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二次型及其标准型

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二次型及标准型

二次型及标准型

§5 二次型及其标准形在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax（4）的几何性质，我们可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧+=-=,cos 'sin ',sin 'cos 'θθθθy x y y x x把方程化成标准形.1''22=+ny mx（4）式的左边是一个二次奇次多项式，从代数学的观点看，化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次奇次多项式，使它只含有平方项。

这样一个问题，在许多理论问题或实际问题中常会遇到。

现在我们把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次奇次多项式的化简问题。

定义 8 含有n 个变量nx x x ,,,21的二次奇次函数nn nn nnnnxx a x x a x x a xa x a x a x x x f 1,13113211222222211121222),,,(--+++++++=称为二次型。

取ijjia a +，则ij ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，于是（5）式可写成.1,2221122222212211121122111jinj i ijnnnnn nn nnnnx x a xa x x a x x a xx a x a x x a xx a x x a x a f ∑==++++++++++++= （6）对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nyc y c y c x y c y c y c x y c y c y c x nnn n nnnnn22112222112212121111,, 使二次型只含平方项，也就是用（7）式代入（5），能使.2222211nny k y k y k f +++=这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型（或法式）.如果标准型的系数nkk k ,,,21只在1，-1,0三个数中取值，也就是用（7）代入（5）能使则称上式为二次型的规范形。

二次型及其标准形

二次型及其标准形

例1 求一个正交变换x Py,把二次型
f x12 2x22 x32 2x1 x3 化为标准形.
解
1 (1)A 0
0 1 2 0
1 0 1
(2)A的特征值1 2 2,3 0.
当1 2 2时，特征向量为：
p1 (0,1,0)T , p2 (1,0,1)T .
当3 0时，特征向量为：p3 (1,0,1)T .
定理1 对于实二次型 f xT Ax, 总存在正交 变换 x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 其中 1，2，,n为A的特征值.
用正交变换化二次型为标准型的步骤： (1)写出二次型的矩阵; (2)求 A的全部特征值,特征向量并正交化、单位化; (3)求正交矩阵P; (4)写出正交变换和标准形.
(3)将p1，p2，p3单位化：q1 (0,1,0)T , q2 (1/ 2,0,1/ 2)T ,q3 (1/ 2,0,1/ 2)T .
0
令Q
1
0
1 2
0 1
2
1
2 0 1
2
,
(4)作正交变换
0
x 1
0
1 2
0 1
2
1 2
0 y,
1
2
标准形为 f 2 y12 2 y22 .
定义2 设A和B是n阶方阵，若有可逆矩阵C，使 B CT AC, 则称矩阵A与B合同. congruent
合同是方阵间又一个特殊的等价关系, 因此具 有以下性质: (1) 自反性; (2) 对称性; (3) 传递性;
(4) 合同变换不改变矩阵的秩;
(5) 合同变换不改变矩阵的对称性;
4.4.3 二次型的标准化的方法
称为二次型.

《二次型及其标准型》课件

《二次型及其标准型》课件
任意二次型都可以表示成矩阵的形式。
特征矩阵
每个对称矩阵都有唯一的特征矩阵和特征向 量。
二、二次型的分类
正定二次型
在全空间内取正值，且仅在零 点处取零值。
负定二次型
在全空间内取负值，且仅在零 点处取零值。
半正定二次型
在全空间内取非负值，且在某 点处取零。
半负定二次型
在全空间内取非正值，且在某 点处取零。
三、二次型的标准型
1
消元法
通过矩阵初等变换将二次型化为标准型。
2
完成平方项法
通过添加与减去一些平方项使得二次型化为标准型。
3
正交变换法
通过正交变换使得二次型化为标准型。
四、实对称矩阵的对角化
对角化定理
任意实对称矩阵都可以通过正交相似变换对角化。
特征矩阵
其特征矩阵是一个对角矩阵，对应的特征向量即为变换矩阵的列向量。
正交矩阵
变换矩阵是一个正交矩阵，即其转置等于其逆。
五、二次型的规范化
规范化定理
每个二次型都可以通过正交变 换达到规范形式，其中自变量 部分是平方项相加的形式，而 系数全是1或0。
奇异值分解
通过奇异值分解，可
在优化问题中，可以通过规范 化二次型来处理一些特殊情况。
六、提高拓展
1 多项式对称型
2 奇异值分解与最小二乘法
一类特殊的二次型，在某些应用领域有重 要作用。
将奇异值分解应用于最小二乘法可以得到 一种快速求解带权重线性最小二乘问题的 方法。
二次型及其标准型
这是一场讲述二次型及其标准型的课程，我们将深入探讨它们的定义、分类 和转化方法，以及实对称矩阵的对角化和二次型的规范化等知识点，希望您 能够收获满满。
一、二次型的概念

