3.2圆的对称性习题(2课时)
- 格式:doc
- 大小:199.50 KB
- 文档页数:2
第4课时圆的对称性(二)(附答案)一、选择题1.下列三个命题:①圆既是轴对称图形,又是中心对称图形;②垂直于弦的直径平分这条弦;③相等圆心角所对的弧相等.其中是真命题的是( )A. ①②B.②③C.①③D.①②③2.弦MN把☉O分成两条弧,它们的度数比为4:5,如果T为MN的中点,那么∠MOT 的度数为( )A .1600B.800C.1000D.5003.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AB⊥BC,AB=2 cm,CD=4cm.以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点,且∠AOD=900,则圆心O到弦AD的距离是( )A. B cm C.D.4.圆的半径为13 cm,弦AB∥CD,AB=24 cm,CD=10 cm,则弦AB、CD之间的距离是( )A. 7 cm B.17 cm C.12 cm D.7 cm或17 cm二、填空题5.在直径为10 cm的☉O中,弦AB的长为8 cm,则点O到弦AB的距离为_________cm.6.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于E,如果AB=10,CD=8,那么AE的长为___________.7.如图,AB是半圆☉O的直径,E是BC的中点,OE交弦BC于点D.已知BC=8 cm,DE=2 cm,则AB的长为________cm.8.如图,水平放置的油管的截面半径为13 cm,其中有油部分油面宽AB为24 cm,则截面上有油部分油面高CD为__________ cm.三、解答题9.如图,线段AB交☉O于点C、D,如果AC=BD,那么OA与OB相等吗?请证明你的结论.10.如图,CD是☉O的直径,AB为弦,CD⊥AB于点E,且AB=24cm,CE=8 cm. 求☉O的半径.11.如图,点A、B是☉O上两点,AB=10,点P是☉O上的动点(点P与点A、B不重合),连接AP、PB,过点O分别作OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F.试问EF的长会变化吗?若变化,有什么规律? 若不变,求EF的长.12.某地有一座圆弧形拱桥,桥下水面宽度为7.2 m,拱顶高出水面2.4 m,现有一艘宽3 m、船舱顶部高出水面2 m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?写出你的结论,并说明理由。
2.2圆的对称性(2)班级: 姓名:一.学习目标1.经历运用对称变化探索并证明垂径定理的活动过程;2.运用垂径定理解决相关问题.二.自学指导1.如图,线段CD 是⊙O 的弦,AB 是⊙O 的直径,且AB ⊥CD ,垂足为P找一找,图中有哪些相等的线段?有哪些相等的弧?说说理由.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两.条.弧. 符号语言:三.自学检测1.如图,在⊙O 中,CD 是直径,AB 是弦,CD ⊥AB ,垂足为E .①若AB =8,⊙O 的半径为5,则OE =______,连接AD ,则AD =_________.②若DE =2,AB =8,则⊙O 的半径=________.B2.如图,⊙O的直径为10,弦AB的长是8,点P在AB上运动,则OP的取值范围是 .3.如图,AB、CD是⊙O的两条弦,AB//CD, AC和 BD相等吗?为什么?4. 如图,过⊙O内一点P画弦AB,使P是AB的中点.圆的对称性(2)当堂训练班级: 姓名:1. 如图,已知⊙O 的直径AB ⊥CD 于点E ,则下列结论一定错误的是( )A .CE =DEB .AE =OEC . BC= BD D .△OCE ≌△ODE(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)2.如图,若⊙O直径CD 垂直于弦AB ,垂足为E ,且CD =26,DE =8,.则OE =_______, AB =_______.3.如图,⊙O 的半径OC =6cm ,弦AB 垂直平分OC ,则AB = cm .4.如图,AB 、AC 是⊙O 的两条弦,AB ⊥AC ,且AB =8,AC =6.则⊙O 的半径= .5.如图,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ,判断并说明AC 与BD 的数量关系.6.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3,BC =4,以点C 为圆心,CA 为半径的圆与AB 交于点D ,则AD 的长为 .A。
第三章圆第二节圆的对称性精选练习一、单选题1.(2021·全国九年级课时练习)下列说法中,正确的是()A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等,所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角,弦,弧之间的关系判断,注意条件.【详解】A中,等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆;B中,等弧所对应的弦相等,故选BC中,圆心角相等所对应的弦可能互补;D中,弦相等,圆心角可能互补;故选B【点睛】本题考查了圆心角,弧,弦之间的观,此类试题属于难度较大的试题,其中,弦和圆心角等一些基本知识容易混淆,从而很难把握.2.(2021·全国九年级课时练习)下列说法中,不正确的是()A.圆是轴对称图形B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴C.圆的任意一条直径都是圆的对称轴D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项,然后求解即可.【详解】A 、圆是轴对称图形,正确;B 、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴,正确;C 、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴,错误;D 、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴,正确,故选:C .【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征,注意,语言要严密,不能说成圆的直径就是圆的对称轴,因为对称轴是一条直线,直径是线段.3.