人教版_2021年中考数学试题分类汇编：二次根式

2021中考数学--因式分解考点、因式分解1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法〔1〕提公因式法：)(c b a ac ab +=+〔2〕运用公式法：))((22b a b a b a -+=-， 222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+- 〔3〕分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++ 〔4〕十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++3、因式分解的一般步骤：〔1〕如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

〔2〕在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式〔3〕分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。

提公因式法〔2021，9，4〕分解因式：269mn mn m ++=． 〔2021市，13， 3分〕分解因式a 2－8a 。

〔2021省市，5，4分〕把24a a -多项式分解因式，结果正确的选项是〔 〕 A. ()4a a - B. (2)(2)a a +- C. (2)(2)a a a +- D.2(2)4a -- 〔株洲市3,9〕因式分解：22a a -= . 〔2021，1l ，4分〕分解因式：25x x -=________．〔2021随州，11,4分〕分解因式：249x -=______________________。

〔2021，10，3分〕因式分解：mn m -2=.(2021，9，4分)分解因式：2x 2﹣10x=．(2021，12，3分)假设a=2，a+b=3，那么a 2+ab=． 〔2021，15，3分〕分解因式ab a -2=.〔2021，9，3分〕因式分解：=-a a 22．公式法1. 2484554+-+2. 2332326--3. 21418122-+- 4. 3)154276485(÷+-5.：的值。

