上海市虹口区2019届高三4月高考模拟(二模)数学文试题

上海市虹口区2019届高三数学二模试题（含解析）一. 填空题（本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分）1.设全集,若,则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A,再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R,集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2）,∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]故答案为：[2,4]【点睛】本题考查补集的求法,考查补集定义、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．2.若复数（为虚数单位）,则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i,得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查共轭复数的基本概念,是基础题．3.已知,在第四象限,则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式,求得的值．【详解】∵cosθ,且θ是第四象限角,则sinθ,又sinθ=,故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用,考查了三角函数在各个象限中的符号,属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法,考查代数余子式的定义和性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动},计算出事件A包含的基本事件的个数,除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动},基本事件的总数为25＝32个,而5人都选同一天包含2种基本事件,故A包含32﹣2＝30个基本事件,∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法,属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点,点为椭圆上的点,,若为线段的中点,则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标,利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点,可得F1（﹣3,0）,F2（3,0）．a＝6．点P为椭圆C上的点,|PF1|＝8,则|PF2|＝4,M为线段PF1的中点,则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用,是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点,则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合,通过a与0的大小讨论,转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点,就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时,函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点,必须,解得a＞4；当a≤0时,函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点,综上a∈（4,+∞）．故答案为：（4,+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用,考查数形结合以及分类讨论思想的应用,考查计算能力．8.若函数（）为偶函数,则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x）,即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k （﹣x）,变形可得k的值,即可得答案．【详解】根据题意,函数（k∈R）为偶函数,则有f（﹣x）＝f（x）,即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x）,变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x,则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质,关键是掌握函数奇偶性的定义,属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高,代入棱锥体积公式,可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,如图:由三视图可知：底面的底和高均为2,棱锥的高为2,故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2,故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中由已知中的三视图判断出几何体的形状,及棱长,高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中,边长为1的正六边形的中心为坐标原点,如图所示,双曲线是以、为焦点的,且经过正六边形的顶点、、、,则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标,代入双曲线方程,结合焦距,求出a,b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1,边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O,如图所示,双曲线Γ是以C、F为焦点的,且经过正六边形的顶点A、B、D、E,可得B（,）,代入双曲线方程可得：,a2+b2＝1,解得a2,b2,所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法,是基本知识的考查．11.若函数,则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值,据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值,分析可得f（x）＝f（x+6）,（x>0）,据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）,即可得答案．【详解】根据题意,函数,当x≤0时,f（x）＝2﹣x,则f（0）＝20＝1,f（﹣1）＝2﹣1＝2,当x＞0时,f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2）,①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1）,②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2）,∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2）,即f（x+6）＝f（x）,,又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1,f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2,f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1,∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算,考查了周期性的推导与应用,属于中档题．12.过点作圆（）的切线,切点分别为、,则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义,求出PC的最小值,计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m,m﹣1）,半径为1,∴PC,PA＝PB,cos∠APC,∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1,∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2,当且仅当PC时取等号,∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题,考查了直线与圆的位置关系应用问题,是中档题．二. 选择题（本大题共4题,每题5分,共20分）13.已知、是两个不同平面,为内的一条直线,则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行,由此可判断不充分,由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面,直线m⊂α,m∥β,不一定得到直线与平面平行,还有一种情况可能是直线和平面相交, ∴不满足充分性；当两个平面平行时,由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面,一定存在m∥β,∴满足必要性,∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用,解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理,是一个基础题．14.钝角三角形的面积是,,,则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B,再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意,钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B,∴sin B,∴B或（不合题意,舍去）；∴cos B,由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5,解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题,是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域,且与圆相交于、两点,则当最小时,直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域,过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点,则|AB|的最小值时,区域内的点到原点（0,0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分,其中AB的中点为P,则AP⊥OP,所以|OP|最长时,AB最小,因为最小l经过可行域,由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3,2）时,|OP|最长,因为k OP,则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4）,即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是|AB|的最小值时,区域内的点到原点（0,0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2,公比为,其前项和记为,若对任意的,均有恒成立,则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•,①n为奇数时,S n•,根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时,S n•,根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2,．