初中平行四边形练习题

一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）A ．4﹣2B ．2﹣4C ．1D 2A解析：A【分析】 根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于2 【详解】解：在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∵∠BAE ＝22.5°，∴∠DAE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE 中，∠AED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ＝4，∵正方形的边长为4，∴BD ＝2∴BE ＝BD ﹣DE ＝2﹣4，∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF ＝22BE ＝22×（2﹣4）＝4﹣2． 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD 是解题的关键，也是本题的难点．2．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（ ）A ．8B ．10C ．12.5D ．15C解析：C【分析】 根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．3．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（ ）A．4 B．5 C．8 D．10C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=6，∵DE=3DF，∴EF=4，∵∠AFC=90°，E是AC的中点，∴AC=2EF=8，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96 B．48 C．24 D．6C解析：C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．5．如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确．．的是（）A．若AB AD=，则平行四边形ABCD是矩形B．若AB AD=，则平行四边形ABCD是正方形C．若AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形D．若AC BD⊥，则平行四边形ABCD是正方形C解析：C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．【详解】解：A、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；B、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；故选：C．【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．6．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A．3cm2B33cm2C．3cm D．33cm C解析：C【分析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．【详解】解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．∵菱形的边长是3cm，∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．故选：C．【点睛】此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．7．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；D、当DE平分ADB故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．9．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）A．8 B．83C．16 D．163A解析：A【分析】由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC 时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是11448BC FC=⨯⨯=22故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．10．矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．是轴对称图形C．对角线相等D．对角线互相垂直参考答案D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A、B、C正确，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题11．如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的OE ，则四边形EFCD的周长为_____．周长为19， 2.5145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=19 2.52+×2 =14.5． 故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．12．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是 解析：23或43【分析】 首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ， ∴23MA AE MC BC ==； 如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ， ∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC 的值是23或43． 故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．13．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB= 解析：3【分析】过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．【详解】解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，∵150ABC ∠=︒，∴∠ABM=30°，∴AM=12AB=12×6=3， ∵AM ⊥CB ，EF BC ⊥，∴AM ∥EF ，∵//AE BC ，∴四边形AMFE 是平行四边形，∵AM ⊥CB ，∴四边形AMFE 是矩形，∴EF=AM=3，故答案为：3．．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．14．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．15．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2120cm，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1 解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12AC 2=50， ∴AC=10cm ，∴AO=CO=5cm ，∵菱形ABCD 的面积为120cm 2， ∴12×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，∴BO=DO=12cm ， ∴22AB AO BO +25144+， 故答案为13． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 16．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．5或【分析】连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点MCD于点N作D′P⊥BC交BC于点P先利用勾股定理求出MD′再分两种情况利用勾股定理求出DE【详解】解：如图连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点解析：5或10 3【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【详解】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=14-x，又折叠图形可得AD=AD′=10，∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8，即MD′=6或8．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a，∴a2=42+（8-a）2，解得a=5，即DE=5，②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a，∴a2=22+（6-a）2，解得103a=，即103DE=.故答案为：5或10 3.【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．17．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足 解析：122 【分析】 画出图形，证明四边形EFGH 是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG ，得到四边形EFGH 的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，过点G 作EH 的垂线，垂足为M ，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC 和BD 夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM 为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴MG=233222=， ∴四边形EFGH 的面积=MG EH ⋅=62，∴平行四边形ABCD 的面积为122，故答案为：122．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．18．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF＝CF根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D作DF⊥AC于F∴∠DFC＝∠A＝90°∴AB∥DF解析：2【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=12AB＝1，∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．19．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为__________．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．20．在长方形ABCD中，52AB=，4BC=，CE CF=，CF平分ECD∠，则BE=_________．【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：7 6【分析】延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线， ∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ），∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，223BG CG CB -=，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+， 解得：76x =，∴76BE =； 故答案为76． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．（1）如图①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．解析：（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=+︒或1452βα=-+︒，见解析 【分析】 （1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．【详解】（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∵点D 是AB 的中点，∴AD DC BD ==，∴DCB ABC ∠=∠．∵90CDE ∠=︒，∴90E DCB ∠+∠=︒，∴A E ∠=∠；②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，∵BD 平分CDE ∠，∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．∵DB DC =，∴DCB DBC x ∠=∠=︒，∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，∴906822A ∠=︒-︒=︒；（2）①如图，当CD CE =时，∴CDE CED β∠=∠=．∵A α∠=，AD DC =，∴ACD α∠=，∴90DCB α∠=︒-，∴290180βα+︒-=︒，得1452βα=+︒；②如图，当CD CE =时∴CDE E β∠=∠=，∴290βα=︒-，得1452βα=-+︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t 秒．∵四边形MNCB 是平行四边形，∴MB=NC ，当N 从D 运动到C 时，∵BC=13cm ，CD=21cm ，∴BM=AB-AM=16-t ，CN=21-2t ，∴16-t=21-2t ，解得t=5，当N 从C 运动到D 时，∵BM=AB-AM=16-t ，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．23．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．解析：（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM ≌△QDM ，可得DQ=PC ，即可得结论；（2）得出P 在B 、C 之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【详解】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠QDM=∠PCM ，∵M 是CD 的中点，∴DM=CM ，∵∠DMQ=∠CMP ，DM=CM ，∠QDM=∠PCM ，∴△PCM ≌△QDM （ASA ）．∴DQ=PC ，∵AD ∥BC ，∴四边形PCQD 是平行四边形，∴不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ ，∵BC-CP=AD+QD ，∴9-CP=5+CP ，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．24．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？解析：（1）t =2；（2）t =3或65t =． 【分析】 （1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．∵∠A =60°，∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．（2）∵△PAQ 是直角三角形，∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·2t ，解得65t =（秒），∴当t =3或65t =时，△PAQ 是直角三角形． 【定睛】 本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．26．如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AC ，CE ⊥AB ，AF ⊥BC ，（1）求证：CF =EF ；（2）求∠EFB 的度数．解析：（1）证明见解析；（2）EFB 45∠=︒【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及CE ⊥AB 得出△ACE 是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ACB 的度数，由AB=AC ，AF ⊥BC ，可知BF=CF ，CF=EF ； （2）根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∵CE ⊥AB ，∴△ACE 是等腰直角三角形，∠BEC=90°，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF ，即F 是BC 的中点，∴Rt △BCE 中，EF=12BC=CF ； （2）由（1）得：△ACE 是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ACE=45°，又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=()11804567.52︒-︒=︒， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF ，∴∠CEF=∠BCE=22.5°，∵∠EFB 是△CEF 的外角，∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．27．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．解析：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接GE ，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE ，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE ，利用两个角的差求解即可；（2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可．【详解】证明：（1）连接GE ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠CGE ，∵GF ∥HE ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠HEA=∠CGF ；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG=HE ，在Rt △HAE 和Rt △GDH 中，AH DG HE HG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ，∴∠AHE=∠DGH，∵∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形.【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键.28．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点图形．（1）在图甲中画出一个三角形，使BP平分该三角形的面积．（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使AP平分该四边形的面积．解析：（1）画图见解析；（2）画图见解析．【分析】△即为所求；（1）连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，ABD（2）作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求．【详解】（1）作图如下，连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，△即为所求，ABD=，AP DP∴和BDPABP△是等底同高的两个三角形，∴BP平分ABD△三角形的面积；（2）作图如下，作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求，AB平行且相等于EP，∴四边形ABPE为平行四边形，∴AP为ABCD的对角线，∴AP平分ABCD的面积．【点睛】本题考查学生的作图能力，涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识，根据题意作出图像是解题的关键．。

第十八章平行四边形18.1 平行四边形1．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则ABCD的面积为A．6 B．9 C．12 D．182．若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2，则其中较小的内角是A．90°B．60°C．120°D．45°3．如果四边形ABCD是平行四边形，AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，那么BC的长是A．6 B．8 C．10 D．164．如图，在四边形ABCD中，∠DAC=∠ACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件不能是A．AD=BC B．OA=OCC．AB=CD D．∠ABC+∠BCD=180°5．如图，AB∥CD，AD不平行于BC，AC与BD相交于点O，写出三对面积相等的三角形是__________．6．如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF=22 m，则AB=__________m．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．若AB=23BC=3DE=12，DG=12AB，求四边形DEFG的周长．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P 从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连接PE，设点P的运动时间为t秒．（1）若PE⊥BC，求BQ的长；（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9．已知ABCD的对角线AC，BD的长分别为10，6，则AB长的范围是A．AB>2 B．AB<8 C．2<AB<8 D．2≤AB≤810．平行四边形ABCD与等边三角形AEF按如图所示的方式摆放，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是A．75°B．80°C．100°D．120°11．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BCD=∠ABD，DE平分∠ADB，下列说法：①AB∥CD；②ED⊥CD；③∠DFC=∠ADC–∠DCE；④S△EDF=S△BCF，其中正确的结论是A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PMN的面积；③△PAB的周长；④∠APB的大小；⑤直线MN，AB之间的距离．其中会随点P的移动而不改变的是A．①②③B．①②⑤C．②③④D．②④⑤13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边AB的中点，将△ABC沿着AB平移到△DEF 处，那么四边形ACFB的面积等于__________．14．如图，DE 是ABC △的中位线，M 是DE 的中点，CM 的延长线交AB 于点N ，:DMN CEM S S △△等于_________．15．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，OA =5cm ，E ，F 为直线BD 上的两个动点（点E ，F 始终在ABCD 的外面），且DE =12OD ，BF =12OB ，连接AE ，CE ，CF ，AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形． （2）若DE =13OD ，BF =13OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？ （3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC =60°，求四边形AECF 的周长．16．（2018·贵州黔东南、黔南、黔西南）如图在ABCD 中，已知AC =4 cm ，若△ACD 的周长为13 cm ，则ABCD 的周长为A ．26 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．18 cm17．（2018·甘肃兰州）如图，将ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，交BC 于点F ，若48ABD ∠=︒，40CFD ∠=︒，则E ∠为A ．102︒B ．112︒C ．122︒D ．92︒18．（2018·黑龙江绥化）下列选项中，不能判定四边形ABCD 是平行四边形的是A ．AD BC ∥，AB CD ∥ B ．AB CD ∥，AB CD =C ．AD BC ∥，AB DC =D ．AB DC =，AD BC =19．（2018·内蒙古呼和浩特）顺次连接平面上A 、B 、C 、D 四点得到一个四边形，从①AB ∥CD ②BC =AD③∠A =∠C ④∠B =∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有 A ．5种B ．4种C ．3种D ．1种20．（2018·广西玉林）在四边形ABCD 中：①AB ∥CD ；②AD ∥BC ；③AB =CD ；④AD =BC ，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有 A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种21．（2018·四川德阳）如图，四边形AOEF 是平行四边形，点B 为OE 的中点，延长FO 至点C ，使3FO OC =，连接AB 、AC 、BC ，则在ABC ∆中::ABO AOC BOC S S S △△△A ．621∶∶B ．321∶∶C ．632∶∶D ．432∶∶ 22．（2018·安徽）ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是 A ．BE =DF B ．AE =CF C ．AF ∥CED ．∠BAE =∠DCF23．（2018·广西梧州）如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BC =6 cm ，则DE 的长度是__________cm ．24．（2018·湖北十堰）如图，已知ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，且AC =8，BD =10，AB =5，则△OCD的周长为__________．25．（2018·江苏泰州）如图，ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若AD =6，AC +BD =16，则△BOC 的周长为__________．26．（2018·辽宁抚顺）如图，ABCD 中，AB =7，BC =3，连接AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连接AE ，则△AED 的周长是__________．27．（2018·山东淄博）在如图所示的平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于__________．28．（2018·福建）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F．求证：OE=OF．29．（2018·广西梧州）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的一条直线分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．30．（2018·辽宁大连）如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF=CE．求证：BE =DF ．31．（2018·湖北孝感）如图，B ，E ，C ，F 在一条直线上，已知AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF ，连接AD .求证：四边形ABED 是平行四边形．32．（2018·江苏无锡）如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，求证：∠ABF =∠CDE ．33．（2018·湖北恩施州）如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，FB =CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE于O ．求证：AD 与BE 互相平分．34．（2018·浙江衢州）如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．35．（2018·江苏宿迁）如图，在ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE=DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG=CH．36．（2018·青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．；（1）求证：AD BF（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．37．（2018·云南曲靖）如图：在平行四边形ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF=CE，连接EF，点M，N是线段EF上两点，且EM=FN，连接AN，CM．（1）求证：△AFN≌△CEM；（2）若∠CMF=107°，∠CEM=72°，求∠NAF的度数．38．（2018·黑龙江大庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；（2）若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．1．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB．∵△AOB的面积为3，∴ABCD的面积为4×3=12．故选C．2．【答案】B【解析】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠B∶∠C=1∶2，∴∠B=13×180°=60°，故选B．3．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=6，且AB的长是四边形ABCD周长的316，∴四边形ABCD周长为：6÷316=32，∴AB+BC=12×32=16，∴BC=10．故选C．5．【答案】△ADC和△BDC；△ADO和△BCO；△DAB和△CAB【解析】根据AB∥CD可得：△ABC和△ABD的面积相等，△ACD和△BCD的面积相等，则△ACD的面积减去△OCD的面积等于△BCD的面积减去△OCD的面积，即△AOD和△BOC的面积相等．【解析】∵E、F是AC，CB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，∵EF=22m，∴AB=44m，故答案为44．7．【解析】∵AB=23BC=3DE=12，∴BC=18，DE=4，∴DG=12AB=6，∵E，F，G分别是BC，AC，AB的中点，∴FG=12BC=9，EF=12AB=6，∴四边形DEFG的周长为4+6+9+6=25．8．【解析】（1）作AM⊥BC于M，如图所示：∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=12BC=5，∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5–t，∵CE=CQ–QE=2t–2，∴5–t=2t–2，解得：t=73，BQ=BC–CQ=10–2×71633；（2）存在，t=4；理由如下：若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE，∴t=10–2t+2，解得：t=4，∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4．【解析】如图，在平行四边形ABCD中，AO=CO=5，BO=DO=3，∴2<AB<8．故选C．10．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=180°–∠B=180°–45°=135°，∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠BAE=∠BAD–∠EAF=75°．故选A．11．【答案】D【解析】∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∠ADC+∠BCD=180°，∵∠A=∠BCD，∴∠ABC=∠ADC，∵∠A=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴①正确；∵∠A=∠ABD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴DE⊥CD，∴②正确；∵∠A=∠ABD，四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ADC=∠ADB+∠BDC，∴∠ADC=∠DBC+∠BCD，∴∠ADC–∠DCE=∠DBC+ ∠BCD–∠DCE=∠DBC+∠BCF，∵∠DFC=∠DBC+BCF，∴∠DFC=∠ADC–∠DCE；∴③正确；∵AB∥CD，∴△BED的边BE上的高和△EBC的边BE上的高相等，∴由三角形面积公式得：S△BED= S△EBC，都减去△EFB的面积得：S△EDF=S△BCF，∴④正确；综上得①②③④都正确，故选D．12．【答案】B【解析】∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=12 AB，即线段MN的长度不变，故①正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故②正确；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故③错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故④错误．直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故⑤正确；综上所述，随点P的移动而不变化的是①②⑤．故选B．13．【答案】9【解析】∵将△ABC沿AB方向向右平移到△DEF，∴四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFB是是梯形．∵∠ACB =90°，AC =3，BC =4，∴22345AB =+=．∵点D 是边AB 的中点，∴AD =BD =15522⨯=，∴CF =AD =12AB 52=， 设AB 边上的高为x ．∵AB =5，AC =3，BC =4，AB 边上的高为x ，∴12AC ·BC =12AB ·x ，∴125x =．∴S 梯形ACFB =1512(5)9225⨯+⨯=． 14．【答案】1∶3【解析】如图，作EF AD ∥，M 是DE 的中点，则△DMN ≌△EMF ，得MN =MF ，E 是AC 的中点，则FC =NF ，所以13MF MC =，得13FEM CEMS S =△△，得:DMN CEM S S △△=1∶3．16．【答案】D【解析】∵AC =4 cm ，若△ADC 的周长为13 cm ，∴AD +DC =13-4=9（cm ）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AD =BC ，∴平行四边形的周长为2（AB +BC ）=18 cm ．故选D ． 17．【答案】B【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，由折叠可得ADB BDF ∠=∠，∴DBC BDF ∠=∠，又∵40DFC ∠=︒，∴20DBC BDF ADB ∠=∠=∠=︒，又∵48ABD ∠=︒，∴ABD △中，1802048112A ︒︒-︒∠=-=︒，∴112E A ∠∠==︒，故选B ．18．【答案】C【解析】A 、由AD BC ∥，AB CD ∥可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意； B 、由AB CD ∥，AB CD =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意； C 、由AD BC ∥，AB DC =不能判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项符合题意；D 、由AB DC =，AD BC =可以判断四边形ABCD 是平行四边形，故本选项不符合题意，故选C ． 19．【答案】C【解析】当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形，故选C ． 20．【答案】B【解析】（1）①②，利用两组对边平行的四边形是平行四边形判定； （2）③④，利用两组对边相等的四边形是平行四边形判定；（3）①③或②④，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定，共4种组合方法，故选B ． 21．【答案】B【解析】如图，连接BF ．设平行四边形AFEO 的面积为4m ．∵FO ：OC =3：1，BE =OB ，AF ∥OE ，∴S △OBF =S △AOB =m ，S △OBC =13m ，S △AOC =23m ，∴S △AOB ∶S △AOC ∶S △BOC =m ∶23m ∶13m =3∶2∶1，故选B ． 22．【答案】B【解析】A 、如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC ，OB =OD ，∵BE =DF ，∴OE =OF ，∴四边形AECF 是平行四边形，故不符合题意；B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AF∥CE，∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF，又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF，∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，故选B．23．【答案】3【解析】∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=162=3 cm，故答案为：3．24．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD的周长=5+4+5=14，故答案为：14．25．【答案】14【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．26．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，∴AD=BC=3，CD=AB=7，∵由作图可知，MN 是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ADE的周长=AD+（DE+AE）=AD+CD=3+7=10，故答案为：10．27．【答案】10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=2，由折叠，∠DAC=∠EAC，∵∠DAC=∠ACB，∴∠ACB=∠EAC，∴OA=OC，∵AE过BC的中点O，∴AO=12BC，∴∠BAC=90°，∴∠ACE=90°，由折叠，∠ACD=90°，∴E、C、D共线，则DE=4，∴△ADE的周长为：3+3+2+2=10，故答案为：10．28．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．29．【解析】∵ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE和△COF中，EAO FCO AO OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．31．【解析】∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B=∠DEF，∠ACB=∠F．∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，∴BC=EF．在△ABC和△DEF中，B DEF BC EFACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE．又∵AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形．32．【解析】在ABCD中，AD=BC，∠A=∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF=CE，在△ABF与△CDE中，AB CDA C AF CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠ABF=∠CDE．33．【解析】如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分．34．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB=∠CFD=90°．在△ABE与△CDF中，AEB CFDBAE DCF AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴得△ABE≌△CDF（AAS），∴AE=CF．35．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC ，∠A =∠C ， ∴∠E =∠F ， 又∵BE =DF ， ∴AD +DF =CB +BE ， 即AF =CE ，在△CEH 和△AFG 中，E F EC FA C A ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEH ≌△AFG ， ∴CH =AG ．36．【解析】（1）∵E 是AB 边上的中点，∴AE BE =， ∵AD BC ∥， ∴ADE F ∠=∠，在ADE △和BFE △中，ADE F ∠=∠，DEA FEB ∠=∠，AE BE =， ∴ADE △≌BFE △， ∴AD BF =．（2）如图，过点D 作DM AB ⊥于点M ，∵AB ∥DC ，∴DM 同时也是平行四边形ABCD 的高， ∴11113282244AED S AB DM AB DM =⋅⋅=⋅=⨯=△， ∴32824EBCD S =-=四边形．37．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AFN=∠CEM，∵FN=EM，AF=CE，∴△AFN≌△CEM（SAS）．（2）∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF=∠ECM，∵∠CMF=∠CEM+∠ECM，∴107°=72°+∠ECM，∴∠ECM=35°，∴∠NAF=35°．38．【解析】（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，F是BC延长线上的一点，∴ED是Rt△ABC的中位线，∴ED∥F C．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF是平行四边形．（2）∵四边形CDEF是平行四边形；∴DC=EF，∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE的周长=AB+BC，∵四边形DCFE的周长为25 cm，AC的长5 cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得AB=13 cm．。

