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数学建模排队论（最新版）目录一、数学建模与排队论简介二、数学建模的方法与应用三、排队论的概念及其应用四、数学建模在排队论中的应用案例五、总结正文一、数学建模与排队论简介数学建模是一种运用数学方法来描述和解决实际问题的科学方法，其目的是通过建立数学模型，揭示问题的本质，从而为解决实际问题提供理论依据。
而排队论是研究随机服务系统中顾客等待现象的一种数学理论，主要用于分析和优化服务系统的性能，以提高服务效率和顾客满意度。
二、数学建模的方法与应用数学建模的方法主要包括概率论、统计学、微分方程等。
这些方法在各个领域都有广泛的应用，如在经济学中分析市场需求、预测价格波动；在生物学中研究生物种群的数量变化等。
数学建模在排队论中也有着重要的应用，可以帮助我们理解顾客等待现象，优化服务系统。
三、排队论的概念及其应用排队论主要研究服务系统中的顾客到达、服务、离开等过程，以及顾客等待时间、服务时间等随机变量。
排队论的应用领域非常广泛，涉及到服务行业、交通工程、通信系统等。
通过排队论的分析，可以有效地优化服务系统的结构和策略，减少顾客等待时间，提高服务质量。
四、数学建模在排队论中的应用案例以一家医院挂号为例，我们可以通过数学建模和排队论来分析和优化挂号流程。
首先，我们可以建立一个概率模型，描述病人到达、挂号、就诊等过程。
然后，通过分析模型中的参数，如到达率、服务率等，可以得到病人等待时间的分布，从而为优化挂号流程提供依据。
例如，可以通过增加挂号窗口、提高挂号效率等措施，来减少病人的等待时间。
五、总结数学建模与排队论在实际应用中相辅相成，通过建立数学模型，可以更好地理解和优化排队现象。
第九届“新秀杯”校园数学建模竞赛摘要医院有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，因此需要用到排队理论来求解这些问题。
本题需要用到排队理论中最简单的M/M/1/∞/∞模型，通过对病人到来及诊断时间的统计研究，得出这些数量指标的统计规律。
针对问题一，通过分析任意时刻t内到达的病人数为n的概率，使用数学期望的方法，，可以得出平均病人数及等待的平均病人数。
由题目给出条件病人的到来服从参数为λ的泊松分布，诊断时间服从参数为μ负指数分布，可以得出病人的平均看病所需时间及病人平均排队等待时间。
以及分析该医院的服务强度，可以粗略的分析该科室的工作状况。
针对问题二，在问题一的条件基础下，要求99%的病人有座位。
可以先假设出座位个数，由于每个时刻病人到来的个数是随机且独立，不可能同时到达两批病人，考虑到来病人的个数与座位之间的关系，考虑病人数不同时，有座位的概率不同。
所以用独立事件概率的加法可以得出概率需要大于等于0.99，从而反推出所需座位数。
针对问题三，分析问题可得，需要求出单位平均损失可以通过题目每小时病人到来数可以得出平均每天医院到来数。
根据问题一结论，可以得出平均看病所花时间，从而求出每天的平均损失。
针对问题四，只需要利用问题一，问题二，问题三的结论并改变医生每小时诊断时间，嵌套进来就能求解。
关键字：排队理论M/M/1/∞/∞模型数学期望Poisson流负指数分布一、问题提出某单位医院的一个科室有一位医生值班，经长期观察，每小时平均有4个病人，医生每小时可诊断5人，病人的到来服从Poisson流，诊断时间服从负指数分布。
(1)试分析该科室的工作状况：(2)如要求99%以上的病人有座，该科室至少设多少座位？(3)如果该单位每天24小时上班，病人因看病1小时而耽误工作单位要损失30元，这样单位平均损失多少元？(4)如果该科室提高看病速度，每小时平均可诊断6人，单位每天可减少损失多少？可减少多少座位？二、模型的准备根据题目所给信息，可以很明显看出本题是单服务台的排队模型，日常生活中存在大量有形和无形的排队或拥挤现象，如旅客购票排队，市内电话占线等现象。
集装箱港口调度问题的数学建模和求解随着国际贸易的快速发展，港口成为货物流通的必经之地。