(2021·全国九年级课时练习)下列说法:①直径是弦;②长度相等的两条弧是等弧;③圆是中心对称图形;④任何一条直径都是圆的对称轴,其中说法正确的有( )个A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】根据圆的性质依次判断即可得到答案.【详解】①直径是圆中最长的弦,故正确;②在同圆或等圆中,能够完全重合的两条弧是等弧,故②错误;③圆是中心对称图形,故正确;④任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,故④错误,正确的有2个,故选:B.【点睛】此题考查圆的性质,正确掌握弦、等弧的定义,圆的对称性是解题的关键.4.(2020·杭州市建兰中学九年级月考)如图,AB 是圆O 的直径,点C 是半圆O 上不同于,A B 的一点,点D 为弧AC 的中点,连结,,OD BD AC ,设,CAB BDO b a Ð=Ð=,则( ).A .a b=B .290a b °+=C .290a b °+=D .45a b °+=【答案】C利用等腰三角形边角关系表示出∠AOD ,再根据同圆中平分弧平分弦垂直弦求出关系即可.【详解】解析 如图,设AC 与DO 交点为E ,连接BC ,OD OB = ,OBD BDO a \Ð=Ð=,2DOA OBD BDO a \Ð=Ð+Ð=,又D Q 为 AC 中点,AB 为O e 直径,,OD AC BC AC \^^,90AED ACB °\Ð=Ð=,90EAO EOA °\Ð+Ð=,即:290a b °+=.故选C .【点睛】此题考查了垂径定理中同圆中平分弧平分弦垂直弦,等边对等角等有关知识点,难度一般.5.(2020·西安益新中学九年级期末)如图,AB 是O e 的直径,弧BC 、弧CD 与弧DE 相等,36COD Ð=°,则AOE Ð的度数是( )A .30°B .36°C .54°D .72°【答案】D【分析】由弧BC 、弧CD 与弧DE 相等,得36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°,即可求AOE Ð.解:∵弧BC 、弧CD 与弧DE 相等,∴36COB COD EOD Ð=Ð=Ð=°,18036372AOE Ð=°-°´=°,故选:D .【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系,解题关键是熟知在同圆和等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.6.(2021·全国九年级课时练习)如图,已知:AB 是O e 的直径,C 、D 是 BE上的三等分点,60AOE Ð=o ,则COE Ð是( )A .40oB .60oC .80oD .120o【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°,再运用“等弧对等角”即可解.【详解】∵∠AOE=60°,∴∠BOE=180°-∠AOE=120°,∴»BE的度数是120°,∵C 、D 是»BE上的三等分点,∴弧CD 与弧ED 的度数都是40度,∴∠COE=80°,故选C.【点睛】本题主要考查圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.7.(2021·全国九年级课时练习)如图,⊙O 中,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,F 为 CBD的中点,连接AF 、BF 、AC ,A F 交CD 于M ,过F 作FH ⊥AC ,垂足为G ,以下结论:① CFDF =;②HC =BF :③MF =FC :④ DF AH BF AF +=+,其中成立的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据弧,弦,圆心角之间的关系,圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可.【详解】解:∵F为CBD的中点,∴CF DF=,故①正确,∴∠FCM=∠FAC,∵∠FCG=∠ACM+∠FCM,∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC,∴∠AME=∠FMC=∠FCG>∠FCM,∴FC>FM,故③错误,∵AB⊥CD,FH⊥AC,∴∠AEM=∠CGF=90°,∴∠CFH+∠FCG=90°,∠BAF+∠AME=90°,∴∠CFH=∠BAF,∴=,CF BF∴HC=BF,故②正确,∵∠AGF=90°,∴∠CAF+∠AFH=90°,∴+=180°,AH CF∴+=180°,CH AF∴+=+=+=+,故④正确,AH CF AH DF CH AF AF BF故选:C.【点评】本题考查圆心角,弧,弦之间的关系,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考选择题中的压轴题.8.(2019·武汉市梅苑学校九年级月考)如图AB 为⊙O 的定直径,过圆上一点C 作弦CD AB ^,OCD Ð的平分线交⊙O 于点P ,当点C (不包括A ,B 两点)在⊙O 上移动时,点P ( )A .到CD 的距离保持不变B .位置不变C .等分弧DBD .随C 点移动而移动【答案】B【分析】连OP ,由CP 平分∠OCD ,得到∠1=∠2,而∠1=∠3,可得2=3,ÐÐ所以有//OP CD ,则OP ⊥AB ,即可得到OP 平分半圆APB .从而可得答案.【详解】解:连OP ,如图,∵CP 平分∠OCD ,∴∠1=∠2,OC=OP ,\ ∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴//OP CD ,又∵弦CD ⊥AB ,∴OP ⊥AB ,∴OP 平分半圆APB ,即点P 是半圆的中点.故选:B .【点睛】本题考查了角平分线的定义,平行线的判定,等腰三角形的性质,圆的对称性,掌握以上知识是解题的关键.二、填空题9.(2021·全国九年级课时练习)半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆,AB=BC,连结OB、OC,延长CO 交弦AB于D,若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为______________.【答案】【分析】如图1,当∠DOB=90°时,推出△BOC是等腰直角三角形,于是得到=;如图2,当∠ODB=90°时,推出△ABC是等边三角形,解直角三角形得到BC=AB=.【详解】如图1,当∠DOB =90°时,∴∠BOC=90°∴△BOC是等腰直角三角形∴=^如图2,当∠ODB=90°时,即CD AB∴ AD=BD∴ AC=BC∵ AB=BC∴△ABC是等边三角形∴∠DBO=30°∵ OB=5∴BD==∴ BC=AB=.