第1章 纠错码的基本概念
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纠错码原理与方法
纠错码原理与方法纠错码是一种通过特定算法和编码方式，可以在数据传输过程中检测和纠正错误的技术。
它广泛应用于通信、存储、数字电视和计算机存储介质等领域，在保证数据完整性和可靠性的同时，提高了数据传输的效率。
本文将重点介绍纠错码的原理和方法。
一、纠错码的原理在数据传输过程中，由于信号传输过程中会受到干扰和噪声的影响，从而导致数据出现错误。
为保证数据的完整性和可靠性，需要引入纠错码技术进行校验和纠正。
纠错码的原理主要是通过添加冗余信息，对原始数据进行编码，从而在数据传输过程中进行误差检测和纠正。
二、纠错码的方法目前，常用的纠错码方法主要包括海明码、码距、循环冗余检验码(CRC)和卷积码等。
不同的方法在实际应用中表现各异，根据具体需求和数据特征选择适合的纠错码方法。
1. 海明码海明码是最早被广泛应用的纠错码方法之一，它通过将原始数据进行重复编码，添加奇偶校验位，从而实现了数据的纠错和检测。
海明码的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行二进制编码。
(2) 确定每个校验位控制的数据位，根据数据位反转次数的奇偶性确定校验位的值。
(3) 计算每个数据位和相应的校验位的奇偶性并组成一个编码。
(4) 将编码中出现错误的位置进行纠正。
2. 码距码距是另一种常用的纠错码方法，它通过在编码中保持相邻状态之间的距离，从而在数据传输过程中实现检测和纠正。
码距的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 将原始数据进行编码。
(2) 确定编码之间的距离，当两个编码之间的距离超过指定的阈值时，可以检测和纠正数据的错误。
3. CRCCRC是一种不可逆的编码方式，它通过采用多项式除法的方法，对数据进行编码和校验。
它的实现过程主要包括以下几个步骤：(1) 选择一个固定的生成多项式，对原始数据进行除法运算，得到余数。
(2) 将余数追加到原始数据之后，形成校验码。
(3) 在数据传输过程中，对校验码进行取模运算，如果余数为0，则数据没有错误，否则存在错误，需要进行纠正。
《纠错码概述》课件
03
常见的纠错码技术
奇偶校验码
总结词
简单但可靠性较低
详细描述
奇偶校验码是一种简单的错误检测和纠正方法，通过在数据中添加校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的 个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。这种方法简单易行，但只能检测到一位错误，且无法纠正错误。
海明码
总结词
具有中等可靠性和实现复杂度
详细描述
词
度。
优化解码算法，降低其
详 细
计算复杂度和实现难度
描
，提高解码速度。
述
在解码过程中，采用多 径传播抑制技术，减少 多径干扰对解码的影响
。
1. 降低 复杂
度
解码算法的优化主要包 括以下几个方面
2. 改进 迭代 算法
通过改进迭代算法的收 敛速度和稳定性，提高
解码准确率。
3. 多径 传播 抑制
硬件实现优化
常见的纠错码编码方式有奇偶校验、 海明码、循环冗余校验（CRC）等。
纠错码的解码原理
纠错码解码是在接收端收到编码数据后，根据预先设定的解码算法，对接收到的 数据进行解码，以检测和纠正传输过程中产生的错误。
解码算法通常基于一定的数学原理，如代数、概率统计等，通过特定的计算方法 实现错误检测和纠正。
纠错码的性能指标
软件实现方式
通用软件实现
使用通用的编程语言（如C、C、Python等 ）来实现纠错码的编码和解码过程。这种方 式具有较低的成本和较好的跨平台性，适用 于对成本和灵活性要求较高的场景。
专用软件实现
