数列倒序相加,错位相减,分组求和

高考数学专题——数列（求S n ）求s n 的四种方法总结常考题型：共5种大题型（包含倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法、并项求和法。

1、倒序相加法：实质为等差数列求和。

例1、【2019·全国2·文T18】已知{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1=2,a 3=2a 2+16. (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a n .求数列{b n }的前n 项和.【解析】(1)设{a n }的公比为q,由题设得2q 2=4q+16,即q 2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{a n }的通项公式为a n =2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n =(2n-1)log 22=2n-1,因此数列{b n }的前n 项和为1+3+…+2n-1=n 2. 2、错位相减法：实质为等差×等比求和。

错位相减法的万能公式及推导过程：公式：数列c n =(an +b )q n−1，(an +b )为等差数列，q n−1为等比数列。

前n 项和S n =(An +B )q n +C A =a q −1，B =b −Aq −1，C =−B S n =(a +b )+(2a +b )q +(3a +b )q 2+⋯[(n −1)a +b ]q n−2+(an +b )q n−1 ① qS n =(a +b )q +(2a +b )q 2+(3a +b )q 3+⋯[(n −1)a +b ]q n−1+(an +b )q n ② ②-①得：(q −1)s n =−(a +b )−a (q +q 2+⋯q n−1)+(an +b )q n=−(a +b )−a ⋅q(1−q n−1)1−q+(an +b )q n=(an +b −aq−1)q n −(b −aq−1)S n =(aq −1⋅n +b −a q −1q −1)⋅q n −b −aq −1q −1例2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即21112a a q a q =+.所以220,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-.可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-1(2)=(2).3n n n ---⨯-所以1(31)(2)99nn n S +-=-. 例3、【2020年高考全国III 卷理数】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解析】（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①② 得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+例4、【2020届辽宁省大连市高三双基测试数学】已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列.（I ）求12,a a 的值；（Ⅱ）试求数列{}n a 的前n 项和n S .【解析】（Ⅰ）方法一：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列 21221a a ∴=⨯ 214a a ∴=又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列 2121122a a ∴-=,解得1228a a =⎧⎨=⎩方法二：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公比为2的等比数列,1112,n n a n a n+∴=1(1)2n n n a a n ++∴=.①又2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成公差为1的等差数列, 11122n nn na a ++∴-=② 由①②解得：2nn a n =⋅1228a a =⎧⎨=⎩ （Ⅱ）1122,1n n n a a n -=⋅= 2n n a n ∴=⋅123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+1231222322n n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ 234121222322n n S n +∴=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得：23122222n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅()1212212n n n n S +-=-⋅--1(1)22n n n S +=⋅---, 1(1)22n n S n +∴=-⋅+.例5、【2020届江西省吉安市高三上学期期末数学】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，121n n a S +-=．（I ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若3log n n b a =，数列2221n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：12nT <．【解析】（I ）当1n =时，由11a =，2121a a -=得23a =；当2n ≥时，121n n a S --=，两式相减得()1120n n n n a a S S +----=， 即13n n a a +=(2)n ≥，又2133a a ==， 故13n n a a +=恒成立，则数列{}n a 是公比为3的等比数列，可得13-=n n a ． （Ⅱ）由（I ）得313log log 31n n n b a n -===-，则22211111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-⋅+-+⎝⎭，则111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 1021n >+ 11112212n ⎛⎫∴-< ⎪+⎝⎭ 故12n T <例6、【2017·天津·理T18】已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2. 所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8.①由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1,上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8.得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 例7、【2020·石家庄模拟】设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由2S n ＝3a n －1，① 得2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②，得2a n ＝3a n －3a n －1， 所以a n a n －1＝3(n ≥2)，又2S 1＝3a 1－1，2S 2＝3a 2－1， 所以a 1＝1，a 2＝3，a 2a 1＝3， 所以{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)由(1)得，b n ＝n3n －1，所以T n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，③13T n ＝131＋232＋…＋n －13n －1＋n 3n ，④ ③－④得，23T n ＝130＋131＋132＋…＋13n －1－n 3n ＝1－13n1－13－n 3n ＝32－2n ＋32×3n ，所以T n ＝94－6n ＋94×3n . 3、裂项相消法：实质为a n =b n (n+a )形式的求和。

数列求和的七种方法技巧包括：
1. 公式法：适用于等差数列、等比数列等基本数列的求和，可以直接使用求和公式进行计算。

2. 倒序相加法：将数列倒序排列，然后与原数列相加，得到一个常数列，再除以2得到原数列的和。

3. 错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，通过错位相减的方式将原数列转化为等比数列，再利用等比数列的求和公式进行计算。