综上所述:若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为.故答案为:.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心,等边三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,正确的作出图形是解题的关键.10.(2021·全国九年级课时练习)如图,AB是⊙O的直径,AD DE=,AB=5,BD=4,则cos∠ECB=__.【答案】3 5【分析】连接AD,BE,根据直径所对的圆周角是直角,构建两个直角三角形,再利用等弧所对的圆周角相等得:∠ABD=∠CBE,根据等角的余角相等得:∠ECB=∠DAB,最后利用等角的三角函数得出结论.【详解】解:连接AD, BE,AD DE=,∴EBC DBAÐ=Ð,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=∠ADB=90°,∴∠ECB+∠EBC=90°,∠DBA+∠DAB=90°,∴∠ECB =∠DAB .AB =5,BD =4 ,3AD \==, ∴3cos cos 5ECB DAB Ð=Ð=.【点睛】本题考查了圆周角定理,解直角三角形,余角的性质,以及勾股定理等知识.掌握圆周角的两个定理:①在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.这两个性质在圆的证明题中经常运用,要熟练掌握.11.(2021·全国九年级课时练习)如图,A 、D 是⊙O 上的两点,BC 是直径,若∠D =32°,则∠OAC =_______度.【答案】58【分析】根据∠D 的度数,可以得到∠ABC 的度数,然后根据BC 是直径,从而可以得到∠BAC 的度数,然后可以得到∠OCA 的度数,再根据OA=OC ,从而可以得到∠OAC 的度数.【详解】解:∵∠D=32°,∠D=∠ABC∴∠ABC=32°∵BC 是直径∴∠BAC=90°∴∠BCA=90°-∠ABC=90°-32°=58°∴∠OCA=58°∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=58°故答案为58.【点睛】本题考查了圆周角定理,圆心角、弧、弦的关系.解题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.12.(2021·上海九年级专题练习)一根横截面为圆形的下水管的直径为1米,管内污水的水面宽为0.8米,那么管内污水深度为__________米.【答案】0.8或0.2.【分析】构造垂径定理,分两种情形求得弦心距,从而得到水深.【详解】如图所示,作AB 的垂直平分线,垂足为E ,根据题意,得 AO=0.5,AE=0.4,根据勾股定理,得,∴水深ED=OD-OE=0.5-03=0.2(米)或水深ED=OD+OE=0.5+03=0.8(米),∴水深为0.2米或0.8米.故答案为:0.2米或0.8.【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,解答时,构造垂径定理,活用分类思想是解题的关键.三、解答题13.(2021·全国九年级课时练习)如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且PA=PC.求证:AB CD=.【答案】证明见解析【分析】连接AC、OA、OB、OC、OD,根据等腰三角形的性质得到∠PAC=∠PCA,根据圆周角定理得到∠BOC=∠AOD,根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论.【详解】证明:连接AC、OA、OB、OC、OD,∵PA=PC,∴∠PAC=∠PCA,∵∠PAC12=∠BOC,∠PCA12=∠AOD,∴∠BOC=∠AOD,∴AD BC=n n,∴AD BD BC BD-=-,即AB CD=.【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.14.(2021·全国九年级课时练习)如图,在⊙O中,弦AD与BC交于点E,且AD=BC,连接AB、CD.求证:(1)AB=CD;(2)AE =CE .【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【分析】(1)欲证明AB=CD ,只需证得 AB = CD ;(2)连接AC ,由 AB = CD得出∠ACB=∠CAD ,再由等角对等边即可证的AE =CE.【详解】证明:(1)∵AD =BC∴ AD = BC∴ AD -AC = BC - AC 即 AB = CD∴AB =CD(2)连接AC∵ AB = CD∴∠ACB =∠DAC∴AE =CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系,注意(2)中辅助线的作法是求解(2)的关键.15.(2020·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级期中)如图,在O e 中, AC CB=,CD OA ^于点D ,CE OB ^于点E .(1)求证:CD CE =;(2)若120AOB Ð=°,2OA =,求四边形DOEC 的面积.【答案】(1)证明见解析;(2【分析】(1)如图,连接OC ,先证明,AOC BOC Ð=Ð再证明:,CDO CEO V V ≌从而可得结论;(2)由120AOB Ð=°,2OA =,求解60AOC Ð=°,再利用三角函数求解,OD CD , 利用,CDO CEO V V ≌从而可得四边形的面积.【详解】(1)证明:如图,连接OC ,AC BC= , ,AOC BOC \Ð=Ð,,CD OA CE OB ^^90CDO CEO \Ð=Ð=°,,OC OC =(),CDO CEO AAS \V V ≌.CD CE \=(2)120,AOB Ð=60AOC BOC \Ð=Ð=°,2OA OC == ,1cos 6021,sin 6022OD OC CD OC \=°=´==°==g g ,CDO CEO V V ≌12212CDO CDOE S S \==´´=V 四边形【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质,圆的基本性质,两条弧,两个圆心角,两条弦之间的关系定理,解直角三角形的应用,四边形的面积,掌握以上知识是解题的关键.。