考虑到函数y＝3t在（0,+∞）上单调递增,即可得出．【详解】S n•,①n为奇数时,S n•,可知：S n单调递减,且•,∴S n≤S1＝2；②n为偶数时,S n•,可知：S n单调递增,且•,∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2,．考虑到函数y＝3t在（0,+∞）上单调递增,∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题,考查了恒成立问题的转化,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三. 解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（,）.（1）若函数的反函数是其本身,求的值；（2）当时,求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身,所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x,x＝,反函数为y＝,所以a＝3．（2）当时,f（x）＝,f（﹣x）＝,则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3,故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用,属于简单题．18.如图,在多面体中,、、均垂直于平面,,,,.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量,则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量,结合（1）,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系,∵AA1＝4,CC1＝3,BB1＝AB＝AC＝2,∠BAC＝120°,∴A（0,0,0）,A1（0,0,4）,B1（,﹣1,2）,C1（0,2,3）．（1）,,,设平面A1B1C1的一个法向量为,由,取y＝1,得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为,由,取x1＝1,得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角,考查计算能力,是中档题．19.如图,一块长方形区域,,,在边的中点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为,设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时,求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围,结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简,结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1）,则OA＝1,即AE＝tanα,∠HOFα,HF＝tan（α）,则△AOE,△HOF得面积分别为tanα,tan（α）, 则阴影部分的面积S＝1,,当∈[,）时,E在BH上,F在线段CH上,如图②,EH,FH,则EF,则S（）,即,；同理当,；即S．（2）当时,S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1,即1≤1+tanα≤2,则1+tanα22,当且仅当1+tanα,即1+tanα时取等号,即,即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题,结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键,考查学生的运算能力,属于中档题．20.设为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若,求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点,且与抛物线相交于点、,设线段、的中点分别为、,如图,求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、,若△的面积是△的面积的两倍,如图,求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标,由直线方程的点斜式写出直线l的方程,和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P,又直线与直线垂直,将m换为,同理可得Q（,﹣）．由此可求直线PQ的方程,可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍,求出N的坐标,再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1,0）,设直线方程为x＝my+1,设点A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立,得：y2﹣4my﹣4＝0,则由韦达定理有：y1+y2＝4m,①,y1y2＝﹣4,②∵2,∴1﹣x1＝2（x2﹣1）,﹣y1＝2y2,③,由①②③可得m2,∴,∴直线方程为x＝y+1,即．（2）由（1）得点P,又直线与直线垂直,将m换为,同理可得Q（,﹣）．m时,直线PQ的斜率k PQ,直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2）,整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0,于是直线PQ恒过定点E（3,0）,m＝±1时,直线PQ的方程为：x＝3,也经过点E（3,0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3,0）．（3）设S（x1,y1）,T（x2,y2）,F（1,0）,准线为x＝﹣1,2||＝|y1﹣y2|,设直线TS与x轴交点为N,∴S△TSF|FN||y1﹣y2|,∵的面积是△TSF的面积的两倍,∴|FN|＝,∴|FN|=1,∴x N＝2,即N（2,0）．设TS中点为M（x,y）,由得﹣＝4（x1﹣x2）,又,∴,即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用,考查轨迹方程的求解,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了推理能力与计算能力,是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为,且,（,）,数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设,是的前项和,求正整数,使得对任意的,均有；（3）设,且,其中（,）,求集合中所有元素的和.【答案】（1）,；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1,a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*,n≥2）,S n+1+S n,相减可得：a n+1+a n,化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时,b1b2•…b n﹣1,相除可得b n．（2）c n,利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n,利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n,且x＞0,其中k1,k2,…,k n∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,①要使x＞0,则必须k n＝1．其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数,利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等,再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1,a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*,n≥2）,∴S n+1+S n,相减可得：a n+1+a n,化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0,∵a n+1+a n＞0,∴a n+1﹣a n＝1,又S2+S1,可得a2﹣2＝0,a2＞0,解得：a2＝2,∴a2﹣a1＝1,∴数列{a n}设等差数列,a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时,b1b2•…b n﹣1,∴．（2）c n,∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时,T n+1≥T n．n≥4时,T n+1≤T n．当m＝4时,使得对任意的n∈N*,均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n,且x＞0,其中k1,k2,…,k n∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,①要使x＞0,则必须k n＝1．其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．证明：若k n＝﹣1,则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n ＝﹣2＜0,此时x恒为负数,不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0,故k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．②其它k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,可任取1,﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1,k2,…,k n﹣1∈{﹣1,1}（n∈N*,n≥2）,利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等,具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数,x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i,∈{﹣1,1}（i∈N*,n﹣1≥i≥2）,即满足k i∈{﹣1,1}（i∈N*,n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2,而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此,假设不成立,即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1,2,……,n﹣1）等可能出现,因此所有k i b i（i＝1,2,……,n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和,即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法,考查了推理能力与计算能力,属于难题．。

