数列倒序相加、错位相减、分组求和

数列求和的根本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法〔合并法求和〕 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个根本方法。

数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的根底. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的根本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1]3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 〔利用常用公式〕＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n 〔利用常用公式〕 ∴1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②〔设制错位〕 ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- 〔错位相减〕再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②〔设制错位〕 ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS 〔错位相减〕∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-〔反序〕又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..……..②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-〔反序相加〕 ∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②〔反序〕又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 〔反序相加〕)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 函数〔1〕证明：；〔2〕求的值.解：〔1〕先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 〔2〕利用第〔1〕小题已经证明的结论可知， 两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n 〔分组〕 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + 〔分组求和〕当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132〔分组〕＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n 〔分组求和〕 ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔1〕)()1(n f n f a n -+= 〔2〕n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔3〕111)1(1+-=+=n n n n a n 〔4〕)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 〔5〕])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 〔7〕)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=〔8〕n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111〔裂项〕则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n 〔裂项求和〕＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n 〔裂项〕∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n 〔裂项求和〕＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+〔裂项〕 ∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S 〔裂项求和〕 ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法〔合并法求和〕针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° ∵)180cos(cosn n --= 〔找特殊性质项〕∴S n ＝ 〔cos1°+ cos179°〕+〔 cos2°+ cos178°〕+〔cos3°+ cos177°〕+···+〔cos89°+ cos91°〕+ cos90° 〔合并求和〕＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a 〔找特殊性质项〕 ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++〔合并求和〕＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，假设103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+〔找特殊性质项〕 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=〔合并求和〕＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个〔找通项及特征〕 ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n 〔分组求和〕 ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n 〔找通项及特征〕＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n 〔设制分组〕＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n 〔裂项〕∴∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n 〔分组、裂项求和〕 ＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 提高练习：1．