第2节圆的对称性1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程.2.理解圆的中心对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.3.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.1.经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2.培养学生独立探索、相互合作交流的精神.1.结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育.2.渗透圆的内在美,并使得学生在小组合作中尝试交流,在“做数学”中体会数学的严谨性.【重点】理解并掌握圆的对称性及圆心角、弧、弦之间的相等关系.【难点】应用圆心角、弧、弦之间的相等关系定理解决有关问题.【教师准备】多媒体课件和教学圆规.【学生准备】1.复习圆心角、弧、弦等概念以及旋转的有关知识.2.圆规和自制圆形纸片.导入一:同学们,通过上节课的学习我们对圆已经有了初步的认识,圆与我们的生活有着密切的联系.请欣赏下面一些生活中美丽的图案,让我们一起走进圆的美丽世界.课件出示:【引入】因为有圆,万物才显得富有生机,我们的生活才会如此的美好!这些图案蕴含着一种对称美,你知道圆是什么样的对称图形吗?[设计意图]从美丽和谐的图案出发,发现圆的对称美的同时,开门见山引入新课,具有明显对比的图片非常容易激发学生的兴趣和引起学生的共鸣,提高了学生的学习兴趣,同时也让学生体会到数学来源于生活,增强学好本节课的信心.导入二:我们已经学习了几何图形的对称性,圆是什么对称图形?请说明理由.[设计意图]通过问题的形式,直入正题,让学生对本节课的探究内容一目了然.[过渡语]我们已经了解了一些几何图形的对称性,既有轴对称图形,也有中心对称图形,那么圆是什么对称图形呢?课件出示:如图所示,圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?思路一猜想【学生活动】学生凭借经验猜想:圆是轴对称图形,有无数条对称轴的结论.教师引导学生思考:圆的对称轴是直径还是直径所在的直线?【教师点评】圆是轴对称图形,有无数条对称轴,对称轴是直径所在的直线.思路二折纸【学生活动】学生交流后,想到可以利用折叠的方法,解决上述问题.学生利用自制的圆形纸片边动手实验,边思考把一个圆对折以后,圆的两部分重合,折痕是一条过圆心的直线,由于过圆心可以作无数条直线,这样便可知圆有无数条对称轴.师出示折叠示意图:【学生活动】学生观察分析这些对称轴的特点,发现它们都经过圆心.[过渡语]通过上面的实验,我们探索了圆的轴对称性,下面我们继续通过实验探索圆是不是中心对称图形.【想一想】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,还能与原来的图形重合吗?【学生活动】学生利用准备好的圆,同伴合作,共同操作完成,交流得出结论.【师生小结】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.【教师点评】一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合的性质就是圆的旋转不变性;而圆的中心对称性是其旋转不变性的一个特例.圆是中心对称图形,对称中心为圆心.[设计意图]问题可以激发学生学习数学的兴趣,而兴趣又是最好的老师.通过设计一连串的问题情境容易引发学生学习和探究的兴趣,在动手操作中既复习圆的意义,又探索出圆的对称性.【做一做】在等圆☉O和☉O'中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A'O'B'(如图所示),将两圆重叠、并固定圆心,然后将其中一个圆旋转一个角度,使得OA与O'A'重合,你能发现哪些等量关系?说一说你的理由.【活动方式】分小组进行实验操作,小组之间交流.【师生活动】教师巡视、指导学生,等学生完成后,请各小组组长汇总,展示结果,教师板书.思路一旋转能使∠AOB和∠A'O'B'完全重合,从而可以得到OA=OB=O'A'=O'B',∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A',AB=A'B',=,是通过证明△AOB≌△A'O'B'得到的.思路二由两圆旋转可知:点A与点A'重合,点B与点B'重合,所以=,AB=A'B'(叠合法).【学生小结】在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.【问题】你能对圆心角、弧、弦之间的相等关系进行证明吗?【学生活动】学生先独立解答,然后互相讨论交流.代表展示:证明:∵半径OA与O'A'重合,∠AOB=∠A'O'B',∴半径OB与O'B'重合.∵点A与点A'重合,点B与点B'重合,∴与重合,弦AB与弦A'B'重合.∴=,AB=A'B'.【议一议】上面的结论,在同圆中成立吗?【学生活动】学生思考、猜想后得出肯定的结论.【教师点评】圆心角、弧、弦之间相等关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相【想一想】(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?(2)在同圆或等圆中,如果两条弦相等,你能得出什么结论?【学生活动】学生思考、猜想后得出结论,然后互相交流、讨论,统一想法.【教师活动】要求学生说明得出的结论的理由.(证明△AOB≌△A'O'B'或叠合法)【师生总结】在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【教师强调】注意事项:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件.(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这三个概念和“所对”一词的含义,否则易错用此关系.[设计意图]“学起于思,思起于疑,无疑则无知”,所以通过让学生提出疑难,再解决疑难的方式来理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理的含义,从而引发出圆心角、弧、弦之间相等关系定理的如图所示,AB,DE是☉O的直径,C是☉O上的一点,且=.BE与CE的大小有什么关系?为什么?〔解析〕通过观察可以猜想BE=CE.因为BE与CE都是☉O的弦,要证明弦相等,可证明弦所对的弧相等,因为=,又=,继而可得=.解:BE=CE.理由是:∵∠AOD=∠BOE,∴=.又∵=,∴=.∴BE=CE.【议一议】在得出本节结论的过程中,你用到了哪些方法?与同伴进行交流.【学生活动】学生思考后进行交流,得出本节课采用的方法:折叠、轴对称、旋转、推理证明等.