初中数学《八下》第十八章平行四边形-平行四边形考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分1、如图，将折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为，则下列结论一定正确的是A ．B ．C ．D ．知识点：平行四边形【答案】C【分析】根据折叠的性质，可得出DF=EF ，再结合题目有，四边形 CBEF 是平行四边形，继而有 BC=EF ，即可得出正确答案．【详解】解：由折叠的性质得，，，∵ 四边形是平行四边形，∴，．∴，∴．∵，∴ 四边形是平行四边形，∴，∴．故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质以及平行四边形的判定定理及其性质，属于中等难度题．失分的原因有2 个：（1 ）不能熟练运用折叠的性质；（2 ）未掌握平行四边形的性质与判定．2、已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF ∥AB．求证：四边形ABFE 是菱形．评卷人得分知识点：平行四边形【答案】见解析【分析】先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【详解】证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AD ∥BC，又∵EF ∥AB，∴ 四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，∵AD ∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴ 平行四边形ABFE是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．3、下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．AB ∥CD，AD＝BCB ．∠B＝∠C；∠A＝∠DC ．AB＝CD，CB＝ADD ．AB＝AD，CD＝BC知识点：平行四边形【答案】C【分析】平行四边形的判定定理① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，② 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．【详解】解：A、根据AD ∥CD，AD＝BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据∠B＝∠C，∠A＝∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB＝CD，AD＝BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据AB＝AD，BC＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．4、下列选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．AB //CD，AD＝BCB ．∠A＝∠D，∠B＝∠CC ．AB //CD，∠A＋∠B＝180°D ．∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180°知识点：平行四边形【答案】C【分析】平行四边形的判定定理：（1 ）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（4 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（5 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定定理逐个分析即可解答．【详解】解：A 、AB //CD，AD＝BC不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B 、∠A＝∠D，∠B＝∠C不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C 、因为∠A＋∠B＝180° ，所以AD //BC，又因为AB //CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D 、∠A＝∠C，∠B＋∠D＝180° 不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的判定定理，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理.5、如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下面的方法测出A，B间的距离：先在AB外选一点C，连接AC，BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得米，由此他知道了A，B间的距离为___________ 米，这种做法的依据是 _______________ ．知识点：平行四边形【答案】30 三角形中位线性质定理【分析】根据三角形中位线性质定理解答即可．【详解】解：∵ 点D，E是AC，BC的中点，∴AB＝2DE＝30 （m ），小石的依据是三角形中位线定理，故答案为：30 ；三角形中位线性质定理．【点睛】本题考查的是三角形中位线性质定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．6、如图，□ABCD 的对角线 AC ， BD 相交于点 O ，点 E 是 CD 的中点，△ABD 的周长为 16cm ，则△DOE 的周长是 _________ ；知识点：平行四边形【答案】8【详解】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD 中点，△ABD≌△CDB ，又∵E 是 CD 中点，∴OE 是△BCD 的中位线，∴OE=BC ，即△DOE 的周长=△BCD 的周长，∴△DOE 的周长=△DAB 的周长．∴△DOE 的周长=×16=8cm ．7、如图，D是△ABC内一点，BD ⊥CD，AD =6 ，BD =4 ，CD =3 ，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）A ． 7B ． 8C ． 11D ． 10知识点：平行四边形【答案】C【详解】分析：根据勾股定理求出BC的长，根据三角形的中位线定理得到HG =BC =EF，EH =FG =AD，求出EF 、HG、EH、FG的长，代入即可求出四边形EFGH的周长．详解：∵BD ⊥DC，BD =4 ，CD =3 ，由勾股定理得：BC ==5 ．∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG =BC =EF，EH =FG =AD．∵AD =6 ，∴EF =HG =2.5 ，EH =GF =3 ，∴ 四边形EFGH的周长是EF +FG +HG +EH =2× （2.5+3 ） =11 ．故选C ．点睛：本题主要考查对勾股定理，三角形的中位线定理等知识点的理解和掌握，能根据三角形的中位线定理求出EF、HG、EH、FG的长是解答此题的关键．8、如图，在Rt △ABC中，∠BAC＝90° ，过点A的直线MN ∥BC，点E为BC边上一点，过点E作DE ⊥AC ，交直线MN于点D，垂足为F．连接AE．（1 ）求证：BE＝AD；（2 ）当点E在BC的中点时，四边形AECD是什么特殊的四边形？说明理由．（3 ）若点E为BC的中点，当∠B满足什么条件时，四边形AECD是正方形？说明理由．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）菱形，见解析；（3 ）∠B＝45° ，见解析【分析】（1 ）MN ∥BC，得出四边形ADEB是平行四边形，即可得出结论；（2 ）先证明AECD是平行四边形，由斜边中线得到AE＝EC，可证明AECD是菱形；（3 ）当△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得出AE ⊥BC，即可得出四边形AECD是正方形．【详解】（1 ）证明：∵DE ⊥AC，∴∠EFC＝90° ，∵∠BAC＝90° ，∴∠BAC＝∠EFC，∴AB ∥DE，∵MN ∥BC，∴BE ∥AD，∴ 四边形ADEB是平行四边形，∴BE＝AD；（2 ）结论：四边形AECD是菱形．理由：当点E在BC的中点时，而四边形ADEB是平行四边形，∴ 四边形AECD是平行四边形，又∵，∴ 四边形AECD是菱形．（3 ）解：当∠B＝45° 时，四边形AECD是正方形．理由：∵∠BAC＝90° ，∠B＝45° ，∴△ABC是等腰直角三角形，∵E为AB的中点，∴AE ⊥BC，∴∠AEC＝90° ，四边形AECD是菱形，∴ 四边形AECD是正方形；故答案为：45° ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9、已知：如图1 ，四边形 ABCD 是平行四边形， E,F 是对角线 AC 上的两点， AE=CF.（1 ）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；（2 ）如果 AE=EF=FC, 请直接写出图中 2 所有面积等于四边形 DEBF 的面积的三角形 .知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）△ADF ，△CDE ，△CBE ，△ABF.【分析】（1 ）由四边形 ABCD 是平行四边形得出 OA=OC,OB=OD ，因为 AE=CF 可推出 OE=OF ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证结论；（2 ） AE=EF=FC 可知，故而可推面积等于四边形DEBF 的面积的三角形有：△ADF ，△CDE ，△CBE ，△ABF.【详解】（1 ）证明：连接BD 交 AC 于点 O ，∵ 平行四边形 ABCD∴OA=OC,OB=OD∵AE=CF∴OE=OF∴ 四边形 DEBF 为平行四边形；（2 ）由 AE=EF=FC 可知故面积等于四边形DEBF 的面积的三角形有：△ADF ，△CDE ，△CBE ，△ABF ；【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定，以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键.10、如图，在中，，，分别是边，，的中点，若的周长为10 ，则的周长为______ ．知识点：平行四边形【答案】20【分析】根据三角形中位线定理得到AC =2DE，AB =2EF，BC =2DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵△DEF的周长为10 ，∴DE +EF +DF =4 ，∵D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴AC =2DE，AB =2EF，BC =2DF，∴△ABC的周长=AC +AB +BC =2 （DE +EF +DF）=20 ，故答案为：20 ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．11、如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______ ．知识点：平行四边形【答案】．【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2 倍，可求得的面积，，因此可求得的长．【详解】解：∵ 四边形为平行四边形，∴，，，∴，∵，，，∴，∴，设与之间的距离为，∵，∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD 的面积是△ABC 的面积的 2 倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．12、如图，菱形ABCD 的两条对角线 AC ， BD 相交于点 O ， E 是 AB 的中点，若 AC ＝ 6 ， BD ＝ 8 ，则 OE 长为（）A ． 3B ． 5C ． 2.5D ． 4知识点：平行四边形【答案】C【分析】根据菱形的性质可得OB=OD ，AO⊥BO ，从而可判断 OE 是△DAB 的中位线，在Rt△AOB 中求出 AB ，继而可得出 OE 的长度．【详解】解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， AC=6 ， BD=8 ，∴AO=OC=3 ， OB=OD=4 ，AO⊥BO ，又∵ 点 E 是 AB 中点，∴OE 是△DAB 的中位线，在Rt△AOD 中， AB==5 ，则OE=AD=．故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．13、如图，以为直径的经过的中点，于点．（1 ）求证：是的切线；（2 ）当，时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和）．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）【分析】（1 ）连接，根据中位线定理，可得，由已知，可得，进而可得是的切线；（2 ））过点作，连接，根据已知条件求得扇形的圆心角的度数，进而求得扇形面积，求得的面积，根据阴影扇形即可求得阴影部分面积．【详解】（1 ）连接，如图，点是的中点，点是的中点，，，l14、如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M为边AB的M中点，若MO＝4cm ，则菱形ABCD的周长为（）A ． 32cmB ． 24cmC ． 16cmD ． 8cm知识点：平行四边形【答案】A【分析】根据菱形的性质可以判定O为BD的中点，结合E是AB的中点可知OM是△A BD的中位线，根据三角形中位线定理可知AD的长，于是可求出四边形ABCD的周长．【详解】解：∵ 四边形ABCD为菱形，∴BO＝DO，即O为BD的中点，又∵M是AB的中点，∴MO是△ABD的中位线，∴AD＝2MO＝2×4 ＝ 8cm ，∴ 菱形ABCD的周长＝4AD＝4×8 ＝ 32cm ，故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解答本题的关键是证明EO是△ABD的中位线，此题难度不大．15、如图，在□ABCD中，已知AB＞BC．（1 ）实践与操作：作∠ADC的平分线交AB于点E，在DC上截取DF =AD，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2 ）猜想并证明：猜想四边形AEFD的形状，并给予证明．知识点：平行四边形【答案】（1 ）详见解析；（2 ）四边形 AEFD 是菱形，理由详见解析 .【分析】（1 ）由角平分线的作法容易得出结果，在 AD 上截取 AF=AB ，连接 EF ；画出图形即可；（2 ）先利用证明四边形 AEFD 是平行四边形，然后利用 AD=DF 可判断□ AEFD 是菱形．．【详解】解：（1 ）如图所示：（2 ）猜想：四边形 AEFD 是菱形．证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥DC ，∴∠CDE=∠DEA ，∵DE 平分∠ADC ，∴∠CDE=∠ADE ，∴∠ADE=∠DEA ，∴AD=AE ，又∵AD=DF ，∴DF=AE 且DF∥AE ，∴ 四边形 AEFD 是平行四边形，∵AD=DF ，∴□ AEFD 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.16、如图，四边形是平行四边形，E，F分别是边，上的点，．证明．知识点：平行四边形【答案】见解析【分析】方法一：证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；方法二：证明，利用全等三角形的性质即可得结论．【详解】方法一证明：∵ 四边形是平行四边形，∴．∴．又∵，∴ 四边形是平行四边形．∴．方法二证明：∵ 四边形是平行四边形，∴，，．∵，∴．即．∴．∴．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及其判定方法，熟练运用平行四边形的性质及判定方法是解决问题的关键．17、以下四个命题：① 任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分；②A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环赛，若A，B，C，D，E分别赛了5 ， 4 ， 3 ， 2 ， 1 场，则由此可知，还没有与B 队比赛的球队可能是D队；③ 两个正六边形一定位似；④ 有 13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数不可能最少，但可能只比最少的多．比其他的都少．其中真命题的个数有（）A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个知识点：平行四边形【答案】A【分析】① 根据三角形中位线、中线的性质，结合平行四边形的判定与性质解题；② 由单循环赛对 A 队， E 队进行推理即可；③ 根据正六边形的性质、位似的定义解题；④ 由平均数定义解题．【详解】解：① 如图，是的中线，是的中位线，连接，由中位线定义可知，四边形是平行四边形对角线互相平分，故① 正确；② 由单循环比赛可知，每支队伍最多赛 5 场，A对已经赛5 场，即每支队伍都与A队比赛过，而E 队只比赛1 场，据此可知，E队没有与B对比赛过，故② 错误；③ 两个正六边形不一定位似，没有确定位似中心，只能是相似的，故③ 错误；④13 人参加捐款，其中小王的捐款数比 13 人捐款的平均数多 2 元，则小王的捐款数不可能最少，也可能最多，故④ 错误，其中真命题的个数有① ， 1 个，故选：A ．【点睛】本题考查中位线、中线的性质，简单推理、位似、正六边形的性质、平均数的应用等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18、如图，四边形是平行四边形，且分别交对角线于点E，F．（1 ）求证：；（2 ）当四边形分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形的形状．（无需说明理由）知识点：平行四边形【答案】（1 ）证明见解析；（2 ）四边形BEDF是平行四边形与菱形．【分析】（1 ）根据平行线的性质可得，即可得出，根据平行四边形的性质可得，，利用AAS即可证明；（2 ）当四边形ABCD为矩形时，根据全等三角形的性质可得BE =DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形；当四边形ABCD为菱形时，根据菱形的性质，利用SAS可证明△ABE ≌△ADE，可得BE =DE，即可证明四边形BEDF是菱形．【详解】（1 ）∵∴∴∵ 四边形是平行四边形∴，，∴在△ABE 和△CDF 中，∴．（2 ）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，同（1 ）可知，∴BE =DF，∵BE //DF，∴ 四边形BEDF是平行四边形．如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，同理可知四边形BEDF是平行四边形，∵ 四边形ABCD是菱形，∴AB =AD，∠BAE =∠D AE，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE ≌△ADE，∴BE =DE，∴ 四边形BEDF是菱形．综上所述：当四边形分别是矩形和菱形时，四边形分别是平行四边形与菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及菱形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．19、如图，在四边形中，平分交于点，交的延长线于点为延长线上一点，．（1 ）求证；（2 ）求的度数．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）130°【分析】（1 ）由邻补角的定义及题意可得到∠ADE =∠BCE，即可判定AD ∥BC；（2 ）根据题意及由三角形的外角定理得到∠DGE =∠E =25° ，由平行线的性质得到∠EBC =∠GDE =25° ，根据角平分线的定义得到∠ABE =∠EBC =25° ，再根据对顶角相等及三角形的内角和求解即可．【详解】解：（1 ）证明：∵∠ADE +∠BCF =180° ，∠BCE +∠BCF =180° ，∴∠ADE =∠BCE，∴AD ∥BC；（2 ）∵∠ADC =∠E +∠DGE，∠ADC =2∠E =50° ，∴∠DGE =∠E =25° ，由（1 ）得，AD ∥BC，∴∠EBC =∠DGE =25° ，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE =∠EBC =25° ，∵∠AGB =∠DGE =25° ，∠A +∠ABE +∠AGB =180° ，∴∠A =180°-25°-25°=130° ．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角及平行线的判定与性质，熟记三角形的内角和、外角定理及平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．20、如图，在网格中，线段的两个端点和点都在网格的格点上，分别按下列要求仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹）．（1 ）在图甲中画线段的中点．（2 ）在图乙中画线段，使得．知识点：平行四边形【答案】（1 ）见解析；（2 ）见解析【分析】（1 ）根据矩形的性质即可得到结论；（2 ）根据平行四边形的性质作出图形即可．【详解】解：（1 ）如图甲，点M即为所求；（2 ）如图乙，线段CD即为所求．【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，矩形的性质，平行四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．。