上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =I A ．{}10x x x ><或 B ．{}12x x << C ．{|2}x x > D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >. 【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 12．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y=，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海虹口区2019年高三4月教学质量监控测（二模）（数学文）教学质量监控测试卷〔文科〕〔时间120分钟，总分值150分〕 【一】填空题〔每题4分，总分值56分〕1、集合{}0)2)(5(<-+=x x x M ，{}51≤≤=x x N ，那么=⋂N M 、2、设i z -=1〔i 为虚数单位〕，那么=+22z z、3、假设非零向量、，满足=，且0)2(=⋅+b b a ，那么与的夹角大小为 、 4、椭圆15222=+t y tx 的焦点为)6,0(±，那么实数=t 、5、假设等比数列{}na满足n n n a a 91=⋅+，那么公比=q 、6、一平面截一球得到直径为2的圆面，球心到这平面的距离为3，那么该球的体积是 、 7、如果n xx )1(+展开式中，第4项与第6项的系数相等，那么该展开式中，常数项的值是 、8、在同一平面直角坐标系中，函数)(x g y =的图像与x y 3=的图像关于直线x y =对称，而函数)(x f y =的图像与)(x g y =的图像关于y 轴对称，假设1)(-=a f ，那么a 的值是 9、在约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+00062062y x y x y x 下，目标函数y x z -=2的最大值为 、10、执行如下图的程序框图，假设输入A 的值为2，那么输出的P 值是 、 11、从｛1，2，3，4，5，6｝中随机选一个数a ，从｛1，2，3｝中随机选一个数b ，那么b a < 的概率等于 、12、在ABC ∆中，边2=BC ，3=AB ，那么角C 的取值范围是 、13、函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0404)(22x xx x x x x f ，那么不等式5)(->x f 的解集是 、1A A14、R b a ∈,，b a >且1=ab ，那么ba b a -+22的最小值等于 、【二】选择题〔每题5分，总分值20分〕题A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是〔〕.A 0.B 1.C 2.D 316、右图是底面为正方形的四棱锥，其中棱PA 垂直于底面，它的三视图正确的选项是〔〕 17、P 为双曲线11222=-y x 上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，假设2:3:21=PF PF ，那么21F PF ∆的面积是〔〕 .A 36.B 312.C 12.D 2418、等差数列{}na中，如果存在正整数k 和l 〔l k ≠〕，使得前k 项和lk Sk=，前l 项和kl S l =，那么〔〕 .A 4>+l k S .B 4=+l k S .C 4<+l k S .D l k S +与4的大小关系不确定【三】解答题〔总分值74分〕19、〔此题总分值12分〕在长方体1111D C B A ABCD -中，6==BC AB ，用过1A ，B ，1C 三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体111D C A ABCD -的体积为120、〔1〕求棱1AA 的长；〔2〕假设O 为11C A 的中点，求异面直线BO 与11D A 所成角的大小、20、〔此题总分值12分〕nm x f ⋅=)(，)1,cos 2(x =，)2sin 3,cos (x x =)(R x ∈、〔1〕求)(x f 的最小正周期及单调递增区间； 〔2〕在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 对边，假设2)(=A f ，1=b ，ABC ∆面积为2，x求：边a 的长及ABC ∆的外接圆半径R 、21、〔此题总分值14分〕：函数b ax ax x g ++-=12)(2)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数xx g x f )()(=、〔1〕求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；〔2〕假设不等式02)2(≥⋅-x x k f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围； 22、〔此题总分值18分〕：曲线C 上任意一点到点)0,1(F 的距离与到直线1-=x 的距离相等、〔1〕求曲线C 的方程； 〔2〕过点)0,1(F 作直线交曲线C 于M ，N 两点，假设MN 长为316，求直线MN 的方程；〔3〕设O 为坐标原点，如果直线)1(-=x k y 交曲线C 于A 、B 两点，是否存在实数k ，使得0=⋅OB OA ？假设存在，求出k 的值；假设不存在，说明理由、23、〔此题总分值18分〕如图，平面直角坐标系中，射线x y =〔0≥x 〕和0=y 〔0≥x 〕上分别依次有点1A 、2A ，……，n A ，……，和点1B ，2B ，……，n B ……，其中)1,1(1A ，)0,1(1B ，)0,2(2B 、且21+=-n n OA OA ，nn n n B B B B 1121-+=4,3,2(=n ……〕、 〔1〕用n 表示nOA 及点nA 的坐标；〔2〕用n 表示1+n n B B 及点nB 的坐标；〔3〕写出四边形nn n n B B A A 11++的面积关于n 的表达式)(n S )(n S 的最大值、虹口区2017学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷答案〔文科〕【一】填空题〔每题4分，总分值56分〕 1、{}21<≤x x ；2、i -1；3、︒120；4、2，3；5、3；6、31040π；7、70；8、31-；9、6； 10、4；11、61；12、]3,0(π；13、),1(∞+-；14、22【二】选择题〔每题5分，总分值20分〕 15、C ；16、B ；17、C ；18、A ； 【三】解答题〔总分值74分〕 19、〔12分〕〔1〕设h AA =1，12062131622=⋅⋅⋅-⋅=h h V ∴41==h AA …………6分〔2〕 11//D A BC ，∴OBC ∠是所求异面直线所成的角…………8分在OBC ∆中，34)23(422=+==OC OB ，6=BC ，∴34343arccos=∠OBC …………12分20、〔12分〕〔1〕1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f …………2分π=T ………………3分单调递增区间]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈……………4分〔2〕21)62sin(2)(=++=πA A f ，由21)62sin(=+πA ，得3π=A …………6分2333sin 121=⨯⨯⨯πc ，∴6=c …………8分31216126122=⨯⨯⨯-+=a …………10分3sin31sin 2π==AaR ，∴393=R …………12分 21、〔14分〕〔1〕b ax ax x g ++-=12)(2，由题意得：︒1⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=>413)3(11)2(0b a g b g a 得⎩⎨⎧==01b a ，或︒2⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=<113)3(41)2(0b a g b g a 得⎩⎨⎧>=-=131b a 〔舍去〕 ∴1=a ，0=b …………6分12)(2+-=x x x g ，21)(-+=xx x f …………7分 〔2〕不等式02)2(≥⋅-x x k f ，即xx xk 22212⋅≥-+，∴1)21(2)21(2+⋅-≤x x k ……10分设]2,21[21∈=x t ，∴2)1(-≤t k ， 0)1(min 2=-t ，∴0≤k …………14分 22、〔18分〕〔1〕x y 42=…………4分〔2〕当直线MN 的斜率不存在时，不合题意。

