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在用最小元素法和西北角法求初始解时，应注意两点：
⑴在(Ai,Bj)处填入一个数时，如果行和列同时饱和，规 定只 划去一行或一列，而不能同时划去行和列。如果划去的是行 (或 列)，下次遇到饱和的列(或行)时，就必须在相应的西北角或最小 运价位置取变量的值为0，这表明该基变量取0值 (属于退化的解)， 它与不填数字的地方取xij=0是不同的，前者是基变量取0值，后 者是非基变量取0值，这样可以保证所填数的个数恰为m+n-1。
其余 ij 0 (基变量的检验数，即 xij )。 由于在上述检验数中 24 1 ＜0，因此题中所给的初始基可 行解不是最优解。 注：由于运输问题是求最小值，因此当所有 才是最优解.
ij 0 时,可行解
2、基可行解的改进
和单纯行法一样，我们首先要确定换入变量和换出变量。 (11) 定理2：设变量组xi j , xi j , …, xisjs (s=m+n-1)
v1 2 v 9 2 v3 3 v4 10 u 0 1 u 2 1 u 5 3
11 c11 (u1 v1 ) 3 (0 2) 1, 12 c12 (u1 v2 ) 11 9 2, 24 c24 (u2 v4 ) 8 9 1, 22 c22 (u2 v2 ) 9 8 1, 31 c31 (u3 v1 ) 7 3 10, 33 c33 (u3 v3 ) 10 2 12,
销地 产地
B
1
B
2
B
3
B
4
产量
A
A A
1
5
10
5 15 0 10
15
20 10
2
3
销量
5
15
15
10
可行解：x11=5, x12=10, x22=5, x23=15, x33=0, x34=10,其余xij=0,目 标函数值： z=10×5+6×10+7×5+9×15+16×0+18×10=460
1 1 2 2
是运输问题的一组基变量，y是一个非基变量，则在变量组 y, xi j , xi j , …, xisjs (s=m+n-1)
1 1 2 2
中存在唯一的闭回路，它包含非基变量y为一个顶点，而其余的顶 点都是基变量组 ⑾ 中的点。 根据这个定理，我们就可以按照如下的办法从基变量中决定 哪一个变量作为换出变量，并确定调整量的值，这种方法通常称 为闭回路调整法。下面结合例子说明这种方法。
A A
1
4
3 6 3 6 5 1
3
7
4
2
3
3 6
9
销量
由此得到一个可行解：x13=4, x14=3, x21=3, x23=1, x32=6, x34=3,其余xij=0。 对应的目标函数值为 z=3×4+10×3 +1×3+2×1+4×6+5×3=86。
2、西北角法（又称左上角法）： 西北角法遵循的规则：优先安排编号小的产地与销地之间 的运输业务。仍以上例来说明此方法的应用。 例2：以例1为例 解：首先安排产地A1与销地B1之间的运输业务，即在(A1,B1)的 交叉处填上3，这样A1除满足B1外还余4吨，此时将B 所在列划去。 在剩余的表格上，考虑A1与 B2之间的运输业务，A1所在行划去后, 再考虑A2与B2之间的业务，如此下去，最后得到下表：
u i v j cij ( xij ) u1 0
(9)
来得到。并称它为运输问题关于Δ的对偶解(或位势)。 有了对偶解，就可以按公式(1)计算变量xij的检验数 ij了，即
ij cij (u1 ,, um , v1 ,, vn ) Pij
由于
0 1 第i行 0 Pij 0 1 第m j行 0
1 2
1
B
2
B 5
3
3 3
销量
6 6
5
B 2 1 3 6
4
产量
7 4 9
由此得可行解：x13=5,x14=2,x21=3,x24=1,x32=6,x34=3,其余xij=0, 目 标函数值: 后面将看到，此 z=3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3=85 可行解即为该运 输问题的最优解。
2
B 3 2 10 1
3
B 10 8 5 3
4
行差额
0 1 1
上述差额中最大者是5，对应于B2所在列，B2列中的最小元 素为4,可确定A3的产品先供应B2，在(A3,B2)的交叉处填6，同时 将B2所在列划去；再重新计算行和列中的最小费用和次小费用 的差额，直到给出初始解为止，最后得表：