2025年中考数学考点分类专题归纳二次根式知识点一、二次根式的相关概念和性质1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式. 备注：二次根式a 有意义的条件是0a ≥ ，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质；；.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.4. 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.备注：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.知识点二、二次根式的运算1. 乘除法（1）乘除法法则：备注：⋅= . （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd-⨯-≠-⨯- .（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)492.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.1．（2024•达州）二次根式中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣22．（2024•绥化）若y有意义，则x的取值范围是（）A．x且x≠0 B．x C．x D．x≠03．（2024•兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2024•无锡）下列等式正确的是（）A．（）2＝3 B． 3 C． 3 D．（）2＝﹣35．（2024•盘锦）若式子有意义，则x的取值范围是_______．6．（2024•绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（）A．B．C．D．7．（2024•临安区）下列各式计算正确的是（）A．a12÷a6＝a2B．（x+y）2＝x2+y2C．D．8．（2024•郴州）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．a﹣2C．32D．（a+2）（a﹣2）＝a2+4 9．（2024•孝感）下列计算正确的是（）A．a﹣2÷a5B．（a+b）2＝a2+b2C．22D．（a3）2＝a510．（2024•德阳）下列计算或运算中，正确的是（）A．2B．C．623D．﹣3 11．（2024•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是_____．12．（2024•巴中）已知|sinA|0，那么∠A+∠B＝_____．13．（2024•广州）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a___．14．（2024•山西）计算：（31）（31）＝____．15．（2024•镇江）计算：___．16．（2024•烟台）与最简二次根式5是同类二次根式，则a＝___．17．（2024•哈尔滨）计算610的结果是__ ．18．（2024•武汉）计算的结果是__________.19．（2024•盘锦）计算：_ _．20．（2024•滨州）观察下列各式：1，1，1，……请利用你所发现的规律，计算，其结果为__ ．21．（2024•莱芜）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是___．22．（2024•大连）计算：（2）22﹣223．（2024•陕西）计算：（）×（）+|1|+（5﹣2π）0。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题04二次根式一．选择题（共15小题）1．（2022•苏州）下列运算正确的是（）A．√(−7)2=−7B．6÷23=9C．2a+2b＝2ab D．2a•3b＝5ab【分析】直接利用二次根式的性质以及有理数的除法运算法则、合并同类项、单项式乘单项式，分别计算判断即可．【解析】A.√(−7)2=7，故此选项不合题意；B.6÷23=9，故此选项，符合题意；C.2a+2b，无法合并，故此选项不合题意；D.2a•3b＝6ab，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的性质以及有理数的除法运算、合并同类项、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（2022•云南）下列运算正确的是（）A．√2+√3=√5B．30＝0C．（﹣2a）3＝﹣8a3D．a6÷a3＝a2【分析】根据二次根式的加减法判断A选项；根据零指数幂判断B选项；根据积的乘方判断C选项；根据同底数幂的除法判断D选项．【解析】A选项，√2和√3不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意；B选项，原式＝1，故该选项不符合题意；C选项，原式＝﹣8a3，故该选项符合题意；D选项，原式＝a3，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次根式的加减法，零指数幂，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握a0＝1（a ≠0）是解题的关键．3．（2022•台州）无理数√6的大小在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵4＜6＜9，∴2＜√6＜3．故选：B ．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．4．（2022•眉山）实数﹣2，0，√3，2中，为负数的是（ ）A ．﹣2B ．0C ．√3D ．2【分析】根据负数的定义，找出这四个数中的负数即可．【解析】∵﹣2＜0∴负数是：﹣2，故选A ．【点评】本题主要考查实的分类，区分正负，解题的关键是熟知实数的性质：负数小于零．5．（2022•株洲）在0、13、﹣1、√2这四个数中，最小的数是（ ） A ．0 B ．13 C ．﹣1 D ．√2【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案．【解析】∵﹣1＜0＜13＜√2，∴最小的数是﹣1，故选：C ．【点评】本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键．6．（2022•江西）下列各数中，负数是（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．√2 【分析】根据负数的定义即可得出答案．【解析】﹣1是负数，2，√2是正数，0既不是正数也不是负数，故选：A ．【点评】本题考查了实数，掌握在正数前面添加“﹣”得到负数是解题的关键．7．（2022•金华）在﹣2，12，√3，2中，是无理数的是（ ） A ．﹣2 B ．12 C ．√3 D ．2【分析】利用有理数，无理数的概念对每个选项进行判断即可得出结论．【解析】﹣2，12，2是有理数，√3是无理数， 故选：C ．【点评】本题主要考查了有理数，无理数的意义，掌握上述概念并熟练应用是解题的关键．8．（2022•舟山）估计√6的值在（ ）A ．4和5之间B ．3和4之间C ．2和3之间D ．1和2之间【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵4＜6＜9，∴√4＜√6＜√9，∴2＜√6＜3，故选：C ．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．9．（2022•安徽）下列为负数的是（ ）A ．|﹣2|B ．√3C ．0D ．﹣5【分析】根据实数的定义判断即可．【解析】A ．|﹣2|＝2，是正数，故本选项不合题意；B ．√3是正数，故本选项不合题意；C ．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D ．﹣5是负数，故本选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了有理数，绝对值以及算术平方根，掌握负数的定义是解答本题的关键．10．（2022•凉山州）化简：√(−2)2=（ ）A ．±2B ．﹣2C ．4D ．2【分析】根据算术平方根的意义，即可解答．【解析】√(−2)2=√4＝2，故选：D ．【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．11．（2022•泸州）−√4=（）A．﹣2B．−12C．12D．2【分析】根据算术平方根的定义判断即可．【解析】−√4=−√22=−2．故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键．12．（2022•泸州）与2+√15最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】估算无理数√15的大小，再确定√15更接近的整数，进而得出答案．【解析】∵3＜√15＜4，而15﹣9＞16﹣15，∴√15更接近4，∴2+√15更接近6，故选：C．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义以及数的大小关系是正确解答的前提．13．（2022•重庆）估计√3×（2√3+√5）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间【分析】先计算出原式得6+√15，再根据无理数的估算可得答案．【解析】原式=√3×2√3+√3×√5=6+√15，∵9＜15＜16，∴3＜√15＜4，∴9＜6+√15＜10．故选：B．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．14．（2022•重庆）估计√54−4的值在（）A．6到7之间B．5到6之间C．4到5之间D．3到4之间【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．【解析】∵49＜54＜64，∴7＜√54＜8，∴3＜√54−4＜4，故选：D．【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．15．（2022•天津）估计√29的值在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间【分析】估算确定出所求数的范围即可．【解析】∵25＜29＜36，∴5＜√29＜6，即5和6之间，故选：C．【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．二．填空题（共20小题）16．（2022•武汉）计算√(−2)2的结果是2．【分析】利用二次根式的性质计算即可．【解析】法一、√(−2)2＝|﹣2|＝2；法二、√(−2)2=√4＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了二次根式的性质，掌握“√a2=|a|”是解决本题的关键．17．（2022•常德）要使代数式有意义，则x的取值范围为x＞4．√x−4【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解析】由题意得：x﹣4＞0，解得：x＞4，故答案为：x＞4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．18．（2022•天津）计算（√19+1）（√19−1）的结果等于18．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解析】原式＝（√19）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．