针对特定的纠错码算法，使用专用的软件库 或工具来实现编码和解码过程。这种方式具 有较高的性能和效率，适用于对性能要求较
纠错能力
编码效率
纠错码 原理与方法
纠错码原理与方法纠错码是一种用于数据传输和存储中的错误检测和纠正技术，它可以在数据传输或存储过程中检测出错误并纠正它们，保证数据的完整性和准确性。
纠错码广泛应用于通信、存储系统以及各种数字设备中，是保障数据可靠性的重要手段。
本文将介绍纠错码的原理和常见的纠错方法。
首先，我们来了解一下纠错码的原理。
纠错码是通过在数据中添加冗余信息来实现错误检测和纠正的。
在数据传输或存储过程中，发送端会对原始数据进行处理，生成一定的冗余信息，并将原始数据和冗余信息一起发送或存储。
接收端在接收到数据后，会对接收到的数据进行解码，利用冗余信息进行错误检测和纠正。
通过对比原始数据和冗余信息，接收端可以判断出数据是否存在错误，并进行相应的纠正操作。
这种基于冗余信息的错误检测和纠正技术，就是纠错码的基本原理。
其次，我们来介绍一些常见的纠错方法。
常见的纠错码包括海明码、RS码、BCH码等。
海明码是最早被广泛应用的一种纠错码，它通过在数据中添加校验位来实现错误检测和纠正。
RS码是一种广泛应用于光盘存储系统中的纠错码，它通过在数据中添加多项式编码来实现错误检测和纠正。
BCH码是一种应用广泛的纠错码，它通过在数据中添加有限域上的线性块码来实现错误检测和纠正。
这些纠错方法在不同的应用场景中都有着重要的作用，可以根据具体的需求选择合适的纠错码来保障数据的可靠性。
除了以上介绍的常见纠错方法，还有一些新型的纠错码正在不断被提出和研究，如LDPC码、Turbo码等。
这些新型纠错码在一定程度上提高了纠错性能和编码效率，为数据传输和存储领域带来了新的发展机遇。
总之，纠错码作为一种重要的错误检测和纠正技术，在数据传输和存储中具有着不可替代的作用。
通过对纠错码的原理和常见的纠错方法进行了解，可以更好地理解纠错码的工作原理和应用场景，为数据的可靠性提供保障。
希望本文对读者对纠错码有所帮助，谢谢阅读！。
纠错码
查错、纠错后的代码
=1
P1 Y0 Y1
=1
P2 Y2 A
=1
B1 Y3
=1
P3 Y4 B
=1
B2 Y5
=1
B3 Y6 C
=1
B4 Y7
74LS138
G1
G2
G3
P1
P2
B1
P3
B2
B3
B4
查错、纠错前的代码
（2）循环码（CRC） 是一种建立在模2运算的编码规律的校验码，它可以 通过模2运算来建立有效信息和校验位之间的约定关 系，即要求N=K+R位的某数能被某一约定的除数除尽。 设待编码的有效信息以多项式M(x)表示，用约定 的一个多项式G(x)去除，可用以下式子表示： M(x) =Q(x)G(x)+R(x) M(x)+R(x)=Q(x)G (x) 因而可将M(x)+R(x)作为编好的码送目标部件，若在 目标部件中能除约定的G(x)余数为0，表明数据传送 正确。若不是表明有错误，再进一步确定哪一位错。
P1
P2
B1
P3 Y
B2 Y
B3 Y
B4 Y
指 无 误 错 字 误
G3 0
出错位
1 2 3 4 5 6 7
第三 组 第二 组 第一 组 Y Y Y
0
0
0
1
1
1
1
Y
Y
G2
0
0
1
1
0
0
1
1
Y
Y
Y
G1
0
1
0
1
0
1
0
1
例 :B1B1B3B4=1011 ， P1=0 ， P2=1 ， P3=0 组 成 的 海 明 码
纠错码——原理与方法
二进制信道
二进制信道
DMC信道
DMC信道
二进制删除信道
二进制删除信道
二进制纯删除信道
二进制纯删除信道
错误类型
随机错误——随机错误信道：深空信道，卫星信 道等 突发错误——突发错误信道：无线信道，电缆传 输（开关脉冲噪声，串音），磁记录信道 混合错误——混合信道
差错控制系统分类
发
FEC
可纠正错误的码
Shannon第二定理
当信息速率R小于信道容量C时，总存在 一种编码方式使差错率低于任一给定值e
接近信道容量
