八年级----条件分式求值攻略

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地，用A ，B 表示两个整式，A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2.分式有意义的条件：分式的分母不为零；3.分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零；4.分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同（两种情况）；5.分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．【经典例题】【例1】下列各代数式：1x ，2x ，5xy ，()12a b +，x π，211x -，22a b a b --，13a-,1x y -中，整式有_____________，分式有_____________．【例2】若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_____________．【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义，则x 的取值是_____________．【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________．【例5】当3x =-时，下列分式中有意义的是（）．A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时，分式x yx y-+　无意义．【例7】当x =_________时，分式33x x -+的值是零．【例8】当x =_________时，分式293x x --的值为零．【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0，则x 的值为_________．【例10】x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【例12】若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义，求a 的取值范围．【例14】要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________．【例15】当x 取何值时，分式226x x -+的值恒为负？【例16】当x 取什么值时，分式25xx -值为正？2【知识精讲】一、分式的基本性质1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变，用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式．2．注意：（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式；（2）应用基本性质时要注意0C≠，以及隐含的0B≠；（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以．3．分式的通分和约分：关键是先分解因式．【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍，则分式的值______．【例18】如果把分式10xyx y+中的x ，y 都扩大十倍，则分式的值（）．A ．扩大100倍B ．扩大10倍C ．不变D ．缩小到原来的110【例19】对于分式11x -，恒成立的是（）．A.1212x x =--B ．21111x x x +=--C ．()21111x x x -=--D ．1111x x -=-+【例20】下列各式中，正确的是（）．A ．a m ab m b+=+B ．0a ba b+=+C ．1111ab b ac c +-=--D ．221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是（）．A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．a b a b+--D ．a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，得（）．A ．235x y x y -+B ．1515610x y x y -+C ．1530610x y x y -+D ．253x y x y-+【例23】已知23a b =，求a bb+的值？【例24】化简：2323812a b cab c =________________．【例25】化简：22442y xy x x y-+=-________________．【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为（）．A ．648B ．832C ．1168D ．1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________．【例28】已知a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是__________．【例29】化简：43211x x x x -+++．【例30】已知2215x x =+，求241x x +的值．【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0，则x 的值是___________．【习题2】求证：无论x 取什么数，分式223458x x x x ---+一定有意义．【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值．111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义．【习题5】已知34y x =，求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值．【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠，且0a b c ++=，则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________．【作业2】已知20y x -=，求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值．【作业3】若实数x ，y 满足0xy ≠，则y xm x y=-的最大值是多少？【作业4】已知a ，b 为实数，且1ab =，设11a b P a b =---，1111Q a b =---，试比较P 和Q 的大小．【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程：232ax a a x -=++的解是整数，则该方程所有整数解的和为__________．【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零，则x 的值是__________．【作业7】要使分式241312a a a-++有意义，则a 的值满足__________．【作业8】已知210a a --=，且4232232932112a xa a xa a -+=-+-，求x 的值．。

内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。

八年级数学知识点：分式的运算知识点人生的道路很长，但关键的却往往只有几步，而初中就是这关键几步中的第一步，查字典数学网为大家准备了分式的运算知识点，欢迎阅读与选择!一、约分与通分：1.约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分;分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分。

分式约分的根据是分式的基本性质，即分式的分子、分母都除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。

约分的方法和步骤包括：(1)当分子、分母是单项式时，公因式是相同因式的最低次幂与系数的最大公约数的积;(2)当分子、分母是多项式时，应先将多项式分解因式，约去公因式。

2.通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通。

分式通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式，这种变形叫分式的通分。

(1)当几个分式的分母是单项式时，各分式的最简公分母是系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂的所有不同字母的积;(2)如果各分母都是多项式，应先把各个分母按某一字母降幂或升幂排列，再分解因式，找出最简公分母;(3)通分后的各分式的分母相同，通分后的各分式分别与原来的分式相等;(4)通分和约分是两种截然不同的变形.约分是针对一个分式而言，通分是针对多个分式而言;约分是将一个分式化简，而通分是将一个分式化繁。

注意：(1)分式的约分和通分都是依据分式的基本性质;(2)分式的变号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

(3)约分时，分子与分母不是乘积形式，不能约分.3.求最简公分母的方法是：(1)将各个分母分解因式;(2)找各分母系数的最小公倍数;(3)找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足(2)(3)的因式之积即为各分式的最简公分母(求最简公分母在分式的加减运算和解分式方程时起非常重要的作用)。

二、分式的运算：1.分式的加减法法则：(1)同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加;(2)异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算。