集装箱作为现代贸易的主要运输设备，也成为港口的主要运输工具。
如何对集装箱进行科学、高效的调度，既能够提高集装箱吞吐量，又能够节约成本，保证集装箱的速度和安全，成为了集装箱港口管理的重要问题。
本文将介绍集装箱港口调度问题的数学建模和求解方法，为港口调度管理提供一定的参考。
一、问题描述在港口集装箱的调度过程中，需要考虑多个因素，包括集装箱的数量、作业时间、码头设备的利用率、船舶作业岸桥数、等待队列理论等。
我们将港口作业看作一个多项式时间复杂度问题，即：T(n) = a + bn + cn^2 + ... + kn^m其中，n表示作业量（即集装箱数量），a、b、c、...、k为常数。
当n很大时，我们可以将港口作为一个离散的系统进行研究，把所有的因素都视为集装箱数量的函数。
二、建模方法在数学建模中，我们常用图论、优化理论等方法对问题进行建模。
对于港口调度问题，我们可以采用离散事件仿真（DES）方法进行建模。
离散事件仿真是指在模拟过程中，根据事件发生的具体时间点，遵循特定的规则依次进行模拟。
在港口调度问题中，时间点可以是集装箱的到达时间、配载、装卸等事件，规则可以是码头设备的作业效率、船舶岸桥的作业效率等。
通过DES方法的建模，可以得到港口作业的整体情况，包括集装箱的平均等待时间、港口的吞吐量等。
建模的基本步骤如下：1. 定义输入参数和输出参数输入参数包括集装箱数量、港口设备数量、集装箱处理速度等；输出参数包括集装箱的平均等待时间等。
2. 建立模型通过建立港口作业的模型，确定每一事件名、每个事件的发生时间以及事件的处理逻辑等。
对于需要分配资源的事件，要考虑分配资源的优先级以及时间的排队问题。
3. 添加随机性在港口调度问题中，集装箱的到达时间、装卸时间等都具有随机性。
为了更真实地模拟港口作业的情况，需要为模型增加随机性。
4. 进行仿真实验进行一系列的仿真实验，计算每个实验的输出参数，得到不同输入参数下的港口作业情况。
课程代码： 06304 港口规划与布置课程自学辅导材料●配套教材：《港口规划与布置》●主编：洪承礼●出版社：人民交通●版次：1999年版●适应层次：本科内部教学使用目录第一部分自学指导第1章：绪论 (1)第2章：港口营运与船舶 (2)第3章：港口规划调查及分析 (3)第4章：码头及码头平面设计 (4)第5章：水域及外堤布置 (6)第6章：港口陆域设施 (7)第7章：港口发展规划 (8)第8章：港口环境评估及环境保护 (9)第9章：河港特点 (10)第二部分复习思考题一．名词解释题 (12)二．判断题 (12)三．填空题 (18)四．单选题 (22)五．简答题 (34)六．论述题 (35)七．计算题 (36)第三部分参考答案一．名词解释题 (41)二．判断题 (43)三．填空题 (44)四．单选题 (47)五．简答题 (48)六．论述题 (54)七．计算题 (59)第一部分自学指导第1章：绪论一．主要内容1．运输系统和国际贸易的重要组成部分——港口（1）现代交通运输系统（2）港口的功能2．港及港的组成（1）港口组成（2）港口概念（3）港口五大作业系统3．港口分类（1）港口分类二．重点1．运输系统和国际贸易的重要组成部分——港口（1）现代交通运输系统2．港及港的组成（1）港口组成（2）港口概念（3）港口五大作业系统3．港口分类（1）港口分类三．难点1．判断实际港口所属类型；2．理解港口五大作业系统内容。
第2章：港口营运与船舶一．主要内容1．货物及其在港内的作业方式（1）货种与装运方式（2）港口统计货物品种分类（3）货物在港内作业方式2．港口腹地、港口吞吐量（1）港口腹地（2）港口吞吐量、通过能力（3）吞吐量调查、预测3．船舶（1）概述（2）船舶尺度（3）船舶吨位（4）集装箱船（5）杂货船、散货船、油船（6）船舶营运4．设计船型、船舶尺度参考数据（1）设计船型分类二．重点1．货物及其在港内的作业方式（1）货种分类（2）货物在港内作业方式2．港口腹地、港口吞吐量（1）港口腹地概念、划分和分类（2）吞吐量、自然吨和通过能力的概念（3）吞吐量预测方法3．船舶（1）船舶尺度（2）船舶吨位及各种吨位关系（3）各种船型特点（4）船舶营运方式4．设计船型、船舶尺度参考数据（1）设计船型分类三．难点1．应用港内作业方式判断操作过程；2．应用实例计算港口腹地；3. 区别港口吞吐量和通过能力。