重复码
00…00 许用码字 11…11 若将每个比特重复n次，则构成一个码长为 n，信息位长度为1的(n,1)重复码,且编码效 率(码率)R=1/n
n=2时
许用码组：00，11
禁用码组：01，10 能够发现一个错误，但不能纠正错误 n=3时 许用码组：000，111 禁用码组：001, 010, 100, 011, 101, 110
收
发 能够发现错误的码 收 ARQ
应答信号
发
能够发现和纠正错误的码
收
HEC 应答信号
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
纠错码的基本原理
——纠错码如何纠正错误？
引入信道编码 检错和纠错：对付信道引入的差错
直观的译码准则：最小距离译码
信道编码：从消息到信道波形或矢量的映射
消息集中 一个元素
信道波形 空间中的 一个点
失真后 的波形
恢复的 消息
信源 编码
信道 编码
消息到波 形的映射
信道
信道 译码
判断是消 息集中的 哪个元素
第一章 纠错编码基本概念
5.根据码的结构特点来分类 根据码的结构特点的不同，可以将纠错 码分为循环码、非循环码、系统码和完备 码等。 6.根据对每个信息元保护能力是否相等来分类 根据对每个信息元保护能力是否相等 来分可分为等保护纠错码与不等保护（UEP） 纠错码。
图1-2 纠错码的分类示意图
1.3纠错编码的基本概念
定义1 码字是一些符号的序列。 定义2 码是称为码字（codeword）的向量的 集合。 定义3 一个码字（或任何向量）的汉明重量 （Hamming Weight）等于该码字中的非零元 素的个数。码字c的汉明重量记为w(c)。两 个码字之间的汉明距离（Hamming Distance） 是码字不相同的位置数目。两个码字c1和c2 之间的汉明距离记为d (c1 , c2 )。容易看出d (c1 , c2 )= w(c1 - c2 )。
(cn 1,, c1, c0 )或 (c0 , c1 , cn1 )， 定义8 设发码C：
( r , , r , r ) n 1 1 0 收码R： 或
(r0 , r1 , rn1 )
，
则定义信道的错误图样为 (en1 ,, e1 , e0 ) 或， (e0 , e1 , en1 ) E： 其中
可以把纠错编码（即差错控制编 码）看成是为提高通信系统的性能而 设计的信号变换，其目的是提高通信 的可靠性，使传输的消息更好地抵抗 各种信道损伤的影响，如噪声、干扰、 以及衰落等。
1.2纠错编码的分类
1.2.1差错控制编码的分类
1.2.2差错控制系统分类 1.2.3纠错编码的分类
1.2.1差错控制编码的分类
1.1纠错编码的理论基础
通信的目的是要把消息及时可靠地传送 给对方。 若要求快速，则必然使得每个数据码元 所占的时间缩短、波形变窄、能量减少，从 而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传 送消息的可靠性减低。 若要求可靠，则使得传送消息的速率变 慢。 在数字通信系统中可靠与快速往往是一 对矛盾。 通信理论本身(包括纠错码)也正是在解决 这对矛盾中不断发展起来的。
纠错码和检错码
纠错码和检错码纠错码和检错码2010-11-05 08：47 A.M.一、常用检错码(1)寄偶校验码寄偶校验码是一种最简单的校验码，其编码规则：先将所要要传送的数据码元分组，并在每组的数据后面附加一位冗余位即校验位，使该组包括冗余位在内的数据码元中"1"的个数保持为奇数(奇校验)或偶数(偶校验)。
在接收端按照同样的规则检查，如发现不符，说明有错误发生；只有"1"的个数仍然符合原定的规律时，认为传输正确。
实际数据传输中所采用的寄偶校验码分为垂直奇偶校验、水平奇偶校验和水平垂直奇偶校验三种。
垂直奇偶校验是一字符为单位的校验方法。