上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 2．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 3．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555aa a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市虹口区2019届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.设全集，若，则________【答案】【解析】【分析】先化简集合A，再利用补集定义直接求解．【详解】∵全集U＝R，集合A＝{x||x﹣3|＞1}＝{x|x＞4或x＜2），∴∁U A＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]故答案为：[2，4]【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数（为虚数单位），则的共轭复数________【答案】【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】由z＝i（2﹣i）＝1+2i，得．故答案为：1﹣2i．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数的基本概念，是基础题．3.已知，在第四象限，则________【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系及诱导公式，求得的值．【详解】∵cosθ，且θ是第四象限角，则sinθ，又sinθ=，故答案为．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用，考查了三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．4.行列式的元素的代数余子式的值等于________【答案】7【解析】【分析】利用代数余子式的定义和性质直接求解．【详解】行列式的元素π的代数余子式的值为：（﹣1）2+1（4cos9sin）＝﹣（2﹣9）＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查行列式的元素的代数余子式的值的求法，考查代数余子式的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.5位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________【答案】【解析】【分析】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，计算出事件A包含的基本事件的个数，除以基本事件的总数可得．【详解】设A＝{周六、周日都有同学参加公益活动}，基本事件的总数为25＝32个，而5人都选同一天包含2种基本事件，故A包含32﹣2＝30个基本事件，∴p（A）．故填：．【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查了利用对立事件来求事件A包含的基本事件的方法，属于基础题．6.已知、是椭圆的两个焦点，点为椭圆上的点，，若为线段的中点，则线段的长为________【答案】2【解析】【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义转化求解即可．【详解】F1、F2是椭圆的两个焦点，可得F1（﹣3，0），F2（3，0）．a＝6．点P为椭圆C上的点，|PF1|＝8，则|PF2|＝4，M为线段PF1的中点，则线段OM的长为：|PF2|＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查椭圆的的定义及简单性质的应用，是基本知识的考查．7.若函数（）有3个零点，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】利用数形结合，通过a与0的大小讨论，转化求解a的范围即可．【详解】函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4有三个不同的零点，就是x|x﹣a|＝4有三个不同的根；当a＞0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4（a∈R）有3个零点，必须，解得a＞4；当a≤0时，函数y＝x|x﹣a|与y＝4的图象如图：函数f（x）＝x|x﹣a|﹣4不可能有三个不同的零点，综上a∈（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．8.若函数（）为偶函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得k的值，即可得答案．【详解】根据题意，函数（k∈R）为偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即log3（9x+1）+kx＝log3（9﹣x+1）+k（﹣x），变形可得：2kx＝log3（9﹣x+1）﹣log3（9x+1）＝﹣2x，则有k＝﹣1；故答案为：﹣1【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．9.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________【答案】【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，由三视图的数据可分析出底面的底和高及棱锥的高，代入棱锥体积公式，可得答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，如图:由三视图可知：底面的底和高均为2，棱锥的高为2，故底面S2×2故棱锥的体积V Sh2，故答案为．【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中由已知中的三视图判断出几何体的形状，及棱长，高等几何量是解答的关键．10.在平面直角坐标系中，边长为1的正六边形的中心为坐标原点，如图所示，双曲线是以、为焦点的，且经过正六边形的顶点、、、，则双曲线的方程为________【答案】【解析】【分析】求出B的坐标，代入双曲线方程，结合焦距，求出a，b即可得到双曲线方程．【详解】由题意可得c＝1，边长为1的正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，如图所示，双曲线Γ是以C、F为焦点的，且经过正六边形的顶点A、B、D、E，可得B（，），代入双曲线方程可得：，a2+b2＝1，解得a2，b2，所求双曲线的方程为：．故答案为：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．11.若函数，则的值为________【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（0）与f（﹣1）的值，据此依次求出f（1）、f（2）、f（3）的值，分析可得f（x）＝f（x+6），（x>0），据此可得f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3），即可得答案．【详解】根据题意，函数，当x≤0时，f（x）＝2﹣x，则f（0）＝20＝1，f（﹣1）＝2﹣1＝2，当x＞0时，f（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣2），①f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），②①+②得f（x+1）＝﹣f（x﹣2），∴f（x+4）＝﹣f（x+1）= f（x﹣2），即f（x+6）＝f（x），，又f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）而f（1）＝f（0）﹣f（﹣1）＝1﹣2＝﹣1，f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1﹣1＝﹣2，f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1，∴f（2019）＝f（3+336×6）＝f（3）＝﹣1；故答案为：﹣1．【点睛】本题考查分段函数值的计算，考查了周期性的推导与应用，属于中档题．12.过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】【分析】根据圆心到点P的距离以及平面向量的数量积定义，求出PC的最小值，计算再计算的最小值．【详解】圆C：（x m）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，P A＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义及基本不等式求最值问题，考查了直线与圆的位置关系应用问题，是中档题．二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知、是两个不同平面，为内的一条直线，则“∥”是“∥”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性.【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，∴不满足充分性；当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题．14.钝角三角形的面积是，，，则等于（）A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】由三角形的面积公式求得角B，再由余弦定理求得AC的值．