推荐-耀华中学2018～2018学年度第二学期形成性检测高中三年级数学试卷 精品

天津市耀华中学2001—2018-年上学期高三第三次数学月考1、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A =}{R x x x y y ∈+-=,34|2,B =}{R x x x y y ∈+--=,22|2,则A B ⋂等于A .φB .RC .}{3,1-D .}3,1{-2.设f (x )=)1(112-<-x x ,则f －1(－31)的值等于 A .－2 B .2 C .－3 D .33.若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )=log a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是A .(+∞,21)B .]21,0(C .(0,21) D .(0,+∞) 4. 已知等差数列}{满足n a a 1+a 2+a 3…a 101=0,则有A .a 1+a 101>0B .a 2+a 100<0C .a 3+a 99=0D .a 51=51 5.一直角三角形三边边长成等比数列,则A .三边边长之比为3:4:5B .三边边长之比为3:3:1C .较大锐角的正弦为215- D .较小锐角的正弦为215- 6.某射手射击一次,击中目标的概率是0.8,他射击3次至少击中2次目标的概率是 A .0.992 B .0.96 C .0.918 D .0.8967.设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条件,丙是丁的必要条件,那么,丁是甲的 A .充分条件 B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.若奇函数y =f (x )(x ≠0),则x 的解集是则时0)1(,1)(,),0(<--=+∞∈x f x x f A .}{210|<<<x x x 或 B .}{21|<<x xC .}{01|<<-x xD .}{012|<<--<x x x 或 9.设}{n a 是递增等差数列,前三项的和为12,前三项积为48,则它的首项是 A .4 B .2 C .1 D .610.函数f (x )与g (x )=(21)x的图象关于直线y =x 对称,则f (4－x 2)的单调递增区间是 A .(0,+∞) B .(－∞,0) C .(0,2) D .(－2,0)11.若a n =12+22……+n 2,则数列3217,5,3a a a ,…的前n 项和为A .16+n n B .n n )1(6- C .13+n nD .2)1(6++n n 12.在区间[2,21]上,函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=2x +21x 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在[2,21]上的最大值是A .413 B .4 C .45D .8二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.曲线y =x 3－2x 在点(－2,－4)处的切线方程是_____________ 14.函数f (x )=(31)x x 22-的值域为___________ 15.数列}{n a 是等比数列,a 4a 7=－512,a 3+a 8=124,且公比q 为整数,则a 10=_______ 16.定义在R 上奇函数f (x )为增函数,偶函数g (x )在区间[0,+∞]的图象与f (x )的图象与f (x )的图象重合,设a >b >0,给出下列不等式；①f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b ) ②f (b )－f (－a )<g (a )－g (－b ) ③f (a )－f (－b )>g (b )－g (－a ) ④f (a )－f (－b )<g (b )－g (－a ) 其中正确的不等式的序号是_______________________三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)已知z 是虚数,且|z |+z =ii+12,解关于x 的方程x 2+z =0 18.(本题满分12分)已知函数y =lg[(a 2－1)x 2+(a +1)x +1] (1) 若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2) 若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围。

天津市耀华中学2018届高三二模考试试卷（理科数学）一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( )A．B．C．D．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．37．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．168．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是__________．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为__________．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=__________．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为__________．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是__________．三．解答题：共6个小题，总计80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值及取得最值时x的值．16．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利﹣80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值E（X）．17．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．天津市耀华中学2018届高三二模考试试卷（理科数学）答案一．选择题：共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z=在复平面上对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母根据平方差公式得到一个实数，分子进行复数的乘法运算，得到最简结果，写出对应的点的坐标，得到位置．解答：解：∵z===+i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．故选A．点评：本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．2．△ABC中，“A＞”是“sinA＞”的( )A．必要不充分条件B．充分必要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形．分析：利用充要条件的概念即可判断是什么条件，从而得到答案．要注意三角形内角和是π，不要丢掉这个大前提．解答：解：在△ABC中，“sinA＞”⇒“＞A＞”⇒“A＞”．必要性成立；反之，“A＞不能⇒“sinA＞”，如A=时，sinA=sin=sin＜sin=，即sinA，即充分性不成立，∴可判断A＞是sinA＞的必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充分条件、必要条件与充要条件的定义，正弦函数的值，本题解题的关键是通过举反例来说明某个命题不正确，这是一种简单有效的方法，本题是一个基础题．此题要注意思维的全面性，不能因为细节大意失分．3．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a （x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．解答：解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．4．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x 的路线，确定选项．解答：解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．5．数列{a n}满足a1=1，a2=，并且a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），则该数列的第2015项为( ) A．B．C．D．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用递推关系式推出{}为等差数列，然后求出结果即可．解答：解：∵a n（a n﹣1+a n+1）=2a n+1a n﹣1（n≥2），∴a n a n﹣1+a n a n+1=2a n+1a n﹣1（n≥2），两边同除以a n﹣1a n a n+1得：=+，即﹣=﹣，即数列{}为等差数列，∵a1=1，a2=，∴数列{}的公差d=﹣=1，∴=n，∴a n=，即a2015=，故选：C．点评：本题考查数列的递推关系式的应用，判断数列是等差数列是解题的关键，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．6．设直线l：y=2x+2，若l与椭圆x2+=1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，求出弦长AB，计算AB边上的高h，设出P的坐标，由点P到直线y=2x+2的距离d=h，结合椭圆的方程，求出点P的个数来．解答：解：由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组，解得或，则A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面积为﹣1，∴AB边上的高为h==．设P的坐标为（a，b），代入椭圆方程得：a2+=1，P到直线y=2x+2的距离d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；联立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有两个不相等的根，∴满足题意的P的坐标有2个；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有两个相等的根，满足题意的P的坐标有1个．综上，使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3．故选：D．点评：本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题，是综合性题目．7．已知函数f（x）满足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（m ax（p，q）表示p，q中的较大值，min（p，q）表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=( )A．a2﹣2a﹣16 B．a2+2a﹣16 C．﹣16 D．16考点：函数最值的应用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：本选择题宜采用特殊值法．取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．从而得出H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，再将两函数图象对应的方程组成方程组，求解即得．解答：解：取a=﹣2，则f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．画出它们的图象，如图所示．则H1（x）的最小值为两图象右边交点的纵坐标，H2（x）的最大值为两图象左边交点的纵坐标，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等，考查了数形结合的思想，属于中档题．