反比例函数与平行四边形

反比例函数与平行四边形
反比例函数与平行四边形之间的关系可以通过拓扑学来描述。

在
平行四边形中，若两条边互相平行且长度成比例，那么这个平行四边
形可以看作是一个由反比例函数所定义的区域。

具体来说，考虑一个反比例函数y = k/x，其中k是一个常数。

当x趋向于正无穷时，y趋向于零；当x趋向于零时，y趋向于无穷大；当x为正时，y为负数；当x为负时，y为正数。

这种反比例关系导致
了函数图像在坐标平面上构成了一条双曲线。

类似地，考虑一个平行四边形，其中两条相对的边互相平行，且
长度成比例。

这样的平行四边形可以通过将一条边按比例延长或缩短
得到。

这和反比例函数中x趋于无穷大或者零的情况相对应。

因此，我们可以将反比例函数和平行四边形联系起来，从而在数
学上解释平行四边形的性质。

同时，我们也可以借助平行四边形来更
好地理解反比例函数的图像和特征。

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

反比例函数中的平行四边形问题1、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象过等边三角形BOC的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC、AO．（1）求反比例函数解析式；（2）若四边形ACBO的面积为3，求点A的坐标．解：（1）作BD⊥OC于D，如图，∵△BOC为等边三角形，∴OD＝CD＝OC＝1，∴BD＝OD＝，∴B（﹣1，﹣），把B（﹣1，﹣）代入y＝得k＝﹣1×（﹣）＝，∴反比例函数解析式为y＝；（2）设A（t，），∵四边形ACBO的面积为3，∴×2×+×2×＝3，解得t＝，∴A点坐标为（，2）．2、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），∴点A（﹣12，0），如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），由中点公式得，点M（﹣4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），∵点D′M′都在函数上，∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，解得：a＝12，则k＝（12﹣8）×4＝16，故反比例函数的表达式为＝；（3）由（2）知，点M′的坐标为（8，2），点B′、C′的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P（m，2），点Q（s，t）；①当B′C′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B′C′PQ和矩形B′C′Q′P′，过点C′作C′H⊥l交于点H，C′H＝4﹣2＝2，直线B′C′的倾斜角为60°，则∠M′PC′＝30°，PH＝C′H÷tan∠M′PC′＝2＝6，故点P的坐标为（16，2），由题意得：点P、Q′关于点C′对称，由中点公式得，点Q的坐标为（12，﹣4）；同理点Q、Q′关于点M′对称，由中点公式得，点Q′（4，6）；故点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；②当B′C′是矩形的对角线时，∵B′C′的中点即为PQ的中点，且PQ＝B′C′，∴，解得：，，故点Q的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．3、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵B（4，1），C（4，4），∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，而A点坐标为（1，0），∴点D的坐标为（1，3）．∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），∴3＝，∴m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，当纵坐标小于4时，∵y＝，∴＜4，解得：a＞，则a的范围为a＞1或a＜．4、小亮在研究矩形的面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到如表数据：x0.51 1.5234612y126■32 1.510.5结果发现一个数据被墨水涂黑了，（1）被墨水涂黑的数据为；（2）y与x的函数关系式为，且y随x的增大而；（3）如图是小亮画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1与S2的大小关系，并说明理由；（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为．解：（1）从表格可以看出xy＝6，∴墨水盖住的数据是6÷1.5＝4；故答案为4；（2）由xy＝6，得到y＝，y随x的增大而减少；故答案为y＝；减少；（3）S1＝OA•OC＝k＝6，S2＝OD•OF＝k＝6，∴S1＝S2；＝OA•OB＝6，S△OCG＝OD•OG＝×2＝1，S△OCG＝OA•OH＝×2＝1，（4）∵S四边形OCBA＝S四边形OCBA﹣S△OCG﹣S△OAH＝6﹣1﹣1＝4；∴S四边形OGBH故答案为4；5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A、B在x轴上，点C、D在第二象限，点M是BC中点．已知AB＝6，AD＝8，∠DAB＝60°，点B的坐标为（﹣6，0）．（1）求点D和点M的坐标；（2）如图①，将▱ABCD沿着x轴向右平移a个单位长度，点D的对应点D′和点M的对应点M′恰好在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，请求出a的值以及这个反比例函数的表达式；（3）如图②，在（2）的条件下，过点M，M′作直线l，点P是直线l上的动点，点Q是平面内任意一点，若以B′，C′，P、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．解：（1）∵AB＝6，点B的坐标为（﹣6，0），∴点A（﹣12，0），如图1，过点D作DE⊥x轴于点D，则ED＝AD sin∠DAB＝8×＝4，同理AE＝4，故点D（﹣8，4），则点C（﹣2，4），由中点公式得，点M（﹣4，2）；（2）图象向右平移了a个单位，则点D′（a﹣8，4）、点M′（a﹣4，2），∵点D′M′都在函数上，∴（a﹣8）×4＝（a﹣4）×2，解得：a＝12，则k＝（12﹣8）×4＝16，故反比例函数的表达式为＝；（3）由（2）知，点M ′的坐标为（8，2），点B ′、C ′的坐标分别为（6，0）、（10，4），设点P （m ，2），点Q （s ，t ）；①当B ′C ′是矩形的边时，如图2，求解的矩形为矩形B ′C ′PQ 和矩形B ′C ′Q ′P ′，过点C ′作C ′H ⊥l 交于点H ，C ′H ＝4﹣2＝2，直线B ′C ′的倾斜角为60°，则∠M ′PC ′＝30°，PH ＝C ′H ÷tan ∠M ′PC ′＝2＝6，故点P 的坐标为（16，2），由题意得：点P 、Q ′关于点C ′对称，由中点公式得，点Q 的坐标为（12，﹣4）；同理点Q 、Q ′关于点M ′对称，由中点公式得，点Q ′（4，6）；故点Q 的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）；②当B ′C ′是矩形的对角线时，∵B ′C ′的中点即为PQ 的中点，且PQ ＝B ′C ′，∴，解得：，，故点Q 的坐标为（4，2）或（12，2）；综上，点Q的坐标为：（12，﹣4）或（4，6）或（4，2）或（12，2）．6、已知，在直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C坐标分别为A（2，0），C（﹣1，2），反比例函数y＝的图象经过点B（m≠0）（1）求出反比例函数的解析式（2）将▱OABC沿着x轴翻折，点C落在点D处，作出点D并判断点D是否在反比例函数y＝的图象上（3）在x轴是否存在一点P使△OCP为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）分别过点C、B作x轴的垂线，垂足分别为：E、F，∵四边形OABC为平行四边形，则∠COE＝∠BAF，CO＝AB，∴Rt△COE≌Rt△BAF，∴AF＝OE＝1，故点B（1，2），故m＝2，则反比例函数表达式为：y＝；（2）翻折后点D的坐标为：（﹣1，﹣2），∵（﹣1）•（﹣2）＝2，∴D在反比例函数y＝的图象上；（3）当OP＝OC时，点P（，0）；当OC＝PC时，点P（﹣2，0）；当OP＝PC时，设点P（m，0），则m2+（m+1）2+4，解得：m＝﹣2.5；综上，点P的坐标为：（，0）或（﹣2，0）或（﹣2.5，0）．7、如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（4，1），C（4，4）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．（1）求反比例函数的解析式；（2）通过计算，说明一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；（3）对于一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0），当随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写过程）．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∵B（4，1），C（4，4），∴BC⊥x轴，AD＝BC＝3，而A点坐标为（1，0），∴点D的坐标为（1，3）．∵反比例函数y＝（x＞0）的函数图象经过点D（1，3），∴3＝，∴m＝3，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）当x＝4时，y＝kx+4﹣4k＝4k+4﹣4k＝4，∴一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）的图象一定过点C；（3）设点P的横坐标为a，∵一次函数y＝kx+4﹣4k（k≠0）过C点，并且y随x的增大而增大时，∴k＞0，P点的纵坐标要小于4，横坐标大于4，当纵坐标小于4时，∵y＝，∴＜4，解得：a＞，则a的范围为a＞1或a＜．8、如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB．过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则的值为．解：过点A作AH⊥x轴，垂足为H，AH交OC于点M，如图，∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB，设OH＝BH＝a，则A（a，），C（2a，），∵AH∥BC，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝，∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝＝．9、如图，点A（1，3）为双曲线上的一点，连接AO并延长与双曲线在第三象限交于点B，M为y轴正半轴上一点，连接MA并延长与双曲线交于点N，连接BM、BN，已知△MBN的面积为，则点N 的坐标为．解：连接ON，∵点A（1，3）为双曲线上，∴k＝3，即：y＝；由双曲线的对称性可知：OA＝OB，＝S△MAO，S△NBO＝S△NAO，∴S△MBO＝S△BMN＝，∴S△MON设点M（0，m），N（n，），∴mn＝，即，mn＝，①设直线AM的关系式为y＝kx+b，将M（0，m）A（1，3）代入得，b＝m，k＝3﹣m，∴直线AM的关系式为y＝（3﹣m）x+m，把N（n，）代入得，＝（3﹣m）×n+m，②由①和②解得，n＝，当n＝时，＝，∴N（，），故答案为：（，）．10、如图，等边△OAB的边AB与y轴交于点C，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，且BC＝2AC，则等边△OAB的边长为．解：设点A（a，），等边三角形的边长为b，过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交AM的延长线于点E，过点O作ON⊥AB 与点N，则AN＝AB＝b，ON＝b，∵AN＝b，AC＝b，∴CN＝AN﹣AC＝b，∵CM∥BE，∴＝，即＝，则AE＝3a，∵∠OCN＝∠ACM＝∠ABE，∴△ONC∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝a，AB2＝AE2+BE2，则b2＝9a2+a2＝a2，∵点A（a，），∴AB2＝a2+＝a2，解得：a2＝3，b＝2，故答案为2．11、如图，直线y＝mx﹣1交y轴于点B，交x轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，D点在双曲线y＝（x＞0）上，则k的值为．解：∵A（﹣1，a）在双曲线y＝﹣（x＜0）上，∴a＝2，∴A（﹣1，2），∵点B在直线y＝mx﹣1上，∴B（0，﹣1），∴AB＝＝，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝，设C（n，0），∴＝，∴n＝﹣3（舍）或n＝3，∴C（3，0），∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，∴点D（2，3），∵D点在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝2×3＝6，故答案为：6．12、如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为．解：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△AEF∽△FDB，∵tanα＝，∴＝＝，∴设BD＝a，则EF＝2a，∵点A（2，3）和点B（0，2），∴DF＝2﹣2a，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∴AE＝2DF＝4﹣4a，∵AE+OD＝3，∴4﹣4a+2﹣a＝3，解得a＝，∴F（，），设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝x+，∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴y＝，解方程组，可得或，∴C（﹣，﹣），故答案为（﹣，﹣）．13、如图，点A是双曲线y＝﹣在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝上运动，则k的值为．解：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，连接OC，如图，∵AB过原点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△CAB为等腰三角形，∴OC⊥AB，∴∠ACB＝120°，∴∠CAB＝30°，∴OA＝OC，∵∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠OAD＝∠COE，∴Rt△AOD∽Rt△OCE，∴＝（）2＝（）2＝3，＝×|﹣6|＝3，而S△OAD＝1，∴S△OCE即|k|＝1，而k＞0，∴k＝2．14、以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF 翻折，使点C落在矩形内部的一点C′处，且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，4），则tan∠CBF的值为．解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．∵CD＝BD，＝＝S矩形ABCD，∴S△CDO＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，∵S△AOE∴AE＝EB，∵C′（2，4），∴AE＝EB＝4，在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，∴m2＝42+（m﹣2）2，∴m＝5，∴E（5，4），∴B（5，8），则BC＝5，延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，∴C′G＝2，CG＝4，∴在Rt△FGC′中，C′F2＝C′G2+FG2，即（4﹣FG）2＝22+FG2，∴FG＝，∴CF＝4﹣＝，∴tan∠CBF＝＝＝．故答案是：．15、如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为；解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（﹣4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，∴k＝xy＝3×1＝3，∴反比例函数的表达式为y＝．故答案为：y＝．16、如图，点A在双曲线y＝的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x轴正半轴上，且OC＝2AB，点E在线段AC上，且AE＝3EC，点D为OB的中点，若△ADE的面积为3，则k的值为．解：连DC，如图，∵AE＝3EC，△ADE的面积为3，∴△CDE的面积为1，∴△ADC的面积为4，设A点坐标为（a，b），则AB＝a，OC＝2AB＝2a，而点D为OB的中点，∴BD＝OD＝b，＝S△ABD+S△ADC+S△ODC，∵S梯形OBAC∴（a+2a）×b＝a×b+4+×2a×b，∴ab＝，把A（a，b）代入双曲线y＝，∴k＝ab＝．故答案为：．17、如图，已知直线y＝﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y＝交于E，F两点，若AB＝2EF，则k的值是．解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，由直线y＝﹣x+2可知A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA＝OB＝2，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB＝2，∴EF＝AB＝，∴△DEF为等腰直角三角形，∴FD＝DE＝EF＝1，设F点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F的坐标是：（t，﹣t+2），E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝，∴E点坐标为（，），∴k＝×＝．故答案为．。

专训1 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程组,解方程组即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6x>0的图象交于Am,6,B3,n 两点． 1求一次函数的解析式；2根据图象直接写出使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围； 3求△AOB 的面积．第1题2．如图,点A,B 分别在x 轴、y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,AO ＝CD ＝2,AB ＝DA＝,反比例函数y ＝x kk ＞0的图象过CD 的中点E.1求证：△AOB ≌△DCA ； 2求k 的值；3△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点F 在y 轴上,试判断点G 是否在反比例函数的图象上,并说明理由．第2题反比例函数与四边形的综合反比例函数与平行四边形的综合3．如图,过反比例函数y ＝x 6x ＞0的图象上一点A 作x 轴的平行线,交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点B,过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－x 3x ＜0于点D,交x 轴于点C,连接AD 交y 轴于点E,若OC ＝3,求OE 的长．第3题反比例函数与矩形的综合4．如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别是4,0和0,2,反比例函数y ＝x kx>0的图象过对角线的交点P 并且与AB,第4题BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________．5．如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB. 1求证：四边形AEBD 是菱形；2如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式．第5题反比例函数与菱形的综合6．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象第6题经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为A ．2B ．4C ．2D ．47．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正半轴上,点A 在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上,点D 的坐标为4,3．1求k 的值；2若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝x kk>0,x>0的图象上时,求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．第7题反比例函数与正方形的综合8．如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,反比例函数y ＝x kx ＞0,k ≠0的图象经过线段BC 的中点D1求k 的值；2若点Px,y 在该反比例函数的图象上运动不与点D 重合,过点P 作PR ⊥y 轴于点R,作PQ ⊥BC 所在直线于点Q,记四边形CQPR 的面积为S,求S 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围．第8题反比例函数与圆的综合第9题9．如图,双曲线y ＝x kk>0与⊙O 在第一象限内交于P,Q 两点,分别过P,Q 两点向x 轴和y 轴作垂线,已知点P 的坐标为1,3,则图中阴影部分的面积为________．10．如图,反比例函数y ＝x kk ＜0的图象与⊙O 相交．某同学在⊙O 内做随机扎针试验,求针头落在阴影区域内的概率．第10题专训2 全章热门考点整合应用名师点金：反比例函数及其图象、性质是历年来中考的热点,既有与本学科知识的综合,也有与其他学科知识的综合,题型既有选择、填空,也有解答类型．其热门考点可概括为：1个概念,2个方法,2个应用及1个技巧．1个概念：反比例函数的概念1．若y ＝m －1x |m|－2是反比例函数,则m 的取值为A ．1B ．－1C ．±1D ．任意实数2．某学校到县城的路程为 5 km ,一同学骑车从学校到县城的平均速度v km /h 与所用时间t h 之间的函数解析式是A ．v ＝5tB ．v ＝t ＋5C ．v ＝t 5D ．v ＝5t3．判断下面哪些式子表示y 是x 的反比例函数：①xy ＝－31；②y ＝5－x ；③y ＝5x －2；④y ＝x 2aa 为常数且a ≠0． 其中________是反比例函数．填序号 2个方法：画反比例函数图象的方法 4．已知y 与x 的部分取值如下表：1试猜想y 与x 的函数关系可能是你学过的哪类函数,并写出这个函数的解析式； 2画出这个函数的图象． 求反比例函数解析式的方法5．已知反比例函数y ＝x k的图象与一次函数y ＝x ＋b 的图象在第一象限内相交于点A1,－k ＋4．试确定这两个函数的解析式．6．如图,已知A －4,n,B2,－4是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝x m的图象的两个交点．求：1反比例函数和一次函数的解析式；2直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； 3方程kx ＋b －x m＝0的解请直接写出答案；4不等式kx ＋b －x m <0的解集请直接写出答案．第6题2个应用反比例函数图象和性质的应用7．画出反比例函数y ＝x 6的图象,并根据图象回答问题： 1根据图象指出当y ＝－2时x 的值；2根据图象指出当－2<x<1且x ≠0时y 的取值范围； 3根据图象指出当－3<y<2且y ≠0时x 的取值范围． 反比例函数的实际应用8．某厂仓库储存了部分原料,按原计划每小时消耗2吨,可用60小时．由于技术革新,实际生产能力有所提高,即每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量．设现在每小时消耗原料x 单位：吨,库存的原料可使用的时间为y 单位：小时．1写出y 关于x 的函数解析式,并求出自变量的取值范围．2若恰好经过24小时才有新的原料进厂,为了使机器不停止运转,则x 应控制在什么范围内1个技巧：用k 的几何性质巧求图形的面积9．如图,A,B 是双曲线y ＝x k k ≠0上的两点,过A 点作AC ⊥x 轴,交OB 于D 点,垂足为C.若△ADO 的面积为1,D 为OB 的中点,则k 的值为A .34B .38C ．3D ．4第9题第10题10．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数y ＝x 2和y ＝－x 4的图象于A,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则△ABC 的面积为________．11．如图是函数y ＝x 3与函数y ＝x 6在第一象限内的图象,点P 是y ＝x 6的图象上一动点,PA ⊥x 轴于点A,交y ＝x 3的图象于点C,PB ⊥y 轴于点B,交y ＝x 3的图象于点D.1求证：D 是BP 的中点； 2求四边形ODPC 的面积．第11题答案1．解：1∵Am,6,B3,n 两点在反比例函数y ＝x 6x>0的图象上, ∴m ＝1,n ＝2,即 A1,6,B3,2．又∵A1,6,B3,2在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上,∴2＝3k ＋b ，6＝k ＋b ，解得b ＝8，k ＝－2，即一次函数解析式为y ＝－2x ＋8.第1题2根据图象可知使kx ＋b<x 6成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.3如图,分别过点A,B 作AE ⊥x 轴,BC ⊥x 轴,垂足分别为E,C,设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0,得x ＝4,即D4,0．∵A1,6,B3,2,∴AE ＝6,BC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝21×4×6－21×4×2＝8.2．1证明：∵点A,B 分别在x 轴,y 轴上,点D 在第一象限内,DC ⊥x 轴于点C,∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中,∵AB ＝DA ，AO ＝DC ，∴Rt △AOB ≌Rt △DCA. 2解：在Rt △ACD 中,∵CD ＝2,DA ＝,∴AC ＝＝1.∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3.∴D 点坐标为3,2．∵点E 为CD 的中点,∴点E 的坐标为3,1．∴k ＝3×1＝3.3解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,∴△BFG ≌△DCA.∴FG ＝CA ＝1,BF ＝DC ＝2,∠BFG ＝∠DCA ＝90°.∵OB ＝AC ＝1,∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为1,3．∵1×3＝3,∴点G1,3在反比例函数的图象上．3．解：∵BC ∥OA,AB ∥x 轴,∴四边形ABCO 为平行四边形．∴AB ＝OC ＝3.设A a 6,则B a 6,∴a －3·a 6＝－3.∴a ＝2. ∴A2,3,B －1,3．∵OC ＝3,C 在x 轴负半轴上,∴C －3,0,设直线BC 对应的函数解析式为y ＝kx ＋b, 则－k ＋b ＝3，－3k ＋b ＝0，解得.9∴直线BC 对应的函数解析式为y ＝23x ＋29.解方程组，3得y1＝3，x1＝－1，.3∴D 23.设直线AD 对应的函数解析式为y ＝mx ＋n, 则，3解得.9∴直线AD 对应的函数解析式为y ＝83x ＋49. ∴E 49.∴OE ＝49.4.415点拨：因为C0,2,A4,0,由矩形的性质可得P2,1,把P 点坐标代入反比例函数解析式可得k ＝2,所以反比例函数解析式为y ＝x 2.因为D 点的横坐标为4,所以AD ＝42＝21.因为点E 的纵坐标为2,所以2＝CE 2,所以CE ＝1,则BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC －S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－49－1＝415.5．1证明：∵BE ∥AC,AE ∥OB, ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵四边形OABC 是矩形,∴DA ＝21AC,DB ＝21OB,AC ＝OB. ∴DA ＝DB.∴四边形AEBD 是菱形．2解：如图,连接DE,交AB 于F,∵四边形AEBD 是菱形,∴DF ＝EF ＝21OA ＝23,AF ＝21AB ＝1.∴E ，19.设所求反比例函数解析式为y ＝x k ,把点E ，19的坐标代入得1＝29,解得k ＝29.∴所求反比例函数解析式为y ＝2x 9.第5题第7题6．D 7．解：1如图,过点D 作x 轴的垂线,垂足为F.∵点D 的坐标为4,3,∴OF ＝4,DF ＝3.∴OD ＝5.∴AD ＝5.∴点A 的坐标为4,8．∴k ＝xy ＝4×8＝32.2将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移,使得点D 落在函数y ＝x 32x>0的图象上点D ′处,过点D ′作x 轴的垂线,垂足为F ′.∵DF ＝3,∴D ′F ′＝3.∴点D ′的纵坐标为3.∵点D ′在y ＝x 32的图象上,∴3＝x 32,解得x ＝332,即OF ′＝332.∴FF ′＝332－4＝320.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为320.8．解：1∵正方形OABC 的边OA,OC 分别在x 轴,y 轴上,点B 的坐标为2,2,∴C0,2．∵D 是BC 的中点,∴D1,2．∵反比例函数y ＝x k x ＞0,k ≠0的图象经过点D,∴k ＝2.2当P 在直线BC 的上方,即0＜x ＜1时,∵点Px,y 在该反比例函数的图象上运动,∴y ＝x 2.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·－22＝2－2x ；当P 在直线BC 的下方,即x ＞1时,同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·x 2＝2x －2,综上,S ＝2－2x （0＜x ＜1）.2x －2（x ＞1），9．410．解：∵反比例函数的图象关于原点对称,圆也关于原点对称,故阴影部分的面积占⊙O 面积的41,则针头落在阴影区域内的概率为41.1．B 3．①③④4．解：1反比例函数：y ＝－x 6.2如图所示．第4题 5．解：∵反比例函数y ＝x k 的图象经过点A1,－k ＋4,∴－k ＋4＝1k ,即－k ＋4＝k,∴k ＝2,∴A1,2．∵一次函数y ＝x ＋b 的图象经过点A1,2,∴2＝1＋b,∴b ＝1.∴反比例函数的解析式为y ＝x 2,一次函数的解析式为y ＝x ＋1.6．解：1将B2,－4的坐标代入y ＝x m ,得－4＝2m ,解得m ＝－8.∴反比例函数的解析式为y ＝x －8.∵点A －4,n 在双曲线y ＝x －8上,∴n ＝2.∴A －4,2．把A －4,2,B2,－4的坐标分别代入y ＝kx ＋b,得2k ＋b ＝－4，－4k ＋b ＝2，解得b ＝－2.k ＝－1，∴一次函数的解析式为y ＝－x －2.2令y ＝0,则－x －2＝0,x ＝－2.∴C －2,0．∴OC ＝2.∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝21×2×2＋21×2×4＝6.3x 1＝－4,x 2＝2.4－4<x<0或x>2.7．解：如图,由观察可知：1当y ＝－2时,x ＝－3；2当－2<x<1且x ≠0时,y<－3或y>6；3当－3<y<2且y ≠0时,x<－2或x>3.第7题点拨：解决问题时,画出函数图象．由图象观察得知结果．由图象解决相关问题,一定要注意数形结合,学会看图．8．解：1库存原料为2×60＝120吨,根据题意可知y 关于x 的函数解析式为y ＝x 120.由于生产能力提高,每小时消耗的原料量大于计划消耗的原料量,所以自变量的取值范围是x>2.2根据题意,得y ≥24,所以x 120≥24.解不等式,得x ≤5,即每小时消耗的原料量应控制在大于2吨且不大于5吨的范围内．点拨：1由“每小时消耗的原料量×可使用的时间＝原料总量”可得y 关于x 的函数解析式．2要使机器不停止运转,需y ≥24,解不等式即可．第9题9．B 点拨：如图,过点B 作BE ⊥x 轴于点E,∵D 为OB 的中点,∴CD 是△OBE 的中位线,则CD ＝21BE.设A x k ,则B 2x k ,CD ＝4x k ,AD ＝x k －4x k .∵△ADO 的面积为1,∴21AD ·OC ＝1,即214x k ·x ＝1.解得k ＝38.10．311．1证明：∵点P 在双曲线y ＝x 6上,∴设P 点坐标为，m 6.∵点D 在双曲线y ＝x 3上,BP ∥x 轴,D 在BP 上,∴D 点坐标为，m 3.∴BD ＝m 3,BP ＝m 6,故D 是BP 的中点．2解：由题意可知S △BOD ＝23,S △AOC ＝23,S 四边形OBPA ＝6.∴S 四边形ODPC ＝S 四边形OBPA －S △BOD －S △AOC ＝6－23－23＝3.。

