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第二十四讲* 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x ＋3y．q＞1．求pq的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5 设n是奇数，求证：60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k ＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)．4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．例10 设p，q均为自然数，且求证：29｜p．证注意到29是质数．令a=10×11× (19)所以ap=29q·b，29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．练习二十四1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是 10 ．解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8；能被5整除的整数的尾数可为0，5；∴能同时被2和5整除的最小的两位数是10．故答案为：10．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是 120 ，最小的四位数是 1020 ．解：因为2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而100÷30＝3……10，1000÷30＝33……10，所以30×4＝120，30×34＝1020，即能被2、3、5同时整除的最小的三位数是120，最小的四位数是1020．故答案为：120，1020．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数） 14 ．解：7×2＝14，14为能被7整除的最小偶数．故答案为：14．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是 540 ．解：因为将4、5、0这三个数排成一个三位数，可能是450，540，所以能被5整除最大的是540．故答案为：540．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是 990 ．解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，所以这个三位数的个位数为0，因为数990中，9+9+0＝18，18是3的倍数，所以最大三位数是990，故答案为：990．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 10 ．解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是： 6和15 ．解：30×3＝90，因为90＝6×15，所以这两个数分别为6和15；故答案为：6和15．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是 204 ．解：最小的素数是2，最小的自然数是0，最小的合数是4，∵一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，∴这个一等奖的中奖号码是 204；故答案为：204．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 26 平方厘米．解：长和宽的和是：30÷2＝15（厘米），∵15＝2+13，∴长方形的面积为13×2＝26（平方厘米）．故这个长方形的面积是26平方厘米．故答案为：26．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝ 5 ．解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝ 63 ．解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是 6或0 ．解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，∴千位是9，∵它的百位上的数不是素数也不是合数，∴百位是1，∵它十位上的数是最小的素数，∴十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0，故答案为：6或0．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．25和50B．42和3C．10和4D．9和1.5解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．3.6和1.2B．35和8C．27和3D．13.4和2解：A、3.6和1.2都不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；B、∵35÷8＝4…3，∴35不能被8整除，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；C、∵27÷3＝9，∴27能被3整除，第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意；D、13.4不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意．故选：C．16．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（ ）整除．A．10B．12C．16D．18．解：因为6的因数是2和3，8的因数是2和4，所以一个数能被6整除，又能被8整除，所以这个数能被12整除．故选：B．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．12和5B．4.5和1.5C．4和28D．36和9A．12÷5＝，不符合题意，故A错误；B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误；C．4÷28＝，不符合题意，故C错误；D．36÷9＝4，符合题意，故D正确；故选：D．18．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（ ）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2解：A．10÷4＝2.5，2.5不是整数，故此选项说法错误；B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C．