例如，传输数据信息为"1010001"，采用偶校验时，附加位为"1"，则发送信息变为"10100011"；采用奇校验时，附加位为"0"，发送信息变为"10100010"；(2)循环冗余校验码(CRC)循环冗余校验码CRC(Cyclic Redundancy Code)采用一种多项式的编码方法。
把要发送的数据位串看成是系数只能为"1"或为"0"的多项式。
一个k位的数据块可以看成Xk-1到X0的k项多项式的系数序列。
例如，"110001"有6位，表示多项式是"X5+X4+1"。
多项式的运算是模2运算。
采用CRC码时，发方和收方必须事先约定一个生成多项式G(X)，并且G(X)的最高位和最低必须是1。
要计算m位数据块的M(X)的校验和，生成多项式必须比该多项式短。
其基本思想是：将校验和附加在该数据块的末尾，使这个带校验和的多项式能被G(X)除尽。
当接收方收到带校验和的数据块时，用G(X)去除它，如果有余数，则传输有错误。
二、纠错码纠错码与检错码相比其功能更强，它不但能检错还能纠错。
计算机网络应用 纠错码
计算机网络应用纠错码纠错码（error-correcting code）是指在传输的数据信号中增加冗余码，以便发现数据信号中的错误码，并自动纠正这些错误码的一种方法。
1．海明码纠错码一般是海明码，其主要用于错误发生频繁的信道上，如无线链路。
另外，它不能依靠重传来解决问题，因为重传的数据块本身也可能是错误的。
海明码是奇偶校验的一种扩充，它采用多位校验码的方式。
在这些校验位中的每一位都对不同的信息数据位进行奇偶校验，通过合理地安排每个校验位对原始数据进行校验位组合，可以达到发现错误，纠正错误的目的。
例如，给定一帧包括m个数据位和r个冗余位或者校验位。
设其整个长度为n（即n=m+r），则此长度为n的单元通常被称做n位码字。
若给出其中的任意两个码字，如10001001和10110001，可以确定它们有多少个不同的对应位。
为了确定有多少位不同，只需对两个码字做异或（XOR）运算，然后计算结果中“1”的个数，即不同位的个数。
其计算方法为：10001001XOR1011000100111000从计算结果中，我们可以看到“1”的个数为3，也就是说其有3个不同的对应位。
而在海明码中规定两个码字（Code word）中不同位的个数称为“海明距离”。
一个码的海明距离是所有不同码字的海明距离的最小值。
海明码的重要作用在于，假如两个码字间的海明距离为d，则需要d个1位差错才能将其中一个码字转换成另一个。
海明距离能够决定一种编码的校验和纠错能力。
为检测出d比特错误，需要使用一个距离为d+1的编码方案，因为在这样的编码方案中，d个1位错误不可能将一个有效的码字转变成另一个有效的码字。
当接收方看到无效的码字，它就能明白发生传输错误。
同样，为了纠正d比特错误，必须使用距离为2d+1的编码方案，因为在这样的编码方案中，合法码字之间的距离足够远，即使发生了d位变化，这个发生了变化的码字仍然比其它码字都接近原始码字。
海明码是一种可以纠正一位差错的编码。
第一章纠错码基本概念
第一章 纠错码的基本概念 图 1 - 10 差错控制的基本方式
第一章 纠错码的基本概念
二、 纠错码的分类
上述各种差错控制系统中所用到的码，不外乎是能在译 码器自动发现错误的检错码，或者不仅能发现错误而且能自动 纠正错误的纠错码，或者能纠正删除错误的纠删码。但这三类 码之间没有明显区分，以后将看到，任何一类码，按照译码方 法不同， 均可作为检错码、 纠错码或纠删码来使用。
ARQ方式的优点是：
编译码设备简单；在一定的多余度码元下，检错码的检错能力 比纠错码的纠错能力要高得多，因而整个系统的纠错能力极强； 由于检错码的检错能力与信道干扰的变化基本无关，因此这种 系统的适应性很强，如短波、散射等干扰情况复杂的信道中。
第一章 纠错码的基本概念
(2) 前向纠错方式(FEC)
但由于实际信道干扰的复杂性，所引起的错误往往不是单纯的 一种，而是两种错误形式并存，只不过有的信道以某种错误形 式为主。
第一章 纠错码的基本概念