排队论计算港口锚地泊位的图表法及其应用◎ 王文博 广州港工程管理有限公司摘 要：现有M/M/S排队论模型在用于计算港口锚位数量时采用的公式较为复杂。
本文对基于排队论的港口锚位数量计算方法进行了探讨，给出了快速确定锚位数量的图表方法。
关键词：锚地；锚位数；排队论1.引言港口锚地的合理配布是港口规划、设计和建设过程中的重要环节，而如何确定合适的锚位数量则是确定锚地规模的核心问题。
目前关于锚位数量的研究主要采用两种方法，即静态分析方法和动态分析方法。
静态分析方法是根据锚泊船舶所占用的水域面积进行估算。
静态分析方法没有考虑船舶到达的随机性和船舶占用锚地时间的随机性，在确定锚位数量时，具有一定的局限性。
动态分析方法考虑了船舶到达和船舶占用锚地时间的随机性，可以较好地反映出船舶在港口锚地的行为规律，从而对锚位数量做出较为准确的分析。
目前比较常用的两种动态分析方法是排队论模型和计算机模拟。
本文从排队论的角度对港口锚位数量进行探讨。
2.问题的提出某港区一期码头建有3个5000吨级通用泊位，年吞吐量为146万吨。
港内配套建设有一处锚地，共4个锚位，进出港船舶均在此锚泊，现状锚位数充足，能够满足港区日常运营、调度的需要。
由于近年来该港腹地经济发展迅速，港口货物吞吐量激增，一期码头在空间和通过能力上已经不能满足要求，因此拟新建二期码头，共3个5000吨级通用泊位，设计年吞吐量为165万吨。
二期码头建设后，预计进出港船舶流量将大幅增加，港区现有锚地可能不满足二期码头建设后进出港船舶锚泊需要，可能要对锚地进行扩建。
港区现状可利用水域面积较小，二期码头建设后，将无充足水域进行锚地扩容建设。
如锚地确需扩容，则需采用挖入式方案，以增加可用水域面积。
但挖入式方案存在下列若干缺点：1）占用宝贵土地资源，减少陆域使用面积；2）锚地建设需报海事等主管部门，协调工作量大，周期长，难度大；3）挖入式方案工程投资较大。
因此需对锚地规模进行论证，以确定是否需要对锚地进行扩建。
排队问题教程一：复习期望公式()i i p a X P ==，∑=ii i p a EX ，()()∑=ii i p a g X Eg二：排队问题单个服务台排队系统问题（比如理发店只有一个理发师情况）：假定顾客到达时间间隔()λ/1~e X 分钟，每个顾客接受服务的时间长度为()μ/1~e Y 分钟，假定1）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客到达的概率为()2t o t ∆+∆λ 2）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客到达的概率为()2t o ∆ 3）、在时间段[]t t t ∆+,内有一个顾客接受完服务离开概率为()2t o t ∆+∆μ 4）、在时间段[]t t t ∆+,内有两个或以上顾客离开的概率为()2t o ∆用()t p n 表示在t 时刻，没有离开的顾客数（由于指数分布无记忆性，正在接受服务的顾客还需要接受的服务时间和任何一个顾客的接受服务时间同分布）。
记t 时刻在服务系统总人数n 的概率为()t p n ，则在t t ∆+时刻在服务系统总人数n 的概率()t t p n ∆+由以下几个不相容部分构成a)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，也没有顾客离开，概率 ()t p t o t t o t n ))(1))((1(∆-∆-∆-∆-μλb)：t 时刻有n 个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，有1顾客离开，概率 ()t p t t n ⋅∆⋅∆μλc)：t 