19．（2022•新疆）若√x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为x≥3．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解析】∵x﹣3≥0，∴x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．20．（2022•杭州）计算：√4=2；（﹣2）2＝4．【分析】根据二次根式的性质、有理数的乘方法则计算即可．【解析】√4=2，（﹣2）2＝4，故答案为：2，4．【点评】本题考查的是二次根式的化简、有理数的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键．21．（2022•泰安）计算：√8•√6−3√43=2√3．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解析】原式=√8×6−3×2√3 3＝4√3−2√3＝2√3，故答案为：2√3．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．22．（2022•云南）若√x+1有意义，则实数x的取值范围为x≥﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．【解析】∵x+1≥0，∴x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．23．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2=2．【分析】根据数轴可得：﹣1＜a＜0，1＜b＜2，然后即可得到a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，从而可以将所求式子化简．【解析】由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|−√(b−1)2+√(a−b)2＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．（2022•滨州）若二次根式√x−5在实数范围内有意义，则x的取值范围为x≥5．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．【解析】要使二次根式√x−5在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，解得：x≥5，故答案为：x≥5．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式是解此题的关键．25．（2022•扬州）若√x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解析】若√x−1在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．26．（2022•邵阳）若√x−2有意义，则x 的取值范围是 x ＞2 ．【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x 的不等式组，求出x 的取值范围即可． 【解析】∵√x−2有意义，∴{x −2≥0x −2≠0，解得x ＞0． 故答案为：x ＞2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．27．（2022•山西）计算：√18×√12的结果为 3 ．【分析】按照二次根式的乘法法则计算即可．【解析】原式=√9=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则√a ⋅√b =√ab ．28．（2022•衡阳）计算：√2×√8= 4 ．【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．【解析】原式=√2×8=√16=4．故答案为：4【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．29．（2022•随州）已知m 为正整数，若√189m 是整数，则根据√189m =√3×3×3×7m =3√3×7m 可知m 有最小值3×7＝21．设n 为正整数，若√300n是大于1的整数，则n 的最小值为 3 ，最大值为 75 ． 【分析】先将√300n 化简为10√3n ，可得n 最小为3，由√300n 是大于1的整数可得√300n 越小，300n 越小，则n 越大，当√300n =2时，即可求解． 【解析】∵√300n =√3×100n =10√3n ，且为整数， ∴n 最小为3， ∵√300n 是大于1的整数， ∴√300n 越小，300n 越小，则n 越大，当√300n =2时， 300n =4，∴n ＝75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．30．（2022•宿迁）满足√11≥k 的最大整数k 是 3 ．【分析】根据无理数的估算分析解题．【解析】∵3＜√11＜4，且k ≤√11，∴最大整数k 是3．故答案为：3．【点评】本题考查无理数的估算，理解算术平方根的概念是解题关键．31．（2022•湘潭）四个数﹣1，0，12，√3中，为无理数的是 √3 ． 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可解答．【解析】四个数﹣1，0，12，√3中，为无理数的是√3． 故答案为：√3．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽得到的数；以及像0.1010010001…等有这样规律的数．32．（2022•陕西）计算：3−√25= ﹣2 ．【分析】首先利用算术平方根的定义化简，然后加减即可求解．【解析】原式＝3﹣5＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了实数的运算，主要利用算术平方根的定义．33．（2022•重庆）|﹣2|+（3−√5）0＝ 3 ．【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．【解析】原式＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题关键．34．（2022•南充）若√8−x为整数，x为正整数，则x的值是4或7或8．【分析】利用二次根式的性质求得x的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．【解析】∵8﹣x≥0，x为正整数，∴1≤x≤8且x为正整数，∵√8−x为整数，∴√8−x=0或1或2，当√8−x=0时，x＝8，当√8−x=1时，x＝7，当√8−x=2时，x＝4，综上，x的值是4或7或8，故答案为：4或7或8．【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，二次根式的性质，利用二次根式的性质求得x的取值范围是解题的关键．35．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数：√2（符合条件即可）．【分析】由于12＝1，32＝9，所以只需写出被开方数在1和9之间的，且不是完全平方数的数即可求解．【解析】1到3之间的无理数如√2，√3，√5．答案不唯一．【点评】本题主要考查常见无理数的定义和性质，解题关键是估算无理数的整数部分和小数部分．三．解答题（共9小题）36．（2022•武威）计算：√2×√3−√24．【分析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．【解析】原式=√6−2√6=−√6．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握√a•√b=√ab（a≥0，b≥0）是解题的关键．37．（2022•广元）计算：2sin60°﹣|√3−2|+（π−√10）0−√12+（−12）﹣2．【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．【解析】原式＝2×√32+√3−2+1﹣2√3+1(−12)2=√3+√3−2+1﹣2√3+4＝3．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握a ﹣p =1a p （a ≠0）是解题的关键．38．（2022•宿迁）计算：（12）﹣1+√12−4sin60°． 【分析】先计算（12）﹣1、√12，再代入sin60°算乘法，最后加减． 【解析】原式＝2+2√3−4×√32＝2+2√3−2√3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂的意义、二次根式的化简及特殊角的函数值是解决本题的关键．39．（2022•娄底）计算：（2022﹣π）0+（12）﹣1+|1−√3|﹣2sin60°． 【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．【解析】原式＝1+2+√3−1﹣2×√32＝1+2+√3−1−√3＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及特殊角的函数值是解决本题的关键．40．（2022•台州）计算：√9+|﹣5|﹣22．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解析】√9+|﹣5|﹣22＝3+5﹣4＝8﹣4＝4．【点评】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．41．（2022•新疆）计算：（﹣2）2+|−√3|−√25+（3−√3）0．【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．【解析】原式＝4+√3−5+1=√3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．42．（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+√9−2sin30°．【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可．【解析】原式＝1+3﹣2×1 2＝1+3﹣1＝3．【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握（﹣1）的偶次幂等于1，（﹣1）的奇次幂等于﹣1是解题的关键．43．（2022•怀化）计算：（3.14﹣π）0+|√2−1|+（12）﹣1−√8．【分析】根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简计算即可．【解析】原式＝1+√2−1+2﹣2√2＝2−√2．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，考查学生的运算能力，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p=1a p（a≠0）是解题的关键．44．（2022•遂宁）计算：tan30°+|1−√33|+（π−√33）0﹣（13）﹣1+√16．【分析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根可以解答本题．【解析】tan30°+|1−√33|+（π−√33）0﹣（13）﹣1+√16=√33+1−√33+1﹣3+4＝3．【点评】本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．。