一、选择题1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=︒，则ADB ∠的度数为（ ）A ．65︒B ．55︒C ．45︒D ．25︒A解析：A【分析】 由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．20D ．24C解析：C【分析】 根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．3．如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，已知6AD =（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），2DF =．则AEF 的面积AEF S =（ ）A ．6B ．12C ．15D ．30C解析：C【分析】 延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，易证ADG ABE △≌△所以AE=AG ，BAE=DAG ∠∠ ， 证AFG AEG △≌△，所以 GF=EF ，设BE=DG=x ，则EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，利用勾股定理得222462x x 解得求出x ，最后求AGF S △问题即可求解．【详解】解：延长CD 到G ，使DG=BE ，连接AG ，在正方形ABCD 中，AB=AD ，90ADB B C ADC ∠=∠=∠=∠=︒ 90ADG B ∴∠=∠=︒，ADG ABE(SAS)∴△≌△，,AG AE BAE DAG ∴=∠=∠，45EAF ∠=︒ ，45DAF BAE ∴∠+∠=︒ ，GAF=45DAG DAF ∴∠∠+∠=︒，GAF=EAF ∴∠∠，又AF=AF ，AFG AEG ∴△≌△(SAS)，EF=FG ∴，设BE=DG=x ，则EC=6-x ，FC=4，EF=FG=x+2，在ECF Rt △中，222=FC CE EF +，()()22246=2x x ∴+-+，解得，x=3， GF=DG DF=2+3=5∴+，AEF AGF 11S =S =GF AD=56=1522∴⨯⨯△△， 故选：C ．【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.4．如图，在平行四边形ABCD 中，100B D ︒∠+∠=，则B 等于（ ）A ．50°B ．65°C ．100°D ．130°A解析：A【分析】 根据平行四边形的对角相等求出∠B 即可得解．【详解】 解：□ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B +∠D ＝100°，∴∠B ＝12×100°＝50°， 故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的对角相等是基础题．5．如图，已知正方形1234A A A A 的边长为1，延长12A A 到1B ，使得1212B A A A =，延长23A A 到2B ，使得2323B A A A =，以同样的方式得到34,B B ，连接1234,,,B B B B ，得到第2个正方形1234B B B B ，再以同样方式得到第3个正方形1234C C C C ，……，则第2020个正方形的边长为（ ）A ．2020B ．2019(5)C ．2020(5)D ．20205B解析：B【分析】 结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解【详解】解：由题意可得：第1个正方形1234A A A A 的边长为012=1=(5)A A∵1212B A A A =∴112A B =∴第2个正方形1234B B B B 221+2=5由题意，以此类推，215C B =2225C B =∴第3个正方形1234C C C C 222(5)(25)5(5)+==…∴第n 个正方形的边长为15)n -∴第2020个正方形的边长为2019(5)故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．6．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A ．3B ．23C ．33D ．43D解析：D【分析】 根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；【详解】如图，AC 与BD 相较于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，∴AC BD ⊥，2AO =，又∵∠ABC=60゜，∴30ABO ∠=︒，∴24AB AO ==，∴224223BO =-=，∴243BD BO ==；故选D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．7．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．8．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C【分析】 根据HL 证明△ADG ≌△FDG ，根据角的平分线的意义求∠GDE ，根据GE=GF+EF=EC+AG ，确定△BGE 的周长为AB+AC.【详解】根据折叠的意义，得△DEC ≌△DEF ，∴EF=EC ，DF=DC ，∠CDE=∠FDE ，∵DA=DF ，DG=DG ，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴AG=FG ，∠ADG=∠FDG ，∴∠GDE=∠FDG+∠FDE =12（∠ADF+∠CDF ） =45°， ∵△BGE 的周长=BG+BE+GE ，GE=GF+EF=EC+AG ，∴△BGE 的周长=BG+BE+ EC+AG=AB+AC ，是定值，∴正确的结论有①③④，故选C.【点睛】本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.9．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正方形OMNQ 与ABCD 的边长均为a ，OM 与CD 相交于点E ，OQ 与BC 相交于点F ，且满足DE CF ，则两个正方形重合部分的面积为（ ）A ．212aB ．214aC ．218a D ．2116a B 解析：B【分析】由正方形OMNQ 与ABCD 得∠DOC=∠MOQ=90°可推出∠DOE=∠COF 由AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线求得∠ODE=∠OCF=45°，可证△DOE ≌△COF （AAS ），利用面积和差S 四边形FOEC = S △EOC +S △DOE =S △DOC =214a 即可． 【详解】∵正方形OMNQ 与ABCD ，∴∠DOC=∠MOQ=90°，∴∠DOE+∠EOC =90º，∠EOC+∠COF=90º，∴∠DOE=∠COF ，又AC ，BD 是正方形ABCD 的对角线，∴∠ODE=∠OCF=45°，∵DE CF =，∴△DOE ≌△COF （AAS ），∴S 四边形FOEC =S △EOC +S △COF = S △EOC +S △DOE =S △DOC ，∵S △DOC =2ABCD 11=44S a 正方形， ∴S 四边形FOEC =214a ． 故选择：B ．【点睛】 本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题关键．10．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）A ．2180βα-=︒B ．60βα-=︒C ．180αβ+=︒D ．2βα=A 解析：A【分析】根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．【详解】Rt Rt ABC BAD △≌△,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠M 是AB 的中点，11,22CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===∴∠CAM=∠MCA ，Rt Rt ABC BAD △≌△AC BD ∴=()AMC BMD SSS △≌△1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠CMD α∴=∠180AMC BMD =︒-∠-∠1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠4180CAM =∠-︒90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，AEB β=∠=180BAD ABC ︒-∠-∠180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠2CAM =∠2180βα∴-=︒故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题11．如图，在ABC 中，10AB AC ==，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥交AB 于点F ．若F 为AB 中点，且12BC =，则DF =__________．8【分析】过点A 作AM ⊥BC 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N 证明△AFN ≌△BFE 得出AN=BE=3再利用勾股定理解答即可【详解】解：∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∴∠C+∠BFE=90∠B+∠BFE=90解析：8【分析】过点A 作AM ⊥BC ，过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，证明△AFN ≌△BFE ，得出AN=BE=3，再利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE BC ⊥，∴∠C+∠BFE=90，∠B+∠BFE=90°，∵∠BFE=∠AFD ，∠B=∠C ，∴∠BFE=∠AED=∠CDE ，∴AD=AF ，过点A 作AM ⊥BC ，在△ABC 中，∵AB=AC ，∴M 为BC 的中点，∴BM=12BC =6， 在Rt △ABM 中，AM=2222106AB BM -=-=8∵F 为AB 中点，FE ⊥BC ， ∴FE 为△ABM 的中位线，BF=AF=12AB =5， ∴AD=AF=5，BE=132BM =， 过点A 作AN ⊥BC 交DE 于N ，∵AF=BF ，∠AFN=∠BFE ，∠ANF=∠BEF=90°，∴△AFN ≌△BFE ，∴AN=BE=3，在Rt △AND 中，DN=2222534AD AN -=-=，∵AD=AF ，AN ⊥DF ，∴DF=2DN=8．故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，正确作出辅助线是解题的关键．12．如图，在菱形ABCD 中，6AC =，5AB =，点E 是直线AB ，CD 之间任意一点，连接AE ，BE ，DE ，CE ，则EAB 和ECD 的面积之和是______．12【分析】连接BD根据菱形对角线的性质利用勾股定理计算BD的长根据两平行线的距离相等所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论【详解】如图解析：12【分析】连接BD，根据菱形对角线的性质，利用勾股定理计算BD的长，根据两平行线的距离相等，所以△EAB和△ECD的面积和等于菱形ABCD面积的一半，再利用菱形面积等于对角线积的一半计算可得结论．【详解】如图，连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=12×6=3，∵AB＝5，由勾股定理得：224AB OA-=，∴BD=2OB=8，∵AB∥CD，∴△EAB和△ECD的高的和等于点C到直线AB的距离，∴△EAB 和△ECD 的面积和=12×ABCD S 菱形＝12×12×AC×BD=168=124⨯⨯． 故答案为：12． 【点睛】 本题考查菱形的性质，三角形的面积，平行线的性质，熟知平行线的距离相等，得△EAB 和△ECD 的高的和等于点C 到直线AB 的距离是解题的关键．13．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴22125+=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103． 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．14．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=192.5 2×2=14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a．【分析】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可．【详解】过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，A，∵点()9,9AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD为正方形，⊥，∠EAD=90°，∵AB AC∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD，=，AE=AD，∵AB AC∴△AEB≌△ADC（SAS），∴BE=CD，∵EB=EO-BO=9-a，∴CD=9-a，OC=OD+CD=9+9-a=18-a，故答案为：18-a．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．17．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．18．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若1DE=，则BF的长为__________．【分析】连接FE根据题意得CD=2AE=设BF=x则FG=xCF=2-x 在Rt△GEF中利用勾股定理可得EF2=（-2）2+x2在Rt△FCE中利用勾股定理可得EF2=（2-x ）2+12从而得到关于 解析：51-【分析】连接FE ，根据题意得CD=2，AE=5，设BF=x ，则FG=x ，CF=2-x ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得EF 2=（5-2）2+x 2，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得EF 2=（2-x ）2+12，从而得到关于x 方程，求解x 即可．【详解】解：连接EF ，如图，∵E 是CD 的中点，且CE=1∴CD=2，DE=1∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2∴2222215AD DE +=+设BF=x ，由折叠得，AG=AB=2，FG=BF=x ，∴52，在Rt △GFE 中，2222252)EF FG GE x =+=+在Rt △CFE 中，CF=BC-BF=2-x ，CE=1∴22222(2)1EF FC CE x =+=-+∴222252)(2)1x x +=-+解得：=51x ，即51,51【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．19．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝135°，AD＝42，AB＝8，作对角线AC的垂直平分线EF，分别交对边AB、CD于点E和点F，则AE的长为_____．【分析】连接CE过点C作交AB的延长线于点H设AE=x则BE=8-xCE=AE=x在根据勾股定理即可得到x的值【详解】如图：连接CE过点C作交AB的延长线于点H平行四边形ABCD中设AE=x则BE=解析：20 3【分析】连接CE，过点C作CH AB，交AB的延长线于点H，设AE=x，则BE=8-x，CE=AE=x，在根据勾股定理，即可得到x的值．【详解】如图：连接CE ，过点C 作CH AB ⊥，交AB 的延长线于点H ，平行四边形ABCD 中，135,2ABC AD ∠=︒=45,2CBH BC ∴∠=︒=90,H ∠=︒45,BCH ∴∠=︒4CH BH ∴==设AE=x ，则BE=8-x ，EF 垂直平分AC ，CE AE x ∴==， 在Rt CEH 中，222CH EH EC +=，()222484x x ∴+-+=， 解得：203x =， AE ∴的长为203， 故答案为：203． 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求解．三、解答题21．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE BF =，连接AE ，CF ．（1）求证：E F ∠=∠；（2）连接AF ，CE ，当BD 平分ABC ∠时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．解析：（1）见解析；（2）四边形AFCE 是菱形，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD=CB ，AD ∥BC ，从而可以得到∠ADE=∠CBF ，然后根据SAS 证明△ADE ≌△CBF ，从而得出结论；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ADE=∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，AD CB ADE CBF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CBF （SAS ），∴∠E=∠F ；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD ，∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，∵DE=BF ，∴OE=OF ，又∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形，∵AC ⊥EF ，∴四边形AFCE 是菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒 【分析】 （1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t秒．∵四边形MNCB是平行四边形，∴MB=NC，当N从D运动到C时，∵BC=13cm，CD=21cm，∴BM=AB-AM=16-t，CN=21-2t，∴16-t=21-2t，解得t=5，当N从C运动到D时，∵BM=AB-AM=16-t，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t ＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN ，当N 从C 运动到D 时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t ，∵BM 2=BN 2=NH 2+BH 2=122+（16-2t ）2，∴（16-t ）2=122+（16-2t ）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形． 【点睛】 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．解析：（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°， 在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴AP=2253-=4，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．24．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．解析：证明见解析．【分析】连接AC ，证ABE ACF ≌即可【详解】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AC 平分BCD ∠．∵60B ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴AB AC =，60∠=∠=∠︒=B BCA ACF ． ∴在ABE △与ACF 中，AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∴ABE ACF ≌．∴AE AF =．【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解此题的关键． 25．已知：平行四边形ABCD 中，点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，联结AM 、CN ．（1）求证：AM ∥CN ；（2）过点B 作BH AM ⊥，垂足为H ，联结CH ．求证：△BCH 是等腰三角形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得AB ∥CD ，AB=CD ，又由点M 为边CD 的中点，点N 为边AB 的中点，即可得CM=AN ，继而可判定四边形ANCM 是平行四边形，则可证得AM ∥CN ．（2）由AM ∥CN ，BH ⊥AM ，点N 为边AB 的中点，可证得BH ⊥CN ，ME 是△BAH 的中位线，则可得CN 是BH 的垂直平分线，继而证得△BCH 是等腰三角形．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD 且AB CD =．∵点M 、N 分别是边CD 、AB 的中点，∴12CM CD =，1AN AB 2=． ∴CM AN =．又∵AB ∥CD ， ∴四边形ANCM 是平行四边形∴AM ∥CN ．（2）设BH 与CN 交于点E ，∵AM ∥CN ，BH ⊥AM ，∴BH ⊥CN ，∵N 是AB 的中点，∴EN 是△BAH 的中位线，∴BE=EH ，∴CN 是BH 的垂直平分线，∴CH=CB ，∴△BCH 是等腰三角形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形ABCD 中，点O 是线段BC 的中点，将将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转得到正方形A B C D ''''（点A '，B '，C '，D 分别是点A ，B ，C ，D 的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O 旋转过程中，顺次连接点B ，B '，C ，C '得到四边形''BB CC ，求证：四边形''BB CC 是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B '落在对角线BD 上时，设A B ''与CD 交于点M .求证：四边形OB MC '是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O 是线段BC 的三等分点且2OB OC =，在正方形ABCD 旋转的过程中当线段A D ''经过点D 时，请直接写出''DD OC 的值． 解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2'='DD OC． 【分析】(1)由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．（3）过D 作DN ⊥B′C′，证Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)，设OC=a ，得到OC′=a ，DD′=2a ，即可求解.【详解】解：（1）由旋转性质可得OB OB '=，OC OC '=．点O 是线段BC 的中点 OB OC ∴=，''∴=OB OC ，OB OC =．∴四边形''BB CC 是平行四边形．又BC B C ''=，∴平行四边形''BB CC 是矩形． （2）证明：四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=，90C ∠=︒．180180904522-∠︒-∴︒∠=∠===︒︒C CBD CDB 由旋转可知，OB OB '=，45''∴∠=∠=︒OB B OBB454590'''∴∠=∠+∠=︒+︒=︒B OC OB B OBB ．四边形A B C D ''''是正方形，90'∴∠=︒OB M∴四边形OB MC '是矩形OB OC =，OC=OC′ ，OB′=OB ，∴OC=OB′∴矩形OB MC '是正方形，（3）2'='DD OC ．如图，过D 作DN ⊥B′C′可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt △DNO 与Rt △DCO 中，∵OD=OD ，DN=DC ，∴Rt △DNO ≌Rt △DCO(HL)设OC=a ，则OB=2OC=2a ，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a ，DD′=NC′=ON+OC′=2a ， ∴2DD a OC a'='=2． 【点睛】 本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．27．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案解析：（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．28．如图1，正方形ABCD ，E 为平面内一点，且90BEC ∠=︒，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ，直线AG 和直线CE 交于点F ．（1）证明：四边形BEFG 是正方形；（2）若135AGD ∠=︒，猜测CE 和CF 的数量关系，并说明理由；（3）如图2，连接DF ，若13AB =，17CF =，求DF 的长．解析：（1）见解析；（2）CE=CF ，理由见解析；（3）522【分析】（1）根据正方形的判定定理进行证明即可；（2）证明Rt ADH ≌Rt BAG 得DH AG =，AH=BG ，再证明△DHG 是等腰直角三角形，可得DH=BH=AG ，最后由BEFG 是正方形可得结论；（3）分点F 在AB 右侧和左侧两种情况求解即可．【详解】解：（1）证明：90BEC =︒∠，把BCE 绕点B 逆时针旋转90︒得BAG ， BE BG ∴=，90EBG ∠=︒，90BGA ∠=︒，则90BGF ∠=︒，90BEC EBG BGF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形BEFG 是正方形；（2）CE CF =，理由如下：过D 点作DH AF ⊥，垂足为H ，如图，四边形ABCD 是正方形，90BAD ∴∠=︒，AB AD =，90BGA ∠=︒，90DAH BAG ∴∠+∠=︒，90BAG ABG ∠+∠=︒，DAH ABG ∴∠=∠，在Rt ADH 和Rt BAG 中，90,DAH ABG BGA AHD AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩Rt ADH ∴≌()Rt BAG AAS ，DH AG ∴=，∵∠DGH =180°-∠AGD =45°∴在Rt △DHG 中，∠GDH =45°∴DH =GH =AG∴1122AG GH AH BG === 又AG CE =，EF BG =，2EF CE ∴=，CE CF ∴=；（3）①点F 在AB 右侧时，如图，过D 作DK ⊥AG ，交其延长线于K ．设正方形BEFG 的边长为x ，则BE x =，17CE x =-，在Rt BEC △中，13BC =，根据勾股定理可得，222BE CE BC +=，即222(17)13x x +-=，解得112x =，25(x =不符合条件，舍去)，即12BG BE ==，17125AG CE ==-=，∵四边形BEFG 是正方形，∴∠BAD =90°．∵DK ⊥AG ，∴∠K =90°．∵∠BAG +∠KAD =180°—∠BAD =90°∠ADK +∠KAD =90°∴∠BAG =∠ADK在Rt △ABG 和Rt △DAK 中，90G K AB ADBAG ADK ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以Rt△ADK≌Rt BAG，则AK=BG=12，DK=AG=5，∵AF+FK=AK=BG=GF=AG+AF∴FK=AG=5在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF=2252+=DK FK②点F在AB左侧时，如图，过D作DK⊥AG，交其延长线于K．方法同①，可得FK=AG=12，在R t△DFK中，根据勾股定理可得，DF22122+=DK FK综上所述，DF的长为522【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和定理是解本题的关键．。