8．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（﹣2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察上的交点的横坐标的特点，求出它们的和解答：解：由题意知g（x）==2+，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间上的图象如右图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间上的交点为A，B，C，易知点B的横坐标为﹣3，若设C的横坐标为t （0＜t＜1），则点A的横坐标为﹣4﹣t，所以方程f（x）=g（x）在区间上的所有实数根之和为﹣3+（﹣4﹣t）+t=﹣7．故选：B．点评：本题考查分段函数的图象和运用，考查函数的周期性、对称性和应用，同时考查数形结合的能力，属于中档题．二．填空题：共6个小题，每小题5分，共30分．9．为了了解2015届高三学生的身体状况，抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是48．考点：频率分布直方图．专题：常规题型．分析：根据前3个小组的频率之比为1：2：3，可设前三组的频率为x，2x，3x，再根据所以矩形的面积和为1建立等量关系，求出x，最后根据样本容量等于频数除以频率求出所求．解答：解：由题意可设前三组的频率为x，2x，3x，则6x+（0.0375+0.0125）×5=1解可得，x=0.125所以抽取的男生的人数为故答案为：48．点评：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，样本容量等于频数除以频率等知识，属于基础题．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为36（π+2）．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=×12×6+×62=18π+36，锥体的高h==6，故锥体的体积V==36（π+2），故答案为：36（π+2）点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．求曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为．考点：定积分在求面积中的应用．专题：导数的综合应用．分析：分别求出曲线的交点坐标，然后利用积分的应用求区域面积即可．解答：解：由解得，即A（1，1）．由，解得，即B（3，﹣1），∴曲线y=，y=2﹣x，y=﹣x所围成图形的面积为==+=，故答案为：；点评：本题主要考查定积分的应用，根据曲线方程求出曲线交点是解决本题的关键，要求熟练掌握常见函数的积分公式．12．在极坐标系中，圆C1的方程为ρ=4cos（），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程（θ为参数），若圆C1与C2相切，则实数a=±或±5．考点：圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：先根据ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，将圆C1的方程化成直角坐标方程，再利用同角三角函数关系消去θ，可得圆C2的直角坐标方程，最后根据圆C1与圆C2相切，分为外切的内切两种情况讨论，利用圆心距与半径之间的关系建立方程，求实数a的值．解答：解：∵圆C1的方程为ρ=4cos（），∴⊙C1的方程化为ρ=4cos θ+4sin θ，则ρ2=4ρcos θ+4ρsin θ，由ρ2=x2+y2，x=ρcos θ，y=ρsin θ，得x2+y2﹣4x﹣4y=0，∴圆心C1坐标为（2，2），半径r1=2，∵圆C2的参数方程是，∴其普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2，∴以C2的坐标是（﹣1，﹣1），r2=|a|，∵两圆相切，∴当外切时|C1C2|=|a|+2==3，解得a=±，内切时|C1C2|=|a|﹣2==3，解得a=±5∴a=±或±5．故答案为：±或±5．点评：本题考查参数方程化成普通方程、简单曲线的极坐标方程、圆与圆的位置关系及其应用．解题时要认真审题，把极坐标方程合理地转化为普通方程．13．若至少存在一个x＞0，使得关于x的不等式x2＜2﹣|x﹣a|成立，则实数a的取值范围为（）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：原不等式为：2﹣x2＞|x﹣a|，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，利用数形结合思想，易得实数a的取值范围．解答：解：不等式等价为：2﹣x2＞|x﹣a|，且2﹣x2＞0，在同一坐标系画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个函数图象，将绝对值函数 y=|x|向左移动，当右支经过（0，2）点，a=﹣2；将绝对值函数 y=|x|向右移动让左支与抛物线y=2﹣x2（y≥0，x＞0）相切时，由，即x2﹣x+a﹣2=0，由△=0 解得a=．由数形结合可得，实数a的取值范围是（﹣2，）．故答案为：（﹣2，）．点评：本题考查的知识点是一元二次函数的图象，及绝对值函数图象，其中在同一坐标中，画出y=2﹣x2（y≥0，x＞0）和 y=|x|两个图象，结合数形结合的思想得到答案，是解答本题的关键．14．设O是△ABC的外心，a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且b2﹣2b+c2=0，则•的取值范围是∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=∴tan∠MNE=，cos∠MNE=．（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使，过P作PQ⊥CD与点Q，∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∴AP⊥DE．法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为则即所以二面角E﹣DF﹣C的余弦值为（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为设∴所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE另解：设又∵把代入上式得，∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18．已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a n=3f（n），n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…b n，若T n＜m（m∈Z），求m的最小值；（3）求使不等式≥对一切n∈N*，均成立的最大实数p．考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．专题：计算题．分析：（1）先由函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a n}的通项公式；（2）用错位相减法求出T n的表达式即可求出对应的m的最小值；（3）先把原不等式转化为恒成立，再利用函数的单调性求不等式右边的最小值即可求出最大实数p．解答：解：（1）由题意得，解得，∴f（x）=log3（2x﹣1）（2）由（1）得，∴①②①﹣②得=，∴，设，则由得随n的增大而减小，T n随n的增大而增大．∴当n→+∞时，T n→3又T n＜m（m∈Z）恒成立，∴m min=3（3）由题意得恒成立记，则∵F（n）＞0，∴F（n+1）＞F（n），即F（n）是随n的增大而增大F（n）的最小值为，∴，即点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．19．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）设出椭圆的方程，将已知点代入椭圆的方程及利用椭圆的离心率公式得到关于椭圆的三个参数的等式，解方程组求出a，b，c的值，代入椭圆方程即可．（2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m的范围，将△OPQ面积用m表示，求出面积的范围．解答：解：（1）由题意可设椭圆方程为（a＞b＞0），则则故所以，椭圆方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），由消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，则△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，且，．故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以=k2，即+m2=0，又m≠0，所以k2=，即k=．由于直线OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2且m2≠1．设d为点O到直线l的距离，则S△OPQ=d|PQ|=|x1﹣x2||m|=，所以S△OPQ的取值范围为（0，1）．点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．20．已知函数f（x）=e x（其中e为自然对数的底数，且e=2.71828…），g（x）=x+m（m，n∈R）．（Ⅰ）若T（x）=f（x）g（x），m=1﹣，求T（x）在上的最大值φ（n）的表达式；（Ⅱ）若n=4时方程f（x）=g（x）在上恰有两个相异实根，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若m=﹣，n∈N*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：导数的综合应用．分析：（1）T（x）=e x（x+1﹣），求导T′（x）=e x（x+1）；从而确定函数的最大值；（2）n=4时，方程f（x）=g（x）可化为m=e x﹣2x；求导m′=e x﹣2，从而得到函数的单调性及取值，从而求m的取值范围；（3）由题意，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+，故f（x）的图象恒在g（x）图象上方可化为p（x）＞0恒成立；从而化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）m=1﹣时，T（x）=e x（x+1﹣），n∈R，∴T′（x）=e x（x+1），①当n=0时，T′（x）=e x＞0，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；②当n＞0时，T′（x）=e x（x+）在（﹣，+∞）上为增函数，故T（x）在上为增函数，此时φ（n）=T（1）=e；③当n＜0时，T′（x）=e x（x+），T（x）在（﹣∞，﹣）上为增函数，在（﹣，+∞）上为减函数，若0＜﹣＜1，即n＜﹣2时，故T（x）在上为增函数，在上为减函数，此时φ（n）=T（﹣）=（﹣1+m）=﹣•，若﹣≥1﹣2≤n＜0时，T（x）在上为增函数，则此时φ（n）=T（1）=e；∴综上所述：φ（n）=；（Ⅱ）设F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣2x﹣m，∴F′（x）=e x﹣2，∴F（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增；∴F（x）=e x﹣2x﹣m在上恰有两个相异实根，∴，解得2﹣2ln2＜m≤1，∴实数m的取值范围是{m|2﹣2ln2＜m≤1}；（Ⅲ）由题设：∀x∈R，p（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣x+＞0，（*），∵p′（x）=e x﹣，∴p（x）在（﹣∞，ln）上单调递减；在（ln，+∞）上单调递增，∴（*）⇔p（x）min=p（ln）=﹣ln+=（n﹣nln+15）＞0，设h（x）=x﹣xln+15=x﹣x（lnx﹣ln2）+15，则h′（x）=1﹣ln﹣1=﹣ln，∴h（x）在（0，2）上单调递增；在（2，+∞）上单调递减，而h（2e2）=15﹣2e2＞0，且h（15）=15（lne2﹣ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使 h（x0）=0，且x∈。

