B+树详解

B树和B+树简介B树和B+树都是多路查找树，为了解决数据量⼤，树的⾼度⼤增(⼆叉树)⽽产⽣的⼀种数据结构，23树和234树都是⼀种特殊的B树，为了更好理解B树，故先介绍23树和234树。

23树定义2-3树是⼀种多路查找树，2和3的意思是该树包含2结点和3结点两种情况；2结点包含⼀个元素和两个⼦树左⼦树包含结点的元素值⼩于该结点的元素值，右⼦树包含结点的元素值⼤于该结点的元素值2结点要不有两个⼦树，要不就没有⼦树，不允许只有⼀个⼦树。

3结点包含⼀⼤⼀⼩两个元素和三个⼦树，元素按照左⼩右⼤顺序排列；左⼦树包含结点的元素值⼩于该结点较⼩的元素值，右⼦树包含结点的元素值⼤于该结点较⼤的元素值，中间⼦树包含的结点的元素值介于这两个元素值之间。

3结点要不有三个⼦树，要不就没有⼦树，不允许有⼀个或者两个⼦树。

2-3树所有叶⼦结点都在同⼀层次图例234树定义2-3-4树是⼀种多路查找树，2和3和4的意思是该树包含2结点、3结点和4结点三种情况；2-3树是⼀种多路查找树，2和3的意思是该树包含2结点和3结点两种情况；2结点包含⼀个元素和两个⼦树左⼦树包含结点的元素值⼩于该结点的元素值，右⼦树包含结点的元素值⼤于该结点的元素值2结点要不有两个⼦树，要不就没有⼦树，不允许只有⼀个⼦树。

3结点包含⼀⼤⼀⼩两个元素和三个⼦树，元素按照左⼩右⼤顺序排列；左⼦树包含结点的元素值⼩于该结点较⼩的元素值，右⼦树包含结点的元素值⼤于该结点较⼤的元素值，中间⼦树包含的结点的元素值介于这两个元素值之间。

3结点要不有三个⼦树，要不就没有⼦树，不允许有⼀个或者两个⼦树。

4结点包含⼩中⼤三个元素和四个⼦树。

最左⼦树包含的结点的元素值⼩于该结点最⼩的元素值，第⼆个⼦树包含的结点的元素值⼤于最⼩的元素值⼩于中间元素值，第三个⼦树包含的的结点的元素值⼤于中间元素值⼩于最⼤元素值，最右⼦树包含的结点的元素值⼤于该结点最⼤的元素值。

4结点要不有四个⼦树，要不就没有⼦树，不允许有⼀个、两个⼦树或三个⼦树。

数据结构之B树和B树B树和B树的特性应用场景和性能优势B树和B+树：特性、应用场景和性能优势在计算机科学中，数据结构是指组织和存储数据的方式，而B树（B-Tree）和B+树（B+ Tree）是常用的数据结构之一。