初中数学分式化简求值的技巧总结作者：钱立梅来源：《文理导航》2013年第23期【摘要】在初中数学教学中，分式化简求值是一项重要的学习内容。

但是由于分式化简求值的解法种类比较多，从而导致学生在学习过程中，很难将其不同的解法进行适当的应用。

为了能够帮助学生掌握一定的分式化简求值解法，下面本文就对初中数学分式化简求值技巧进行一定的总结。

【关键词】初中数学；分式化简求值；技巧在数学上，化简是十分重要的概念，一些复杂难辨的式子，很多时候需要依靠化简才能更简单快速地对它们求值成功。

从教材和考试的实际情况来看，初中数学中分式化简求值主要有以下几种题型和技巧。

一、把假分式化成正是和真分式之和= - - +化简求值技巧：遇到这种题型不要直接通分计算，因为过于繁琐。

可以将每个假分式化成整式和真分式之和的形式，之后再进行化简求和将会简便很多。

解：原式：= -- +=（2a+1）+ -（a-3）+-（3a+2）- +（2a-2）-=（2a+1）-（a-3）-（3a+2）+（2a-2）+ - + - = - + -= + ==说明：是否能正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式是本题的关键所在。

教师在对这种类型题目进行讲解过程中，首先可以引导学生直接进行通分计算试一下，学生很快就会发现直接通分，几乎上就是无从下手，然后再让学生对各个分式进行变形，化成整式和真分式之和，即可继续进行化简。

这样学生在一拿到题目的时候，就不会先盲目的进行通分，就会先想一下有没有简便的方法，促使学生去学习一定的解题技巧。

这一类型题目在解析过程中，所使用的是逆向思维，其也被称为是求异思维，简单来说，就是已经司空见惯的、形成一定定论的事物或者是观点，从其相反方面进行思考的一种思维方式。

二、对平方差公式进行使用+ + + + + ，求该分式当a=2时的值。

分式化简求值技巧：直接通分比较麻烦，先化简再求值的过程中注意平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

八年级数学分式与分式方程分式与分式方程学习资料。

一、分式的概念。

1. 定义。

- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。

例如(1)/(x)，(x + 1)/(x - 1)等都是分式，而(2)/(3)不是分式，因为分母是常数3，不含有字母。

2. 分式有意义的条件。

- 分式(A)/(B)有意义的条件是B≠0。

例如，对于分式(1)/(x - 2)，当x - 2≠0，即x≠2时，这个分式有意义。

3. 分式值为零的条件。

- 分式(A)/(B)的值为零的条件是A = 0且B≠0。

例如，对于分式(x)/(x+1)，当x = 0且x+1≠0（即x≠ - 1）时，分式的值为0。

二、分式的基本性质。

1. 性质内容。

- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。

2. 约分。

- 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

- 例如，对于分式(6x^2y)/(8xy^2)，分子分母的公因式是2xy，约分后得到(3x)/(4y)。

3. 通分。

- 定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

- 例如，将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，先找最简公分母为x(x + 1)，则(1)/(x)=(x +1)/(x(x + 1))，(1)/(x+1)=(x)/(x(x + 1))。

三、分式的运算。

1. 分式的乘除法。

- 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即(A)/(B)·(C)/(D)=(A· C)/(B· D)。

