人教版八年级上册数学12.2 三角形全等的判定(4) 课件

A
B
AC=BD
如图：AB⊥AD，CD⊥BC ， AB=CD ，判断AD和BC的位
置关系.
A
HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
D
∠ADB=∠CBD
C
AD∥BC
巩固练习
1.如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°， F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.求
证：Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明：AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴∠ABC＝∠DCB. 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB(SAS)， ∴AC＝DB
探究新知
考点探究2 利用直角三角形全等解决实际问题 例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与 右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F的大小有什么关系？
边和一个锐角对应相等，
这两个直角三角形全等吗？
为什么？
B
C B′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应
相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直
角三角形全等吗？为什么？
B A
E D
如图，已知AC=DF，BC=EF， ∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？ C
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF,
AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
巩固练习
3. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，
另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
判一判
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画
“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （AAS ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （AAS或ASA ）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
（ AAS）
（4）两直角边对应相等；
杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
解：BD=CD 因为∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ABD和Rt△ACD中,
AB=AC AD=AD 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
所以BD=CD
课堂检测
基础题 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ）
A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等
BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， E
D
CE=BD,
B
C
BC=CB .
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
提升题
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE.
409、:0敏17而.1好2.学20，20不09耻:0下17问.1。2.。2072.1020.92:021079.:1021.:2405270.1029.:200120090:091:00197:0.112:4.2500290:01:45
春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 54、海不内要存为知它已的，结天束涯而若哭比，邻应。当为Su它nd的ay开, J始u而ly 笑12。, 270.2102J.2u0ly20270.S1u2n.2d0a2y0, 0J9u:l0y11029,:200120097:0/12:4/250290:01:45 这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 65莫、愁生前命路的无成知长已，，需天要下吃谁饭人，不还识需君要。吃苦9时，1吃分亏9时。1S分un1d2a-Jyu,lJ-2u0ly71.122,.2020July 20Sunday, July 12, 20207/12/2020
（ SAS ）
（5）一条直角边和斜边对应相等
（ HL ）
考点探究1 利用“HL”定理判定直角三角形全等
例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD.
求证：BC﹦AD.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D 都是直角.
应用“HL”的前提条 件是在直角三角形中.
D
C
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
A
B
C
画图思路
N
A
B
CM
C′
（1）先画∠M C′N=90°.
画图思路
N
A
B
C M B′
C′
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC.
画图思路
N
A
A′
B
C M B′
C′
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′.
画图思路
N
A
A′
B
C M B′
C′
（4）连接A′B′.
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
我们知道，证明三角形全等 不存在SSA定理. F
B A
E D
如果这两个三角形都是直
C
角三角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
F
任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90°.再画一个 Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 ° ， B′C′=BC ， A ′B ′=AB ， 把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们 能重合吗？
花一样美丽，感谢你的阅读。 二日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。09:0109:01:457.12.2020Sunday, July 12, 2020
垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时
△ABC才能和△APQ全等？
解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中，
（1） AD=BC
（HL ）
（2） BD=AC
（ HL ）
（3） ∠ DAB= ∠ CBA （AAS ）
D
C
（4）∠ DBA= ∠ CAB （AAS ）
A
B
如图，AC、BD相交于点P ， AC⊥BC，BD⊥AD，垂 足分别为C、D ， AD=BC.
求证：AC=BD.
HL
D
C
P
Rt△ABD≌Rt△BAC
AB=BA,
这是应用“HL”判
AC=BD .
定方法的书写格式. A
B
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). 利用全等证明两条线段
∴ BC﹦AD.
相等，这是常见的思路.
如图， ∠ACB =∠ADB=90 ° ，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在 相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
“斜边、直角边”判定方法
“SSA”可以判定两个直
角三角形全等，但是“边
文字语言：
边”指的是斜边和一直角
斜边和一条直角边对应相等的两个直边角，三而角“角形”全指等的是直角.
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
B
在Rt△ABC和△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
A
C
B′
BC=B′C′,
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
亲爱的读者： 1、盛 生年 活不重 相来 信， 眼一泪日 ，难 眼再 泪晨 并。 不及 代时 表宜 软自 弱勉 。，20岁.7.月12不7.待12人.2。02。00290:.071.10297:0.112:4.250J2u0l-0290:0091:091:01:45Jul-2009:01 亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
B
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
A
E
F C
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
D
AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE.
拓展题
如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC ＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且
人教版数学八年级上册
12.2 三角形全等的判定 “斜边、直角边”定理
探究新知
三角形全等的判定——“HL”定理 B
思考
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_A__C__、 _B_C___，斜边是__A_B___.
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角 形是否适用？