高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算

高考数学冲刺复习极限考点速记手册在高考数学的复习征程中，极限这一考点犹如一座必须攀登的山峰，它不仅是数学知识体系中的重要组成部分，也是高考中常常出现的关键知识点。

对于即将踏上高考战场的同学们来说，熟练掌握极限的相关概念、性质和计算方法，是取得优异成绩的重要保障。

接下来，让我们一同开启极限考点的速记之旅。

一、极限的定义极限是指变量在一定的变化过程中，逐渐趋近于某个确定的值。

通俗地说，就是当自变量无限接近某个特定值时，函数值无限接近的那个固定值。

比如，当 x 无限接近 2 时，函数 f(x) ＝ x ＋ 1 的值无限接近 3，我们就说 x 趋近于 2 时，f(x) 的极限是 3。

二、极限的计算方法1、代入法如果函数在极限点处连续，那么可以直接将极限点代入函数计算极限值。

例如，求lim(x→3) （x^2 9) ／（x 3) ，直接将 x ＝ 3 代入，分母为 0，所以不能直接代入。

2、因式分解法当分子分母有公因式时，先进行因式分解，然后约分，再代入计算。

就像上面的例子，（x^2 9) ／（x 3) ＝（x ＋ 3)（x 3) ／（x 3)＝ x ＋ 3 ，所以lim(x→3) （x^2 9) ／（x 3) ＝ 6 。

3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，然后计算极限。

比如，求lim(x→0) √（1 ＋ x) 1 ／ x ，分子分母同时乘以√（1 ＋x) ＋ 1 ，进行有理化后再计算。

4、利用重要极限两个重要极限：lim(x→0) sin x ／ x ＝ 1 ；lim(x→∞）（1 ＋ 1 ／ x)＾x ＝ e 。

在计算极限时，要善于将所给式子变形为这两个重要极限的形式。

三、极限的性质1、唯一性极限若存在，则必定唯一。

2、局部有界性如果函数在某一点的极限存在，那么在该点的某个邻域内，函数是有界的。

3、保号性如果函数在某一点的极限大于 0（或小于 0），那么在该点的某个邻域内，函数的值大于 0（或小于 0）。

极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。

当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。

例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。

因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。

1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。

对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。

这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。

这就是极限的基本定义形式。

1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。

以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。

也就是说，一个数列只能有一个极限。

类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。

2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。

3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。

这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。

4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。

高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。

本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。

一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。

即极限是函数在某一点附近的局部性质。

2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。

3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。

二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。

2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。

3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。

4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。

三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。

2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。

四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。

2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。

3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。

五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。

极限知识点文字总结1. 无穷小和无穷大无穷小是指当自变量趋向某个数值时，函数趋于零，但又不等于零的量。

通常用小o来表示。

例如当x趋于0时，f(x)=o(x)表示f(x)是x的一个无穷小。

而无穷大则是指当自变量趋向某个数值时，函数的绝对值趋于无穷大的量。

通常用大O来表示。

例如当x趋于无穷大时，f(x)=O(x)表示f(x)是x的一个无穷大。

2. 极限存在的条件当我们讨论一个函数的极限时，我们需要考虑一些条件，以确定这个极限是否存在。

常见的有两个条件：（1）极限是否有限如果一个函数f(x)使得当x趋于某个数a时，f(x)的值趋于一个有限的值L，即lim(x→a)f(x)=L，那么我们说这个函数在x趋于a时有极限，并且极限存在。