2023年中考数学高频考点突破——反比例函数与四边形综合1．如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象分别交于A（1，3）、B两点．（1）求m、b的值；（2）若点M是反比例函数图象上的一动点，直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，设四边形MDOC、NEOC的面积分别为S1、S2，S＝S2﹣S1，求S的最大值．2．已知：如图所示，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，2）．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MB∥x 轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，求M点坐标．3．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数（x＞0）的图象经过点B．（1）求k的值；（2）将正方形OABC分别沿直线AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．设线段MC′、NA′分别与函数（x＞0）的图象交于点E、F，求线段EF所在直线的解析式．4．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．5．如图，已知点A在函数（x＞0）的图象上，点B在函数（x＜0）的图象上，点C在函数（x＜0）的图象上，且AB∥x轴，BC∥y轴，四边形ABCD是以AB、BC为一组邻边的矩形．（1）若点A的坐标为（，2），求点D的坐标；（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积是否变化？如果不变，求出其面积；（3）若矩形ABCD四个顶点A、B、C、D分别在＞0，x＞0），＜0，x＜0），＞0，x＜0），＜0，x＞0）上，请直接写出k1、k2、k3、k4满足的数量关系式．6．如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），与x轴交于点A．点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD．（1）求a，k的值；（2）若点P为x轴上的一点，求当PB+PC最小时，点P的坐标；（3）F是平面内一点，是否存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知，A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），过A作y轴的垂线交反比例函数的图象于点D，连接CD，AB∥CD．（1）证明：四边形ABCD为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）求sin∠DAC的值．8．如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）P是x轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，OB＝2．一次函数交y轴于点C（0，﹣1），交反比例函数于A、D两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△OAD的面积；（3）问：在直角坐标系中，是否存在一点P，使以O，A，D，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点PP的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣x+2及双曲线y＝（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m （m＞0）.（1）如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．（2）如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB 时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+，求d的最大值．11．如图1，已知A（﹣1，0），B（0，﹣2），平行四边形ABCD的边AD、BC分别与y轴、x轴交于点E、F，且点E为AD中点，双曲线y＝（k为常数，k≠0）经过C、D 两点．（1）求k的值；（2）如图2，点G是y轴正半轴上的一个动点，过点G作y轴的垂线，分别交反比例函数y＝（k为常数，k≠0）图象于点M，交反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象于点N，当FM＝FN时，求G点坐标；（3）点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点Q的坐标．12．综合与探究如图1，反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，点A关于坐标原点O的对称点为点B，作直线AB．（1）判断点B是否在反比例函数y＝﹣的图象上，并说明理由；（2）如图1，过坐标原点O作直线交反比例函数y＝﹣的图象于点C和点D，点C 的横坐标是4，顺次连接AD，DB，BC和CA．求证：四边形ACBD是矩形；（3）已知点P在x轴的正半轴上运动，点Q在平面内运动，当以点O，B，P和Q为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点P的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．（1）求反比例和一次函数解析式；（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围；（3）在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k ＞0）的图象交于A、B两点（点A在点B左边），交x轴于点C，延长AO交反比例函数y＝（k＞0）的图象于点E，点F为第四象限内一点，∠AFE＝90°，连接OF．（1）填空：FO AO（填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）连接CF，若AF平分∠OAC．①若△AFC的面积为10，求k的值；②连接BF，四边形AOFB能否为菱形？若能，直接写出符合条件的k的值；若不能，说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+2与x轴交于点A，将直线l绕着点A 顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，过点B作BC⊥AB，交直线l于点C．（1）求点A和点C的坐标；（2）如图2，将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使A、C两点的对应点D、F恰好落在某反比例函数的图象上，此时点B对应点E，求出此时t的值；（3）在（2）的情况下，若点P是x轴上的动点，是否存在这样的点Q，使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A（m，2），B 两点，分别连接OA，OB．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）请根据函数图象的轴对称性，直接写出点B的坐标为；当y1＞y2，则自变量x的取值范围是；（3）在平面直角坐标系内，是否存在一点P，使以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝10，动点P在x轴的上方，且满足S＝．△PAO（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．18．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，B（5，4），D（﹣3，0），点P 从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示：BP＝cm，CQ＝cm；（2）函数y＝的图象在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5cm2，试求此时t的值；（3）点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线交于点M（﹣4，m）、N（n，﹣4），与x轴交于A．（1）求k、b的值．（2）①将直线y＝kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线．②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥x轴，过点A作AE⊥CD，垂足为E．（1）若点A（6，8），点E（6，14）．①求AO的长；②线段MN在y轴上移动（点M在点N的上方），MN＝2，当四边形AEMN的周长最小时，求点M的坐标；（2）如图2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，AO⊥AD，AO＝AB，DE＝4CE，连结OE，OF，EF，且S△EOF＝．求反比例函数的表达式．参考答案与试题解析1．【解答】解：（1）把A（1，3）的坐标分别代入y＝、y＝﹣x+b，∴m＝xy＝3，3＝﹣1+b，∴m＝3，b＝4．（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y＝，一次函数的解析式为y＝﹣x+4，∵直线MC⊥x轴于C，交直线AB于点N，∴可设点M的坐标为（x，），点N的坐标为（x，﹣x+4），其中，x＞0，又∵MD⊥y轴于D，NE⊥y轴于E，∴四边形MDOC、NEOC都是矩形，∴S1＝x•＝3，S2＝x•（﹣x+4）＝﹣x2+4x，∴S＝S2﹣S1＝（﹣x2+4x）﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．其中，x＞0，∵a＝﹣1＜0，开口向下，∴有最大值，∴当x＝2时，S取最大值，其最大值为1．2．【解答】解：（1）∵点A（3，2）为正比例函数与反比例函数的交点，∴将x＝3，y＝2代入正比例解析式y＝ax得：3a＝2，解得：a＝，将x＝3，y＝2代入反比例解析式y＝得：＝2，解得：k＝6，∴正比例函数解析式为y＝x，反比例函数解析式为y＝；（2）过M作MN⊥x轴于N点．∵M（m，n）（0＜m＜3）是反比例函数图象上的一动点，且四边形OCDB为矩形，∴mn＝6，BM＝m，BO＝DC＝MN＝n，又A（3，2），∴AC＝2，OC＝3，又mn＝6，＝S矩形OCDB﹣S△BMO﹣S△AOC＝3n﹣mn﹣×2×3＝3n﹣6＝6，∴S四边形OADM解得：n＝4，由mn＝6，得到4m＝6，解得：m＝，则M坐标为（，4）．3．【解答】解：（1）∵四边形OABC是面积为4的正方形，∴OA＝OC＝2，∴点B坐标为（2，2），将x＝2，y＝2代入反比例解析式得：2＝，∴k＝2×2＝4．（2）∵正方形MABC′、NA′BC由正方形OABC翻折所得，∴ON＝OM＝2AO＝4，∴点E横坐标为4，点F纵坐标为4．∵点E、F在函数y＝的图象上，∴当x＝4时，y＝1，即E（4，1），当y＝4时，x＝1，即F（1，4）．设直线EF解析式为y＝mx+n，将E、F两点坐标代入，得，∴m＝﹣1，n＝5．∴直线EF的解析式为y＝﹣x+5．4．【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx，将点M（﹣2，﹣1）坐标代入得k＝，所以正比例函数解析式为y＝x，同样可得，反比例函数解析式为；（2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），＝OB•BQ＝×m×m＝m2，于是S△OBQ＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，而S△OAP所以有，m2＝1，解得m＝±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+4，所以当（n﹣）2＝0即n﹣＝0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+4．（或因为反比例函数是关于y＝x对称，所以当Q在反比例函数时候，OQ最短的时候，就是反比例与y＝x的交点时候，联立方程组即可得到点Q坐标）5．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（，2），AB∥x轴，∴B点纵坐标为2，又点B在函数（x＜0）的图象上，∴当y＝2时，x＝﹣1.5，∴B（﹣1.5，2），∵BC∥y轴，∴C点横坐标为﹣1.5，又点C在函数（x＜0）的图象上，∴当x＝﹣1.5时，y＝﹣4，∴C（﹣1.5，﹣4）．∵AD⊥y轴，∴D（0.5，﹣4）．（2）若点A在函数（x＞0）上移动，矩形ABCD的面积不变．理由如下：如图，设AB、CD与y轴分别交于F、G，BC、AD与x轴分别交于E、H，设A（a，），则B（﹣3a，），C（﹣3a，﹣），D（a，﹣）．∵矩形ABCD的面积＝矩形AFOH的面积+矩形BFOE的面积+矩形CEOG的面积+矩形DHOG的面积＝1+3+6+2＝12．（3）设A（t，），则B（，），C（，），D（t，），又∵点D在y＝的图象上，t•＝k4，∴k1k3＝k2k4．6．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（3，a），∴a＝3﹣1，∴a＝2．∴B（3，2），∴k＝3×2＝6；（2）令y＝0，则x﹣1＝0，∴x＝1．∴A（1，0），∴OA＝1，∵OA＝AD，∴AD＝1，∴OD＝2，∴点C的横坐标为2，由（1）知：k＝6，∴反比例函数y＝（x＞0）的解析式为y＝．∴y＝＝3，∴C（2，3）．设点C关于x轴的对称点C′，则C′（2，﹣3），连接BC′，交x轴于点P，如图，则此时PB+PC最小．设直线BC′的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC′的解析式为y＝5x﹣13．令y＝0，则5x﹣13＝0，∴x＝．∴P（，0）；（3）存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，理由：①当四边形ABFC为平行四边形时，如图，由（2）知：AD＝1，C（2，3），B（3，2），OD＝2，∴CD＝3，DM＝2，BM＝1．过点F作FG⊥x轴，过点B作MH∥x轴交CD于点M，交FG于点H，∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，∴CD∥FG．∵四边形ABFC为平行四边形，∴AC∥FB，AC＝FB．∴∠ACD＝∠BFH．在△ACD和△BFH中，，∴△ACD≌△BFH（AAS），∴AD＝BH＝1，CD＝FH＝3．∴MH＝MB+BH＝2．∵CD⊥x轴，FG⊥x轴，MH∥x轴，∴四边形MDGH为矩形，∴GH＝DM＝2，DG＝MH＝2，∴OG＝OD+DG＝4，FG＝FH+HG＝5，∴F1（4，5）；②当四边形ABCF为平行四边形时，如图，设直线y＝x﹣1与y轴交与点N，则N（0，﹣1），∴ON＝1．∵OA＝1，∴OA＝ON，∴∠OAN＝45°，∴∠EAD＝∠OAN＝45°，∵CD⊥x轴，∴∠AED＝45°．∴DE＝AD＝1．∵CD＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，过点B作BM⊥CE于点M，则BM＝1，∵∠CEB＝∠AED＝45°，∴ME＝BM＝1，∴CM＝1，∴BM＝CE，M为CE的中点，∴∠CBE＝90°．∵四边形ABCF为平行四边形时，∴CB∥AE，∴∠EAB+∠ABC＝180°∴∠EAB＝90°，∴∠FAO＝45°，∴OF＝OA＝1，∴F2（0，1）；③当四边形ACBF为平行四边形时，如图，过点B作BG⊥x轴，过点F作MH∥x轴，交BG的延长线于点H，过点A作AM⊥MH 于点M，同①可求得：OB＝3，BG＝2，△ACD≌△FBH，∴BH＝CD＝3，FH＝AD＝1，四边形AMHG为矩形，∴MH＝AG＝2，AM＝GH＝BH﹣BG＝1，∴MF＝MH﹣FH＝1，∴F3（2，﹣1）．综上，存在点F使得以A、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形，符合条件的点F的坐标F1（4，5），F2（0，1），F3（2，﹣1）．7．【解答】（1）证明：由题意得AD⊥AO，BC⊥AO，∴AD∥BC，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵A（0，4），B（﹣3，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，AO＝4，BO＝3，CO＝2，在Rt△ABO中，AB＝＝＝5，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过点D作DH⊥x轴于H，则四边形AOHD是矩形，∴DH＝AO＝4，OH＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，∴OH＝5，∴D（5，4），∵反比例函数的图象于点D，∴4＝，∴k＝20，∴此反比例函数的解析式为y＝；（3）解：在Rt△ACO中，AC＝＝＝2∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACO，∴sin∠DAC＝sin∠ACO＝＝＝．8．【解答】解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，得﹣3＝m，解得：m＝﹣2，∴A（﹣2，﹣3），∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，∴反比例函数解析式为y＝，由，得或，∴点B的坐标为（2，3）；（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∵BC＝2CD，BE＝3，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（6，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，∵B′（﹣2，3），C（6，1），∴B′C＝＝2，∴BG+GC＝B′C＝2；（3）存在．理由如下：当点P在x的正半轴上时，如图，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（2，3），∴OB＝＝，∴＝，∴点P1的坐标为（，0），当点P在x的负轴上时，如图2，设点P2的坐标为（a，0），过点A作AH⊥x轴于点H，同理证得点P2的坐标为（﹣，0），当四边形AP3BQ3或是矩形四边形AP4BQ4时，OA＝OP4＝，∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）或（，0）．9．【解答】解：（1）作AF垂直于x轴，垂足为点F，∵AO＝AB，AF⊥OB，∴，∵∠OAB＝90°，AO＝AB，∴∠AOB＝45°，∴AF＝OF＝1，∴点A（1，1），设一次函数解析式为y1＝k1x+b，反比例函数解析式为，将点A（1，1）和C（0，﹣1）代入y1＝k1x+b，得y1＝2，b＝﹣1，∴一次函数的解析式为y1＝2x﹣1．将点A（1，1）代入，得k2＝1，∴反比例函数的解析式为，即一次函数解析式为y1＝2x﹣1，反比例函数解析式为；（2）将两个函数联立得，整理得2x2﹣x﹣1＝0，解得，x2＝1，∴y1＝﹣2，y2＝1，∴点，∴，即△OAD的面积为；（3）存在，①以OA为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将A点向右平移个单位，向上平移2个单位得到P点的坐标，即P（，3），②以OD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P点的坐标，即P（，﹣1），③以AD为对角线时，∵O（0，0），A（1，1），D（﹣，﹣2），∴将D点向左平移1个单位，向下平移1个单位得到P点的坐标，即P（﹣，﹣3），综上所述，点P的坐标为，，．10．【解答】（1）解：∵直线y＝﹣x+2交y轴于A点，交x轴于B点，∴点A（0，2），点B（4，0），∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（2，），点D（2+m，），∵四边形CABD为平行四边形，∴AD与BC互相平分，∴＝，＝，解得：m＝4，k＝6；（2）①证明：∵CC′∥y轴∥DD'，CD∥AB，∴四边形CDD'C'是平行四边形，∴CC'＝DD'，∵C、D为双曲线上的两点，∴点C（a，），点D（a+m，），∵CC′∥y轴∥DD'，∴点C'的横坐标为a，点D的横坐标为a+m，∴点C'（a，﹣a+2），点D'（a+m，﹣a﹣m+2），∴+a﹣2＝+a+m﹣2，∴k＝a（a+m），∴当k为定值时，a（a+m）为定值；②解：∵k＝6，∴6＝a（a+m），∴a2+am＝12，∵m＝a﹣4+，∴a2+a（a﹣4+）＝12，∴d＝﹣2a2+4a+12＝﹣2（a﹣1）2+14，∴当a＝1时，d的最大值为14．11．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），B（0，﹣2），E为AD中点，∴x D＝1，设D（1，t），又∵DC∥AB，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴k＝4；（2）由（1）得C（2，2），∵B（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，当y＝0时，x＝1，∴F（1，0），∴OF＝1，设点G的坐标为（0，m），∵MN∥x轴，∴M（，m），N（﹣，m），∵FM＝FN，∴1﹣（﹣）＝﹣1，解得：m＝或m＝0（不合题意舍去），∴点G的坐标为（0，）；（3）∵由（1）知k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1，若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2，若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3，当AB为对角线时，AP＝BQ，且AP∥BQ；∴＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故点Q的坐标为（0，6）或（0，﹣6）或（0，2）．12．【解答】（1）解：结论：点B在反比例函数y＝﹣的图象上．理由：∵反比例函数的图象y＝﹣经过点A，点A的横坐标是﹣2，∴A（﹣2，4），∵A，B关于原点对称，∴B（2，﹣4），∵x＝2时，y＝﹣＝﹣4，∴点B在反比例函数y＝﹣的图象上；（2）证明：由题意，C（4，﹣2），D（﹣4，2），∵C，D关于原点对称，∴OC＝OD，∵A，B关于原点对称，∴OA＝OB，∴四边形ADBC是平行四边形，∵CD＝＝4，AB＝＝4，∴AB＝CD，∴四边形ADBC是矩形；（3）解：如图，当四边形OBP1Q1是菱形时，P1（4，0）．当四边形OBQ2P2是菱形时，P2（2，0）．当四边形OP3BQ3是菱形时，P3（5，0），综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，0）或（2，0）或（5，0）．13．【解答】解：（1）如图，延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，∵点D的坐标为（4，3），∴OF＝4，DF＝3，∴OD＝5，∴AD＝5，∴点A坐标为（4，8），∴k＝xy＝4×8＝32，由菱形的性质得到B（0，5），设直线AB的方程为：y＝ax+b（a≠0），则，解得，故反比例解析式为y＝；直线AB的方程为：y＝x+5；（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在函数y＝（x＞0）的图象D'点处，∴点D'的坐标为（4+m，3），∵点D'在y＝的图象上，∴3＝，解得m＝，∴0≤m；（3）如图，存在，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD＝5，过D作DE⊥x轴于E，过N作NF⊥y轴于F，过M作MH⊥y轴于H，∴∠DEO＝∠ONB＝∠NOD＝90°，∴∠BON+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝90°，∴△BON≌△DOE（AAS），∴BN＝DE＝3，ON＝OE＝4，＝OB•NF＝BN•ON，∴S△OBN∴NF＝，∵点N在直线AB上，∴N（﹣，），设M（n，n+5），∴MH＝n，OH＝n+5，∵BM2＝BH2+MH2，∴22＝（n+5﹣5）2+n2，∴n＝±，∵n＞0，∴M（，）．14．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象是中心对称图形，∴AO＝EO，在Rt△AEF中，∠AFE＝90°，AO＝EO，∴FO＝，故答案为：＝；（2）①如图，连接CF，由（1）可知，FO＝AO，∴∠OAF＝∠OFA，∵AF平分∠OAC，∴∠OAF＝∠BAF，∴∠OFA＝∠BAF，∴OF∥AC，＝S△AFC＝10，∴S△AOC对于y＝﹣x+5，令y＝0，则0＝﹣x+5，∴x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，设A（m，﹣m+5），m＞0，∴S＝﹣，＝10，又∵S△AOC∴﹣，∴m＝1，∴﹣m+5＝﹣1+5＝4，∴A（1，4），∵A（1，4）在反比例函数y＝上，∴k＝1×4＝4；②如图，连接BF，由①可知，OF∥AB，FO＝AO，当AO＝AB时，此时四边形AOFB是菱形，将y＝﹣x+5由y＝联立，得：，解得：或，∴A（），B（），∴OA+（）2＝25﹣2k，AB2＝50﹣8k，当AO＝AB时，OA2＝AB2，即25﹣2k＝50﹣8k，∴k＝，综上所述，当四边形AOFB为菱形时，k＝．15．【解答】解：（1）∵y＝﹣2x+2与x轴交于点A，∴0＝﹣2x+2，得x＝1，∴点A（1，0）；过点C作CH⊥y轴于点H，∴∠CHB＝∠BOA＝90°∵将直线l绕着点A顺时针旋转45°后，与y轴交于点B，∴∠BAC＝45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OBA+∠CBH＝90°，∴∠OAB＝∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝AO＝1，CH＝BO，设OB＝a，则OH＝a+1，∴点C（a，﹣a﹣1），∵点C在直线l上，∴﹣a﹣1＝﹣2a+2，∴a＝3，∴C（3，﹣4）；（2）将△ABC以每秒3个单位的速度沿y轴向上平移t秒，A（1，0），B（0，﹣3），C（3，﹣4）∴点D（1，3t），点E（0，﹣3+3t），点F（3，﹣4+3t），∵点A、C两点的对应点D、F正好落在某反比例函数的图象上，∴1×3t＝3×（﹣4+3t），∴t＝2；（3）由（2）知E（0，3），F（3，2），∴EF＝，当EF＝EP＝时，则OP＝1，∴P（1，0）或（﹣1，0），当P（1，0）时，由平移的性质得，点Q（4，﹣1），当P（﹣1，0）时，由平移的性质得，点Q（2，﹣1），当EF＝FP＝时，同理得P（3﹣，0）或（3+，0），∴Q（﹣，1）或（，1），当PE＝PF时，设P（x，0），则9+x2＝4+9﹣6x+x2，解得x＝，∴P（，0），∴Q（），综上：Q（4，﹣1）或（2，﹣1）或（﹣，1）或（，1）或（）．16．【解答】解：（1）将A（m，2）代入y1＝x+1得，2＝m+1，∴m＝1，∴A（1，2），将A（1，2）代入y2＝得，k＝1×2＝2，∴y2＝；（2）根据函数图象的轴对称性知，点A与B关于直线y＝﹣x对称，过A作AC∥y轴，过B作BC∥x交于C，则C（﹣1，﹣1），∴B（﹣2，﹣1），当y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＞1或﹣2＜x＜0，故答案为：（﹣2，﹣1），x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，如图，∵OA＝OB，∴点P在AB上方时，四边形OAPB是菱形，∵O（0，0），A（1，2），B（﹣2，﹣1），由平移的性质得P（﹣1，1），∴以点O，A，B，P为顶点的四边形为菱形，点P的坐标为（﹣1，1）．17．【解答】解：（1）设点P的纵坐标为m，＝．∵S△PAO∴，∴m＝4，∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝10，∴B（6，10），∴k＝6×10＝60，∵点P在这个反比例函数的图象上，∴点P的横坐标为＝15，∴P（15，4）；（2）如图，点P在直线y＝4上运动，作点O关于直线y＝4的对称点O'，连接O'A，此时PO+PA的最小值即为AO'的长，在Rt△AOO'中，由勾股定理得，AO'＝＝10，∴PO+PA的最小值为10；（3）当AP＝AB＝10时，如图，AG＝4，∴PG＝2，∴P（6﹣2，4），∴Q（6﹣2，14），当点P在G的右侧时，同理Q'（6+2，14），当BA＝BP时，如图，由勾股定理得PG＝8，∴P（﹣2，4），∵PQ＝10，∴Q（﹣2，﹣6），同理，当P在G的右侧时，Q'（14，﹣6），当PA＝PB时，点P在AB的垂直平分线y＝5上，点P又在直线y＝4上，故不存在，综上：Q（6﹣2，14）或（6+2，14）或（﹣2，﹣6）或（14，﹣6）．18．【解答】解：（1）根据题意得：AP＝tcm，AB＝5cm，∴BP＝（5﹣t）cm，∵DC＝DO+OC＝3+5＝8，DQ＝2tcm，∴CQ＝DC﹣DQ＝（8﹣2t）cm，故答案为：（8﹣2t）；当BP＝CQ时，四边形PQCB是矩形，∴5﹣t＝8﹣2t，解得：t＝3，∴当t＝3时，四边形PQCB为矩形；故答案为：（5﹣t）；3；（2）∵点P的坐标为（t，4），点P在反比例函数的图象上，∴k＝4t，∴y＝，∴点M的坐标为（5，），∴BM＝4﹣，连接PM，如图1所示：∴△POM的面积S＝矩形AOCB的面积﹣△AOP的面积﹣△PBM的面积﹣△OCM的面积＝5×4﹣×t×4﹣×（5﹣t）×（4﹣）﹣×5×＝﹣t2+10，∵点Q从点D运动到点C用是为4秒，点P从点A运动到点B用时为5秒，∴0≤t≤4，∴S＝﹣t2+10（0≤t≤4）；（3）存在；t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）；理由如下：∵点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t﹣3，0），点C的坐标为（5，0），∴PQ2＝（t﹣3）2+42，PC2＝（t﹣5）2+42，CQ2＝（8﹣2t）2；分情况讨论：①当PQ＝PC时，（t﹣3）2+42＝（t﹣5）2+42，解得：t＝4（不合题意，舍去）；②当PQ＝CQ时，（t﹣3）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图2所示：∴AE＝AP+PE＝t+8﹣2t＝8﹣t＝8﹣＝，此时点E的坐标为（，4）；③当PC＝CQ时，（t﹣5）2+42＝（8﹣2t）2，解得：t＝，或t＝（不合题意，舍去），∴t＝；若四边形PQCE为菱形，则PE∥CQ，点E在直线AB上，如图3所示：∴AE＝PE﹣AP＝8﹣2t﹣t＝83＝﹣3+2，此时点E的坐标为（3﹣2，4）；综上所述：存在某一时刻，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形，t的值为或，点E的坐标为（，4）或（3﹣2，4）．19．【解答】解：（1）把x＝﹣4，y＝m代入中，得，∴点M（﹣4，2），把x＝n，y＝﹣4代入中，得，∴点N（2，﹣4），∴将点M（﹣4，2），点N（2，﹣4）代入y＝kx+b中，得，解得，∴k＝﹣1，b＝﹣2；（2）①将直线y＝﹣x﹣2向上平移4个单位，得y＝﹣x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝﹣x+2＝0时，x＝2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：当CA，CB为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（0，﹣2），当BC，BA为边时，AP∥CB且AP＝CB，点P坐标为（﹣4，2），当AC，AB为边，AC∥BP且AC＝BP，∴点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，﹣2）或（﹣4，2）或（4，2）．20．【解答】解：（1）①∵点A（6，8），∴AO＝＝10；（2）∵点A（6，8），点E（6，14），∴AE＝6，∵四边形AEMN的周长＝AE+MN+ME+AN，AE＝6，MN＝2，∴四边形AEMN的周长＝8+AN+ME，∴当AN+ME有最小值时，四边形AEMN的周长有最小值，如图，将A向上平移两个单位得到A'，连接A'M，作点A'关于y轴的对称点A''，连接A''E，∴AA'＝2＝MN，A'（6，10），∴四边形ANMA'是平行四边形，∴AN＝A'M，∴AN+ME＝A'M+ME，∵点A'与点A''关于y轴对称，∴A''M＝A'M，点A''（﹣6，10），∴AN+ME＝A''M+ME，∴点M，点E，点A''共线时，A''M+ME的最小值为A''E的长，∵点A''（﹣6，10），点E（6，14），∴直线A''E的解析式为：y＝x+12，当x＝0时，y＝12，∴点M（0，12）；（3）如图，延长EA交x轴于N，过点F作FH⊥x轴于H，设AB＝AO＝5a，∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，DC＝AB＝5a＝AD，∵DE＝4CE，∴DE＝4a，CE＝a，∵AB∥x轴，∴DE∥AB∥x轴，∵AE⊥CD，∴AE⊥x轴，AE⊥AB，∴∠DEA＝∠ANO＝90°，∴AE＝＝3a，∵AD⊥AO，∴∠DAE+∠OAN＝90°＝∠OAN+∠AON，∴∠DAE＝∠AON，又∵AD＝AO＝AB，∴△ANO≌△DEA（AAS），∴DE＝AN＝4a，AE＝ON＝3a，∴点A（3a，4a），点E（3a，7a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点E，与边AB交于点F，∴k＝21a2，点F（a，4a），＝＝×3a×7a+（7a+4a）×（a﹣3a）﹣×4a×a，∵S△EOF∴a＝1，∴k＝21，∴反比例函数解析式为y＝．。