例如(2)/(3x)·(6x)/(4)=(2×6x)/(3x×4)= 1。

1 相识分式第1课时 分式的有关概念教学目标 一、基本目标1．了解分式的概念，明确分式与整式的区分．2．经验用字母表示现实情境中数量关系的过程，体会分式的模型思想，进一步发展符号感．3．通过教材土地沙化问题的情境，体会爱护人类生存环境的重要性． 二、重难点目标 【教学重点】 分式的概念． 【教学难点】分式有(无)意义的条件，分式值为0的条件． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 108～P109的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成AB的形式．假如B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母．对于随意一个分式，分母都不能为零．2．分式有意义的条件是分母不为0.分式的值为0的条件是分子等于0，且分母不等于0.3．下列各式中，哪些是分式？①2b －s ；②3000300－a ；③27；④v s ；⑤s 32；⑥2x 2＋15；⑦45b ＋c ；⑧－5；⑨3x 2－1；⑩x 2－xy ＋y 22x －1；⑪5x －7.解：分式有①②④⑦⑩.4．当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式的值等于0? (1)3－x x ＋2；(2)x ＋53－2x. 解：(1)当x ＋2＝0时，即x ＝－2时，分式3－x x ＋2无意义．当x ＝3时，分式3－x x ＋2的值等于0.(2)当3－2x ＝0时，即x ＝32时，分式x ＋53－2x 无意义．当x ＝－5时，分式x ＋53－2x 的值等于0.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组探讨(师生互学)【例1】当x 取何值时，下列分式有意义？当x 取何值时，下列分式无意义？当x 取何值时，下列分式值为零？(1)x ＋1x －1 ； (2)x －2x 2－1； (3)x 2－1x 2－x. 【互动探究】(引发学生思索)依据分式有、无意义所满意的条件进行推断．分式的值为0，则分母不为0，且分子等于0.【解答】(1)有意义：x －1≠0，即x ≠1. 无意义：x －1＝0，即x ＝1.值为0：x ＋1＝0且x －1≠0，∴x ＝－1. (2)有意义：x 2－1≠0，即x ≠±1. 无意义：x 2－1＝0，即x ＝±1. 值为0：x －2＝0且x 2－1≠0，∴x ＝2. (3)有意义：x 2－x ≠0，即x ≠0且x ≠1. 无意义：x 2－x ＝0，即x ＝0或x ＝1. 值为0：x 2－1＝0且x 2－x ≠0，即x ＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)分式有意义的条件：分式的分母不能为0.分式无意义的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为0肯定是在有意义的条件下成立的．活动2 巩固练习(学生独学) 1．若代数式1x －1＋x 有意义，则实数x 的取值范围是( D ) A ．x ≠1 B ．x≥0 C ．x ≠0D ．x≥0且x≠12．若分式2x －13x ＋5有意义，则x 的取值范围是x≠－53.3．若分式x 2－1x ＋1的值为0，则x 的值是1.4．对于分式x －m －nm －2n ＋3x ，已知当x ＝－3时，分式的值为0；当x ＝2时，分式无意义．试求m 、n 的值．解：∵当x ＝－3时，分式的值为0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－m －n ＝0，m －2n －9≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n≠9.又∵当x ＝2时，分式无意义， ∴m －2n ＋3×2＝0，即m －2n ＝－6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝－3，m －2n ＝－6，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝1.活动3 拓展延长(学生对学)【例2】视察下面一列分式：x 3y ，－x 5y 2，x 7y 3，－x9y 4，….(其中x≠0)(1)依据上述分式的规律写出第6个分式；(2)依据你发觉的规律，试写出第n(n 为正整数)个分式，并简洁说明理由．【互动探究】(1)依据已知分式的分子与分母的次数与系数关系得出答案；(2)利用(1)中数据的变更规律得出答案．【解答】(1)视察各分式的规律可得，第6个分式为－x13y 6.(2)由已知可得：第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.理由：∵分母的底数为y ，次数是连续的正整数，分子底数是x ，次数是连续的奇数，且第偶数个分式为负，∴第n(n 为正整数)个分式为(－1)n ＋1×x 2n ＋1yn.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了分式的定义以及数字变更规律，得出分子与分母的变更规律是解题关键．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的概念：一般地，假如A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB 叫做分式．2．分式AB 有无意义的条件：当B≠0时，分式有意义；当B ＝0时，分式无意义．3．分式AB 值为0的条件：当A ＝0，B≠0时，分式的值为0.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 分式的基本性质教学目标 一、基本目标1．能正确理解和运用分式的基本性质．2．通过与分数的基本性质相比较，归纳得出分式的基本性质，体验类比的思想方法． 二、重难点目标 【教学重点】理解分式的基本性质，会进行分式的化简． 【教学难点】敏捷应用分式的基本性质将分式变形． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P 110～P112的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．这一性质可以用式子表示为：b a ＝b ·m a ·m ，b a ＝b ÷ma ÷m(m ≠0)．2．把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式．3．分式的分子、分母及分式本身的三个符号中，随意变更其中两个的符号，分式的值不变；若只变更其中一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．4．下列等式的右边是怎样从左边得到的？(1)a 2b ＝ac 2bc (c ≠0)； (2)x 3xy ＝x 2y . 解：(1)由c ≠0，知a 2b ＝a ·c 2b ·c ＝ac 2bc .(2)由x ≠0，知x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y.5．约分：(1)a 2bc ab ； (2)－32a 3b 2c 24a 2b 3d. 解：(1)公因式为ab ，所以a 2bc ab＝ac .(2)公因式为8a 2b 2，所以－32a 3b 2c 24a 2b 3d ＝－4ac3bd.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组探讨(师生互学)【例1】不变更分式0.2x ＋12＋0.5x 的值，把它的分子、分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的为( )A ．.2x ＋12＋5xB ．.x ＋54＋xC ．2x ＋1020＋5xD ．2x ＋12＋x【互动探究】(引发学生思索)利用分式的基本性质，把0.2x ＋12＋0.5x 的分子、分母都乘10，得2x ＋1020＋5x . 【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)视察分式的分子和分母，要使分子与分母中各项系数都化为整数，只需依据分式的基本性质让分子和分母同乘某一个数即可．【例2】约分：(1)－5a 5bc 325a 3bc 4； (2)x 2－2xyx 3－4x 2y ＋4xy2.【互动探究】(引发学生思索)要约分须要先找分子、分母的公因式，如何确定公因式呢？ 【解答】(1)－5a 5bc 325a 3bc 4＝5a 3bc 3－a 25a 3bc 3·5c ＝－a25c . (2)x 2－2xy x 3－4x 2y ＋4xy 2＝x x －2yx x －2y2＝1x －2y. 【互动总结】(学生总结，老师点评)约分的步骤；(1)找公因式．当分子、分母是多项式时应先分解因式；(2)约去分子、分母的公因式．活动2 巩固练习(学生独学)1．把分式2x2x －3y 中的x 和y 都扩大为原来的5倍，那么分式的值( B )A ．扩大为原来的5倍B ．不变C ．缩小为原来的15D ．扩大为原来的52倍2．将分式x2－y x 5＋y 3的分子与分母中各项系数化为整数，结果是15x －30y6x ＋10y .3．约分：(1)－15a ＋b 2－25a ＋b ； (2)m 2－3m9－m2.解：(1)3a ＋b5.(2)－mm ＋3.4．先约分，再求值：(1)3m ＋n9m 2－n2，其中m ＝1，n ＝2； (2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2，其中x ＝2，y ＝4. 解：(1)3m ＋n 9m 2－n 2＝13m －n ＝13×1－2＝1.(2)x 2－4y 2x 2－4xy ＋4y 2＝x ＋2y x －2y x －2y 2＝x ＋2y x －2y ＝2＋2×42－2×4＝－53. 活动3 拓展延长(学生对学)【例3】若x 2＝y 3＝z 4≠0，求x －y －z 3x ＋2y －z的值．【互动探究】因为条件是以比相等的形式出现，所以考虑设比值为k ，把待求式转化为关于k 的式子求值．【解答】设x 2＝y 3＝z 4＝k (k ≠0)，x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴x －y －z 3x ＋2y －z ＝2k －3k －4k 6k ＋6k －4k ＝－5k8k＝－58.【互动总结】(学生总结，老师点评)当数学问题中出现或隐含比值相等的条件时，设比值为一个新字母，把问题转化为新字母的问题求解．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．2．符号法则：分式的分子、分母及分式本身，随意变更其中两个符号，分式的值不变；若只变更其中一个符号或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数．练习设计请完成本课时对应练习！。

