第23课时 二倍角公式
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二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案页数:2
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二倍角公式公开课课件页数:26
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二倍角教案(公开课)页数:5
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二倍角公式公开课教案页数:2
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二倍角公式页数:16
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二倍角公式教案复习课程
二倍角公式教案
【课题】 1．1两角和与差的正弦公式与余弦公式（二）
【教学目标】
知识目标：
掌握二倍角公式，能正确运用各个公式进行简单的三角函数式的计算和化简．
能力目标：
学生逆向思维能力及灵活选用公式解决问题的能力得到提高． 【教学重点】
本节课的教学重点是二倍角公式． 【教学难点】
难点是公式的推导和运用． 【教学设计】
明确二倍角的概念．二倍角的实质是用一个角的三角函数表示这个角的二倍角的三角函数．二倍角余弦公式的三种形式同等重要，要分析这三种公式各自的形式特点．例9中，要想利用正弦二倍角公式，必须首先求出余弦函数值．求cos2α时，使用的公式有利用同角三角函数关系、利用cos α和利用sin α的三类公式可供选择．选用公式2cos212sin αα=-的主要原因是考虑到sin α是已知量．例10中，讨论
2
α角的范围是因为利用同角三角函数关系求sin 2α
时需要
开方．旨在让学生熟悉：只要具备二倍角关系，就可以使用公式．教材在求
sin
4
α
时，利用了升幂公式，由讨论
2
α
角的范围来决定开方取正号还是负号．虽然这里就是实际上使用半角公式，但是教材与大纲中，都没有引入半角公式的要求，因此，不补充半角公式，只作为二倍角余弦变形的应用来介绍．例11是三角证明题．证明的基本思路是将角用半角来表示，再进行三角式的化简． 【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
1课时．(45分钟) 【教学过程】
6730cos6730''''⋅； 22sin 75．
【教师教学后记】。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式 课件
探
究
返 首 页
17
课
前 自 主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回 顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课 后 限 时 集 训
堂
考
点
探
究
返 首 页
18
课
前
自
主回顾 第1课时Fra bibliotek时 集 训
堂
考 点 探 究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－ ＋ttaann22αα.
返 首 页
7
课 前
2．降幂公式
自
主 回 顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课 后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前 自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后 限 时
课 堂 考 点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主 回 顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(
人教A版数学必修4课件：3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
=3sina-4sin3a
2.cos3a=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa
=4cos3a-3cosa
公式识记 口答下列各式的值：
1、升幂公式： 1 sin 2 sin2 cos2 2sin cos
=（sin cos）2
1 cos 2 2cos2 升幂缩角
1 cos 2 2sin2
2、降幂公式：
cos2 1 cos 2
2
sin2 1 cos 2
2
降幂扩角
例4.化简
变式：如何化简 2 sin2 2 cos4呢？
(1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求对称轴，对称中心 (3)求该函数的单调区间
[解] (1)f(x)＝ 22cos2x＋π4＋sin2 x ＝ 22cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－c2os 2x ＝12－12sin 2x， 故 f(x)的最小正周期为 π.
asin x＋bcos x＝ a2＋b2sin(x＋φ)的应用
∴tan x＝13， ∴cos2x1－＋ssiinn2xxcos x＝co2ss2ixn－2xs＋incxocso2xs x＝21t－ant2axn＋x1＝161.
(2)由题知 F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sin xcos x， ∴F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即 F(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 sin2x＋π4＝1 时，[F(x)]max＝ 2＋1. 由－π2＋2kπ≤2x＋π4≤π2＋2kπ(k∈Z)得－38π ＋kπ≤x≤π8＋kπ(k∈Z)，故所求函数 F(x) 的单调递增区间为－38π＋kπ，π8＋kπ(k∈Z)．
积化和差与和差化积公式(教师版)
积化和差与和差化积公式(教师版) 积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复课一、基本公式复1、两角和与差公式及规律sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβtan(α±β)= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)2、二倍角公式及规律sin2α=2sinαcosα。
cos2α=cos²α-sin²α。
tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)二倍角公式的推导可以通过和角公式推导而来，例如cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos²α-sin²α3、积化和差与和差化积公式sinαcosβ=(sin(α+β)+sin(α-β))/2cosαsinβ=(sin(α+β)-sin(α-β))/2cosαcosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2sinαsinβ=-(cos(α+β)-cos(α-β))/2生动的口诀：（和差化积）正加正，正在前，___，___正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式。
要注意：①前两个公式可以合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式。
如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解。
因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
1、在三角函数的解题中，积化和差与积差化积是密不可分的孪生兄弟。
为了化简或计算，我们要注意交替使用这两个公式。
例如，在处理正、余弦函数的平方时，我们应先考虑降幂公式，再利用和差化积和积化和差公式进行化简或计算。
高考数学简单的三角恒等变换
课前基础巩固
◈ 对点演练 ◈
π
[解析] sin 15°-cos 15°=2×=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-.
