设函数(,)z z x y =由方程arctan(e )e 1x x z y +=确定,则zx∂=∂ . 3. 曲面e 3z z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程是 .4. 设x 轴正方向到方向l 的转角为θ,则函数32(,)e x f x y y =在点(2,1)-沿方向l 的方向导数是 .5．设D 是224x y +≤，则二重积分(1)d Dxy σ+=⎰⎰________ .三． 解下列各题：（每小题8分，共40分）1．求过点(0,2,4)且同时平行于平面21x z +=和32y z -=的直线方程.2．设二元函数sin(),,x z xy x y y ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭其中ϕ可微，求d .z3．求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩，在点(1,1,1)P 处的切线方程与法平面方程.4．计算二重积分2sin d d ,:,.Dyx y D y x x y y≥≥⎰⎰5. 设Ω由半球面z =与旋转抛物面224x y z +=所围成的立体，求该立体Ω的全表面积.四．解下列各题：（每小题10分，共30分）1. 设(,)z z x y =由2ln e d 0x t y z z t -+-=⎰确定，求2,,.z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂ 2. 设Ω是由2,x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而生成的曲面与2z =所围成的区域，求()222 d .xy z v Ω++⎰⎰⎰3. 在已给的椭球面2222221x y z a b c++=内一切内接的长方体（各边分别平行于坐标轴）中，求其体积最大者.苏州大学 高等数学一（下）期中试卷 答题纸一 选择题：（每小题3分，共15分）1. .2. .3. .4. .5. .二 填空题：（每小题3分，共15分）1. .2. .3.. 4. .5. .三 解答题：（每小题8分，共40分）1.3.4.四解答题：（每小题10分，共30分）1.2.高等数学（一）下 期中试卷 答案一 选择题D C A A D二 填空题 （1） 4.（2） 22(1e )xz y z --+ （3） 240x y +-= . （4）442e cos 3e sin θθ-+ （5）4π.三 解答题（1）102(2,3,1)013i j ks ==-- ……………4分直线方程24.231x y z --==- ……………4分 （2）121cos(),z y xy x y ϕϕ∂''=++∂ …………………………3分122cos().z xx xy y yϕϕ∂''=+-∂ ……………3分 121221d cos()d cos()d .x z y xy x x xy y y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫''''=++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……2分 （3）取x 为参数，,(),(),x x y y x z z x ===方程组两边对x 求导，d d 22230,d d d d 2350d d y z x y z x xy z x x ⎧++-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩…………2分 d 7.552d 4.532=,=d 53d 53y x z z x y x y z x y z-+--++ …………2分911,,1616s ⎛⎫=- ⎪⎝⎭…………2分切线方程111,19/161/16x y z ---==- …………1分 法平面方程169240.x y z +--= …………1分（4）原式=21sin d d yy yy x y⎰⎰…………3分1=(1)sin d y y y -⎰ …………2分10(cos cos sin )|1sin1.y y y y =-+-=- …………3分（5）两曲面交线228,2x y z ⎧+=⎨=⎩ …………2分对曲面z =1DS σ=2d 8(3.d r θπ==π…………3分对曲面22,4x y z +=2DS σ=2011d )23d r θπ==π⎰， 64.3S =π …………3分四 解答题（1） 方程两边分别对x,y 求偏导数：2211(1)e 0,(1)e 0,x y z z x z y z--∂∂+-=++=∂∂ ………… 4分22e e ,,11x yz z z z x z y z--∂∂==-∂+∂+ ………… 2分()()2222231e e .11x x y z z z x y y z z ---∂∂==-∂∂∂++ …………4分 （2）旋转曲面22,z x y =+ …………2分把Ω投影在z轴，222[0,2],:,z z D x y ∈+≤22220d d )d I z z θρρρπ=+⎰⎰ （截面法，极坐标系）……4分16.3=π …………4分 （3）设,,x y z 为长方体在第一卦限中顶点坐标，则求目标函数 8V xyz = 在条件2222221x y z a b c ++= 下的最大值。
高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。
2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。
3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。
4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。
5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。
6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。
7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。
8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。
9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。
10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。
二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。
2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。
2021年高三数学第二学期期中试卷及答案(考试时间120分钟满分150分)本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分第一部分(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合 , ,则(A) (B) (C) (D)(2)已知为虚数单位,复数的值是(A) (B) (C) (D)(3)若满足约束条件则函数的最大值是(A) (B) (C) (D)(4)在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次.设命题是甲落地站稳, 是乙落地站稳,则命题至少有一位队员落地没有站稳可表示为(A) (B) (C) (D)(5)执行如右图所示的程序框图，则输出的值是 ( )(A)10(B)17(C)26(D)28(6)函数的图象大致为(A) (B) (C) (D)(7)已知和是平面内两个单位向量，它们的夹角为，则与的夹角是(A) (B) (C) (D)(8)如图，梯形中， , , , ,将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面 .给出下面四个命题：②三棱锥的体积为 ;③ 平面 ;④平面平面 .其中正确命题的序号是(A)①② (B)③④ (C)①③ (D)②④第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.