4. 裂项相消法：将数列中的每一项都拆分成两个部分，使得中间项相互抵消，从而求得数列的和。

5. 分组法：将数列中的项进行分组，然后分别求和，最后得到整个数列的和。

6. 乘公因式法：适用于具有公因式的数列，将公因式提取出来，然后进行求和。

7. 构造法：通过构造新的数列或方程，将原数列的求和问题转化为其他形式的问题进行求解。

以上是数列求和的七种方法技巧，可以根据具体情况选择适合的方法进行计算。

高中数学数列求和题解题方法技巧数列求和的七种解法1.公式法：顾名思义就是通过等差、等比数列或者其他常见的数列的求和公式进行求解。

2.倒序相加：如果一个数列{an}，与首末两端等“距离”的两项和相等或者等于同一个常数，则求该数列的前n项和即可用倒序相加法。

例如等差数列的求和公式，就可以用该方法进行证明。

3.错位相减：形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}为等差数列，首项为b1，公差为d；{Cn}为等比数列，首项为c1，公比为q。

对数列{An}进行求和，首先列出Sn，记为①式；再把①式中所有项同乘等比数列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，记为②式；然后①②两式错开一位作差，从而得到{An}的前n项和。

这种数列求和方式叫做错位相减。

4.裂项相消：把数列的每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只剩下首尾几项，再进行求和，这种数列求和方式叫做裂项相消。

5.分组求和：有一类数列，既不是等差，又不是等比，但若把这个数列适当的拆开，就会分成若个等差，等比或者其他常见数列(即可用倒序相加，错位相减或裂项相消求和的数列)，然后分别求和，之后再进行合并即可算出原数列的前n项和。

6.周期数列：一般地，若数列{an}满足：存在一个最小的正整数T，使得an+T=an对于一切正整数n都成立，则数列{an}称为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期，接下来根据数列的周期性进行求和。

7.数学归纳法：是一种重要的数学方法，其对求数列通项，求和的归纳猜想证明起到了关键作用。

高中数学解题方法实用技巧1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。

具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。

③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。

④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。

数列的常见求和方法
数列求和的七种方法：倒序相加法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、乘公比错项相减（等差×等比）、公式法、迭加法。

1、倒序相加法
倒序相乘法如果一个数列{an}满足用户与首末两项等“距离”的两项的和成正比(或等同于同一常数)，那么谋这个数列的前n项和，需用倒序相乘法。

2、分组求和法
分组议和法一个数列的通项公式就是由几个等差或等比或可以议和的数列的通项公式共同组成，议和时需用分组议和法，分别议和而后相乘。

3、错位相减法
错位二者加法如果一个数列的各项就是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积形成的，那么这个数列的前n项和需用此法xi，例如等比数列的前n项和公式就是用此法推论的。

4、裂项相消法
裂项二者消法把数列的通项切割成两项之差，在议和时中间的一些项可以相互抵销，从而求出其和。

5、乘公比错项相减（等差×等比）
这种方法就是在推论等比数列的'前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用作谋数列{an×bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别就是等差数列和等比数列。

6、公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和sn可以轻易用等差、等比数列的前n项和公式展开解。

运用公式解的注意事项：首先必须特别注意公式的应用领域范围，确认公式适用于于这个数列之后，再排序。

7、迭加法
主要应用于数列{an}满足用户an+1=an+f(n)，其中f(n)就是等差数列或等比数列的条件下，可以把这个式子变为an+1-an=f(n)，代入各项，获得一系列式子，把所有的式子提至一起，经过整理，纡出来an，从而算出sn。

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加） ∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序） 又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和） ＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 （7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和） ＝)111(8+-n ＝18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项） ∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++ （合并求和） ＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征） ∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和） ＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和） ＝418)4131(4⋅++⋅＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列；2．设二次方程n a x 2-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。

几种常见数列求和方法的归纳本文介绍了几种常见数列求和方法。

首先是公式法，适用于等差、等比数列求和，其中等差数列的求和公式为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列的求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

其次是倒序相加法，适用于数列距离首尾项距离相同的两项相加和相同的情况。

分组求和法是把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

裂项相消法是把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项，常用于分式求和。

最后是错位相减法，适用于等差数列乘以等比数列的通项求和。

当$a=1$时，$S_n=1+2+3+。

+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。

当$a\neq1$时，$S_n=\dfrac{2(1-a^n)}{1-a}$。

合并求和法：如求$1002-992+982-972+\cdots+22-12$的和。

这个和可以看作是两个数列的前$n$项和的差，其中一个数列为$1002,982,962,\cdots,22$，公差为$-20$，另一个数列为$992,972,952,\cdots,12$，公差为$-20$。

因此，所求和为$\dfrac{(1002+12)(501)-500\cdot20}{2}=5050$。

已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\dfrac{n^2+n}{2}$，$n\in \mathbb{N}^*$。

1)求数列$\{a_n\}$的通项公式；$a_n=n$。

2)设$b_n=2n+(-1)^na_n$，求数列$\{b_n\}$的前$2n$项和。

$T_{2n}=2(1+2+\cdots+2n)+a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}=n(2n+1)+n^2=n^2+3n$。

分类讨论求和：1）分奇偶项：奇数项是一个数列，偶数项又是一数列。

（分组求和法的变通）。

例：已知数列$\{a_n\}$的通项$a_n=\begin{cases}6n-5&(n\text{为奇数})\\2&(n\text{为偶数})\end{cases}$，求其前$n$项和$S_n$。