专题10 分式章末重难点题型【举一反三】【人教版】【考点1 分式及最简分式的概念】 【方法点拨】1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2. 最简分式:若分式的分子和分母没有公因式，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简 分式.【例1】（2019秋•泰安期中）下列各式2a b -，3x x +，5y π+，a b a b +-，1()x y m -，xyx中，分式的个数共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式． 【答案】解：由题可得，是分式的有：，，（x ﹣y ），，共4个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．【变式1-1】（2018春•沈北校级期中）代数式2232212124513,(2),,,,2,,,3123213x x x x a x x a a x m t x x b x x aπ-+++-++---中分式的个数为( ) A ．6个B ．5个C ．1个D ．3个【分析】根据分式的定义，可得答案． 【答案】解：代数式、、、、、的分母中含有字母，属于分式，共有6个． 故选：A ．【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母．【变式1-2】（2019春•温江区期末）下列分式2410xyx ，22a b a b ++，22x y x y -+，221a a a +-最简分式的个数有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】直接利用分式的基本性质化简得出答案． 【答案】解：＝，，＝x ﹣y ，＝＝，故只有是最简分式．故选：D ．【点睛】此题主要考查了最简分式，正确化简分式是解题关键．【变式1-3】（2018秋•任城区期中）下列分式23bcab c-，2242x x x --，2222x xy xy y +-，211m m ++中，最简分式有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据最简分式的定义，逐个判断即可得结论． 【答案】解：∵＝，故A 不是最简分式；＝＝，故B 不是最简分式；＝，故C 是最简分式；分式的分子分母没有公因式，故D 最是简分式．故选：B ．【点睛】本题考查了最简分式的判断，掌握最简分式的定义是解决本题的关键．【考点2 分式有意义条件】【方法点拨】分式有意义的条件：分母不等于0.【例2】（2019秋•夏津县校级月考）x取何值时，下列分式有意义：（1）2 23 xx+-（2）6(3) ||12 xx+-（3）26 1x x ++．【分析】（1）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（2）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案；（3）根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．【答案】解：（1）要使有意义，得2x﹣3≠0．解得x≠，当x≠时，有意义；（2）要使有意义，得|x|﹣12≠0．解得x≠±12，当x≠±12时，有意义；（3）要使有意义，得x2+1≠0．x为任意实数，有意义．【点睛】本题考查了分式有意义，分式的分母不为零分式有意义．【变式2-1】下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义．（1）21mm+-；（2）123xx+-；（3）211xx--；（4）293xx--．【分析】（1）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（2）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（3）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可；（4）利用分式有意义的条件是分母不等于零，进而求出即可．【答案】解：（1）m﹣1≠0时，分式有意义，故m≠1；（2）2﹣3x≠0时，分式有意义，故x≠；（3）x﹣1≠0时，分式有意义，故x≠1；（4）x﹣3≠0时，分式有意义，故x≠3．【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于零求出是解题关键．【变式2-2】（2019秋•夏津县校级月考）若分式1324x xx x++÷++有意义，求x的取值范围．【分析】先把除法化为乘法，再根据分式有意义的条件即可得到结果．【答案】解：∵，∴x+2≠0且x+4≠0且x+3≠0解得x≠﹣2、﹣3、﹣4．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是注意分式所有的分母部分均不能为0，分式才有意义．【变式2-3】（2018秋•宜都市期末）若式子2131xy+-无意义，求代数式2()()y x y x x+-+的值．【分析】根据式子无意义可确定y的值，再化简代数式（y+x）（y﹣x）+x2，最后代入求值．【答案】解：∵式子无意义，∴3y﹣1＝0，解得y＝，原式＝y2﹣x2+x2＝y2＝（）2 ＝．【点睛】本题考查了分式无意义的条件和多项式的化简求值．当分母等于0时，分式无意义． 【考点3 分式值为0的条件】【方法点拨】满足分式的值为0的条件：分子为0分母不为0.【例3】（2018秋•大荔县期末）如果分式2122x x -+的值为0，求x 的值是多少？【分析】根据分式值．为0的条件：分子为0，分母不为0，求出x 的值即可 【答案】解：依题意得：x 2﹣1＝0且2x +2≠0， 解得x ＝1， 即分式的值为0时，x 的值是1．【点睛】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及分式值为零的条件，做题时注意分母不为0的条件．【变式3-1】（2019秋•东莞市校级期中）当a 取何值时，分式3||62a a-+的值为零． 【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【答案】解：由分式的值为零，得3﹣|a |＝0，且6+2a ≠0． 解得a ＝3， 当a ＝3时，分式的值为零．【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．【变式3-2】（2019秋•北湖区校级月考）当x 取何值时，分式2(3)(2)9x x x +--（1）有意义；（2）分式的值为0．【分析】（1）分式有意义，分母不为零；（2）分式的值为零时，分子为零，但是分母不为零． 【答案】解：（1）根据题意，得 x 2﹣9≠0，解得，x ≠±3， 即当x ≠±3时，分式有意义；（2）根据题意，得（x +3）（x ﹣2）＝0，且x 2﹣9≠0， 解得，x ＝2， 即当x ＝2时，分式的值为零． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件、分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式3-3】对于分式23x a ba b x++-+，当1x =时，分式的值为零，当2x =-时，分式无意义，试求a 、b 的值．【分析】根据分式的值为零的条件为0的条件可得1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0，根据分式无意义的条件可得a ﹣2b ﹣6＝0，两者联立可求a 、b 的值． 【答案】解：∵分式，当x ＝1时，分式的值为零，∴1+a +b ＝0且a ﹣2b +3≠0， 当x ＝﹣2时，分式无意义， ∴a ﹣2b ﹣6＝0， 联立可得，解得．故a 的值是、b 的值是﹣．【点睛】此题主要考查了分式无意义的条件和分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【考点4 分式的基本性质】【方法点拨】分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变.