像这种随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复合 信道。作为检错与纠错用的抗干扰码，必须针对这几类信道， 设计能纠正随机错误或纠正突发错误的码，或者设计既能纠正 随机错误又能纠正突发错误的码。 克服突发错误有效的办法：级联交织
发送端发送能够被纠错的码，接收端收到这些码后，通过纠 错译码器不仅能自动地发现错误， 而且能自动地纠正接收 码字传输中的错误。
优点是不需要反馈信道，能进行一个用户对多个用户的同播 通信，译码实时性较好，控制电路比ARQ的简单。
缺点是译码设备复杂，所选用的纠错码必须与信道的干扰情 况相匹配，对信道的适应性差。
+ 01
0 01 1 10
× 01
0 01 1 10
为了简便，今后用+和×表示模2相加和相乘。 在模2情况 下， 加和减是一回事。
纠错码原理
纠错码原理介绍纠错码（Error Correction Code，ECC）是一种在数字通信和存储中常用的技术，它能够在出现错误的情况下恢复原始数据。
纠错码原理通过在发送数据时加入冗余信息，并在接收数据时利用这些冗余信息进行错误检测和恢复。
本文将深入探讨纠错码原理，包括不同类型的纠错码以及它们的工作原理。
奇偶校验码（Parity Check Code）奇偶校验码是最简单、最基础的纠错码。
它通过在每个数据块末尾加入一个校验位来实现错误检测。
具体而言，奇偶校验码在每个数据块末尾加入一个额外的位，使得整个数据块中1的个数为奇数或偶数。
在接收数据时，接收方会对每个数据块进行奇偶校验，如果检测到校验错误，则表明数据传输出现了错误。
海明码（Hamming Code）海明码是一种更高级的纠错码。
它不仅可以检测错误，还可以纠正错误。
海明码通过在数据中插入冗余位实现纠错功能。
插入的冗余位数目根据所需的错误检测和纠正能力而定。
海明码的生成生成海明码的过程分为两步：构造海明矩阵和计算校验位。
假设要构造一个 r 位的海明码，其中含有 m 位的数据和 m＋r 位的冗余位。
1.构造海明矩阵：海明矩阵是一个r×(m＋r) 的矩阵，它的每一行都代表一个冗余位。
构造海明矩阵的规则如下：–第一列到第 m 列分别代表数据位的位置，每一列只有一个 1；–最后的 r 列分别代表冗余位的位置，每一列包含的 1 的个数有特定的规律，如第一个冗余位的位置是第 1、2、4、8…位，第二个冗余位的位置是第 3、4、6、8…位；–每一列的 1 的位置互不相同。
2.计算校验位：校验位的值是根据数据位的值计算出来的。
对于每个冗余位，根据它所在行的数据位值计算出校验位的值。
计算方法是将每一列的值乘以对应的权重，并求和。
如果和为偶数，则校验位为 0，否则为 1。
海明码的纠错接收方在收到海明码后，会进行错误检测和纠错操作。
错误检测是通过将接收到的码字与海明矩阵的每一行进行比较，计算出错位的位置。
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➢ 在数字通信系统中可靠与快速往往是一对矛盾
✓ 若要求快速，则必然使得每个数据码元所占的时间缩短、波形变窄、 能量减少，从而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传送消息的 可靠性减低。
✓ 若要求可靠， 则使得传送消息的速率变慢
➢ 因此，如何较合理地解决可靠性与速度这一对矛盾， 是正 确设计一个通信系统关键问题之一。 通信理论本身(包括纠 错码)也正是在解决这对矛盾中不断发展起来的。
第一章 纠错码的基本概念
第一章 纠错码的基本概念
1.1 数字通信系统的组成及信道模型 1.2 差错控制系统和纠错码分类 1.3 最大似然译码和纠错码的基本概念 1.4 信道编码定理
第一章 纠错码的基本概念
§1.1 数字通信系统的组成及信道模型
一、 数字通信系统的组成
➢ 通信的目的：把对方不知道的消息及时、可靠地（有时还需 秘密地）传送给对方