线性代数二次形及其标准型

线性代数二次形及其标准型
4 2
4
2 2 ( 1)2 ( 10) 2
I A
5
2
A的特征值为 1 1(二重)， 2 10
把1=1（2重）代入齐次方程组，得基础解系为
线性代数 第五章
12 12
1 1 1 1 , 2 0 0 2
把含有x2各项集中在一起，再配平方
8 2 ( x1 2 x2 2 x3 ) 6( x x2 x3 ) 2 x3 3 4 26 2 2 2 ( x1 2 x 2 2 x3 ) 6( x2 x 3 ) x3 3 3
2 2 2
线性代数
第五章
16 16
令

2 3 2 3 1 3
1 T 1 则 Q AQ 10
令正交变换X=QY，则
2 2 f y12 y 2 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 线性代数 第五章
14 14
x1 a1n a2n x x2 x n a nn
a11 a 21 f ( x1 ,, x n ) a n1
a12 a 22 an 2
a1n x1 a 2 n x 2 x a nn n
a11 a12 a 21 a 22 ( x1 , , x n ) a n1 a n 2
第五章
a1 n x 1 a 2n x 2 x a nn n
2
令
a11 a12 a21 a 22 A a a n1 n 2

第五章二节二次型的标准形和规范形

第五章二节二次型的标准形和规范形
T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有

Ch5-5线性代数二次型及其标准型

Ch5-5线性代数二次型及其标准型

2 01
0
0 0 1
可得
f
的规范形：f
=
－z
2 1
+
z
2 2
+
z
2 3
.
用正交阵将二次型化为标准形的步骤:
正交变换法
(i) 写出 f 的矩阵 A,并求出 A所有相异特征值 1, , m;
它们的重数依次为 r1, r2 , rm ( r1 r2 rm n )
(ii) 对每个重特征值i , 求出对应的 ri 个线性无关的特征向量
二次曲线
旋转变换
ax2 bxy cy2 1
令
x y

x cos x sin

y sin y cos
, ,
二次齐次多项式
m x2 n y2 1
不改变长度、夹角
可逆线性变换 正交变换
对于n 元的二次齐次多项式，能否存在一个可逆的线性变换 将其变为只含平方项的二次齐次多项式
求可逆矩阵 C 使得 C TAC B , 称为将 A 合同(变换)为 B .
简单性质:
10 矩阵的合同关系是等价关系;
20 合同矩阵CT必A等C 秩 B; , 而 C 可逆，
30 与对称矩阵合同的矩阵也是对称阵.
A AT , C TAC B BT CT ATC CT AC B
从合同的角度看二次型的变换问题:
二次型 f xTAx 经可逆变换 x C y化成二次型 f yTB y
存在可逆阵 C 将矩阵 A合同为B, 即 A, B 满足CTAC =B, 且 B仍为对称阵,二次型 f 的秩不变.
能将二次型 f = xTA x 经过可逆线性变换化成标准形

二次型及其标准型


其中
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n x1 a2 n x2 , x ann xn
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
解： (1)
f ( x1 , x2 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) x 4 x1 x2 3x ;
2 1 2 2
f ( x1 , x2 ) x1
1 2 x1 x2 2 3 x2
定理10. 任意 二次型
n n
f ( x1 , x2 ,, xn ) aij xi x j
(aij a ji ), 总有正交变换x Py, 使f 化为标准型
2 f 1 y12 2 y2 2 n yn
i 1 j 1
其中1， ，2， n是 f 的矩阵A的n个特征值 .
故 B 为对称矩阵.
再证 R(B)=R(A).
因
又因
B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A).
A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B)
于是
R(B)=R(A).
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx

线性代数§5.5二次型及其标准形

i , j 1 n
总有正交变换 y=Px, 使 f 化为标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2,
其中1, 2, · · · ,n 是 f 的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 将二次型表示成矩阵形式 f = xTAx, 求出A; 2. 求出A的所有特征值1, 2, · · · , n ; 3. 求出对应特征值i 的正交单位化的特征向量组, 从而有正交规范向量组 1, 2, · · · , n ; 4. 记P=(1, 2, · · · , n ), 作正交变换x=Py, 则得 f 的 标准形: f = 1y12+2y22+· · · +nyn2 . 例2: 将二次型 f =17x12+14x22+14x32–4x1x2–4x1x3–8x2x3 通过正交变换x=Py化成标准形. 解: 1. 写出对应的二次型矩阵. 17 2 2 A 2 14 4 2 4 14
取aji = aij , 则 2aij xi xj = aij xi xj + aji xjxi , 于是 f(x1, x2, · Байду номын сангаас · , xn) =a11x12+a12x1x2 +· · · +a1nx1xn +a21x2x2 + a22x22+· · · +a2nx2xn +· · · · · · +an1xnx1+an2xnx2+ · · · +ann xn2
思考题:
求一正交变换, 将二次型 f(x, y, z)=5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz 化为标准型, 并指出f (x, y, z)=36表示何种二次曲面.

6.1二次型及其标准形

1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.