B
A A A
YB CB
则对偶解 Y CB B 1 便是方程组⑥的解。 下面首先讨论运输问题的对偶问题：
maxw=
a u b v
i 1 i i j 1 j
m
n
j
u i v j cij (i 1,, m; j 1,, n) u i , v j 无约束
(7)
其中对偶变量ui(i=1，…，m)和vj(j=1，…，n)又称为位势。
min（1，3）=1
由此可得
x14=2, x13=5, x23=0, x24=1 当 x23=0 作为非基变量时，得新的可行解为 x13=5, x14=2, x21=3, x24=1, x32=6, x34=3,其余 xij=0 由此可知，对偶变量（或位势）ui, vj满足
u1 v3 c13 3 u v c 10 4 14 1 u 2 v1 c 21 1 u 2 v 4 c 24 8 u v c 4 2 32 3 u 3 v 4 c34 5 u1 0 非基变量的检验数为:
⑵在剩下最后一个空格时，只能填数（必要时可取0），以 保证所填的数为m+n-1。
例3：求下列运输问题的初始基可行解。
销地 产地
B
1
B
2
B
3
B
4
产量
A A A
1
2
3
销量
10 12 6 5
6 7 14 15
20 9 16 15
11 20 18 10
15 20 10
解：利用左上角法，我们在填了x11=5, x12=10, x22=5之后，再填 x23=15时，这时A2行和B3列都已饱和，按照上述(1)只能划去一行或 一列。例如划去A2行，余下的左上角位置是A3与B3交叉处，故应取 x33=0,并将这个0填入A3与B3交叉处的位置上，继续下去，得到一个 可行解，其表格如下：
24 1＜0，因此以 24
B A A A
1 2
1
B
2
3 3
B 4 1 5
3
3
销量
6 6
B 3 x 3 6
4
产量
24
7 4 9
换出变量的确定：当x24作为换入变量时，假设它的取值为 x24= 0 ，为了使x24所在列和行的变量仍满足约束条件，则必须 使x23= 1 ,x14=3 ,同理x13=4 。要从该闭回路的顶点（x24 除外）中找出换出变量，即x23, x13, x14中必有一个要作为换出变量, 该换出变量为新的非基变量，且取值为零，由此可知 应满足： x 23 1 0 x 3 0 14 0 1 x13 4 0 x 24 0 要使x23, x14, x13中必有一个为零,只有取 1，即
j c j CB B 1 Pj c j YPj
就可以利用公式(1)计算检验数 j 了.
(1)
1 1 其中 Y CB B 为关于基B的对偶解。因此只要求出对偶解Y CB B
标准线性规划问题 maxz=CX
AX b X 0
的对偶问题是 minw=Yb
1
销地 产地
B
1
B
2
B
3
B
4
产量
A A A
1
3
2
4 2 6
3
销量
3
2 3 5
6 6
7 4 9
由此表可知，一个可行解 为：x11=3, x12=4, x22=2, x23= 2, x33=3, x34=6,其余 xij=0,目标函数值为： z=3×3+11×4+9×2+2×2 + 10× 3+5×6=135。
由以上讨论可知，当运输问题关于基B的基变量组Δ(相当于
单纯形法中的 xB)取定后,为了得到关于B的对偶解ui (i=1，…，m) 和vj(j=1，…，n)，可以通过求解下列方程组 来得到。 注：实际上方程组(8)可以这样得到，由于检验数
ui v j cij
( xij )
(8)
j cij (ui v j ) （i=1，…，m；j=1，…，n）,当 xij
时: ij 0 ,即(8)成立。
注意：方程组(8)中共有m+n-1个方程（因为基变量共有m+n-1 个），而ui和vj共有m+n个。但由§3.1可知，运输问题的约束方程 组中恰有一个方程是多余的，而且其中任意一个约束方程都可以 作为多余的方程。由对偶问题的定义可知，从运输问题的约束方 程组中删去一个方程，相应的对偶问题中就应删除一个变量。也 就是说，方程组(8)中有一个变量可以作为自由未知量，当它取定 一个值时，就可解出其余的ui和vj。为了统一起见，我们总令u1=0， 于是，关于B的对偶解ui和vj可以通过求解下列方程组