2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣103．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．55．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．26．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B ＝．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cos B＝b cos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V＝（2）3＝．球故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴•＝•（﹣）＝•﹣•＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cos B＝b cos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sin C﹣sin A）cos B﹣sin B sin A ＝0，∴2sin C cos B﹣（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin C cos B﹣sin（A+B）＝2sin C cos B﹣sin C ＝0，∵sin C≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac＝13，①＝ac sin B＝ac＝3，解得：ac＝12，②又∵S△ABC∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：E（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF⊄平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az⊂平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x 2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝•（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n•（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n•（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，Q n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n•（）n+1＝﹣n•（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）•（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）•（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）•（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）•（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表）∴当x＝1时，g（x）＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣最小值2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞⇔+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0⇒函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0⇒lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．。

天津市耀华中学2001--2018年下学期高三第一次月考理科数学试卷Ⅰ卷一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的4个选项中,只有1项是符合题目要求的)1.若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点P (cos B －sin A ,sin B －cos A )在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.∞→n lim =++1222n n n nC CA.0B.2C.21D.41 3.已知椭圆的焦点是F 1、F 2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|, 那么动点Q 的轨迹是A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.已知函数f (x )=1---a x x a 的反函数f －1(x )的图象关于点M (－1,3)中心对称,则a 的取值是 A.3 B.2 C.－2 D.－3 5.|3|log 21π-x ≥221log π,那么sin x 的范围是 A.[－21,21] B.[－1,21] C.[－21,211,21() ] D.[23,21--]( ]1,23 6.对于[0,1]的一切x 值,则a +2b >0是使ax +b >0恒成立的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件7.设在复平面内,复数Z 所表示的点为P ,且|Z |=1,点Q 对应的复数为Z 0=2i ,将向量→QP 绕点Q 顺时针旋转,2π得到→QR ,则点R 与原点之间的距离|→QR |的最大值是 A.212- B.22 C.3 D.22+18.奇函数y =f (x )的图象关于y 轴对称的图象为C 1,将C 1沿x 轴正方向移动2个单位,所得到的图象为C 2,又设图象C 3与C 2关于原点对称,则C 3的函数解析式为A.y =－f (x －2)B.y =f (x －2)C.y =f (－x －2)D.y =f (x +2)9.已知奇函数f (x )满足f (1+x )=－f (1－x ),又当x ∈(0,1)时,f (x )=2x ,则f (23log 21)=A.223log 21B.23log 42-C.1623 D.－1623 10. 甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中目标的概率为32,乙命中目标的概率为54,设命中目标的人数为ξ,则E ξ等于 A.52 B.156 C.1522 D.2215 11.根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n =)521(902--n n n (n =1,2,…12),按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月12.用一张钢板制作一个容积为4m 3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同的规格(长×宽的尺寸如各选项所示,单位均为m )若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是A.2×5B.2×5.5C.2×6.1D.3×5Ⅱ卷二、填空题:(本大题共5个小题,每小题4分,共20分,把正确答案填在题中横线上)13.如图,从椭圆上一点P 向x 轴作垂线,恰好通过椭圆的一个焦点,有三个论断①PO //BA ；②离心率e =;22 ③|PF 1|:|BO |=22,以其中1个为条件,两个为结论,则可以组成__________个正确命题.14.正方形ABCD 的边长是2,E 、F 分别是AB 和CD 的中点,将正方形沿EF 折成直二面角(如图所示),M 为矩形AEFD 内一点,如果∠MBE =∠MBC ,MB 和平面BCF 所成角的的正切值为21,那么点M 到直线EF 的距离为____________. 15.设集合A ={(x ,y )|x ∈ [2,3],且y (y －ln x )≤0}则A 所表示的平面图形的面积为___________. 16.已知等比数列{a n }的首项a 1=1,前几项和S n =213-n ,现有a 6个外观完全相同的骰子,其中一个稍轻,余下的都一样重,现只允许用天平来称(不用砝码),要保证称m 次后找出稍轻的骰子,则m 的最小值为____________.17.已知: a =(x x ,312) b =(x ,x －3), x ∈[－4,4]. 设f (x )= a ·b ,则f (x )的最小值为___________.三、解答题(本题共6个小题,共70分)18. (本题10分)设100件产品中有10件次品,每次随机地抽取一件检验后放回去,连续抽三次,求最多取到一件次品的概率19.(本小题满分12分)已知实系数方程x 2+ax +2b =0的两根分别在(0,1)与(1,2)内,求12--a b 的取值范围. 20.(本小题满分12分)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,E 为棱C 1C 上的动点.(1)求异面直线DB 与A 1E 所成角的大小.(2)若二面角A 1－DB －E 为直二面角,求E 点的位置.(3)求满足(2)时,四面体B －A 1DE 的体积.21.(本小题满分12分)已知数到{a n },a n >0(n ∈N 米),它的前几项的和记为S n①如果{a n }是一个首项为a ,公比为q .(0<q ≤1)的等比数列.且G n =a 12+a 22+…a n 2,(n ∈N 米)求∞→n lim nn G S ② 如果S 12,S 22,…S n 2,…是一个首项为3,公差为1的等差数列,试比较S n 与3na n (n ∈N 米)的大小.22.(本小题满分12分)台湾是祖国不可分割的一部分,两岸人民向往祖国统一,在台湾海峡航行时,两岸船只常在相距最近时鸣笛致意,表达这种感情,某日,海面上距台湾船只A 的正北方向100海里没有一大陆船只B 正以每小时20海里的速度沿北偏西60°角的方向行驶,而台湾船只正以每小时15海里的速度向北方向行驶,从此时计起,几小时后,两船可鸣笛致意？且两船的最近距离是多少海里？23.(本题满分12分)直线l :y =mx +1与椭圆C :ax 2+y 2=2交于A 、B 两点,以OA 、OB 为邻边的平行四边形OAPB (O 为坐标原点)①当a =2时,求点P 的轨迹方程.②当a ,m 满足a +2 m 2=1,求平行四边形OAPB 的面积函数S (a )的值域.。