数列求和的五种方法数列求和主要有以下几种方法 一：利用等差和等比的求和公式 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 5、 213)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1、【2019 全国二（文）】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=．解得2q =-（舍去）或q =4．因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=．（2）由（1）得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=L ．例2、【2019 北京（文）】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列， 所以()()()23248106a a a +=++． 所以2(22)(43)d d d -+=-+． 解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-． 二：倒序相加此方法比较简单，等差数列的前n 项和就是利用倒序相加得到的。

1分组求和法:就是将数列的项分成二项，而这两项往往是常数或是等差（比）数列，它们的和当然就好求了。

例如：求1/2+3/4+7/8+9/16+......+(2^n-1)/(2^n)的话，可以将通项(2^n-1)/(2^n)写成1-2^(-n)这样就变成每一项都是1-X （X为通项）的公式对于通项-2^(-n)是一个等比数列，这个你就可以直接套用公式了2数列累加法逐差累加法例3 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由递推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, …an-an-1=2n-1将以上n-1个式子相加可得an=a1+2+22+23+24+…+2n-1=1+2+22+23+…+2n-1=2n-1注：对递推公式形如an+1=an+f(n)的数列均可用逐差累加法求通项公式，特别的，当f(n)为常数时，数列即为等差数列。

逐商叠乘法例4 已知a1=1, an=2nan-1(n≥2)求an解：当n≥2时，=22, =23, =24, (2)将以上n-1个式子相乘可得an=a1.22+3+4+…+n=2当n=1时，a1=1满足上式故an=2 (n∈N*)注：对递推公式形如an+1an=g(n)的数列均可用逐商叠乘法求通项公式，特别的，当g (n)为常数时，数列即为等比数列3裂项求和：当一项可以拆时需要注意是否为了考察裂项求和，最有名的就是分数：1/2+1/6+1/12+……+1/n*（n+1）可拆为1-1/2+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……+（1/n-1/（n+1））然后你会发现从-1/2 到1/n全部能想消掉，故只剩下首项和末项。

4倒序相加：最简单的是等差数列用倒序相加求和：1到9 1+9=10 2+8=10。

所以便有首项加末项乘以项数除以二。

1+1/1*2+1/2*3+1/3*4+...+1/99*100=1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/99-1/100) (裂项）=1+1-1/2+1/2-1/3+...-1/99+1/99-1/100 (消元）=2-1/100=199/100一、基本概念：1、数列的定义及表示方法：2、数列的项与项数：3、有穷数列与无穷数列：4、递增（减）、摆动、循环数列：5、数列{an}的通项公式an：6、数列的前n项和公式Sn:7、等差数列、公差d、等差数列的结构：8、等比数列、公比q、等比数列的结构：二、基本公式：三、9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=四、10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

数列求和数列求和的常见方法有：1、 公式法：（1）等差等比数列的求和公式，（2）22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ 2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含n (-1)因式，周期数列等等）3、倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

特征：a n +a 1=a n-1+a 2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）4、错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。

特征：所给数列｛a n ｝，其中a n =c n ·b n ｛c n ｝是一个等差数列，｛b n ｝是一个等比数列。

（“等比数列”的求和）5、裂项相消法： 把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

常见的拆项公式：(1)1a n a n+m =1md (1a n -1a n+m)(其中｛a n ｝是一个公差为d 的等差数列； ba +1 = 1a-b ( a - b )； n ·n!=(n+1)! - n!； ⑵ 1111()()n n k k n n k =-++； ⑶ 2211111()1211k k k k <=---+ ⑷ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ⑸ ()()111!!1!n nn n =-++⑹<< ⑺ 1--=n n n S S a (2)n ≥。

数列求和常见的7种方法数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21+=n n S n ，)2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n nn＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n n n S 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）1122212+---=n n n∴1224-+-=n n n S三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +.[例5] 求证：nn nnnnn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明： 设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n nmnC C -=可得nnn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得nnn n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=-（反序相加）∴nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ① 将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 题1 已知函数 （1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aaa n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a Sn n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(nn n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11nn a a a n -+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设kk k k k k a k++=++=2332)12)(1(∴∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝kk k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n（分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n-+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6)nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n+-+-=++=（8）11na n nn n ==+++[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设nn n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n an，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n（裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S（裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1-＝1cot 1sin 1⋅＝1sin 1cos 2∴ 原等式成立 答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵)180cos(cos n n --=（找特殊性质项）∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合并求和）＝ 0 [例13] 数列{a n }：nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a+⋅⋅⋅+++ 由nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1可得,2,3,1654-=-=-=a a a,2,3,1,2,3,1121110987-=-=-====a a a a a a……2,3,1,2,3,1665646362616-=-=-====++++++k k k k k k a a a a a a∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a2002200120001999199819941993)(a a a a a a a +++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+＝2002200120001999a a a a+++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a Sn+⋅⋅⋅++=由等比数列的性质qp n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）和对数的运算性质NM N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k 个个（找通项及特征）∴11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++＝9110)110(1091n n ---⋅ ＝)91010(8111n n --+[例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值.解：∵])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n（找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n （设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313提高练习：1．已知数列{}n a 中，nS 是其前n项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==，⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n，求证：数列{}nb 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2 ==n a cnn n，求证：数列{}nc 是等差数列；2．设二次方程na x 2-na +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用na 表示a 1n +；3．数列{}na 中，2,841==a a 且满足nn n a a a-=++122*N n ∈⑴求数列{}na 的通项公式； ⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求nS ；。