[设计意图]本环节主要是通过例题透析,训练学生的知识综合应用能力,使其在巩固应用的基础上,拓展知识面,培养他们的概括、推理能力.1.圆的对称性:轴对称图形和中心对称图形.2.圆心角、弧、弦之间的关系:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.1.下列命题中,正确的是()A.圆只有一条对称轴B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴解析:圆有无数条对称轴,每条对称轴都是直径所在的直线.故选D.2.若圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,则优弧所对的圆心角为()A.45°B.90°C.135°D.270°解析:如图所示,∵圆的一条弦把圆分成度数比为1∶3的两条弧,∴∠AOB∶大角∠AOB=1∶3,∴大角∠AOB=360°×=270°.故选D.3.如图所示,已知AB是☉O的直径,==,∠BOC=40°,那么∠AOE等于()A.40°B.60°C.80°D.120°解析:∵==,∠BOC=40°,∴∠BOE=3∠BOC=120°,∴∠AOE=180°-∠BOE=60°.故选B.(第4题图)4.如图所示,直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合,若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°,交AD于点E,则∠DEF=.解析:由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°,即∠BOF=120°,得∠COF=180°-∠BOF=60°,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠COF=60°.故填60°.2圆的对称性1.圆的对称性.(1)圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.(2)圆是中心对称图形,对称中心为圆心.2.圆心角、弧、弦之间相等关系定理.(1)在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.一、教材作业【必做题】1.教材第72页随堂练习第1,2,3题.2.教材第72页习题3.2第1,2题.【选做题】教材第73页习题3.2第3题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在☉O中,∠B=37°,则劣弧AB的度数为()A.106°B.126°C.74°D.53°2.如图所示,在☉O中,=,∠A=30°,则∠B等于()A.150°B.75°C.60°D.15°3.如图所示,=,若AB=3,则CD=.4.如图所示,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠AOC=40°,D是弧BC的中点,则∠ACD=.【能力提升】5.如图所示,AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,若BC=CD=DA=4cm,则☉O的周长为()A.5πcmB.6πcmC.9πcmD.8πcm6.(2014·菏泽中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠A=35°,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,则的度数为.7.如图所示,=,D,E分别是半径OA和OB的中点,CD与CE的大小有什么关系?为什么?【拓展探究】8.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且=.若∠AOD=110°,求的度数.【答案与解析】1.A(解析:连接OA,∵OA=OB,∠B=37°,∴∠A=∠B=37°,∠O=180°-2∠B=106°.)2.B(解析:在☉O中,∵=,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠C.又∠A=30°,∴∠B==75°.故选B.)3.3(解析:∵=,∴-=-,即=,∴CD=AB=3.)4.125°(解析:连接OD,∵AB是☉O的直径,∠AOC=40°,∴∠BOC=140°,∠ACO=70°,∵D是弧BC的中点,∴∠COD=70°,∴∠OCD=55°,∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°.)5.D(解析:如图所示,连接OD,OC.∵AB是☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴☉O的周长=2×4π=8π(cm).故选D.)6.70°(解析:∵∠C=90°,∠A=35°,∴∠B=55°,连接CD,∵CB=CD,∴∠BDC=55°,∴∠BCD=70°.∴的度数为70°.)7.解:CD=CE.理由如下:如图所示,连接OC,∵D,E分别是OA,OB的中点,∴OD=OE,又∵=,∴∠DOC=∠EOC,又OC=OC,∴△CDO≌△CEO,∴CD=CE.8.解:如图所示,连接OC.∵∠AOD=110°,∴∠DOB=70°.又∵=,∴∠COD=∠DOB=70°,∴∠AOC=∠AOD-∠COD=110°-70°=40°,∴的度数为40°.本节课首先利用课件出示生活中的圆形图片,利用圆的对称美引入新课,极大地活跃了课堂气氛,激发了学生学习的积极性.然后在课堂上可以先给学生留有充足的动手实验和思考的时间,在学生探究完成后利用多媒体进行动态演示,使探究的结论更加直观形象.同时,通过学生自己动手体验知识的形成过程,使学生获得成功的体验,使他们的观察、分析、归纳等能力都得到了进一步提升.本节课学生操作和自主学习的时间较多,所以教学时间不太容易把握,造成不能顺利完成课堂教学任务.合理安排时间,对于有些学生感觉有难度的知识点,可以通过小组交流讨论,这样既可以增强交流的意识,又节约了时间.随堂练习(教材第72页)1.解:如碗口、圆桌、方向盘等.2.解:如图所示.答案不唯一.3.解:四边形OACB是菱形.理由如下:如图所示,∵C是的中点,∴=.又∵∠AOB=120°,∴∠AOC=∠BOC=60°.∵OA=OC=OB,∴△AOC和△BOC都是等边三角形.∴OA=OB=AC=BC.∴四边形OACB是菱形.习题3.2(教材第72页)1.解:△ABC与△DCB全等.理由如下:∵AB=DC,BC=CB,∴=,∴AC=DB.∴在△ABC与△DCB中,AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB(SSS).2.解:(1)OE=OF.