反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。

这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。

AB CD
=
反比例函数与几何综合的几个重要结论及证明
OABC AOB BOC =|k|1S =S =||2
S k ∆∆矩OCD ABCD
=S S ∆梯OCD ABCD
OCD OBC OBC OAD
OBCD OCD OAD OBCD ABCD
OCD ABCD
=S S =S -S S =S S =S -S =S =S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆梯四四梯梯证明：，而故所以
A B C D =E F
BEF CEF 11||,||(22
S =S EF AD
ABEF CDEF AB=EF CD=EF AB=CD
BEF BEO CEF CFO S S k S S k ∆∆∆∆∆∆====→ 等底等高）故故四边形和为平行四边形
，，所以A B C D
=E
F
EF EF 11||,||(22
S =S EF AD
ABEF CDEF AB=EF CD=EF AB=CD
DEF DEO AEF AFO D A S S k S S k ∆∆∆∆∆∆====→ 等底等高）故故四边形和为平行四边形
，，所以CE BD
11||,||22
=CE BD
BCE BCO DEC DEO BCE DEC S S k S S k S S ∆∆∆∆∆∆==== 故，所以1.B A OA OB
=、关于原点对称,A
B
B A B AB CD EF A 、是反比例函数图像上任意两点，分别过、作垂直于坐标轴的线
则
AB CD EF
B A y
C BC
D AD=CD A 、是正比例函数与反比例函数的交点，过点作轴的垂线交于点，延长线交反比例函数于点，则。