本文将重点介绍B树和B+树的特性、应用场景和性能优势。

一、B树和B+树的特性1. B树特性B树是一种多叉树，它的每个节点可以拥有多个子节点。

B树的特点如下：- 根节点至少有两个子节点，除非它是叶子节点。

- 所有叶子节点在同一层级上，也就是说，B树是平衡的。

- 节点中的键值按照升序排列。

- 节点的子节点数可以超过2。

2. B+树特性B+树是B树的一种变体，相比B树，B+树的特点更适合数据库索引的实现。

B+树的特点如下：- 非叶子节点只存储键值信息，数据只存储在叶子节点。

- 所有叶子节点通过链表连接在一起，方便范围查询。

- 叶子节点之间通过指针相互连接，提高查找效率。

二、B树和B+树的应用场景1. B树应用场景- 文件系统：B树可用于文件系统的索引结构，方便文件的快速定位和存取。

- 数据库：B树可以作为数据库索引的存储结构，加快数据库查询的速度。

- 图书馆管理系统：B树可用于图书馆系统中书籍索引的实现，便于查找和管理。

2. B+树应用场景- 数据库：B+树是关系型数据库中常用的索引结构，能够提高查找效率和范围查询的性能。

- 文件系统：B+树可以作为文件系统的块索引结构，方便大规模文件的管理与存取。

- 排序算法：B+树可以用于外部排序的算法实现，提高排序的效率。

三、B树和B+树的性能优势1. B树的性能优势- 查询性能好：B树的节点可以存储多个键值，使得在查找过程中减少IO操作，提高查询效率。

- 范围查询性能优越：B树是平衡的，叶子节点之间通过指针相互连接，可方便实现范围查询。

2. B+树的性能优势- 更高的存储密度：B+树的非叶子节点只存储键值信息，不存储数据，因此可以存储更多的键值，提高存储密度。

⾯试经典---数据库索引B+、B-树⼤型数据库数据都是存在硬盘中的，为了操作的速度，需要设计针对外存的数据结构。

⽽数据库索引技术就是在⾯试中反复被问到的⼀个问题：数据库索引是怎么实现的？数据库索引越⼤越好吗？需要详细了解下这⽅⾯的知识：。

以下为转载------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------从B 树、B+ 树、B* 树谈到R 树作者：July、weedge、Frankie。

编程艺术室出品。

说明：本⽂从B树开始谈起，然后论述B+树、B*树，最后谈到R 树。

其中B树、B+树及B*树部分由weedge完成，R 树部分由Frankie完成，全⽂最终由July统稿修订完成。

第⼀节、B树、B+树、B*树1.前⾔：动态查找树主要有：⼆叉查找树（Binary Search Tree），平衡⼆叉查找树（Balanced Binary Search Tree），(Red-Black Tree )，B-tree/B+-tree/ B*-tree (B~Tree)。

前三者是典型的⼆叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(log2N)与树的深度相关，那么降低树的深度⾃然会提⾼查找效率。

但是咱们有⾯对这样⼀个实际问题：就是⼤规模数据存储中，实现索引查询这样⼀个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量⾮常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致⼆叉查找树结构由于树的深度过⼤⽽造成磁盘I/O读写过于频繁，进⽽导致查询效率低下（为什么会出现这种情况，待会在外部存储器-磁盘中有所解释），那么如何减少树的深度（当然是不能减少查询的数据量），⼀个基本的想法就是：采⽤多叉树结构（由于树节点元素数量是有限的，⾃然该节点的⼦树数量也就是有限的）。

B+树（B+-tree）是一种平衡的多路搜索树，广泛应用于数据库和文件系统等领域。

B+树的特点是在每个内部节点上存储一定数量的关键字，并将节点分为多个子树。

通过这种方式，B+树能够保持相对平衡，使得查找、插入和删除等操作的时间复杂度接近于O(log n)。

B+树查找原理如下：
1.从根节点开始，按照B+树的结构特性，沿着树的路径向下查找。

2.根据待查找的关键字与节点中关键字的比较结果，选择合适的子树进行查
找。

3.重复步骤2，直到找到目标节点或者查找到叶子节点。

4.如果在叶子节点上找到了目标关键字，则返回该关键字。

如果未找到，则
返回空或者表示查找失败。

B+树的查找过程是自顶向下的，每次查找都会访问一定数量的节点。

在B+树中，所有记录节点都是按键值的大小顺序存放在同一层的叶节点中，并且各叶节点指针进行连接。

这种设计使得B+树在查找过程中能够快速定位到目标关键字所在的叶子节点，并利用指针连接关系进一步查找其他相关记录。

因此，B+树的查找性能相对稳定，不会出现像链表那样的最坏情况。

b树与b+树的区别
b树与b+树的区别是：
B+树中只有叶子节点会带有指向记录的指针（ROWID），而B树则所有节点都带有，在内部节点出现的索引项不会再出现在叶子节点中。

B+树中所有叶子节点都是通过指针连接在一起，而B树不会。

B+树改进了B树，让内结点只作索引使用，去掉了其中指向data record的指针。

B树的定义：
B树（B-tree）是一种树状数据结构，它能够存储数据、对其进行排序并允许以O（logn）的时间复杂度运行进行查找、顺序读取、插入和删除的数据结构。