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,OA=OB,OC=OD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∠EOB=∠AOB,∠FOD=∠COD,∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,∵在△EOB和△FOD中,∠OEB=∠OFD,∠EOB=∠FOD,OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),∴OE=OF.(2)AB=CD,=,∠AOB=∠COD.理由如下:∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴∠OEB=∠OFD=90°,∵在Rt△BEO和Rt△DFO中,OB=OD,OE=OF,∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL),∴BE=DF,同理,AE=CF,∴AB=CD,∴=,∠AOB=∠COD.3.解:=.理由如下:连接OC,∵OD∥AC,∴∠BOD=∠A,∠ACO=∠COD.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BOD=∠COD,∴=.1.本节课的重点是通过实验探究出圆的对称性,并利用对称性总结归纳出圆心角、弧、弦之间的相等关系,所以动手操作是学生探究学习的重点.2.让学生在课前预习的同时准备好本节课所需要的学具;在探究的过程中,要亲身体验实验过程,切记眼高手低,要在与同伴一起的操作过程中深刻理解圆的对称性,并对所探究出的结论进行及时总结,得出一般性的结论.3.要注意类比、转化、数形结合思想在探究过程中的运用.。
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-2圆的对称性》同步达标测试题(附答案)一.选择题(共10小题,满分50分)1.下列说法正确的是()A.等弧所对的弦相等B.平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧C.相等的弦所对的圆心角相等D.相等的圆心角所对的弧相等2.下列命题是真命题的是()A.相等的弦所对的弧相等B.圆心角相等,其所对的弦相等C.在同圆或等圆中,圆心角不等,所对的弦不相等D.弦相等,它所对的圆心角相等3.如图,AB,CD是⊙O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是()A.32°B.60°C.68°D.64°4.如图,AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,则⊙O的周长为()A.5πcm B.6πcm C.9πcm D.8πcm5.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,则下列结论正确的是()A.AB=AD B.BC=CD C.D.∠BCA=∠DCA6.如图,AB是圆O的直径,BC、CD、DA是圆O的弦,且BC=CD=DA,则∠BCD等于()A.100°B.110°C.120°D.135°7.如图,AB是⊙O的弦(AB不是直径),以点A为圆心,以AB长为半径画弧交⊙O于点C,连接AC、BC、OB、OC.若∠ABC=65°,则∠BOC的度数是()A.50°B.65°C.100°D.130°8.如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=34°,则∠AEO的度数是()A.51°B.56°C.68°D.78°9.如图,四边形ABCD内接于半圆O,AB为直径,AB=4,AD=DC=1,则弦BC的长为()A.3.5B.2C.D.10.如图D、A、C、B为⊙O上的点,DC=AB,则AD与BC的大小关系是()A.AD>BC B.AD=BC C.AD<BC D.不能确定二.填空题(共5小题,满分30分)11.如图所示,四边形AB∥CD,AD=DC=DB=p,BC=q,则AC=(用p、q表示).12.弦AB分圆为1:3两部分,则劣弧所对圆心角为.13.一条弦把圆分成1:3两部分,则弦所对的圆心角为度.14.如图,在⊙O中,,∠A=40°,则∠B=度.15.在半径为9cm的圆中,60°的圆心角所对的弦长为cm.三.解答题(共5小题,满分40分)16.已知锐角∠POQ,如图,在射线OP上取一点A,以点O为圆心,OA长为半径作,交射线OQ于点B,连接AB,分别以点A,B为圆心,AB长为半径作弧,交于点E,F,连接OE,EF.(1)证明:∠EAO=∠BAO;(2)若OE=EF.求∠POQ的度数.17.如图,MB,MD是⊙O的两条弦,点A,C分别在,上,且AB=CD,M是的中点.(1)求证:MB=MD;(2)过O作OE⊥MB于点E,当OE=1,MD=4时,求⊙O的半径.18.已知:如图,C,D是以AB为直径的⊙O上的两点,且OD∥BC.求证:AD=DC.19.如图所示,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,且点B是劣弧DF的中点.(1)求证:△EBD≌△EBF;(2)已知AE=1,EB=5,∠DEB=30°,求CD的长.20.如图,已知AB、CD为⊙O的两条弦,,求证:AB=CD.参考答案一.选择题(共10小题,满分50分)1.解:A、正确.本选项符合题意.B、错误.应该是平分弦(此弦非直径)的直径垂直弦并平分弦所对的弧,本选项不符合题意.C、错误,必须在同圆或等圆中,本选项不符合题意.D、错误.必须在同圆或等圆中,本选项不符合题意.故选:A.2.解:A、B、D结论若成立,都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件,所以A、B、D 错误;故选:C.3.解:∵=,∴∠BOD=∠AOE=32°,∵∠BOD=∠AOC,∴∠AOC=32°∴∠COE=32°+32°=64°.故选:D.4.解:如图,连接OD、OC.∵AB是⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,若BC=CD=DA=4cm,∴==,∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°.又OA=OD,∴△AOD是等边三角形,∴OA=AD=4cm,∴⊙O的周长=2×4π=8π(cm).故选:D.5.