【详解】由题意，钝角△ABC的面积是S•AB•BC•sin B1sin B sin B，∴sin B，∴B或（不合题意，舍去）；∴cos B，由余弦定理得：AC2＝AB2+CB2﹣2AB•CB•cos B＝1+2﹣2×1（）＝5，解得AC的值为．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．15.已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的区域，过点P的直线l与圆C：x2+y2＝16相交于A、B两点，则|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．由此可得结论．【详解】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中AB的中点为P，则AP⊥OP，所以|OP|最长时，AB最小，因为最小l经过可行域，由图形可知点P为直线x﹣2y+1＝0与y﹣2＝0的交点（3，2）时，|OP|最长，因为k OP，则直线l的方程为：y﹣2（x﹣4），即．故选：D．【点睛】本题考查线性规划知识，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是|AB|的最小值时，区域内的点到原点（0，0）的距离最大．16.已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】S n•，①n为奇数时，S n•，根据单调性可得：S n≤2；②n为偶数时，S n•，根据单调性可得：≤S n．可得S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，即可得出．【详解】S n•，①n为奇数时，S n•，可知：S n单调递减，且•，∴S n≤S1＝2；②n为偶数时，S n•，可知：S n单调递增，且•，∴S2≤S n．∴S n的最大值与最小值分别为：2，．考虑到函数y＝3t在（0，+∞）上单调递增，∴A．B．∴B﹣A的最小值．故选：B．【点睛】本题考查了等比数列的求和公式及数列单调性的判断和应用问题，考查了恒成立问题的转化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知函数（，）.（1）若函数的反函数是其本身，求的值；（2）当时，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由互为反函数的函数定义域和值域互换得反函数解析式．（2）得到解析式后根据基本不等式求最小值．【详解】（1）由题意知函数f（x）的反函数是其本身，所以f（x）的反函数a y＝9﹣3x，x＝，反函数为y＝，所以a＝3．（2）当时，f（x）＝，f（﹣x）＝，则y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣3，故最小值为﹣3．【点睛】本题考查了反函数和基本不等式的应用，属于简单题．18.如图，在多面体中，、、均垂直于平面，，，，.（1）求与平面所成角的大小；（2）求二面角的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系．（1）由已知分别求出的坐标与平面A1B1C1的一个法向量，则线面角可求；（2）求出平面AA1B1的一个法向量，结合（1），由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣A1B1﹣C1的大小．【详解】由题意建立如图所示空间直角坐标系，∵AA1＝4，CC1＝3，BB1＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴A（0，0，0），A1（0，0，4），B1（，﹣1，2），C1（0，2，3）．（1），，，设平面A1B1C1的一个法向量为，由，取y＝1，得．∴AB1与A1B1C1所成角的最小值sinθ＝|cos|．∴AB1与A1B1C1所成角的大小为；（2）设平面AA1B1的一个法向量为，由，取x1＝1，得．∴cos．∴二面角A﹣A1B1﹣C1的大小为．【点睛】本题考查利用空间向量法求解空间角，考查计算能力，是中档题．19.如图，一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值.【答案】（1）S（2）【解析】【分析】（1）根据条件讨论α的范围，结合三角形的面积公式进行求解即可．（2）利用两角和差的三角公式进行化简，结合基本不等式的性质进行转化求解即可．【详解】（1），则OA＝1，即AE＝tanα，∠HOFα，HF＝tan（α），则△AOE，△HOF得面积分别为tanα，tan（α），则阴影部分的面积S＝1，，当∈[，）时，E在BH上，F在线段CH上，如图②，EH，FH，则EF，则S（），即，；同理当，；即S．（2）当时，S＝12（1+tanα）∵0≤tanα≤1，即1≤1+tanα≤2，则1+tanα22，当且仅当1+tanα，即1+tanα时取等号，即，即S的最大值为2【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合三角形的面积公式以及两角和差的正切公式以及利用基本不等式的性质是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属于中档题．20.设为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线相交于、两点.（1）若，求此时直线的方程；（2）若与直线垂直的直线过点，且与抛物线相交于点、，设线段、的中点分别为、，如图，求证：直线过定点；（3）设抛物线上的点、在其准线上的射影分别为、，若△的面积是△的面积的两倍，如图，求线段中点的轨迹方程.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，由直线方程的点斜式写出直线l的方程，和抛物线方程联立后利用2得直线方程．（2由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．由此可求直线PQ的方程，可得结论；（3）利用△的面积是△的面积的两倍，求出N的坐标，再利用直线的斜率公式及点差法求TS中点的轨迹方程．【详解】（1）抛物线焦点坐标为F（1，0），设直线方程为x＝my+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得：y2﹣4my﹣4＝0，则由韦达定理有：y1+y2＝4m，①，y1y2＝﹣4，②∵2，∴1﹣x1＝2（x2﹣1），﹣y1＝2y2，③，由①②③可得m2，∴,∴直线方程为x＝y+1，即．（2）由（1）得点P，又直线与直线垂直，将m换为,同理可得Q（，﹣）．m 时，直线PQ的斜率k PQ，直线PQ的方程为：y-2m（x﹣1﹣2），整理为m（x﹣3）﹣（m2﹣1）y＝0，于是直线PQ恒过定点E（3，0），m＝±1时，直线PQ的方程为：x＝3，也经过点E（3，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（3，0）．（3）设S（x1，y1），T（x2，y2），F（1，0），准线为x＝﹣1，2||＝|y1﹣y2|，设直线TS与x轴交点为N，∴S△TSF|FN||y1﹣y2|，∵的面积是△TSF的面积的两倍，∴|FN|＝，∴|FN|=1,∴x N＝2，即N（2，0）．设TS中点为M（x，y），由得﹣＝4（x1﹣x2），又，∴，即y2＝2x﹣4．∴TS中点轨迹方程为y2＝2x﹣4．【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其几何性质的应用，考查轨迹方程的求解，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，是中档题．21.设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和.【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】【分析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化简利用已知条件及其等差数列的通项公式可得a n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，相除可得b n．（2）c n，利用求和公式与裂项求和方法可得：T n．作差T n+1﹣T n，利用其单调性即可得出．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．通过放缩及其求和公式即可证明．另外k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＞0．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数，利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．利用反证法证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，再分析求解所有元素的和．【详解】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得：a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数学归纳法、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题，每空填对得5分1. 函数()3cos21f x x =+的最小值为 . 【答案】2-【解析】cos2x 最小值为1-，()3cos21f x x =+最小值为2-.2. 函数()f x =的定义域为 . 【答案】(3,1- 【解析】1030x x -≥⎧⎨+>⎩，所以(]3,1x ∈-1030x x -≤⎧⎨+<⎩，所以不存在舍掉。