一、选择题1．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母M 所代表的正方形面积可表示为（ ）A ．40064-B ．2240064-C ．2240064-D ．40064+A解析：A【分析】 要求图中字母所代表的正方形的面积，根据面积=边长×边长=边长的平方，设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理即可求出2a ，即可得到答案．【详解】设M 的边长为a ，直角三角形斜边的长为c ，另一直角边为b ，则2400c =，264b =，如图所示，在该直角三角形中，由勾股定理得：22240064a c b =-=-，故选：A ．【点睛】本题主要考查勾股定理的应用和正方形的面积公式，解题的关键在于熟练运用勾股定理求出正方形的边长的平方．2．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，重叠部分为BDE ，则图中全等三角形共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对C解析：C【分析】因为图形对折，所以首先△CDB ≌△ABD ，由于四边形是长方形，进而可得△ABE ≌△CDE ，如此答案可得．【详解】解：∵△BDC 是将长方形纸片ABCD 沿BD 折叠得到的，∴CD=AB ，AD=BC ，∵BD=BD ，∴△CDB ≌△ABD （SSS ），∴∠CBD=∠ADB∴EB=ED∴CE=AE又AB=CD∴△ABE ≌△CDE ，∴图中全等三角形共有2对故选：C【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．做题时要由易到难，循序渐进． 3．如图，在平行四边形ABCD 中，90B ∠<︒，BC AB >．作AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，记EAF ∠的度数为α，AE a =，AF b =．则以下选项错误的是（ ）A ．::a b CD BC =B ．D ∠的度数为αC ．若60α=︒，则四边形AECF 的面积为平行四边形ABCD 面积的一半D ．若60α=︒，则平行四边形ABCD )433a b +C 解析：C【分析】由平行四边形的性质得出//AD BC ，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，得出180D C ∠+∠=︒，求出180EAF C ∠+∠=︒，得出B D EAF α∠=∠=∠=；由平行四边形ABCD 的面积得出::a b CD BC =；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，求出30BAE DAF ∠=∠=︒，由直角三角形的性质得出33BE AE ==，33DF ，得出232AB BE =，232AD DF ==，求出平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；求出ABE ∆的面积212BE AE =⨯=，ADF ∆的面积2=，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=，得出四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半；即可得出结论． 【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，AD BC =，AB CD =，B D ∠=∠，180D C ∴∠+∠=︒，AE BC ⊥于点E ，AF CD ⊥于点F ，360290180EAF C ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，B D EAF α∴∠=∠=∠=；平行四边形ABCD 的面积BC AE CD AF =⨯=⨯，AE a =，AF b =，BC a CD b ∴⨯=⨯，::a b CD BC ∴=；若60α=︒，则60B D ∠=∠=︒，30BAE DAF ∴∠=∠=︒，BE AE ∴==，DF =，2AB BE ∴==，2AD DF ==，∴平行四边形ABCD 的周长2())AB AD a b =+=+；ABE ∆的面积21122BE AE a =⨯=⨯=，ADF ∆的面积21122DF AF b =⨯=⨯，平行四边形ABCD 的面积BC AE a =⨯=⨯=， ∴四边形AECF 的面积=平行四边形ABCD 的面积ABE -∆的面积ADF -∆的面积22)a b =+≠平行四边形ABCD 面积的一半； 综上所述，选项A 、B 、D 不符合题意，选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．4．下列命题中，错误的是 （ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形．A 解析：A【分析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．【详解】解：A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B. 对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C. 对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D. 一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．故选：A【点睛】本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．5．如果平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，那么在下列条件中，能判断平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．OAB OBA ∠=∠；B ．OAB OBC ∠=∠； C ．OAB OCD ∠=∠；D ．OAB OAD ∠=∠．D解析：D【分析】根据菱形的判定方法判断即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠OAB=∠ACD ，∵∠OAB=∠OAD ，∴∠DAC=∠DCA ，∴AD=CD ， ∴四边形ABCD 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．102112B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012． 故选：B ．【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．7．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（ ）A ．平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形D解析：D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.8．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（ ）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】 先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；B 、AB=BE 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；C 、DF=EF 时，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合题意；D 、当DE 平分ADB ∠时，四边形AEBD 是菱形，故该选项符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．10．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（ ）A ．6B ．43C ．43+D ．423+D解析：D【分析】 只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE 最小23=，BEF ∴∆的周长最小值为423+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．二、填空题11．如图，直线a 过正方形ABCD 的顶点A ，点B 、D 到直线a 的距离分别为1、3，则正方形的边长为_______．【分析】先由正方形的性质可知再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA 再由全等三角形的性质可得；最后在在Rt △BEA 中由勾股定理得：即得本题答案【详解】解：在正方形中；∵∴；∵∴；在Rt △AFD 和Rt △BEA 10【分析】先由正方形的性质可知DA AB =，再证明Rt △AFD ≌Rt △BEA ，再由全等三角形的性质可得3DF AE ==，1AF BE ==；最后在在Rt △BEA 中，由勾股定理得：2210AB AE BE =+=【详解】解：在正方形ABCD 中，AD AB =；∵DF AF ⊥，BE AE ⊥，∴90AFD AEB ∠=∠=︒，90ADF DAF ∠+∠=︒；∵90DAF BAE ∠+∠=︒，∴ADF BAE =∠∠；在Rt △AFD 和Rt △BEA 中，AFD AEB ADF BAE AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴Rt △AFD ≌Rt △BEA （AAS ），∴3DF AE ==，1AF BE ==；在Rt △BEA 中，由勾股定理得：22223110AB AE BE =+=+= 10．【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的性质与判定以及勾股定理的知识． 12．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB =--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．13．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC 的长【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴ 解析：232【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，AD=AB=2，若∠BAD=60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=2，∴OD=1，∴22213-=， ∴AC=3若∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=2；故答案为：23或2．【点睛】此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．14．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别在边,AB AC 上，且BD CE =，连接,CD DE ，点,,M N P 分别是,,DE BC CD 的中点，34PMN ∠=，则MPN ∠的度数是_______．【分析】根据点MNP 分别是DEBCCD 的中点可以证明MP 是ΔDEC 的中位线NP 是ΔDBC 的中位线根据中位线定理可得到MP=NP 再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM 最后根据三角形的内角和定理可解析：112【分析】根据点 M ，N ，P 分别是 DE ，BC ，CD 的中点，可以证明MP 是ΔDEC 的中位线，NP 是ΔDBC 的中位线，根据中位线定理可得到MP=NP ，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM ，最后根据三角形的内角和定理可以得到∠MPN ．【详解】解：如图∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点∴MP是ΔDEC的中位线，∴MP=1EC，2NP是ΔDBC的中位线∴NP=1BD，2又∵BD=CE∴MP=NP∴∠PMN=∠PNM=34∘∴∠MPN=180∘-∠PMN-∠PNM=180∘-34∘-34∘=112∘故答案位：112°【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理求线段的长度．15．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连结EF，则EF的最小值等于__________．48【分析】连接由菱形的性质解得再根据勾股定理解得继而证明四边形为矩形得到根据垂线段最短解得当时有最小值最后根据三角形面积公式解题即可【详解】连接四边形是菱形四边形为矩形当时有最小值此时的最小值为故解析：4.8【分析】连接OP ，由菱形的性质解得118,622BO BD OC AC ====，再根据勾股定理解得10BC =，继而证明四边形OEPF 为矩形，得到FE OP =，根据垂线段最短解得当OP BC ⊥时，OP 有最小值，最后根据三角形面积公式解题即可．【详解】 连接OP ，四边形ABCD 是菱形，12,16AC BD ==,AC BD ∴⊥118,622BO BD OC AC ==== 22643610BC OB OC ∴=+=+=,,PE AC PF BD AC BD ⊥⊥⊥∴四边形OEPF 为矩形，FE OP ∴=当OP BC ⊥时，OP 有最小值，此时1122OBC S OB OC BC OP =⋅=⋅ 68 4.810OP ⨯∴== EF ∴的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点睛】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．16．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．【分析】过点P作PG⊥CB交CB的延长线于点G过点Q作QF⊥CB运用AAS定理证明△QBF≌△BPG根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析：10【分析】过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB，运用AAS定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt △ABC 中，BC=228AB AC -=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF ⊥BC ，∠ECB=45°∴△CQF 是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键17．如图，平面直角坐标系中，已知点()9,9A ，点B 、C 分别在y 轴、x 轴上，AB AC ⊥且AB AC =，若B 点坐标为()0,a ，则OC =______（用含a 的代数式表示）．18-【分析】过A 作AE ⊥y 轴于EAD ⊥x 轴于D 构造正方形AEOD 再证△AEB ≌△ADC （SAS ）得BE=CD 由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】解析：18-a ．【分析】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，构造正方形AEOD ，再证△AEB ≌△ADC （SAS ），得BE=CD ，由EB=EO-BO=9-a ，可求CD=9-a ，求出OC=OD+CD=9+9-a =18-a 即可．【详解】过A 作AE ⊥y 轴于E ，AD ⊥x 轴于D ，∵点()9,9A ，AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º，四边形AEOD 为正方形，∵AB AC ⊥，∠EAD=90°，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAE=∠CAD ，∵AB AC =，AE=AD ，∴△AEB ≌△ADC （SAS ），∴BE=CD ，∵EB=EO-BO=9-a ，∴CD=9-a ，OC=OD+CD=9+9-a =18-a ，故答案为：18-a ．【点睛】本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．18．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．【分析】根据题意得到BE ＝DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解：设ED ＝x 则AE ＝20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD 解析：858【分析】根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．【详解】解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴EB ＝ED ＝x ；由勾股定理得：BE 2＝AB 2+AE 2，即x 2＝52+（20﹣x ）2，解得：x ＝858， ∴ED ＝858． 【点睛】本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．19．在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______．【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解：∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC91【分析】由▱ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，可得∠D=120°，继而求得∠A 与∠BCD 的度数，然后由勾股定理求得AB ，BE ，BC 的长，继而求得答案．【详解】解：∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，BE=2233AB AE-=，∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴CE=2291BE BC+=，故答案为：91．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适合，注意掌握数形结合思想的应用．20．在长方形ABCD中，52AB=，4BC=，CE CF=，CF平分ECD∠，则BE=_________．【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：7 6【分析】延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x，则有EC=EG=3+x，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，223BG CG CB -=，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+， 解得：76x =， ∴76BE =； 故答案为76． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题21．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，求AC的长度．解析：4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA的长，从而可以求得AC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝OB＝OD，∵∠AOD＝60°，AD＝2，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4，即AC的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB是等边三角形是解题的关键．22．如图，已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线于点E， 交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形．EF BC解析：见解析．【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形，即可得AB=DE，等量代换可得CD=DE，根据直角三角形斜边中线的性质定理可得DF＝CD＝DE，进而可得AB=DF，再说明线段AB和DF不平行即可求证结论．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，=．∴AD∥BC，AB∥CD，AB CD∴AB∥DE；又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．=．∴AB DE∴CD DE=．⊥，∵EF BC∴DF＝CD＝DE．=．∴AB DF∵CD、FD交于点D，∴线段AB与线段FD不平行．∴四边形ABFD是等腰梯形．【点睛】本题考查平行四边形的判定及其性质、梯形的判定，直角三角形的斜边中线的性质定理，解题的关键是掌握两腰相等的梯形是等腰梯形．23．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．第二步：固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，请写出线段AM与CN始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．解析：（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠【分析】（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．【详解】（1）关系：AM CN =理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；∴12∠=∠；又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△∴AS CT =，OS OT =；∴ES GT =；又//EF GH ，∴56∠=∠；又12∠=∠；∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =，则AS SM CT TN +=+即AM CN =（2）四边形MRNQ 为菱形．证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．由题可知：矩形ABCD ≌矩形EFGH∴AD=EH ，AB ∥CD ，EF ∥HG∴四边形QMRN 为平行四边形，∵QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，∴QK=EH ，QL=AD ，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL ，又∵AB ∥CD ，EF ∥HG ，∴∠KMQ=∠MQN ，∠MQN=∠LNQ ，∴∠KMQ=∠LNQ ，∴△QKM ≌△QLN （AAS ）∴MQ=NQ∴四边形MRNQ 为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN=∠QND，∴∠MQN=∠AOE．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．24．如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，求DE的长．解析：10 3【分析】先根据三角形的面积公式求得BF的长，然后根据勾股定理可求得AF=10，由翻折的性质和矩形的性质可知BC=10，故此FC=2，最后在△EFC中，由勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵S△ABF=24，∴12AB•BF＝24，即12×6×BF＝24．解得：BF=8．在Rt△ABF中由勾股定理得：22AB BF=10．由翻折的性质可知：BC=AD=AF=10，ED=FE．∴FC=10-8=2．设DE=x ，则EC=6-x ．在Rt △EFC 中，由勾股定理得：EF 2=FC 2+EC 2，x 2=4+（6-x ）2．解得：x=103， ∴DE=103． 【点睛】本题主要考查的是矩形与折叠、三角形的面积公式、勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x 的方程是解题的关键．25．如图，在ABC 中，AB AC =，10BC =．（1）尺规作图：（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作BAC ∠的平分线交BC 于点D ；②作边AC 的中点E ，连接DE ；（2）在（1）所作的图中，若12AD =，则DE 的长为__________．解析：（1）①见解析；②见解析；（2）6.5【分析】（1）①以A 为圆心，小于AB 的长度为半径画圆，交AB 、AC 于两个点，再分别以这两个点为圆心，一样的半径画弧，交于一点，连接这个点与点A ，即可得到BAC ∠的平分线，再画出它与BC 的交点D ；②作线段AC 的垂直平分线，即可找到线段AC 的中点E ，连接DE ；（2）由等腰三角形“三线合一”的性质得152BD BC ==，AD BC ⊥，用勾股定理求出AB 的长，再根据中位线的性质得到DE 的长．【详解】解：（1）①如图所示：②如图所示：（2）∵AB AC =，AD 平分BAC ∠， ∴152BD BC ==，AD BC ⊥， 在Rt ABD △中，2213AB AD BD =+=， ∵E 、D 分别是AC 和BC 的中点，∴1 6.52DE AB ==， 故答案是：6.5．【点睛】 本题考查等腰三角形的性质，中位线的定理，以及角平分线和垂直平分线的作法，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理以及作图方法．26．已知：如图，在ABCD 中，4,6,AC BD CA AB ==⊥，求ABCD 的周长和面积． 解析：521+，5【分析】依据平行四边形的对角线互相平分，即可得到2AO =，3BO =，再根据勾股定理即可得出AB 与BC 的长，进而得到ABCD 的周长和面积． 【详解】解：如图所示，4AC =，6BD =，2AO ∴=，3BO =，又CA AB ⊥， Rt AOB ∴∆中，2222325AB BO AO =-=-Rt ABC 中，2222(5)421BC AB AC =+=+=ABCD ∴的周长2(521)25221==，ABCD 的面积5445AB AC =⨯=⨯=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．27．已知：如图，ABCD 中，AE 、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，分别交边DC 、AB 于点E 、F ，求证：AE CF =．解析：见解析【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF ∆≅∆即可判断AE CF =．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，DAB DCB ∴∠=∠，D B ∠=∠，AD BC =．AE ∵、CF 分别是BAD ∠和BCD ∠的角平分线，DAE BCF ∴∠=∠．()ADE CBF ASA ∴∆≅∆．AE CF ∴=．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．28．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE ∠=︒，40BAD ∠=︒，求 BED ∠的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．解析：（1）55︒；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．【详解】解：（1）BED ∠是ABE ∆的外角， 154055BED ABE BAD ；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==⨯=，ABC ∆的面积为40， ∴1402BC AG ，即110402AG ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线， ∴11402022ABD ABC S S ， 又∵BE 为ABD ∆的中线， ∴11201022EBD ABD S S ， 则有：1151022BD EFEF 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．。

平行四边形的判定练习题(含答案)（1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（）（2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（）（5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（）（6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（）5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________．6．如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．7．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F 为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．8．如图所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．9．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB 的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．10．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．知能点2 三角形的中位□线11．如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．12．如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，DE交AD．于点N，求证：MN∥AD且MN=1213．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．14．如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长为（）． A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm 15．如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？16．如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF的面积．规律方法应用17．如图所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？18．如图所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F 分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？19．如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•（BC-AC）．试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=12开放探索创新20．如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．中考真题实战21．（长沙）如下左图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条件是________．（添加一个即可）22．（呼和浩特）如上右图所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH ：S四边形ABCD的值是_________．23．（南京）已知如图19-1-55所示，在Y ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.求证：（1） △AFD≌△CEB．（2）四边形AECF是平行四边形．答案:1．C 2．C 3．D4．（1）× （2）× （3）∨ （4）∨ （5）∨ （6）×5．AD=BC或AB∥CD6．解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC．又∵∠3=∠4，∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．7．证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF．又∵AE=CE，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE=EF．8．证明：∵FC∥AB，∴∠DAC=∠ACF，∠ADF=∠DFC．又∵AE=CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴DE=EF．∵AE=CE，∴四边形ADCF为平行四边形．∴CD=AF．9．证明：∵四边形ABCD是平行四边形．∴AB//DC．又∵BE=AB，∴BE//DC，∴四边形BDCE是平行四边形．∵DC∥BF，∴∠CDF=∠F．同理，∠BDM=∠DMC．∵BD=BF，∴∠BDF=∠F．∴∠CDF=∠CMD，∴CD=CM．10．证明：过点B作BG∥AD，交DC的延长线于G，连接EG．∵DC∥AB，∴ABGD是平行四边形，∴BG// AD．在□ACED中，AD//CE，∴CE//BG．∴四边形BCEG为平行四边形，∴EF=FB．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AD=BC．∵CE=CD，∴AB//CE，∴四边形ABEC为平行四边形．∴BF=FC，∴OF//1AB，即AB=2OF．212．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC．又∵EF∥AB，∴EF∥CD．∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．又∵M，N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点．∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．∴MN∥AD且MN=12AD．13．4 14．B15．解：EFGH是平行四边形，连接AC，在△ABC中，∵EF是中位线，∴EF//12AC．同理，GH//12AC．∴EF//GH，∴四边形EFGH为平行四边形．16．解：∵EF，DE，DF是△ABC的中位线，∴EF=12AB，DE=12AC，DF=12BC．又∵AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，∴EF=5cm，DE=3cm，DF=4cm，而32+42=25=52，即DE2+DF2=EF2．∴△EDF为直角三角形．∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6（cm2）．17．解：∵M，N分别是AC，BC的中点．∴MN是△ABC的中位线，∴MN=12AB．∴AB=2MN=2×20=40（m）．故A，B两点间的距离是40m．18．解：连接DE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD．∵DF=12CD，AE=12AB，∴DF//AE．∴四边形ADFE是平行四边形．∴EF=AD=1cm．∵AB=2AD，∴AB=2cm．∵AB=2AD，∴AB=2AE，∴AD=AE．∴∠1=∠4．∵∠A=60°，∠1+∠4+∠A=180°，∴∠1=∠A=∠4=60°．∴△ADE是等边三角形，∴DE=AE．∵AE=BE，∴DE=BE，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2+∠3，∠1=60°，∴∠2=∠3=30°．∴∠ADB=∠3+∠4=90°．=cm）．19．解：延长AD交BC于F．（1）∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠FDC=90°．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠FCD．在△ACD与△FCD中，∠ADC=∠FDC，DC=DC，∠ACD=∠FCD．∴△ACD≌△FCD，∴AC=FC，AD=DF．又∵E为AB的中点，∴DE∥BF，即DE∥BC．（2）由（1）知AC=FC，DE=12BF．∴DE=12（BC-FC）=12（BC-AC）．20．解：AE=CF．理由：过E作EG∥CF交BC于G，∴∠3=∠C．∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°．∴∠C=∠BAD，∴∠3=∠BAD．又∵∠1=∠2，BE=BE，∴△ABE≌△GBE（AAS），∴AE=GE．∵EF∥BC，EG∥CF，∴四边形EGCF是平行四边形，∴GE=CF，∴AE=CF．21．答案不唯一，如AB=CD或AD∥BC．22．1223．解：（1）在□ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=12CD，BE=12AB，∴DF=BE，∴△AFD≌△CEB．（2）在□ABCD中，AB=CD，AB∥CD．由（1）得BE=DF，∴AE=CE，∴四边形AECF是平行四边形．。

特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。

平行四边形的判定专项练习30题（有答案）求证：四边形ABCD 为平行四边形.I __ D ZX73 .已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与BD 交于点0,现给出四个条件： ①0A=0C ;②AB=CD ;③/BAD= ZDCB ;④AD //BC •请你从中选择两个，推出四边形ABCD 为平行四边形，并写出你的推理过程.（1 ）从以上4个条件中任意选取 2个条件，能推出四边形 ABCD 是平行四边形的有（用序号表示） __________________ . （2 ）从（1 ）中选出一种情况，写出你的推理过程.4 .如图，已知：点 B 、E 、F 、D 在一条直线上，DF=BE , AE=CF .请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添 加到已知条件中，使四边形 ABCD 是平行四边形，并说明理由，供选择的三个条件（请从其中选择一个）：2 .如图，四边形 ABCD 中，/ BAC=90,AB=11 ABCD 是平行四边形.-x , BC=5 , CD=x - 5 , AD=x - 3, AC=4.AD //BC , ED //BF , AF=CE ，求证:①AB=DC :② BC=AD ;③/AED= /CFB .5 .如图，在？ ABCD中，AC交BD于点0,点E,点F分别是OA , OC的中点，请判断线段BE,7 .如图，已知BE丄AD , CF丄AD，且BE=CF .求证：(1 ) AD是△ABC的中线；(2)请连接BF、CE,试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由.DF的位置关6.如图所示, 以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形厶ABD、ABCE、△XCF ,猜想: 四边形ADEFA8 .如图，矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O, E、F是BD上的两点，且/ AEB= /CFD .求证：四边形AECF是平行四边形.9 .如图：在四边形ABCD 中，AD //BC, AB=CD , E 是BC 上一点，DE=AB .10 .如图，已知AB //DC, E是BC的中点，AE , DC的延长线交于点F;(1 )求证：△ ABE 也£CE;11 .等边△ ABC 中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD=BE ，以AD 为边作等边△ ADF ，如图.求证：四边形 CDFE 是平行四边形.足为F ,连结DF . 求证：(1 )MBC 也△AF ; (2)四边形ADFE 是平行四边形.别从A 、C 同时出发，点 P 以2cm/秒的速度由A 向D 运动，点Q 以3cm/秒的速度由C 向B 运动.12 •如图，分别以 Rt △ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD 、等边△ ABE .若/BAC=30,EF 丄 AB ，垂13 .已知：如图，在△ ABC 中，中线BE , CD 交于点O , F , G 分别是OB , OC 的中点.求证：四边形 DFGE 是平14 •如图所示：在四边形ABCD 中，AD //BC 、BC=18cm , CD=15cm , AD=10cm , AB=12cm ，动点P 、Q 分行四边形.实用标准文案(1 )几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长PDCQ的周长.15 •求证：顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.16 .△ABC中，中线BE、CF相交于0 , M是BO的中点，N是CO的中点, 求证：四边形MNEF是平行四边形.17 .如图，AD=DB , AE=EC , FG //AB, AG //BC.(1 )证明：△ AGE ^/CFE;(2)说明四边形ABFG是平行四边形;(3)研究图中的线段DE, BF, FC之间有怎样的位置关系和数量关系.18 .如图，△ ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，AB边上有一点F,且BF=DC，连接EF、EB.(1 )求证：△ ABE 也△CD ;19 .已知在△ ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF=DE ,图中有几个平行四边形? 请说明你的理由.20 .如图，在△ ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF. 求证：四边形AFBD是平行四边形.21 .如图：在四边形ABCD中，AD //BC, E是BC的中点，BC=2AD .找出图中所有的平行四边形，并选择一个22 •求证：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.23 .已知：如图，A、B、C、D在同一条直线上，且AB=CD , AE //DF , AE=DF .求证：四边形 EBFC 是平行四边形.24 .如图，在△ ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在 AD 及其延长线上，CE//BF ,连接BE 、CF .形BFCE 是平行四边形吗？为什么?25 .已知点E 、F 、G 、H 分别为四边形 ABCD 四边的中点，试问四边形 EFGH 的形状并说明理由.26 .如图，已知四边形 ABCD 中AD=BC ，点A 、B 、E 在同一条直线上，且/ B= /EAD ，试说明四边形平行四边形.图中的四边ABCD 是28 .已知：△ ABC 的中线BD 、CE 交于点O , F 、G 分别是OB 、OC 的中点.求证：四边形 29 .如图，△ ACD 、MBE>ABCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形.当 AB 丰AC 时，求证: 边形.30 .已知：在四边形 ABCD 中，AD //BC ,且 AB=DC=5 , AC=4 , BC=3 .求证：四边形ABCD 为平行四边形.ABCD 是平行四边形.DEFG 是平行四边形.四边形 ADFE 为平行四平行四边形的判定30题参考答案：1.TAD //BC,•••/DAE= ZBCF,TED //BF,•••/DEF= ZBFE,•••厶ED= ZCFB,又T AF=CE ,•••AE=CF ,在△ADE和ACBF中：T/DAE= ZBCF,ZAED= ZCFB,AE=CF ,.•.念DE 也zCBF (AAS ),•••AD=CB ,即：AD //CB , AD=CB ,•四边形ABCD是平行四边形，2.T/BAC=90° , AB=11 - x , BC=5 , AC=4 . •••(11 - x) 2+4 2=5 2,解得：x i =8 , X2=14 > 11 (舍去)，当x=8 时，BC=AD=5 , AB=CD=3 ,•四边形ABCD为平行四边形.3. (1 )解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有①④、③④；故答案是：①④、③④；(2 )以①④为例进行证明.如图，在四边形ABCD中，OA=OC , AD //BC .证明：T AD //BC, •••/DAO= ZBCO .•••在△KOD 与△COB 中，r ZDA0-ZBC0{DA=0CZAOD-ZDOB (对顶角相等)•••ZAOD 也ZCOB (ASA ),•••AD=BC ,•••在四边形ABCD中，AD二BC, •四边形ABCD为平行四边形.4.选择①，VDF=BE , AE=CF, AB=CD ,•ZABE也/CDF ( sss),•ZABE= /CDF ,•••AB //CD,又TAB=CD ,•四边形ABCD是平行四边形.5. BE=DF , BE //DF因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC , OB=OD ,因为E, F分别是OA, OC的中点，所以OE=OF ,36 •四边形ADEF是平行四边形.连接ED、EF,•••念BD 'ABCE'^ACF分别是等边三角形, •••AB=BD，BC=BE，/DBA= /EBC=60 °•••/DBE= /ABC ••••念BC 也QBE.同理可证厶ABC也/EEC,•••AB=EF , AC=DE .VAB=AD , AC=AF ,•••AD=EF , DE=AF .•••/BED= ZCFD .VZBDE= /CDF , BE=CF ,•••/BED也EFD .•••BD=CD .•••AD是EABC的中线.(2)四边形BECF是平行四边形,由(1)得：BD=CD , ED=FD .•四边形BECF是平行四边形8 •四边形ABCD是矩形•••AB //CD , AB=CD , •••/ABE= /CDF ,又v/AEB= ZCFD , /•ZABE也EDF ,•••BE=DF ,又•••四边形ABCD是矩形，•••OA=OC , OB=OD , •••OB - BE=OD - DF , •••OE=OF ,•四边形AECF是平行四边形9.TAD //BC, AB=CD , •四边形ABCD是等腰梯形，•••/B= ZC ,VDE=AB ,•••DE=CD ,•ZDEC= ZC ,•ZDEC= ZB ,•••AB //DE,•四边形ABED是平行四边形.10. (1 )证明：T AB //DC, •/= Z , ZFCE= ZEBA , •••E为BC中点，•••CE=BE, 所以BFDE是平行四边形，所以BE=DF , BE//DFT在ZABE 和AFCE 中，Z1= Z , ZFCE= ZEBA , CE=BE ,(2)四边形ABFC是平行四边形;理由：由(1 )知：AABE^△CE,•••EF=AE ,VCE=BE,•四边形ABFC是平行四边形11 •连接BF,•••念DF和AABC是等边三角形，/FAD=60 • /FAD -Z EAD= /CAB -ZEAD , •••/FAB= /CAD , 在AFAB和ADAC中；AF=AD彳ZFAB=ZCAD ,I AB=AC• △AB BAAC (SAS), •••BF=DC , ZABF= ZACD=60 VBE=CD ,•••BF=BE ,•ZBFE是等边三角形,•••ZACD BABE ( SAS),•••AD=CE=DF ,VEF=CD ,•四边形CDFE是平行四边形.5 D C12• (1 )vAABE为等边三角形，EF±AB ,•••EF 为ZBEA 的平分线，Z AEB=60 °,AE=AB , •••ZFEA=30。