数列倒序相加、错位相减、分组求和时间：2021.01.01 创作：欧阳美一．选择题（共2小题）1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣12．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f（n+1），则a i=（）A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015二．填空题（共8小题）3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f （a）+f（1﹣a）=，=．4．（2011春•启东市校级月考）S n=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S100+S200+S301=．5．（2010•武进区校级模拟）数列{a n}满足，a1=1，S n是{a n}的前n项和，则S21=6．（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．7．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012=．8．（2009•上海模拟）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100=．9．（2012•江苏模拟）设数列{a n}的前n项和为，则|a1|+|a2|+…+|a n|=．10．（2013春•温州期中）等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a n|=．三．解答题（共15小题）11．在数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，求：|a1|+|a2|+…+|a n| 12．（2010•云南模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=25n﹣2n2．（1）求证：{a n}是等差数列．（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．13．已知在数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，求S n．14．（2014•海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．15．求下列各式的值：（1）（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]；（2）1+2x+4x2+6x3+…+2nx n．16．（2010春•宁波期末）在坐标平面内有一点列A n（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），A n（x n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A n A n+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，…）．（1）求x1，x2（2）求出数列{x n}的通项公式x n（3）设数列{nx n}的前n项和为S n，求S n．17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{a n}的公差大于0，a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n和S n．18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．19．（2011春•孝感月考）求和：S n=（x+）2+（x2+）2+…+（x n+）2．20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×}前n项和S n．21．（2011秋•文水县期中）已知数列{a n}中，a n=2n﹣33，求数列{|a n|}的前n项和S n．22．数列{a n}中，a n=n•2n，求S n．23．已知数列{a n}中，a n=（2n﹣1）•3n，求S n．24．求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…的前n项和S n．25．已知数列{a n}中，，试求数列{a n}的前n 项之和S n．数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1【解答】解：函数f（x）=x a的图象过点（4，2），则：4a=2，解得：a=，所以：f（x）=，则：，==则：S n=a1+a2+…+a n==，则：，故选：D．2．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f（n+1），则a i=（）A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015【解答】解：∵函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f （n+1），∴a i=（a1+a3+a5+…+a2013）+（a2+a4+a6+…+a2014）=（3+7+11+...+4027）﹣（5+9+13+ (4029)=﹣2×1007=﹣2014．故选：B．二．填空题（共8小题）3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f （a）+f（1﹣a）= 1 ，= 1007 ．【解答】解：∵，∴当0＜a＜1时，f（a）+f（1﹣a）=+=+=+=1，故=1007×1=1007，故答案为：1，1007．4．（2011春•启东市校级月考）S n=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S100+S200+S301= 1 ．【解答】解：由题意可得，S100=1﹣2+3﹣4+…99﹣100=﹣50，S200=1﹣2+3﹣4+…+199﹣200=﹣100s301=1﹣2+3﹣4+…+299﹣300+301=﹣150+301=151∴s100+s200+s301=﹣50﹣100+151=1故答案为：1．5．（2010•武进区校级模拟）数列{a n}满足，a1=1，S n是{a n}的前n项和，则S21= 6【解答】解：∵，a1+a2=a2+a3，∴a1=a3，a3+a4=a4+a5∴a1=a3=a5=…=a2n﹣1，即奇数项都相等∴a21=a1=1∴S21=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）+a21=10×+1=6．答案：6．6．（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830 ．【解答】解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=18307．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012= 3×21006﹣3 ．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n•a n+1=2n，n∈N*∴n=1时，a2=2，∵a n•a n+1=2n，∴n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴=2，∴数列{a n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，∴S2012=+=3×21006﹣3．故答案为：3×21006﹣3．8．（2009•上海模拟）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100= 2550 ．【解答】解：据已知当n为奇数时，a n+2﹣a n=0⇒a n=0，当n为偶数时，a n+2﹣a n=2⇒a n=n，，S100=0+2+4+6+…+100=0+50×=2550．故答案为：25509．（2012•江苏模拟）设数列{a n}的前n项和为，则|a1|+|a2|+…+|a n|= \left\{\begin{array}{l}{{﹣n}^{2}+4n﹣1，1≤n≤2}\\{{n}^{2}﹣4n+7，n≥3}\end{array}\right. ．【解答】解：∵S n=n2﹣4n+1，∴a n=，∴①当n≤2时，a n＜0，∴S1′=|a1|=﹣a1=2，S2′=|a1|+|a2|=﹣a1﹣a2=3；②当n≥3，|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣a1﹣a2+a3+…+a n=﹣2S2+S n=n2﹣4n+7．∴|a1|+|a2|+…+|a n|=．故答案为：．10．（2013春•温州期中）等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a n|= 2n﹣1﹣\frac{1}{2} ．【解答】解：∵a1=，a4=﹣4，﹣4=×q3，解得q=﹣2即数列{a n}是以为首项，以﹣2为公比的等比数列则数列{|a n|}是以为首项，以2为公比的等比数列故|a1|+|a2|+…+|a n|==2n﹣1﹣故答案为：2n﹣1﹣三．解答题（共15小题）11．