2021年中考数学专题03 二次根式的运算（知识点总结+例题讲解）一、数的乘方与开方：1.数的乘方：（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（2）正数的任何次幂都是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；2.数的开方：（1）平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方根）；即：若x2=a，则x叫做a的平方根；①正数有两个平方根（互为相反数）；②负数没有平方根；③0的平方根是0；（2）算术平方根：正数的正的平方根叫做算术平方根；记作“a”。

3，则b叫做a的立方根；（3）若ab=①一个正数有一个正的立方根；②一个负数有一个负的立方根；③0的立方根是0；【例题1】(2020•青海)(-3+8)的相反数是；的平方根是．【答案】-5；±2【解析】解：-3+8=5，5的相反数是-54，4的平方根是±2．【变式练习1】4的算术平方根是，9的平方根是，－27的立方根是。

【答案】2；±3，﹣3【解析】解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3．【例题2】（2020•黄冈）计算38-= 。

【答案】-2【解析】解：38-=-2.【变式练习2】若a=，则a的值为( )A. 1B. 0C. 0或1D. 0或1或–1【答案】C=，∴a 为0或1；故选C 。

二、二次根式：1.二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式；（或是说，表示非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式）2.二次根式有意义的条件：被开方数≥0；（被开方数大于或等于 0 ）3.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）是非负数；（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==），（），（），（00002a a a a a a a（4）非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积； 即：b a ab •=（a ≥0，b ≥0）；反之：ab b a =⨯；（5）非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；即：b ab a =（a ≥0，b>0）；反之：b ab a=；【例题3】(2020•广东)在实数范围内有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ≠2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠-2【答案】B∴2x-4≥0，解得：x ≥2，∴x 的取值范围是：x ≥2；故选：B 。

最新九年级数学必考要点分类汇编精华版二次根式知识梳理1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5 ，都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如, , 就是同类二次根式，因为=2 ，=3 ，它们与的被开方数均为2。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。

如与，a+ 与a- ，- 与+ ，互为有理化因式。

二次根式的性质：1. (a≥0)是一个非负数, 即≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a≥0)；3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即= ²（a ≥0,b≥0）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。

二次根式的乘除1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，即（≥0，≥0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，、都是非负数；（2）（≥0，≥0）可以推广为（≥0，≥0）；（≥0，≥0，≥0，≥0）。

（3）等式（≥0，≥0）也可以倒过来使用，即（≥0，≥0）。

也称“积的算术平方根”。

它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次根式进行化简。

2. 二次根式的除法两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即（≥0，＞0）。

说明：（1）法则中、可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围，≥0，在分母中，因此＞0；（2）（≥0，＞0）可以推广为（≥0，＞0，≠0）；（3）等式（≥0，＞0）也可以倒过来使用，即（≥0，＞0）。

《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．某某市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值X围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC 的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的X围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值X围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的X围，再估算的X围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．某某市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值X围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值X围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简= 0 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是 4 ．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解： ==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： += 3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值X围是a＜1且a≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为 1 ．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 ．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13 ．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m 的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ﹣3 ．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式； =|a|； =•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为 1 ；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x ＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k 得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a ≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的X围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的X围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值X围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值X围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值X围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。