专题28 反比例函数与平行四边形结合（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）1. 如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的三个顶点坐标分别为()()()1,04,22,3A B C ,,，第四个顶点D 在反比例函数()0k y x x =<的图像上，则k 的值为（ ）A. 1-B. 2-C. 3-D. 4-2. 如图，点A ，B 在反比例函数()20y x x=-<的图象上，连结OA ，AB ，以OA ，AB 为边作OABC ，若点C 恰好落在反比例函数()10y x x=>的图象上，此时OABC 的面积是（ ）A. 3B.C.D. 6（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）3. 如图，四边形OABC 为平行四边形，A 在x 轴上，且∠AOC ＝60°，反比例函数=k y x（k ＞0）在第一象限内过点C ，且与AB 交于点E ．若E 为AB 的中点，且S△OCE ＝，则OC 的长为（ ）A. 8B. 4C.D. （2020春·浙江杭州·八年级期末）4. 如图，已知函数y=2x 和函数k y=x的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是____．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）5. 如图，平行四边形OABC 的边OA 在x 轴上，顶点C 在反比例函数()40y x x=-<的图象上，BC 与y 轴相交于点D ，且D 为BC 的中点，则平行四边形OABC 的面积为__________．6. 如图，点A 、B 分别在双曲线2y x=和6y x =上，四边形ABCO 为平行四边形，则 □ABCO 的面积为_________（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）7. 如图，在平面直角坐标系中，OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上，点A 是第一象限内一点，反比例函数8y x=的图象经过点A ，与BC 边交于点D ，若OCD 与ABD △的面积相等，则OAD △的面积为______________．8. 综合与探究如图，已知，()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数k y x=的图象经过D 点．（1）证明四边形ABCD 为菱形；（2）求此反比例函数的解析式；（3）已知在k y x=的图象（0x >）上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．（2021春·浙江衢州·八年级统考期末）9. 如图，平行四边形ABCD 放置在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，0），B （﹣6，0），D （0，3），点C 在反比例函数y k x=的图象上．（1）直接写出点C 坐标，并求反比例函数的表达式；（2）将平行四边形ABCD 向上平移得到平行四边形EFGH ，使点F 在反比例函数y =k x的图象上，GH 与反比例函数图象交于点M ．连结AE ，求AE 的长及点M 的坐标．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）10. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 坐标（2，3），过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为点H ，AH 交反比例函数在第一象限的图象于点B ，且满足AB BH＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C 在x 正半轴上，点D 在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD 是平行四边形，求点D 坐标．11. 如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．12. 定义：点(),P a b 关于原点的对称点为P'，以'PP 为边作等边'PP C ∆，则称点C 为P 的“等边对称点”；（1）若(P ，求点P 的“等边对称点”的坐标；（2）若P 点是双曲线()20=>y x x上动点，当点P 的“等边对称点”点C 在第四象限时，①如图（1），请问点C 是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解析式；如果不是，请说明理由；②如图（2），已知点()1,2A ，()2,1B ，点G 是线段AB 上的动点，点F 在y 轴上，若以A 、G 、F 、C 这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C 的纵坐标C y 的取值范围.13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 在y 轴上，C 在x 轴上，把矩形OABC 沿对角线AC 所在的直线翻折，点B 恰好落在反比例函数()0k y k x=≠的图象上的点B'处，'CB 与y 轴交于点D ，已知'2DB =，30ACB ∠= ．()1求的度数；()2求反比例函数()0k y k x =≠的函数表达式；()3若Q 是反比例函数()0k y k x=≠图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P ，使以P ，Q ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．（2021春·浙江嘉兴·八年级统考期末）14. 如图1，在直角坐标系xOy 中，点(2,)(0)P n n n >在函数k y x=（0x >）图象上，点(0,)B b 在y 轴的正半轴上，PA x ⊥轴于点A ．已知△PAB 的面积为4．（1）求点P 的坐标与k 的值．（2）如图2，设点C 是线段AB 的中点，点D 在函数k y x =（0x >）图象上，当四边形BCPD 是平行四边形时，求点D 的坐标．（3）如图3，设点C 在直线AB 上，点D 在函数k y x=（0x >）图象上，若四边形BCPD是平行四边形，设该四边形BCPD的面积为1S，△APC的面积为2S，求1S S的数量关系式．与2专题28 反比例函数与平行四边形结合（2021春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）【1题答案】【答案】A【解析】【分析】过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥x 轴于F ，作BH ∥x 轴，交CF 于H ，利用AAS 得到三角形ADE 与三角形BCH 全等，由全等三角形的对应边相等得到AE =BH =2，DE =CH =1，求出OE 的长，确定出D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值即可．【详解】解：过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，CF ⊥x 轴于F ，作BH ∥x 轴，交CF 于H ，∵A （1，0），B （4，2），C （2，3），∴BH =4-2=2，CH =3-2=1，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC =AD ，BC ∥AD ，∴∠DAB +∠ABC =180°，∵BH ∥x 轴，∴∠ABH =∠BAF ，∵∠DAE +∠BAF +∠DAB =180°=∠CBH +∠ABH +∠DAB ，∴∠DAE =∠CBH ，在△ADE 和△BCH 中，90DAE CBH AED BHC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCH （AAS ），∴AE =BH =2，DE =CH =1，∴OE =1，∴点D 坐标为（-1，1），∵点D 在反比例函数()0k y x x =<的图象上，∴k =-1×1=-1，故选：A ．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．【2题答案】【答案】A【解析】【分析】连接AC ，BO 交于点E ，作AG ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，设点A （a ，2a -），点C （m ，1m）（a ＜0，m ＞0），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得点B[（a+m ），（2a -+1m）]，把点B 坐标代入解析式可求a=-2m ，由面积和差关系可求解．【详解】解：如图，连接AC ，BO 交于点E ，作AG ⊥x 轴，CF ⊥x 轴，设点A （a ，2a -），点C （m ，1m）（a ＜0，m ＞0），∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AC 与BO 互相平分，∴点E （21,22a m a m -++），∵点O 坐标（0，0），∴点B[（a+m），（2a-+1m）].∵点B在反比例函数y=2x-（x＜0）的图象上，∴212a m a m-+=-+，∴a=-2m，a=m（不合题意舍去），∴点A（-2m，1m），∴四边形ACFG是矩形，∴S△AOC=12（1m+1m）（m+2m）-12-1=32，∴▱OABC的面积=2×S△AOC=3.故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，中点坐标公式，解决问题的关键是数形结合思想的运用．（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）【3题答案】【答案】D【解析】【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，根据平行四边形的性质可得∠EAF=∠AOC=60°，设OD=t，在Rt△COD和Rt△EAF中表示出CD、OC、AE、AF以及EF，再根据点C与点E都在反比例函数kyx=的图像上，得到OD×CD=OF×EF，进而表示出OF、OA，在利用平行四边形OABC的面积与△OCE 的面积关系得出关于t的方程，解方程得t，即可得解．【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，过点E作EF⊥x轴于点F，如图，∵四边形OABC 为平行四边形，∴OC =AB ，OC AB ∥，∴∠EAF =∠AOC =60°，∵在Rt △COD 中，∠DOC =60°，∴∠DCO =30°，设OD =t ，∴CD，OC =AB =2t ，∵在Rt △EAF 中，∠EAF =60°，AE =12AB =t ，∴AF =12t ，EF，∵点C 与点E 都在反比例函数k y x=的图像上，∴OD ×CD =OF ×EF ，∴2OD CD OF t EF ⨯===，∴OA =OF -EF =2t -12t =32t ，∵平行四边形OABC 的面积为2OCE S S =△，∴2OA CD ⨯=⨯，322t =⨯，解得t =（负值舍去），∴OC =2t，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义、平行四边形的性质、解直角三角形以及四边形与三角形的面积等知识，根据点C 与点E 都在反比例函数k y x=的图像上，得到OD ×CD =OF ×EF ，进而表示出OF 是解答本题的关键．（2020春·浙江杭州·八年级期末）【4题答案】【答案】（0，﹣4），（﹣4，﹣4），（4，4）【解析】【分析】先求出B 、O 、E 的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P 点的坐标.【详解】解：如图∵△AOE 的面积为4，函数k y=x的图象过一、三象限，∴k=8．∴反比例函数为8y=x∵函数y=2x 和函数8y=x的图象交于A 、B 两点，∴A 、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4），∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个，∴满足条件的P 点有3个，分别为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）．【点睛】本题考查了反比例函数综合，用到的知识点是反比例函数的性质、平行四边形的性质，关键是画图形把P 点的所有情况都画出来．（2022春·浙江金华·八年级统考期末）【5题答案】【答案】8【解析】【分析】设点C 的坐标为（a ，b ），四边形OABC 是平行四边形，证得BC ⊥OD ，CD ＝﹣a ，OD ＝b ，由点C 在反比例函数()40y x x=-<的图象上，得到﹣ab ＝4，根据平行四边形面积公式即可求得答案．【详解】解：设点C 的坐标为（a ，b ），∵ 四边形OABC 是平行四边形，∴ BC OA ，∴ ∠CDO ＝90°，∴BC ⊥OD ，∴CD ＝﹣a ，OD ＝b ，∵D 为BC 的中点，∴BC ＝2CD ＝﹣2a ，∵点C 在反比例函数()40y x x =-<的图象上，∴﹣ab ＝4，∴平行四边形OABC 的面积＝BC ×OD ＝﹣2ab ＝8．故答案为：8【点睛】此题考查了反比例函数，平行四边形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【6题答案】【答案】4【解析】【分析】由AB∥x 轴可知，A 、B 两点纵坐标相等，且都设为b ，根据点A 在双曲线2y x =上，点B 在双曲线6y x=上，求得AB ，而▱ABCD 的CD 边上高为b ，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．【详解】∵点A 在双曲线y=2x上,点B 在双曲线y=6x 上,且AB ∥x 轴，∴设A(2b ,b),B(6b ,b)，则AB=6b −2b，▱ABCD 的CD 边上高为b ，∴S ▱ABCD=(6b −2b )×b=6−2=4.故答案为4.【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，解决问题的关键是由平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相等，根据平行四边形的面积公式计算．（2022春·浙江宁波·八年级统考期末）【7题答案】【答案】6【解析】【分析】先求出OABC 的面积，再根据OAD △的面积为OABC 的面积的一半即可求出．【详解】解：设点A 的坐标为（a ，8a ），AB =OC =b ，则点B 的坐标为（a +b ，8a ）∵OCD 与ABD △的面积相等，且AB =OC∴点D 到AB 和OC 的距离相等，∴点D 为BC 的中点，∵点C 的坐标为（a +b ，0）∴点D 的坐标为（12a b +，4a ）∵点D 在反比例函数8y x=的图象上，∴12a b +=84a=2a ，解得b =32a ．∴OABC 的面积=32a 8a =12∴OAD △的面积=1122⨯=6．故答案为6．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何图形的综合，根据面积相等得到点D 是线段BC 的中点是解题的关键．【8题答案】【答案】（1）见详解 （2）20y x= （3）8(0,)3【解析】【分析】（1）由A （0,4），B （-3,0），C （2,0），利用勾股定理可求得AB =5=BC ，又由D 为B 点关于AC 的对称点，可得AB =AD ，BC =DC ，即可证得AB =AD =CD =CB ，继而证得四边形ABCD 为菱形；（2）由四边形ABCD 为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N 的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N 的坐标，继而求得M 点的坐标．【小问1详解】证明：∵()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，∴4OA =，3OB =，2OC =，∴5AB ===，235BC BO OC =+=+=，∴AB BC =，∵D 为B 点关于AC 的对称点，∴AB AD =，CB CD =，∴AB AD CD CB ===，∴四边形ABCD 为菱形；【小问2详解】∵四边形ABCD 为菱形，∴D 点的坐标为（5，4），反比例函数y=k x 的图象经过D 点，∴4=5k ，∴k =20，∴反比例函数的解析式为：20y x=；【小问3详解】∵四边形ABMN 是平行四边形，∴AN BM ∥，AN BM =，∴AN 是BM 经过平移得到的，∵将B 点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A 点，∴将M 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N 点，∵M 点在y 轴正半轴，∴M 点的横坐标为0，∴即根据平移可知N 点的横坐标为3，代入20y x=，得203y =，即N 点坐标为20(3,)3，∴根据平移的路径可知M 点的纵坐标为：208433-=，∴M 点的坐标为8(0,)3．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．（2021春·浙江衢州·八年级统考期末）【9题答案】【答案】（1）12y x =-；（2）2AE =，12(,5)5M -【解析】【分析】（1）由A 与B 的坐标求出AB 的长，根据四边形ABCD 为平行四边形，求出DC 的长，进而确定出C 坐标，设反比例解析式为k y x=，把C 坐标代入求出k 的值，即可确定出反比例解析式；（2）根据平移的性质得到B 与F 横坐标相同，代入反比例解析式求出F 纵坐标得到平移的距离，即为AE 的长，求出H 纵坐标，即为M 纵坐标，代入反比例解析式求出M 横坐标，即可确定出M 坐标．【详解】解：（1）ABCD 中，(2,0)A -，0()6,B -，(0,3)D ，4AB CD ∴==，//DC AB ，(4,3)C ∴-，设反比例解析式为k y x=，把C 坐标代入得：12k =-，则反比例解析式为12y x =-；（2）(6,0)B - ，∴把6x =-代入反比例解析式得：2y =，即(6,2)F -，∴平行四边形ABCD 向上平移2个单位，即2AE =，(0,5)H ∴，把5y =代入反比例解析式得：125x =-，即12(,5)5M -．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．（2020春·浙江绍兴·八年级统考期末）【10题答案】【答案】（1）y ＝2x ；（2）点D 坐标（1，2）【解析】【分析】（1）先求出点B 坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB ∥CD ，AB ＝CD ＝2，可求点D 坐标．【详解】解：（1）∵点A 坐标（2，3），∴AH ＝3，∵AB BH＝2，∴BH ＝1，AB ＝2，∴点B （2，1），设反比例函数的解析式为y ＝k x（k ≠0），∵点B 在反比例函数的图象上，∴k ＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝2，∵AB ⊥x 轴，∴CD ⊥x 轴，∴点D 纵坐标2，∴点D 坐标（1，2）．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．【11题答案】【答案】（1）18y x =， 132y x =-+；（2）①不存在，理由详见解析；②存在，t =【解析】【分析】（1）先确定A 、B 、C 的坐标，然后用待定系数法解答即可；（2）①可用t 的代数式表示DF ，然后根据DF=BC 求出t 的值，得到DF 与CB 重合，因而不存在t ，使得四边形DFBC 为平行四边形；②可分两种情况（点Q 在线段BC 上和在线段BC 的延长线上）讨论，由于DE ∥QC ，要使以点D 、E 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形，只需DE=QC ，只需将DE 、QC 分别用的式子表示，再求出t 即可解答．【详解】解：（1）由题意得(6,3)C ，(0,3)A ，(6,0)B ，∴反比例函数为18y x =，一次函数为：132y x =-+．（2）①不存在．l x ⊥ 轴，CB x ⊥轴，//l BC ∴．又 四边形DFBC 是平行四边形，3DF BC ∴==．设18,D t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1,32F t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，181332DF t t ⎛⎫∴=--+= ⎪⎝⎭，6t ∴=．此时D 与C 重合，不符合题意，∴不存在．②存在．当01t <<时，CQ DE ≠；当16t <≤时，由18,D t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,3E ，得183DE t=-．由()6,3Q t ，()6,3C ．得33CQ t =-．//DE CQ∴当DE CQ =时，四边形DECQ 为平行四边形．18333t t∴-=-．1t ∴=，2t ∴=（舍）∴当t =DECQ 为平行四边形．又DE CE ⊥ 且DE EC ≠，DECQ ∴ 为矩形．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，在解答以点D 、E 、Q 、C 为顶点的四边形的四个顶点的顺序不确定，需要分情况讨论是解答本题的关键．【12题答案】【答案】（1）(3,C或(C -；（2）①()60y x x=->；②6C y ≤-或32C y -≤≤-【解析】【分析】（1）根据P 点坐标得出P'的坐标，可求PP'=4；设C （m ，n ），有PC=P'C=24，通过解方程即可得出结论；（2）①设P （c ，2c），得出P'的坐标，利用连点间的距离公式可求PP '的长，设C （s ，t ），有=''==PC P C PP，然后通过解方程可得22,=-=t s t c，再根据x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩消元c 即可得xy=-6；②分AG 为平行四边形的边和AG 为平行四边形的对角线两种情况进行分类讨论．【详解】解：（1）∵P （1，∴P'（-1，，∴PP'=4，设C （m ，n ），∴等边△PP′C ，∴PC=P'C=4，4==∴=m22(1)(16∴-+=n解得∴m=-3或m=3．如图1，观察点C 位于第四象限，则C -3）．即点P 的“等边对称点”的坐标，-3）．（2）①设2,P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2',P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴'PP =，设(),C s t ，'PC P C ====，∴22t s c =-，∴223t c =，∴t =，∴C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或C ⎫⎪⎪⎭，∴点C 在第四象限，0c >，∴C ⎫⎪⎪⎭，令x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴6xy =-，即()60y x x=->；②已知()1,2A ，()2,1B ，则直线AB 为3y x =-+，设点(),3G a a -+，设点()0,F m ，6,C n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2A ，(),3G a a -+，6,C n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,F m 构成平行四边形，点G 在线段AB 上，12a ≤≤；当GF 为对角线时，平行四边形对角坐标之和相等；01632a na m n +=+⎧⎪⎨-++=-⎪⎩，1n a =-，01n <≤，即6C y ≤-；当GF 为边时，平行四边形GFAC ，10632a n a m n +=+⎧⎪⎨-++=-⎪⎩，1n a =+，23n ≤≤，即32C y -≤≤-；当GF 为边时，平行四边形GFCA，01632a n a m n +=+⎧⎪⎨-+-=+⎪⎩，1n a =-，10n -<≤，而点C 在第三象限，0n >，即此时点C 不存在；综上，6C y ≤-或32C y -≤≤-.【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，等边三角形的性质，新定义；理解题意，利用等边三角形的性质结合勾股定理求点C 的坐标是关键，数形结合解题是求y c 范围的关键．【13题答案】【答案】（1）30．（2）y =（3）满足条件的点P坐标为1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，5P ⎫⎪⎪⎭．【解析】【分析】（1）'90906030B CO BCB ∠'=-∠=-= ；（2）求出B '的坐标即可；（3）分五种情况，分别画出图形可解决问题．【详解】解：()1 四边形ABCO 是矩形，90BCO ∴∠= ，'30ACB ACB ∠=∠= ，'906030B CO ∴∠=-= ．()2如图1中，作'B H x ⊥轴于H．'30DAC ACB DAB ∠=∠=∠= ，2'4AD CD DB ∴===，'6CB ∴=，'3B H =，CH =CO =OH ∴=)'B ∴，反比例函数()0kyk x=≠的图象经过点B'，k ∴=y ∴=()3如图2中，作//DQ x 轴交y =2Q ⎫⎪⎪⎭，以DQ 为边构造平行四边形可得1P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；如图3中，作'//CQ OA 交y =3'2Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，以'CQ 为边构造平行四边形可得370,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫⎪⎝⎭；如图4中，当2Q ⎛⎫"- ⎪ ⎪⎝⎭，以CQ "为边构造平行四边形可得5P ⎫⎪⎪⎭，综上所述，满足条件的点P 坐标为1P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，370,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，410,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，5P ⎫⎪⎪⎭．【点睛】本题考核知识点：反比例函数，矩形，翻折，直角三角形等综合知识. 解题关键点：作辅助线，数形结合，分类讨论.（2021春·浙江嘉兴·八年级统考期末）【14题答案】【答案】（1）P （4，2），k =8；（2）D （2，4）；（3）12S 1+S 2=4【解析】【分析】（1）根据12PAB S OA PA ∆=⋅，列方程求解即可得出答案；（2）根据平行四边形性质和平移规律可得出(2,2)2b D +，由点D 在函数8y x=图象上，建立方程求解即可；（3）连接BP ，运用平行四边形性质可得11122BCP BCPD S S S ∆==四边形，再利用BCP ACP BAP S S S ∆∆∆+=，利用三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：（1）PA x ⊥ 轴于点A ．(2P n ，)(0)n n >，PA n ∴=，2OA n =，211222PAB S OA PA n n n ∆∴=⋅=⨯⨯=，PAB ∆ 的面积为4，24n ∴=，0n > ，2n ∴=，(4,2)P ∴，428k ∴=⨯=；（2）(4,0)A ，(0,)B b ，点C 是线段AB 的中点，(2,)2bC ∴，四边形BCPD 是平行四边形，//BC DP ∴，BC DP =，根据平移规律可得：(2,2)2b D +，点D 在函数8yx=图象上，2(2)82b∴⨯+=，解得：4b =，(2,4)D ∴；（3）如图3，当点C 在线段AB 上时，四边形BCPD 是平行四边形，//PD AB ∴，PD BC =，//BD AC ，BD AC =，连接BP ，11122BCP BCPD S S S ∆∴==四边形，1124422BCP ACP BAP S S S AP OA ∆∆∆+==⋅=⨯⨯= ，∴12142S S +=．如图4，当点C 在AB 延长线上时，连接BP ，四边形BCPD 是平行四边形，则11122BCP BCPD S S S ∆==四边形，1124422ACP BCP BAP S S S AP OA ∆∆∆-==⋅=⨯⨯=，21142S S ∴-=．如图5，当点C 在BA 延长线上时，四边形BCPD 是平行四边形，C P BD x x x x ∴-=-，∴点D 在第二象限，不成立；综上所述，12142S S +=或21142S S -=．【点睛】本题是关于反比例函数综合题，考查了待定系数法，求一次函数与反比例函数图像交点坐标，平行四边形的判定与性质，平行四边形和三角形面积等，解题关键是熟练掌握平行四边形性质及反比例函数性质．。

反比例函数与特殊平行四边形1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知▱AOBC的边OA在x轴上，BC与y轴正半轴交于点D，A(−9,0),C(−6,4)，反比例函数y=k(x>0)经过点B．动点P从点B出发，沿B−O−D的折线以每秒1个单位x的速度匀速运动，动点Q同时从点A出发，沿A−O以每秒1个单位的速度匀速运动，点P，Q中有一个点到达终点，另一个点运动随即而停止．（1）求反比例函数的表达式．（2）在反比例函数的图象是否存在一点E，使得以B，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．（3）过动点Q的直线始终与x轴垂直且与折线ACB交于点M，当t≥5时，在坐标平面内是否存在点N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．2．（1）已知直线y =kx −2和抛物线y =x 2−2x +3，①当k =4时，求直线与抛物线的交点坐标；②当k 为何值时，直线与抛物线只有一个交点？（2）已知点A(a,0)是x 轴上的动点，B(0,42)，以AB 为边在AB 右侧做正方形ABCD ，当正方形ABCD 的边与反比例函数y =4个交点时，试求a 的取值范围．3．在平面直角坐标系中，过点P （0，a ）作直线l 分别交y =m x （m ＞0、x ＞0）、y =nx （n ＜0、x ＜0）于点M 、N ，（1）若m ＝2，MN ∥x 轴，S △MON ＝6，求n 的值；（2）若a ＝5，PM ＝PN ，点M 的横坐标为4，求m －n 的值；（3）如图，若m ＝4，n ＝－6，点A(d ，0)为x 轴的负半轴上一点，B 为x 轴上点A 右侧一点，AB ＝4，以AB 为一边向上作正方形ABCD ，若正方形ABCD 与y =m x （m ＞0、x ＞0）、y =n x （n ＜0、x ＜0）都有交点，求d 的范围．4．如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m交于A(1，t+2)，B(﹣2t，﹣1)两点．x（1）求一次函数和反比例函数的函数表达式；（2）点C(x1，y1)和D(x2，y2)是反比例函数y=m x图象上任意两点，①若x1＜x2＜0，p=y1+y28，q=2x，试判断p、q的大小关系，并说明理由；1+x2②若x1＜﹣4，0＜x2＜1，过C、D两点分别作直线AB的垂线，垂足分别为E、F，当x1x2=﹣4时，判断四边形CEFD的形状，并说明理由．5．正方形ABCD的顶点A（1，1），点C（3，3），反比例函数y＝k（x＞0）．x（x＞0）的关系式；（1）如图1，双曲线经过点D时求反比例函数y＝kx（2）如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′，边A'B'在x轴上，反比例函数y＝k（x＞0）的图象分x别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E，①求△A'EF的面积；②如图3，x轴上一点P，是否存在△PEF是等腰三角形，若存在直接写出点P坐标，若不存在明理由．6．如图1，在平行四边形ABCD中，AD//x轴，AD＝7，原点O是对角线AC的中点，顶点A的坐标为（﹣3，3），反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象过四边形ABCD的顶点D．（1）D点坐标为，k＝．（2）①平行四边形ABCD的顶点B是否在反比例函数的图象上？为什么？②如图2，连接BD并延长，设直线BD解析式为y=k1x，根据图象直接写出不等式k1x<k x的x的取值范围；（3）是否存在两点P、Q分别在反比例函数图象的两支上，使得四边形AQCP是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标．7．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y=mx 与y=nx（x>0，0<m<n）的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P，已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=16时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m、n之间的数量关系：若不能，试说明理由．8．如图，直线y=12x与y=kx(k>0)在第一象限内的交于点P(a,12a)，且OP=20．（1）求a，k的值；（2）A为x正半轴上的点，B为直线y=12x上的一点，C为平面内一点；①当四边形OABC是以点P为对角线交点的矩形时，求直线AC的解析式；②当四边形OABC是以点P为对角线交点的菱形时，直接写出点A、C的坐标，并判断点C是否在y=kx上．9．如图所示，M、N、P在第二象限，横坐标分别是﹣4、﹣2、﹣1，双曲线y＝k过M、N、P三点，且MN＝xNP．（1）求双曲线的解析式；于另一点Q，求Q点坐标；（2）过P点的直线l交x轴于A，交y轴于B，且PA＝4AB，且交y＝kx（3）以PN为边（顺时针方向）作正方形PNEF，平移正方形使N落在x轴上，点P、E对应的点P′、E'正好落上，求F对应点F′的坐标．在反比例函数y＝bx10．我们知道求函数图象的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线y＝2x+3与y＝﹣x+6的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组{y=2x+3y=−x+6，解得{x=1y=5，所以直线y＝2x+3与y＝﹣x+6的交点坐标为（1，5）．请利用上述知识解决下列问题：（1）已知直线y＝kx﹣2和抛物线y＝x2﹣2x+3，①当k＝4时，求直线与抛物线的交点坐标；②当k为何值时，直线与抛物线只有一个交点？（2）已知点A（a，0）是x轴上的动点，B（0，42），以AB为边在AB右侧做正方形ABCD，当正方形ABCD的边与反比例函数y4个交点时，试求a的取值范围．谢谢观看。