在数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，求：|a1|+|a2|+…+|a n|【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，∴{a n}是首项为﹣18，公差为2的等差数列，∴a n=﹣18+（n﹣1）×2=2n﹣20，由a n=2n﹣20≥0，n≥10，设{a n}的前n项和为S n，当n≤10时，|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣S n=﹣[﹣18n+]=﹣n2+19n．当n＞10时，：|a1|+|a2|+…+|a n|=S n﹣2S10=n2﹣19n+180．∴|a1|+|a2|+…+|a n|=．12．（2010•云南模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=25n﹣2n2．（1）求证：{a n}是等差数列．（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：①n=1时，a1=S1=23．②n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（25n﹣2n2）﹣[25（n﹣1）﹣2（n﹣1）2]=27﹣4n，而n=1适合该式．于是{a n}为等差数列．（2）因为a n=27﹣4n，若a n＞0，则n＜，，当1≤n≤6时，T n=a1+a2+a n=25n﹣2n2，当n≥7时，T n=a1+a2++a6﹣（a7+a8++a n）=S6﹣（S n﹣S6）=2n2﹣25n+156，综上所知．13．已知在数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，求S n．【解答】解：数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，S n=（﹣1+1+3+5+…+（2n﹣3））+（…+）=+=n（n﹣2）+1﹣=n2﹣2n+1﹣．14．（2014•海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．【解答】解：当x=0时，S n=1；当x=1时，S n=1+2+3+…+n=；当x≠1，且x≠0时，S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1，①xS n=x+2x2+3x3+…+nx n．②（1﹣x）S n=1+x+x2+x3+…+x n﹣1﹣nx n=，x=0时，上式也成立，∴．x≠1．∴S n=．15．求下列各式的值：（1）（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]；（2）1+2x+4x2+6x3+…+2nx n．【解答】解：（1）当n为奇数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n=﹣n=﹣，当n为偶数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n=，又∵2+22+23+…+2n+==2n+1﹣2，记S n=（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]，∴S n=；（2）记S n=1+2x+4x2+6x3+…+2nx n，则当x=1时，S n=1+2+4+6+…+2n=1+2•=n2+n+1；当x≠1时，xS n=x+2x2+4x3+…+2nx n+1，∴（1﹣x）S n=1+x+2（x2+x3+…+x n）﹣2nx n+1=1+x+2•﹣2nx n+1，∴S n=+2•﹣；综上所述，S n=．16．（2010春•宁波期末）在坐标平面内有一点列A n（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），A n（x n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A n A n+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，…）．（1）求x1，x2（2）求出数列{x n}的通项公式x n（3）设数列{nx n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线A0A1的斜率为20=1，∴x1=1直线A1A2的斜率为2，，∴（2）当n≥1时，A n（x n，n），A n+1（x n+1，n+1），∴，累加得：，检验当n=1时也成立，∴（3），令b n=2n，对应的前n项和T n=n（n+1）令两式相减得：∴∴17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{a n}的公差大于0，a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n和S n．【解答】解（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，解方程x2﹣14x+45=0，得x1=5，x2=9，∴a3=5，a5=9，┅（2分）∴，解得┅（4分）∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1┅（6分）（2）∵a n=2n﹣1，∴┅（8分）∴┅（9分）∵┅（11分）┅（13分）∴数列{b n}的前n项和：┅（14分）18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）方程x2﹣3x+2=0的两根分别为1、2，…（1分）依题意得a1=1，a2=2，…（2分）所以q=2，…（3分）所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；…（4分）（2）由（1）知2n•a n=n•2n，…（5分）所以S n=1×2+2×22+…+n×2n，①2•S n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n×2n+1，②由①﹣②得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1，…（8分）即﹣S n=﹣n×2n+1，…（11分）所以S n=2+（n﹣1）•2n+1…（12分）19．（2011春•孝感月考）求和：S n=（x+）2+（x2+）2+…+（x n+）2．【解答】解：当x=±1时，∵（x n+）2=4，∴S n=4n，当x≠±1时，∵a n=x2n+2+，∴S n=（x2+x4++x2n）+2n+（+++）=++2n=+2n，所以当x=±1时，S n=4n；当x≠±1时，S n=+2n．20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×}前n项和S n．【解答】解：∵数列{n×}前n项和S n．∴，①…（3分）S n=，②…．（6分）①﹣②，得：S n==﹣=1﹣…（10分）∴S n=2…（13分）21．（2011秋•文水县期中）已知数列{a n}中，a n=2n﹣33，求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】解：令a n=2n﹣33＞0，解得n＞，所以当n≤16时，a n＜0，又a1=2﹣33=﹣31，则数列{|a n|}的前n项和S n=﹣=﹣=32n ﹣n2；当n≥17时，a n＞0，则数列{|a n|}的前n项和S n=S16+S n﹣2﹣32n+512，16=+=n综上，S n=．22．数列{a n}中，a n=n•2n，求S n．【解答】解法一：S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得，﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣﹣n•2n+1化简可得S n=2+（n﹣1）•2n+1．解法二、由a n=n•2n=（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n，可得S n=[0﹣（﹣1）•2]+[1•8﹣0]+[2•24﹣1•8]+…+[（n﹣2）•2n﹣（n﹣3）•2n﹣1]+[（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n]=2+（n﹣1）•2n+1．23．已知数列{a n}中，a n=（2n﹣1）•3n，求S n．【解答】解：∵a n=（2n﹣1）•3n，∴S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）×3n+1=（2﹣2n）×3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）×3n+1+3．24．求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…的前n项和S n．【解答】解：由题意知，当a=1时，，当a≠1由等比数列的求和公式，得：=，∴﹣（a+a3+…+a2n﹣1）]，①当a≠±1时，[]．②当a=﹣1时，=﹣，当n为奇数时，，当n为偶数时，．综上，得：当a=1时，．当a=﹣1时，．当a≠±1时，[]．25．已知数列{a n}中，，试求数列{a n}的前n 项之和S n．【解答】解：（1）当n为奇数时，其中有项为偶数项，项为奇数项，（1分）偶数项是以b1=9为首项，q=32=9 的等比数列，故偶数项的和（5分）奇数项是以c1=2×1﹣1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，故奇数项的和，（7分）则{a n}的前n项之和（n为奇数）（8分）（2）当n为偶数时，其中有项为偶数项，为奇数项，（9分）故偶数项的和，（11分）奇数项的和，（12分）则{a n}的前n项之和﹣（n为偶数）．（14分）时间：2021.01.01 创作：欧阳美。