（2）极限是否唯一如果函数f(x)在x趋于某个数a时有极限，那么这个极限必须唯一，即对于同一个函数f(x)，当x趋于a时只能有一个极限值。

3. 基本的极限运算法则在计算极限的过程中，我们经常会用到一些基本的运算法则来简化计算。

这些法则包括：（1）常数函数的极限lim(x→a)c=c，其中c是一个常数。

（2）多项式函数的极限lim(x→a)(x^n)=a^n，其中n是一个正整数。

（3）三角函数的极限lim(x→a)sinx=sin(a)，lim(x→a)cosx=cos(a)。

（4）指数函数和对数函数的极限lim(x→a)e^x=e^a，lim(x→a)lnx=lna。

（5）极限的加法法则lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，同样适用于减法。

（6）极限的乘法法则lim(x→a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)，同样适用于除法。

（7）复合函数的极限如果lim(x→a)g(x)=b，而lim(x→b)f(x)=L，那么lim(x→a)f(g(x))=L。

4. 极限的存在性的判断如果一个函数f(x)在x趋于a时极限存在，那么我们需要判断这个极限是否有限，同时还需要判断它在x趋于a时的左右极限是否相等。

高中数学学习中的极限与导数概念解析在高中数学中，极限和导数都是重要的概念，它们是微积分的基础，也是后续学习数学的关键。

本文将分别对极限和导数进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这两个概念。

首先，我们来探讨一下极限的概念。

极限是一种数学概念，用来描述一个函数或数列在某一点附近的变化情况。

具体来说，当自变量逐渐靠近某个确定的数值时，函数值或数列的值也趋近于某个确定的数。

在数学符号中，我们用lim来表示极限。

例如，lim (n→∞) (1/n) = 0，表示当n无限趋近于正无穷时，1/n的极限是0。

极限在高中数学中的应用非常广泛。

它被用来证明和推导各种数学定理，例如求导和积分等。

同时，在几何学中，极限也被用来描述函数的图像在某一点的切线斜率。

因此，理解和掌握极限的概念对进一步学习数学非常重要。

接下来，我们来讨论导数的概念。

在数学中，导数被定义为函数在某一点的变化速率。

它描述了函数在某一点的附近的变化趋势。

导数常用f'(x)或df(x)/dx来表示，表示函数f(x)对自变量x的变化率。

导数可以帮助我们找出函数的极值点、确定切线斜率以及解决最优化问题等。

导数的计算通常使用导数公式和导数法则。

常见的函数求导公式包括常数函数求导公式、幂函数求导公式、指数函数求导公式、对数函数求导公式和三角函数求导公式等。

通过运用这些公式和法则，我们可以求得各种复杂函数的导数。

了解导数的概念对于数学的深入学习和应用具有重要意义。

在物理学中，导数被广泛应用于描述速度、加速度等物理量的变化。

在经济学和金融学领域，导数被用来描述成本、收益、市场需求曲线等的变化关系。

在生物学和医学领域，导数被应用于描述生长速率、变化趋势和药物浓度的变化等。

在学习极限和导数的过程中，我们还需要注意一些重要的性质和定理。

例如，极限有唯一性和保序性的性质，导数具有线性性、乘积法则、链式法则等等。

了解这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和运用极限与导数。

高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。

在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。

本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。

2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。

也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。

3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。

可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。

二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。

2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。

3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。

4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。

5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。

高中数学中的极限概念详解在高中数学中，极限是一个关键的概念，它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。

在本文中，我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。

首先，我们来了解极限的定义。

在数学中，极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。

当自变量趋近于这个特殊值时，函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。

这个特殊值被称为极限点，而函数在极限点处的取值则称为极限。

数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时，f(x)的极限为L。

接下来，我们来看一些常用的极限计算方法。

在高中数学中，有几种常见的方法可以计算极限。

首先是代入法，即将自变量的值代入函数中计算。

如果得到的结果存在一个有限值，那么这个有限值即为函数在该点的极限。

如果得到的结果是无穷大（正无穷大或负无穷大），则说明函数在该点不存在极限。

其次是夹逼定理，它用于计算特定类型的极限。

夹逼定理基于一个原则：如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个公共极限。

另外还有无穷小量的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数取值可以无限接近于零。

利用无穷小的性质，我们可以推导出一些特定类型的极限。

然后，我们来探讨极限的应用。

极限在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和解析几何中。

在微积分中，极限是求导和积分的基本工具。

通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数，进而研究函数的变化趋势。

在解析几何中，极限可以用来计算曲线的切线和曲率。

通过求解极限，我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小，从而揭示出曲线的几何性质。

最后，我们来总结一下。

高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。

极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。

我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。

极限的应用广泛，特别是在微积分和解析几何中。