综上，(]3,1x ∈-3. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =ð . 【答案】()1,5-【解析】(][),15,A ∈-∞-⋃+∞，则()1,5U A ∈-ð.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动， 则周六没有同学参加活动的概率为 . 【答案】18【解析】周六没人参加，则三位同学均选择周日参加。

11112228P =⨯⨯=. 5. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称， 则(3)g = . 【答案】2【解析】23log (31)x =- 解得：2x =6. 设复数cos isin iz αα=（i 为虚数单位），若||z =，则tan2α= .【答案】1【解析】)i cos i sin z αα=⨯-⨯()cos cos sin i z ααα=+-⨯||z ==22222cos cos sin 2sin cos ααααα=++- 212cos 2sin cos ααα=- 22cos 12sin cos 0ααα--=cos2sin20αα-=cos2sin2αα= tan21α=.7.若25(ax 的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案】12-【解析】()5510252155rrrr r rr T C axC ax---+==Q另5100,2r -=则4r =4551,22C a a ∴=-=-8. 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =【解析】222cos 22b c a A bc +-==Q2=解得a =sin sin a cA C =Q8sin 2C =解得sin C =9. 已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r 的最大值为 【答案】16【解析】根据题意画出图，设(),P x y ，则()()3,2,32OA OP x y x y =-=-u u r u u u rg g ，另目标函数32z x y =-，联立方程组，当1y =时，6x =取最大值，max 36216z =⨯-=10. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（a >的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r，则椭圆C 的长轴长为【答案】2【解析】依据题意画出大致图像：1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u rQ ，即等价意思为1290F MF ︒∠=211tan3,22M F MF S b ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得： ()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=11. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为【解析】依据题意，做出大致图形，如下图：AD =Q222,PD PA AD ∴=+同样222,PB PA AB =+ 故PA AD PB AB ⊥⎧⎨⊥⎩PA ∴⊥地面ABC过点,E H 作矩形OHAE ，其中E 为重心，AE OH ==而,OP OA R ==则112PH PA ==根据勾股定理，R ==则34=3V R π=球12. 已知函数|51|1()811x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 【答案】845a <<依据题意，作出大致图像，如下图：设(),f t t =若()f t a =，解两段函数的方程：1o 若1a >，则()1551,log 1,x a x a -==+288,11a x x a==-+； 则要确保5个解，即在1y =的下方有3个交点，在1y =的上方有2个交点，如下图：故需满足：()50log 11,04,a a <+<∴<<88114,4,5a a <-<∴<< 由此可得：14a <<2o 若01a <<，则()()()152538log 1,log 10,1,11x a x a x a=-=+∈=-> 则()()5log 1,f x a =-，此时无解；()()5log 1,f x a =+显然有3个交点，故()8811,4,45a a -∈∴<< 由此可知，这种情况下，无交集，故不符合； 综上，实数的取值范围为：845a << 二. 选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：414. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ） 【A 】32 【B 】36 【C 】40 【D 】48【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥，该几何体的表面积()134543445322S =⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B 15. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）【A 】14(2,]3 【B 】14[2,)3 【C 】 10[,4)3 【D 】 10(,6]3【答案】D【解析】依题意得，()10,sin 62f x x πω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，画出大致图像，如下图：若2B x π=，则11110sin ,,2622663πππππωωω⎛⎫⋅+=-⋅+== ⎪⎝⎭ 若2C x π=，则3,6266πππωπω⋅+=+=又因为(0,)2π上是左右两端的开区间，故1063ω<≤，则答案选：D 16. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）【A 】 16 【B 】12 【C 】 8 【D 】 6 【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以()431121311q q q q q--++=⨯--，化简整理得：()()()2232221131,2,2q q q q q q q q ++++=⨯++==，则12n n a +=，又因为i ma 、mn 、j na 成等差数列，则11222,422i j i j mn m n mn m n --=⋅+⋅=⋅+⋅，则min22244i j i j mn m n +⎛⎫=+≥≥ ⎪⎝⎭，又因为1i j <<则另2,3i j ==，使得5284mn ≥=，故答案：选C 三. 解答题（本大题共5题，满分76分）yxzF PD CBAEHG17. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB ==2=，设E 、F 、G 分别为PC 、PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图. （1）求证：FH ∥平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）略；（2）FH 与平面PBC 所成角的大小为15sin15arc 【解析】(1)因,,,,E F G PC BC CD 分别为的中点，故//,//.EF PB EG PD 从而//,//.EF PBD EG PBD 平面平面 …… 2分又,,,EF EG EFG EF EG E ⊂⋂=≠平面且故//.EFG PBD 平面平面 …… 4分 由,FH EFG ⊂≠平面得//.FH PBD 平面 …… 6分 （2）以A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0),A(1,0,0),B (1,2,0),(0,2,0),(0,0,2),C D P11131(,1,1),(1,1,0),(,2,0),(,,).22222E F G H 于是111(,,).222FH =-u u u r ……8分设面PBC 的一个法向量为(,,),n x y z =r则(,,)(1,0,2)202,0.(,,)(0,2,0)20n PB x y z x z x z y n BC x y z y ⎧⋅=⋅-=-==⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⋅==⎩⎪⎩r u u u r r u u ur 取=1,(2,0,1).z n =r 得……11分 设FH PBC 与平面所成的角为,θ则1152sin cos ,.1352FH n FH n FH n θ-⋅=<>===⋅⋅u u u r r u u u r r u u ur r 故FH PBC 与平面所成角的大小为15sin .arc …… 14分18. 已知函数4()31x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.【答案】（1）2a ≠时，函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；2a =时，函数()f x 是奇函数；（2）max 3u =.【解析】（1） 因当2a ≠时， (1)1,(1)3,f a f a =--=-（第19题图）（第19题图）故(1)(1),(1)(1),f f f f -≠-≠-且于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数. …… 3分 当2a =时， 44()()2240,3131x x f x f x a a -+-=--=-=++即()();f x f x -=- 故此时函数()f x 是奇函数. …… 6分 （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知2a =，从而4()2.31xf x =-+ 由不等式(),3x u f x ≥得4323,31x xx u ⋅≤⋅-+ …… 8分令[][]314,244(1,5),x t x +=∈∈因故4(1)22(1)2() 6.t u t t t t-≤--=+-由于函数[]2()2()64,244t t t ϕ=+-在单调递增，所以min ()(4)3;t ϕϕ== …… 12分因此，当不等式[]()1,53x uf x x ≥∈在上恒成立时， max 3.u = …… 14分 19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H ”型图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形得面积为S 。