专题5二次根式（共36题）-2021年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】（第01期）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A 4=±B ．()021-=C =D 3=【答案】B【分析】利用算术平方根，零指数幂，同类二次根式，立方根逐项判断即可选择．【详解】4=，故A 选项错误，不符合题意；0(2)1-=，故B 选项正确，符合题意；C 选项错误，不符合题意；D 选项错误，不符合题意；故选B ．2．（2021·浙江杭州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A 2=B 2=-C 2=±D 2=± 【答案】A【分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】2==，故A 正确，C 错误；2，故B 、D 错误；故选：A ．3．（2021·上海中考真题）下列实数中，有理数是（ ）A B C D 【答案】C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】解：A2B3C 12为有理数D5故选：C4．（2021·江苏苏州市·中考真题）计算2的结果是（）A B．3C．D．9【答案】B【分析】直接根据二次根式的性质求解即可．【详解】解：2=3，故选B．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握2(0)a a=≥是解答此题的关键．5．（2021·甘肃武威市·中考真题）下列运算正确的是（）A 3=B ．4=C =D 4=【答案】C【分析】直接根据二次根式的运算法则计算即可得到答案．【详解】=A 错；=B 错；=C 正确；2=，故D 错．故选：C ．6．（2021· ）A ．7B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案；【详解】===故选：B ．7．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．1x =B ．1x =C ．x =D ．x =【答案】C【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．【详解】解：A 、)221=3x =-B 、)221x =C 、(22=18x =，是有理数，符合题意；D 、22=5x =-，是无理数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了无理数的概念以及二次根式的运算，熟练掌握运算法则和定义是解题的关键．8．（2021·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）A ．21=B ．2+=C =D 3= 【答案】C【分析】根据二次根式运算法则逐项进行计算即可．【详解】解：A. =，原选项错误，不符合题意；B. 2不是同类二次根式，不能合并，原选项错误，不符合题意；C.=D. =故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练运用二次根式运算法则，进行准确计算．9．（2021· ）A ．4B ．4±C ．D ．±【分析】()0,0,a b a b=≥≥直接化简即可得到答案．【详解】==故选：.C【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键．10．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知点)A m，3,2B n⎛⎫⎪⎝⎭在一次函数21y x=+的图像上，则m与n 的大小关系是（）A．m n>B．m n=C．m n<D．无法确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性加以判断即可．【详解】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∵y随x的增大而增大．∵2<94，32<．∵m<n．故选：C【点睛】本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键．11．（2021·浙江台州市·之间的整数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】【详解】解：∵12<<，23<<，∵2，这一个数，故选：B ．【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的两个有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．12．（2021·四川资阳市·中考真题）若a =b =2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c << 【答案】C【分析】根据无理数的估算进行大小比较．【详解】解：<>又∵a c b <<故选：C ．【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键．13．（2021·浙江中考真题）已知,a b 是两个连续整数，1a b <<，则,a b 分别是（ ） A ．2,1--B ．1-，0C ．0，1D ．1，2 【答案】C【分析】1的范围即可得到答案．【详解】<<解：12,∴011,<-<∴==0,1,a b故选：.C【点睛】本题考查的是无理数的估算，掌握利用算术平方根的含义估算无理数是解题的关键．二、填空题14．（2021·天津中考真题）计算1)的结果等于_____．【答案】9【分析】根据二次根式的混合运算法则结合平方差公式计算即可．【详解】2=-=．1)19故答案为9．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．掌握二次根式的混合运算法则是解答本题你的关键．15．（2021·浙江丽水市·有意义，则x可取的一个数是__________．x≥）【答案】如4等（答案不唯一，3【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵有意义，∵x﹣3≥0，∵x≥3，∵x可取x≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．16．（2021·江苏连云港市·=__________． 【答案】5【分析】直接运用二次根式的性质解答即可．【详解】5．故填5．【点睛】()()00a a a a ⎧-⎪=⎨≥⎪⎩＜成为解答本题的关键． 17．（2021·湖南衡阳市·有意义，则x 的取值范围是________．【答案】x ≥3【分析】根据二次根式被开方数为非负数进行求解．【详解】由题意知，30x -≥，解得，x ≥3，故答案为：x ≥3．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．18．（2021·浙江金华市·x 的取值范围是___．【答案】x 3≥．【详解】x 30x 3-≥⇒≥．19．（2021·四川广安市·中考真题）在函数y =x 的取值范围是___． 【答案】1x 2≥【详解】 试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非在实数范围内有意义，必须12x 10x 2-≥⇒≥．20．（2021·湖南岳阳市·中考真题）已知1x x +=，则代数式1x x +=______． 【答案】0【分析】把1x x+=直接代入所求的代数式中，即可求得结果的值． 【详解】10x x+== 故答案为：0．【点睛】本题考查了求代数式的值，涉及二次根式的减法运算，整体代入法是解决本题的关键．21．（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311212x ===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯； ……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=______． 