【例4】（2019春•稷山县期末）若A ，B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是( )A ．(A A E E B B E=g g 为整式） B ．(A A E E B B E+=+为整式）C ．22(1)(1)A A x B B x +=+g gD ．22(1)(1)A A xB B x +=+g g【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【答案】解：A ．E 可能为0，故不成立； B ．不符合分式性质，故错误； C ．（x +1）2≥0，故错误； D ．x 2+1＞0，故正确． 故选：D ．【点睛】本题考查了分式的性质，正确理解分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键，【变式4-1】（2019秋•龙口市期中）下列各式从左到右变形正确的是( ) A ．0.220.22a b a ba b a b++=++B ．231843214332x yx y x y x y ++=--C ．n n am m a -=- D ．221a b a b a b+=++ 【分析】根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【答案】解：A ．分式的分子和分母同时乘以10，应得，即A 不正确，B .，故选项B 正确，C ．分式的分子和分母同时减去一个数，与原分式不相等，即C 项不合题意，D .不能化简，故选项D 不正确．故选：B ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式4-2】（2019秋•大名县期中）下列各式中，正确的是( )A ．3355x xy y--=- B ．a b a bc c+-+-=C ．a b a bc c---=D ．a ab a a b-=-- 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：（A ）原式＝，故选项A 错误；（B ）原式＝，故选项B 错误； （C ）原式＝，故选项C 错误；故选：D ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【变式4-3】（2018秋•奉贤区期末）若分式22xyx y+中的x ，y 的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值( )A ．扩大到原来的4倍B ．扩大到原来的2倍C ．不变D ．缩小到原来的12【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【答案】解：＝，故选：C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 【考点5 利用分数的基本性质求值】 【例5】若a 、b 都是正实数，且112a b a b-=+，求22ab a b -的值． 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后得到一个关系式，代入所求式子中计算即可求出值． 【答案】解：∵﹣＝＝，∴﹣（a ﹣b ）（a +b ）＝2ab ，即a 2﹣b 2＝﹣2ab ， 则＝＝﹣．【点睛】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．【变式5-1】（2019春•禅城区校级月考）已知：0234x y z==≠，求代数式2x y z x y z +-++的值． 【分析】设t ＝，则x 、y 、z 可以用同一个字母来表示，然后将其代入代数式，然后将代数式化简即可． 【答案】解：设t ＝，则x ＝2t ① y ＝3t ② z ＝4t ③将①②③代入代数式，得 ＝＝， 所以，代数式的值是．【点睛】本题体现了转化思想，将未知数x 、y 、z 转化为含有相同字母的量，然后代入所求代数式，只要将代数式化简即可．【变式5-2】（2019秋•高唐县期末）已知113a b-=，求分式232a ab ba ab b +---的值．（提示：分式的分子与分母同除以)ab ．【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以ab ，分式的值不变，再把换成3计算即可．【答案】解：分式的分子分母都除以ab ，得＝＝，∵＝3， ∴＝﹣3，所以原式＝＝．【点睛】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以ab ，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口．【变式5-3】已知实数a 满足2310a a -+=，求下列各式的值： （1）21()a a+的值；（2）221a a +； （3）441a a +的值； （4）225121a a a a ++-+的值．【分析】（1）已知等式两边除以a ，求出a +的值，即可确定出原式的值； （2）原式利用完全平方公式变形，把a +的值代入计算即可求出值； （3）原式利用完全平方公式变形，把（2）结论代入计算即可求出值； （4）把已知等式变形后代入计算即可求出值． 【答案】解：（1）已知等式变形得：a +＝3， 则原式＝9；（2）原式＝（a +）2﹣2＝9﹣2＝7； （3）原式＝（a 2+）2﹣2＝49﹣2＝47；（4）由a 2﹣3a +1＝0，得到a 2＝3a ﹣1， 则原式＝＝8．【点睛】此题考查了分式方程混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【考点6 分式的化简求值】【例6】（2019春•潜山市期末）先化简，再求值：2292(3)693x x x x x x -+--+++，其中1x =-．【分析】根据分式的加法和减法可以化简题目中的式子，然后将x ＝﹣1代入化简后的式子即可解答本题． 【答案】解：+（x ﹣3﹣）＝＝＝＝＝＝x ﹣4， 当x ＝﹣1时，原式＝﹣1﹣4＝﹣5．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式6-1】（2019春•合肥期末）先化简，再求值：3(2)(1)2m m m ++÷+-．其中﹣2≤m ≤2且m 为整数，请你从中选取一个喜欢的数代入求值．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣2≤m ≤2且m 为整数中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．【答案】解：（m +2+）÷（m +1） ＝＝＝＝， ∵﹣2≤m ≤2且m 为整数，∴当m ＝0时，原式＝＝．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【变式6-2】（2019春•卫辉市期末）先化简：223626699a a a a a a +-+++-g ，然后从﹣3≤a ≤3的范围内选取一个合适的整数作为a 的值代入求值．【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件找出a 的值代入原式即可求出答案．【答案】解：•+ ＝×… ＝＝∵a≠±3，0∴取a＝1，原式＝＝2【点睛】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于中等题型．【变式6-3】（2018秋•长安区校级月考）（1）先化简：2344(1)11a aaa a-+-+÷++，并从0，1-，2中选一个合适的数，作为a的值代入求值．（2）先化简后求值：2221412211a aa a a a--÷+-+-g，其中a满足20a a-=．【分析】（1）根据分式的混合计算的法则进行计算，先算括号内的，除以一个数等于乘以这个数的倒数，分式乘法先约分，再相乘，x只能取0，而不能取﹣1，2，应注意．（2）先将各自的分子、分母进行因式分解，再转化为乘法，约分后，整体代入即可求出结果．【答案】解：（1）＝（﹣）×＝×＝；∵x≠﹣1，x≠2，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝1．（2）＝××＝（a﹣2）（a+1）＝a2﹣a﹣2；当a2﹣a＝0时，原式＝﹣2．