时刻有n-1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内有1顾客到达，没有顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(-∆-∆-∆μλd)：t 时刻有n+1个顾客，时间段[]t t t ∆+,内没有顾客到达，有1个顾客离开 概率()t p t o t t n 1))(1(+∆-∆-∆λμ e)：其他情况，概率()t o ∆由上面分析，()()()()()()()t o t p t t t p t t p t t t t p ∆+∆-⋅∆+⋅⋅∆-+⋅∆⋅∆=∆+1000111λμλμλ()()[]()()()t o t p t o t t t p t o t t t t t o t t o t t p t t p n n n n ∆+∆-∆-∆+∆-∆-∆+∆⋅∆+∆-∆-∆-∆-=∆++-11))(1())(1())(1))((1(λμμλμλμλ，1≥n简写()()()()()()00111p t t t p t t t p t o t λμλ+∆=-∆⋅+∆⋅-∆+∆()()[]()()()t o t p t t p t t t t p t t p n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆-∆-=∆++-11)1)(1(μλμλ即()()()()()t o t p t t p t t p t t p ∆+⋅∆+⋅∆⋅-=-∆+1000μλ()()()()()()()t o t p t t p t t t p t p t t p n n n n n ∆+⋅∆+⋅∆+∆+-=-∆++-11μλμλ因此得到()()()()t p t p t p 100⋅+⋅-='μλ()()()()()()t p t p t p t p n n n n 11+-⋅+⋅++-='μλμλ假定()k t k p t p −−→−∞→，()()0−−→−∞'→t k t p 得到 010=⋅+⋅-p p μλ()011=⋅+⋅++-+-n n n p p p μλμλ把0p 当作已知，求解通项n p >将p(1)用)0(/p μλ代入得()()()n n n n p p p p μλμλλμμλμ001=→-+-=再，由1=∑kkp，我们得到()10=∑∞=n np μλ，>因此μλμ-=0p ， nnn p p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μλμλμμλ0 问题1：系统平均有几个人没有离开？解答：系统有n 个人没有离开的概率n p ，因此，系统中滞留人数平均∑∞=0n n np>问题2：系统中排队等待服务平均有几个人？()∑∞=-11n npn>问题3：系统中平均每个人排队等待时间？解答：当一个顾客进入系统中，发现前面已经有n 个顾客在系统中，则他排队等待的平均时间就是这n 个顾客的平均服务时间总和（由于指数分布无记忆特性，不管正在接受服务的顾客已经服务了多少时间，其还要接受的服务时间依然服从相同的指数的分布）因此系统中平均每个人排队等待时间为nn pn∑∞=0μ>问题4：系统中每个顾客逗留时间平均？解答：每个顾客平均排队用时+每个顾客平均服务用时为所求 >。
排队模型之港口系统本文通过排队论和蒙特卡洛方法解决了生产系统的效率问题，通过对工具到达时间和服务时间的计算机拟合，将基本模型确定在//1M M排队模型，通过对此基本模型的分析和改进，在概率论相关理论的基础之上使用计算机模拟仿真（蒙特卡洛法）对生产系统的整个运行过程进行模拟，得出最后的结论。
好。
关键词：问题提出：一个带有船只卸货设备的小港口，任何时间仅能为一艘船只卸货。
船只进港是为了卸货，响铃两艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟变化。
一艘船只卸货的时间有所卸货物的类型决定，在15分钟到90分钟之间变化。