[解析] f(x)=sin2x-=-,故f(x)的最小正周期T==π.
3. [教材改编] 化简:sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)= .
课堂考点探究
(2)[2021·江西鹰潭一模] 已知tan α=,则= .
2
[解析] ====2.
角度2 给角求值例3 计算:= .
课堂考点探究
[思路点拨]先利用诱导公式,再利用两角和与差的余弦公式求解即可.[解析] ========2.
2
[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
D
[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)已知=,则tan α+的值为 .
-8
[解析] ∵==cos α-sin α=,∴1-2sin αcos α=, ∴sin αcos α=-,则tan α+=+===-8.
课堂考点探究
探究点一 三角函数式的化简
[思路点拨] 将1变换为sin22+cos22,将cos 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理得结果;[解析] ∵===sin 2+ cos 2,====-2cos 2, ∴2+=2sin 2+2cos 2-2cos 2=2sin 2,故选B.
◈ 对点演练 ◈
π
[解析] sin 15°-cos 15°=2×=2(sin 30°sin 15°-cos 30°cos 15°)=-2cos(30°+15°)=-2cos 45°=-.
[解析] f(x)=sin2x-=-,故f(x)的最小正周期T==π.
3. [教材改编] 化简:sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)= .
课堂考点探究
(2)[2021·江西鹰潭一模] 已知tan α=,则= .
2
[解析] ====2.
角度2 给角求值例3 计算:= .
课堂考点探究
[思路点拨]先利用诱导公式,再利用两角和与差的余弦公式求解即可.[解析] ========2.
2
[总结反思]该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
D
[总结反思]给值求值是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值)求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键在于“变角”,使角相同或具有某种关系.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 (1)已知=,则tan α+的值为 .
-8
[解析] ∵==cos α-sin α=,∴1-2sin αcos α=, ∴sin αcos α=-,则tan α+=+===-8.
课堂考点探究
探究点一 三角函数式的化简
[思路点拨] 将1变换为sin22+cos22,将cos 4和sin 4利用二倍角公式拆开,使得根号下的式子变成完全平方的形式,再根据符号整理得结果;[解析] ∵===sin 2+ cos 2,====-2cos 2, ∴2+=2sin 2+2cos 2-2cos 2=2sin 2,故选B.
课件10：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
记法
公式
S2α
sin 2α＝____2_s_i_n_α_c_o_s__α___
C2α
cos 2α＝____c_o_s_2α__－__si_n_2_α__
T2α
tan 2α＝___1_－2_t_atna_n_α2α___
2.余弦的二倍角公式的变形
3．正弦的二倍角公式的变形
(1)sin
αcos
α＝12sin
1.求下列各式的值：
(1))1－2tatnan125105°0°；
(3)sin110°－cos 310°；
(4)cos 20°cos 40°cos 80°.
ππ
π
2sin 解：(1)原式＝
12cos 2
12＝sin2
6＝14.
(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°
80°
＝2sin
40°·cos 4sin
40°·cos 20°
80°
＝2sin88s0in°·2c0o°s 80°＝s8isnin12600°°＝18.
类型2 利用二倍角公式解决求值问题
例 2 (1)已知 sin α＝3cos α，那么 tan 2α 的值为( )
A．2
B．－2
C．34
D．－34
(2)已知 sin6π＋α＝13，则 cos23π－2α的值等于(
(3)解：①因为 α 是第三象限角，cos α＝－34，
所以 sin α＝－ 1－cos2 α＝－ 47，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×－
47×－34＝3
8
7 .
②因为 β∈π2，π，sin β＝23，
二倍角的三角函数_课件
42－12＝
2 4.
3．若sinα2＝ 33，则cosα＝( )
A．－23
B．－13
C．13 [答案] C
D．23
[解析]
本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin
α 2
＝
3 3
，
所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2( 33)2＝13.
4．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是________，最大值
由题意得
sinα2－cosα2
2＝
1 5
，即1－sinα＝
1 5
，
得sinα＝45.而450°<α<540°，
∴cosα＝－35，∴tanα2＝1－sicnoαsα＝1－4－35＝2. 5
[规律总结]
利用半角公式求tan
α 2
的值时，为避免讨论，
一般尽量采用半角正切公式的有理式tan
α 2
＝
sinα 1＋cosα
(2)要使 f(x)≥32，只需 22sin(2x＋π4)≥0， 即 sin(2x＋π4)≥0， 由 2kπ≤2x＋π4≤2kπ＋π(k∈Z)得， kπ－π8≤x≤kπ＋38π，k∈Z， 又 x∈[0，π]，∴0≤x≤38π或78π≤x≤π. 故使不等式 f(x)≥32(x∈[0，π])成立的 x 的取值范围是[0，38π] ∪[78π，π]．
2．半角公式 (1)sinα2＝±____1_－__2c_o_s_α_.