【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握计算法则、熟练进行分解因式是解题的关键．【考点7 解分式方程】【方法点拨】分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③检验(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).【例7】（2019秋•武冈市期中）解方程：（1）3222x x x --=-- （2）22510111x x x -+=+-- 【分析】（1）根据解分式方程的过程进行计算即可；（2）先确定公分母，再进行计算即可．【答案】解：（1）3﹣2（x ﹣2）＝﹣x解得x ＝7经检验：x ＝7是原方程的根∴原方程的解是x ＝7．（2）2（1﹣x ）+5（1+x ）＝10解得x ＝1检验：把x ＝1代入到（x +1）（x ﹣1）中，得：（1+1）×（1﹣1）＝0∴原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是解分式方程要进行验根．【变式7-1】（2019秋•临淄区期中）解分式方程（1）22411x x =-- （2）2113222x x x x+=++ 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：2x +2＝4，解得：x ＝1，经检验x ＝1是增根，分式方程无解；（2）去分母得：x +x +2＝32，经检验x ＝15是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式7-2】（2019秋•岱岳区期中）解方程：（1）31144x x x --=-- （2）213242x x x=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）去分母得：3﹣x +1＝x ﹣4，解得：x ＝4，经检验x ＝4是增根，分式方程无解；（2）去分母得：4x ＝6x ﹣12﹣1，解得：x ＝6.5，经检验x ＝6.5是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【变式7-3】（2019秋•泰安期中）解下列分式方程：（1）2214111x x x +=+-- （2）29472393x x x x +-=+-- 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【答案】解：（1）方程两边同乘（x +1）（x ﹣1）得：2（x ﹣1）﹣（x +1）＝4，去括号得：2x ﹣2﹣x ﹣1＝4，解得：x ＝7，检验：当x ＝7时，（x +1）（x ﹣1）≠0，∴x ＝7是原方程的解；（2）方程两边同乘3（x ﹣3）得：2x +9＝3（4x ﹣7）+6（x ﹣3）检验：当x ＝3时，3（x ﹣3）＝0，∴x ＝3是原方程的增根∴原方程无解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．【考点8 分式方程的增根】【例8】（2019•大城县一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--． （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？【分析】（1）把？＝5代入方程，进而利用解分式方程的方法解答即可；（2）设？为m ，利用分式方程的增根解答即可．【答案】解：（1）方程两边同时乘以（x ﹣2）得5+3（x ﹣2）＝﹣1解得x ＝0经检验，x ＝0是原分式方程的解．（2）设？为m ，方程两边同时乘以（x ﹣2）得m +3（x ﹣2）＝﹣1由于x ＝2是原分式方程的增根，所以把x ＝2代入上面的等式得m +3（2﹣2）＝﹣1，m ＝﹣1所以，原分式方程中“？”代表的数是﹣1．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【变式8-1】（2018春•安岳县期末）关于x 的方程：12111ax x x+-=--． （1）当3a =时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求a 的值．【分析】（1）把a 的值代入分式方程，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值．【答案】解：（1）当a ＝3时，原方程为﹣＝1，方程两边同时乘以（x ﹣1）得：3x +1+2＝x ﹣1，解这个整式方程得：x ＝﹣2，检验：将x ＝﹣2代入x ﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x ＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x ﹣1）得ax +1+2＝x ﹣1，若原方程有增根，则x ﹣1＝0，解得：x ＝1，将x ＝1代入整式方程得：a +1+2＝0，解得：a ＝﹣3．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式8-2】（2018春•洛宁县期中）m 为何值时，关于x 的方程223242mx x x x +=--+会产生增根？ 【分析】先去分母得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，由于关于x 的方程+＝会产生增根，则（x +2）（x ﹣2）＝0，解得x ＝﹣2 或x ＝2，然后把x ＝﹣2 和x ＝2分别代入（m ﹣1）x +10＝0即可得到m 的值． 【答案】解：原方程化为+＝，方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣2）得2（x +2）+mx ＝3（x ﹣2），整理得（m ﹣1）x +10＝0，∵关于x 的方程 +＝会产生增根，∴（x +2）（x ﹣2）＝0，∴x ＝﹣2 或x ＝2，∴当x ＝﹣2时，（m ﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m ＝6，当x ＝2时，（m ﹣1）×2+10＝0，解得m ＝﹣4，∴m ＝﹣4或m ＝6时，原方程会产生增根．【点睛】本题考查了分式方程的增根：先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根．【变式8-3】（2018秋•克东县期末）若关于x的方程322133x mxx x---=---无解，求m的值．【分析】方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解可得m﹣1＝0或将x＝3代入整式方程，即可求出m的值．【答案】解：去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝﹣x+3，整理得：（m﹣1）x＝2，当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；当m﹣1≠0时，x﹣3＝0，即x＝3时，方程无解，此时＝3，即m＝，所以m＝1或m＝．【点睛】此题考查了分式方程的解，分式方程的解即为能使分式方程左右两边相等的未知数的值，且分式方程分母不为0．【考点9 分式方程的应用之行程问题】【例9】（2019秋•正定县期中）A市到B市的距离约为210km，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从A 市去B市．小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达B市，已知小轿车的速度是大货车速度的1.5倍．（1）求小轿车和大货车的速度各是多少．（列方程解答）（2）当小刘出发时，求小张离B市还有多远．【分析】（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，根据时间＝路程÷速度结合小轿车比大货车少用1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）根据小张离B市的距离＝A，B两市间的距离﹣小张的速度×小张出发的时间，即可求出结论．