虹口区2019学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷（文科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、已知集合{}2≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=015x x xB ，则=⋂B A ．2、数列{}n a 的前n 项和32-+=n n S n ，则通项公式=n a ．3、直线05=+-y x 被圆044222=---+y x y x 所截得的弦长等于 ． 4、各项都为正数的等比数列{}n a 中，11=a ，)11(273232a a a a +=+，则通项公式=n a ．5、以O 为起点作向量，，终点分别为A ，B ．2=5=，6-=⋅，则A O B∆的面积等于 ．6、过抛物线x y 42=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若10=AB ，则AB 的中点P 到y 轴的距离等于 ．7、若P ，Q 是等腰直角三角形ABC 斜边AB 的三等分点，则=∠PCQ tan ．8、不等式a ax x ->-32对一切43≤≤x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．9、执行如下程序框图，输出的=T ．第9题10、实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+122x x y y x ，则目标函数y x z -=3的最小值为 ．11、从1，2，3，4，5中任取2个不同数作和，则和为偶数的概率为 ．12、关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a ． 13、公差为d ，各项均为正整数的等差数列中，若11=a ，51=n a ，则d n +的最小值等于 ．14、定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 ．二、选择题（每小题4分，满分16分）15、给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α垂直”是“直线l 与平面α内无数条直线垂直”的（ ）.A 充要条件 .B 充分非必要条件 .C 必要非充分条件 .D 既非充分又非必要条件16、如果i +2是关于x 的实系数方程02=++n mx x 的一个根，则圆锥曲线122=+ny m x 的焦点坐标是（ ）.A )0,1(± .B )1,0(± .C )0,3(± .D )3,0(±17、已知：函数⎩⎨⎧>+-≤<=)9(11)90(log )(3x x x xx f ，若a ，b ，c 均不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ⋅⋅的取值范围是（ ） .A )9,0( .B )9,2( .C )11,9( .D )11,2(18、已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n的最小值为（ ） .A 8 .B 7 .C 6 .D 5三、解答题（满分78分） 19、（本题满分14分）已知：四棱锥ABCD P -，底面ABCD 是边长为2的菱形，⊥PA 平面ABCD ，且2=PA ，︒=∠60ABC ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． （1）求四棱锥ABCD P -的体积； （2）求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．20、（本题满分14分） 已知：函数x x x p x f ωωω2cos cos sin )(-⋅=)0,0(>>ωp 的最大值为21，最小正周期为2π． （1）求：p ，ω的值，)(x f 的解析式；（2）若ABC ∆的三条边为a ，b ，c ，满足bc a =2，a 边所对的角为A ．求：角A 的取值范围及函数)(A f 的值域．21、（本题满分14分）数列{}n a 中，0>n a ，1≠n a ，且1231+=+n n n a a a （*∈N n ）．（1）证明：1+≠n n a a ； （2）若431=a ，计算2a ，3a ，4a 的值，并求出数列{}n a 的通项公式．F D C EB A P22、（本题满分18分）已知：椭圆12222=+by a x （0>>b a ），过点)0,(a A -，),0(b B 的直线倾斜角为6π，原点到该直线的距离为23．（1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过)0,1(-D 与椭圆交于E ，F 两点，若DF ED 2=，求直线EF 的方程；（3）对于)0,1(-D ，是否存在实数k ，直线2+=kx y 交椭圆于P ，Q 两点，且DQ DP =？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）对于定义域为D 的函数)(x f y =，如果存在区间D n m ⊆],[，同时满足： ①)(x f 在],[n m 内是单调函数；②当定义域是],[n m 时，)(x f 的值域也是],[n m ．则称],[n m 是该函数的“和谐区间”．（1）证明：]1,0[是函数2)(x x f y ==的一个“和谐区间”． （2）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （3）已知：函数xa x a a x h y 221)()(-+==（0,≠∈a R a ）有“和谐区间”],[n m ，当a 变化时，求出m n -的最大值．虹口区2019学年度第二学期高三年级数学学科教学质量监控测试卷答案（文科）一、填空题（每小题4分，满分56分） 1、{}12<≤-x x ； 2、⎩⎨⎧≥=-)2(2)1(1n n n ； 3、2； 4、13-n ；5、4；6、4；7、43； 8、3<a ； 9、30； 10、34； 11、52； 12、3； 13、16； 14、1 二、选择题（每小题4分，满分16分）15、B ； 16、D ； 17、C ； 18、B ； 三、解答题（满分78分） 19、(14分)（1）334=-ABCD P V …………6分 （2）PB EF // ，⊥PA 平面ABCD ，∴PBA ∠等于FE 与平面ABCD 所成的角．……10分 得直线EF 与平面ABCD 所成角大小为4π………………14分20、（14分）（1）21)1arctan 2sin(21212cos 212sin 2)(2--+=--=p x p x x p x f ωωω， 由222πωπ=，得2=ω………………2分 由2121212=-+p 及0>p ，得3=p ………………4分 ∴21)64sin()(--=πx x f …………6分 （2）212222cos 22222=-≥-+=-+=bc bc bc bc bc c b bc a c b A ．…………8分 A 为三角形内角，所以30π≤<A ………………10分67646πππ≤-<-∴A ，1)64sin(21≤-≤-πA ，21)(1≤≤-∴A f …………14分 21、（14分）（1）若1+=n n a a ，即n n na a a =+123，得0=n a 或1=n a 与题设矛盾， ∴1+≠n n a a ……………………6分FDCEBAP（2）1092=a ，28273=a ，82814=a …………8分（错一个扣1分，错2个全扣） 解法一：用数学归纳法，先猜想133+=n nn a ，…………10分再用数学归纳法证明．…………14分 解法二：，由32)1(3111+=+n n a a ，得)11(31111-=-+nn a a ， ∴数列}11{-n a 是首项为31111=-a ，公比为31的等比数列，………………12分nn a )31(11=-∴，得133+=n n n a …………14分22、（18分）（1）由33=a b ，22232121b a b a +⋅⋅=⋅ ，得3=a ，1=b ， 所以椭圆方程是：1322=+y x ……………………4分 （2）设EF ：1-=my x （0>m ）代入1322=+y x ，得022)3(22=--+my y m ， 设),(11y x E ，),(22y x F ，由DF ED 2=，得212y y -=．由322221+=-=+m m y y y ，32222221+-=-=m y y y ……………………8分 得31)32(222+=+-m m m ，1=∴m ，1-=m （舍去），(若没舍去扣1分) 直线EF 的方程为：1-=y x 即01=+-y x ……………………11分（3）记),(11y x P ，),(22y x Q ，将2+=kx y 代入1322=+y x ， 得0912)13(22=+++kx x k （*），1x ，2x 是此方程的两个相异实根． 设PQ 的中点为M ，则1362221+-=+=k k x x x M ，13222+=+=k kx y M M …………15分由DQ DP =，得PQ DM ⊥，kk k k x y k M M DM11136132122-=+++=+=∴ 01432=+-∴k k ，得1=k 或31=k ． 但1=k ，31=k 均使方程（*）没有两相异实根，∴满足条件的k 不存在．…………18分 23、（18分）（1）2x y = 在区间]1,0[上单调递增．………………2分 又0)0(=f ，1)1(=f ，∴值域为]1,0[，∴区间]1,0[是2)(x x f y ==的一个“和谐区间”．…………4分（2）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或),0(],[∞+⊆n m ，故函数xy 53-=在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩⎨⎧==n n g mm g )()(……………8分故m 、n 是方程x x=-53的同号的相异实数根． 0532=+-x x 无实数根，∴函数xy 53-=不存在“和谐区间”．………………10分（3）设],[n m 是已知函数定义域的子集．0≠x ，)0,(],[∞-⊆n m 或),0(],[∞+⊆n m ，故函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在],[n m 上单调递增． 若],[n m 是已知函数的“和谐区间”，则⎩⎨⎧==nn h mm h )()(……………14分故m 、n 是方程x xa a a =-+211，即01)(22=++-x a a x a 的同号的相异实数根． 012>=amn ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ，即1>a 或3-<a 时，已知函数有“和谐区间”],[n m ，34)311(34)(22+--=-+=-a mn m n m n ，∴当3=a 时，m n -取最大值332………………18分。