线性代数二次形及其标准型


f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型
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f (x1, x2 ,L, xn ) = ∑∑aij xi xj
(aij = aji ),总 正 变 x = Py, 使 化 标 型 有 交 换 f 为 准
2 2 2 f = λ1 y1 + λ2 y2 +L+ λn yn
n
n
i=1 j =1
其 λ1， λ2， λn是 f 的 阵 的 个 征 . 中 ， L 矩 A n 特 值
= ( y1
y2
λ1 L yn )
λ2
y1 y2 M O λn yn
= yTΛ y
也就是要使 C TAC 成为对角阵，即， C TAC=∧，因 此，我们主要的问题就是：对于对称矩阵 A ，寻求可逆 矩阵 C ，使 C TAC=∧. 由上节定理 8 知 , 任给实对称矩 阵A，总有正交矩阵 P,使PTAP =∧. 把此结论用于二次型， 即有： 定理10. 任意 二次型 定理
2 2
(1)
(1)的左边是一个二次齐次多项式, (1)的左边是一个二次齐次多项式,从代数学的观点看， 化标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐 次多项式，使它只有平方项。这样的问题，在许多理论问 题或是实际问题中常会遇到。 现在我们把这类问题一般化，讨论n个变量的二次齐 次多项式的化简问题。
§5. 二次型及其标准型
在解析几何中，为了便于研究二次曲线
ax + bxy + cy =1
2 2
(1)
的几何性质，我们可以选择适当的坐标变换：
x = x′ cosθ − y′ sin θ y = x′ sin θ + y′ cosθ
把方程化为标准形
mx′ + ny′ =1
2 2
ax + bxy + cy =1
一、二次型概念
定义1 定义 ：含有n个变量x1 , x2 ,…xn的二次齐次函数
2 f (x1, x2 ,L, xn ) = a11x1 + 2a12x1x2 +L+ 2a1n x1xn
+ a x +L+ 2a2n x2 xn
2 22 2
+L+ aபைடு நூலகம்x
= ∑∑aij xi xj
i=1 j =1 n n
1 2 0 x1 x3 ) 2 3 0 x2 0 0 0 x 3
(2)
f (x1, x2 , x3 ) = ( x1 x2
二、二次型的标准形
定义9. 称只含有平方项的二次型 定义
f = λ y + λ2 y + L + λn y
2 1 1 2 2
i=1 j =1
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn a21x1 + a22x2 +L+ a2n xn = (x1, x2 ,L, xn ) L L a x + a x +L+ a x nn n n1 1 n2 2 a11 a12 L a1n x1 a21 a22 L a2n x2 = ( x1x2 Lxn ) L L L L M a a L a x nn n n1 n2 T = x Ax
2 n
= ( y1
y2
λ1 L yn )
λ2
y1 y2 M O λn yn
= y Λy
T
为二次型的标准型（或法式）。
所谓一般二次型的化简问题，就是寻找一个可逆的线 性变换：
x1 = c11 y1 + c12 y2 + L + c1n yn x = c y + c y +L + c y 2 21 1 22 2 2n n LL xn = cn1 y1+cn 2 y2 +L+cnn yn
2 nn n
其中
aij = aji ,
2aij xi xj = aij xi xj + aji xj xi
二次型的矩阵形式
f (x1, x2 ,L, xn ) = ∑∑aij xi xj
n
n
= x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n xn ) + LLLLLLLLLL + + xn (an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn )
这定理说明：经可逆变换 x=C y ,把 f 化成 yTC TACy ， C TAC 仍为对称矩阵，且二次型的秩不变。要使二次型 f 经过可逆变换 x=C y化成标准形，即使 f = x TAx
= (Cy )T ACy = y T C T ACy
2 2 = λ1 y12 + λ2 y2 + L + λn yn
例 1. 把下面的二次型写成矩阵形式；
(1)
(2)
(1 解：)
f (x1, x2 ) = x + 4x1x2 + 3x ;
2 1 2 2
2 2 f (x1, x2 , x3 ) = x1 + 4x1x2 + 3x2 ;
f (x1, x2 ) = ( x1
1 2 x1 x2 ) 2 3 x2
其中
a11 a21 A= L a n1
a12 L a1n x1 a22 L a2n x2 , x = L L L M x an2 L ann n
1）称A为二次型 f 的矩阵，显然 A=AT; 2）A=(aij), 若 aij 为复数，称 f 为复二次型； 3) A=(aij), 若 aij 为实数，称 f 为实二次型； 4）称为R(A)为二次型 f 的秩。
即 x = cy
T
把 f = x T A x化 成 标 准 型 。 于 是
T T T
f = x Ax = (cy ) A(cy ) = y (c Ac ) y.
定理9 定理 任给可逆矩阵 C ，令 B=C TAC，若 A 为对称 矩阵，则 B 亦为对称矩阵，且 R(B)=R(A)。 证： A为对称矩阵，即有 A T=A，于是， B T =(C TAC) T=C TAT(C T) T=C TAC=B . 故 B 为对称矩阵. 再证 R(B)=R(A). 因 又因 于是 B=C TAC, 故 R(B) ≤R(AC) ≤R(A). A=(C T) -1BC -1,故 R(A) ≤R(BC -1) ≤R(B) R(B)=R(A).