【答案】解：（1）设大货车的速度为x千米/小时，则小轿车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：﹣＝1，解得：x＝70，经检验，x＝70是原方程的解，且符合题意，∴1.5x＝105．答：大货车的速度为70千米/小时，小轿车的速度为105千米/小时．（2）210﹣70×1＝140（千米）．答：当小刘出发时，小张离B市还有140千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式9-1】（2019•云南模拟）在“要致富先修路”的思想指导下，近几年云南的交通有了快速的变化，特别是“高铁网络”延伸到云南以后，许多地区的经济和旅游发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．假期里小明和爸爸从昆明到某地去旅游，从昆明到该地乘汽车行驶的路程约为800km，高铁列车比汽车行驶的路程少50km，高铁列车比汽车行驶的时间少5h．已知高铁列车的平均时速是汽车平均时速的2.5倍，求高铁列车的平均时速．【分析】设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，根据时间＝路程÷速度结合高铁列车比汽车行驶的时间少5h，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【答案】解：设汽车的平均时速为xkm/h，则高铁列车的平均时速为2.5xkm/h，依题意，得：﹣＝5，解得：x＝100，经检验，x＝100是原分式方程的解，且符合题意，∴2.5x＝250．答：高铁列车的平均时速为250km/h．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式9-2】（2019•宜宾）甲、乙两辆货车分别从A、B两城同时沿高速公路向C城运送货物．已知A、C 两城相距450千米，B、C两城的路程为440千米，甲车比乙车的速度快10千米/小时，甲车比乙车早半小时到达C城．求两车的速度．【分析】设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时，路程知道，且甲车比乙车早半小时到达C城，以时间做为等量关系列方程求解．【答案】解：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时．根据题意，得：+＝，解得：x＝80，或x＝﹣110（舍去），∴x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．当x＝80时，x+10＝90．答：甲车的速度为90千米/时，乙车的速度为80千米/时．【点睛】本题考查分式方程的应用、分式方程的解法，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．根据时间＝，列方程求解．【变式9-3】（2019•高淳区二模）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3200米．甲同学先步行200米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的13，公交车的速度是乙骑自行车速度的3倍．甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到8分钟．（1）求乙骑自行车的速度；（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？【分析】（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，根据题意列方程即可得到结论；（2）8×200＝1600米即可得到结果．【答案】解：（1）设乙骑自行车的速度为xm/min，则公交车的速度是3xm/min，甲步行速度是xm/min，由题意得：﹣8＝+．解得x＝200．经检验x＝200原方程的解答：乙骑自行车的速度为200m/min．（2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行8分钟，所以8×200＝1600（m）．答：乙同学离学校还有1600m．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，根据题意得到甲的运动速度是解题关键．【考点10 分式方程的应用之工程问题】【例10】（2019秋•滦州市期中）列方程解应用题某工程队修建一条1200m的道路，由于施工过程中采用了新技术，所以工作效率提高了50%，结果提前4天完成任务．（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？（2）这项工程，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际的工作效率比原计划增加百分之几？【分析】（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前2天完成任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【答案】解：（1）设这个工程队原计划每天修建道路x米，则实际每天修建道路（1+50%）x米，依题意，得：﹣＝4，解得：x＝100，经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意．答：这个工程队原计划每天修建道路100米．（2）设实际的工作效率比原计划增加的百分比为y，依题意，得：﹣＝2，解得：y＝0.2＝20%．经检验，y＝20%是原方程的解，且符合题意．答：实际的工作效率比原计划增加20%．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键【变式10-1】（2018秋•徽县期末）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，根据甲队完成的工作量+乙队完成的工作量＝总工作量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由（1）可求出甲、乙单独施工所需天数，再利用两队合作完工所需时间＝总工作量÷（甲队一天完成的工作量+乙队一天完成的工作量），即可求出结论．【答案】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，依题意，得：+＝1，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．答：这项工程的规定时间是30天．（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，1÷（+）＝18（天）．答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式10-2】（2018秋•江北区期末）在我市区某中学美化校园招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙合做12天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天，需付工程款2万元．若该工程计划在35天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出结论；（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，根据甲完成的部分+乙完成的部分＝总工程量（单位1），即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再分别求出甲队单独完成以及甲、乙两队全程合作完成该工程所需费用，比较后即可得出结论．【答案】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，依题意，得：+＝1，解得：x＝45，经检验，x＝45是所列分式方程的解，且符合题意．答：乙队单独完成这项工程需要45天．（2）设甲、乙两队全程合作需要y天完成该工程，依题意，得：+＝1，解得：y＝18．。