那么，每艘船只在港口的平均时间和最长时间是多少若一艘船只的等待时间是从到达到开始卸货的时间，每艘船只的平均等待时间和最长等待时间是多少卸货设备空闲时间的百分比是多少船只排队最长的长度是多少问题分析：排队论：排队论(Queuing Theory) ，是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法，又称随机服务系统理论，为运筹学的一个分支。
本题研究的是生产系统的效率问题，可以将磨损的工具认为顾客，将打磨机当做服务系统。
【1】//1M M：较为经典的一种排队论模式，按照前面的Kendall记号定义，前面的M代表顾客(工具)到达时间服从泊松分布，后面的M则表示服务时间服从负指数分布，1为仅有一个打磨机。
蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
（2）排队论研究的基本问题1.排队系统的统计推断:即判断一个给定的排队系统符合于哪种模型，以便根据排队理论进行研究。
2.系统性态问题:即研究各种排队系统的概率规律性，主要研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等统计指标,包括了瞬态和稳态两种情形。
3.最优化问题：即包括最优设计(静态优化)，最优运营（动态优化）。
【3】为了得到一些合理的答案，利用计算器或可编程计算器来模拟港口的活动。
假定相邻两艘船到达的时间间隔和每艘船只卸货的时间区间分布，加入两艘船到达的时间间隔可以是15到145之间的任何数，且这个区间内的任何整数等可能的出现。
再给出模拟这个系统的一般算法之间，考虑有5艘传至的假象情况。
因为船1在时钟于t=0分钟计时开始后20分钟到达，所以港口卸货设备在开始时空空闲了20分钟。
船1立即开始卸货，卸货用时55分，其间，船2在时钟开始计时后t=20+30=50分中到达。
在船1与t=20+55=75分钟卸货完毕之前，船2不能开始卸货，这意味着船2在卸货前必须等待75-50=25分钟。
在船2开始卸货之前，船2于t=50+15=65分钟到达，因为船2在t=75分钟开始卸货，并且卸货需45分钟，所以在船2与t=75+45=120分钟卸货完毕之前，船3不能开始卸货。
这样，船3必须等待120分钟。
船4在t=65+120=185分钟之前没有到达，因此船3已经在t=120+60=180分钟卸货完毕，港口卸货设备空闲185-180=5分钟，并且，船4到达后立即卸货。
最后，在船4于t=185+75=260分钟卸货完毕之前，船5在t=185+25=210到达，于是船5在开始卸货前等待260-210=50分钟。
模型建立：对于问题中存在的服务系统，建立排队论模型，在仅能为一艘船通过是一个标准的//1M G 模型：所谓//1M G 模型，就是输入过程为泊松流时，服务时间为任意的条件之下的，服务机器只有一个得时候。
对于//1M G 模型，服务时间T 的分布式一般的，（但是要求期望值()E T 和()Var T 方差都存在），其他条件和标准的//1M M 型相同。
为了达到稳态1ρ<还是必要的，其中有()E T ρλ=。
单服务员的排队模型设：（1） 船只到来间隔时间服从参数为的指数分布．（2） 对船只的服务时间服从［４，１５］上的均匀分布． （3） 排队按先到先服务规则，队长无限制． 系统的假设：（1） 船只源是无穷的； （2） 排队的长度没有限制；（3） 到达系统的船只按先后顺序依次进入服务， 即“先到先服务”。
符号说明w ：总等待时间；c i ：第i 个顾客的到达时刻；b i ：第i 个顾客开始服务时刻；e i ：第i 个顾客服务结束时刻；x i ：第i-1个顾客与第i 个顾客之间到达的间隔时相邻两艘船到达的时间间隔 20 30 15 120 25 卸货时间5545607580图9-2单服务台单队系统……船只到达进入队列服务台接受服务船只离去间；y i：对第i个顾客的服务时间c i=c i-1+ x ie i=b i+y ib i=max(c i,e i-1)框图模型检验：表1 100艘船港口和系统的模拟结果上图为一艘船呆在港口的平均时间上图为一艘船呆在港口的最长时间一艘船的平均等待时间上图为一艘船的最长等待时间上图为一艘船的最长等待时间以上就是对港口问题的具体分析，其实港口问题还可以从船只的排队角度出发，我们还可以对多个港口通行做相应的模拟试验，让船主尽量减少等待时间且港口卸货设备的利用率达到最高，从而是港口的主人获得更大的利润。