2既是偶数又是素数，说法正确；D．比3小的自然数有0、1、2故选：C．三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是：17×3×2＝102．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．解：（1）把32分解素因数：32＝2×2×2×2×2；（2）把150分解素因数：150＝2×5×3×5．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．解：如图，用短除法把54和144分解质因数为：∴最大公因数＝2×3×3＝18，最小公倍数＝2×3×3×3×8＝432．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数 2 35711 13 17 1923293137 41 43475359 61 677173798389 97 ……解：根据质数的定义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又叫做素数），得：100以内的素数2357111317192329313741434753596167717379838997……故答案为：2；13；17；41；61；97．23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．解：（1）∵5+6+7＝18，18是9倍数，∴由5、6、7组成的三位数能被9整除，∴能被9整除的所有三位数有：567、576、657、675、756、765；（2）∵能同时被2，5，3整除的所有三位数必是30的倍数，∴本位数的个位为0，各个数位数字和是3的倍数，∴由0、1、5或0、5、7两组数字组成的个位为0的三位数才能被2，5，3整除，∴能同时被2，5，3整除的所有三位数的：150、510、570、750；（3）∵被33整除，∴各个数位数字和能被3整除；奇数位上的数字与偶数位上的数字之差能被11整除，∴能被33整除的所有三位数为：165、561．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝ 7 + 35 ，或者42＝ 13 + 29 ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝ 3 + 7 + 15 + 17 ．解：根据题意得：42＝7+35或42＝13+29；42＝3+7+15+17（答案不唯一）；故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17．四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？解：，根据题意可得：30和25的最小公倍数是150，150÷60＝2.5，即两个半小时，∴从早晨6点30分同时发车后，再同时发车时间为9点，11点半，14点，∴两班车在上午9点，11点半，下午2点同时发车．30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148。
初中数学竞赛精品标准教程及练习(69)数的整除(三)一、内容提要在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.同余的概念两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b 关于模m同余.记作a=b(mod m).如：8和15除以7同余1,记作8=15(mod 7),读作8和15关于模7同余.72003=7X286+1,/. 2003 = 1 (mod 7)；V-7和6对于模13同余6 (余数是非负数)A-7=6 (mod 13)；•••35和0除以5,余数都是0 (即都能整除).".35=0 (mod 5).用同余式判定数的整除若a=b(mod m), 则m|(a~b).即a-b=0(mod m) U> m|(a—b).例如：11 三25(mod7)0 7|(25 —11)；或7|(ll-25).V25+35=2+3=0(mod 5),A5|25+35.同余的性质(注意同余式与等式在变形中的异同点)a三Z?(mod m)]传递性：'二> G三c(mod m)・b = c(mod m)a = /?(mod [ a + c 三b + 〃(mod m)；可加可乘性：f…、c三J(modm).J [ac三bd(mod m).推论可移性：a=b+c (mod m)=>(a—b)三c(mod m).可倍性：a=b(iriod m)=>ka=kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a=b(mod m)=> a n=b n(mod m) (n 为正整数).a b m当d 是a, b, m 的正公因数时，a=b(mod m) => — = — (mod 一 ).d d d如：2 是20, 26, 6 的正公因数，20=26(mod 6) => 10 = 13(mod 3).根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m整除.例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.•・•除以4的余数只有0, 1, 2, 3四种.・・・5个数除以4至少有两个同余.二、例题例1.已知：69, 90, 125除以正整数n有相同的余数. 求：n的值解：V69=90(mod n), 90= 125(mod n).・・・ n|(90-69), n|( 125-90).而21,35的最大公约数是7, 记作⑵,35)=7 (7是质数).n=7例2.求3炉除以5的余数.解：V38=3 (mod 5),・・・3炉三3*三(3纽三(一I)"三1 (mod5).(注意9除以5余4, 一1除以5也是余4, A32=-l (mod5) 例3.求7"的个位数字.解：V74k+n与7*1的个位数字相同，且9=1 (mod 4),:.9°=19 =l(mod4).A 79，＞与刃的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明:V 22225555+55552222=(22225)'111 +(55552)''1'A22225=35=5(mod 7)；55552=42=2 (mod 7).A22225+55552=5+2=0 ( mod 7).即22225=-55552 (mod 7)・・•・(22225)1川三(一55552)1山三-(55552)1111 (mod 7).•••22225血+5555型2三o god 7).例5.求使32n-l能被5整除的一切自然数n.解：V32=-l (mod 5), .