数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2 ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； 2．设二次方程n a *2-n a +1*+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数列倒序相加、错位相减、分组求和数列倒序相加、错位相减、分组求和一．选择题（共 2 小题）1．（2014 秋?葫芦岛期末）已知函数 f（x）=x 的图象过点（4，2），令an= n∈N ，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（ A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．2 * a，）﹣12．（2014 春?池州校级期末）已知函数 f（x）=x ?cos（xπ），若 an=f（n）+f（n+1），则 ai=（） A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015 二．填空题（共 8 小题）3．（2015 春?温州校级期中）设，若 0＜a＜1，则（ f a） +f （1﹣a） = ，= 4．（2011 春?启东市校级月考）Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1） S100+S200+S301= ． 5．（2010?武进区校级模拟）数列{an}满足．n+1?n，则，a1=1，Sn 是{an}的前 n项和，则 S21= n 6．（2012?新课标）数列{an}满足 an+1+ （﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为． n * 7．（2015?张家港市校级模拟）已知数列{an}满足 a1=1，an+1?an=2 （n∈N ），则 S2012= ． n * 8．（2009?上海模拟）在数列{an}中，a1=0，a2=2，且 an+2﹣an=1+（﹣1）（n∈N ），则 s100= ． 9．（2012?江苏模拟）设数列{an}的前 n 项和为|a1|+|a2|+…+|an|= ．．，则10．（2013 春?温州期中）等比数列{an}中，若a1= ，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|an|=三．解答题（共 15 小题） 11．在数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+…+|an| 2 12．（2010?云南模拟）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=25n﹣2n ．（1）求证：{an}1/ 14是等差数列．（2）求数列{|an|}的前 n 项和 Tn． 13．已知在数列{an}中，若 an=2n﹣3+ ，求 Sn．第 1 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 14．（2014?海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x +…+nx 15．求下列各式的值：2 3 n n2n﹣1．（1）（2﹣1）+（2 +2）+（2 ﹣3）+…+[2 +（﹣1） n]； 2 3 n （2）1+2x+4x +6x +…+2nx ． 16．（2010 春?宁波期末）在坐标平面内有一点列 An（n=0，1，2，…），其中 A0（0，0）， n An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段 AnAn+1 所在直线的斜率为 2 （n=0，1，2，…）．（1）求 x1，x2 （2）求出数列{xn}的通项公式 xn （3）设数列{nxn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn． 2 17．（2013 秋?嘉兴期末）已知等差数列{an}的公差大于 0，a3，a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{bn}的前 n 和 Sn．218．（2014 秋?福州期末）已知等比数例{an}的公比 q＞1， a1， a2 是方程 x ﹣3x+2=0 的两根，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2n?an}的前 n 项和 Sn． 19．（2011 春?孝感月考）求和：Sn=（x+ ） +（x + 20．（2014 春?龙子湖区校级期中）求数列{n×2 2）+…+（x +2n）．2}前 n 项和 Sn．21．（2011 秋?文水县期中）已知数列{an}中，an=2n﹣33，求数列{|an|}的前 n 项和 Sn． n 22．数列{an}中，an=n?2 ，求 Sn． n 23．已知数列{an}中，an=（2n﹣1）?3 ，求 Sn． 2 2 3 4 3 4 5 6 24．求数列 1，a+a ，a +a +a ，a +a +a +a ，…的前 n 项和 Sn． 25．已知数列{an}中，，试求数列{an}的前 n 项之和 Sn．第 2 页（共 13 页）3/ 14数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一．选择题（共 2 小题） 1．（2014 秋?葫芦岛期末）已知函数 f（x）=x 的图象过点（4，2），令an= n∈N ，记数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S2015=（） A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1 a 【解答】解：函数 f（x）=x 的图象过点（4，2）， a 则：4 =2，解得：a= ，所以：f（x）= 则： = = ，，* a，则：Sn=a1+a2+...+an = = 则：故选：D．，，2．（2014 春?池州校级期末）已知函数 f（x）=x ?cos （xπ），若 an=f（n）+f（n+1），则 ai=（） A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015 2 【解答】解：∵函数 f（x）=x ?cos（xπ），若an=f（n）+f（n+1），∴ ai=（a1+a3+a5+...+a2013）+（a2+a4+a6+...+a2014）2=（3+7+11+...+4027）﹣（5+9+13+ (4029)=﹣2×1007 =﹣2014．故选：B．二．填空题（共 8 小题）第 3 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 3．（2015 春?温州校级期中）设，若 0＜a＜1，则 f（a）+f（1﹣a）= 1 ，=1007 ．【解答】解：∵ ∴当 0＜a＜1 时， f（a）+f （1﹣a）= +，=+=+=1，故故答案为：1，1007．=1007×1=1007，4．（2011 春?