数列倒序相加、错位相减、分组求和时间：2021.02.04 创作：欧阳育一．选择题（共2小题）1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣12．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f（n+1），则a i=（）A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015二．填空题（共8小题）3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f （a）+f（1﹣a）=，=．4．（2011春•启东市校级月考）S n=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S100+S200+S301=．5．（2010•武进区校级模拟）数列{a n}满足，a1=1，S n是{a n}的前n项和，则S21=6．（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．7．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012=．8．（2009•上海模拟）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100=．9．（2012•江苏模拟）设数列{a n}的前n项和为，则|a1|+|a2|+…+|a n|=．10．（2013春•温州期中）等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a n|=．三．解答题（共15小题）11．在数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，求：|a1|+|a2|+…+|a n| 12．（2010•云南模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=25n﹣2n2．（1）求证：{a n}是等差数列．（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．13．已知在数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，求S n．14．（2014•海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．15．求下列各式的值：（1）（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]；（2）1+2x+4x2+6x3+…+2nx n．16．（2010春•宁波期末）在坐标平面内有一点列A n（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），A n（x n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A n A n+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，…）．（1）求x1，x2（2）求出数列{x n}的通项公式x n（3）设数列{nx n}的前n项和为S n，求S n．17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{a n}的公差大于0，a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n和S n．18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．19．（2011春•孝感月考）求和：S n=（x+）2+（x2+）2+…+（x n+）2．20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×}前n项和S n．21．（2011秋•文水县期中）已知数列{a n}中，a n=2n﹣33，求数列{|a n|}的前n项和S n．22．数列{a n}中，a n=n•2n，求S n．23．已知数列{a n}中，a n=（2n﹣1）•3n，求S n．24．求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…的前n项和S n．25．已知数列{a n}中，，试求数列{a n}的前n项之和S n．数列倒序相加、错位相减、分组求和参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014秋•葫芦岛期末）已知函数f（x）=x a的图象过点（4，2），令a n=，n∈N*，记数列{a n}的前n项和为S n，则S2015=（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1【解答】解：函数f（x）=x a的图象过点（4，2），则：4a=2，解得：a=，所以：f（x）=，则：，==则：S n=a1+a2+…+a n==，则：，故选：D．2．（2014春•池州校级期末）已知函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f（n+1），则a i=（）A．﹣2015B．﹣2014C．2014D．2015【解答】解：∵函数f（x）=x2•cos（xπ），若a n=f（n）+f（n+1），∴a i=（a1+a3+a5+…+a2013）+（a2+a4+a6+…+a2014）=（3+7+11+...+4027）﹣（5+9+13+ (4029)=﹣2×1007=﹣2014．故选：B．二．填空题（共8小题）3．（2015春•温州校级期中）设，若0＜a＜1，则f （a）+f（1﹣a）= 1 ，= 1007 ．【解答】解：∵，∴当0＜a＜1时，f（a）+f（1﹣a）=+=+=+=1，故=1007×1=1007，故答案为：1，1007．4．（2011春•启东市校级月考）S n=1﹣2+3﹣4+5﹣6+…+（﹣1）n+1•n，则S100+S200+S301= 1 ．【解答】解：由题意可得，S100=1﹣2+3﹣4+…99﹣100=﹣50，S200=1﹣2+3﹣4+…+199﹣200=﹣100s301=1﹣2+3﹣4+…+299﹣300+301=﹣150+301=151∴s100+s200+s301=﹣50﹣100+151=1故答案为：1．