\(32)n=(-l)n (mod 5).32n-l=(-l)n-l (mod 5)・・•当且仅当n为偶数时，(一I)"—1二0.・••使32n-l能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.己知：a, b, c是三个互不相等的正整数.求证：a3b — ab\ b3c—bc\ c3a~ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0, 1, 4, 5, 6, 9时，I?的个位数也是0, 1, 4, 5, 6, 9.•I这时n3= n (mod 10)；当正整数n的未位数为2, 3, 7, 8时，I?的个位数分别是8, 7, 3, 2.・.・8与一2, 7与一3, 3与一7, 2与一8,除以10是同余数，二这时n3=—n (mod 10)；把三个正整数a, b, c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a, b的末位数是同一类，那么a3b —ab3=ab —ab=O (mod 10)：或a3b—ab5=(—a)b—a(—b)=0 (mod 10). ・•・ 10| (a3b-ab3)72222=7X317+3 ,.•⑵？？三3 ( mod5555=7X793+4.5555=4 (mod 7).三、练习691.三个数33, 45, 69除以正整数N有相同余数，但余数不是0,那么N二__________ .2.求77’的个位数字.3.求374592除以19的余数；4戦9除以9的余数.4.求1989网咤1990的余数.5.四个数2836, 4582, 5164, 6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同口不是0,求除数和余数.6.求证：7|(33334444+44443333).7.己知：正整数n>2.求证：三3 (mod 4).s--- V - '〃个&任给8个整数，其小必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9.求使2"+1能被3整除的一切自然数n.10.己知69, 90, 125除以N (N>1)有同余数，那么对于同样的N, 81同余于( )(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 7. (E) 8.三、练习69参考答案：1.N=12, 6,2.(舍去3,・・•余数是0).解法仿例1.7 72.个位数字是3. V7 =-1 (mod4), A 77' =(~1)7 (mod 4)……仿例33.余数是18 和1. V37=-l (mod 19)・••原式三一1 三18 (mod 19)；41989=(43)663 64三1 (mod 9) 64663= I663 = 1.4.余数是1. V1989=-l (mod 1990) A 19891990=(-l)l990=l (mod 1990).5.根据题意2836三4582三5164三6522三r (mod m)而且4582-2836=1746, 6522—5164=1358.・I m| 1746, 且m| 1358, (1746, 1358)=2X97・・・m=194,97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194, 余数是120或除数为97, 余数是236.J 33334444+4444B35= -1 )B33=0 (mod 7).7.11---11 = 1 l---U00+ll = ll=3(mod 4).' -------------- V -------- ' ' ----------V ---------- '"个"-2个8.8个正整数分别除以7,必有两个或两个以上是同余数9.V2=-l (mod 3) .-.2n=(-l)n (mod 3)2n+l=(-l)n+l (mod 3)当且仅当n奇数时，(一1 )吟1三0・・・能被3整除的一切正整数n是奇数10.(B)赠:小学五年级数学竞赛题1. ................................... 把自然数1.2.3. 4 ...................................................................... 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 .............................................................................. 已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3.将23分成三个不同的奇数Z和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
数的整除练习题数的整除练习题数的整除是数学中的一项基本概念，也是我们日常生活中常常会遇到的问题。
无论是在学校的数学课堂上，还是在购物时计算折扣，整除都扮演着重要的角色。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对数的整除的理解和应用。
1. 请问下列哪个数能够整除12：8、5、3、2？解答：整除是指一个数可以被另一个数整除，即没有余数。
我们可以逐个尝试这些数与12相除，看是否有余数。
首先，8 ÷ 12 = 0余8，所以8不能整除12。
然后，5 ÷ 12 = 0余5，所以5也不能整除12。
接下来，3 ÷ 12 = 0余3，所以3也不能整除12。
最后，2 ÷ 12 = 0余2，所以2也不能整除12。
综上所述，以上四个数都不能整除12。
2. 某个数能够整除15和35，那么它能够整除多少？解答：我们可以找出15和35的公约数，即能够同时整除这两个数的数。
首先，列出15的因数：1、3、5、15。
然后，列出35的因数：1、5、7、35。
可以看到，15和35的公约数是1和5。
所以，某个数能够整除15和35的话，它一定能够整除1和5。
因此，它能够整除的数有1和5。
3. 请问下列哪个数能够整除24：12、8、6、4？解答：同样地，我们可以逐个尝试这些数与24相除。
首先，12 ÷ 24 = 0余12，所以12不能整除24。
然后，8 ÷ 24 = 0余8，所以8也不能整除24。
接下来，6 ÷ 24 = 0余6，所以6也不能整除24。
最后，4 ÷ 24 = 0余4，所以4也不能整除24。
综上所述，以上四个数都不能整除24。
4. 某个数能够整除18和27，那么它能够整除多少？解答：同样地，我们列出18和27的因数。
18的因数是1、2、3、6、9、18，27的因数是1、3、9、27。
可以看到，18和27的公约数是1、3和9。
所以，某个数能够整除18和27的话，它一定能够整除1、3和9。
数的整除特色专项训练一、性质1、若是整数 A、B 都能被 C 整除，那么他们的和A＋B 或差 A－B 也能被 C 整除。