【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可． 【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯ 12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021 ＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021 ＝2020+1﹣12016﹣2021 ＝12016-． 故答案为：12016-． 【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．三、解答题22．（2021·陕西中考真题）计算：0112⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【答案】【分析】根据零次幂、算术平方根及二次根式的加减运算可直接进行求解．【详解】解：原式11=-=【点睛】本题主要考查零次幂、算术平方根及二次根式的加减运算，熟练掌握零次幂、算术平方根及二次根式的加减运算是解题的关键．23．（2021·湖南邵阳市·中考真题）计算：()020212tan 60π--︒．【答案】﹣【分析】 根据零指数幂运算法则、绝对值符号化简、特殊角的三角函数值代入计算，然后根据同类二次根式合并求解即可．【详解】解：()020212tan 60π--︒＝(12--＝12-+＝﹣．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型．熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值化简方法，同类二次根式是解题关键．24．（2021·四川眉山市·中考真题）计算：(10143tan 602-⎛⎫--︒--+ ⎪⎝⎭【答案】3【分析】依次计算“0次方”、tan 60︒等，再进行合并同类项即可．【详解】解：原式=()132123--+=-+=【点睛】本题综合考查了非零数的零次幂、特殊角的三角函数、负整数指数幂以及二次根式的化简等内容，解决本题的关键是牢记相关计算公式等，本题易错点为对112-⎛⎫-- ⎪⎝⎭的化简，该项出现的“ -”较多，因此符号易出错，因此要注意．25．（2021·上海中考真题）计算： 1129|12-+-【答案】2【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】 解：1129|12-+--，(112-⨯=31，=2．26．（2021·浙江台州市·中考真题）计算：|-2|【答案】【分析】先算绝对值，化简二次根式，再算加减法，即可求解．【详解】解：原式=2＋【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式法则，是解题的关键．27．（2021·山东临沂市·中考真题）计算221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭．【答案】【分析】化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．【详解】解：221122⎫⎫+-⎪⎪⎭⎭11112222⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎫⎫+-⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎭⎭⎭⎭⎣⎦⎣⎦=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是合理运用平方差公式进行计算．28．（2021·甘肃武威市·中考真题）计算：011(2021)()2cos 452π--+-︒．【答案】3【分析】先进行零指数幂和负整数指数幂，余弦函数值计算，再计算二次根式的乘法，合并同类项即可．【详解】 解：011(2021)()2cos 452π--+-︒，122=+-3=【点睛】 本题主要考查零指数幂和负整数指数幂，特殊角三角函数值，掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，特殊角锐角三角函数值是解题的关键．29．（2021·浙江金华市·中考真题）计算：()202114sin 45+2-︒-． 【答案】1【分析】利用乘方的意义,二次根式的化简,特殊角的函数值,绝对值的化简,化简后合并计算即可【详解】解：原式1422=-+⨯+12=-+1=．【点睛】本题考查了二次根式的化简,特殊角的三角函数值,绝对值的化简等知识，熟练运用各自的运算法则化简是解题的关键．30．（2021·四川遂宁市·中考真题）计算：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+- ⎪⎝⎭π【答案】-3【分析】分别利用负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的性质化简，再进行计算即可．【详解】解：()101tan 60232-⎛⎫-+︒-+- ⎪⎝⎭π(=2-=221-- =3-【点睛】本题考查了负整指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．31．（2021·江苏苏州市·中考真题）先化简再求值：21111x x x-⎛⎫+⋅ ⎪-⎝⎭，其中1x =．【答案】1x +【分析】先算分式的加法，再算乘法运算，最后代入求值，即可求解．【详解】 解：原式()()111111x x x x x x+--+=⋅=+-．当1x =时，原式=【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的通分和约分，是解题的关键．32．（2021·四川广安市·中考真题）计算：()03.1414sin 60π-+︒．【答案】0【分析】分别化简各数，再作加减法．【详解】解：()03.1414sin 60π-+︒=1142-+⨯=11-+=0【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则．33．（2021·江苏苏州市·223--．【答案】-5【分析】分别化简算术平方根、绝对值和有理数的乘方，然后再进行加减运算即可得到答案．【详解】223-- 229=+-5=-．【点睛】此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．34．（2021·江苏扬州市·中考真题）计算或化简：（1）013|tan603⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭； （2）()11a b a b ⎛⎫+÷+ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）4；（2）ab【分析】（1）分别化简各数，再作加减法；（2）先通分，计算加法，再将除法转化为乘法，最后约分计算．【详解】解：（1）013|tan603⎛⎫-++︒ ⎪⎝⎭=13+=4；（2）()11a b a b ⎛⎫+÷+⎪⎝⎭ =()a b a b ab++÷ =()ab a b a b+⨯+ =ab【点睛】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．35．（2021·四川自贡市·0|7|(2-+-．【答案】1-【分析】利用算术平方根、绝对值的性质、零指数幂分别计算各项即可求解．【详解】解：原式5711=-+=-．【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握算术平方根、绝对值的性质、零指数幂是解题的关键．36．（2021·浙江丽水市·中考真题）计算：0|2021|(3)-+-．【答案】2020【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可；【详解】解：0|2021|(3)-+--202112=+-，2020=．【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则．。