天津耀华中学2018届高三12月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．1.复数的虚部为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】虚部为．故选．2.是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）A. 64B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】试题分析：a1+a2=4，a7+a8=28，解方程组可得考点：等差数列通项公式及求和【此处有视频，请去附件查看】3.已知函数，则下列判断中正确的是（）．A. 奇函数，在上为增函数B. 偶函数，在上为增函数C. 奇函数，在为减函数D. 偶函数，在上为减函数【答案】A【解析】，显然，则为奇函数．又∵在上且在上．∴在上．∴是上的奇函数．故选．4.在数列中，a1＝2，＝＋ln，则等于( )A. 2＋ln nB. 2＋(n－1)ln nC. 2＋n ln nD. 1＋n＋ln n【答案】A【解析】试题分析：在数列中，故选A.考点：熟练掌握累加求和公式及其对数的运算性质【此处有视频，请去附件查看】5.等比数列的前项和为，若，，则等于（）A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D【解析】等比数列中，，所以.所以..6.在中，，，，则的面积是（）．A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】，∴，或．（）当时，．∴．（）当时，．∴．故选．7.已知非零向量，满足，．若，则实数的值（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴设，（），又∵且．∴．即．即，．故选．8.数列的前项和为,,则数列的前50项和为（）A. 49B. 50C. 99D. 100【解析】试题分析：当时，；当时，,把代入上式可得.综上可得.所以.数列的前50项和为.故A正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.9.等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为（）．A. B. C. D. 无最小值【答案】B【解析】由题意得，得．∴，．∴．∴．则．∴当时，．当时，．∴为最小项，．故选．点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用或；（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.10.已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨设∵，．∴、．∴点在以为圆心半径为的圆上．∴与的夹角为直线的倾斜角．设∴．即，则．又∵，．∴、夹角．故选．11.定义在R上的偶函数,满足,且在上是减函数,又是锐角三角形的两个内角, 则 ( )A. B.C. D.【答案】D【解析】、为锐角三角形的两内角．∴，则．∴．且、．又∵，在上单调递减．∴在上单调递减．又∵是上偶函数．∴在上单调递增．∴．故选．点睛：（1）在锐角三角形ABC中，，则,有，同理有：（2）偶函数满足；（3）周期性：是周期为的函数.12.已知函数若数列满足，且是递增数列，那么实数的取值范围是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】是递增数列．则单调递增．∴，即．∴．故选．点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断；③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.第Ⅱ卷（非选择题共52分）二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．13.已知集合，，若，则的取值范围__．【答案】【解析】，．∵，则．∴．故答案为：.14.方程在区间上的解为___________ .【答案】【解析】试题分析：化简得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考点】二倍角公式及三角函数求值【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解. 本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 【此处有视频，请去附件查看】15.等差数列中，公差d≠0，a1，a3 ，a9成等比数列，则= __________.【答案】【解析】∵为等差数列且，，成等比．∴，即．∴，则．∴．∴．故答案为：.16.已知等差数列满足：，且，，成等比数列，则数列的通项公式为_______．【答案】或【解析】等差数列满足：，且，，成等比数列，设公差为，所以，有：，解得或4.所以或.故答案为：或.17.在中，，，是的中点，点在线段上，，与交于点，，__________．【答案】【解析】由题意，，．设．∵为中点，则．又∵、、三点共线且．∴，．又∵．∴，得，．∴．又∵．∴．故答案为：.点睛：平面向量共线定理的三个应用（1）证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．18.已知函数f(x)=2x，等差数列{a x}的公差为2。

本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣103．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．55．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．26．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a 7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B ＝．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有种分配方案（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．2018年天津市和平区耀华中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上.1．（5分）在复平面内，复数（i是虚数单位）所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝．∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）已知x，y满足线性约束条件，则z＝2x+4y的最小值是（）A．38B．5C．﹣6D．﹣10【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，得．∴B（3，﹣3）．由图可知，使z＝2x+4y取得最小值的最优解为B（3，﹣3）．∴z＝2x+4y的最小值是2×3+4×（﹣3）＝﹣6．故选：C．3．（5分）“”是“x+y＞3”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）某程序框图如图所示，运行该程序输出的k值是（）A．8B．7C．6D．5【解答】解：模拟程序的运行，可得S＝100，k＝0满足条件S＞0，执行循环体，S＝99，k＝1满足条件S＞0，执行循环体，S＝96，k＝2满足条件S＞0，执行循环体，S＝87，k＝3满足条件S＞0，执行循环体，S＝60，k＝4满足条件S＞0，执行循环体，S＝﹣21，k＝5此时，不满足条件S＞0，退出循环，输出k的值为5．故选：D．5．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．B．2C．D．2【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则p＝4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a＝2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c＝，则焦距为2c＝2故选：D．6．（5分）对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（﹣）则a，b，c 大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由﹣＜0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（﹣）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若在区间（0，π）上有三个不同的x使得f（x）＝1，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）化简可得f（x）＝2sin（ωx+）∵x∈（0，π），，要使x0∈（0，π）有3个不同的x0，使得sin（ω）＝成立．需满足2π+＜+ωπ≤4π+，解得ω∈（，]，故选：A．8．（5分）已知函数f（x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（）A．（﹣2]∪{}B．（﹣2+，0]∪{}C．（﹣2]∪{}D．（﹣2+，0]∪{}【解答】解：函数f（x）＝，可得f（1﹣x）＝，函数g（x）＝f（1﹣x）﹣kx+k恰有三个不同的零点，即为f（1﹣x）＝kx﹣k+有三个不同的实根，作出y＝f（1﹣x）和y＝kx﹣k+的图象，当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x≤1）相切于原点时，即k＝时，两图象恰有三个交点；当直线y＝kx﹣k+与曲线y＝（x﹣2）2（1＜x＜2）相切，设切点为（m，n），可得切线的斜率为k＝2（m﹣2），且km﹣k+＝（m﹣2）2，解得m＝1+，k＝﹣2，即﹣2＜k≤0时，两图象恰有三个交点；综上可得，k的范围是（﹣2，0]∪{}，故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题纸上. 9．（5分）某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为78．【解答】解：∵高一480人，高二比高三多30人，∴设高三x人，则x+x+30+480＝1290，解得x＝390，故高二420，高三390人，若在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为＝78．故答案为：78．10．（5分）已知集合A＝{x|x2+2x﹣3≤0}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（0，1]．【解答】解：A＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝{x|0＜x＜2}；∴A∩B＝（0，1]．故答案为：（0，1]．11．（5分）已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，则|AB|的最小值为．【解答】解：圆ρ＝2cosθ+2sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，直线（t为参数）的普通方程为x﹣y﹣4＝0，∵点A在圆ρ＝2cosθ+2sinθ上，点B在直线（t为参数）上，圆心C（1，1）到直线的距离d＝＝2，圆半径r＝＝，∴|AB|的最小值为：d﹣r＝2．故答案为：．故答案为：．12．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为π．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，其中，底面ABCD为边长为4的正方形，侧面SAD⊥底面ABCD，S在底面ABCD的射影M为AD的中点，由侧视图可知SM＝2，设底面ABCD的中心为O，连结OM，OS，则OM＝2，∴OS＝2，又OA＝OB＝OC＝OD＝2，∴O为四棱锥外接球的球心，∴V球＝（2）3＝．故答案为：．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，△ACD是等边三角形，则的值为14．【解答】解：AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，∴cos∠BAC＝；又△ACD是等边三角形，∴AD＝AC＝10，cos∠CAD＝，∴?＝?（﹣）＝?﹣?＝10×10×﹣10×6×＝14．故答案为：14．14．（5分）6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有114种分配方案（用数字作答）．【解答】解：由于丙丁两人必须去同一所学校，把丙丁看做一元素，本题转化为5名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校把5个人分组（1，1，3）和（1，2，2），甲乙没有限制的种数为（C53+）A33＝150，甲乙去同一个学校的种数为2×C31A33＝36，故甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有150﹣36＝114，故答案为：114三、解答题：本大题共6小题，共80分，将解题过程及答案填写在答题纸上. 15．