5．（2010•武进区校级模拟）数列{a n}满足，a1=1，S n是{a n}的前n项和，则S21= 6【解答】解：∵，a1+a2=a2+a3，∴a1=a3，a3+a4=a4+a5∴a1=a3=a5=…=a2n﹣1，即奇数项都相等∴a21=a1=1∴S21=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a19+a20）+a21=10×+1=6．答案：6．6．（2012•新课标）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830 ．【解答】解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=18307．（2015•张家港市校级模拟）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•a n=2n（n∈N*），则S2012= 3×21006﹣3 ．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n•a n+1=2n，n∈N*∴n=1时，a2=2，∵a n•a n+1=2n，∴n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴=2，∴数列{a n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，∴S2012=+=3×21006﹣3．故答案为：3×21006﹣3．8．（2009•上海模拟）在数列{a n}中，a1=0，a2=2，且a n+2﹣a n=1+（﹣1）n（n∈N*），则s100= 2550 ．【解答】解：据已知当n为奇数时，a n+2﹣a n=0⇒a n=0，当n为偶数时，a n+2﹣a n=2⇒a n=n，，S100=0+2+4+6+…+100=0+50×=2550．故答案为：25509．（2012•江苏模拟）设数列{a n}的前n项和为，则|a1|+|a2|+…+|a n|= \left\{\begin{array}{l}{{﹣n}^{2}+4n﹣1，1≤n≤2}\\{{n}^{2}﹣4n+7，n≥3}\end{array}\right. ．【解答】解：∵S n=n2﹣4n+1，∴a n=，∴①当n≤2时，a n＜0，∴S1′=|a1|=﹣a1=2，S2′=|a1|+|a2|=﹣a1﹣a2=3；②当n≥3，|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣a1﹣a2+a3+…+a n=﹣2S2+S n=n2﹣4n+7．∴|a1|+|a2|+…+|a n|=．故答案为：．10．（2013春•温州期中）等比数列{a n}中，若a1=，a4=﹣4，则|a1|+|a2|+…+|a n|= 2n﹣1﹣\frac{1}{2} ．【解答】解：∵a1=，a4=﹣4，﹣4=×q3，解得q=﹣2即数列{a n}是以为首项，以﹣2为公比的等比数列则数列{|a n|}是以为首项，以2为公比的等比数列故|a1|+|a2|+…+|a n|==2n﹣1﹣故答案为：2n﹣1﹣三．解答题（共15小题）11．在数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，求：|a1|+|a2|+…+|a n|【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣18，a n+1=a n+2，∴{a n}是首项为﹣18，公差为2的等差数列，∴a n=﹣18+（n﹣1）×2=2n﹣20，由a n=2n﹣20≥0，n≥10，设{a n}的前n项和为S n，当n≤10时，|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣S n=﹣[﹣18n+]=﹣n2+19n．当n＞10时，：|a1|+|a2|+…+|a n|=S n﹣2S10=n2﹣19n+180．∴|a1|+|a2|+…+|a n|=．12．（2010•云南模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=25n﹣2n2．（1）求证：{a n}是等差数列．（2）求数列{|a n|}的前n项和T n．【解答】解：（1）证明：①n=1时，a1=S1=23．②n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（25n﹣2n2）﹣[25（n﹣1）﹣2（n﹣1）2]=27﹣4n，而n=1适合该式．于是{a n}为等差数列．（2）因为a n=27﹣4n，若a n＞0，则n＜，，当1≤n≤6时，T n=a1+a2+a n=25n﹣2n2，当n≥7时，T n=a1+a2++a6﹣（a7+a8++a n）=S6﹣（S n﹣S6）=2n2﹣25n+156，综上所知．13．已知在数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，求S n．【解答】解：数列{a n}中，若a n=2n﹣3+，可知数列是等差数列与等比数列对应项和的数列，S n=（﹣1+1+3+5+…+（2n﹣3））+（…+）=+=n（n﹣2）+1﹣=n2﹣2n+1﹣．14．（2014•海淀区校级模拟）求和：S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1．【解答】解：当x=0时，S n=1；当x=1时，S n=1+2+3+…+n=；当x≠1，且x≠0时，S n=1+2x+3x2+…+nx n﹣1，①xS n=x+2x2+3x3+…+nx n．②（1﹣x）S n=1+x+x2+x3+…+x n﹣1﹣nx n=，x=0时，上式也成立，∴．x≠1．∴S n=．15．求下列各式的值：（1）（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]；（2）1+2x+4x2+6x3+…+2nx n．【解答】解：（1）当n为奇数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n=﹣n=﹣，当n为偶数时，﹣1+2﹣3+…+（﹣1）n n=，又∵2+22+23+…+2n+==2n+1﹣2，记S n=（2﹣1）+（22+2）+（23﹣3）+…+[2n+（﹣1）n n]，∴S n=；（2）记S n=1+2x+4x2+6x3+…+2nx n，则当x=1时，S n=1+2+4+6+…+2n=1+2•=n2+n+1；当x≠1时，xS n=x+2x2+4x3+…+2nx n+1，∴（1﹣x）S n=1+x+2（x2+x3+…+x n）﹣2nx n+1=1+x+2•﹣2nx n+1，∴S n=+2•﹣；综上所述，S n=．