分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现.有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难.所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题.以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2，求x 2+21x的值. 分析：用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式. 解： 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2•x•x 1 =4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222n mn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222c b a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了. 解：设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241aa a ++=24a a +22a a +21a =a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值.这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制.所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义.（2）尽量找整数，利于求值计算.解：令x=2代入已知等式得， y=6把x=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+原式=4028 =-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活.。

分 式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。

BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。

（对于任BA何一个分式，分母不为0。

如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

分式：分母中含有字母。

整式：分母中没有字母。

而代数式则包含分式和整式。

）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。

（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。

）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。

二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。

(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。

八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子 叫做分式。

分式 中，A 叫做分子，B 叫做分母。

2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式 才有意义。

3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

即： 其中A,B,C 是整式。

4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。

经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。

即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。

分式有意义的条件及基本性质1. 分式有意义的条件分式有意义的条件：分式的分母不等于零。

分式的值为零的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0。

这两个条件缺一不可。

2. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除）以同一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为：C B C A B A ⋅⋅=，CB C A B A ÷÷=，()0≠C ，其中A 、B 、C 都是整式。

注意条件：①C 是一个不等于0的整式，如14121212-+=-x x x ，其中必须满足012≠+x ； ②要深刻理解“都”“同一个”两个关键的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； ③若分式的分子或分母是多项式，要先用括号把分子或分母括上，再乘（或除）以同一整式C ； ④分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

3. 分式的约分、通分例题1 若分式11-+x x 的值为零，则x 的值为________。

解析：分式的值为零的条件是：（1）分子＝0；（2）分母不等于零；两个条件需要同时具备，缺一不可，从而可以解答本题。

答案：解：101-=+x x 则10x -=，即1x =±， 且10x +≠，即1x ≠-， 故x ＝1。

所以若分式11-+x x 的值为零，则x 的值为1。

点拨：本题考查了分式值为零的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零。

例题2 22411241111--+++---+a a a a a ＝_____________。

解析：先将前两个分式通分，将所得的结果再与后面的式子通分，依次计算即可。

答案：解：原式＝22411241111---+-++a a a a a2224224468224111441181-=---++-=--+=--aa a a aaa a aa点拨：本题考查了通分，解决此题的关键是找到各分母的最简公分母。