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（2c﹣a）cosB＝bcos A（1）求∠B的度数；（2）若△ABC的面积为3，b＝，求a+c的值．【解答】解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC﹣sinA）cosB﹣sinBsinA ＝0，∴2sinCcos B﹣（sinAcosB+cosAsinB）＝2sinCcosB﹣sin（A+B）＝2sinCcosB﹣sinC ＝0，∵sinC≠0，∴cos B＝，∵0＜B＜π，∴B＝；（2）∵由（1）可得：B＝，△ABC的面积为3，b＝，∴利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝13，①又∵S△ABC＝acsinB＝ac＝3，解得：ac＝12，②∴由①②，可得：a+c＝7．16．（13分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．【解答】解：（I）用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）＝，P（B k）＝，k＝1，2，3，4，5P（A）＝P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）＝（）2+（）2+××（）2＝．（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X＝2）＝P（A1A2）+P（B1B2）＝，P（X＝3）＝P（B1A2A3）+P（A1B2B3）＝，P（X＝4）＝P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）＝，P（X＝5）＝P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）＝，或者P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，故分布列为：X2345PE（X）＝2×+3×+4×+5×＝．17．（13分）如图，梯形ABCD所在的平面与等腰梯形ABEF所在的平面互相垂直，AB∥CD∥EF，AB⊥AD．CD＝DA＝AF＝FE＝2，AB＝4．（1）求证：DF∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角C﹣BF﹣A的正弦值；（Ⅲ）线段CE上是否存在点G，使得AG⊥平面BCF？请说明理由．【解答】证明：（1）如图所示：由于：CD∥EF，且CD＝FE，则：四边形CDEF为平行四边形，则：DF∥CE．由于DF?平面BCE，所以：DF∥平面BCE．解：（Ⅱ）在平面ABEF内，过点A作Az⊥AB，由于平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF＝AB，又Az?平面ABEF，Az⊥AB，所以：Az⊥平面ABCD．所以：AB⊥AD，AD⊥Az，Az⊥AB，则：建立空间直角坐标系：A﹣xyz，得到：A（0，0，0），B（0，4，0），C（0，3，），F（0，1，），所以：，，设平面BCF的法向量为：，所以：，解得：平面ABF的法向量为，所以：＝＝，则：．解：（Ⅲ）线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF，理由如下：假设线段CE上存在点G，使得AG⊥平面BCF，设，其中λ∈（0，1），设G（x2，y2，z2），则：，所以：x2＝2﹣2λ，y2＝2+λ，，所以：，由于AG⊥平面BCF，所以：，所以：，方程无解，所以：线段CE上不存在G，使得AG⊥平面BCF．18．（13分）已知非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），且满足S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（I）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）非单调数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝，其前n项和为S n（n∈N*），S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列，即为2（S5+a5）＝S3+a3+S4+a4，即有2S5+2a5＝S4+a3+S4，可得4a5＝a3，即有q2＝，解得q＝﹣，即有a n＝a1q n﹣1＝?（﹣）n﹣1，前n项和S n＝＝1﹣（﹣）n；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n n2S n＝（﹣1）n n2+n?（）n，设{（﹣1）n n2}的前n项和为H n，{n?（）n}的前n项和为Q n，当n为偶数时，H n＝﹣1+4﹣9+16+…﹣（n﹣1）2+n2＝1+2+3+4+…+n＝n（n+1）．Q n＝1?（）+2?（）2+…+n?（）n，Q n＝1?（）2+2?（）3+…+n?（）n+1，两式相减可得Q n＝+（）2+（）3+…+（）n﹣n?（）n+1＝﹣n?（）n+1，化为Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣（n+2）?（）n；当n为奇数时，H n＝（n﹣1）n﹣n2＝﹣n（n+1），Q n＝2﹣（n+2）?（）n，T n＝H n+Q n＝﹣﹣（n+2）?（）n；综上可得，T n＝．19．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，短轴长是2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k（k≠0），△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D（0，﹣1）．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx﹣1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用﹣代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝?×＝．则＝，因为，即＞，整理得4k4﹣k2﹣14＜0，解得﹣＜k2＜2所以0＜k2＜2，即﹣＜k＜0或0＜k＜．从而k的取值范围为（﹣，0）∪（0，）．20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明：（n∈N，n≥2）．参考数据：ln2≈0.6931．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣，∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）在x＝1处取得极值，∴f′（1）＝0，∴a＝0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x﹣lnx，∴f（x）+2x＝x2+b∴x﹣lnx+2x＝x2+b，∴x2﹣3x+lnx+b＝0设g（x）＝x2﹣3x+lnx+b（x＞0），则g′（x）＝，当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表x（0，）（，1）1（1，2）2g′（x）+0﹣0+g（x）↗极大值↘极小值↗b﹣2+ln2 ∴当x＝1时，g（x）最小值＝g（1）＝b﹣2，g（）＝b﹣﹣ln2，g（2）＝b﹣2+ln2∵方程f（x）+2x＝x2+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根∴，∴，∴+ln2≤b＜2；（Ⅲ）证明：∵k﹣f（k）＝lnk，∴＞?+++…+＞，（n∈N，n≥2），设φ（x）＝lnx﹣（x2﹣1），则φ′（x）＝﹣＝，当x≥2时，φ′（x）＜0?函数y＝φ（x）在[2，+∞）上是减函数，∴φ（x）≤φ（2）＝ln2﹣＜0?lnx＜（x2﹣1），∴当x≥2时，＞＝2（﹣），∴++…+＞2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝2（1+﹣﹣）＝，∴原不等式成立．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu第21页（共21页）。

天津市耀华中学2018届高三暑假验收考试数学试卷（理科）I 卷（选择题 共50分）一、选择题（共10小题，每小题有一个正确答案，每题5分，共50分）将选择题答案填涂在答题卡上。

1．已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则()R M C N =（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|02}x x <<C ．{|1}x x <D ．φ2．若复数1iz i=-，则||z =（ ） A ．12B ．22C ．1D ．23．设变量,x y 满足约束条件1121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．函数20.5(231)y log x x =-+的单调递减区间是A ．3[,]4-∞B ．3[,)4+∞C ．1(,)2-∞D ．(1,)+∞5．设,a b 是两条直线，α,β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是（ ） A ．,//,a b αβαβ⊥⊥ B ．,,//a b αβαβ⊥⊥ C ．,,//a b αβαβ⊂⊥D ．,//,a b αβαβ⊂⊥6．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,0)(0,1)-7．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和5，则不同的排法共有（ ）A ．1334种B ．1248种C ．1186种D ．960种 8．阅读右图的程序框图：若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．5?i >B ．6?i >C ．7i >？D ．8?i >9．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，(,,(0,1))a b c ∈，已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其它得分情况），则ab 的最大值为（ ）A ．148B ．124C ．112D ．1610．已知抛物线24y x =的准线于双曲线22213x y b -=的一条准线重合，则这条抛物线24y x =与双曲线22213x y b-=的交点P 到抛物线焦点的距离为（ ）A ．21B ．21C ．6D ．4II 卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6各小题，每小题4分，共24分） 11． 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 。