启东市校级月考）Sn=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1） ?n，则S100+S200+S301= 1 ．【解答】解：由题意可得， S100=1﹣2+3﹣4+…99﹣100=﹣50，S200=1﹣2+3﹣4+…+199﹣200= ﹣100 s301=1﹣2+3﹣4+…+299﹣300+301=﹣150+301=151 ∴s100+s200+s301=﹣50﹣100+151=1 故答案为：1． 5．（2010?武进区校级模拟）数列{an}满足项和，则 S21= 6 【解答】解：∵ ∴a1=a3，a3+a4=a4+a5 ∴a1=a3=a5=…=a2n﹣1，即奇数项都相等∴a21=a1=1 ∴S21=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）+a21 =10× +1 =6．答案：6． 6．（2012?新课标）数列{an}满足 an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前 60 项和为【解答】解：∵ ∴第 4 页（共 13 页）nn+1，a1=1，Sn 是{an}的前 n，a1+a2=a2+a3，1830．，5/ 14令 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则 bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n ﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=bn+16 ∴数列{bn}是以 16 为公差的等差数列，{an}的前60 项和为即为数列{bn}的前15 项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10 ∴ =1830n *7．（2015?张家港市校级模拟）已知数列{an}满足 a1=1， an+1?an=2（n∈N ），则 S2012= 3×21006 ﹣3 ． n * 【解答】解：∵数列{an}满足 a1=1，an?an+1=2 ，n∈N ∴n=1 时，a2=2， n n﹣1 ∵an?an+1=2 ，∴n≥2 时，an?an ﹣1=2 ，∴ =2，∴数列{an}的奇数列、偶数列分别成等比数列，∴S2012= 故答案为：3×21006+ ﹣3 ．=3×21006﹣3．8．（2009?上海模拟）在数列{an}中，a1=0，a2=2，且 an+2﹣an=1+（﹣1）（n∈N ），则 s100= 2550 ．【解答】解：据已知当 n 为奇数时，an+2﹣an=0?an=0，当n 为偶数时，an+2﹣an=2?an=n，，n*S100=0+2+4+6+…+100=0+50× 故答案为：2550=2550．9．（2012?江苏模拟）设数列{an}的前n 项和为，则|a1|+|a2|+…+|an|= ．\left\{\begin{array：．10．（2013 春?温州期中）等比数列{an}中，若 a1= ，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|an|= \frac{1}{2} ．【解答】解：∵a1= ，a4=﹣4，﹣4= ×q ，解得 q=﹣2 即数列{an}是以为首项，以﹣2 为公比的等比数列则数列{|an|}是以为首项，以 2 为公比的等比数列32n﹣1﹣故|a1|+|a2|+…+|an|= 故答案为：2n﹣1=2n﹣1﹣﹣三．解答题（共 15---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小题）11．在数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，求：|a1|+|a2|+…+|an| 【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣18，an+1=an+2，∴{an}是首项为﹣18，公差为 2 的等差数列，∴an=﹣18+（n﹣1）×2=2n﹣20，由 an=2n﹣20≥0，n≥10，设{an}的前 n 项和为 Sn，当n≤10 时，|a1|+|a2|+…+|an|=﹣Sn=﹣[﹣18n+ 当 n＞10 时，：|a1|+|a2|+…+|an|=Sn﹣2S10 2 =n ﹣19n+180．∴|a1|+|a2|+…+|an|= ． ]=﹣n +19n．212．（2010?云南模拟）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=25n﹣2n ．（1）求证：{an}是等差数列．（2）求数列{|an|}的前 n 项和 Tn．【解答】解：（1）证明：①n=1 时，a1=S1=23． 2 2 ②n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=（25n﹣2n ）﹣[25（n﹣1）﹣2（n﹣1） ]=27﹣4n，而 n=1第 6 页（共 13 页）27/ 14适合该式．于是{an}为等差数列．（2）因为 an=27﹣4n，若 an ＞0，则 n＜，，当1≤n≤6 时，Tn=a1+a2+an=25n﹣2n ，当n≥7 时，Tn=a1+a2++a6﹣（a7+a8++an） 2 =S6﹣（Sn﹣S6）=2n ﹣25n+156，综上所知．213．已知在数列{an}中，若 an=2n﹣3+ 【解答】解：数列{an}中，若 an=2n﹣3+ 数列， Sn=（﹣1+1+3+5+…+（2n﹣3））+（，求 Sn．，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的…+）=+=n （n﹣2）+1﹣ =n ﹣2n+1﹣2．14．（2014?海淀区校级模拟）求和：Sn=1+2x+3x +…+nx 【解答】解：当 x=0 时，Sn=1；当 x=1 时，Sn=1+2+3+…+n=22n﹣1．；n﹣1当x≠1，且x≠0 时，Sn=1+2x+3x +…+nx 23 n xSn=x+2x +3x +…+nx ．② 2 3 n﹣1 n （1﹣x）Sn=1+x+x +x +…+x ﹣nx = ，，①x=0 时，上式也成立，∴ ．x≠1．第 7 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∴Sn=．15．求下列各式的值： 2 3 n n （1）（2﹣1）+（2 +2）+（2 ﹣3）+…+[2 +（﹣1） n]； 2 3 n （2）1+2x+4x +6x +…+2nx ．【解答】解：（1）当 n 为奇数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1） n= 当 n 为偶数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1） n= ，2 3 n n+1 n n﹣n=﹣，又∵2+2 +2 +…+2 +=2 3=2﹣2，n n记 Sn=（2﹣1）+（2 +2）+（2 ﹣3）+…+[2 +（﹣1） n]，∴Sn= （2）记Sn=1+2x+4x +6x +…+2nx ，2 3 n；则当 x=1 时，Sn=1+2+4+6+…+2n=1+2? 