从排队角度来解决问题，可以使问题的广度增加，选秘书问题就是一个很典型的例子，可以从排队角度解决，如果用我在文章中应用的方法来解决也是可以的，这仅仅是一个港口的小问题，甚至可以说是一个非常简单的问题，但是已经让我感觉到了数学的美，在老师的引导下慢慢接近一种抽象的美，在写论文的这几天中，数据的整理和分析是最值得享受的时刻，在Excel里输入自己的数据，是一种忐忑的感觉，因为在那么多的数据面前，我真的不知道将会发生什么，拟合的过程就更是有意思了，一次一次的尝试，一次一次的比较，在这个过程中，如果有一点点的进步都会让我兴奋，数学建模在生活中处处存在，如果真的能够掌握这个本领，生活一定会变得简单而精彩！参考文献：（1）《运筹学》教材编写组编. 运筹学. 北京：清华大学出版社，2008（2）Jerry Banks，John ，Barry L Nelson 等著. 离散事件系统仿真.北京：机械工业出版社，2007(3) <<排队论模型与蒙特卡罗仿真>>附录一编程如下：clearcs=100;for j=1:csw(j)=0;i=1;x(i)=exprnd(10);c(i)=x(i);b(i)=x(i);while b(i)<=480y(i)=unifrnd(4,15);e(i)=b(i)+y(i);w(j)=w(j)+b(i)-c(i);i=i+1;x(i)=exprnd(10);c(i)=c(i-1)+x(i);b(i)=max(c(i),e(i-1));endi=i-1;t(j)=w(j)/i;m(j)=i;endpt=0;pm=0;for j=1:cspt=pt+t(j);pm=pm+m(j); end pt=pt/cs pm=pm/cs 附录二排队论中一个感兴趣的问题时，当输入过程是Possion 流时，顾客相继到达的间隔时间T 服从什么规律。
定理 设(){},0N t t ≥是具有参数λ的泊松过程，即(){}(){},0,1,2,,0,,1!nt n t P N t n e n t T n n λλ-===>≥L 是对应的时间间隔序列，则随机变量()0,1,2,,0nT n t =>L 是独立同分布的，且服从均值为1λ-的负指数分布，即()-tet 00 t 0f t λλ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ 。
证明 因为1T 是Possion 过程中第一个顾客到达的时间，所以时间{}1T t ≥等价于[)0,t 内没有顾客到达。
故{}(){}()100!t t t P T t P N t e e λλλ--≥====，进而可得{}{}111t P T t P T t e λ-<=-≤=所以1T 是服从均值为1λ-的负指数分布。
1、利用Possion 过程的独立、平稳增量性质，得{}[){}[){}()()(){}()(){}(){}2112,, 000 t P T t T s P t t s T s P t t s Possion P N t s N s P N t N Possion e P T t λ-≥==+==+=+-==-===≥在内没有顾客到达在内没有顾客到达过程的独立性过程的平稳增量性质 即{}{}2211tP Tt P T t e λ-<=-≥=-，故2T 也是服从均值为1λ-的负指数分布。
对于任意的1n ≥和1,,0n t s s ≥L 有{}()(){}()(){}11221-111-1,,,000tn n n n n P T t T s T s T s P N t s s N s s P N t N e λ--≥====+++-++==-==L L L即 {}tn1e P Tt λ-<=-，所以对任一()1nT n ≥，它都服从均值为1λ-的负指数分布。
证毕。