1＋cosα (2)cosα2＝±_______2____. (3)tanα2＝_±____11_－＋__ccoo_ss_αα_＝___1_＋_s_icn_oα_s_α___＝___1_－s_i_cno_αs_α____. 在这些公式中，根号前面的符号由α2所在象限相应的三角函 数值的符号确定，如果α2所在象限无法确定，则应保留根号前面 的正、负两个符号．
二倍角公式及其变形公式
2sin240°
10° ＝
2sin 40°＝ 2sin 40°
2.故填
2.
(2)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°
＝24sin
6°cos
6°cos 12°cos 24cos 6°
24°cos
48°
＝23sin
12°cos 12°cos 24°cos 16cos 6°
48°
＝22sin
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
(2)因为 sinπ4－α＝sinπ2－π4＋α＝cosπ4＋α， 则已知条件可化为 sinπ4＋αcosπ4＋α＝16， 即12sin2π4＋α＝16，所以 sinπ2＋2α＝13， 所以 cos 2α＝13.因为 α∈π2，π，所以 2α∈(π，2π)，
从而 sin 2α＝－ 1－cos22α＝－232， 所以 tan 2α＝csions 22αα＝－2 2，
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
3.如图，在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的 仰角为 θ，由 B 点到 E 点的方向前进 30 m 至点 C 处，测得顶 端 A 的仰角为 2θ，再沿刚才的方向继续前进 10 3 m 到 D 点， 测得顶点 A 的仰角为 4θ，求 θ 的大小和建筑物 AE 的高．
＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35.
答案：35
栏目 导引
第三章 三角恒等变形
1．对倍角公式的三点说明 (1)前提：所含各三角函数有意义． (2)联系：公式 S2α，C2α，T2α 是在公式 Sα＋β，Cα＋β，Tα＋β 中，分 别令 β＝α 时，得到的一组公式，即倍角公式是和角公式的特例． (3)倍角公式中的“倍角”的相对性：对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍．这就是说， “倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
二倍角的三角函数
跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos21π2－sin21π2；
解
原式＝cos
π6＝
3 2.
(2)cos 27πcos 47πcos 67π；
2π 2π 4π 6π
解
2sin 原式＝
7 cos
7 cos 2π
7 cos
7
2sin 7
4π 4π 6π 8π 6π
sin ＝
7 cos
7 cos 2π
例3
(1)化简：11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ 2θ.
解
方法一
原式＝11－ ＋ccooss
2θ＋sin 2θ＋sin
2θ 2θ
＝22csoins22θθ＋＋22ssiinn
θcos θcos
θ ＝ 2sin θ 2cos
θsin θ＋cos θcos θ＋sin
θθ＝tan
θ.
跟踪训练 3 若π4＜α＜π2，则 1－sin 2α＝ sin α－cos α .
解析 ∵α∈π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴ 1－sin 2α＝ 1－2sin αcos α ＝ sin2α－2sin αcos α＋cos2α ＝ sin α－cos α2＝sin α－cos α.
核心素养之数学建模
解 连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则 AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且 θ∈0，π2. 因为A，D关于原点对称， 所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为 θ∈0，π2，所以当 sin 2θ＝1，即 θ＝π4时，Smax＝400 m2. 此时 AO＝DO＝10 2 m.
二倍角的正弦、余弦和正切公式
2
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
4
2
4
3
2
6
2
6+2 3
＝ × ＋ × ＝
，
3
2
3
2
6
π
π
π
sin − ＝ sin cos － cos sin
2
4
2
4
2
4
3
2
6
2
6−2 3
＝ × － × ＝
，故C正确、D错误.
3
2
3
2
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
9. 已知 sin
cos
2
－
25
.
− －1，
9
7
2α＝2× －1＝－ .
25
25
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
12.
为
2
等腰三角形一个底角的余弦值为 ，则这个三角形顶角的正弦值
3
4 5
9
.