第一章 纠错码的基本概念 图 1 - 1 数字通信系统模型
第一章 纠错码的基本概念
➢ 信源编码器：把信源发出的消息转换成为二进制(或多进制)形 式的信息序列，并且为了使传输有效，还去掉了一些与传输信 息无关的多余度（信源编码越短越好）。
➢ 信道编码器（纠错编码器）：为了抗击传输过程中的各种干扰， 人为地增加多余度，使其具有自动检错或纠错能力。
第一章 纠错码的基本概念
➢ 这些失真信号送入接收机进行判决时， 由于第一、 二、 四、 五码元的波形失真不大， 容易正确地判为1、1和 0、 0；
➢ 但对第三个码元来说，由于失真严重而难于判决。这 时有以下三种判决方法：
✓ 硬判决：一是勉强作出是0还是1的判决 ✓ 删除符号：对该码元暂且不作判决，而输出一个未知或待定的信号
➢ 发射机(调制器)：把纠错码送出的信息序列通过调制器变换成 适合于信道传输的信号。
➢ 解调器：信号变为二进制(或多进制)信息序列。 ➢ 信道译码器（纠错译码器）：纠正由于信道干扰而使信息序列
中发生的错误。 ➢ 信源译码器：恢复成原来的消息送给用户。
第一章 纠错码的基本概念
➢ 我们关心的是信道编、译码器即纠错编、译码器 ➢ 上述模型可进一步简化为图1-2模型：
如果信道的输入是二进制符号，而输出是离散的q(q＝pm≥2) 进制符号，如图1-6所示，且p(i｜0)＝p(q-1-i｜1)，i＝0， 1，…， q-1，则这种信道称为离散无记忆信道(DMC)，显然BSC是DMC 的一种特殊情况。 DMC的信道转移概率矩阵
p(0 | 0) p(1 | 0) p(q 1 | 0)
第一章 纠错码的基本概念
由于目前在信道中传输或计算机内部运算的数据序列， 大
部分是二进制数字序列， 因此以后主要讨论二进制数字通信中
的纠错码，当然这些纠错码往往可以推广到q(素数或素数的幂)
进制情况，这将在以后具体讨论时予以说明。 二进制情况下，
序列之间0、1两个符号按下列规则进行运算：
模2相加
模2相乘
第一章 纠错码的基本概念
上述三种信道模型只是为了讨论问题方便而简化成理想的 情况，它们表达了某些实际信道传送信号的主要特征。例如， 卫星信道或深空信道，可近似看成是BSC。
但有很多实际信道如高频、散射、有线等信道， 由于各种 干扰所造成的错误， 往往不是单个地而是成群成串地出现的， 也就是一个错误的出现，往往引起其前后码元的错误(突发错 误)， 表现为错误之间的相关性。产生这种错误的信道称有记 忆信道或突发信道。 在计算机存贮系统中，磁带的缺陷或读写 头接触不良所引起的错误，也属于这种类型。
+ 01
0 01 1 10
× 01
0 00 1 01
为了简便，今后用+和×表示模2相加和相乘。 在模2情况 下， 加和减是一回事。
P
p(0 |1) p(1 |1) p(q 1 |1)
第一章 纠错码的基本概念
在作删除判决情况下，信道可用图1-7所示的模型表示， 称为二进制删除信道，简称BEC，一般它也是对称信道。图中， pe为信道的转移概率，q为删除概率。
第一章 纠错码的基本概念
在有删除处理情况下， 信道的转移概率pe一般很小，可忽略， 因此把图1-7所示的模型用图1-8代替，称为二进制纯删除信 道。以后所说的BEC都是指这种信道。应当指出，当码元作 删除处理时，它在序列中的位置是已知的，仅不知其值是0 还是1，故对这种BEC信道的纠错要比BSC信道容易。
第一章 纠错码的基本概念
但由于实际信道干扰的复杂性，所引起的错误往往不是单 纯的一种，而是两种错误形式并存，只不过有存的信道，称为组合信道或 复合信道。
作为检错与纠错用的抗干扰码，必须针对这几类信道， 设计能纠正随机错误或纠正突发错误的码，或者设计既能纠正 随机错误又能纠正突发错误的码。
“x”，称其为删除符号 ✓ 软判决：第三种方法是输出一种有关该码元的信息，例如关于0和1
的后验概率或似然函数
➢ 当然软判决的性能较好，但实现起来较复杂。