16．（2010春•宁波期末）在坐标平面内有一点列A n（n=0，1，2，…），其中A0（0，0），A n（x n，n）（n=1，2，3，…），并且线段A n A n+1所在直线的斜率为2n（n=0，1，2，…）．（1）求x1，x2（2）求出数列{x n}的通项公式x n（3）设数列{nx n}的前n项和为S n，求S n．【解答】解：（1）A0（0，0），A1（x1，1），A2（x2，2）直线A0A1的斜率为20=1，∴x1=1直线A1A2的斜率为2，，∴（2）当n≥1时，A n（x n，n），A n+1（x n+1，n+1），∴，累加得：，检验当n=1时也成立，∴（3），令b n=2n，对应的前n项和T n=n（n+1）令两式相减得：∴∴17．（2013秋•嘉兴期末）已知等差数列{a n}的公差大于0，a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n和S n．【解答】解（1）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，解方程x2﹣14x+45=0，得x1=5，x2=9，∴a3=5，a5=9，┅（2分）∴，解得┅（4分）∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1┅（6分）（2）∵a n=2n﹣1，∴┅（8分）∴┅（9分）∵┅（11分）┅（13分）∴数列{b n}的前n项和：┅（14分）18．（2014秋•福州期末）已知等比数例{a n}的公比q＞1，a1，a2是方程x2﹣3x+2=0的两根，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{2n•a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）方程x2﹣3x+2=0的两根分别为1、2，…（1分）依题意得a1=1，a2=2，…（2分）所以q=2，…（3分）所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；…（4分）（2）由（1）知2n•a n=n•2n，…（5分）所以S n=1×2+2×22+…+n×2n，①2•S n=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n×2n+1，②由①﹣②得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n×2n+1，…（8分）即﹣S n=﹣n×2n+1，…（11分）所以S n=2+（n﹣1）•2n+1…（12分）19．（2011春•孝感月考）求和：S n=（x+）2+（x2+）2+…+（x n+）2．【解答】解：当x=±1时，∵（x n+）2=4，∴S n=4n，当x≠±1时，∵a n=x2n+2+，∴S n=（x2+x4++x2n）+2n+（+++）=++2n=+2n，所以当x=±1时，S n=4n；当x≠±1时，S n=+2n．20．（2014春•龙子湖区校级期中）求数列{n×}前n项和S n．【解答】解：∵数列{n×}前n项和S n．∴，①…（3分）S n=，②…．（6分）①﹣②，得：S n==﹣=1﹣…（10分）∴S n=2…（13分）21．（2011秋•文水县期中）已知数列{a n}中，a n=2n﹣33，求数列{|a n|}的前n项和S n．【解答】解：令a n=2n﹣33＞0，解得n＞，所以当n≤16时，a n＜0，又a1=2﹣33=﹣31，则数列{|a n|}的前n项和S n=﹣=﹣=32n﹣n2；当n≥17时，a n＞0，则数列{|a n|}的前n项和S n=S16+S n﹣2﹣32n+512，16=+=n综上，S n=．22．数列{a n}中，a n=n•2n，求S n．【解答】解法一：S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，两式相减可得，﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣﹣n•2n+1化简可得S n=2+（n﹣1）•2n+1．解法二、由a n=n•2n=（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n，可得S n=[0﹣（﹣1）•2]+[1•8﹣0]+[2•24﹣1•8]+…+[（n﹣2）•2n﹣（n﹣3）•2n﹣1]+[（n﹣1）•2n+1﹣（n﹣2）•2n] =2+（n﹣1）•2n+1．23．已知数列{a n}中，a n=（2n﹣1）•3n，求S n．【解答】解：∵a n=（2n﹣1）•3n，∴S n=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n，∴3S n=32+3×33+5×34+…+（2n﹣3）•3n+（2n﹣1）•3n+1，∴﹣2S n=3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n﹣1）×3n+1=（2﹣2n）×3n+1﹣6，∴S n=（n﹣1）×3n+1+3．24．求数列1，a+a2，a2+a3+a4，a3+a4+a5+a6，…的前n项和S n．【解答】解：由题意知，当a=1时，，当a≠1由等比数列的求和公式，得：=，∴﹣（a+a3+…+a2n﹣1）]，①当a≠±1时，[]．②当a=﹣1时，=﹣，当n为奇数时，，当n为偶数时，．综上，得：当a=1时，．当a=﹣1时，．当a≠±1时，[]．25．已知数列{a n}中，，试求数列{a n}的前n项之和S n．【解答】解：（1）当n为奇数时，其中有项为偶数项，项为奇数项，（1分）偶数项是以b1=9为首项，q=32=9 的等比数列，故偶数项的和（5分）奇数项是以c1=2×1﹣1=1 为首项，d=2×2=4 为公差的等差数列，故奇数项的和，（7分）则{a n}的前n项之和（n为奇数）（8分）（2）当n为偶数时，其中有项为偶数项，为奇数项，（9分）故偶数项的和，（11分）奇数项的和，（12分）则{a n}的前n项之和﹣（n为偶数）．（14分）时间：2021.02.04 创作：欧阳育。