比方： 8 整除 64，8 整除 24，那么 8 整除 64＋24 或 64－ 24。
2、若是 A 能被 B 整除， B 能被 C整除，那么 A 能被 C整除。
比方： 30 能被 15 整除， 15 能被 5 整除，那么 30 能被 5 整除。
二、数的整除特色能被 2 整除的数的特色：个位数字是 0、 2、 4、 6、 8。
能被 3 整除的数的特色：各位数字之和是 3 的倍数。
能被 4（或 25）整除的数的特色：末两位数能被 4（或 25）整除。
能被 5 整除的数的特色：个位数字是 0 或 5。
能被 8（或 125）整除的数的特色：末三位数能被 8（或 125）整除。
能被 9 整除的数的特色：各位数字之和是 9 的倍数。
能被 11 整除的数的特色：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除。
能被 7、11、13 整除的数的特色：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。
一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13 整除三、例题与练习例 1、判断下面的数可否能整除。
1674565423067867 2345875 283504 34534514773 34578911例 2、判断下面的数可否能整除。
23454456765235704573496432658658 614251215例 3、四位数 2□2□能同时被 8、 9 整除，那么这个四位数是多少？练一练在 3□ 2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被 15 整除，这样的四位数中最大的是多少？例 4、将 1、 2、3、4 这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11 整除的数最小是多少？能被 4 整除的数最小是多少？1、由 1、2、3 这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11 整除的数有哪些？2、从 0、3、5、7 这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5 整除，这样的三位数最大的是哪个？3、在 568 后边补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、 5 整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数 1993 口口口能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少 ?1、四位数 45□□能同时被 4、9 整除，这个四位数最小是多少？2、六位数 36□2□□能同时被3、4、5 整除，这个六位数最大是多少？3、用 0、2、3、5、6 这五个数字中的四个能组成能被11 整除的四位数，这些四位数中最小的一个是多少？4、七位数 23□354□能被 72 整除，两个□中的数的乘积是多少？5、已知五位数 3□6□5 是 75 的倍数，这样的五位数最大的一个是多少？6、由 1、2、5、6、7、 9 这六个数字所组成的六位数中，能被11 整除的最大的数是多少？。
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除整除是指一个数能够整除另一个数，即能够被另一个数整除而不产生余数。
在初中数学竞赛中，整除是一个非常重要的概念。
掌握整除的性质和相关的解题方法将有助于学生更好地应对数学竞赛中的各种问题。
一、整除的定义整除是指一个数能够被另一个数整除而不产生余数。
如果一个数a能够被另一个数b整除，就可以表示为a能够整除b，也可以表示为b能够被a整除。
用数学语言表达就是a能够整除b表示为a，b，读作a整除b，b被a整除。
二、整除的性质整除具有以下性质：1.如果一个数a能够整除另一个数b，而b又能够整除另一个数c，则a能够整除c。
即如果a，b且b，c，则a，c。
2. 如果一个数a能够整除另一个数b，则a能够整除b的所有倍数。
即如果a，b，则a，kb(k为整数)。
3.整除具有传递性。
如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c。
即如果a，b且b，c，则a，c。
三、整除的判定法则1.若一个数能被2整除，则个位数为0、2、4、6、8中的任意一个。
2.若一个数能够被3整除，则该数的各位数之和能够被3整除。
3.若一个数能够被4整除，则该数的末两位能够被4整除。
4.若一个数能够被5整除，则个位数为0或55.若一个数能够被6整除，则该数同时能够被3和2整除。
6.若一个数能够被8整除，则该数的末三位能够被8整除。
7.若一个数能够被9整除，则该数的各位数之和能够被9整除。
四、整除的应用1.求最大公约数最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
当求最大公约数时，常常使用整除的方法。
首先列举出两个或多个数的约数，然后找出共有的约数中最大的一个即为最大公约数。
2.求最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数的公有倍数中最小的一个。
当求最小公倍数时，也常常使用整除的方法。
首先列举出两个或多个数的倍数，然后找到其中共有的最小的一个即为最小公倍数。
练习题：1.判断下列数是否能够被2整除：106、239、480、620。
初二数学竞赛辅导资料 式的整除容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
根据被除式＝除式×商式＋余式，例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，2. 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数) 那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4练习1． 若x 3+2x 2+mx+10=x 3+nx 2－4x+10, 则m=___, n=___2． x 3－4x 2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，x 4－x 2+1除以x 2－x －2的余式是＿＿＿3． 己知x 3+mx+4能被x+1整除，求m4.己知x 4+ax 3+bx －16含有两个因式x －1和x –2,求a 和b 的值5.己知13x 3+mx 2+11x+n 能被13x 2－6x+5整除,求m 、n 及商式6己知ab ≠0,m 取什么值时，a 3－6a 2b+mab 2-8b 3有因式a －2b.。