(9)抛物线的准线方程是 .(10)在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最高分后平均分为86分.那么最高分比最低分高分.(11)在中，分别是角的对边.已知 , , ，则 .(12)一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为表面积为 .(13)已知直线与曲线交于不同的两点，若，则实数的取值范围是 .(14)将1，2，3，，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上.现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上;第三张卡片上的所有数组成的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)(本小题满分13分)已知函数 .(Ⅰ)求的值及函数的单调递增区间;(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.(16)(本小题满分13分)某单位从一所学校招收某类特殊人才.对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：一般良好优秀一般良好优秀例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是人.由于部分数据丢失，只知道从这位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . (Ⅰ)求，的值;(Ⅱ)从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率.(17)(本题满分14分)在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知 , .(Ⅰ)求证：平面 ;(Ⅱ)求证：∥平面 ;(Ⅲ)设点在内(含边界),且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值.(18)(本小题满分13分)设函数，，，记 .(Ⅰ)求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)当时，若函数没有零点，求的取值范围.(19)(本小题满分14分)已知椭圆经过点，一个焦点为 .(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若直线与轴交于点，与椭圆交于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围.(20)(本小题满分13分)已知是公差不等于0的等差数列，是等比数列，且 . (Ⅰ)若 ,比较与的大小关系;(Ⅱ)若 .(ⅰ)判断是否为数列中的某一项，并请说明理由; (ⅱ)若是数列中的某一项，写出正整数的集合(不必说明理由).北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案(文史类)2021.3一、选择题题号12345678答案CCDDBACB二、填空题题号91011121314答案16二;三、解答题15. 解：(Ⅰ)因为所以， .由 , ，得，所以的单调递增区间是， . 8分(Ⅱ)因为所以 .所以，当，即时，取得最小值 ;当即时，取得最大值 . 13分16. 解：(I)由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人. 设事件：从位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则 .解得 .所以 . 5分(Ⅱ)由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有位，分别记为.其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生. 从中任意抽取位，可表示为 ,, , ，共种可能.设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生.事件包括 , , , ，共种可能.所以 .所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 . 13分17. 解：(Ⅰ)依题意, 因为四棱柱中，底面，所以底面 .又底面 ,所以 .因为为菱形，所以 .而，所以平面 . 4分(Ⅱ)连接 ,交于点，连接 .依题意，∥ ,且， ,所以为矩形.所以∥ .又 , , ,所以 = ，所以为平行四边形，则∥ .又平面，平面 ,所以∥平面 . 9分(Ⅲ)在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点. 分析如下：连接，则 .由于∥ ,故欲使，只需 ,从而需 .又在中， ,又为中点，所以 .故点一定在线段上.当时，取最小值.在直角三角形中， , , ,所以 . 14分18.解：(I) ，则函数在处的切线的斜率为 .又，所以函数在处的切线方程为 ,即 4分①当时，，在区间上单调递增;②当时，令，解得 ;令，解得 .综上所述，当时，函数的增区间是 ;当时，函数的增区间是，减区间是 . 9分(Ⅲ)依题意，函数没有零点，即无解.由(Ⅱ)知，当时，函数在区间上为增函数,区间上为减函数，由于，只需，解得 .所以实数的取值范围为 . 13分19. 解：(Ⅰ)由题意得解得， .所以椭圆的方程是 . 4分(Ⅱ)由得 .设，则有，，所以线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为 .于是，线段的垂直平分线与轴的交点，又点，所以 .又 .于是， .因为，所以 .所以的取值范围为 . 14分20. 解：记的，公差为，公比为，由，得当时，显然 ;当时，由平均值不等式，当且仅当时取等号，而，所以即 .综上所述， . 5分(Ⅱ)(ⅰ)因为，所以得所以或 .因为，所以， . 令，即，，，所以是中的一项.(ⅱ)假设，则，，当或，( )时， .正整数的集合是 . 13分。
2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。
2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。
3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。
4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。
6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。
7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。
8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。
9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。
10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。
二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。
解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。