B树，概括来说是一个节点可以拥有多于2
个子节点的二叉查找树。

B+树的定义：
B+树是B树的一种变形体，它有K个子节点的节点必然有K个关键码。

非叶节点仅具有索引作用，元素信息均存放在叶节点中，树的所有叶节点构成一个有序链表，可以按照关键码排序的次序遍历全部记录。

b+树组合索引的底层原理宝子！今天咱们来聊聊这个B+树组合索引的底层原理呀。

这听起来有点高大上，但是别怕，咱就像唠家常一样把它搞明白。

咱先得知道啥是索引。

你想啊，就好比你有一个超级大的仓库，里面堆满了各种各样的小物件。

要是没有个目录或者索引啥的，你要找个特定的小物件，那不得把整个仓库翻个底朝天呀？索引就像是这个仓库的目录，能让你快速定位到你想要的东西。

那B+树呢？它可是这个索引里的大明星哦。

B+树长啥样呢？它就像一棵倒着的树，不过这棵树有点特别。

它的每个节点都能存好多好多数据。

根节点呢，就像是这个树的大管家，管着下面的枝干。

枝干呢，又管着更多的小枝丫，最后小枝丫上就挂着咱们真正要找的数据啦。

比如说，你有一个数据库，里面存了好多人的信息，像姓名、年龄、住址啥的。

如果咱们建立了一个B+树组合索引，就像是给这些信息排了个队，让它们有规律地站好。

这个组合索引可能是按照姓名和年龄来组合的。

那B+树就会根据这个组合的规则来安排这些数据在树里的位置。

B+树有个很贴心的设计呢，它的叶子节点是连在一起的，就像一串小珠子串成的项链。

这有啥好处呢？这就意味着当我们要找数据的时候，只要顺着叶子节点找就行啦，就像沿着项链一颗颗珠子看过去。

不像有些其他的结构，可能找了这个节点，又得跳来跳去找下一个，可麻烦了。

再来说说这个组合索引的妙处。

你看啊，咱们按照姓名和年龄来建立组合索引。

如果只按照姓名来查一个人，B+树也能利用这个组合索引快速找到可能的范围。

因为它是按照一定顺序排列的嘛。

就好比你要在一群按照身高和体重排好队的人里找一个只知道身高的人，你也能很快锁定大概的区域。

而且呀，B+树在存储数据的时候，它会尽量让树保持平衡。

就像走钢丝的杂技演员，要保持两边的平衡一样。

这样做的好处可大了呢。

要是树不平衡，一边重一边轻，那找数据的时候就可能有的地方找得快，有的地方找得慢，就像你走路，一条腿长一条腿短，肯定走不稳呀。

当我们往数据库里插入新的数据的时候，B+树也会很聪明地调整自己的结构。

B树即二叉搜索树：1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；2.所有结点存储一个关键字；3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；如：B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；如：但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略；B-树是一种多路搜索树（并不是二叉的）：1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；2.根结点的儿子数为[2, M]；3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；8.所有叶子结点位于同一层；如：（M=3）B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；B-树的特性：1.关键字集合分布在整颗树中；2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；3.搜索有可能在非叶子结点结束；4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；5.自动层次控制；由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最底搜索性能为：其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；B+树B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：1.其定义基本与B-树同，除了：2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；5.为所有叶子结点增加一个链指针；6.所有关键字都在叶子结点出现；如：（M=3）B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；B+的特性：1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；2.不可能在非叶子结点命中；3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；4.更适合文件索引系统；B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；小结B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；。

B树、B-树、B+树、B*树都是什么2011年2月26日18:18B树即二叉搜索树：1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；2.所有结点存储一个关键字；3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；如：B树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；如：但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：但B树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：右边也是一个B 树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B 树还要考虑尽可能让B 树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；实际使用的B 树都是在原B 树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B 树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B 树中插入和删除结点的策略；B-树是一种多路搜索树（并不是二叉的）：1.定义任意非叶子结点最多只有M 个儿子；且M>2；2.根结点的儿子数为[2, M]；3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；8.所有叶子结点位于同一层；如：（M=3）B-树的特性：B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；1.关键字集合分布在整颗树中；2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；3.搜索有可能在非叶子结点结束；4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；5.自动层次控制；由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少利用率，其最低搜索性能为：搜索性能为：其中，M为设定的非叶子啊结点最多子树个数，N为关键字总数；所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；B+树B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：1.其定义基本与B-树同，除了：2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；5.为所有叶子结点增加一个链指针；6.所有关键字都在叶子结点出现；如：（M=3）B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；B+的特性：1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；2.不可能在非叶子结点命中；3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；4.更适合文件索引系统；B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）； B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；小结B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；源文档</manesking/archive/2007/02/09/1505979.aspx>。

图解B+树的插入和删除(一看就懂）一，M阶B+树的定义(M阶是指一个节点最多能拥有的孩子数,M>2):图1.13阶B+树(1)根结点只有1个，分支数量范围[2,m]。

(2)除根以外的非叶子结点，每个结点包含分支数范围[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数。