耀华中学2018届高三第二次月考数学试卷（文科） 一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 集合 x │0＜│x-1│＜4，x ∈N 的真子集的个数为（ ）A. 32B. 31C. 16D. 152. 在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a （a ≠0），a 19+a 20=b ，则a 99+a 100等于（ ）A. 89a b B. 9⎪⎭⎫ ⎝⎛a b C. 910a b D. 10⎪⎭⎫ ⎝⎛a b 3. 已知集合A=（x ，y ）│x+y=1 ，映射：f ∶A →B ，在f 作用下，点（x ，y ）的象为（2x ，2y ），则集合B 为（ ）A. （x ，y ）│x+y=2，x ＞0，y ＞0B. （x ，y ）│x ·y=1，x ＞0，y ＞0C. （x ，y ）│x ·y=2，x ＜0 ，y ＜0D. （x ，y ）│x ·y=2，x ＞0，y ＞04. 采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，个体a 前两次未被抽到，第3次被抽到的概率为（ ）A. 21B. 31C. 61D. 41 5. 已知f （x ）=x 2+2x ·f ＇（1），则f ＇（0）等于（ ）A. 0B. –4C. –2D. 26. 函数y=2-x 2-x 3的极值情况是（ ）A. 有极大值，没有极小值B. 有极小值，没有极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既没有极大值又没有极小值7. 数列{a n }是公差不为零的等差数列，并且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }相邻三项，若b 2=5，则b n 等于（ ）A. 5·135-⎪⎭⎫ ⎝⎛nB. 3·135-⎪⎭⎫ ⎝⎛nC. 3·153-⎪⎭⎫ ⎝⎛nD. 5·153-⎪⎭⎫ ⎝⎛n8. 已知a ＞0，a ≠1，函数y=a │x 2-x-2│的图象与函数y=│log a x │的图像的交点个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9. 已知f （x ）=log 3x+2，x ∈[1，3]，则函数F （x ）=[f （x ）]2+f （x 2）的最大值为（ ）A. 13B. 16C. 18D. 437 10. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，……的第1000项的值是（ ）A. 42B. 44C. 45D. 5111. 某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元，但不超过500元，按9折优惠；③如超过500元，其中500元的按9折给予优惠，超过500元的部分按8折给予优惠， 某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价值的商品，则应付款（ ）A. 472.8B. 510.4C. 522.8D. 560.412. 在任意两个正整数m ，n 间定义某种运算（用○×表示运算符号），当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ○×n=m+n ，如4○×6=4+6=10，3○×7=3+7=10，当m ，n 中一个为正奇数，另一个为偶数时，m ○×n=mn ，如3○×4=3⨯4=10，4○×3=4⨯3=12则上述定义下，集合M=（a ，b ）│a ○×b=36，a ，b ∈N* 中元素个数为（ ） A. 24 B. 35 C. 41 D. 23二、填空题：（每小题4分，共16分）13. 函数f （x ）=log 31（x 2-5x+6）的单调递增区间为_________________.14. 函数y=x 5-5x 4+5x 3+1，x ∈[-1，2]的最大值为__________________.15. 在数列{a n }中，a n +s n =n （n ≥1），其中s n =a 1+a 2+…a n ， 则a n =________________16. 设数集M= x │m ≤x ≤m+43 ，N= x │n-31≤x ≤n ，且M ，N 都有是集合x │0≤x ≤1 的子集，如果把b-a 叫做集合x │a ≤x ≤b 的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________________.三、解答题：（共74分）17. （本题12分）已知二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上截距为1，在x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式.18. （本题12分）四个数中，前3个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。

天津耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷 选择题(共40分)一、选择题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．在复平面内，复数－2＋3i3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－5，x ＋y ≥0x ≤3，，则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )A ．38B ．5C ．－6D ．－103．“⎩⎨⎧x >1，y >2”是“x ＋y >3”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，运行该程序输出的k 值是( )A ．8B ．7C ．6D ．55．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A. 3 B ．2 3 C. 5D ．2 56．对于任意x ∈R ，函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，且当x ≥1时，函数f (x )＝ln x ，若a ＝f (2－0.3)，b ＝f (log 3π)，c ＝f (－e)，则a ，b ，c 大小关系是( )A ．b >a >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a7．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，若在区间(0，π)上有三个不同的x 使得f (x )＝1，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，236B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，236 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，196 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤32，1968．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x ，x ≥0，x 2＋2x ＋1，x <0，函数g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有三个不同的零点，则k 的取值范围是( )A ．(－2－2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫92B ．(－2＋2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫92C ．(－2－2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．(－2＋2，0]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在相应的横线上．)9．某校共有高一、高二、高三学生1 290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生的身体健康情况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为________．10．已知集合A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}，集合B ＝{x ||x －1|<1}，则A ∩B ＝________.11．已知极坐标系中的极点与平面直角坐标系中的原点重合，极轴与x 的正半轴重合，点A 在圆ρ＝2cos θ＋2sin θ上，点B 在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上，则|AB |的最小值为________．12．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为________．13．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，△ACD 是等边三角形，则AC →·BD→的值为________．14．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．三、解答题(本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分13分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2c －a )cos B ＝b cos A .(1)求∠B 的度数；(2)若△ABC 的面积为33，b ＝13，求a ＋c 的值．16．(本小题满分13分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和期望．17．(本小题满分13分)如图，梯形ABCD 所在的平面与等腰梯形ABEF 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ∥EF ，AB ⊥AD ，CD ＝DA ＝AF ＝FE ＝2，AB ＝4.(1)求证：DF ∥平面BCE ； (2)求二面角C —BF —A 的正弦值；(3)线段CE 上是否存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ？请说明理由．18．(本小题满分13分)已知非单调数列{a n }是公比为q 的等比数列，a 1＝32，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且满足S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n ；(2)b n ＝(－1)n n 2S n ＋n 2＋n 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长是2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的下顶点为D ，过点D 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，这两条直线与椭圆C 的另一个交点分别为M ，N .设l 1的斜率为k (k ≠0)，△DMN 的面积为S ，当S |k |>169，求k 的取值范围．20．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )在x ＝1处取得极值． (1)求实数a 的值；(2)若关于x 的方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)证明：∑k ＝2n1k －f (k )>3n 2－n －2n (n ＋1)(n ∈N ，n ≥2)．参考数据：ln2≈0.693 1.耀华中学2018届高三年级第二次模拟考试 数学(理)答案1．B [命题立意]本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生基本的计算能力．[解析]－2＋3i 3－4i＝(－2＋3i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝－1825＋125i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1825，125，在第二象限，故选B. 2．C [命题立意]本题主要考查线性规划及应用，意在考查学生数形结合的能力．[解析]作出可行域，如图阴影部分所示，平移目标函数经过点A (3，－3)时，z ＝2x ＋4y 取得最小值－6，故选C.3．B [命题立意]本题主要考查不等式的性质和充要条件，意在考查学生的逻辑思维能力．[解析]若x >1，y >2，则x ＋y >3，故充分性成立，反之，若x ＝0，y ＝5满足x ＋y >3，显然不满足x >1且y >2，故必要性不成立，∴⎩⎨⎧x >1，y >2，是x ＋y >3的充分不必要条件，故选B.4．D [命题立意]本题主要考查程序框图中的循环结构，意在考查学生读图，识图能力．[解析]第1次循环：S ＝99，k ＝1；第2次循环：S ＝96，k ＝2；第3次循环：S ＝87，k ＝3，第4次循环：S ＝60，k ＝4；第5次循环：S ＝－21，k ＝5不满足条件，退出循环，输出k ＝5，故选D.5．D [命题立意]本题主要考查双曲线，抛物线的标准方程和几何性质，意在考查学生的运算求解能力．