专题06 反比例函数中的平行四边形1．如图，在第一象限内，A 是反比例函数()110k y k x =>图象上的任意一点，AB 平行于y 轴交反比例函数()220k y k x =<的图象于点B ，作以AB 为边的平行四边形ABCD ，其顶点C ，D 在y 轴上，若7ABCDS=，则这两个反比例函数可能是（ ）A ．2y x =和3y x =-B ．3y x =和4y x =-C ．4y x =和5y x=-D ．5y x=和6y x =-【答案】B【分析】设A （a ，1ka ），B （a ，2k a），然后求出AB 的长，进而求得CD 的长，然后根据7ABCD S =求得a 的值，进而确定k 1-k 2=7，最后结合选项即可解答．【详解】解：设A （a ，1ka ），B （a ，2k a），k 1＞0、k 2＜0，∴AB =1k a -2k a =12k ka-，∵平行四边形ABCD ，∴CD =AB =12k ka-，∵7ABCD S =，∴CD ·a =7，即12k ka-·a =7，∴12k k -=7，结合选项可得B 选项符合题意． 故选B ．【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质、平行四边形的性质等知识点，求出12k k -=7是解答本题的关键．2．如图，反比例函数ky x=的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是____．【答案】9【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D 也用a 、b 表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a 、b ，再由点坐标求出k 的值． 【详解】解：∵()3,0A ，()0,4B ，∴A 可以看作由B 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，根据平行四边形的性质，D 也可以看作由C 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的， ∵(),C a b ，∴()3,4D a b +-， ∵7.5a b +=，∴(),7.5C a a -，()3,3.5D a a +-， ∵C 、D 都在反比例函数图象上，∴它们横纵坐标的乘积相等，即()()()7.53 3.5a a a a -=+-，解得 1.5a =， ∴()1.57.5 1.59k =⨯-=． 故答案为：9．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图像上一点，点B 是y轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作平行四边形ABCO ，若点C 和BC 的中点D 都在反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图像上，则k 的值是___________．【答案】8-【分析】作AE x ⊥轴，CFx ⊥轴，DG x ⊥轴，证()AOE CBF AAS ∆≅∆，设4D m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则22C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，22k A m m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，；因为DG x ⊥轴，D 是BC 的中点，由2OE BF GF ==即可求解； 【详解】解：∵作AE x ⊥轴，CF x ⊥轴，DG x ⊥轴，∵四边形ABCO 是平行四边形， ∴//AO BC ， ∴AOE CBF ∠=∠， ∵AE x ⊥轴，CF x ⊥轴， ∴AEO CFB ∠=∠， 在AOE ∆和CBF ∆中，∵AEO CFB AOE CBF AO BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ΔΔAOE CBF AAS ≅， ∴AE FC =，OE BF =，设4D m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则22C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，22k A m m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，，40G m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，20F m ⎛⎫⎪⎝⎭，；∵DG x ⊥轴，D 是BC 的中点， ∴2FC DG =，2OE BF GF ==， ∵422GF m m m=-=， ∴222k m m=⋅-，∴8k =-， 都答案为：-8．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．如图，已知反比例函数(0)k y x x=>与正比例函数(0)y x x =的图象，点(1,4)A ，点(4,)A b '与点B ′均在反比例函数的图象上，点B 在直线y x =上，四边形AA B B ''是平行四边形，则B 点的坐标为__．【答案】（13，13）【分析】利用反比例函数图象上点的坐标性质得出A '点坐标，再利用平行四边形的性质假设出B 点坐标，进而表示出B ′点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案． 【详解】解：反比例函数(0)ky x x=>过点(1,4)A ， 144k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：4y x=，点(4,)A b '在反比例函数的图象上，44b ∴=，解得：1b =，(4,1)A ∴'，点B 在直线y x =上， ∴设B 点坐标为：(,)a a ，点(1,4)A ，(4,1)A '，A ∴点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到A '点， 四边形AA B B ''是平行四边形，B ∴点向下平移3个单位，再向右平移3个单位，即可得到B ′点(3,3)a a +-，点B ′在反比例函数的图象上，(3)(3)4a a ∴+-=，解得：13a =±（负数不合题意）， 故B 点坐标为：（13，13）．【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出B ′点坐标是解题的关键．5．如图，分别过反比例函数1y x=图像上的点P 1（1，y 1），P 2（1+2，y 2），P 3（1+2+3，y 3），．．．，Pn （1+2+3+．．．+n ，yn ）作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，A 2，A 3，．．．，An ，连接A 1P 2，A 2P 3，A 3P 4，．．．，An -1Pn ，再以A 1P 1，A 1P 2为一组邻边画一个平行四边形A 1P 1B 1P 2，以A 2P 2，A 2P 3为一组邻边画一个平行四边形A 2P 2B 2P 3，以此类推，则B 2的纵坐标是__________；点B 1，B 2，．．．，Bn 的纵坐标之和为__________．【答案】12223532n n n n +++【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P 1、P 2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B 1的纵坐标是y 2+y 1、B 2的纵坐标是y 3+y 2、B 3的纵坐标是y 4+y 3，据此可以推知点Bn 的纵坐标是1114123123(1)(2)n n y y n n n n n ++=+=+++++++++++，再求和整理即可．【详解】∵点P 1(1，y 1)，P 2(1+2，y 2)在反比例函数1y x=的图象上， ∴12111123y y ===+，， ∴1111P A y ==． 又∵四边形A 1P 1B 1P 2，是平行四边形， ∴111211121//P A B P P A B P ==， , ∴点B 1的纵坐标是：2114133y y +=+=．∵点P 3(1+2+3，y 3) 在反比例函数1y x=的图象上， ∴31123y =++,∴点B 2的纵坐标是：3211131232y y +=+=++． ∵点P 4(1+2+3+4，y 4) 在反比例函数1y x=的图象上， ∴411234y =+++,∴点B 3的纵坐标是：43111231234y y +=++++++．…∴点Bn 的纵坐标是：111123123(1)n n y y n n n ++=+++++++++++ 22 (1)(1)(2)n n n n =++++ 4 (2)n n =+ ∴点B 1，B 2，．．．，Bn 的纵坐标之和为111114(1)()()12121231231234(2)n n +++++++++++++++++ 11114()132435(2)n n =⨯++++⨯⨯⨯⨯+ 111111114(1)2324352n n =⨯⨯-+-+-++-+ 1112(1)212n n =+--++ 223532n nn n +=++． 故答案为12，223532n n n n +++． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象．解答此题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等的性质求得点Bn 的纵坐标为yn +1+yn ．三、解答题(共0分)6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象与双曲线y =-8x交于点M （-4，m ）、N （n ，-4），与x 轴交于A ．(1)求k 、b 的值；(2)①将直线y =kx +b 向上平移4个单位分别交x 轴、y 轴于点B 、C ，画出这条直线； ②P 是平面直角坐标系中的一点，若以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点的坐标．【答案】(1)k =-1，b =-2；(2)①作图见解析 ；②点P 坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【分析】（1）先求出点M 和点N 的坐标，再待定系数法求解析式即可；（2）①根据平移的性质可得平移后的直线解析式，进一步求出点B 和点C 坐标，即可画出平移后的直线；②分情况讨论：当CA ，CB 为边时，当BC ，BA 为边时，当AC ，AB 为边时，分别根据平行四边形的性质即可求出点P 坐标． （1）解：把x =-4，y =m 代入y =-8x 中，得m =-84-=2，∴点M （-4，2），把x =n ，y =-4代入y =-8x 中，得n =-84-=2， ∴点N （2，-4），∴将点M （-4，2），点N （2，-4）代入y =kx +b 中，得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩，∴k =-1，b =-2； （2）解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，当x=0时，y=2，∴点C坐标为（0，2），当y=-x+2=0时，x=2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），分情况讨论：∥且AP=CB，当CA，CB为边时，AP CB∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），点P坐标为（0，-2）；∥且AP=CB，当BC，BA为边时，AP CB同理可得点P坐标为（-4，2）；∥且AC=BP，当AC，AB为边，AC BP同理可得点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．7．综合与探究如图，已知，()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数k y x=的图象经过D 点．(1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式；(3)已知在ky x=的图象（0x >）上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标． 【答案】(1)见详解(2)20y x =(3)8(0,)3【分析】（1）由A （0,4），B （-3,0），C （2,0），利用勾股定理可求得AB =5=BC ，又由D 为B 点关于AC 的对称点，可得AB =AD ，BC =DC ，即可证得AB =AD =CD =CB ，继而证得四边形ABCD 为菱形；（2）由四边形ABCD 为菱形，可求得点D 的坐标，然后利用待定系数法，即可求得此反比例函数的解析式；（3）由四边形ABMN 是平行四边形，根据平移的性质，可求得点N 的横坐标，代入反比例函数解析式，即可求得点N 的坐标，继而求得M 点的坐标．（1）证明：∵()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，∴4OA =，3OB =，2OC =，∴2222435AB OA OB =+=+=，235BC BO OC =+=+=，∴AB BC =，∵D 为B 点关于AC 的对称点，∴AB AD =，CB CD =，∴AB AD CD CB ===，∴四边形ABCD 为菱形； （2）∵四边形ABCD 为菱形，∴D 点的坐标为（5，4），反比例函数y=k x 的图象经过D 点，∴4=5k ，∴k =20，∴反比例函数的解析式为：20y x=；（3）∵四边形ABMN 是平行四边形，∴AN BM ∥，AN BM =，∴AN 是BM 经过平移得到的，∵将B 点先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到A 点，∴将M 先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到N 点，∵M 点在y 轴正半轴，∴M 点的横坐标为0，∴即根据平移可知N 点的横坐标为3，代入20y x =，得203y =，即N 点坐标为20(3,)3，∴根据平移的路径可知M 点的纵坐标为：208433-=，∴M 点的坐标为8(0,)3．【点睛】此题属于反比例函数综合题，考查了菱形的性质与判定、待定系数法求函数的解析式以及平行四边形的性质．注意掌握坐标与图形的关系是关键．8．如图，一次函数122y x =+的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数(0)k y k x=≠的图象的一个交点为()A 2m ，．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，设点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于6，请求出点P 的坐标；（3）设M 是直线AB 上一动点，过点M 作MN//x 轴，交反比例函数ky x=的图象于点N ，若以B 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．【答案】（1）反比例函数的表达式为 6y x=；（2）P （3，2） 或 P （－3，－2）；（3）点M点坐标为：()1M 2727+，；()2M 2727--，；()3M 2343-，；()4M 2343---， 【分析】（1）先将点A （2，m ）代入反比例函数122y x =+求得A 的坐标，然后代入ky x=，求得k 的值即可；（2）可求得点B 的坐标，设P （x ，y ），由S △PBC ＝6，即可求得x ，y 的值；（3）设M （2y -4,y ）,N(6y ,y)，根据平行四边形的性质可得()6244y y--=，解出y 即可求解．【详解】（1）∵一次函数122y x =+的图象经过点A （2，m ），∴m ＝3．∴点A 的坐标为（2，3）．∵反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点A （2，3），∴k ＝6，∴反比例函数的表达式为6y x=． （2）令12x ＋2＝0，解得x ＝−4，即B （−4，0）． ∵AC ⊥x 轴， ∴C （2，0）． ∴BC ＝6． 设P （x ，y ），∵S △PBC ＝12•BC•|y|＝6，∴y 1＝2或y 2＝−2． 分别代入6y x=中，得x 1＝3或x 2＝−3． ∴P （3，2）或P （−3，−2）．（3）∵MN ∥OB,故M,N 的纵坐标相同，∵M 是直线AB 122y x =+上一动点，N 在反比例函数ky x =的图象上，设M （2y -4,y ）,N(6y,y)，依题意可得()6244y y--=当()6244y y--=时， 解得y 1=2+7,y 2=2-7,∴()1M 2727+，；()2M 2727--， 当()6244y y--=-时，解得y 1=3，y 2=-3,∴()3M 2343-，；()4M 2343---，综上，点M 点坐标为：()1M 2727+，；()2M 2727--，；()3M 2343-，；()4M 2343---，．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用平行四边形的性质及待定系数法求解析式是解此题的关键．9．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数my x=的图像交于点()1,6A ，()3,B n 两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)连接OA 、OB ，求AOB 的面积；(3)直线a 经过点()0,1且平行于x 轴，点M 在直线a 上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M 、N 的坐标，如果不可以，说明理由．【答案】(1)反比例函数解析为y=6x，一次函数解析式为y =-2x +8(2)8(3)M （4，1），N （0，7）或M （2，1），N （0，5）或M （-2，1），N （0，-3）【分析】（1）由A 点坐标可求得m 的值，可求得反比例函数解析式，则可求得B 点坐标，由A 、B 两点坐标，利用待定系数法可求得直线AB 的解析式；（2）设直线AB 与x 轴交于点D ，求出D 点的坐标，分别求出△AOD 和△BOD 的面积，即可确定△AOB 的面积；（3）设M （m ，1），N （0，n ），分三种情况讨论，AB 、AM 、AN 分别为平行四边形的对角线，列出相应方程式解得即可． （1）解：∵反比例函数y =mx的图像过A （1，6），∴m =1×6=6，∴反比例函数解析为y =6x，把x =3代入可得n =2， ∴B （3，2），设直线AB 解析式为()0y kx b k =+≠，把A 、B 坐标代入可得632k b k b +=⎧⎨+=⎩，()0y kx b k =+≠ 解得28k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为28y x =-+； （2）解：设直线AB 与x 轴的交点为D ， 令y =0，得-2x +8=0， 解得x =4， ∴D （4，0）， ∴146122ADOS =⨯⨯=，14242BDOS =⨯⨯=， ∴8AOBADOBDOSSS=-=；（3）解：点M 在直线a 上，点N 在y 轴上， 设M （m ，1），N （0，n ）， ①当AB 为平行四边形对角线时，130621m n+=+⎧⎨+=+⎩， 解得47m n =⎧⎨=⎩，∴M （4，1），N （0，7）；②当AM 为为平行四边形对角线时，130612m n+=+⎧⎨+=+⎩， 解得25m n =⎧⎨=⎩，∴M （2，1），N （0，5）；③当AN为为平行四边形对角线时，103621mn +=+⎧⎨+=+⎩， 解得23m n =-⎧⎨=-⎩，∴M （-2，1），N （0，-3）；综上所述，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，M （4，1），N （0，7）或M （2，1），N （0，5）或M （-2，1），N （0，-3）．【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x 轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M 、N 的位置是解题的关键．10．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式； (2)求AOB 的面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2y x=(2)32(3)(1,1)P -或(3,3)P --或(3,3)P【分析】（1）先利用一次函数求出A 点的坐标，再将A 点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B 、C 点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案． （1）解：把(,2)A m 代入一次函数1y x =+，得21m =+， 解得1m =，(1,2)A ∴，把(1,2)A 代入反比例函数k y x =，得21k =，2k ∴=，∴反比例函数的表达式为2y x=； （2）解：令21x x=+，解得1x =或2x =-，当2x =-时，1y =-，即(2,1)B --， 当0x =时，1y =， 1OC ∴=，∴11113()1(21)22222AOBOCAOCBB A B A SSSOC x OC x OC x x =+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+=⨯⨯+=；（3）解：存在，理由如下：当OA 与OB 为邻边时，点(0,0)O 先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点(2,1)B --，则点(1,2)A 也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点P ，即(1,1)P -；当AB 与AO 为邻边时，点(1,2)A 先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点(2,1)B --，则点(0,0)O 也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点P ，即(3,3)P --；当BA 与BO 为邻边时，点(2,1)B --先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点(1,2)A ，则点(0,0)O 也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点P ，即(3,3)P ； 综上，P 点坐标为(1,1)P -或(3,3)P --或(3,3)P ．【点睛】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键．11．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2ky x=的图象交于第一象限内的点(16)A ，和(6)B m ，，与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ．(1)分别求出这两个函数的表达式； (2)连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积；(3)点P 为坐标平面内的点，若点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)6y x=，7y x =-+(2)352(3)点P 的坐标为：(86)，，(66)-，，(66)-，【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式； （2）利用三角形面积的和差求解，即可得出结论；（3）利用平行四边形的性质结合当AP ∥OC 且AP =OC 时，当AP ′∥OC 且AP ′=OC 时，当AO ∥P ″C ，且AO =P ″C 时，分别得出答案． （1）∵点(16)A ，在反比例函数2ky x=的图象上， 261k∴=，解得：26k =，∴反比例函数的表达式是：6y x=；(6)B m ，在反比例函数6y x=的图象上， 1m ∴=，(61)B ∴，，将点(16)A ，，(61)B ，代入1y k x b =+，可得：11616k bk b=+⎧⎨=+⎩， 解得：117k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数表达式是：7y x =-+； （2）由（1）知，直线AB 的解析式为7y x =-+，则(07)D ，，(70)C ，， 1135()777222CODAODBOC AOBSSSS OC OD k ∆∆∆∆∴=-+=⋅-=⨯⨯-=； （3） 如图所示：当AP OC ∥且AP OC =时，则7AP OC ==，(16)A ，，P ∴点坐标为(86)，； 当AP OC '∥且AP OC '=时，则7AP OC '==， (1,6)A ，P '∴点坐标为：(66)-，； 当AO P C ''∥，且AO P C ''=时，则点A 与P ''到x 轴距离相等，且P ''点横坐标为716-=，P ''∴点坐标为：(66)-，综上所述：点P 的坐标为：(86)，，(66)-，，(66)-，． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝2x ﹣4（k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝6x的图象交于A 、B 两点．(1)求A 、B 的坐标． (2)当x 为何值时，2x ﹣4＞6x(3)如图，将直线AB 向上平移与反比例函数y ＝6x的图象交于点C 、D ，顺次连接点A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 是平行四边形，求S四形ABCD 的值．【答案】(1)点A 、B 的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2） (2)x ＞3或﹣1＜x ＜0 (3)32【分析】（1）联立y 1=2x -4（k ≠0）和y 2=6x，即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）当四边形ABCD 是平行四边形，则（xA -xB ）2=（xC -xD ）2，求出直线AB 平移的距离为8，由S 四形ABCD =AB •EH ，即可求解．（1）解：联立y 1＝2x ﹣4（k ≠0）和y 2＝6x，得246y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：16x y =-⎧⎨=-⎩或32x y =⎧⎨=⎩，故点A 、B 的坐标分别为（﹣1，﹣6）、（3，2）； （2）解：由图象得，当x >3或﹣1<x<0时，2x ﹣4>6x；（3）设直线AB 向上平移了m 个单位得到直线CD ，则直线CD 的表达式为y ＝2x ﹣4+m ②， 联立①②并整理得：2x 2+（m ﹣4）x ﹣6＝0， ∴x1+x 2＝12（4﹣m ），x 1x 2＝﹣3，则（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝()244m -+12，∵四边形ABCD 是平行四边形，故（xA ﹣xB ）2＝（3+1）2＝（xC ﹣xD ）2＝（x 1﹣x 2）2＝()244m -+12，解得m ＝0（舍去）或8， 即直线AB 平移的距离为8，设直线AB 交y 轴于点E ，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，直线CD 交y 轴于点F ，则FE ＝m ＝8，由直线CD 的表达式知，tan ∠HFE ＝12，则sin ∠HFE ＝15，在Rt △EHF 中，EH ＝EF sin ∠HFE ＝15×8＝85，∴S 四形ABCD ＝AB •EH ＝()()223126+++×85＝32． 【点睛】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、解直角三角形、图形的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中． 13．如图，一次函数1y x =+与反比例函数ay x=的图象交于点A 和B （-2，n ），与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数解析式；(2)点P 为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P 作PD //y 轴，交线段AB 于点D ，是否存在点P 使得四边形DPOC 为平行四边形？若存在求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2y x=(2)存在，（2-，2-）【分析】（1）将点B （−2，n ）代入y ＝x ＋1得点B 的坐标，再将点B 坐标代入反比例函数解析式即可；（2）由四边形DPOC 为平行四边形，得PD ＝OC ，设P （m ，2m），表示出点D 的坐标，求出PD 的长度，即可解决问题． （1）解：由题意知，点B 在一次函数1y x =+的图象上， ∴211n =-+=-， ∴点B 坐标为（-2，-1），代入反比例函数解析式可得212a =-⨯-=（）（）， ∴反比例函数解析式为2y x=；（2） 解：存在，理由如下：由1y x =+可知，点C 坐标为（0，1）， 设点P 坐标为（m ，2m），∵PD //y 轴，且 D 在线段AB 上，∴点D 坐标为（m ，1m +），∴PD＝21mm+-，∵四边形DPOC为平行四边形，∴PD＝OC＝1，即211mm+-=，解得2m=±，∵点P在第三象限，∴2m=-，∴点P的坐标为（2-，2-）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，用m的代数式表示PD的长度是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．（1）写出点A，B的坐标为：A（ ， ），B（ ， ）（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）−2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜−4；（3）（22，0），（−22，0），（−2＋23，0），（−2−23，0）．【分析】（1）首先求出一次函数与坐标轴的交点，进而利用相似三角形的判定与性质得出B 点坐标，进而得出答案；（2）首先求出反比例函数解析式，进而得出D点坐标，再利用函数图象得出x的取值范围；（3）利用平行四边形的性质，进而表示出MN的长，再解方程得出a的值，即可得出P点坐标．【详解】解：（1）如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，∵一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，∴当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝−2， 故A （−2，0），C （0，1），∵CO ⊥x 轴于点O ，BE ⊥x 轴于点E ， ∴CO ∥BE ， ∴△AOC ∽△AEB ， ∵AC ＝BC ， ∴AO ＝OE ＝2， 即B 点横坐标为：2， 则y ＝12×2＋1＝2，故B （2，2）；故答案为：−2，0；2，2； （2）∵B （2，2），∴把B 点代入y ＝kx（k ≠0），解得：xy ＝4，即y ＝4x，将y ＝12x ＋1与y ＝4x 联立可得：12x ＋1=4x解得x 1＝2，x 2＝−4，则y 1＝2，y 2＝−1， 故D 点坐标为：（−4，−1），如图1所示：当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x 的取值范围为：0＜x ＜2或x ＜−4；（3）如图2，由题意可得：CO ∥MN ，只有CO ＝MN 时，O ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，当P 点在B 点右侧或D 点右侧时，设P （a ，0），则N （a ，4a），M （a ，12a ＋1）， 故MN ＝12a ＋1−4a＝CO ＝1，解得：a ＝±22，当P 点在B 点左侧或D 点左侧时，设P （a ，0），则N （a ，4a），M （a ，12a ＋1）， 故MN ＝4a−（12a ＋1）＝CO ＝1，解得：a ＝−2＋23或−2−23，综上所述：P 点坐标为：（22，0），（−22，0），（−2＋23，0），（−2−23，0）．【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法等知识，正确表示MN 的长是解题关键．15．如图1，菱形ABCD 顶点A 在y 轴上，顶点D 在反比例函数()0k y x x=>上，边BC 交y 轴于点E ，AD x ∥轴，2AE EC =，5AD =．(1)求k ．(2)如图2，延长BA 交x 轴于点F ，问是否在该反比例函数上存在的点P ，坐标轴上的点Q ，使得以A 、F 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q 的坐标，若不存在请说明理由．【答案】(1)k ＝403-； (2)Q 点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0，283-）．【分析】（1）设EC ＝x ，则AE ＝2EC ＝2x ，根据菱形的性质，得AB ＝5，BE ＝5−x ，在Rt △ABE 中用勾股定理求出EC ＝2，AE ＝4，表示出点C 、D 的坐标，列方程5k −2k＝4即可求出k ；（2）先求出直线AB 的解析式，得F 点坐标，设P 点坐标（m ，403m-），分情况讨论：①Q 在x 轴上，设为（n ，0），②Q 在y 轴上，设为（0，n ），根据平行四边形对角线互相平分列式求出n ，即可得到点Q 坐标． (1)解：设EC ＝x ，则AE ＝2EC ＝2x ，在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝5，则BE ＝5−x ， ∵AD ∥x 轴， ∴BC ∥x 轴， ∴AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得()()222525x x -+=， 解得：x ＝2或x ＝0（舍去）， ∴EC ＝2，AE ＝4， ∴C （2，2k ），D （5，5k ），∴5k −2k＝4， 解得：k ＝403-； (2) ∵k ＝403-， ∴C （2，−203），D （5，−83），∴A （0，−83），B （−3，−203），设直线AB 的解析式：y ＝kx ＋b ， 代入A ，B 点坐标，得832033b k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩， 解得：4383k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AB 的解析式：4833y x =-．当48033y x =-=时，x ＝2，∴F （2，0），设P （m ，403m-），存在以A 、F 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∵Q 在坐标轴上，①Q 在x 轴上，设Q （n ，0），当AF ，PQ 为对角线时，2＝m ＋n ，−83＝403m-， 解得：53m n =⎧⎨=-⎩，∴Q （−3，0），当AP ，FQ 为对角线时，得m ＝n ＋2，403m -−83＝0， 解得：57m n =-⎧⎨=-⎩（舍），当AQ ，FP 为对角线，得n ＝m ＋2，−83＝403m-，解得：57m n =⎧⎨=⎩，∴Q （7，0）；②当Q 在y 轴上，设Q （0，n ），当AF ，PQ 为对角线时，m ＝2，−83＝n 403m-，解得：24m n =⎧⎨=⎩，∴Q （0，4），当AP ，FQ 为对角线时，得m ＝2，403m -−83＝n ， 解得：2283m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴Q （0，283-），当AQ ，FP 为对角线，得m ＋2＝0，403m-＝n −83，解得：2283m n =-⎧⎪⎨=⎪⎩（舍）， 综上，Q 点坐标为（−3，0），（7，0），（0，4）或（0，283-）． 【点睛】本题考查了反比例函数与平行四边形的综合，熟练掌握待定系数法求解析式、平行四边形的性质以及解一元二次方程的方法是解决本题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x =-的图像与反比例函数2ky x=（0k ≠）的图像交于()2,A a -、(),2B m 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数2ky x=（0k ≠）的表达式；(2)求△AOB 的面积；(3)点N 为坐标轴上一点，点M 为2y 的图像上一点，当以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N 点的坐标． 【答案】(1)28y x=(2)6AOBS=(3)1(02)N ，，2(06)N -， ，3(20)N -， ，4(60)N ， ．【分析】(1)根据一次函数12y x =-求出A 的坐标，把点A 的坐标代入反比例函数()20k y k x=≠即可解决问题； (2)把点(2)B m ，代入反比例函数28y x=中求出点B 坐标，根据AOB ADO ODB S S S =+△△△计算即可；(3)分四种情况：正确画图，根据平行四边形的性质和反比例函数上点的坐标可解答． （1）∵点(2)A a -，在一次函数12y x =-的图像上， ∴224a =--=-，∴(24)A --，， ∵(24)A --，在反比例函数2ky x=(0)k ≠的图像上， 把(24)A --，代入2k y x =，得42k-=-，得8k ， ∴反比例函数2k y x =的解析式是28y x=．（2）∵点(2)B m ，在反比例函数28y x =的图像上， ∴82m=，即4m =，∴(42)B ，， 令10y =，得20x -=，2x =，∴(20)D ，， 1111242262222AOBAODBODA B SSSOD y OD y =+=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=△△△．（3）①如图1，四边形11M N CD 是平行四边形， 1DM y ∴∥轴，11DM CN =，1(24)M ∴，，11==4CN DM ， (02)C ，-，1(02)N ∴，．②如图2，四边形是平行四边形， 2(06)N ∴-，．③如图3，四边形33M N DC 是平行四边形， 33CM DN ∴∥， 3(42)M ∴--，，334DN CM ==，3(20)N∴-，．④如图4，四边形44M DN C是平行四边形，同理得：444DN CM==，4(60)N∴，．综上，点N的坐标为1(0)N，2或2(06)N-，或3(20)N-，或4(60)N，．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、三角形的面积、平行四边形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx=（k为常数，0x>）的图像经过点()2,A m，()6,B n两点．(1)m 与n 的数量关系是（ ）A ．3m n =B ．3n m =C ．8m n +=D ．4m n -= (2)如图2，若点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转90°，恰好与点B 重合． ①求点P 的坐标及反比例函数的表达式； ②连接OA 、OB ，则AOB 的面积为_________；(3)若点M 在反比例函数(0)k y x x=>的图像上，点N 在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A (2)①()3,0P ，6y x=；②8 (3)存在，124,3M ⎛⎫⎪⎝⎭，248,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）将点的坐标代入函数解析数即可求得m ，n 的数量关系．（2）①过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证得ACP PDB ≅△△，得到等边，再根据坐标利用等边建立关系求解坐标，最后求得反比例函数关系式； ②借助割补法求面积，将AOB 的面积补全在五边形中，利用“大-小”求得面积． （3）将AB 边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得M 坐标． (1)将点()2,A m ，()6,B n 分别代入k y x=， 得2k m =，6k n =26m n ∴=3m n ∴=故选A ． (2)①由（1）得：()2,3A n ，()6,B n ，设(),0P t过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ∴90ACP PDB ∠=∠=︒ ∴,12903290∠+∠=∠+∠=︒︒ ∴13∠=∠ ∵AP PB = ∴ACP PDB ≅△△ ∴,AC PD PC BD ==即362n tt n =-⎧⎨-=⎩ ∴1,3n t == ∴()3,0P ，()6,1B∴反比例函数的表达式为6y x=②如图，作AE y ⊥轴，AF x ⊥轴，BG x ⊥轴， 由①知，()2,3A ，()6,1B2,3,1,6AEOF AFOE BG OG ======4FG OG OF =-=则AOB OEABG OEA OBG S S S S ∆∆∆=--OEABG OFAE AFGB S S S =+132(31)4142=⨯++⨯= 11142316228AOB S∆∴=-⨯⨯-⨯⨯= 综上所述，AOB 的面积为8．故答案为：8．(3)124,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，248,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭图解：①AB 为边B A M Nx x x x -=- 即：620M x -=-4Mx = 24,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭②AB 为对角线A N M Bx x x x -=- 即：206M x -=-8Mx = 48,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查反比例函数的图像及性质，割补法求面积，平行四边形的存在性问题，解决本题的关键在于各知识的综合应用．18．如图1，动点M 在函数()80y x x=>的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数()40y x x=>的图象于点B 、C ，作直线BC ，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+．（1）若点M 的坐标为()2,4．①B 点坐标为______，C 点坐标为______，直线BC 的函数表达式为______；②点D 在x 轴上，点E 在y 轴上，且以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 、E 的坐标；（2）连接BO、CO．①当OB OC=时，求OB的长度；②如图2，试证明BOC的面积是个定值．【答案】（1）①(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②D(1，0)，E(0，2)或D（−1，0），E（0，2）；（2）①10；②见详解【分析】（1）①把x＝2代入4yx=中，求得C点的纵坐标，进而得C点坐标，把y＝4代入4yx=中，求得B点的横坐标，进而得B点坐标，再用待定系数法求得BC的解析式；②设D（m，0），E（0，n），显然BC为平行四边形的对角线时不存在，则BC必为平行四边形的边，分别两种情况BE∥CD或BD∥CE，求出结果便可；（2）①设M（m，8m ），则B（2m，8m），C（m，4m），由OB＝OC列出方程求得m2，由两点距离公式求得OB；②延长MC与x轴交于点A，设M（m，8m ），则B（2m，8m），C（m，4m），A（m，0），根据梯形面积公式和三角形的面积公式计算便可得答案．【详解】解：（1）①∵点M的坐标为（2，4），BM∥x轴，CM∥y轴，∴xC＝2，yB＝4，把y＝4代入4yx=中，得x＝1，∴B(1，4)，把x＝2代入4yx=中，得y＝2，∴C（2，2），把B、C的坐标都代入y＝kx＋b中，得224k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得：26kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为：y＝−2x＋6．故答案为：(1，4)；（2，2）；y＝−2x＋6；②设D（m，0），E（0，n），当四边形BEDC为平行四边形时，∵B(1，4)，C（2，2），BE∥CD，BE＝CD，∴1−0＝2−m，4−n＝2−0，∴m＝1，n＝2，∴D(1，0)，E(0，2)，当四边形BDEC为平行四边形时，∵B (1，4)，C （2，2），BD ∥CE ，BD ＝CE ，∴1−m ＝2−0，4−0＝2−n ，∴m ＝−1，n ＝−2，∴D （−1，0），E （0，2），综上所述：D (1，0)，E (0，2)或D （−1，0），E （0，2）；（2）①设M （m ，8m ），则B （2m ，8m ），C （m ，4m）， ∵OB ＝OC ，∴OB 2＝OC 2，∴(2m )2＋(8m )2＝m 2＋(4m)2，解得，m 2＝8， ∴OB ＝228()()102m m＋； ②延长MC 与x 轴交于点A ，设M （m ，8m ），则B （2m ，8m ），C （m ，4m），A （m ，0）， ∴BM ＝2m ，MA ＝8m ，AC ＝4m ，CM ＝4m，OA ＝m ， ∴S △OBC ＝S 梯形OAMB −S △BCM −S △OAC＝12(2m ＋m )• 8m −12×2m •4m −12m •4m＝3， ∴△BOC 的面积是个定值．【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质，一次函数的性质，待定系数法，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，关键在于分情况讨论，数形结合正确根据点的坐标特点表示线段长度．。