当x≠1 时，xSn=x+2x +4x +…+2nx ，2 3 n n+1 ∴（1﹣x）Sn=1+x+2（x +x +…+x ）﹣2nx =1+x+2? ﹣2nxn+1 2 3 n+1=n +n+1；2，∴Sn=+2?﹣；综上所述，Sn=．16．（2010 春?宁波期末）在坐标平面内有一点列 An（n=0，1，2，…），其中 A0（0，0）， n An（xn，n）（n=1，2，3，…），并且线段 AnAn+1 所在直线的斜率为 2 （n=0，1，2，…）．（1）求 x1，x2 （2）求出数列{xn}的通项公式 xn （3）设数列{nxn}的前 n 项和为 Sn，求 Sn． 0 【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线 A0A1 的斜率为 2 =1，第 8 页（共 13 页）9/ 14∴x1=1 直线 A1A2 的斜率为 2，，∴ （2）当n≥1 时，An（xn，n），An+1（xn+1，n+1），∴ ，累加得：检验当 n=1 时也成立，∴ （3），令 bn=2n，对应的前 n 项和 Tn=n（n+1）令，两式相减得：∴ ∴17．（2013 秋?嘉兴期末）已知等差数列{an}的公差大于 0，a3，a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，求数列{bn}的前 n 和 Sn．22【解答】解（1）∵a3，a5 是方程 x ﹣14x+45=0 的两根，且数列{an}的公差 d＞0，2 解方程 x ﹣14x+45=0，得 x1=5，x2=9，∴a3=5，a5=9，┅（2 分）∴ ，解得┅（4 分）∴an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1┅（6 分）第 9 页（共 13 页）---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （2）∵an=2n﹣1，∴ ∴ ┅（8 分）┅（9 分）∵┅（11 ┅（13 分）分）∴数列{bn}的前 n 项和：┅（14 分）18．（2014 秋?福州期末）已知等比数例{an}的公比 q＞1， a1， a2 是方程 x ﹣3x+2=0 的两根，（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{2n?an}的前 n 项和 Sn． 2 【解答】解：（1）方程 x ﹣3x+2=0 的两根分别为 1、2，…（1 分）依题意得 a1=1，a2=2，…（2 分）所以q=2，…（3 分）所以数列{an}的通项公式为 an=2 ；…（4 分） n （2）由（1）知 2n?an=n?2 ，…（5 分） 2 n 所以Sn=1×2+2×2 +…+n×2 ，① 2 3 n n+1 2?Sn=1×2 +2×2 +…+（n﹣1）?2 +n×2 ，② 由①﹣②得： 2 3 n n+1 ﹣Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n×2 ，…（8 分）即﹣Sn= ﹣n×2n+1 n﹣12，…（11 分）所以 Sn=2+（n﹣1）?2n+1…（12 分）2 219．（2011 春?孝感月考）求和：Sn=（x+ ） +（x + 【解答】解：当x=±1 时，∵（x +n）+…+（x +2n）．2） =4，∴Sn=4n，2当x≠±1 时，∵an=x +2+2 4 2n，∴Sn=（x +x ++x ）+2n+（2n+++）=++2n第 10 页（共 13 页）11/ 14=+2n，所以当x=±1 时，Sn=4n；当x≠±1 时，Sn= +2n．20．（2014 春?龙子湖区校级期中）求数列{n× 【解答】解：∵数列{n× ∴ Sn=①﹣②，得： Sn= }前 n 项和 Sn．}前 n 项和 Sn．，①…（3 分），②…．（6 分）=﹣=1﹣∴Sn=2…（10 分）…（13 分）21．（2011 秋?文水县期中）已知数列{an}中，an=2n﹣33，求数列{|an|}的前 n 项和 Sn．【解答】解：令 an=2n﹣33＞0，解得 n＞，所以当n≤16 时，an＜0，又 a1=2﹣33=﹣31，则数列{|an|}的前 n 项和 Sn=﹣当n≥17 时，an＞0，则数列{|an|}的前 n 项和 Sn=S16+Sn﹣16= + =n ﹣32n+512，2=﹣=32n﹣n ；2综上，Sn=．22．数列{an}中，an=n?2 ，求 Sn． 2 3 n 【解答】解法一：Sn=1?2+2?2 +3?2 +…+n?2 ， 2 3 4 n+1 2Sn=1?2 +2?2 +3?2 +…+n?2 ， 2 3 n n+1 两式相减可得，﹣Sn=2+2 +2 +…+2 ﹣n?2第 11 页（共 13 页）n---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ =﹣﹣n?2n+1化简可得 Sn=2+（n﹣1）?2 ． n n+1 n 解法二、由 an=n?2 =（n﹣1）?2 ﹣（n﹣2）?2 ， 4 可得 Sn=[0﹣（﹣1）?2]+[1?8﹣0]+[2?2 ﹣1?8]+… ﹣ n n 1 n+1 n +[（n﹣2）?2 ﹣（n﹣3）?2 ]+[（n ﹣1）?2 ﹣（n﹣2）?2 ] n+1 =2+（n﹣1）?2 ． 23．已知数列{an}中，an=（2n﹣1）?3 ，求 Sn． n 【解答】解：∵an=（2n﹣1）?3 ，2 3 n ∴Sn=3+3×3 +5×3 +…+（2n﹣1）?3 ，2 3 4 n n+1 ∴3Sn=3 +3×3 +5×3 +…+（2n﹣3）?3 +（2n﹣1）?3 ，∴﹣2Sn=3+2×3 +2×3 +…+2×3 ﹣（2n﹣1）?3 ﹣2n）×3 ﹣6，n+1 ∴Sn=（n﹣1）×3 +3． 24．求数列 1，a+a ，a +a +a ，a +a +a +a ，…的前 n 项和 Sn．【解答】解：由题意知当 a=1 时，当a≠1 由等比数列的求和公式，得：= ∴ ，﹣（a+a +…+a3 2n﹣1 2 2 3 4 3 4 5 6 n+1 2 3 n n+1 nn+1=﹣3﹣（2n﹣1）×3n+1=（2，，）] ，①当a≠±1 时，[]．②当 a=﹣1 时， = 当 n 为奇数时，当 n 为偶数时，综上，得：当 a=1 时，．．﹣，，第 12 页（共 13 页）13/ 14当 a=﹣1 时，．当a≠±1 时，[]．25．已知数列{an}中，，试求数列{an}的前 n 项之和 Sn．【解答】解：（1）当 n 为奇数时，其中有2项为偶数项，项为奇数项，（1 分）偶数项是以 b1=9 为首项，q=3 =9 的等比数列，故偶数项的和奇数项是以c1=2×1﹣1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，故奇数项的和则{an}的前 n 项之和，（7 分）（n 为奇数）（8 分）（5 分）（2）当 n 为偶数时，其中有项为偶数项，为奇数项，（9 分）故偶数项的和，（11 分）奇数项的和则{an}的前 n 项之和，（12 分）﹣（n 为偶数）．（14 分）第 13 页（共 13 页）。