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题5二次根式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·湖南株洲市·中考真题）计算：4-=（ ）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A【分析】【详解】解：()44-=-=-故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．2．（2021·湖南）下列运算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．()235a a =C 3=D ．222()a b a b +=+ 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后，再进行判断即可得到答案．【详解】解：A . 23235a a a a +⋅==，故选项A 计算错误，不符合题意；B . ()23326aa a ⨯==，故选项B 计算错误，不符合题意；C . |3|3=-=，此选项计算正确，故符合题意；D . 222()2a b a ab b +=++故选项D 计算错误，不符合题意；【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．3．（2021·湖南常德市·中考真题）计算：11122⎛⎫+-⋅= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2D 【答案】C【分析】 先将括号内的式子进行通分计算，最后再进行乘法运算即可得到答案．【详解】解：11122⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭=512- =2．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解答此题的关键．4．（2021·山东东营市·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）A ．235x x x +=B ．()2222a b a ab b --=++C ．()23636x x =D =【答案】B【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．选项A ，2x 和3x 不是同类项，不能够合并，选项A 错误；选项B ，根据完全平方公式可得()()22222a b a b a ab b --=+=++，选项B 正确；选项C ，根据积的乘方的运算法则可得()23639x x =，选项C 错误；选项D 不能够合并，选项D 错误．故选B ．【点睛】本题考查了合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则及二次根式的运算法则，熟练运用公式和法则是解决问题的关键．5．（2021·化为最简二次根式，其结果是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式=2=， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．6．（2021·湖南娄底市·中考真题）2,5,m ） A ．210m -B ．102m -C ．10D ．4【答案】D【分析】先根据三角形三边的关系求出m 的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．【详解】解：2,3,m 是三角形的三边，5252m ∴-<<+，解得：37x ，374m m =-+-=，故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m 的范围，再对二次根式化简．7．（2021·黑龙江绥化市·0在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．–1x >B ．1x ≥-且0x ≠C ．1x >-且0x ≠D ．0x ≠【答案】C【分析】 0在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．【详解】 0在实数范围内有意义， 必须同时满足下列条件：10x +≥0≠，0x ≠，综上：1x >-且0x ≠，故选：C ．【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．8．（2021·广西柳州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A=B．3+=C=D．2=【答案】C【分析】根据二次根式的运算性质求解，逐项分析即可【详解】A.B. 3+，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；C. ==D.2，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．9．（2021· 1.442）A．-100B．-144．2C．144.2D．-0.01442【答案】B【分析】类比二次根式的计算，提取公因数，代入求值即可．【详解】33 1.442=33-=--=-333(13∴-=-144.2故选B．【点睛】本题考查了根式的加减运算，类比二次根式的计算，提取系数，正确的计算是解题的关键．10．（2021·）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【分析】 根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．11．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·，这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据题意分别求出这三个实数中任意两数的积，进而问题可求解．【详解】解：由题意得： (2,==-=∵所有积中小于2的有2-两个；故选C ．【点睛】本题主要考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算是解题的关键．12．（2021·四川达州市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A =B 3±C ．()110a a a -⋅=≠D ．()2224436a b a b -=-【答案】C【分析】根据二次根式的性质和运算法则，负整数指数幂，积的乘方法则，逐一判断选项，即可．【详解】解：A.B. 3=，故该选项错误，C. ()110a a a -⋅=≠，故该选项正确，D. ()2224439a b a b -=，故该选项错误，故选C ．【点睛】 本题主要考查二次根式的性质和运算，负整数指数幂，积的乘方法则，熟练掌握上述性质和法则，是解题的关键．13．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，点A ，B 都在格点上，若B ，则AC 的长为（ ）A B C ．D ．【答案】B【分析】 利用勾股定理求出AB ，再减去BC 可得AC 的长．【详解】解：由图可知：AB∵BC∵AC =AB -BC = 故选B ．【点睛】 本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB 的长．14．（2021·内蒙古中考真题）若1x =，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．3- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：())22222=111113x x x -+-+=-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．15．（2021·广东中考真题）设6的整数部分为a ，小数部分为b ，则(2a b +的值是（ ）A ．6B ．C ．12D ．【答案】A【分析】a 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值．【详解】∵34<<，∵263<<，∵62a =，∵小数部分624b ==-∵(((22244416106a b =⨯+=-=-=． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定6的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键．16．（2021·黑龙江鹤岗市·中考真题）下列运算中，计算正确的是（ ）A ．2352m m m +=B ．()32626a a -=- C ．()222a b a b -=- D =【答案】D【分析】根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项．