专题26 反比例函数与几何综合题型归纳（原卷版）类型一 反比例函数与三角形综合1．（2022秋•岚山区校级期末）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB ＝30°，点A 在反比例函数y =6x（x ＞0）的图象上，则经过点B 的反比例函数解析式为（ ）A ．y =―1x B ．y =―2x C ．y =―4xD ．y =―6x2．（2022秋•金水区校级期末）如图，已知直角三角形ABO 中，AO =3，将△ABO 绕点O 点旋转至△A 'B 'O 的位置，且A '在OB 的中点，B '在反比例函数y =kx上，则k 的值为 ．3．（2022秋•荔湾区校级期末）如图，△ABC 是等腰三角形，AB 过原点O ，底边BC ∥x 轴，双曲线y =kx过A ，B 两点，过点C 作CD ∥y 轴交双曲线于点D ，若S △BCD ＝16，则k 的值是 ．4．（2023•南海区模拟）如图，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，过点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5分别作x 轴的垂线与反比例函数y =2x(x ≠0)的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，得直角三角形OP 1A 1，A 1P 2A 2，A 2P 3A 3，A 3P 4A 4，A 4P 5A 5，并设其面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 2022＝ ．5．（2022秋•桥西区校级期末）如图，一次函数y 1＝k 1x +b 的图像与反比例函数y 2=k 2x(x ＞0)的图像相交于A （m ，6），B （6，1）两点，且与x 轴，y 轴交于点M ，N ．（1）填空：k 2＝ ；m ＝ ；在第一象限内，当y 1＞y 2时，x 的取值范围为 ；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积；（3）点E 在线段AB 上，过点E 作x 轴的垂线，交反比例函数图像于点F ，若EF ＝2，求点F 的坐标．6．（2022秋•龙泉驿区期末）某班在“图形与坐标”的主题学习中，第四学习小组提出如下背景“如图，在平面直角坐标系中，将一个边长为2的等边三角形ABC 沿x 轴平移（边AB 在x 轴上，点C 在x 轴上方），其中A （a ，0），三角形ABC 与反比例函数y =23x（x ＞0）交于点D ，E 两点（点D 在点E 左边）”，让其他小组提出问题，请你解答：（1）第一小组提出“当a ＝2时，求点D 的坐标”；（2）第二小组提出“若AD ＝CE ，求a 的值”；（3）第三小组提出“若将点E 绕点A 逆时针旋转60°至点E ′，点E ′恰好也在y =23x（x ＞0）上，求a 的值”．7．（2022秋•南山区期末）如图：△AOB 为等腰直角三角形，斜边OB 在x 轴上，S △OAB ＝4，一次函数y 1＝kx +b （k ≠0）的图象经过点A 交y 轴于点C ，反比例函数y 2=kx（x ＞0）的图象也经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若CD ＝2AD ，求△COD 的面积；（3）当y 1＜y 2时对应的自变量的取值范围是 ．（请直接写出答案）8．（2022秋•老城区校级期中）如图，已知：直线y =12x 与双曲线y =k x （k ＞0）交于A ，B 两点，且点A的横坐标为4，若双曲线y =kx（k ＞0）上一点C 的纵坐标为8，连接AC ．（1）填空：k 的值为 8　；点B 的坐标为 ；点C 的坐标为 ．（2）直接写出关于的不等式12x ―k x≥0的解集；（3）求三角形AOC 的面积．9．（2022秋•虹口区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx （k ＞0）分别交反比例函数y =1x 和y =9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y =1x的图象于点C ，联结AC ，若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．类型二 反比例函数与平行四边形综合10．（2022秋•襄都区校级期末）如图，反比例函数y =kx的图象经过平行四边形ABCD 对角线的交点P ．知A ，C ，D ，三点在坐标轴上，BD ⊥DC ，平行四边形ABCD 的面积为6，则k 的值为（ ）A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣4D ．﹣311．（2022秋•滨城区校级期末）如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在y =―2x 上，顶点C 在y =9x上，则平行四边形OABC 的面积是 ．12．（2022秋•平城区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABOC 的面积为6，边OB 在x 轴上，顶点 A 、C 分别在反比例函数y =k x（x ＜0）和y =2x （x ＞0）的图象上，则k ﹣2的值为（ ）A ．﹣4B ．4C ．﹣6D ．613．（2022秋•高新区期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD 顶点A 的坐标为（1，0），点D 在反比例函数y =―6x 的图象上，点B ，C 在反比例函数y =kx（x ＞0）的图象上，CD 与y 轴交于点E ，若DE ＝CE ，∠DAO ＝45°，则k 的值为 ．14．（2022•湘潭县校级模拟）如图，在平面直角坐标系Oxy 中，函数y =kx （其中x ＜0）的图象经过平行四边形ABOC 的顶点A ，函数y =8x（其中x ＞0）的图象经过顶点C ，点B 在x 轴上，若点C 的横坐标为2，△AOC 的面积为6．（1）求k 的值；（2）求直线AB 的解析式．类型三 反比例函数与矩形综合15．（2022秋•永城市期末）如图，直线y ＝﹣x +3与坐标轴分别相交于A ，B 两点，过A ，B 两点作矩形ABCD ，AB ＝2AD ，双曲线y =kx在第一象限经过C ，D 两点，则k 的值是（ ）A ．6B ．274C ．272D ．2716．（2022秋•岚山区校级期末）如右图，已知矩形OABC 的面积为1003，它的对角线OB 与双曲线y =kx相交于点D ，且OB ：OD ＝5：3，则k ＝（ ）A ．10B ．20C ．6D ．1217．（2022秋•达川区期末）如图，矩形AOBC 的边OA ＝3，OB ＝4，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数y =kx的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ．给出下列命题：①若k ＝6，则△OEF 的面积为92；②若k =218，则点C 关于直线EF 的对称点在x 轴上；③满足题设的k 的取值范围是0＜k ≤12；④若DE ⋅EG =256，则k ＝2；其中正确的命题个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2023•黔江区一模）如图，矩形ABCD 中，点A 在双曲线y =―8x上，点B ，C 在x 轴上，延长CD 至点E ，使CD ＝2DE ，连接BE 交y 轴于点F ，连接CF ，则△BFC 的面积为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．819．（2022秋•荔城区校级期末）如图，点A 为双曲线y =―2x在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足AB ：BC ＝4：3，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为（m ，n ），则m ，n 满足的关系式为 ．20．（2022秋•滕州市校级期末）如图，矩形OABC 与反比例函数y 1=k 1x（k 1是非零常数，x ＞0）的图象交于点M ，N ，反比例函数y 2=k 2x（k 2是非零常数，x ＞0）的图象交于点B ，连接OM ，ON ．若四边形OMBN 的面积为3，则2k 2﹣2k 1＝ ．21．（2022秋•长安区校级期末）如图，矩形ABCD 顶点坐标分别为A （1，1），B （2，1），CB ＝2．（1）若反比例函数y =kx与的图象过点D ，则k ＝ ．（2）若反比例函数与矩形ABCD 的边CD 、CB 分别交于点E 、点F ，且△CEF 的面积是，则反比例函数的表达式为 ．（3）若反比例函数y =k x(x ＞0)的图象将矩形边界上横、纵坐标均为整数的点恰好等分成了两组，使两组点分别在双曲线两侧，则k 的取值范围是 ．22．（2022秋•松原期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点．一次函数y ＝﹣3x +6的图象经过点C 、D ，反比例函数y =kx（x ＞0）的图象经过点B ，求k 的值．23．（2022•礼县校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且OA ＝2，OC ＝4，连接OB ．反比例函数y =k1x（x ＞0）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点B 、F ．一次函数y ＝k 2x +b 的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式．（2）点P 是x 轴上一动点，当PE +PF 的值最小时，求点P 的坐标．25．（2022春•姑苏区校级月考）如图，在以O 为原点的平面直角坐标系中，点 A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B （a ，b ）在第一象限，四边形OABC 是矩形，反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象与AB 相交于点D ，与BC 相交于点E ，且BE ＝2CE ．（1）求证：BD ＝2AD ；（2）若四边形ODBE 的面积是6，求k 的值．类型四 反比例函数与菱形综合26．（2022秋•江北区校级期末）如图，菱形ABCD 的边AD ⊥y 轴，垂足为点E ，顶点A 在第二象限，顶点B 在y 轴的正半轴上，反比例函数y =kx（k ≠0，x ＞0）的图象同时经过顶点C 、D ．若点C 的横坐标为10，BE ＝3DE ，则k 的值为（ ）A ．15B ．6C ．154D ．1027．（2022•珠海校级三模）如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x（k1＞0）和y=k2x的图象上，且∠ADC＝120°，则k2k1的值是（ ）A．﹣3B．―13C．3D．―3328．（2022秋•岚山区校级期末）如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为242，则点A的坐标为 ．29．（2022秋•福州期末）如图，四边形ABOC为菱形，∠BOC＝60°，反比例函数y=kx(x＜0)的图象经过点B，交AC边于点P，若△BOP的面积为43，则点A的坐标为 ．30．（2022秋•通川区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（5，0），函数y=kx（x＞0）的图象经过菱形OABC的顶点C，若OB•AC＝40，则k的值为 ．31．（2023•西山区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A 在反比例函数y =kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，点D 的坐标为（4，3）．（1）求反比例函数的关系式；（2）设点M 在反比例函数图象上，连接MA 、MD ，若△MAD 的面积是菱形ABCD 面积的14，求点M 的坐标．类型五 反比例函数与正方形综合32．（2022秋•东港市期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =43x +4的图象与x 轴，y 轴分别交于点B ，A ，以线段AB 为边作正方形ABCD ，且点C 在反比例函数y =k x（x ＜0）的图象上，则k 的值为（ ）A ．﹣21B ．21C ．﹣24D ．2433．（2022秋•龙岗区校级期末）如图，反比例函数y =kx(x ＞0)图象经过正方形OABC 的顶点A ，BC 边与y轴交于点D ，若正方形OABC 的面积为12，BD ＝2CD ，则k 的值为（ ）A ．3B ．185C ．165D ．10334．（2022秋•济南期末）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （4a ，a ）是反比例函数y =k x（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k 的值为（ ）A ．16B ．1C ．4D ．﹣1635．（2022•南关区校级模拟）如图，正方形ABCO 和正方形CDEF 的顶点B 、E 在双曲线y =6x（x ＞0）上，连接OB 、OE 、BE ，则S △OBE 的值为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.536．（2022•绿园区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，大、小两个正方形的一个顶点均为坐标原点，两边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，若经过小正方形的顶点A 的函数y =k x（x ＞0）的图象与大正方形的一边交于点B （1，3），则阴影部分的面积为（ ）A ．6B ．3C ．32D ．3―337．（2022秋•徐汇区期末）点A 、M 在函数y =1x （x ＞0）图象上，点B 、N 在函数y =―3x（x ＜0）图象上，分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、C ，再分别过M 、N 作线段AB 的垂线，垂足为Q 、P ，若四边形ABCD 与四边形MNPQ 均为正方形，则正方形MNPQ 的面积是 ．38．（2022秋•薛城区期末）如图，点B 是反比例函数y =k x图象上的一点，矩形OABC 的周长是20，正方形OCDF 与正方形BCGH 的面积之和为68，则k 的值为 ．39．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x(x ＞0)的图象与边长等于6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△MON 的面积是16，动点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿x 轴向右运动，记运动时间为t ，当t ＝ s 时，PM +PN 最小．40．（2022•香洲区校级三模）如图，反比例函数y =k x（k ≠0，x ＞0）的图象过点B ，E ，四边形ODEF 和ABCD 是正方形，顶点F 在x 轴的正半轴上，A ，D 在y 轴正半轴上，点C 在边DE 上，延长BC 交x 轴于点G ．若AB ＝2，则四边形CEFG 的面积为 ．41．（2022秋•蚌山区月考）如图，两个边长分别为a ，b （a ＞b ）的正方形连在一起，三点C ，B ，F 在同一直线上，反比例函数y =k x在第一象限的图象经过小正方形右下顶点E ．若OB 2﹣BE 2＝8，则（1）S 正方形OABC ﹣S 正方形DEFB ＝ ；（2）k 的值是 ．42．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，4），点B 的坐标为（2，0），连结AB ，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，直线BD ：y ＝ax +b 交双曲线y =k x（k ≠0）于D 、E 两点，连结CE ．（1）求双曲线y =k x（k ≠0）和直线BD 的解析式；（2）求△BEC 的面积；（3）请直接写出不等式ax +b ＞k x 的解集．43．（2022•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在y 轴上，顶点C 在x 轴上，反比例函数y ＝k 的图象过AB 边上一点E ，与BC 边交于点D ，BE ＝2，OE ＝10．（1）求k 的值；（2）直线y ＝ax +b 过点D 及线段AB 的中点F ，点P 是直线OF 上一动点，当PD +PC 的值最小时，直接写出这个最小值．44．（2021秋•榆林）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，2），以线段AB 为一边在第一象限内作平行四边形ABCD ，其顶点D （3，1）在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）设将正方形ABCD 沿x 轴向左平移m （m ＞0）个单位后，得到正方形A ′B ′C ′D ′，点C 的对应点C ′恰好落在反比例函数y =k x（x ＞0）的图象上，求m 的值．45．（2022秋•宝山区校级期中）如图，已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数y =k x （k ＞0，x ＞0）图象上，点P 是函数y =k x（k ＞0，x ＞0）图象上异于点B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ．（1）点B 的坐标是 ，k ＝ ；（2）当S =92，求点P 的坐标；（3）求出S 关于m 的函数关系式．46．（2022秋•武功县期末）如图，在平面直角坐标系中，A （﹣1，2），B （﹣1，﹣2），以AB 为边向右作正方形ABCD ，边AD 、BC 分别与y 轴交于点E 、F ，反比例函数y =k x(k ≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P ，使得△PEF 的面积等于正方形ABCD 面积的一半？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．47．（2022•靖江市校级模拟）如图，在直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC＝1，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象经过BC 边的中点D （3，1）．（1）直接写出这个反比例函数的表达式 ；（2）若△ABC 与△EFG 关于点M 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①直接写出OF 的长 、对称中心点M 的坐标 ；②连接AF，BE，证明四边形ABEF是正方形．。