平行四边形综合练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列判断错误的是（）A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形【答案】D【解析】【分析】分别利用平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，对选项逐一分析即可做出判断．【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故本选项正确，不符合题意；B、∵四边形的内角和为360°，四边形的四个内角都相等，∴四边形的每个内角都等于90°，则这个四边形有三个角是90°，∴这个四边形是矩形，故四个内角都相等的四边形是矩形，本选项正确，不符合题意；C、四条边都相等的四边形是菱形，符合菱形的判定，故本选项正确，不符合题意；D、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理，解题的关键是正确理解并掌握判定定理．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC的中点．若OE ，则AB的长为（）6cm【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O 平分AC ，则OE 是三角形ABC 的中位线，则AB ＝2OE ，继而求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AO ＝CO ，∵点E 是CB 的中点，∴OE 为△ABC 的中位线，∴AB ＝2OE ，∵OE ＝6cm ，∴AB ＝12cm ．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出OE 为△ABC 的中位线．3．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线上一点，过点P 作EF //BC ，分别交,AB CD 于,E F ，连接,PB PD ，若1,3AE PF ==，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】A【解析】【分析】先根据矩形的性质证得DFP PBE SS =，然后求解即可．【详解】∴四边形AEPM 、四边形DFPM 、四边形CFPN 和四边形BEPN 都是矩形，∵ADC ABC S S =△△，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ∴S 矩形DFPM =S 矩形BEPN ，∵PM =AE =1，PF =NC =3， ∴131322DFP PBE S S ==⨯⨯=△△， ∴S 阴=33+=322， 故选：A ．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积等知识，证得DFP PBE S S =是解答本题的关键． 4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A ．AC ＝BD ，AB ∥CD ，AB ＝CDB ．AD ∥BC ，∠A ＝∠C C ．AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BDD ．AO ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．解：A ，不能，只能判定为矩形；B ，不能，只能判定为平行四边形；C ，能；D ，不能，只能判定为菱形．故选C ．5．如图，ABC ∆中，DE BC ∥，EF AB ∥，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是（ ）A ．BE 平分ABC ∠B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．AB AC =【答案】A【解析】【分析】 当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分ABC ∠时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE BC ∥，∴DEB EBC ∠=∠，∵EBC EBD ∠=∠，∴EBD DEB ∠=∠，∴BD DE =，∵DE BC ∥，EF AB ∥，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD DE =，∴四边形DBFE 是菱形.其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选A.【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 6．若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线长的平方和为( )A ．16B ．8C ．4D ．1【答案】A根据菱形的对角线互相垂直平分，即菱形被对角线平分成四个全等的直角三角形，根据勾股定理，即可求解．【详解】解：设两对角线长分别是：a ，b ． 则（12a ）2+（12b ）2=22，故有a 2+b 2=16．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，菱形被两个对角线平分成四个全等的直角三角形，因为菱形的这个性质，使得菱形的题目一般都会和勾股定理结合起来，同学们要注意掌握．7．如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC =1，则AB 的长度为（ ）A 2B 21+C 51+D ．43【答案】A【解析】 【分析】 先判断出∠ADE =45°，进而判断出AE =AD ，利用勾股定理即可得出结论．【详解】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADA '=∠B =∠C =∠A =90°，AD =BC =1，CD =AB ，由第一次折叠得：∠DAE =∠A =90°，∠ADE =12∠ADC =45°，∴∠AED =∠ADE =45°，∴AE =AD =1，在Rt △ADE 中，根据勾股定理得，DE 2AD 2，由第二次折叠可知，DC DE =【点睛】本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键．8．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 作OG AC ⊥，交AB 于点G ，连接CG ，若15BOG ∠=，则BCG ∠的度数是（ ）A ．15B ．15.5C ．20D ．37.5【答案】A【解析】【分析】 根据矩形的性质求出OCB ∠的度数，从而得到GAC ∠的度数，再根据垂直平分线的性质得到GCA GAC ∠=∠，最后求出BCG ∠的度数．【详解】解：∵OG AC ⊥，∴90COG ∠=︒，∵15BOG ∠=︒，∴901575COB COG BOG ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OC OA AC ==，12OB OD BD ==，//AB DC ，90BCD ∠=︒， ∴OC OB =， ∴1801807552.522COB OCB OBC ︒-∠︒-︒∠=∠===︒， ∴37.5ACD BCD OCB ∠=∠-∠=︒，∵//AB CD ，∴37.5GAC ACD ∠=∠=︒，∴GO 是AC 的垂直平分线，∴AG CG =，∴37.5GCA GAC ∠=∠=︒，∴52.537.515BCG OCB GCA ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理，并结合题目条件进行证明．二、填空题9．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．【答案】 相等 直角 矩形 菱形【解析】【分析】根据正方形的定义和性质填空即可．【详解】 正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．故答案为：相等，直角，矩形，菱形【点睛】本题考查了正方形的定义，解题关键是明确正方形的定义：正方形是有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，因此它既是矩形又是菱形．10．如图，在矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，将矩形ABCD 翻折，使得点B 落在CD 边上的点E 处，折痕AF 交BC 于点F ，则FC =______【答案】32【分析】在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，可得DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，可得（4-x）2=22+x2，解方程即可．【详解】解∵△ABF≌△AEF，∴AE=AB=5，在矩形ABCD中，AD=BC=4，在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2，∴DE=3，CE=CD-DE=2，设FC=x，则EF=BC-FC=4-x，在Rt△ECF中，EF2=EC2+FC2，即（4-x）2=22+x2，8x=12，x=32，∴FC=32．故此答案为32．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于_______．【答案】8【解析】【分析】形ABED 是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式即可得．【详解】由平移的性质得2AD BE ==，4DF AC ==，90C DFE ∠=∠=︒∴四边形ACFD 是矩形//AD CF ∴//AD BE ∴∴四边形ABED 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 则四边形ABED 的面积为428DF BE ⋅=⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质等知识点，掌握平移的性质是解题关键．12．如图，ACE ∆是以ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称．若E 点的坐标是(7,33)-，则D 点的坐标是_____．【答案】（5，0）【解析】【分析】设CE 和x 轴交于H ，由对称性可知63CE =63AC CE ==根据勾股定理即可求出AH 的长，进而求出AO 和DH 的长，所以OD 可求，又因为D 在x 轴上，纵坐标为0，问题得解．【详解】解：点C 与点E 关于x 轴对称，E 点的坐标是(7,33)-， C ∴的坐标为(7，33)，33CH ∴=3CE =63AC ∴=，9AH ∴=，7OH =，2AO DH ∴==，5OD ∴=，D ∴点的坐标是(5,0)，故答案为：(5,0)．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x 轴对称的特点以及勾股定理的运用，解题的关键是综合应用以上知识点．13．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为______．【答案】245【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出OA 、OD ，然后根据S △AOD =S △AOP +S △DOP 列方程求解即可．【详解】解：如图，连接OP ，∵AB=6，AD=8，∴2222.6810BD AB AD ++=，∵四边形ABCD 是矩形，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴12×12×6×8=12×5•PE+12×5•PF，解得PE+PF=245．故答案为：245．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为_____．【答案】（2，6）【解析】【分析】此题涉及的知识点是平面直角坐标系图像性质的综合应用．过点M作MF⊥CD于F，过C作CE⊥OA于E，在Rt△CMF中，根据勾股定理即可求得MF与EM，进而就可求得OE，CE的长，从而求得C的坐标．【详解】∵四边形OCDB是平行四边形,点B的坐标为(16,0)，CD∥OA，CD=OB=16，过点M作MF⊥CD于F,则182CF CD，==过C作CE⊥OA于E，∵A(20,0)，∴OA=20，OM=10，∴OE=OM−ME=OM−CF=10−8=2，连接MC,110,2MC OA==∴在Rt△CMF中，2222108 6.MF MC CF=-=-=∴点C的坐标为(2,6).故答案为(2,6).【点睛】此题重点考察学生对坐标与图形性质的实际应用，勾股定理，注意数形结合思想在解题的关键．三、解答题15．如图是某区部分街道示意图，其中AB AF⊥，E、D分别是FA和FG的中点，点C、D、E在一条直线上，点A、G、B在一条直线上，//BC FG．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E⇒⇒⇒，且长度为5公里，路线2是B C F E⇒⇒⇒，求路线2的长度．【答案】5公里【解析】【分析】证明四边形BCDG是平行四边形，得到DG＝CB，再证四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵E、D分别是FA和FG的中点，∴AB∥DE，∵BC∥GF，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC ∥DF ，∴四边形BCFD 是平行四边形，∴CF ＝BD ，∵AB ∥DE ，AB AF ⊥，FE ＝AE ，∴CE 垂直平分AF ，∴AE ＝FE ，FD ＝DA ，∴BC ＝DA ，∴路线2的长度：BC +CF +FE ＝AD +BD +AE ＝5（公里）．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．16．已知：如图，ABCD 中，5AB =，3BC =．（1）作DAB ∠的角平分线，交CD 于点E （用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）求CE 的长．【答案】（1）见解析；（2）CE 的长为2【解析】【分析】（1）根据尺规作图作DAB ∠的平分线即可；（2）根据平行四边形的性质和角平分线的定义，求出DE ＝DA ＝BC ＝3，再求出CE 即可．【详解】解：如图，（1）AE 即为∠DAB 的角平分线；（2）∵AE 为∠DAB 的角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE ，在▱ABCD中，CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝DA＝BC＝3，∵DC＝AB＝5，∴CE＝CD﹣DE＝2．答：CE的长为2．【点睛】当平行线遇上角平分线时，通过角的转化，可以得到等腰三角形，这是初中几何一个很重要的数学模型，要深刻领会．17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF =BD ．∴AF =DC ．（2）四边形ADCF 是菱形，证明如下：∵AF ∥BC ，AF =DC ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵AC ⊥AB ，AD 是斜边BC 的中线，∴AD =DC ．∴平行四边形ADCF 是菱形．18．如图，四边形ABCD 是边长为13cm 的菱形，其中对角线BD 长10cm ．求：（1）对角线AC 的长度；（2）菱形ABCD 的面积．【答案】（1）24cm AC =；（2）2120cm【解析】【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出AE 的长，从而求出AC 的长；（2）根据菱形的面积公式：两条对角线乘积的一半即可求得面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 相交于点E ，∴90AED ∠=︒（菱形的对角线互相垂直），11105(cm)22DE BD ==⨯=（菱形的对角线互相平分）． ∴222213512(cm)AE AD DE =--=．∴221224(cm)AC AE ==⨯=（菱形的对角线互相平分）；（2）ABD BDC ABCD S S S =+菱形1122BD AE BD CE =⋅+⋅ 1()2BD AE CE =⋅+ 12BD AC =⋅ 110242=⨯⨯ 2120(cm )=．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、菱形的面积公式、勾股定理，熟知菱形的性质是解本题的关键．19．如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）求证：△ADE ≌△FCE ．（2）若∠BAF =90°，BC =5，EF =3，求CD 的长．【答案】（1）证明过程见解析；（2）8【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AB ∥CD ，证出∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，由AAS 证明△ADE ≌△FCE 即可；（2）由全等三角形的性质得出AE =EF =3，由平行线的性质证出∠AED =∠BAF =90°，由勾股定理求出DE ，即可得出CD 的长．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAE =∠F ，∠D =∠ECF ，∵E 是▱ABCD 的边CD 的中点， ∴DE =CE ，在△ADE 和△FCE 中，DAE F D ECF DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△FCE （AAS ）；（2）∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE=2222-=-=4，AD AE53∴CD=2DE=8【点睛】考点：（1）平行四边形的性质；（2）全等三角形的判定与性质20．(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S▱ABCD=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为() A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D．①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1图2【答案】（1）C；（2）①证明见解析；1010【解析】【详解】试题分析：（1）如图1，纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AE E′D的形状为矩形，故选C；（2）①证明：∵纸片▱ABCD中，AD=5，S▱ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴AE=3．如图2：∵△AEF ，将它平移至△DE′F′，∴AF ∥DF′，AF=DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形．在Rt △AEF 中，由勾股定理，得AF=2222=34++AE EF =5，∴AF=AD=5，∴四边形AFF′D 是菱形；②连接AF′，DF ，如图3：在Rt △DE′F 中E′F=FF′﹣E′F′=5﹣4=1，DE′=3，∴DF=2222=13=10''++E D E F ，在Rt △AEF′中EF′=EF+FF′=4+5=9，AE=3，∴AF′=2222=39'++AE F E =310． 考点：①图形的剪拼；②平行四边形的性质；③菱形的判定与性质；④矩形的判定；⑤平移的性质．21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE=CF ，连接AF 、CE 交于点G ．求证：AG=CG ．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先用SAS 证明△ADF ≌△CDE ，得∠DAF=∠DCE ，再用AAS 证明△AGE ≌△CGF 即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ADF=∠CDE=90°，AD=CD ．∵AE=CF ，∴DE=DF ，在△ADF 和△CDE 中,AD AD ADF CDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△CDE （SAS ），∴∠DAF=∠DCE ，在△AGE 和△CGF 中，GAE GCF AGE CGF AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE ≌△CGF （AAS ），∴AG=CG ．22．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接BE ，CF 相交于点D,（1）求证：BE ＝CF ；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．【答案】（1）证明见解析（22【解析】【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，利用AB=AC 可得AE=AF ，得出△ACF ≌△ABE ，从而得出BE=CF ；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE ，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以22BD=BE ﹣DE 求解．【详解】（1）∵△AEF 是由△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB ，AF=AC ，∠EAF=∠BAC ，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF ，即∠EAB=∠FAC ，在△ACF 和△ABE 中，AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACF ≌△ABE∴BE=CF.（2）∵四边形ACDE 为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC ∥DE ，∴∠AEB=∠ABE ，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE 为等腰直角三角形，∴BE=2AC=2，∴BD=BE ﹣DE=21-．考点：1．旋转的性质；2．勾股定理；3．菱形的性质． 23．如图，AD 是ABC 的中线，//AE BC ，且12AE BC =，连接DE ，CE ．（1）求证：AB DE =；（2）当ABC 满足条件__________时，四边形ADCE 是矩形．【答案】（1）见解析；（2）AB =AC 或 ABC ACB ∠=∠【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可； （2）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）∵AD 是ABC 的中线，∴12BD BC =， ∵12AE BC =， ∴AE BD =，∵//AE BC ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AB DE =（2）当△ABC 满足AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，四边形ADCE 是矩形， 11,,22BC BD AE CD BC =∴== ∴AE =CD ，∵AE ∥BC ，∴四边形ADCE 是平行四边形，∵AB =DE ，∴当AB =AC 或ABC ACB ∠=∠时，AC =DE ，∴四边形ADCE 是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24．在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG ＝ ；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE ＝2，求AG 的长；（3）若AG ＝5172，请直接写出此时DE 的长．【答案】（1）5（2109（3）52或152． 【解析】【分析】 （1）如图1，连接CG ，证明△CBD ≌△CBG （SAS ），可得G ，C ，D 三点共线，利用勾股定理可得AG 的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE ≌△BKG ，可得AK 和KG 的长，利用勾股定理计算AG 的长；（3）分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同（2）知△BCE≌△BKG （AAS），BC＝BK＝5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．【详解】（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，∴AG＝22+＝22AD DG+＝55，510故答案为：55；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC＋∠CBG＝90°，∠CBG＋∠GBK＝90°，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝22103+＝109；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，由（2）知△BCE≌△BKG（AAS），∵AG＝5172，由勾股定理得：KG＝22517102⎛⎫-⎪⎪⎝⎭=52，∴CE＝KG＝52，∴DE＝CD-CE=52；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝KG＝52，∴DE＝5＋52＝152；综上，DE的长是52或152．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．。