解:A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴AB与AD不一定相等,故本选项错误;B、∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴=,∴BC=CD,故本选项正确;C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴与不一定相等,故本选项错误;D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定,故本选项错误.故选:B.6.解:连接OC、OD,∵BC=CD=DA,∴∠COB=∠COD=∠DOA,∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°,∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°,∴∠BCD=×2(180°﹣60°)=120°.故选:C.7.解:由题意可得:AB=AC,∵∠ABC=65°,∴∠ACB=65°,∴∠A=50°,∴∠BOC=100°,故选:C.8.解:如图,∵==,∠COD=34°,∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°,∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°.又∵OA=OE,∴∠AEO=∠OAE,∴∠AEO=×(180°﹣78°)=51°.故选:A.9.解:如图,连AC、BD,过D作DE⊥AC于E.∴∠ADB=∠ACB=90°,∠ABD=∠CAD.∵BD==.∵AD=DC=1,∴∠DAC=∠DCA,∵∠DCA=∠ABD,cos∠CAD=cos∠ABD==.∴AE=AD•cos∠CAD=,∴AC=2AE=,∴BC==.故选:A.10.解:∵DC=AB,∴=,∴=,∴AD=BD.故选:B.二.填空题(共5小题,满分30分)11.解:延长CD交半径为p的⊙D于E点,连接AE.显然A、B、C在⊙D上.∵AB∥CD∴=,∴BC=AE=q.在△ACE中,∠CAE=90°,CE=2p,AE=q,故AC==.故答案为:.12.解:设弦AB分圆的两部分别为x,3x,∴x+3x=360°,解得:x=90,则劣弧所对圆心角为90°.故答案为:90°13.解:∵一条弦把圆分成1:3两部分,∴整个圆分为四等分,则劣弧的度数为360°÷4=90°,∴弦所对的圆心角为90°.14.解:∵,∴AB=AC,∵∠A=40°,∴∠B=∠C=(180°﹣∠A)÷2=70°.15.解:由题意知,设圆心为O,60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A,B,则△AOB 是等边三角形,∴AO=AB=OB=9cm.三.解答题(共5小题,满分40分)16.(1)证明:连接AE、OE、OF,如图所示,由题意得:OB=OE=OA,AE=AB,∴∠EAO=∠AEO,∠BAO=∠ABO,,∴∠AOE=∠AOB,∴∠EAO=∠BAO;(2)解:∵OE=OF,OE=EF,∴OE=OF=EF,∴∠EOF=60°,∵AE=BF=AB,∴,∴∠AOE=∠BOF=∠AOB,∴∠POQ=∠EOF=20°.17.(1)证明:∵AB=CD,∴=,∵M是的中点,∴=,∴=,∴BM=DM.(2)解:如图,连接OM.∵DM=BM=4,OE⊥BM,∴EM=BE=2,∵OE=1,∠OEM=90°,∴OM===,∴⊙O的半径为.18.证明:连接OC,如图,∵OD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3,又∵OB=OC,∴∠B=∠3,∴∠1=∠2,∴AD=DC.19.解:(1)连接OD、OF,∵B是劣弧DF的中点.∴,∴,∴BD=BF,∠DBE=∠EBF,在△EBD和△EBF中,∵,∴△EBD≌△EBF(SAS);(2)∵AE=1,EB=5,∴AB=6,∵AB是⊙O的直径,∴OD=OA=3,OE=3﹣1=2,过O作OG⊥CD于G,则CD=2DG,∵∠DEB=30°,∠EGO=90°,∴OG=OE=1,由勾股定理得:DG===2,∴CD=2DG=4.20.解:∵,∴,即:,∴AB=CD.。
《圆的对称性》教学设计圆的对称性是义务教育课程标准实验教科书(北师版)《数学》九年级下册第三章第二节内容,本章主要研究圆的性质及与圆有的关的应用;本节要求.理解圆的轴对称性及其相关性质;利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。
圆是一种特殊图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时,学生通过前面的学习,能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
【知识与能力目标】1.理解圆的轴对称性及其相关性质;2.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
【情感态度价值观目标】培养学生独立探索,相互合作交流的精神。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。
多媒体课件第一环节课前准备活动内容:(提前一天布置)1.每人制作两张圆纸片(最好用16K打印纸)2.预习课本P88~P92内容活动目的:通过第1个活动,希望学生能利用身边的工具去画图,并制作图纸片,培养学生的动手能力;在第2个活动中,主要指导学生开展自学,培养良好的学习习惯。
实际教学效果:1.学生在制作图纸片时,有时可能没有将圆心标出来,老师要对其进行启发引导,找出圆心。
2.预习提纲,要简明扼要,学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。
第二环节创设问题情境,引入新课活动内容:教师提出问题:轴对称图形的定义是什么?我们是用什么方法研究了轴对称图形?学生回忆并回答。
活动目的:通过教师与学生的互动,一方面使学生能较快进入新课的学习状态,另一方面也提高学生的学习的兴趣,让他们带着问题去学习,揭开了探究该节课内容的序幕。
实际教学效果:1.由于学生在七年级学习了轴对称图形的内容。