要点一、反比例函数的定义一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．要点诠释：(1)在y=kx 中，自变量是分式kx的分母，当x=0时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是x≠0；函数y的取值范围是y≠0．故函数图象与x轴、y轴无交点．要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中y=kx，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对x，y的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：(1)设所求的反比例函数为：y=kx(k≠0)；(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入关系式，得到关于待定系数的方程；(3)解方程求出待定系数k的值；(4)把求得的k值代回所设的函数关系式y=kx中．要点三、反比例函数的图象和性质反比例函数的坐标与解析式问题1．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．要点诠释：(1)若点(a,b)在反比例函数y=kx的图象上，则点(-a，-b)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；(2)在反比例函数y=kx(k为常数，k≠0)中，由于x≠0且y≠0，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴．2．反比例函数的性质(1)如图1，当k＞0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小．(2)如图2，当k＜0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号．例1．如图所示，已知A(12，y1)，B(2，y2)为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P(x，0)在x正半轴上运动，(1)当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是；(2)当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是；1．如图，点A(m，6)，B(n，1)在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上，且AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．(1)k的值为；(2)在y轴上找一点Q，使QB﹣QA最大，则点Q的坐标为．例2．如图所示，已知菱形OABC，点C在x轴上，直线y=x经过点A，菱形OABC的面积是2．若反比例函数的图象经过点B，则此反比例函数表达式为()A．y=1x B．y=2xC．y=21x+D．y=212x+1．如图，直线y=43x与双曲线y=kx(x＞0)交于点A，将直线y=43x向下平移个6单位后，与双曲线y=kx(x＞0)交于点B，与x轴交于点C，则C点的坐标为；若OABC=2，则k=．例3．如图，已知双曲线y=kx经过点D(6，1)，点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．(1)求k的值；(2)若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；(3)判断AB与CD的位置关系，并说明理由．1．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB⊥x轴，垂足为B．反比例函数y=kx上(x＜0)的图象经过点C，交AB于点D已知AB＝8．AC＝5，B点的横坐标为m．(1)当m＝﹣6时，求反比例函数的表达式；(2)若AD＝AC，求m的值．1．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝2x(x＞0)的图象交于点A．将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，交y轴于点B，交反比例函数图象于点C．若OA＝2BC，则m 的值为()A．2B．32C．3D．832．如图，直线483y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，将线段AB沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段CD，与双曲线y=kx(k＞0)交于点N，点M在线段AB上，连接MN，BC，若四边形BMNC是菱形，则k的值为()A．32B．24C．12D．83．如图，在平面直角坐标系中，AB5A在y轴正半轴上，点B的坐标为(﹣1，﹣1)．把线段AB沿垂直于AB的方向平移，当点A的对应点A'在函数y=kx(k＜0，x＜0)的图象上时，点B的对应点B'恰好在x轴负半轴上，则k的值为．4．如图，在平行四边形OABC中，OC＝22，∠AOC＝45°，点A在x轴上，点D是AB的中点，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过C、D两点．则k的值为_______；点D的坐标为________．5．如图，矩形ABCD的两边BC＝4，CD＝6，E是CD的中点，反比例函数y=kx的图象经过点E，与AB交于点F．(1)若点B的坐标为(﹣6，0)，求k的值；(2)连接AE，若AF＝AE，求反比例函数的表达式．6．如图，A(m，4)、B(n，2)在反比例函数y=kx的图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝3．(1)求反比例函数的解析式；(2)连接AB，在线段CD上求一点E，使得△ABE的面积为5；(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点A(0，4)，B(﹣3，0)反比例函数y=kx(k为常数，k≠0，x＞0)的图象经过点D．(1)填空：k＝．(2)已知在y=kx的图象上有一点N，y轴上有一点M，且四边形ABMN是平行四边形，求点M的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，顶点C(﹣4，3)．(1)若顶点B在反比例函数y=kx的图象上，求k的值；(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的函数解析式．【经典例题1】(1)P(1.7，0)；(2)P(5 2，0)【解析】解：将A(12，y1)，B(2，y2)代入反比例函数y=1x中，得y1=2，y2=1 2，∴A (，2)，B(2，1 2)．作点B关于x轴的对称点B′(2，－1 2)，连AB′交x轴于点P，点P即为所求．设直线AB′为y=kx+b(k≠0)，可得5 =3176kb⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－．∴直线AB′解析式为51736y x+=－．令y=0，解得，x=1.7．则P(1.7，0)；(2)延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA－PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大．设直线AB的解析式是y=ax+c(a≠0)，解得=152ac⎧⎪⎨=⎪⎩－．∴直线AB的解析式是y=－x+5 2．当y=0时，x=52，即P(52，0)．【举一反三1】【解析】解：(1)点A(m，6)，B(n，1)在反比例函数y＝kx(x＞0)的图象上，∴6m＝n，∵DC＝5，∴n ﹣m ＝5，解得：m ＝1，n ＝6，∴A (1，6)，B (6，1)把A (1，6)代入y ＝k x中，解得：k ＝6，故答案为6；(2)连接AB 交y 轴于Q ，此时BQ ﹣AQ ＝AB ，根据两边之差小于第三边，则AB 就是BQ ﹣AQ 最大值；设直线AB 的解析式为y ＝mx +n，∴=661m n m n +⎧⎨+=⎩，解得=17m n ⎧⎨=⎩－，∴直线AB 的解析式为y ＝﹣x +7，∴Q (0，7)．故答案为(0，7)．【经典例题2】【解析】解：∵直线y =x 过点A ，∴设A (a ，a )．∴OA 2=a 2+a 2=2a 2，即AOa ．∵四边形OABC 是菱形，∴AO =OC =CB =ABa ．∵菱形OABC 的面积是，a •a，得a =1．∴AB，A (1，1)∴B+1，1)．设反比例函数解析式为y =k x (k ≠0)，k +1．∴反比例函数解析式为y =21x．【举一反三1】(92，0)；12【解析】解：据题意可知，直线BC 解析式为y =43x －6，令y =0，得43x －6=0，∴C 点坐标(92，0)．∵直线y =43x 与双曲线y =k x (x ＞0)交于点A ，∴A (32，233)．又∵y =43x －6与y =k x (x ＞0)交于点B ，且OA BC =2，∴B (9324+，33)．将B 点坐标代入y =k x ，得(924+)3=k ，解得k =12．【经典例题3】【解析】解:(1)∵y =k x经过点D (6，1)，∴6k =1，解得k =6．(2)设点C 到BD 的距离为h ，∵D (6，1)，DB ⊥y 轴，∴BD =6．∴S △BCD =12×6•h =12，解得h =4．∵点C 是双曲线第三象限上的动点，∴点C 纵坐标为1－4=－3．∴6x=－3，解得x =－2．∴C (－2，－3)．设直线CD的解析式为y=ax+b，解得1=22 ab⎧⎪⎨⎪=-⎩．∴直线CD的解析式为y=12x－2．(3)解：AB∥CD．理由如下：∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，∴点D的坐标为(6，1)，设点C的坐标为(c，6c )．∴A(c，0)，B(0，1)．设直线AB的解析式为y=mx+n，解得1 =1mc n⎧⎪⎨⎪=⎩－．∴直线AB的解析式为y=1c-x+1．设直线CD的解析式为y=ex+f，解得1=6 eccfc⎧⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩－．∴直线CD的解析式为y=1c-x+6cc+．∵AB，CD的斜率都为1 c-，∴AB∥CD．【举一反三1】【解析】解：(1)如图，作CE⊥AB，垂足为E，∵AC＝BC＝5，CE⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝4，在Rt△BCE中，BC＝5，BE＝4，∴CE=＝3，∵m＝﹣6，∴C点的坐标为：(﹣3，4)，∵点C在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝xy＝﹣3×4＝﹣12，∴反比例函数的表达式为y＝y=12 x -；(2)∵点B的横坐标为m，AD＝AC＝5，∴BD＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，∴D(m，3)，C(m+3，4)，∵C，D两点都在反比例函数y＝kx上，∴3m＝4(m+3)，∴m＝﹣12．【自我检测1】C【解析】解：∵直线y＝2x与反比例函数y＝2x(x＞0)的图象交于点A．∴解2x＝2x求得x＝±1，∴A的横坐标为1，∵OA＝2BC，∴C的横坐标为1 2，把x＝12代入y＝2x得，y＝4，∴C(12，4)，∵将直线y＝2x沿y轴向上平移m个单位长度，得到直线y＝2x+m，∴把C的坐标代入得4＝1+m，求得m＝3，故选：C．【自我检测2】A【解析】解：对于483y x=-+，令x＝0，则y＝8，故点B的坐标为(0，8)，由题意得：MN＝5，∵四边形MNB′B是菱形，则MB＝MN＝5，设点M坐标为(m，48 3x-+)，则MB2＝m2+(483m-+﹣8)2＝52，解得m＝±3，(舍去﹣3)，∴点M的坐标为(3，4)∴点N的坐标为(8，4)，将点N的坐标代入y=kx得k＝32，故选：A．【自我检测3】﹣4【解析】解：设点A坐标为(0，a)，则AB=，解得a＝1或a＝﹣3(舍)．∴点A坐标为(0，1)，作BM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N，∵B的坐标为(﹣1，﹣1)．∴BM＝BN＝1，AM＝1+1＝2，∵∠ABN+∠B′BN＝90°＝∠ABN+∠ABM，∴∠B′BN＝∠ABM，在△B′BN和△ABM中，，∴△B′BN≌△ABM(ASA)，∴BN＝AM＝2，∴B'坐标为(﹣3，0)，即点B(﹣1，﹣1)向左移动2个单位，向上移动1个单位得到B'，∴将A(0，1)向左移动2个单位，向上移动1个单位得到A'(﹣2，2)．∴k＝﹣2×2＝﹣4．故答案为：﹣4．【自我检测4】4；(4，1)．【解析】解：(1)过C作CE⊥OA于E，∵OC＝22，∠AOC＝45°，∴OE＝OC＝2，∴C(2，2)，∵反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过C，∴k＝2×2＝4，(2)作DF⊥OA于F，由平行四边形OABC可知：BC∥OA，∴B的纵坐标等于C的纵坐标2，∴DF＝1，∵反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象经过D，∴1＝4 x，∴x＝4，∴D(4，1)．【自我检测5】【解析】解：(1)点B 坐标为(﹣6，0)，∴OB ＝6，∵BC ＝4，∴OC ＝2，∵CD ＝6，E 是CD 的中点，∴DE ＝CE ＝3，∴E (﹣2，3)，∵反比例函数y =k x的图象经过点E ，∴k ＝﹣6；(2)如图，连接AE ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝4，∵DE ＝12CD ＝3，根据勾股定理，得AE 225AD DE +=，∵AF ＝AE ＝5，∴BF ＝AB ﹣AF ＝1，设点E点的坐标为(a，3)则点F的坐标为(a﹣4，1)，∵E，F两点在函数y=kx的图象上，∴a﹣4＝3a，解得a＝﹣2，∴E(﹣2，3)∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y=6 x ．【自我检测6】【解答】解：(1)∵A(m，4)、B(n，2)在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝4m＝2n，即n＝2m，∵DC＝3，∴n﹣m＝3，∴m＝3，n＝6，∴点A(3，4)，点B(6，2)，∴k＝3×4＝12，∴反比例函数的表达式为y=12 x；(2)设点E(x，0)，∴DE＝x﹣3，CE＝6﹣x，AD＝4，BC＝2，∵S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE＝12×6×3﹣12×4(x﹣3)﹣12(6﹣x)×2＝﹣x+9＝5，∴x＝4，∴点E(4，0)；(3)∵△ABP的周长＝AB+AP+BP，又∵AB是定值，∴当AP+BP的值最小时，△ABP的周长最小，如图，作点B关于x轴的对称点F(6，﹣2)，连接AF交x轴于点P，此时PA+PB有最小值，设直线AF的解析式为y＝kx+b，，解得，∴直线AF的解析式为y＝﹣2x+10，当y＝0时，x＝5，∴点P(5，0)．【自我检测7】【解析】解：(1)∵点A(0，4)，B(﹣3，0)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝5，即点D的横坐标是5，∴点D的坐标为(5，4)，∴4＝，得k＝20，故答案为：20；(2)∵四边形ABMN是平行四边形，∴AN∥BM，AN＝BM，∴AN可以看作是BM经过平移得到的，首先BM向右平移了3个单位长度，∴N点的横坐标为3，代入y＝，得点N的纵坐标为y＝，∴M点的纵坐标为﹣4＝，∴M点的坐标为(0，)．【自我检测8】【解析】解：(1)如图，延长BC交y轴于点E，∵C(﹣4，3)，∴CE＝4，OE＝3，∴OC＝＝5，∴BC＝5，∴B(﹣9，3)，∵顶点B在反比例函数y=kx的图象上，∴k＝﹣9×3＝﹣27；(2)∵OA＝AB，∴∠ABO＝∠AOB，又∵∠DBO＝90°，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB＝5，∴OD＝10，∴D(﹣10，0)，设直线解BD析式为y＝kx+b，∵过D(﹣10，0)，B(﹣9，3)，∴，解得，直线BD解析式为：y＝3x+30．。