练习1一、选择题（3′×10=30′）1．下列性质中.平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）．A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等2．ABCD中.∠A=55°.则∠B、∠C的度数分别是（）．A．135°.55° B．55°.135° C．125°.55° D．55°.125°3．下列正确结论的个数是（）．①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．A．1 B．2 C．3 D．44．平行四边形中一边的长为10cm.那么它的两条对角线的长度可能是（）．A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm5．在ABCD中.AB+BC=11cm.∠B=30°.S ABCD=15cm2.则AB与BC的值可能是（）．A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm6．在下列定理中.没有逆定理的是（）．A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;B．直角三角形两个锐角互余;C．全等三角形对应角相等;D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.7．下列说法中正确的是（）．A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题8．一个三角形三个内角之比为1：2：1.其相对应三边之比为（）．A．1：2：1 B．1 1 C．1：4：1 D．12：1：29．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个．A．2 B．3 C．4 D．510．如图所示.在△ABC中.M是BC的中点.AN平分∠BAC.BN⊥AN．若AB=•14.•AC=19.则MN的长为（）．A．2 B．2.5 C．3 D．3.5二、填空题（3′×10=30′）11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形.短边与长边的比为3：4.短边的比为________.长边的比为________．12．已知平行四边形的周长为20cm.一条对角线把它分成两个三角形.•周长都是18cm.则这条对角线长是_________cm．13．在ABCD中.AB的垂直平分线EF经过点D.在AB上的垂足为E.•若ABCD•的周长为38cm.△ABD的周长比ABCD的周长少10cm.则ABCD的一组邻边长分别为______．14．在ABCD 中.E 是BC 边上一点.且AB=BE.又AE 的延长线交DC 的延长线于点F ．若∠F=65°.则ABCD 的各内角度数分别为_________．15．平行四边形两邻边的长分别为20cm.16cm.两条长边的距离是8cm.•则两条短边的距离是_____cm ． 16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______.•那么这两个命题是互为逆命题．17．命题“两直线平行.同旁内角互补”的逆命题是_________．18．在直角三角形中.已知两边的长分别是4和3.则第三边的长是________．19．直角三角形两直角边的长分别为8和10.则斜边上的高为________.斜边被高分成两部分的长分别是__________．20．△ABC 的两边分别为5.12.另一边c 为奇数.且a+b+•c •是3•的倍数.•则c •应为________.此三角形为________三角形．三、解答题（6′×10=60′） 21．如右图所示.在ABCD 中.BF⊥AD 于F.BE⊥CD 于E.若∠A=60°.AF=3cm.CE=2cm.求ABCD 的周长．22．如图所示.在ABCD 中.E 、F 是对角线BD 上的两点.且BE=DF.求证：（1）AE=CF ；（2）AE∥CF．23．如图所示.ABCD 的周长是的长是DE⊥AB于E.DF⊥CB 交CB •的延长线于点F.DE 的长是3.求（1）∠C 的大小；（2）DF 的长．FCDAEB24．如图所示.ABCD中.AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、•∠CDA的平分线.AQ与BN交于与DQ交于M.在不添加其它条件的情况下.试写出一个由上述条件推出的结论.并给出证明过程（要求：•推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．25．已知△ABC的三边分别为a.b.c.a=n2-16.b=8n.c=n2+16（n>4）.求证：∠C=90°．26．如图所示.在△ABC中.AC=8.BC=6.在△ABE中.DE⊥AB于D.DE=12.S△ABE=60.•求∠C的度数．27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6.三角形的周长是112cm.•求三条中位线的长．28．如图所示.已知AB=CD.AN=ND.BM=CM.求证：∠1=∠2．29．如图所示.△ABC的顶点A在直线MN上.△ABC绕点A旋转.BE⊥MN于E.•CD•⊥MN于D.F为BC中点.当MN经过△ABC的内部时.求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转.•使MN不经过△ABC内部时.其他条件不变.上述结论是否成立呢？30．如图所示.E是ABCD的边AB延长线上一点.DE交BC于F.求证：S△ABF =S△EFC．答案 :一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm 和10cm 14．50°.130°.50°.130° • • 15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补.两直线平行18．5．13 直角三、21．ABCD 的周长为20cm 22．略23．（1）∠C=45° （2）．略25．•略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm ；20cm ；24cm 28．提示：连结BD.取BD •的中点G.连结MG.NG29．（1）略 （2）结论仍成立．提示：过F 作FG⊥MN 于G 30．略练习2一、填空题(每空2分,共28分)1.中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明 (只需填写一种方法)3.如图,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有 个等腰直角三角形. 4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第3题) (2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成. 5.矩形的两条对角线的夹角为60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm . 6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为和.7.平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为 cm .AB CD O8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为m.第9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12cm和6cm,那么这个平行四边形的面积为2cm.10.如图,l是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论:(1)AB∥CD;(2)AB=CD;(3)AB⊥BC;(4)AO=OC.其中正确的结论是 .(把你认为正确的结论的序号都填上)二、选择题(每题3分,共24分)11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和.那么这个多边形是（）A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形12.下列说法中,错误的是 ( )A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C. 平行四边形的对角相等D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个14. 四边形ABCD中.AD//BC.那么的值可能是（）A、3：5：6：4B、3：4：5：6C、4：5：6：3D、6：5：3：415.如图,直线a∥b,A是直线a上的一个定点,线段BC在直线b上移动,那么在移动过程中ABC∆的面积 ( )A.变大B.变小C.不变D.无法确定第16题) (第17题)16.如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果60=∠BAF,则DAE∠等于 ( )A.15 B.30 C.45 D.6017.如图,在ABC∆中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是 ( )AB CDEFB DA.5B.10C.15D.2018.已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四形 ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:(1)如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(2)如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; (3)如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;(4)如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形 其中正确的说法是( )A.(1)(2)B.(1)(3)(4)C.(2)(3)D.(2)(3)(4) 三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)19.如图中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E.试求DAE ∠的度数.(第19题)20.如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . (1)试说明DF=BG ; (2)试求AFD ∠的度数.(第20题)21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH ;(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是:.AB CD EABCDFEG(图①) (图②) (图③) (图④) (第21题)22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.(第22题)答案1.60.2.平行四边形;有一组邻边相等.3.8. 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆∆4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形.5.24.6. 135; 45.7.3.8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边进行平移后可得到一个边长为1m 的正方 形,所以它的周长为4m .第8题) 9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半. 10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD 是菱形. 11.B. 12.D. 13.C. 14.C.15.C. 提示:因为ABC ∆的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ∆的面积不变.16.A. 提示:17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE 的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC. 18.C.19.因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD∥BC ,所以,DBC D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠∆⊥D DAE AED BD AE 中所以在直角.A BCD20.(1)因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF,又 DG∥BF,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;(2)因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得DGE GBF ∠=∠,所以100=∠=∠DGE AFD .21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.22.如图所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些 平行线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形.练习31、把正方形ABCD 绕着点A .按顺时针方向旋转得到正方形AEFG .边FG 与BC 交于点H （如图）．试问线段HG 与线段HB 相等吗？请先观察猜想.然后再证明你的猜想．2、四边形ABCD 、DEFG 都是正方形.连接AE 、CG ．（1）求证：AE =CG ；（2）观察图形.猜想AE 与CG 之间的位置关系.并证明你的猜想．A B CDE FGH D CA B GHF E3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠.使点C 与A 重合.点D 落到D′ 处.折痕为EF ． （1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF.判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．挑战自我：1、 (2010年眉山市)．如图.每个小正方形的边长为1.A 、B 、C 是小正方形的顶点.则∠ABC 的度数为（ ）A ．90° B．60° C．45° D．30°2、（2010福建龙岩中考）下列图形中.单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形 3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°.则这个正多边形的边数是（ ）A ．9B ．8C ．6D ．44、（2010年福建福州中考）如图 4.在□ABCD 中.对角线AC 、BD 相交于点O.若AC=14.BD=8.AB=10.则△OAB 的周长为 。

一般平行四边形习题1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．2．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明．6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形MFNE是平行四边形．7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．求证：四边形AECF是平行四边形．8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．9．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C 向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？答案与评分标准1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD 于F．（1）求证：BE=DF；（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

平行四边形40题一．选择题”1．下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，∠B＝∠DC．AD＝BC，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC2、下列条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的个数是（）①AB∥CD，AD＝BC；②AB＝CD，AD＝BC；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④AB＝AD，CB＝CDA．1个B．2个C．3个D．4个3、下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，∠A＝∠C B．AB＝CD，∠B＝∠DC．AD＝BC，AD∥BC D．AB＝CD，AD＝BC4．下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．1：2：3：4B．2：2：3：3C．2；3：2：3D．2：3：3：25．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD，添加下列条件不能使四边形ABCD 成为平行四边形的是（）A．AB＝CD B．OB＝ODC．∠BCD+∠ADC＝180°D．AD＝BC6．如图，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AB∥CD，BE＝DF，则下列结论①AE＝CF，②AD＝BC，③AD∥BC，④∠BCF＝∠DAE其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，两条平行线l1，l2被另外一组平行线l3，l4，l5所截，交点分别为A，B，C，D，E，F．则下列结论错误的是（）A．AB＝DE B．AD＝CF C．AB＝BC D．AC＝DF8．小峰不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（）A．①，②B．①，④C．③，④D．②，③9．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF，EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④其中，正确的是（）A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④10．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC上的点，且BE∥DF，AC分别交BE、DF于点G、H．下列结论：①四边形BFDE是平行四边形；②△AGE≌△CHF；③BG＝DH；④S△AGE：S△CDH＝GE：DH，其中正确的个数是（）A．1B．2个C．3个D．4个11．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB12．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD13．如图，两条宽度分别为1和2的方形纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB+BC＝6，则四边形ABCD的面枳是（）A．4B．2C．8D．614．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM ＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动：点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动，当点P运动（）秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．A．2B．3C．3或5D．4或515．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，DF，则下列说法不正确的是（）A．S△DEF＝S△ABCB．△DEF≌△F AD≌△EDB≌△CFEC．四边形ADEF，四边形DBEF，四边形DECF都是平行四边形D．四边形ADEF的周长＝四边形DBEF的周长＝四边形DECF的周长二．填空题（共10小题）16．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC．若AC＝4，AB＝5，则BD的长为．17．如图，两条宽度分别为2和4的纸条交叉放置，重叠部分为四边形ABCD，若AB•BC＝100，则四边形ABCD的面积是．18．如图所示，在▱ABCD中E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是，①AF＝CF；②AE＝CF；③∠BAE＝∠FCD；④∠BEA＝∠FCE．19．如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中面积相等的平行四边形共有对．20．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．21．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B 运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．22．已知点A（1，0），B（4，0），C（0，2），在平面内找一点M使得以M、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点M的坐标为．23．已知点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：．24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），如果以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形，那么满足条件的所有点C的坐标为．25．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为平行四边形；③AD ＝4AG；④△DBF≌△EF A．其中正确结论的序号是．三．解答题（共15小题）26．在▱ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．27、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4；（1）求证：四边形ACED是平行四边形．（2）求BC的长．28．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．29、如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E．（1）若AD＝12，AB＝8，求CF的长；（2）连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．30．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；（2）当∠C＝30°，时，求D，F两点间的距离．31．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠DCB的平分线AE，CF分别交BC，AD于点E，F，点M，N分别是AE，CF的中点，连接FM，EN（1）求证：BE＝DF；（2）求证：四边形FMEN是平行四边形．32．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝CO，EF过点O且与AD、BC分别相交于点E、F，OE＝OF（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）连接AF，若EF⊥AC，△ABF周长是15，求四边形ABCD的周长．33．如图，在▱ABCD中，O为AC的中点，EF过点O，分别交AD，CB的延长线于点E，F．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形．（2）若AC平分∠BAE，AB＝6，AE＝8，求BF的长．34．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BD＝BC＝5，CD＝6，求平行四边形AEBD的面积．35．如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB．（1）求证：四边形BEDF为平行四边形；（2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长．36、如图，在平行四边形ABCD中，点E、F别在BC，AD上，且BE＝DF．（1）如图①，求证：四边形AECF是平行四边形；（2）如图②，若∠BAC＝90°，且AB＝3．AC＝4，求平行四边形ABCD的周长．37．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，DE垂直于对角线AC，垂足是E，连接BE．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若△ABE是等边三角形，四边形BCDE的面积等于2，求CE的长．38．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC和∠ACB的角平分线交于D点，E、F、G、H分别是线段AB、AC、BD、CD的中点．（1）求∠BDC的度数；（2）证明：四边形EGHF为平行四边形．39．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC 于点F，连接DE，EF．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．40、【阅读材料】在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为（，）【运用】（1）已知O为▱ABCD的对角线AC与BD交点，点B的坐标为（4，3），则点D的坐标为（﹣1，1），则O的坐标为（，2）；（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．（提示：运用阅读材料完成）。

《平行四边形》专题练习一．填空题1．若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为．2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=．3．如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=．4．如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC=°．5．如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为（结果保留π）6．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=°．7．已知：如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF=．8．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC=cm．9．如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．10．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=°．11．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=．12．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）13．如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE 的周长为10，则▱ABCD的周长为．14．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．15．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为．16．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是．18．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是．二．解答题19．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．20．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．21．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．（1）求证：△BEF≌△CEH；（2）求DE的长．22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：DE=CF；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．（1）试说明△PCM≌△QDM．（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．24．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．25．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．26．如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．（1）试说明CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．27．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；（2）求对角线BD的长．28．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P 从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：（1）当t为何值时，PQ∥CD？（2）当t为何值时，PQ=CD？29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）30．如图所示，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O任作一条直线分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：OE=OF；（2）若AB=7，BC=5，OE=2，求四边形BCFE的周长．参考答案与试题解析一．填空题1．（2017•无锡一模）若一个多边形的内角和比外角和大360°，则这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，外角和等于360°列出方程求解即可．【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°﹣360°=360°，解得n=6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键．2．（2017•新城区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=．【分析】作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF=CD=2，求出CF=DF=2，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．【解答】解：作CF⊥AD于F，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，∴∠DCF=30°，∴DF=CD=2，∴CF=DF=2，∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，∵OA=OC，∴OE是△ACF的中位线，∴OE=CF=；故答案为：．【点评】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．3．（2017春•徐州期中）如图，在▱ABCD中，AD=6，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF=3．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=6，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF=BC=×6=3．故答案为：3．【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4．（2017春•宜兴市期中）如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A=30°，∠B=115°，则∠A′NC=110°．【分析】先利用内角和定理求∠C，根据三角形的中位线定理可知MN∥BC，由平行线的性质可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差关系求∠A′NC．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=115°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣30°﹣115°=35°，∵MN是三角形的中位线，∴MN∥BC，∴∠A′NM=∠C=35°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣35°=145°，∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=145°﹣35°=110°．故答案为：110．【点评】本题考查的是三角形中位线定理、翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．5．（2017春•宜兴市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为2πR2（结果保留π）【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，∴S==2πR2．阴影部分故答案为：2πR2．【点评】此题主要考查了本题考查了多边形的内角和定理和扇形的面积公式，牢记公式是解答本题的关键．6．（2017春•工业园区期中）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=30°，那么∠1+∠2=72°．【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．【解答】解：如图，∵∠3=30°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，∴∠4=180°﹣60°﹣30°=90°，∴∠5+∠6=180°﹣80°=90°，∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②，∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=90°，即∠1+∠2=72°．故答案为：72．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．7．（2017春•邗江区期中）已知：如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，若AB=3，BC=5，则EF=1．【分析】先证明AB=AE=3，DC=DF=3，再根据EF=AE+DF﹣AD即可计算．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，BC=AD=5，AD∥BC，∵BE平分∠ABC交AD于E，CF平分∠BCD交AD于F，∴∠ABF=∠CBE=∠AEB，∠BCF=∠DCF=∠CFD，∴AB=AE=3，DC=DF=3，∴EF=AE+DF﹣AD=3+3﹣5=1．故答案为1．【点评】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．8．（2017春•东台市期中）如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，AB=5cm，BC=3cm，则EC=2cm．【分析】直接利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠DAE=∠DEA，进而得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=5cm，BC=AD=3cm，AB∥DC，∴∠BAE=∠DEA，∵∠BAD的平分线AE交边CD于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=3cm，∴EC=DC﹣DE=5﹣3=2（cm）．故答案为：2．【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行四边形的性质，正确得出∠ADE=∠DEA是解题关键．9．（2017春•柯桥区校级期中）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG ∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当AE=CF 时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BC﹣BF=6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AECF是平行四边形，即t=6﹣2t，解得：t=2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE=tcm，BF=2tcm，则CF=BF﹣BC=2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE=CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t=2t﹣6，解得：t=6；综上可得：当t=2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．【点评】此题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．10．（2017春•泰兴市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=220°，则∠P=20°．【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC=140°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．【解答】解：如图，∵∠D+∠C=220°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°，∴∠DAB+∠ABC=140°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠PAB+∠ABP=∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）=90°+（∠DAB+∠ABC）=160°，∴∠P=180°﹣（∠PAB+∠ABP）=20°．故答案是：20．【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．11．（2017春•高港区校级月考）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°．【分析】根据三角形的内角和与四边形的内角和公式得∠3+∠4+8=180°①，∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，三式相加，再由邻补角的性质即可得出答案．【解答】解：如图，∵∠3+∠4+8=180°①，∠6+∠7+∠10+∠11=360°②，∠1+∠2+∠5+∠9=360°③，∴①+②+③得，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠9+∠10+∠11+∠12=900°，∵∠8+∠10=180°，∠9+∠11=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=900°﹣180°﹣180°=540°．故答案为：540°．【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基础知识要熟练掌握．12．（2017春•建湖县校级月考）如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC =2S△CEF；（4）若∠B=80°，则∠AEF=50°．其中一定成立的是（1）（2）（4）（把所有正确结论的序号都填在横线上）【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出（1）正确；由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正确；证出S△EFC =S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出（4）正确；即可得出结论．【解答】解：（1）∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，∴∠DCF+∠D=90°，故（1）正确；（2）延长EF，交CD延长线于M，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴CF=EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故（2）正确；（3）∵EF=FM，∴S△EFC =S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC ＜2S△EFC故（3）错误；（4）∵∠B=80°，∴∠BCE=90°﹣80°=10°，∵AB∥CD，∴∠BCD=180°﹣80°=100°，∴∠BCF=∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°﹣10°=40°，∴∠AEF=90°﹣40°=50°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF≌△DMF是解题关键．13．（2017春•泉山区校级月考）如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则▱ABCD的周长为20．【分析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BC=AD，OB=OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE=DE，由△CDE的周长得出BC+CD=6cm，即可求出平行四边形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD，∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，∴平行四边形ABCD的周长=2（BC+CD）=20；故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．14．（2016秋•海宁市校级月考）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD 和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=3，则AB的长是．【分析】根据直角三角形性质求出CE长，利用勾股定理即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=3，∴CE==2，∴AB=，故答案为：．【点评】本题考查了平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强．15．（2016•武汉）如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的大小为36°．【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°﹣∠EAD′﹣∠D′=108°，∴∠FED′=108°﹣72°=36°；故答案为：36°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．16．（2016•常德）如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=55°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．【点评】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质；由平行四边形和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD是解决问题的关键．17．（2016•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC＞AB，点D在BC 上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是4．【分析】首先证明BC∥AE，当DE⊥BC时，DE最短，只要证明四边形ABDE是矩形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴BC∥AE，∴当DE⊥BC时，DE最短，此时∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABDE是矩形，∴DE=AB=4，∴DE的最小值为4．故答案为4．【点评】本题考查平行四边形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是找到DE的位置，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．18．（2016•镇江二模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是9．【分析】延长EF交BC于点H，可知EF，FH，FG、EG分别为△BDC、△ABC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．【解答】解：连接AE，并延长交CD于K，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．∴BE=DE，在△AEB和△KED中，，∴△AEB≌△KED（AAS），∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，∴EF=CK=（DC﹣DK）=（DC﹣AB），∵EG为△BCD的中位线，∴EG=BC，又FG为△ACD的中位线，∴FG=AD，∴EG+GF=（AD+BC），∵两腰和是12，即AD+BC=12，两底差是6，即DC﹣AB=6，∴EG+GF=6，FE=3，∴△EFG的周长是6+3=9．故答案为：9．【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．二．解答题19．（2017•江都区一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）过点D作DG⊥AE于点G，H为DG的中点．判断CH与DG的位置关系，并说明理由．【分析】（1）根据平行四边形的性质，利用ASA即可证明．（2）结论：CH⊥DG．利用三角形中位线定理，证明CH∥AF即可解决问题．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠B=∠ECF∵E为BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，∴△ABE≌△FCE．（2）结论：CH⊥DG．理由如下：∵△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵AB=CD，∴DC=CF，∵H为DG的中点，∴CH∥FG∵DG⊥AE，∴CH⊥DG．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（2017•大石桥市校级一模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可证得△AGH是等边三角形，继而证得结论；（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证得△ABG≌△AEH，继而可得△AGH是等腰直角三角形，则可求得答案．【解答】（1）证明：如图①，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，∴∠ABG=∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG=HG．∴EG=AG+BG；（2）EG=AG﹣BG．如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H．∴∠GAB=∠HAE．∵∠EGB=∠EAB=90°，∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．∴∠ABG=∠AEH．∵又AB=AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG=EH，AG=AH．∵∠GAH=∠EAB=90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG=HG．∴EG=AG﹣BG．【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．21．（2017•南雄市校级模拟）如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．（1）求证：△BEF≌△CEH；（2）求DE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH=CE=1，求出EH=CG=，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BEF和△CEH中，，∴△BEF≌△CEH（AAS）；（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE=BC=AD=2．∴BF=1，EF=．∵△BEF≌△CEH，∴BF=CH=1，EF=EH=，DH=4，∵∠CHE=90°，∴DE2=EH2+DH2．∴DE==．【点评】本题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由含30°角的直角三角形的性质求出CG是解决问题的关键．22．（2017•赤壁市一模）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：DE=CF；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），得出四边形CEDF是平行四边形，即可得出结论；（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．又∵F是AD的中点，∴FD=AD．∵CE=BC，∴FD=CE．又∵FD∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形．∴DE=CF．（2）解：过D作DG⊥CE于点G．如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，CD=AB=4，BC=AD=6．∴∠DCE=∠B=60°．在Rt△CDG中，∠DGC=90°，∴∠CDG=30°，∴CG=CD=2．由勾股定理，得DG==2．∵CE=BC=3，∴GE=1．在Rt△DEG中，∠DGE=90°，∴DE==．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．23．（2017•正定县一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=9cm．M 是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD 的延长线于Q．（1）试说明△PCM≌△QDM．（2）当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．【分析】（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据两个三角形全等四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS中的ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP 即可得出；（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．【解答】（1）证明：∵AD∥BC∴∠QDM=∠PCM∵M是CD的中点，∴DM=CM，∵∠DMQ=∠CMP，在△PCM和△QDM中∵，∴△PCM≌△QDM（ASA）．（2）解：当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，∵BC﹣CP=AD+QD，∴9﹣CP=5+CP，∴CP=（9﹣5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．【点评】本题考查了全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．24．（2017•无锡一模）如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．【分析】（1）根据已知和角平分线的定义证明∠ADE=∠BAD，得到DE∥AB，又AE∥BD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）设BF=x，根据勾股定理求出x的值，再根据勾股定理求出AF，根据AC=2AF 得到答案【解答】（1）证明：∵AE⊥AC，BD垂直平分AC，∴AE∥BD，∵∠ADE=∠BAD，∴DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形；（2）解：∵DA平分∠BDE，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD=5，设BF=x，则52﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得，x=，∴AF==，∴AC=2AF=．【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理以及勾股定理是解题的关键．25．（2017•通州区一模）如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；（2）如果BC平分∠DBF，∠F=45°，BD=2，求AC的长．【分析】（1）由这一天就证出BD∥CF，CD∥BF，即可得出四边形DBFC是平行四边形；（2）由平行四边形的性质得出CF=BD=，由等腰三角形的性质得出AE=CE，作CM⊥BF于F，则CE=CM，证出△CFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出CM=CF=，得出AE=CE=，即可得出AC的长．【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．∴BD∥CF，CD∥BF，∴四边形DBFC是平行四边形；（2）解：∵四边形DBFC是平行四边形，∴CF=BD=，∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，作CM⊥BF于F，∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，∵∠F=45°，∴△CFM是等腰直角三角形，∴CM=CF=，∴AE=CE=，【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．26．（2017春•海州区校级期中）如图，在▱ABCD中，DE是∠ADC的平分线，交BC于点E．（1）试说明CD=CE；（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，由平行线的性质得出和角平分线得出∠DEC=∠CDE，根据等角对等边可得CD=CE；（2）证出BE=AB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AEB，再由平行线的性质即可得出∠DAE=∠AEB=50°．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CD=CE；（2）解：∵BE=CE，CD=CE，∴BE=CD，∴BE=AB，∴∠AEB=∠BAE=（180°﹣∠B）=50°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=50°．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形是等腰三角形是解题的关键．27．（2017春•高安市期中）已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB=1，BC=．（1）求平行四边形ABCD的面积S□ABCD；（2）求对角线BD的长．【分析】（1）先求出AC，根据平行四边形的面积=底×高，进行计算即可．（2）在Rt△ABO中求出BO，继而可得BD的长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC==2，则S□ABCD=AB×AC=2．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，BO=OD，∴AO=1，在Rt△ABO中，BO==，∴BD=2．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分的性质．28．（2017春•岳池县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；动点Q 从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，求：（1）当t为何值时，PQ∥CD？（2）当t为何值时，PQ=CD？【分析】（1）由当PQ∥CD时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；（2）根据PQ=CD，一种情况是：四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，一种情况是：四边形PQCD为等腰梯形，可求得当QC﹣PD=QC﹣EF=QF+EC=2CE，即3t=（24﹣t）+4时，四边形PQCD为等腰梯形，解此方程即可求得答案．【解答】解：根据题意得：PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t，（1）∵AD∥BC，即PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，∴PQ∥CD，即24﹣t=3t，解得：t=6，即当t=6时，PQ∥CD；（2）若要PQ=CD，分为两种情况：①当四边形PQCD为平行四边形时，即PD=CQ24﹣t=3t，解得：t=6，②当四边形PQCD为等腰梯形时，即CQ=PD+2（BC﹣AD）3t=24﹣t+4解得：t=7，即当t=6或t=7时，PQ=CD．【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．29．（2017春•个旧市期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B﹦90°，AB ﹦8cm，AD﹦24cm，BC﹦26cm，点p从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t s．（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（等腰梯形的两腰相等，两底角相等）【分析】（1）根据题意可得PA=t，CQ=3t，则PD=AD﹣PA=24﹣t，当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，可得方程24﹣t=3t，解此方程即可求得答案；（2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4，求出t的值即可．【解答】解：（1）运动时间为ts．AP=t，PD=24﹣t，CQ=3t，∵经过ts四边形PQCD平行四边形∴PD=CQ，即24﹣t=3t，解得t=6．当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形；（2）如图，过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm∵当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4，∴t=7．。