2019年虹口区高考语文二模卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸两部分，答案做在试卷上一律不得分。

2．答题前，务必在答题纸上填写姓名。

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位。

4．答题时间150分钟。

试题满分150分。

一积累运用（10分）1.按要求填空。

（5分）⑴，西山寇盗莫相侵。

（《登楼》）⑵念去去，千里烟波，。

（柳永《雨霖铃》）⑶《论语》中记载，孔子和弟子在陈国遭遇粮食断绝的情况，处境狼狈，子路因此气愤发问，孔子的回答是“__________________，__________________”。

2.按要求选择。

（5分）⑴下列选项中，名句使用恰当的一项是（）（2分）A.“正是江南好风景，落花时节又逢君”，多年未曾谋面的故人在秋风中相视而笑。

B.“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，总关在书斋里是不可能真正掌握知识的。

C.王老师在课后回答同学的问题时总是那样温柔耐心，不厌其烦，真是“润物细无声”。

D.小赵的论文多从旧见，缺乏独到见解，导师给他写评语说：“言之无文，行而不远。

”⑵将下列编号的语句依次填入语段空白处，语意连贯的一项是（）（3分）“大楼”不能取代“大师”，这是目前大家谈得比较多的，我想补充的是，“学问”不等于“精神”，。

学校办得好不好，除了，还得看。

过去常说“教书育人”，不是没道理的。

①这所大学教师及学生的精神状态②好大学培养出来的学生，有明显的精神印记③办大学，必须有超越技术层面的考虑④可以量化的论文、专利、获奖等A.③①②④B. ④②③①C.③②④①D. ③④①②二阅读70分（一）阅读下文，完成第3-7题。

（16分）出口铁路？留住旅客？邢海洋①“春运”大幕拉开，万人挤破火车站护栏的局面没出现，却出现了一列临客只坐一位乘客的“奇葩．．”镜头，诸如北京到哈尔滨、到成都的“秒光”线路还有余票。

最能反映紧缺经济的“春运”火车票也供需平衡了。

全人类最大规模的人类迁徙曾被认为是“无解”的难题，中国式的产能扩张却奏效了。