__反比例函数与图形的面积__一反比例函数与四边形的面积(教材P156目标与评定第7题)若正方形AOBC的边OA，OB在坐标轴上，顶点C在第一象限，且在反比例函数y＝1x的图象上，则点C的坐标是__(1，1)__．【解析】设点C的坐标为(x，y)．∵四边形AOBC是正方形，∴OB＝OA，即x＝y.∵点C在第一象限且在反比例函数y＝1x的图象上，∴x2＝1，∴x1＝1，x2＝－1(不合题意，舍去)，∴点C的坐标是(1，1)．【思想方法】反比例函数中k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的横、纵坐标之积(xy＝k)为常数，即过反比例函数图象上任意一点，向两坐标轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.以正方形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，反比例函数y ＝3x 经过点D ，则正方形ABCD 的面积是( D ) A.32 B ．5 C ．6D ．12【解析】 由反比例函数中k 的几何意义可知， S 正方形ABCD ＝4×3＝12.故选D.图1图2[2019·杭州期末]如图2所示，反比例函数y ＝kx (k ≠0，x ＞0)的图象经过矩形OABC 的对角线AC 的中点D .若矩形OABC 的面积为8，则k 的值为( A ) A ．2 B ．2 2 C.32D ．25【解析】 过D 作DE ⊥OA 于E ， 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，k a ，∴OE ＝a ，DE ＝k a ，∵点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， ∴OA ＝2a ，OC ＝2k a ， ∵矩形OABC 的面积为8， ∴OA ·OC ＝2a ·2ka ＝8，∴k ＝2.[2019·永康模拟]如图3，A ，C 分别是x 轴、y 轴上的点，反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象与矩形OABC 的边BC ，AB 分别交于E ，F ，若AF ∶BF ＝1∶2，则△OEF 的面积为( B ) A ．2B.83 C ．3D.103图3【解析】 设F 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t ，∵AF ∶BF ＝1∶2，∴AB ＝3AF ，∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，6t ，把y ＝6t 代入y ＝2x 得x ＝t 3，∴E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3，6t ，∴S △OEF ＝S 矩形ABCO －S △OEC －S △OAF －S △BEF ＝t ·6t －12×2－12×2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －2t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫t －t 3＝83.[2018·盐城]如图4，点D 为矩形OABC 的边AB 的中点，反比例函数y ＝kx (x ＞0)的图象经过点D ，交BC 边于点E .若△BDE 的面积为1，则k ＝__4__． 【解析】 设点D 的坐标为(x ，y )，∵点D 为AB 的中点，且点D ，E 均在y ＝kx 上， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12y .∵S △BDE ＝12BD ·BE ＝12·x ·12y ＝1， ∴k ＝xy ＝4.图4[2018·烟台]如图5，反比例函数y ＝kx 的图象经过▱ABCD 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ，▱ABCD 的面积为6，则k ＝__－3__.图5【解析】 (法一)如答图①，连结OP ， ∵C ，D 在坐标轴上，BD ⊥DC ， ∴BD ∥y 轴，∴S △OPD ＝S △APD .∵▱ABCD 对角线的交点P ，▱ABCD 的面积为6， ∴S △APD ＝64＝32.又∵S △OPD ＝S △APD ＝32＝|k |2，∴|k |＝3.又∵反比例函数的图象在第二象限， ∴k ＜0，∴k ＝－3.变形5答图①变形5答图②(法二)如答图②，过P点作PH⊥y轴于H，∵BD⊥DC，∴∠PDO＝∠DOH＝∠OHP＝90°，∴四边形PDOH是矩形，又AB∥CD，＝6，∴S▱ABCD＝S矩形ABDO∵BP＝DP，∴S＝3＝|k|，矩形PDOH又∵k<0，∴k＝－3.如图6，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝mx ＋n (m ≠0)的图象与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象交于第一、三象限内的A ，B 两点，与y 轴交于点C ，过点B 作BM ⊥x 轴，垂足为M ，BM ＝OM ，OB ＝22，点A 的纵坐标为4. (1)求该反比例函数和一次函数的表达式；图6(2)连结MC ，求四边形MBOC 的面积． 解：(1)在Rt △OMB 中，BM ＝OM ，OB ＝22， ∴BM 2＋OM 2＝()222，解得OM ＝BM ＝2， ∴B 点的坐标为(－2，－2)．∵反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点B (－2，－2)， ∴k ＝(－2)×(－2)＝4， ∴该反比例函数表达式为y ＝4x ，∵反比例函数y ＝4x 经过A 点，而A 点的纵坐标为4， ∴4＝4x ，解得x ＝1，∴A 点坐标为(1，4)． 将点A (1，4)和B (－2，－2)代入一次函数，得⎩⎨⎧m ＋n ＝4，－2m ＋n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝2， ∴一次函数的表达式为y ＝2x ＋2； (2)一次函数y ＝2x ＋2与y 轴交于点C ， 当x ＝0时，y ＝2，∴C 点坐标为(0，2)， ∴OC ＝2，∵BM ＝2，∴OC ＝BM ， 又∵BM ⊥x 轴，∴OC ∥BM ， ∴四边形MBOC 为平行四边形， ∴S 四边形MBOC ＝2×2＝4.二反比例函数与三角形的面积(教材P156目标与评定第8题)如图7，点A在反比例函数y＝kx(k＞0)的图象上，AM⊥x轴于点M.若△AMO的面积为3，则k＝__6__．图7【解析】∵△AMO的面积为3，∴|k|＝2×3＝6.又∵k＞0，∴k＝6.【思想方法】反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴以及过该点向坐标轴作的垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，且S＝1 2|k|.[2018·宁波]如图8，平行于x轴的直线与函数y＝k1x(k1>0，x>0)，y＝k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1－k2的值为(A)A．8 B．－8C．4 D．－4图8变形1答图【解析】 设点A 的坐标为(x A ，y )，点B 的坐标为(x B ，y )，点C 的坐标为(x C ，0)， 如答图，过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ， ∵AB ＝x A －x B ，CD ＝y ， ∴S △ABC ＝12AB ·CD ＝12(x A －x B )y ＝12(x A y －x B y )＝12(k 1－k 2)， 即4＝12(k 1－k 2)，∴k 1－k 2＝8.[2018·郴州]如图9，A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是( B )图9A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】 ∵A ，B 是反比例函数y ＝4x 在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，∴当x ＝2时，y ＝2，即A (2，2)， 当x ＝4时，y ＝1，即B (4，1)．过A ，B 两点分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，答图略， 则S △AOC ＝S △BOD ＝12×4＝2.∵S 四边形AODB ＝S △AOB ＋S △BOD ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC ， ∴S △AOB ＝S 梯形ABDC ，∵S 梯形ABDC ＝12(BD ＋AC )·CD ＝12×(1＋2)×2＝3，∴S △AOB ＝3.[2018·龙东地区]如图10，平面直角坐标系中，点A 是x 轴上任意一点，BC ∥x 轴，分别交y ＝3x (x ＞0)，y ＝kx (x ＜0)的图象于B ，C 两点，若△ABC 的面积为2，则k 的值为( A ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12图10变形3答图【解析】 如答图，连结OB ，OC ，设BC 与y 轴交于点D ， ∵BC ∥x 轴，∴S △OBC ＝S △ABC ＝2， ∵点B 在反比例函数y ＝3x 的图象上， ∴S △OBD ＝32，∴S △OCD ＝2－32＝12， 又∵点C 在反比例函数y ＝kx 的图象上， ∴|k |＝1，k ＝±1.∵反比例函数y ＝kx 的图象经过第二象限， ∴k ＜0，∴k ＝－1.故选A.如图11，直线y ＝2x 与反比例函数y ＝kx (k ≠0，x >0)的图象交于点A (1，a )，B 是此反比例函数的图象上任意一点(不与点A 重合)，BC ⊥x 轴于点C . (1)求k 的值； (2)求△OBC 的面积．图11解：(1)将点A (1，a )的坐标代入y ＝2x ，得a ＝2×1，解得a ＝2，将点A (1，2)的坐标代入y ＝kx ，得2＝k1，解得k ＝2；(2)由(1)可知，反比例函数的表达式为y ＝2x ， ∴S △OBC ＝|k |2＝22＝1.三 反比例函数与几何图形的综合(教材P156目标与评定第9题)如图12，在反比例函数y ＝2x (x ＞0)的图象上有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1＋S 2＋S 3＝__32__．图12【解析】 由题意，可知点P 1，P 2，P 3，P 4的坐标分别为(1，2)，(2，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12. 解法一：∵S 1＝1×(2－1)＝1， S 2＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝13，S 3＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＝16，∴S 1＋S 2＋S 3＝1＋13＋16＝32；解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴，y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，即1×2－12×1＝32.【思想方法】 (1)反比例函数y ＝kx 中k 的几何意义：过函数图象上任意一点引x 轴、y 轴的垂线，所得矩形面积为|k |；(2)注意运用数形结合的思想，解答此类题一定要正确理解k 的几何意义．如图13，A ，B 两点在反比例函数y ＝4x 上，分别经过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 阴影＝1，则S 1＋S 2的值为( D )图13A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 ∵A ，B 是反比例函数y ＝4x 上的点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段，则根据反比例函数中k 的几何意义，得两个矩形的面积都等于|k |＝4，∴S 1＋S 2＝4＋4－1×2＝6.故选D.[2018·温州]如图14，点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1，2，△OAC 与△ABD 的面积之和为32，则k 的值为( B )图14A ．4B ．3C ．2D.32【解析】 ∵点A ，B 在反比例函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2，∴点A 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，∵AC ∥BD ∥y 轴，∴点C ，D 的横坐标分别为1，2，∵点C ，D 在反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象上， ∴点C 的坐标为(1，k )，点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，k 2，∴AC ＝k －1，BD ＝k 2－12＝k －12，∴S △OAC ＝12(k －1)×1＝k －12，S △ABD ＝12·k －12×(2－1)＝k －14， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32， ∴k －12＋k －14＝32，解得k ＝3.[2018·广东改编]如图15，已知等边三角形OA 1B 1，顶点A 1在双曲线y＝3x (x ＞0)上．过B 1作B 1A 2∥OA 1交双曲线于点A 2，过A 2作A 2B 2∥A 1B 1交x 轴于点B 2，得到第二个等边三角形B 1A 2B 2；过B 2作B 2A 3∥B 1A 2交双曲线于点A 3，过A 3作A 3B 3∥A 2B 2交x 轴于点B 3，得到第三个等边三角形B 2A 3B 3…以此类推，则点B 6的坐标为__(26，0)__．图15变形3答图【解析】 如答图，过点A 1作A 1E ⊥x 轴，设OE ＝m ，则A 1E ＝3m ，由点A 1(m ，3m )在y ＝3x 图象上，得m ·3m ＝3，解得m ＝1(负值舍去)，∴B 1(2，0)，过A 2作A 2F ⊥x 轴于点F ，设B 1F ＝a ，则F (2＋a ，0)，∵△B 1A 2B 2是等边三角形，∴A 2(2＋a ，3a )，将A 2点代入y ＝3x ，解得a ＝2－1(负值舍去)，∴B 2(22，0)，类似求得B 3(23，0)，故B6(26，0)．第2课时 反比例函数的性质1．[2018·衡阳]对于反比例函数y ＝－2x ，下列说法不正确的是( D ) A ．图象分布在第二、四象限 B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大 C ．图象经过点(1，－2)D ．若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 2【解析】 A ．∵k ＝－2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确； B ．k ＝－2＜0，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故本选项正确；C ．把x ＝1代入y ＝－2x 中，得y ＝－21＝－2，∴点(1，－2)在它的图象上，故本选项正确；D ．点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，若x 1＜0＜x 2，则y 1＞y 2，故本选项错误．2．[2018·湖州]如图6－2－10，已知直线y ＝k 1x (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是(1，2)，则点N 的坐标是( A )图6－2－10A ．(－1，－2)B ．(－1，2)C ．(1，－2)D ．(－2，－1)【解析】 ∵点M ，N 都在反比例函数的图象上，且两点的连线经过原点，∴M ，N 关于原点对称．∵点M 的坐标是(1，2)，∴点N 的坐标是(－1，－2)．故选A.3．[2018·天津]若点A (x 1，－6)，B (x 2，－2)，C (x 3，2)在反比例函数y ＝12x 的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( B ) A ．x 1＜x 2＜x 3 B ．x 2＜x 1＜x 3 C ．x 2＜x 3＜x 1D ．x 3＜x 2＜x 1【解析】 把点A (x 1，－6)，B (x 2，－2)，C (x 3，2)分别代入y ＝12x 可得x 1＝－2，x 2＝－6，x 3＝6，即可得x 2＜x 1＜x 3，故选B.4．[2018·临沂]如图6－2－11，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函y 2＝k 2x 的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标为1，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是( D )图6－2－11A ．x ＜－1或x ＞1B ．－1＜x ＜0或x ＞1C ．－1＜x ＜0或0＜x ＜1D ．x ＜－1或0＜x ＜1【解析】 由反比例函数图象的中心对称性，正比例函数y 1＝k 1x 与反比例函y 2＝k 2x 的图象交点A 的横坐标为1，得另一个交点B 的横坐标为－1，结合图象知，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是x ＜－1或0＜x ＜1，故选D.5．[2018·无锡]已知点P (a ，m )，点Q (b ，n )都在反比例函数y ＝－2x 的图象上，且a ＜0＜b ，则下列结论一定正确的是( D ) A ．m ＋n ＜0 B ．m ＋n ＞0 C ．m ＜nD ．m ＞n【解析】 ∵k ＝－2＜0，∴反比例函数y ＝－2x 的图象位于第二、四象限，∵a ＜0＜b ，∴点P (a ，m )位于第二象限，点Q (b ，n )位于第四象限， ∴m ＞0，n ＜0，∴m ＞n .6．已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上的两个点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，那么一次函数y ＝kx －k 的图象不经过( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 ∵当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，∴k ＞0，∵一次函数y ＝kx －k 的图象经过点(1，0)和点(0，－k )，－k ＜0， ∴一次函数的图象不经过第二象限．故选B.7．已知反比例函数y ＝6x ，当x >3时，y 的取值范围是__0<y <2__．【解析】 在坐标系内作出反比例函数y ＝6x 的函数图象，找到x >3对应的图象部分，确定其函数取值范围为0<y <2.8．[2018·台州]如图6－2－12，函数y ＝x 的图象与函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点P (2，m )．图6－2－12(1)求m ，k 的值；(2)直线y ＝4与函数y ＝x 的图象相交于点A ，与函数y ＝kx (x ＞0)的图象相交于点B ，求线段AB 的长．解：(1)把点P (2，m )代入y ＝x ，得m ＝2， ∴P (2，2)，把点P (2，2)代入y ＝kx ，得k ＝4；(2)当y ＝4时，代入y ＝x 得x ＝4，∴A (4，4)，代入y ＝4x 得x ＝1，∴B (1，4)，∴AB ＝4－1＝3；9．[2019·拱墅区模拟]已知直线l ：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)与函数y ＝2x 的图象交于点A (－1，m )． (1)求m 的值；(2)当k ＝__1__时，直线l 经过第一、三、四象限(任写一个符合题意的值即可)； (3)求(2)中的直线l 的表达式和它与两坐标轴围成的三角形面积． 解：(1)把A (－1，m )代入y ＝2x 中，得m ＝－2；(2)由(1)知m ＝－2，∴A (－1，－2)，把A (－1，－2)代入y ＝kx ＋b 中，得－2＝－k ＋b ， ∴b ＝k －2，∵直线l 经过第一、三、四象限， ∴⎩⎨⎧k ＞0，b ＜0，即⎩⎨⎧k ＞0，k －2＜0， 解得0＜k ＜2，∴k 可以取1； (3)由(2)知k ＝1，b ＝k －2＝－1， ∴直线l 的表达式为y ＝x －1，∴直线l 与坐标轴的交点坐标为B (0，－1)，C (1，0)， ∴OB ＝1，OC ＝1， ∴S △OBC ＝12×1×1＝12.10．[2018·绵阳]如图6－2－13，一次函数y ＝－12x ＋52的图象与反比例函数y ＝kx (k ＞0)的图象交于A ，B 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为M ，△AOM 面积为1.(1)求反比例函数的表达式；(2)在y 轴上求一点P ，使P A ＋PB 的值最小，并求出其最小值和P 点坐标．图6－2－13第10题答图解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象过点A ，且△AOM 面积为1，∴12|k |＝1， ∵k ＞0，∴k ＝2，故反比例函数的表达式为y ＝2x ；(2)如答图，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连结A ′B ，交y 轴于点P ，则P A ＋PB 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52，y ＝2x，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，∴A (1，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴A ′(－1，2)，最小值A ′B ＝（4＋1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＝1092. 设直线A ′B 的表达式为y ＝mx ＋n ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋n ＝2，4m ＋n ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－310，n ＝1710， ∴直线A ′B 的表达式为y ＝－310x ＋1710， ∴x ＝0时，y ＝1710，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1710.11．如图6－2－14，一次函数y ＝k 1x ＋b (k 1≠0)与反比例函数y ＝k 2x (k 2≠0)的图象交于点A (－1，2)，B (m ，－1)．图6－2－14(1)求这两个函数的表达式；(2)在x 正半轴上是否存在点P (n ，0)，使△ABP 为等腰三角形？若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)把A (－1，2)代入y ＝k 2x ，得k 2＝－2， ∴反比例函数的表达式为y ＝－2x .∵B (m ，－1)在反比例函数的图象上，∴m ＝2. 由题意得⎩⎨⎧－k 1＋b ＝2，2k 1＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧k 1＝－1，b ＝1，∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋1； (2)存在．易求得AB ＝32，①当P A ＝PB 时，(n ＋1)2＋4＝(n －2)2＋1，解得n＝0，∵n>0，n＝0不符合题意，舍去；②当P A＝AB时，(n＋1)2＋4＝(32)2，解得n＝－1＋14(负值舍去)；③当BP＝BA时，1＋(n－2)2＝(32)2，解得n＝2＋17(负值舍去)．∴当n＝－1＋14或2＋17 时△ABP为等腰三角形．。

1 反比例函数与平行四边形专题训练三一、【反比例函数与平行四边形结合】例1：如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A,B 两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数()0<=x x k y 的图象上，则求k 的值.变式1：如图，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A （-1，0）、B （0，-2），顶点C 、D 在双曲线xk y =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则求k.2变式2：如图，直线3+=x y 交反比例函数xk y =的图象于点A,交x 轴于点B ，且过点C （-1，2），将直线AB 向下平移，线段CA 平行到线段OD ，当点D 也在反比例函数xk y =的图象上时，求D 点坐标及k 的值.二、【反比例函数与矩形结合】例2：如图，直线221+-=x y 与y x ,轴分别交于A,B 两点，四边形ABCD 为矩形，点C 在x 轴上，点D 在双曲线()0>=x xk y 上，求k 的值.3变式：如图，矩形ABCO ，点E 在AB 上，且BE=2AE ，点F 在BC 上，双曲线xk y =正好过E 、F 两点，4=∆BOF S ，求k 的值.4三、【反比例函数与菱形结合】 例3：如图，点A 在双曲线x y 32=上，点B 在双曲线xk y =上（点B 在点A 的右侧），且AB//x 轴，若四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，则求k 的值。

5变式：如图，在菱形OABC 中，A ()0,5，双曲线()0>=x xk y 经过点C ，且OB ·AC=40,求k 的值.6四、【反比例函数与正方形】例4：如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1P2在反比例函数xy 2=的图象上，顶点A1、B1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数()02>=x xy 的图象上，顶点A2在x 轴的正半轴上，求点P2和P3的坐标.7变式：如图，点B （3，3）在双曲线()0>=x x k y 上，点D 在双曲线()04<-=x xy 上，点A,C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，有ABCD 为正方形.（1）求k 的值；（2）求点A 的坐标.。

双曲线与平行四边形综合题的万能解法（适合初三学生）1.如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，BC=2AB ，点A 、B 的坐标分别为（-1,0），（0,2），C 、D 两点在反比例函数y=xk （x<0）的图像上，求K 值？解法一、解法二、设点C （a ，b ） 则D （a-1，b-2）a*b=（a-1）*(b-2)得：2a+b=2 AB=5 BC=25由两点之间的距离公式得：BC=22b -2a -0）（）（ =25 解得：a=-2即C （-2,6）K=-12解法三、（万能解法）如图： 分析：大家先理顺本题的关键点（运用尺规作图尝试将本题作出来）该平行四边形的特征就在于BC=2AB 的同时点C 、D 都能恰好落在反比例函数上，也就是说点C 、D 的横纵坐标的乘积相等。

如上图，设∠CBG=α，则∠ADH=α，容易知道：AB=5，所以BC=25在△BCG 中，BG=BC*cos α=25cos α，CG=BC*sin α=25sin α 所以C （-25sin α，25cos α+2）同理在△AHD 中，AH=25 sin α，DH=25cos αD （-1-25 sin α，25cos α）由点C 、D 的横纵坐标的乘积相等列等式：-25sin α*（25cos α+2）=（-1-25 sin α）*25cos α 解得：tan α=21， 由tan α容易求得sin α=55，con α=552 带入点C 得C 点的坐标为（-2,6）所以：k=-122、如图平行四边形AOBC 中，双曲线y=xk （k>0）经过点A 、E ，若平行四边的面积为18,求K 值？解法一、解法二、（万能解法）设∠AOB=α，AO=a ，OB=b ，平行四边的面积公式：a*b*sin α=18解得：b=αsin *a 18点A （a*cos α，a*sin α） B （αsin *a 18，0）K= a 2*cos α*sin α由中点坐标公式得E （2cos *a α+αsin *a 9，2sin *a α）点A 、E 在双曲线上： a*cos α*a*sin α=（2cos *a α+αsin *a 9）*2sin *a α 整理得：a 2*cos α*sin α=6所以：k=6。

反比例函数隐藏结论x拓展一：结论除了AD AB =CE CB ，还可以写成AD DB =CE EB 、BD BA =BEBC等等价形式。

二：如双曲线不是与AB ，BC 直接相交，而是与它们延长线交于D ，E 结论与证法不变。

证明二：S 矩形OADF =S 矩形OGEC ，∴S 矩形OADF S 矩形OABC =S 矩形OGEC S 矩形OABC ，即AD AB =CE CB证明一：过D 作y 轴垂线段垂足F ，过E 作x 轴垂线段垂足G ∵S 矩形OADF =S 矩形OGEC ，∴OA ×AD =OG ×GE∴AD GE =OG OA ，即AD AB =CE CB反比例函数图象基本结论一如图，矩形OABC 顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴正半轴上反比例函数y =kx图象在第一象限分别交AB 于D ，交BC 于E则有AD AB =CECB拓展一：A ，B 两点交换谁向x 轴作垂线段，谁向y 轴作垂线段，结论与证法不变二：将A ，B 放在双曲线两支上，结论与证法不变AO ，BO ，BC ，AD ，分别过A ，B 作CD 垂线段垂足E ，F .S △ACO =S △BDO ，∴S △ACD =S △BDCAE 平行且等于BF ，四边形ABFE 为平行四边形（矩形）AB ∥EF 即AB ∥CD证明一：延长DB ，CA 交于E 点。

由基本结论一，有EA EC =EBED，根据相似知识可知AB ∥CD反比例函数图象基本结论二如图，A ，B 是反比例函数y =kx第一象限图象上任意两点。

过A 作y 轴垂线段垂足C ，过B 作x 轴垂线段垂足D 结论：AB ∥CD证明二：过A 作y 轴垂线段垂足E ,过B 作x 轴垂线段垂足F EA 与FB 交于点G 。

由相似结合反比例函数图象基本结论一有CA AB =EA AG =FB BG =DB AB，∴AC =BD 拓展：当A ，B 位于双曲线两支上时，结论与证法不变。

反比例函数中的存在性问题专练姓名：_______________一、等腰三角形的存在性问题1、已知反比例函数y二巴和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k,2xb+k+2）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点A B的坐标：（3）根据函数图象，求不等式k> 2x-1的解集；（4）在（2）的条件2x下，x轴上是否存在点巳使厶AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

二、平行四边形存在性冋题1、如图1,矩形ABCD勺边BC在x轴的正半轴上，点E （m 1）是对角线BD的中点，k 点A E在反比例函数y=k的图象上.（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD1正方形时，x将反比例函数y=-的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=巴的图象（如图2）,求x xk1的值；（3）直线y=-x上有一长为、2动线段MN作MH NP都平行y轴交在条件（2）k下，第一象限内的双曲线y=k于点H、P,问四边形MHPNE否为平行四边形（如图3） ?x, k ,2、已知：如右图，已知反比例函数y=—和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经2x过（a，b），（a+1，b+k）. （1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A的坐标；（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点巳使厶AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求2、已知：如图，矩形ABC啲边BC在x轴上，E是对角线AC BD的交点，反比例函数y=- （x>0）的图象经过A，E两点，点E的纵坐标为m （1）求点A坐标（用m表示）x（2）是否存在实数m使四边形ABCE为正方形，若存在，请求出m的值；若不存在，4 圏h ?、直角三角形存在性问题1、已知反比例函数y=—和一次函数y=2x-1 ,其中一次函数的图象经过(a , b )、(a+1, 2xb+k )两点.(1)求反比例函数的解析式；(2)若两个函数图象在第一象限内的交点 为A (1, m ，请问：在x 轴上是否存在点B,使△ AOB 为直角三角形？若存在，求出 1 f 「If 、r. r —2'(x >0)的图象上一点，过P 作y 轴的平行线交直线CD 于 E ,过P 作x轴的平行线交直线CD 于 F ,求证：DE?CF 为定值.图① 图②【题5】(2012?淄博)如图，正方形AOC 的边长为4,反比例函数的图象过点E (3, ). (1) 求反比例函数的解析式； (2) 反比例函数的图象与线段 BC 交于点D,直线一过点D,与线段AB 相交£于点F ,求点F 的坐标；(3) 连接OF , OE 探究/ AOF 与/ EOC 勺数量关系，并证明.【题1】(2013?湖州)如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形 OACB 是平行四边形，sin / AOB=，反比例函数y=「(k >0)在第一象限内的图象经过点 A ,5x与BC 交于点F .(1)若OA=10求反比例函数解析式；(2) 若点F 为BC 的中点，且△ AOF 的面积S=12,求OA 的长和点C 的坐标；【题6】(2014?泸州第16题)如图，矩形 A0BC 勺顶点坐标分别为 A (0, 3), 0( 0, 0) , B( 4, 0), C( 4, 3),动点F 在边BC ±(不与B 、C 重合)，过点F 的反比例函数尸上的图象与边AC 交于点E , 直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G.给出下列命题：口①若k=4，则△ OEF 的面积为'；所有符合条件的点B 的坐标；(3)若直线y=-x+ '交x 轴于C,交y 轴于D,点P 为反/=kr 2xk24.(四川乐山)如图11,正比例函数y =2x 的图象与反比例函数 y 二仝x的图象交于 A 、B 两点，过点 A 作AC 垂直x 轴于点C ，连结BC .若ABC 的面积为2.(1) 求k 的值；(2) x 轴上是否存在一点 D ，使L ABD 为直角三角形？若存在，求出 点D 的坐标，若不存在，请说明理由比例函数 (3)在(2)中的条件下，过点F 作EF// OB 交OA 于点E (如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA PO 是否存在这样的点P ,使以P 、O A 为顶点的三角形是，则点C关于直线EF的对称点在x轴上;③满足题设的k的取值范围是0v k<12;BC 丄x 轴于点C, DC=5(1) 求m n 的值并写出反比例函数的表达式； (2) 连接AB,在线段DC 上是否存在一点 巳使厶ABE 的面积等于5?若存在，求出点 E 的坐标; 若不存在，请说明理由. V*>> 1A0 DEC x0 DC x8min 燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6mg,请根据题中所提供的信息，解答下列问题 (1) 药物燃烧时，y 关于x 的函数关系式为： ___________ ,自变量x 的取值范围是： ____________ ,药物燃 烧后y 关于x 的函数关系式为 __________ . (2) 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6mg 时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过 ______ 分钟后，学生才能回到教室； (3) 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3mg 且持续时间不低于10min 时,才能有效杀灭空 气中的病菌，那么此次消毒是否有效 ？为什么？— — k22.(十堰8分)如图，点 A (1- .5 , 1+ 5 )在双曲线y 二 (x v 0) 上.x(1 )求k 的值；(2)在y 轴上取点B(0, 1),问双曲线上是否存在点 D,使得以AB AD为邻边的平行四边形 ABC 啲顶点C 在x 轴的负半轴上？若存在，求 出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.k22.(黄冈8分)如图，反比例函数y=-的图象经过点A (-1,4),直线y=-x + b(b 工x0)与双曲线y=-在第二、四象限分别相交于P , Q 两点，与x 轴、y 轴分别相交于xC,D 两点. 21 •世纪*教育网 (1)求k 的值；⑵当b=-2时，求△ OCD 的面积；(3) 连接OQ 是否存在实数b,使得S A ODQ=S OCD 若存在，请求出b 的值；若不存 在，请说明理由.2-1-c-n-j-yy = 一15.已知一次函数 y=kx+b 与双曲线 x 在第一象限交于 A 、B 两点，A 点横坐标为1 . B 点横坐标为4. (1)求一次函数的解kx +b > —析式；(2)根据图象指出不等式x的解集；(3) 点P 是x 轴正半轴上一个动点，过 P 点作x 轴的垂线分别 交直线和双曲线于 M N,设P 点的横坐标是t (t > 0) , △OMN 的面积为S,求S 和t 的函数关系式，并指出 t 的取值范围.6.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏清毒法进行消毒 ，④若D*,则k =1 .ADL x 轴于点D,O \* J 4已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后，y与x成反比例(如图所示),现测得药物Welcome !!! 欢迎您的下载,资料仅供参考!。