中考数学总复习《平行四边形的判定与性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图在四边形ABCD中AB=CD，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF、CE，若DE=BF，则下列结论不一定正确的是（）A．CF=AE B．OE=OFC．△CDE为直角三角形D．四边形ABCD是平行四边形2．如图四边形ABCD中AB∥CD，∥B＝∥D点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于点H，∥DCE的平分线交AE于点G．若AB＝2AD＝10，点H为CD的中点，HE＝6，则AC的值为（）A．9B．√97C．10D．3 √103．如图在Rt∥ABC中∥ACB=90°，分别以AB、AC为腰向外作等腰直角三角形∥ABD和∥ACE，连结DE，CA的延长线交DE于点F,则与线段AF相等的是()A．AC B．AB C．BC D．AB4．如图在菱形ΑΒCD中∠Α=60∘，AD=8，F是ΑΒ的中点．过点F作FΕ⊥ΑD，垂足为Ε．将ΔΑΕF沿点Α到点Β的方向平移，得到ΔΑ′Ε′F ′．设Ρ、Ρ′分别是ΕF、Ε′F ′的中点，当点Α′与点Β重合时，四边形ΡΡ′CD的面积为（）A．28√3B．24√3C．32√3D．32√3−85．下列说法中错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相平分的四边形是平行四边形6．如图．若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD7．如图点A是直线l外一点，在l上取两点B，C，分别以A，C为圆心，BC，AB的长为半径作弧，两弧交于点D，分别连接AB，AD，CD，若∥ABC+∥ADC=120°，则∥A的度数是（）A．100°B．110°C．120°D．125°8．如图在∥ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，点D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，则∥BED与∥DFC的周长的和为（）A．34B．32C．22D．209．如图在平面直角坐标系中点A(1,5),B(4,1),C(m,−m),D(m−3,−m+4)，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为（）.A．√2B．32C．2D．310．如图分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM′G′和AF′N′E，延长M′G′，N′F′相交于点K，得到四边形MM′KN′．下列说法中错误的是（）A．S四边形MM′KN′=S四边形ABCD B．HM=NFC．四边形MM′KN′是平行四边形D．∠K=∠AHM′11．如图,已知∥ABC与∥CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∥AOE与∥COF成中心对称.其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．如图P为平行四边形ABCD内一点，过点P分别作AB、AD的平行线交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形AHPE＝3，S四边形PFCG＝5，则S∥PBD为（）A．0.5B．1C．1.5D．2二、填空题13．如图在平行四边形ABCD中点E，F分别在BC，AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图在Rt△ABC中AC=2√3，BC=2，点P是斜边AB上任意一点，D是AC的中点，连接PD并延长，使DE=PD.以PE，PC为边构造平行四边形PCQE，则对角线PQ的最小值为.15．如图▱ABCD中∥BAD=120°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF∥BC，EF=5√3，则AB的长是16．如图在∥ABC中∥ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD= 13BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．17．若AC＝10，BD＝8，那么当AO＝DO＝时，四边形ABCD是平行四边形。

中考数学复习《平行四边形》专项练习题-附带有答案一、单选题1．平行四边形ABCD中，对角线AC=12，BD=8，交点为点O，则边AB的取值范围为（）A．1＜AB＜2 B．2＜AB＜10 C．4＜AB＜10 D．4＜AB＜202．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形3．平行四边形ABCD与等边△AEF如图放置，如果∠B=45°，则∠BAE的大小是（）A．75°B．70°C．65°D．60°4．如图是由七巧板拼成的正方形，则小正方形和大正方形的面积之比是（）A．1：4 B．1：6 C．1：8 D．1：95．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是（）A．∠BAC=90°B．BC=2AE C．DE平分∠AEB D．AE⊥BC6．如图，在菱形ABCD中∠A=60°，AB=4 O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则下列说法错误的是（）A．点O为菱形ABCD的对称中心B．OE=2C．ΔCDB为等边三角形D．BD=47．如图所示，正方形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于G，交CD于F，若DF=2，BG=4则AE的长为( )A．4√7B．3√10C．10 D．128．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，如图所示，若正方形ABCD的面积为28，AE+EB=7，则S△CFP−S△AEP的值是（）A．3 B．3.5 C．4 D．7二、填空题9．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为cm．10．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=3，则菱形ABCD的边长是．11．如图，平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD垂足分别为E、F，∠EAF=60°，DF=3cm则AD= cm．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E是AD上一点，且BE＝BC，则∠ECD的度数是．13．如图，正方形ABCD的边长为2，将它绕着中心O顺时针旋转45°得到正方形A′B′C′D′，与原正方形AD、AB边交于点M′，N，则M′N的长度是.三、解答题14．已知：如图，在▱ABCD中，延长AB到点E，使BE=AB，连接DE交BC于点F．求证：△BEF≌△CDF．15．如图，在四边形ABCD中E，F分别为CD，AB上的点，且DE=BF，连接AE，CF若四边形AECF是平行四边形．求证：四边形ABCD是平行四边形．16．如图，矩形ABCD中，点P是BC中点，线段AP的延长线与DC的延长线交于点E．（1）求证：△ABP≌△ECP；（2）连接AC，BE，求证：四边形ABEC是平行四边形．17．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.（1）求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．18．如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心， BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF.大于12（1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形 ABEF 是菱形；（2）若菱形 ABEF 的边长为 2，AE＝ 2 √3，求菱形 ABEF 的面积.答案1．B2．C3．A4．C5．D6．B7．B8．B9．410．611．612．15°13．2√2−214．证明：在▱ABCD中，AB=CD，AB∥CD∴∠C=∠FBE∵BE=AB∴BE=CD在△BEF和△CDF中∴△BEF≌△CDF（AAS）15．解：∵四边形AECF是平行四边形∴AF=CE，AF//CE∵E，F分别为CD，AB上的点∴AB//CD∵DE=BF∴AF+BF=CE+DE，即AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形．16．（1）证明：∵四边形ABCD矩形∴∠ABP=∠ECP=90°，AB//DC∴∠BAP=∠CEP∵点P是BC中点∴BP =CP∴△ABP ≌△ECP(AAS)（2）解：由△ABP ≌△ECP 可得AP =EP ∵点P 是BC 中点∴BP =CP∴四边形ABEC 是平行四边形．17．（1）证明：在△ABC 和△ADC 中{AB =AD CB =CD AC =AC∴△ABC ≌△ADC(SSS)∴∠BAC=∠DAC在△ABF 和△ADF 中{AB =AD∠BAF =∠DAF AF =AF∴△ABF ≌△ADF(SAS)∴∠AFB=∠AFD∵∠CFE=∠AFB∴∠AFD=∠CFE∴∠BAC=∠DAC ，∠AFD=∠CFE ；（2）证明：∵AB ∥CD∴∠BAC=∠ACD∵∠BAC=∠DAC∴∠BAC=∠ACD∴∠DAC=∠ACD∴AD=CD∵AB=AD ，CB=CD∴AB=CB=CD=AD∴四边形ABCD 是菱形；（3）解：BE ⊥CD 时，∠BCD=∠EFD ；理由如下： ∵四边形ABCD 是菱形∴BC=CD ，∠BCF=∠DCF∵CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵BE⊥CD∴∠BEC=∠DEF=90°∴∠BCD=∠EFD.18．（1）解：根据题意由作法可知，AP平分∠BAF∴∠EAB=∠EAF∵AD∥BC∴∠EAF=∠AEB=∠EAB∴BE=AB=AF.∵AF∥BE∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=BE∴四边形ABEF是菱形；（2）解：如图，连结BF，交AE于G.∵菱形ABEF的边长为2，AE= 2√3AE= √3，AE⊥BF ∴AB=BE=EF=AF=2，AG= 12∴∠AGF=90°，GF= √22−(√3)2=1∴BF=2GF=2×2√3×2=2√3∴菱形的面积为：S=12。

初中数学平行四边形经典例题【练习】一、选择题1.下列命题正确的是（）(A)、一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 (B)、对角线相等的四边形一定是矩形(C)、两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形 (D)、在两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形2. 已知平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则AC的取值范围为( )A. 6<AC<10；B. 6<AC<16；C. 10<AC<16；D. 4<AC<163.两个全等的三角形（不等边）可拼成不同的平形四边形的个数是（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）44．延长平形四边形ABCD的一边AB到E，使BE＝BD，连结DE交BC于F，若∠DAB＝120°,∠CFE＝135°，AB＝1，则AC 的长为（）（A）1 （B）1.2 （C）32（D）1.55．若菱形ABCD中，AE垂直平分BC于E，AE＝1cm，则BD的长是（）（A）1cm （B）2cm （C）3cm （D）4cm6.若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形，那么这个四边形的对角线( )（A）互相垂直（B）相等（C）互相平分（D）互相垂直且相等7. 如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=5那么四边形AFDE的周长是（）（A）5 （B）10 （C）15（D）20AB C DO ERPD CBAEF 第12题图(第7题） （第8题） （第9题） （第10题）8.如图，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD折叠，使点D 落在BC边中点E 处，点A 落在点F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ）． （A ）3cm （B ）4cm （C ）5cm （D ）6cm9. 如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AC 将梯形分成两个三角形，其中△ACD 是周长为18 cm 的等边三角形，则该梯形的中位线的长是( )． (A)9 cm (B)12cm (c)29cm (D)18 cm 10.如图，在周长为20cm 的□ABCD中，AB≠AD，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥BD 交AD 于E ，则△ABE 的周长为（ ）(A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm11. 如图2，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）８12.如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P13. 在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC ⊥BD ，且cm AC 5 ，BD=12c m ，则梯形中位线的长等于（ ）A. 7.5cmB. 7cmC. 6.5cmD. 6cm14. 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中错误的是（ ） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．紫花、橙花种植面积一定相等ABC DEF图 2 黄蓝紫 橙红 绿 AG EDH C FB第14题第10题图DABCP MN （1）（2）图9A BCDE FO 图C ．红花、蓝花种植面积一定相等D ．蓝花、黄花种植面积一定相等 二、填空题1.如果四边形四个内角之比1：2：3：4，则这四边形为＿＿＿＿形。

平行四边形专项练习题一．选择题（共12小题）1．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线2．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（）A．a＞b B．a=b C．a＜b D．b=a+180°3．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（）A．4S1B．4S2C．4S2+S3D．3S1+4S34．在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④5．如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．66．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（）A．8 B．10 C．12 D．147．如图，在▱ABCD中，AB=12，AD=8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF=2，则线段CG的长为（）A．B．4C．2D．8．如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是（）A．AG平分∠DAB B．AD=DH C．DH=BC D．CH=DH 9．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A．66°B．104°C．114°D．124°10．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO 的周长是（）A．10 B．14 C．20 D．2211．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）A．3种 B．4种C．5种D．6种12．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④ D．④⑤二．填空题（共6小题）13．如图，把平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，这时点D落在D1，折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD=．14．如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是．15．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件（写一个即可），使四边形ABCD是平行四边形．16．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为．17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=．18．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．三．解答题（共8小题）19．如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．20．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．22．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC 上（1）给出以下条件；①OB=OD，②∠1=∠2，③OE=OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；（2）在（1）条件中你所选条件的前提下，添加AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．23．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．24．如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于M、N．（1）求证：四边形CMAN是平行四边形．（2）已知DE=4，FN=3，求BN的长．25．如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．参考答案与解析一．选择题1．【分析】根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可．解：A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C．2．【分析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．解：∵四边形的内角和等于a，∴a=（4﹣2）•180°=360°．∵五边形的外角和等于b，∴b=360°，∴a=b．故选B．3．【分析】设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2（用a、c表示），得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，则S2=（a+c）（a﹣c）=a2﹣c2，∴S2=S1﹣S3，∴S3=2S1﹣2S2，∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1﹣2S2=4S1．故选A．4．【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论．解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，∴AC==5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选：B．5．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠F=∠FCB，证出BF=BC=8，同理：DE=CD=6，求出AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，即可得出结果．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD=BC=8，CD=AB=6，∴∠F=∠DCF，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=∠DCF，∴∠F=∠FCB，∴BF=BC=8，同理：DE=CD=6，∴AF=BF﹣AB=2，AE=AD﹣DE=2，∴AE+AF=4；故选：C．6．【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，再由EF的长，即可求出BC的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可证：DE=DC=6，∵EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，解得：AD=10；故选：B．7．【分析】先由平行四边形的性质和角平分线的定义，判断出∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，从而得到CF=BC=8，AE=AB=12，再用平行线分线段成比例定理求出BE，然后用等腰三角形的三线合一求出BG，最后用勾股定理即可．解：∵∠ABC的平分线交CD于点F，∴∠ABE=∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CBE=∠CFB=∠ABE=∠E，∴CF=BC=AD=8，AE=AB=12，∵AD=8，∴DE=4，∵DC∥AB，∴，∴，∴EB=6，∵CF=CB，CG⊥BF，∴BG=BF=2，在Rt△BCG中，BC=8，BG=2，根据勾股定理得，CG===2，故选：C．8．【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA，进而得到AD=DH，解：根据作图的方法可得AG平分∠DAB，∵AG平分∠DAB，∴∠DAH=∠BAH，∵CD∥AB，∴∠DHA=∠BAH，∴∠DAH=∠DHA，∴AD=DH，∴BC=DH，故选D．9．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，再由三角形内角和定理求出∠B 即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，∴∠B=180°﹣∠2﹣∠BAC=180°﹣44°﹣22°=114°；故选：C．10．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选：B．11．【分析】根据题目所给条件，利用平行四边形的判定方法分别进行分析即可．解：①②组合可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD 为平行四边形；③④组合可根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①③可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；①④可证明△ADO≌△CBO，进而得到AD=CB，可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定出四边形ABCD为平行四边形；∴有4种可能使四边形ABCD为平行四边形．故选：B．12．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN 的距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．解：∵点A，B为定点，点M，N分别为PA，PB的中点，∴MN是△PAB的中位线，∴MN=AB，即线段MN的长度不变，故①错误；PA、PB的长度随点P的移动而变化，所以，△PAB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，∴△PMN的面积不变，故③错误；直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．故选：B．二．填空题13．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠D1AE=∠BAD，得出∠D1AD=∠BAE=55°即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C，由折叠的性质得：∠D1AE=∠C，∴∠D1AE=∠BAD，∴∠D1AD=∠BAE=55°；故答案为：55°．14．【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，在△APB中，∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP==6，∴△APB的周长=6+8+10=24；故答案为：24．15．【分析】根据平行四边形的定义或判定定理即可解答．解：可以添加：AD∥BC（答案不唯一）．故答案是：AD∥BC．16．【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的4倍少3个三角形，即可得出结果．解：第①是1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．17．【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．解：连接CM，∵M、N分别是AB、AC的中点，∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，∴MN=CD，又MN∥BC，∴四边形DCMN是平行四边形，∴DN=CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中点，∴CM=AB=3，∴DN=3，故答案为：3．18．【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．解：∵BD=AD，BE=EC，∴DE=AC=4cm，DE∥AC，∵CF=FA，CE=BE，∴EF=AB=3cm，EF∥AB，∴四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=14cm．故答案为14．三．解答题19．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，证出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；（2）由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90°，由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．20．【分析】（1）由在▱ABCD中，E是BC的中点，利用ASA，即可判定△ABE≌△FCE，继而证得结论；（2）由AD=2AB，AB=FC=CD，可得AD=DF，又由△ABE≌△FCE，可得AE=EF，然后利用三线合一，证得结论．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠ABE=∠FCE，∵E为BC中点，∴BE=CE，在△ABE与△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=FC；（2）∵AD=2AB，AB=FC=CD，∴AD=DF，∵△ABE≌△FCE，∴AE=EF，∴DE⊥AF．21．【分析】利用平行线的性质得出∠BAE=∠CFE，由AAS得出△ABE≌△FCE，得出对应边相等AE=EF，再利用平行四边形的判定得出即可．解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS）；∴AE=EF，又∵BE=CE∴四边形ABFC是平行四边形．22．【分析】（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO即可；（2）根据△BEO≌△DFO可得EO=FO，BO=DO，再根据等式的性质可得AO=CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．证明：（1）选取①②，∵在△BEO和△DFO中，∴△BEO≌△DFO（ASA）；（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，∴EO=FO，BO=DO，∵AE=CF，∴AO=CO，∴四边形ABCD是平行四边形．23．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC且EF=BC，DG∥BC且DG=BC，从而得到DE=EF，DG∥EF，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF 即可．解：（1）∵D、G分别是AB、AC的中点，∴DG∥BC，DG=BC，∵E、F分别是OB、OC的中点，∴EF∥BC，EF=BC，∴DG=EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；（2）∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG是平行四边形，∴DG=EF=6．24．【分析】（1）只要证明CM∥AN，AM∥CN即可．（2）先证明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解决问题．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN是平行四边形．（2）∵四边形AMCN是平行四边形，∴CM=AN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，在△MDE和△NBF中，，∴△MDE≌△NBF，∴ME=NF=3，在Rt△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，∴DM===5，∴BN=DM=5．25．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△ADE≌△CBF，即可推得DE=BF．（2）首先判断出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．26．【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出DE BC，进而得出DE=FC；（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE=FC；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．。