(3)所有非叶子节点的关键字数目等于它的分支数量。

(4) 所有叶子节点都在同一层，且关键字数目范围是[[m/2],m]，其中[m/2]表示取大于m/2的最小整数。

(5)所有非叶子节点的关键字可以看成是索引部分，这些索引等于其子树（根结点）中的最大（或最小）关键字。

例如一个非叶子节点包含信息: (n，A0,K0, A1,K1,……,Kn,An)，其中Ki为关键字，Ai为指向子树根结点的指针，n表示关键字个数。

即Ai所指子树中的关键字均小于或等于Ki，而Ai+1所指的关键字均大于Ki（i=1，2，……，n）。

(6)叶子节点包含全部关键字的信息(非叶子节点只包含索引)，且叶子结点中的所有关键字依照大小顺序链接(所以一个B+树通常有两个头指针，一个是指向根节点的root，另一个是指向最小关键字的sqt)。

二，3阶B+树的插入举例：l 例1：往下图的3阶B+树中插入关键字9首先查找9应插入的叶节点(最左下角的那一个),插入发现没有破坏B+树的性质,完毕。

插完如下图所示:l 例2：往下图的3阶B+树插入20首先查找20应插入的叶节点(第二个叶子节点),插入，如下图发现第二个叶子节点已经破坏了B+树的性质,则把之分解成[20 21], [37 44]两个,并把21往父节点移，如下图发现父节点也破坏了B+树的性质,则把之再分解成[15 21], [44 59]两个,并把21往其父节点移，如下图这次没有破坏B+树的性质(如果还是不满足B+树的性质,可以递归上去,直到满足为至),插入完毕。

l 例3：往下图的3阶B+树插入100首先查找100应插入的叶节点(最后一个节点), 插入，如下图修改其所有父辈节点的键值为100(只有插入比当前树的最大数大的数时要做此步),如下图然后重复Eg.2的方法拆分节点,最后得三，3阶B+树的删除举例：l 例1：删除下图3阶B+树的关键字91首先找到91所在叶节点(最后一个节点),删除之，如下图没有破坏B+树的性质,删除完毕l 例2：删除下图3阶B+树的关键字97首先找到97所在叶节点(最后一个节点),删除之，然后修改该节点的父辈的键字为91(只有删除树中最大数时要做此步)，如下图l 例3：删除下图3阶B+树的关键字51首先找到51所在节点(第三个节点),删除之，如下图破坏了B+树的性质,从该节点的兄弟节点(左边或右边)借节点44，并修改相应键值,判断没有破坏B+树,完毕，如下图l 例4：删除下图3阶B+树的关键字59首先找到59所在叶节点(第三个节点),删除之，如下图破坏B+树性质,尝试借节点,无效(因为左兄弟节点被借也会破坏B+树性质),合并第二第三叶节点并调整键值，如下图完毕。

b+树的原理
B+树是一种支持二叉搜索和插入、删除操作的树形数据结构。

B+树的高度为n,其中n为树中节点的总数,每个节点最多有两个子节点,分别为左子节点和右子节点。

B+树的一个重要性质是,它的插入、删除、搜索操作的时间复杂度都不超过O(log n)。

B+树的原理可以概括为以下几个步骤:
1. 定义一个B+树节点的结构体,包括一个指向数据对象的指针和一个指向左右子节点的指针。

2. 定义一个B+树类型,其中节点的值可以是任何数据类型,可以通过嵌套节点的方式将多个数据类型组合在一起。

3. 初始化B+树,将节点的值设置为一个空字符串或0。

4. 定义一个B+树的操作函数,用于对节点进行操作。

根据操作类型,将操作函数封装在B+树类型的操作函数里面。

5. 实现B+树的操作函数,包括插入节点、删除节点、搜索节点等。

在实现这些操作时,先将节点插入到B+树中,然后根据操作类型删除节点或查找节点。

6. 使用B+树的各种操作函数进行数据的存储和管理,包括插入节点、删除节点、搜索节点等。

7. 提供B+树的各种访问函数,包括插入节点、删除节点、搜索节点等,方便用户进行数据的访问和管理。

B+树的原理是基于数据对象的结构体和B+树类型的实现,通过将多个数据类型组合在一起,实现高效的插入、删除、搜索操作。

同
时,B+树还提供了多种访问函数和操作函数,方便用户进行数据的存储和管理。