设 A 是等腰△ ABC 的顶角，则
sin B ＝ 1 − cos2 ＝ 1 −
2
cos B ＝ ，
cos20°
＝
sin20°+2sin40°
cos20°
考点二
例2
(1)
(1)
二倍角的正弦、余弦、正切公式的逆用和变形应用
π
5
cos cos π的值为(
12
12
π
5
cos cos π＝
12
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题组层级快练(二十三)1．(2017·江西九江模拟)计算sin π12－3cos π12的值为( ) A ．0 B ．－ 2 C ．2 D. 2答案 B解析 sin π12－3cos π12＝2(12sin π12－32cos π12)＝2sin(π12－π3)＝2sin(－π4)＝－ 2.故选B.2．若sin α2＝33，则cos α的值为( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－23＝13.故选C.3．计算tan15°＋1tan15°的值为( ) A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2答案 C解析 tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝sin 215°＋cos 215°sin15°cos15°＝2sin30°＝4.故选C.4．已知cos(π4－x)＝35，则sin2x 的值为( )A.1825 B.725 C ．－725D ．－1625答案 C解析 因为sin2x ＝cos(π2－2x)＝cos2(π4－x)＝2cos 2(π4－x)－1，所以sin2x ＝2³(35)2－1＝1825－1＝－725.5．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2B.1－m 2C ．± 1＋m2D.1＋m2答案 D解析 ∵sin76°＝cos14°＝2cos 27°－1＝m ，∴cos 27°＝1＋m2，∴cos7°＝1＋m2. 6．若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ等于( )A.35 B.45 C.74D.34答案 D解析 因为θ∈[π4，π2]，所以2θ∈[π2，π]，cos2θ≤0，所以cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又因为cos2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，sin θ＝34.故选D. 7．设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2³(13)2－1＝－79.8．化简2＋2cos8＋21－sin8的结果是( )A ．4cos4－2sin4B ．2sin4C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4 答案 D解析 原式＝4cos 24＋2（sin4－cos4）2＝|2cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.故选D. 9．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值为( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 因为cos2α＝cos 2α－sin 2α，所以sin 2α＋cos2α＝cos 2α，所以cos 2α＝14.又α∈(0，π2)，所以cos α＝12，所以α＝π3，故tan α＝ 3.故选D. 10．(2017·长沙雅礼中学模拟)已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16 B.13 C.12 D.23答案 A解析 方法一：cos 2(α＋π4)＝12[1＋cos (2α＋π2)]＝12(1－sin2α)＝16.方法二：cos (α＋π4)＝22cos α－22sin α，所以cos 2(α＋π4)＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin2α)＝16.11．已知tan (α＋π4)＝－12，且π2<α<π，则sin2α－2cos 2αsin （α－π4）的值等于( )A.255B ．－3510C ．－255D ．－31010答案 C解析 sin2α－2cos 2αsin （α－π4）＝2sin αcos α－2cos 2α22（sin α－cos α）＝22cos α，由tan(α＋π4)＝－12，得tan α＋11－tan α＝－12，解得tan α＝－3.因为π2<α<π，所以cos α＝－1tan 2α＋1＝－1010.所以原式＝22cos α＝22³(－1010)＝－255.故选C. 12．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________．答案 －33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0.∴sin α＝12，cos α＝－32.∴tan α＝－33. 13．在△ABC 中，tanA ＋tanB ＋3＝3tanA ²tanB ，且sinA ²cosA ＝34，则此三角形为________． 答案 等边三角形解析 ∵tanA ＋tanB ＋3＝3tanAtanB ，∴tan(A ＋B)＝－3，得A ＋B ＝120°. 又由sinAcosA ＝34，得sin2A ＝32. ∴A ＝60°(A ＝30°舍去)，∴△ABC 为等边三角形．14．(2017·保定模拟)计算：3－sin70°2－cos 210°＝________．答案 2解析 3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－（2cos 210°－1）2－cos 210°＝2.15.3tan12°－3（4cos 212°－2）sin12°＝________． 答案 －4 3解析 原式＝3sin12°cos12°－32（2cos 212°－1）sin12°＝23（12sin12°－32cos12°）cos12°2cos24°sin12° ＝23sin （－48°）2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.16．若sin(x －34π)cos(x －π4)＝－14，则cos4x ＝________．答案 12解析 ∵sin(x －34π)＝－cos(π2＋x －34π)＝－cos(x －π4)，∴cos 2(x －π4)＝14，∴1＋cos （2x －π2）2＝14.∴cos(2x －π2)＝－12，即sin2x ＝－12.∴cos4x ＝1－2sin 22x ＝12.17．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________．答案 －34解析sin3αsin α＝sin （2α＋α）sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135.∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.18．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________． 答案 0或π419．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．答案 (1)－1010 (2)－4＋3310解析 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. 故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22³⎝⎛⎭⎫－255＋22³55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2³55³(－255)＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2³⎝⎛⎭⎫552＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎫－32³35＋12³⎝⎛⎭⎫－45，＝－4＋3310.1．设f(sinx)＝cos2x ，那么f(32)等于________． 答案 －122．已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝________．答案134解析 2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.3．若cos2αsin （α－π4）＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72答案 C解析 cos2αsin （α－π4）＝sin （π2－2α）sin （α－π4）＝2sin （π4－α）cos （π4－α）sin （α－π4）＝－2cos(π4－α)＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 所以sin α＋cos α＝12.。