平行四边形测试题一、选择题1．若平行四边形ABCD 的周长是40cm ，△ABC 的周长是27cm ，则AC 的长为( )A ．13cmB ．3cmC ．7cmD ．11.5 cm2．根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形 B ．两组对边分别相等的四边形 C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相平分的四边形3．已知平行四边形周长为28cm ，相邻两边的差是4cm ，则两边的长分别为( )A ．4cm 、10cmB ．5cm 、9cmC ．6cm 、8cmD ．5cm 、7cm4．下列条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是( )A ．一组对边平行，另一组对边相等 B ．一组对边平行，一组对角相等 C ．一组邻边相等，一组对角相等D ．一组对边平行，一组对角互补5．若A 、B 、C 三点不在同一条直线上，则以其为顶点的平行四边形共有( )个A ．1B ．2C ．3D ．46．能够判定四边形是平行四边形的条件是( )A ．一组对角相等 B ．两条对角线互相垂直C ．两条对角线互相平分D ．一条邻角互补7．已知平行四边形的一条边长为14，下列各组数中能分别作它的两条对角线长的是( )A ．10与6B ．12与16C ．20与22D ．10与188．四边形ABCD 中，AD ∥BC ，当满足条件( )时，四边形ABCD 是平行四边形A ．∠A ＋∠C =B ．∠B ＋∠D = ︒180︒180C ．∠A ＋∠B =D ．∠A ＋∠D =︒180︒1809．已知下列三个命题⑴两组对角分别相等的四边形是平行四边形⑵一个角与相邻两角都互补的四边形是平行四边形⑶一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形其中错误的命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AC = 10，BD = 8，则AD 的取值范围是( ) A ．AD ＞1 B ． AD ＜9 C ．1＜AD ＜9 D ．AD ＞9二、填空题11．一个平行四边形的周长为40，两邻边的比为3∶5，则四边形的长为_________．12．一个平行四边形的一个内角比它的邻角大，则这个四边形的四个内角分别是________．︒2413．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线交点O ，交CD 、AB 于E 、F ，若AB = 4cm ，AD = 3cm ，OF = 1.3cm ，则四边形BCEF 周长为_____________．14．已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长为_____．15．在平行四边形ABCD 中，对角线BD = 7cm ，∠DBC =，BC = 5cm ，则平行四边形ABCD 的面积为︒30___________．16．从平行四边形的一锐角顶点引另两条边的垂线，两垂线夹角，则此四边形的四个角分别为︒135_____________．三、解答题：17．平行四边形周长等于68cm ，被两条对角线分成两个不同的三角形的周长和等于80cm ，两对角线的长度之比是2∶3，求两条对角线的长度．18．如图，AD 、BC 垂直相交于点O ，AB ∥CD ，又BC = 8，AD = 6，求：AB ＋CD 的长．19．如图，某村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 处均种有一棵大核桃树，这村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问这村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．20．已知如图，在平行四边形ABCD 中，∠A =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，AB = 2AD ，求证：BD ︒60=EF ．3参考答案：一、选择题：C ．C ．B ． B ． C ．C ．C ．D ．A ．C ．二、填空题：11．7.5、12.5、7.5、12.5 12．、、、︒102︒78︒102︒7813．9.6 cm14．6815．17.5 cm 16． ，，，2︒45︒135︒45︒135ADB AB OCDEAEC三、解答题：17．设一条对角线长为2a ，则另一条对角线长为3a ．∵平行四边形周长等于68cm ，∴相邻两边的长为 34cm ，∴34＋2a ＋3a = 80，解得a = 9.2，2a = 18.4，3a = 27.6．即两条对角线的长度分别为18.4 cm 和3a = 27.6 cm ．18．过点C 作CE ∥AD 交BA 延长线于E ，∵AB ∥CD ，∴四边形AECD 是平行四边形，∴AE = CD ，∠BCE =∠BOA =，CE = AD = 6，︒90BE === 10．22CE BC +2268+∵ BE = AB ＋AE =AB ＋CD ，∴AB ＋CD = 10．19．这村能实现他们的设想．①分别过点A 、C 作BD 的平行线、，1l 2l ②分别过点B 、D 作AC 的平行线、，交、于点3l 4l 3l 1l 2l M 、N ；交、于点P 、Q ，则四边形MNPQ 就是所求的平行4l 1l 2l 四边形．20．连结DE ，在平行四边形ABCD 中，AB CD ，DF =CD ，AE =AB ，=//2121∴DF AE ，=//∴四边形AEFD 是平行四边形，∴EF = AD ．又∵AB = 2AD ，AB = 2AE ，∴AD = AE ，且∠A =，︒60ADCB AQ DPCNB M 1l 2l 3l 4l ABOCDABOCDEECA∴DE = AE = BE ，∴∠1 =∠2 =×，∴∠ADB =，2121︒30︒90BD ===AD ，22AD AB -22)2(AD AD -3∴BD =EF ．3。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C 关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．（1）求∠FDP的度数；（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；（3）连接AC，若正方形的边长为2，请直接写出△ACC′的面积最大值．【答案】（1）45°；（2）BP+DP2AP，证明详见解析；（32﹣1．【解析】【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝12∠ADC＝45°；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，∴AD＝C'D，∵F是AC'的中点，∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝12∠ADC＝45°；（2）结论：BP+DP2AP，理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，∴∠PAP'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，∴∠DAP'＝∠BAP，由（1）可知：∠FDP＝45°∵∠DFP＝90°∴∠APD＝45°，∴∠P'＝45°，∴AP＝AP'，在△BAP和△DAP'中，∵BA DABAP DAP AP AP'=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，∴△BAP≌△DAP'（SAS），∴BP＝DP'，∴DP+BP＝PP'＝2AP；（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝12AC•C'G，Rt△ABC中，AB＝BC2，∴AC22(2)(2)2+=，即AC为定值，当C'G最大值，△AC'C的面积最大，连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，∵CD ＝C 'D ＝2，OD ＝12AC ＝1， ∴C 'G ＝2﹣1，∴S △AC 'C ＝112(21)2122AC C G '•=⨯-=-． 【点睛】 本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．2．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=60cm ，∠A=60°，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm/秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm/秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒（0＜t≤15）．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF ．（1）求证：AE=DF ；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值，如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）能，t=10；（3）t=152或12. 【解析】【分析】（1）利用t 表示出CD 以及AE 的长，然后在直角△CDF 中，利用直角三角形的性质求得DF 的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD 是平行四边形，当AD=AE 时，四边形AEFD 是菱形，据此即可列方程求得t 的值；（3）△DEF 为直角三角形，分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论.【详解】解：（1）证明：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB=12AC=12×60=30cm ， ∵CD=4t ，AE=2t ， 又∵在Rt △CDF 中，∠C=30°，∴DF=12CD=2t ，∴DF=AE ；∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60﹣4t=2t，解得：t=10，∴当t=10时，AEFD是菱形；（3）若△DEF为直角三角形，有两种情况：①如图1，∠EDF=90°，DE∥BC，则AD=2AE，即60﹣4t=2×2t，解得：t=152，②如图2，∠DEF=90°，DE⊥AC，则AE=2AD，即2t2(604t)=-，解得：t=12，综上所述，当t=152或12时，△DEF为直角三角形.3．如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE＝6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当△AFB′恰好为直角三角形时，B′D的长为？465522【解析】分两种情况分析：如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN=22B N'+；【详解】如图1，当∠AB′F=90°时，此时A、B′、E三点共线，∵∠B=90°，∴AE=2222AB BE=86++=10，∵B′E=BE=6，∴AB′=4，∵B′F=BF，AF+BF=AB=8，在Rt△AB′F中，∠AB′F=90°，由勾股定理得，AF2=FB′2+AB′2，∴AF=5，BF=3，过点B′作B′M⊥AB，B′N⊥AD，由三角形的面积法则可求得B′M=2.4，再由勾股定理可求得B′N=3.2，∴AN=B′M=2.4，∴DN=AD-AN=8-2.4=5.6，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN= 3.2 5.6B N'+ =4655；如图2，当∠AFB′=90°时，由题意可知此时四边形EBFB′是正方形，∴AF=2，过点B′作B′N⊥AD，则四边形AFB′N为矩形，∴AN=B′F=6，B′N=AF=2，∴DN=AD-AN=2，在Rt△CB′N中，由勾股定理得，B′D=2222+DN=22B N'+ =22；综上，可得B′D 4655或2【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确地画出图形并能分类讨论是解题的关键.4．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DB，垂足为点D，将平行四边形ABCD折叠，使点B落在点D的位置，点C落在点G的位置，折痕为EF，EF交对角线BD于点P．（1）连结CG，请判断四边形DBCG的形状，并说明理由；（2）若AE＝BD，求∠EDF的度数．【答案】（1）四边形BCGD是矩形，理由详见解析；（2）∠EDF＝120°．【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和折叠性质以及矩形的判定解答即可；（2）根据折叠的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质解答即可．【详解】解：（1）四边形BCGD是矩形，理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，即BC∥DG，由折叠可知，BC＝DG，∴四边形BCGD是平行四边形，∵AD⊥BD，∴∠CBD＝90°，∴四边形BCGD是矩形；（2）由折叠可知：EF垂直平分BD，∴BD⊥EF，DP＝BP，∵AD⊥BD，∴EF∥AD∥BC，∴AE PD1==BE BP∴AE ＝BE ，∴DE 是Rt △ADB 斜边上的中线，∴DE ＝AE ＝BE ，∵AE ＝BD ，∴DE ＝BD ＝BE ，∴△DBE 是等边三角形，∴∠EDB ＝∠DBE ＝60°，∵AB ∥DC ，∴∠DBC ＝∠DBE ＝60°，∴∠EDF ＝120°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠性质，等边三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度5．如图①，四边形ABCD 是知形，1,2AB BC ==，点E 是线段BC 上一动点(不与,B C 重合)，点F 是线段BA 延长线上一动点，连接,,,DE EF DF EF 交AD 于点G .设,BE x AF y ==，已知y 与x 之间的函数关系如图②所示.（1）求图②中y 与x 的函数表达式;（2）求证:DE DF ⊥;（3）是否存在x 的值，使得DEG △是等腰三角形?如果存在，求出x 的值;如果不存在，说明理由【答案】（1）y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）见解析；（3）存在，x ＝54或552-或32． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法可得y 与x 的函数表达式；（2）证明△CDE ∽△ADF ，得∠ADF ＝∠CDE ，可得结论；（3）分三种情况：①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，分别列方程计算可得结论．【详解】（1）设y ＝kx +b ，由图象得：当x ＝1时，y ＝2，当x ＝0时，y ＝4，代入得：24k b b +=⎧⎨=⎩，得24k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝﹣2x +4（0＜x ＜2）；（2）∵BE ＝x ，BC ＝2∴CE ＝2﹣x ， ∴211,4222CE x CD AF x AD -===-， ∴CE CD AF AD=， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝∠DAF ＝90°，∴△CDE ∽△ADF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，∴∠ADF +∠EDG ＝∠CDE +∠EDG ＝90°，∴DE ⊥DF ；（3）假设存在x 的值，使得△DEG 是等腰三角形，①若DE ＝DG ，则∠DGE ＝∠DEG ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠B ＝90°，∴∠DGE ＝∠GEB ，∴∠DEG ＝∠BEG ，在△DEF 和△BEF 中，FDE B DEF BEF EF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△BEF （AAS ），∴DE ＝BE ＝x ，CE ＝2﹣x ，∴在Rt △CDE 中，由勾股定理得：1+（2﹣x ）2＝x 2，x ＝54； ②若DE ＝EG ，如图①，作EH ∥CD ，交AD 于H ，∵AD ∥BC ，EH ∥CD ，∴四边形CDHE 是平行四边形，∴∠C ＝90°，∴四边形CDHE 是矩形，∴EH ＝CD ＝1，DH ＝CE ＝2﹣x ，EH ⊥DG ，∴HG ＝DH ＝2﹣x ，∴AG ＝2x ﹣2，∵EH ∥CD ，DC ∥AB ，∴EH ∥AF ，∴△EHG ∽△FAG ， ∴EH HG AF AG =， ∴124222x x x -=--， ∴125555x x -+==（舍）， ③若DG ＝EG ，则∠GDE ＝∠GED ，∵AD ∥BC ，∴∠GDE ＝∠DEC ，∴∠GED ＝∠DEC ，∵∠C ＝∠EDF ＝90°，∴△CDE ∽△DFE ， ∴CE DE CD DF=， ∵△CDE ∽△ADF ， ∴12DE CD DF AD ==， ∴12CE CD =， ∴2﹣x ＝12，x ＝32， 综上，x ＝545-5或32． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三角形的性质是解决本题的关键．6．正方形ABCD，点E在边BC上，点F在对角线AC上，连AE．(1)如图1，连EF，若EF⊥AC，4AF＝3AC，AB＝4，求△AEF的周长；(2)如图2，若AF＝AB，过点F作FG⊥AC交CD于G，点H在线段FG上(不与端点重合)，连AH．若∠EAH＝45°，求证：EC＝HG+2FC．【答案】（1）25422）证明见解析【解析】【分析】（1）由正方形性质得出AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，得出AC2AB＝2，求出AF＝2，CF＝AC﹣AF2，求出△CEF 是等腰直角三角形，得出EF＝CF2，CE2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理求出AE，即可得出△AEF的周长；（2）延长GF交BC于M，连接AG，则△CGM和△CFG是等腰直角三角形，得出CM＝CG，CG2CF，证出BM＝DG，证明Rt△AFG≌Rt△ADG得出FG＝DG，BM＝FG，再证明△ABE≌△AFH，得出BE＝FH，即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠B＝∠D＝90°，∠ACB＝∠ACD＝∠BAC＝∠ACD＝45°，∴AC2AB＝2，∵4AF＝3AC＝2，∴AF＝2∴CF＝AC﹣AF2∵EF⊥AC，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF＝CF2CE2CF＝2，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE2225AF EF+==∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝252322542（2）证明：延长GF 交BC 于M ，连接AG ，如图2所示：则△CGM 和△CFG 是等腰直角三角形，∴CM ＝CG ，CG 2，∴BM ＝DG ，∵AF ＝AB ，∴AF ＝AD ，在Rt △AFG 和Rt △ADG 中，AG AG AF AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AFG ≌Rt △ADG （HL ），∴FG ＝DG ，∴BM ＝FG ，∵∠BAC ＝∠EAH ＝45°，∴∠BAE ＝∠FAH ，∵FG ⊥AC ，∴∠AFH ＝90°，在△ABE 和△AFH 中，90B AFH AB AFBAE FAH ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△AFH （ASA ），∴BE ＝FH ，∵BM ＝BE +EM ，FG ＝FH +HG ，∴EM ＝HG ，∵EC ＝EM +CM ，CM ＝CG 2CF ，∴EC ＝HG 2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．7．（感知）如图①，四边形ABCD 、CEFG 均为正方形．可知BE=DG ．（拓展）如图②，四边形ABCD 、CEFG 均为菱形，且∠A=∠F ．求证：BE=DG ．（应用）如图③，四边形ABCD 、CEFG 均为菱形，点E 在边AD 上，点G 在AD 延长线上．若AE=2ED ，∠A=∠F ，△EBC 的面积为8，菱形CEFG 的面积是_______．（只填结果）【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，利用SAS 易证得△BCE ≌△DCG ，则可得BE=DG ；应用：由AD ∥BC ，BE=DG ，可得S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，又由AE=3ED ，可求得△CDE 的面积，继而求得答案．试题解析：探究：∵四边形ABCD 、四边形CEFG 均为菱形，∴BC=CD ，CE=CG ，∠BCD=∠A ，∠ECG=∠F ．∵∠A=∠F ，∴∠BCD=∠ECG ．∴∠BCD-∠ECD=∠ECG-∠ECD ，即∠BCE=∠DCG ．在△BCE 和△DCG 中，BC CD BCE DCG CE CG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BCE ≌△DCG （SAS ），∴BE=DG ．应用：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∵BE=DG ，∴S △ABE +S △CDE =S △BEC =S △CDG =8，∵AE=3ED ，∴S △CDE =1824⨯= , ∴S △ECG =S △CDE +S △CDG =10∴S 菱形CEFG =2S △ECG =20.8．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （﹣6，0）、点C （0，6），若正方形OABC 绕点O 顺时针旋转，得正方形OA′B′C′，记旋转角为α：（1）如图①，当α＝45°时，求BC 与A′B′的交点D 的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求点B′的坐标；（3）若P 为线段BC′的中点，求AP 长的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）(62,6)-；（2）(333,333)+；（3）323323AP +.【解析】【分析】（1）当α＝45°时，延长OA′经过点B ，在Rt △BA′D 中，∠OBC ＝45°，A′B ＝626，可求得BD 的长，进而求得CD 的长，即可得出点D 的坐标；（2）过点C′作x 轴垂线MN ，交x 轴于点M ，过点B′作MN 的垂线，垂足为N ，证明△OMC′≌△C′NB′，可得C′N ＝OM ＝33，B′N ＝C′M ＝3，即可得出点B′的坐标；（3）连接OB ，AC 相交于点K ，则K 是OB 的中点，因为P 为线段BC′的中点，所以PK ＝12OC′＝3，即点P 在以K 为圆心，3为半径的圆上运动，即可得出AP 长的取值范围． 【详解】解：（1）∵A （﹣6，0）、C （0，6），O （0，0），∴四边形OABC 是边长为6的正方形，当α＝45°时，如图①，延长OA′经过点B ，∵OB ＝2，OA′＝OA ＝6，∠OBC ＝45°，∴A′B ＝626，∴BD ＝（626）21262=-，∴CD ＝6﹣（1262-=626，∴BC 与A′B′的交点D 的坐标为（662-6）；（2）如图②，过点C′作x轴垂线MN，交x轴于点M，过点B′作MN的垂线，垂足为N，∵∠OC′B′＝90°，∴∠OC′M＝90°﹣∠B′C′N＝∠C′B′N，∵OC′＝B′C′，∠OMC′＝∠C′NB′＝90°，∴△OMC′≌△C′NB′（AAS），当α＝60°时，∵∠A′OC′＝90°，OC′＝6，∴∠C′OM＝30°，∴C′N＝OM＝33，B′N＝C′M＝3，∴点B′的坐标为)-+；333,333（3）如图③，连接OB，AC相交于点K，则K是OB的中点，∵P为线段BC′的中点，∴PK＝1OC′＝3，2∴P在以K为圆心，3为半径的圆上运动，∵AK＝2∴AP最大值为323，AP的最小值为323，AP+.∴AP长的取值范围为323323【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理．（3）问解题的关键是利用中位线定理得出点P的轨迹．9．如图，点E是正方形ABCD的边A B上一点，连结CE，过顶点C作CF⊥CE，交AD延长线于F．求证：BE=DF.【答案】证明见解析.【解析】分析：根据正方形的性质，证出BC=CD，∠B=∠CDF，∠BCD=90°，再由垂直的性质得到∠BCE=∠DCF，然后根据“ASA”证明△BCE≌△BCE即可得到BE=DF详解：证明：∵CF⊥CE，∴∠ECF=90°，又∵∠BCG=90°，∴∠BCE+∠ECD =∠DCF+∠ECD∴∠BCE=∠DCF，在△BCE与△DCF中，∵∠BCE=∠DCF，BC=CD，∠CDF=∠EBC，∴△BCE≌△BCE（ASA），∴BE=DF.点睛：本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．10．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，求证：△PDH的周长是定值；（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长．【答案】（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）2．【解析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB，证明△EFM≌△BPA，设AP=x，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF，结合二次函数的性质求出最值．试题解析：（1）解：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．（2）证明：如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q．由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，在△ABP和△QBP中，，∴△ABP≌△QBP（AAS），∴AP=QP，AB=BQ，又∵AB=BC，∴BC=BQ．又∠C=∠BQH=90°，BH=BH，在△BCH和△BQH中，，∴△BCH≌△BQH（SAS），∴CH=QH．∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．∴△PDH的周长是定值．（3）解：如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB．又∵EF为折痕，∴EF⊥BP．∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，∴∠EFM=∠ABP．又∵∠A=∠EMF=90°，在△EFM和△BPA中，，∴△EFM≌△BPA（AAS）．∴EM=AP．设AP=x在Rt△APE中，（4-BE）2+x2=BE2．解得BE=2+，∴CF=BE-EM=2+-x，∴BE+CF=-x+4=（x-2）2+3．当x=2时，BE+CF取最小值，∴AP=2．考点：几何变换综合题．。