第一讲 数与式
1、 绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式
①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。 ②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。 ③2
2
()()()()f x g x f x g x >⇔>。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．
例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习
解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|
（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式
（1）平方差公式 22
()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222
()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233
()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233
()()a b a ab b a b -++=-
（5）三数和平方公式 2222
()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223
()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223
()33a b a a b ab b -=-+-
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法 例1 分解因式：
（1）x 2
－3x ＋2； （2）2
672x x ++
（3）22
()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
2．提取公因式法
例2.分解因式：
（1）()()b a b a -+-552
（2）32
933x x x +++
3．公式法
例3.分解因式： （1）164
+-a （2）()()2
2
23y x y x --+
4．分组分解法
例4.（1）x y xy x 332
-+- （2）2
2
2456x xy y x y +--+-
5．关于x 的二次三项式ax 2
+bx +c (a ≠0)的因式分解．
若关于x 的方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠就可分
解为12()()a x x x x --.
例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）2
21x x +-； （2）2
2
44x xy y +-．
练习
（1）2
56x x -- （2）()21x a x a -++ （3）2
1118x x -+
（4）24129m m -+ （5）2
576x x +- （6）2
2
126x xy y +-
（7）()()3211262
+---p q q p （8）2
2365ab b a a +- （9）()
2
2244+--x x （10）122
4+-x x （11）by ax b a y x 222
2
2
2
++-+-
（12）9126442
2++-+-b a b ab a (13)x 2
－2x －1
（14） 31a +； （15）42
4139x x -+；
（16）22
222b c ab ac bc ++++； （17）2
2
35294x xy y x y +-++-
第二讲 一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程 (1)根的判别式
对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a
-；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a
； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）
如果ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -
，x 1·x 2＝c
a
．这一关系也被称为韦达定理．
2、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，。