《高等数学下》期中试题参考答案一．填空题 (每小题3分，共21分)1．lim x →0⎰ 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12. 2．⎰-11 x 2+sinx 1+x 2dx = ⎰-11x 21+x 2dx +⎰-11sinx 1+x 2dx = 2⎰01x 21+x 2dx +0=2⎰01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．⎰-∞+∞dx x 2+2x+2 = ⎰-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1= arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ⎩⎨⎧ z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2在XOY 平面上的投影为 ⎩⎨⎧x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ∂z ∂x - ∂z ∂y = 1y •1x+lny - 1/y x+lny= 0 6．交换 ⎰ 04 dy ⎰y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ⎰02 dx ⎰0x 2f (x,y)dx7．设f(x)是连续函数，且⎰ 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。
两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12二。
单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。
每小题3分，共18分。
）8. 下列等式正确的是 （C ） Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ⎰ax f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为：Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=0 Ｃ、d dx⎰a x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x)+C 9. 设⎰0x f(t)dt = 12f(x)- 12，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12e 2x 两边求导得到f(x)= 12f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y= （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2yD 、2x + 2f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u 2-2v, 所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y 2 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y=2x-2 11. 二元函数 z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 ( D )A 、8B 、-12C 、16D 、-8∂z ∂x =2x+4, ∂z ∂y=2y-4, z 的极小值点为(-2,2)，z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 –8 12. 下列广义积分收敛的是 （ C ）Ａ、⎰1+∞—— dx 4x 3 Ｂ、⎰e +∞lnx x dx Ｃ、⎰ 01—— dx 3xＤ、⎰e +∞dx x lnx 利用常用广义积分的指数判别法 ⎰ 01—— dx3x 收敛13. f(x,y)=ln x 2 -y 2 则 ∂2f(x,y)∂x ∂y =（C ） A 、x 2-y 2(x 2-y 2)2 B 、y 2-x 2(x 2-y 2)2 C 、2xy (x 2-y 2)2D 、- 2xy (x 2-y 2)2 因为 ∂f(x,y)∂x =1x 2 -y 2 •2x 2x 2 -y 2 =x x 2-y 2 ， 所以 ∂2f(x,y)∂x ∂y =2xy(x 2-y 2)2三。
第二学期《高等数学》期中考试试题参考答案⑴求满足条件du =(,).u x y解:(,)(,)P x y Q x y ==而22322()P xy Q y x y x∂-∂==∂+∂,故(,)(0,1)10(,)x y yx y u x y dy y ==+⎰⎰⎰0xy =+=⑼ 求曲线积分22()(4),4L x y dx x y dy x y-+++⎰其中曲线L 方程为22(1)4,x y +-=逆时针方向. 解: 222222222448,,.44(4)x y x y P x y xy QP Q x y x y y x y x -+∂-+-∂====++∂+∂但在坐标原点,此条件不成立.记222:4l x y r +=,顺时针方向,则在()L l ++所围区域内,格林公式成立,即22()()(4)0,4L l x y dx x y dy x y ++-++=+⎰故2222()(4)()(4),44L lx y dx x y dyx y dx x y dyx yx y-++-++=++⎰⎰ 2cos sin 22(2cos sin )2(sin )(2cos 4sin )cos 4x r y r r r r r r r d r θθπθθθθθθθ==--++=⎰201.2d πθπ==⎰四. (10分)求解初值问题:2331,1(0),(0) 3.3y y y x y y '''--=+⎧⎪⎨'==⎪⎩解 齐次方程对应的特征方程为2230.λλ--=特征根为121, 3.λλ=-=因此齐次方程的通解为312.x x y C e C e -=+由于0不是特征方程的根,故设非齐次方程的特解为,y ax b =+代入原方程,比较系数,得11,.3a b =-=即原方程的通解为3121.3x xy C e C e x -=+-+由定解条件,得12120,313,C C C C +=⎧⎨-+-=⎩ 121,1.C C =-⎧⇒⎨=⎩初值问题的解为 31.3xxy e e x -=-+-+6. 2001(),()()().2aaa xf x f x dxf y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰已知函数连续求证;2000()()()()()()().ax aaxaaaf x dx f y dy f x dx f y dyf x dx f y dy f x dx +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明;显然()()()()()()aa a y a xxf x dx f y dy f y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰⎰⎰而变换积分次序后再换积分变量字母,有于是201()()().2aaaxf x dx f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰证毕.证法2: 0()(),xF x f y dy =⎰记则0()().af x dx F a =⎰于是()()()[()()]aa a xf x dx f y dy f x F a F x dx =-⎰⎰⎰0()()()()a aF a f x dx F x f x dx =-⎰⎰2222200111()()()()()()().222aa a F a F x dF x F a F x F a f x dx ⎡⎤=-=-==⎢⎥⎣⎦⎰⎰2222(1)(1)9.,1,.(1)2L xdy y dx y I L x x y ++---=+=+-⎰求曲线积分其中方程为逆时针方向 解: 2222(1)(,),(,),(1)(1)y x P x y Q x y x y x y --==+-+-22222(1),[(1)]P y x Qy x y x∂--∂==∂+-∂ 由于点(0,1)位于L +所围区域(记为D )内,作圆周C +: x 2+y 2=r 2,则由格林公式,22()(1)0,(1)L C xdy y dxI x y ++--==+-⎰22222222220(1)(1)cos sin 2.(1)(1)L C xdy y dx xdy y dxr r I d x y x y r πθθθπ++----+====+-+-⎰⎰⎰。
卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。