数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。

2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。

3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。

4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。

5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。

6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。

7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。

以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。

例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。

3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。

对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cosn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k个个 （找通项及特征） ∴ 11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(911321 个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝8)31(4+⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；。

高中数学常见数列求和的方法训练（裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加、奇偶并项）【题组一裂项相消】1．（2020·沭阳县修远中学高二月考）数列{}n a的通项公式n a =n 项的和为11，则n=________。

2．（2020·河南高二月考）已知等差数列{}n a 中，13212a a +=，12421a a a +=+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：121112123n S S S n +++<+++L ；3．已知公差不为0的等差数列{}n a 中22a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使1415n S <的n 的最大值。

练习1已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2347n n S a n =+-。

（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；（2）若()()1211n n n n a b a a +-=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ；2.已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n ，n ∈N *．（1）判断数列{a n －2n －1}是否是等比数列，并求{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(2n －1)2n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ；【题组二错位相减】1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n 。

(1)设b n ＝12n n a -.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和；2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，2121a a =+。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()214n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和n R ；3．设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且满足2d =-，476S =.等比数列{}n b 满足1310b b +=，2420b b +=。

数列求和的五种方法数列求和主要有以下几种方法 一：利用等差和等比的求和公式 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1、【2019 全国二（文）】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．例2、【2019 北京（文）】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-． 二：倒序相加此方法比较简单，等差数列的前n 项和就是利用倒序相加得到的。