第一章 纠错码的基本概念
在二进制硬判决情况下，信道可用图1-5所示的简单模型表 示。图中，p01和p10分别是0错成1和1错成0的概率， 称信道转移 概率。该信道的信道转移概率矩阵可用
✓ 信源指原来的信源和信源编码器， 其输出是二(多)进制信息序列。 ✓ 信道包括发射机、实际信道和接收机在内的广义信道(又称编码信道)，
它的输入是二(多)进制数字序列，输出一般也是二(多)进制数字序列。 ✓ 信宿可以是人或计算机。
第一章 纠错码的基本概念 二、
现在以简化模型来讨论二进制数字序列通过该系统时所发 生的情况。设从信源送出字母A，它的二进制序列为11000， 以 基带信号传送， 经发射机调制后，送往信道的已调信号如图1-3 所示。由于信道的干扰， 从信道输出端的信号产生了失真， 如 图1-4所示。
P
p00
p01
1
p01
p01
p10
p11
p10
1
p10
描述。如果p01=p10=pe，则称这种信道为二进制对称信道，简称 BSC。否则，称为不对称信道。若p01或p10等于零，则称为Z信 道。通常BSC是一种无记忆信道，所以也称随机信道， 它说明 数据序列中出现的错误彼此无关。
第一章 纠错码的基本概念
✓ 若要求快速，则必然使得每个数据码元所占的时间缩短、波形变窄、 能量减少，从而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传送消息的 可靠性减低。
✓ 若要求可靠， 则使得传送消息的速率变慢
➢ 因此，如何较合理地解决可靠性与速度这一对矛盾， 是正 确设计一个通信系统关键问题之一。 通信理论本身(包括纠 错码)也正是在解决这对矛盾中不断发展起来的。
第一章 纠错码的基本概念
第一章 纠错码的基本概念
1.1 数字通信系统的组成及信道模型 1.2 差错控制系统和纠错码分类 1.3 最大似然译码和纠错码的基本概念 1.4 信道编码定理
第一章 纠错码的基本概念
§1.1 数字通信系统的组成及信道模型
一、 数字通信系统的组成
➢ 通信的目的：把对方不知道的消息及时、可靠地（有时还需 秘密地）传送给对方
第一章 纠错码的基本概念 图 1 - 1 数字通信系统模型
第一章 纠错码的基本概念
➢ 信源编码器：把信源发出的消息转换成为二进制(或多进制)形 式的信息序列，并且为了使传输有效，还去掉了一些与传输信 息无关的多余度（信源编码越短越好）。
➢ 信道编码器（纠错编码器）：为了抗击传输过程中的各种干扰， 人为地增加多余度，使其具有自动检错或纠错能力。
第一章 纠错码的基本概念
➢ 这些失真信号送入接收机进行判决时， 由于第一、 二、 四、 五码元的波形失真不大， 容易正确地判为1、1和 0、 0；
➢ 但对第三个码元来说，由于失真严重而难于判决。这 时有以下三种判决方法：
✓ 硬判决：一是勉强作出是0还是1的判决 ✓ 删除符号：对该码元暂且不作判决，而输出一个未知或待定的信号
➢ 发射机(调制器)：把纠错码送出的信息序列通过调制器变换成 适合于信道传输的信号。
➢ 解调器：信号变为二进制(或多进制)信息序列。 ➢ 信道译码器（纠错译码器）：纠正由于信道干扰而使信息序列
中发生的错误。 ➢ 信源译码器：恢复成原来的消息送给用户。
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➢ 我们关心的是信道编、译码器即纠错编、译码器 ➢ 上述模型可进一步简化为图1-2模型：
如果信道的输入是二进制符号，而输出是离散的q(q＝pm≥2) 进制符号，如图1-6所示，且p(i｜0)＝p(q-1-i｜1)，i＝0， 1，…， q-1，则这种信道称为离散无记忆信道(DMC)，显然BSC是DMC 的一种特殊情况。 DMC的信道转移概率矩阵
p(0 | 0) p(1 | 0) p(q 1 | 0)
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由于目前在信道中传输或计算机内部运算的数据序列， 大