滕州市南沙河中学“学教2:1”导学案1.了解圆的中心对称性及旋转不变性,掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理.2.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.学习过程:一、温故1.下列命题中,正确的有( )A .圆只有一条对称轴B .圆的对称轴不止一条,但只有有限条C .圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴D .圆有无数条对称轴,经过圆心的每条直线都是它的对称轴2.如图⊙O 的半径为5cm,弦AB=8cm,则圆心O 到弦AB 的距离(即弦心距)为 .二、知新自学课本P 102--P 104,完成下列各题: 1.圆是图形,对称中心为 .2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 .B '3.在同圆或等圆中,如果两个圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?你是怎么想的?如果弦相等呢?你能得出什么结论?D4.例题探究 如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为E 、F . (1)如果∠AOB=∠COD ,那么OE 与OF 的大小有什么关系?为什么?(2)如果OE=OF ,那么AB 与CD 的大小有什么关系?•为什么?弧AB 与弧CD 的大小有什么关系?∠AOB 与∠COD 呢?三、达标1.如果两条弦相等,那么( )A .这两条弦所对的弧相等BC .这两条弦的弦心距相等D 2.如图,在⊙O 中, AC=BD,∠1=30°,则∠2=__________. 3. 一条弦把圆分成1:3两部分,则劣弧所对的圆心角为4.如图,AB 、CD 为⊙0的两条弦,AB=CD.求证:∠AOC=∠BOD.四、拓展如图,弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ,直线PAB 经过圆心O ,请你根据现有图形,添加一个适当的条件: ,使∠1=∠2.︵ ︵。
D
C
B
A
O
3.2 圆的有关概念与垂径定理
1、下列命题:(1)弦的垂直平分线经过圆心:(2)平分弦的直径垂直于弦;(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径。
其中错误的命题有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
2、如图,AB 为⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于E ,
已知CD=12,BE=2,则⊙O 的直径为( )
A 8
B 10
C 16
D 20
3、过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ,最短弦为8cm 那么OM 长为( ) A 9cm B 5cm C 6cm D 3cm
4、在⊙O 中,AB 是直径,CD 为弦,CD ⊥AB 于M ,则下列四个结论:①CM=DM,②AC=AD,③ DB
BC =,④∠C=∠D 其中成立的有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 第2题 第4题 第5题 5、如图,已知⊙O 的半径为cm 6,两弦AB 与CD
垂直相交于E ,若cm CE 3=,cm DE 9=,则AB( ) A .cm 6 B .cm 33 C .cm 3 D .cm 36 6、在⊙O 中,弦AB 长为cm 8,圆心到弦AB 的距离为cm 3,则⊙O 半径长为 cm
7、在⊙O 中,AB 是弦,C 是AB 的中点,延长OC
交⊙O 于D .若CD OC =,则AOB ∠的度数是 8、圆的两互相平行的弦长分别8cm 1和4cm 2,又两弦之间距离为cm 3,则圆的半径长是
9、如图,有一圆弧形桥拱,拱形的半径m 10=OA ,桥拱的距度16=AB m ,则拱高_____=CD m.
10、已知:在⊙O 中,弦cm 12=AB ,O 点到AB 的距离等于AB 的一半,求:AOB ∠的度数和圆的半径.
11、如图所示,⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ,已知AE=6cm ,EB=2cm ,∠CEA =30°,求CD 。
12、如图,AB 是⊙O 的弦(非直径),C 、D 是AB 上两点,并且AC=BD.试判断OC 与OD 的数量关系并说明理由.
13、如图所示,已知AB 为⊙O 的直径,CD 是弦,且AB ⊥CD 于点E 。
连接AC 、OC 、BC 。
(1)求证:∠ACO=∠BCD 。
(2)若EB=8cm ,CD=24cm ,求⊙O 的面积。
O E
D
C B A
E D
B A O C
3.2圆心角 弧 弦 弦心距之间的关系
1.下列说法:①等弧的度数相等;②等弧的长度相等;③度数相等的两条弧是等弧;④长度相等的两条弧是等弧,其中正确的有( ). A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
2.在半径为5cm 为圆中,有一条长为6cm 的弦,则圆心到此弦的距离为( ).
A .3cm
B .4cm
C .5cm
D .6cm 3.在⊙O 中,弦AB 把⊙O 分成度数的比为1∶5的两条弧,则
的度数是( ).
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
4、弦AB 把⊙O 分成两条弧,它们的度数比为4∶5,M 为AB 中点,则∠AOM =( ).
A .50°
B .80°
C .100°
D .160°
5、在⊙O 中,AB 、CD 是弦,OE 、OF 是AB 、CD 的弦
心距,若AB <CD ,则OE 、OF 的大小关系是( ). A .OE <OF B .OE =OF C .OE >OF D .无法确定 6.直径为20cm 的圆中,有一条长为310cm 的弦,则这条弦所对的圆心角的度数是___________,这条弦的弦心距是___________.
7.在⊙O 中,AB 是弦,∠OAB =50°,则弦AB 所对的圆心角的度数是___________,弦AB 所对的两条弧的度数是___________.
8.在⊙O 中,AB 和CD 是两条平行弦,且AB 、CD 所对的圆心角分别是120°、60°,⊙O 的半径为6cm ,则AB 、CD 之问的距离是___________. 9、如图⊙O 的半径OP =10cm ,弦AB 过OP 中点Q ,且∠OQB =45°,则弦AB 的弦心距是___________cm ,弦AB 的长为___________
10、如图,OA 、OB 是⊙O 的两条半径,P 是的中点,
点C 是OA 的中点,点D 是OB 的中点, 求证:PC =PD .
11.如图,AB 、CD 是⊙O 的直径,弦AE ∥CD ,连结CE 、BC ,求证:BC =CE .(用两种方法加以证明)
12.如图7-37,在□ABCD 中,以A 为圆心,AB 为半径作圆,交AD 、BC 于F 、G ,延长BA 交⊙A 于E ,且∠B =65°,求
的度数.
13.如图,AB 是⊙O 的直径,点E 、F 分别是OA 、OB
的中点,且EC ⊥AB ,FD ⊥AB ,EC 、FD 交⊙O 于C 、
D 两点,求证:
=.。