[解析]∵双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点(－2，－1)，∴－p 2＝－2，即p ＝4，∴抛物线焦点F (2,0)，又双曲线左顶点(－a,0)到抛物线焦点距离为4，∴a ＝2，又点(－2，－1)在双曲线的渐近线上，∴渐近线方程为y ＝12x ，∵a ＝2，b ＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝5，∴双曲线的焦距为2c ＝25，故选D.6．A [命题立意]本题主要考查函数的对称性，单调性，意在考查学生的转化，化归能力．[解析]∵对∀x ∈R ，函数f (x )满足f (2－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (2－x )，∴a ＝f (2－0.3)＝－f (2－2－0.3)，c ＝f (－e)＝－f (2＋e)．∵当x ≥1时，f (x )＝ln x 为增函数，且1<2－20.3<2＋ e∴f (2＋e)>f (2－2－0.3)>0∴－f (2＋e)<－f (2－2－0.3)<0，即c <a <0，而b ＝f (log 3π)>f (1)＝0.∴b >a >c ，故选A.7．A [命题立意]本题主要考查三角函数的图象性质，意在考查学生的数形结合能力和运算能力．[解析]f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∵x ∈(0，π)，∴ωx ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，ωπ＋π3，要使在(0，π)上有三个不同的x 使得f (x )＝1，即使得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝12成立，需满足3π－π6<π3＋ωπ≤4π＋π6，解得52<ω≤236，故选A.8．D [命题立意]本题主要考查分段函数的图象，性质和函数零点，意在考查学生的数形结合能力和转化、化归能力．[解析]∵g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有3个不同零点，∴方程f (1－x )＝k (x －1)＋12恰有3个不同实根，令1－x ＝t ，则方程f (t )＝－kt ＋12恰有三个不同实根，即函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，画出函数图象如下图：当－k ＝0即k ＝0时有三个交点，当y ＝－kx ＋12与f (x )＝x 2＋2x ＋1(x <0)相切时可求得k ＝－2＋2，当y ＝－kx ＋12与f (x )＝1－x 1＋x ，x ≥0相切时可求得k ＝12，故由图可得－2＋2<k ≤0或k ＝12时函数y ＝f (x )与y ＝－kx ＋12的图象恰有3个不同交点，即函数g (x )＝f (1－x )－kx ＋k －12恰有3个不同零点，故选D.9．78 [命题立意]本题主要考查分层抽样的应用，意在考查学生的基本运算能力．[解析]设学校有高三学生x 人，则高二学生x ＋30人，∴x ＋(x ＋30)＋480＝1 290，解得x ＝390人，该样本中的高三人数为96480×390＝78人．10．(0,1] [命题立意]本题主要考查集合的运算，意在考查学生基本的计算能力．[解析]A ＝{x |x 2＋2x －3≤0}＝{x |－3≤x ≤1} B ＝{x ||x －1|<1}＝{x |0<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．11.2 [命题立意]本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，意在考查学生数形结合的能力．[解析]由ρ＝2cos θ＋2sin θ得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，故圆心M (1,1)，半径r ＝2，由⎩⎨⎧x ＝3＋t ，y ＝－1＋t ，(t 为参数)得x －y －4＝0，∵A 在圆M上，B 在直线x －y －4＝0上，∴|AB |min ＝d M －r ＝|1－1－4|12＋(－1)2－2＝ 2.12.6423π [命题立意]本题主要考查三视图和空间几何体的体积，意在考查学生的空间想象能力．[解析]由三视图知该几何体是一个底面腰长为22的等腰直角三角形，高为4的直三棱柱截去一个以上底面为底面，下底面直角顶点为顶点的三棱锥得到的几何体，其外接球的半径r ＝22＋22＝22，∴该几何体外接球的体积为43π(22)3＝6423π.13．14 [命题立意]本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积运算，意在考查学生数形结合的能力和计算能力．[解析]以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴建如图所示坐标系，则A (0,6)，B (0,0)，C (8,0)，|AC→|＝10＝|AD →|＝|CD →|，易得D (4＋33，43＋3)，AC →＝(8，－6)，∴AC →·BD→＝8(4＋33)－6(43＋3)＝14.14．114 [命题立意]本题主要考查有限制条件的排列、组合的综合应用，意在考查学生的逻辑思维能力．[解析]按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配有(C 24－1)A 33＝30种；若按3、2、1分配有C 12A 33＋(C 14C 23－2)A 33＝72种；若按2、2、2分配有2·A 33＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．15．[解题思路](1)由正弦定理和三角形内角和定理可求得cos B ，结合角B 的范围求出B ；(2)由三角形面积公式，求出ac ，再由余弦定理，配方求出a ＋c 的值；[解]∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得(2sin C －sin A )cos B ＝sin B cos A (2分) ∴2sin C cos B －sin A cos B ＝sin B cos A ，又∵A ＋B ＋C ＝π ∴2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C (4分) 又∵0<C <π ∴cos B ＝12，(6分) 又∵0<B <π，∴B ＝π3(7分)(2)由(1)得B ＝π3，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .(9分) 又S ＝12ac sin B ＝33，∴ac ＝12，(11分) 又∵b ＝13，∴a ＋c ＝7.(13分)16．[解题思路](1)根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论，(2)写出X 的所有可能取值，并求出相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望．[解](1)用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5，(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝23×23＋13×23×23＋23×13×23×23＝5681.(5分)(2)X 的可能取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2) ＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 1B 2)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29， P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081， P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.(9分) 故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.(13分)17．[解题思路](1)由CD 綊EF 得到四边形CDFE 为平行四边形，从而DF ∥CE ，由线面平行的判定定理得证DF ∥平面BCE ；(2)在平面ABEF 内，过A 作Az ⊥AB ，以A 为原点，AD 、AB 、Az 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出平面BCF 的一个法向量n 和平面ABF 的一个法向量v 的坐标，利用夹角公式求出二面角C —BF —A 的余弦值，进而用同角三角函数关系求出正弦值；(3)假设存在满足条件的点G ，设CG→＝λCE →，求出G 点坐标，从而得AG →的坐标，由AG →∥n 构造方程组，方程组无解，从而判断满足条件的点G 不存在．[解](1)证明：因为CD ∥EF ，且CD ＝EF ，所以四边形CDFE 为平行四边形，所以DF ∥CE ，因为DF ⊄平面BCE ，所以DF ∥平面BCE .(3分)(2)在平面ABEF 内，过A 作Az ⊥AB ，因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，又Az ⊂平面ABEF ，Az ⊥AB ，所以Az ⊥平面ABCD ，所以AD ⊥AB ，AD ⊥Az ，Az ⊥AB ，(4分) 如图建立空间直角坐标系A —xyz .由题意得，A (0,0,0)，B (0,4,0)，C (2,2,0)，E (0,3，3)，F (0,1，3)． 所以BC→＝(2，－2,0)，BF →＝(0，－3，3)． 设平面BCF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BC→＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0，－3y ＋3z ＝0. 令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，所以n ＝(1,1，3)． 平面ABF 的一个法向量为v ＝(1,0,0)，(6分) 则cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n ||v |＝55，sin 〈n ，v 〉＝255.所以二面角C —BF —A 的正弦值为255.(8分)(3)线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，理由如下：假设线段CE 上存在点G ，使得AG ⊥平面BCF ，设CG →＝λCE →，其中λ∈[0,1]． 设G (x 2，y 2，z 2)，则有(x 2－2，y 2－2，z 2)＝(－2λ，λ，3λ)， 所以x 2＝2－2λ，y 2＝2＋λ，z 2＝3λ，从而G (2－2λ，2＋λ，3λ)， 所以AG→＝(2－2λ，2＋λ，3λ)．(11分) 因为AG ⊥平面BCF ，所以AG →∥n . 所以有2－2λ1＝2＋λ1＝3λ3，(12分)因为上述方程无解，所以假设不成立．所以线段CE 上不存在点G ，使得AG ⊥平面BCF .(13分)18．[解题思路](1)由已知S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列构造方程解出公比q ，代入等比数列的通项公式和前n 项和公式可求出a n 与S n ；(2)由(1)求出b n ＝(－1)n n 2＋n2n ，前半部分利用分类法和等差数列求和公式求和，后半部分利用错位相减法和等比数列前n 项和公式求和．[解](1)∵S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， ∴2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4) ∴a 3＝4a 5，q 2＝14，q ＝－12，a n ＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，(3分) ∴S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.(4分)(2)b n ＝(－1)n n 2S n ＋n 2＋n 2n ＝(－1)n n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋n 2＋n 2n ＝(－1)n n 2＋n2n .