部分是二进制数字序列， 因此以后主要讨论二进制数字通信中
的纠错码，当然这些纠错码往往可以推广到q(素数或素数的幂)
进制情况，这将在以后具体讨论时予以说明。 二进制情况下，
序列之间0、1两个符号按下列规则进行运算：
模2相加
模2相乘
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上述三种信道模型只是为了讨论问题方便而简化成理想的 情况，它们表达了某些实际信道传送信号的主要特征。例如， 卫星信道或深空信道，可近似看成是BSC。
但有很多实际信道如高频、散射、有线等信道， 由于各种 干扰所造成的错误， 往往不是单个地而是成群成串地出现的， 也就是一个错误的出现，往往引起其前后码元的错误(突发错 误)， 表现为错误之间的相关性。产生这种错误的信道称有记 忆信道或突发信道。 在计算机存贮系统中，磁带的缺陷或读写 头接触不良所引起的错误，也属于这种类型。
+ 01
0 01 1 10
× 01
0 00 1 01
为了简便，今后用+和×表示模2相加和相乘。 在模2情况 下， 加和减是一回事。
P
p(0 |1) p(1 |1) p(q 1 |1)
第一章 纠错码的基本概念
在作删除判决情况下，信道可用图1-7所示的模型表示， 称为二进制删除信道，简称BEC，一般它也是对称信道。图中， pe为信道的转移概率，q为删除概率。
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在有删除处理情况下， 信道的转移概率pe一般很小，可忽略， 因此把图1-7所示的模型用图1-8代替，称为二进制纯删除信 道。以后所说的BEC都是指这种信道。应当指出，当码元作 删除处理时，它在序列中的位置是已知的，仅不知其值是0 还是1，故对这种BEC信道的纠错要比BSC信道容易。
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但由于实际信道干扰的复杂性，所引起的错误往往不是单 纯的一种，而是两种错误形式并存，只不过有存的信道，称为组合信道或 复合信道。
作为检错与纠错用的抗干扰码，必须针对这几类信道， 设计能纠正随机错误或纠正突发错误的码，或者设计既能纠正 随机错误又能纠正突发错误的码。
“x”，称其为删除符号 ✓ 软判决：第三种方法是输出一种有关该码元的信息，例如关于0和1
的后验概率或似然函数
➢ 当然软判决的性能较好，但实现起来较复杂。
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在二进制硬判决情况下，信道可用图1-5所示的简单模型表 示。图中，p01和p10分别是0错成1和1错成0的概率， 称信道转移 概率。该信道的信道转移概率矩阵可用
✓ 信源指原来的信源和信源编码器， 其输出是二(多)进制信息序列。 ✓ 信道包括发射机、实际信道和接收机在内的广义信道(又称编码信道)，
它的输入是二(多)进制数字序列，输出一般也是二(多)进制数字序列。 ✓ 信宿可以是人或计算机。
第一章 纠错码的基本概念 二、
现在以简化模型来讨论二进制数字序列通过该系统时所发 生的情况。设从信源送出字母A，它的二进制序列为11000， 以 基带信号传送， 经发射机调制后，送往信道的已调信号如图1-3 所示。由于信道的干扰， 从信道输出端的信号产生了失真， 如 图1-4所示。
P
p00
p01
1
p01
p01
p10
p11
p10
1
p10
描述。如果p01=p10=pe，则称这种信道为二进制对称信道，简称 BSC。否则，称为不对称信道。若p01或p10等于零，则称为Z信 道。通常BSC是一种无记忆信道，所以也称随机信道， 它说明 数据序列中出现的错误彼此无关。
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