(6分)设(－1)n n 2的前n 项和为H n ，n2n 的前n 项和为Q n ①当n 为偶数时，H n ＝－12＋22－32＋42＋…－(n －1)2＋n 2＝1＋2＋3＋4＋…＋n －1＋n ＝n 2＋n 2，Q n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ① 12Q n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1 ②①－②得，12Q n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴Q n ＝2－n ＋22n (8分)∴T n ＝H n ＋Q n ＝n 2＋n 2＋2－n ＋22n ＝n 2＋n ＋42－n ＋22n (9分) ②当n 为奇数时，H n ＝(n －1)2＋(n －1)2－n 2＝－n 2＋n 2， ∴Q n ＝2－n ＋22n (11分)∴T n ＝H n ＋Q n ＝－n 2＋n 2＋2－n ＋22n ＝－n 2＋n －42－n ＋22n (12分) 综合①②，∴T n＝⎩⎨⎧n 2＋n ＋42－n ＋22n ，n 为偶数，－n 2＋n －42－n ＋22n，n 为奇数.(13分)19．[解题思路](1)由e ＝32，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2构造方程组，解出a ，b 即可得椭圆方程；(2)设l 1的方程为y ＝kx －1代入椭圆方程，求出M 的坐标，可得|DM |，用1k 代替k ，可得|DN |，求出△DMN 的面积S ，可得S |k |，解不等式S |k |>169可得k 的取值范围．[解](1)设椭圆C 的半焦距为c ，则由题意得⎩⎨⎧c a ＝32，b ＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(4分)(2)由(1)知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1， 所以椭圆C 与y 轴负半轴交点为D (0，－1)． 因为l 1的斜率存在，所以设l 1的方程为y ＝kx －1.代入x 24＋y 2＝1，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋4k2，4k 2－11＋4k 2，(6分) 从而|DM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1＋4k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－11＋4k 2＋12＝8|k |k 2＋11＋4k 2.(7分) 用－1k 代替k 得|DN |＝8k 2＋14＋k 2.所以△DMN 的面积S ＝12·8|k |k 2＋11＋4k ×8k 2＋14＋k ＝32(k 2＋1)|k |(1＋4k )(4＋k ).(9分)则S|k |＝32(k 2＋1)(1＋4k 2)(4＋k 2)，(10分) 因为S |k |>169，即32(k 2＋1)(1＋4k 2)(4＋k 2)>169，整理得4k 4－k 2－14<0，解得－74<k 2<2，(12分) 所以0<k 2<2，即－2<k <0或0<k < 2.从而k 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．(14分)20．[解题思路](1)求导，由f ′(1)＝0构造方程求出a ；(2)由(1)将方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 化简，令g (x )＝x 2－3x ＋ln x ＋b (x >0)，求导，研究当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况，确定函数的最值，从而建立不等式组，即可求得结论；(3)设φ(x )＝ln x －14(x 2－1)，求导，根据函数的单调性得当x ≥2时，1ln x >2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x －1－1x ＋1，从而累加可得结论．[解](1)f ′(x )＝1－1x ＋a ，∵x ＝1是f (x )的一个极值点，∴f ′(1)＝0，即1－11＋a ＝0，∴a ＝0.(3分)(2)由(1)得f (x )＝x －ln x ，∴f (x )＋2x ＝x 2＋b 即x －ln x ＋2x ＝x 2＋b ，∴x 2－3x ＋ln x ＋b ＝0，(5分)设g (x )＝x 2－3x ＋ln x ＋b (x >0)，则g ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x＝(2x －1)(x －1)x.(6分) 由g ′(x )>0得0<x <12或x >1，由g ′(x )<0得12<x <1，∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)时，函数g (x )单调递增，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，函数g (x )单调递减，(7分)当x ＝1时，g (x )极小值＝g (1)＝b －2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b －54－ln2，g (2)＝b －2＋ln2， ∵方程f (x )＋2x ＝x 2＋b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上恰有两个不相等的实数根， ∴⎩⎨⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，g (1)<0，g (2)≥0.即⎩⎨⎧b －54－ln2≥0，b －2<0，b －2＋ln2≥0，解得54＋ln2≤b <2.(10分)(3)证明：∵k －f (k )＝ln k ，∴∑k ＝2n1k －f (k )>3n 2－n －2n (n ＋1).⇔1ln2＋1ln3＋1ln4＋…＋1ln n >3n 2－n －2n (n ＋1)(n ∈N ，n ≥2)设φ(x )＝ln x －14(x 2－1)，则φ′(x )＝1x －x 2＝2－x22x ＝－(x ＋2)(x －2)2x(11分) 当x ≥2时，φ′(x )<0，∴函数y ＝φ(x )在[2，＋∞)上是减函数， ∴φ(x )≤φ(2)＝ln2－34<0，∴ln x <14(x 2－1)．(12分) ∴当x ≥2时，1ln x >4x 2－1＝4(x ＋1)(x －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1－1x ＋1， ∴1ln2＋1ln3＋1ln4＋…＋1ln n>2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝3n 2－n －2n (n ＋1).∴原不等式成立．(14分)。

天津市耀华中学2018届高三年级第二次月考数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题故选B2. 已知命题：：函数在上为增函数，：函数在上为减函数，则在命题：，：，：和：中，真命题是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】是真命题，是假命题，∴：，：是真命题. 选C.3. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内的条件是（）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】框图首先赋值执行；判断框中的条件不满足，执行；判断框中的条件不满足，执行；判断框中的条件不满足，执行此时判断框中的条件满足，执行“是”路径，输出结果为16．由此看出，判断框中的条件应是选项C，即？．故选C．4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个半径为6的球的8分之一由球的半径可得故选B【点睛】本题考查由三视图还原几何体并求其求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．5. 在中，如果边，，满足，则（）A. 一定是锐角B. 一定是钝角C. 一定是直角D. 以上情况都有可能【答案】A【解析】已知不等式两边平方得，利用余弦定理为三角形的内角，，即一定是锐角．故选A6. 设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知可得，，，．考点：对数的大小比较．7. 平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】，在以为圆心的圆上，，两两夹角相等均为，，以为原点建立平面直角坐标系，设则在以为圆心，以1为半径的圆上，为的中点，设则的最大值为．故选D8. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题，令解得；令解得由此得函数在上是减函数，在上是增函数，故函数在处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（上的最小值解得又当时，，故有综上知故选C第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在答题纸上.9. 若集合，，则__________．【答案】【解析】则A∪故答案为【点睛】本题考查集合的基本运算，根据条件求出集合的等价条件是解决本题的关键．10. 曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】【解析】联立，得；∴曲线与直线，所围成的封闭图形的面积为即答案为11. 已知双曲线（，）的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】由题意得,所以双曲线的方程为12. 在极坐标系中，设是直线：上任意一点，是圆：上任意一点，则的最小值为__________．【答案】【解析】试题分析：化为直角坐标方程是，，，则圆心到直线的距离为，所以.考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2.点到直线的距离公式.13. 已知等差数列，若，，且，则公差__________．【答案】或【解析】若，①②②-①得（1）若，显然，则，解得，满足题意．（2）若，则又，得，．故答案为0或6．14. 两正数，满足，则的最大值为__________．【答案】.【解析】由题意得令，则，由，所以，所以，所以，当时，.点睛：本题考查了基本不等式的应用求最值问题，其中解答中涉及到基本不等式求解最值和利用导数研究函数的最值问题，试题有一定的难度，属于中档试题，解答中合理变形，转化为函数求解最值是解答的关键.三、解答题：本大题共6小题，共80分.将解答过程及答案填写在答题纸上.15. 设函数（）.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，的最大值为，求的值，并求出（）的对称轴方程.【答案】(1) （）为的单调递增区间;(2) 为的对称轴.【解析】试题分析：（1）求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.（2）求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方. ，（3）（2）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围；（4）求函数或的对称轴方程时，可以把看做整体，代入或相应的对称轴即可试题解析：（1）则的最小正周期，且当时单调递增．即为的单调递增区间（写成开区间不扣分）．（2）当时，当，即时．所以．为的对称轴．考点：三角函数的化简；求三角函数周期，最值，单调性及对称轴.16. 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树个2株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否互不影响，求移栽的株大树中：（Ⅰ）两种大树各成活株的概率；（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望.【答案】（1）所求概率为;(2) ，分布列见解析。