【详解】解：A 、2m 与3m 不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；B 、()32628a a -=-，错误，故不符合题意；C 、()2222a b a ab b -=-+，错误，故不符合题意；D =故选D ．【点睛】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法是解题的关键．17．（2021·湖北襄阳市·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >- 【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．【详解】∵在实数范围内有意义，∵x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键． 18．（2021·内蒙古呼和浩特市·中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．224347a a a +=B 11a= C ．31812()42-+÷-= D ．21111a a a a --=-- 【答案】D【分析】 根据有理数、整式、分式、二次根式的运算公式运算验证即可．【详解】222347a a a +=，故A 错；当a ＞011a =，当a ＜011a=-，故B 错； 31812()262-+÷-=-，故C 错； 21111a a a a --=--，D 正确； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了有理数、整式、分式、二次根式的运算，熟记运算定理和公式是解决问题的额关键． 19．（2021·湖北黄石市·中考真题）函数()02y x =+-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥-B ．2x >C ．1x >-且2x ≠D ．1x ≠-且2x ≠ 【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0，分母不为0以及零次幂的底数不为0，列式计算即可得解．【详解】解：函数()02y x =+-的自变量x 的取值范围是： 10x +>且20x -≠，解得：1x >-且2x ≠，故选：C ．【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．二、填空题20．（2021·广西贺州市·中考真题）x 的取值范围是________．【答案】1x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】有意义10x ∴+≥1x ∴≥-故答案为：1x ≥-【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．21．（2021·山东威海市·____________________．【答案】【分析】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．【详解】解：原式==-=，故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解．22．（2021·贵州铜仁市·中考真题）计算=______________；【答案】3【分析】先化简二次根式，再利用平方差公式展开计算即可求出答案．【详解】解：(==⨯322=⨯-3⎡⎤⎢⎥⎣⎦31=⨯=．3故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，细心运算是解题的关键．23．（2021·x的取值范围是_______________．x≥【答案】7【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：70x-≥，解得：7x≥；故答案为7x≥．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．24．（2021·山东聊城市·＝_______．【答案】4【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．【详解】解：原式=1 642-⨯=4．故答案是：4．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键．25．（2021·江苏宿迁市·x的取值范围是____________．【答案】任意实数【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解．【详解】解：∵20x≥，∵22x＋＞0，∵无论x∵x 的取值范围为任意实数，故答案为：任意实数．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键．26．（2021·浙江衢州市·x 的值可以是_________．（写出一个即可）【答案】3【分析】由二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得答案．【详解】∵10x -≥，解得：1≥x ，∵x 的值可以是3，故答案为：3【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题关键．27．（2021·江苏南京市·________．【答案】2【分析】【详解】解：原式=2=；．【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根式的性质和计算法则等．28．（2021·江苏南京市·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．【答案】x ≥0【分析】根据二次根式有意义的条件得到5x ≥0，解不等式即可求解．【详解】解：由题意得5x ≥0，解得x ≥0．故答案为：x ≥0【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”是解题关键．29．（2021·x 的取值范围是________． 【答案】0x >【分析】根据分式及二次根式有意义的条件可直接进行求解．【详解】解：由题意得：0x ≠且20x ≥， ∵0x >；故答案为0x >．【点睛】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．30．（2021·湖南怀化市·中考真题）比较大小：2__________12（填写“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＞【分析】12-，结果大于0大；结果小于0，则12大． 【详解】解：11=0222-＞，∵122， 故答案为：＞．【点睛】本题主要考查实数的大小比较，常用的比较大小的方法有作差法、作商法、平方法等，正确理解和记忆方法背后的知识点是解题关键．31．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：(1012a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ==_____________．【答案】2【分析】利用负整数指数幂和零指数幂求出a 的值，利用平方差公式，求出b 的值，进而即可求解．【详解】解：∵(1012213a -⎛⎫=+ =⎪+⎝=⎭，221b ==-=，=2=，故答案是：2．【点睛】本题主要考查二次根式求值，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂以及平方差公式，是解题的关键．32．（2021·湖北黄冈市·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =，b =1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．【答案】10【分析】先根据1ab =求出1111n n n S a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S 的值，再求和即可得． 【详解】解：1ab =，111111()1nn n n n n n a S a b a a b ∴=+=+++++（n 为正整数）， 11()nn n na a a ab =+++， 111nn n a a a =+++， 1=，12101S S S ===∴=， 则121010S S S +++=，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．三、解答题33．（2021·湖北中考真题）（1）计算：0(346)-⨯-++ （2）解分式方程：212112x x x+=--． 【答案】（1）8；（2）1x =．【分析】（1）先计算零指数幂、去括号、立方根、化简二次根式，再计算实数的混合运算即可得；（2）先将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程即可得．【详解】解：（1）原式1462⨯--+=44=+，8=；（2）212112x x x+=--， 方程两边同乘以21x -得：221x x -=-，移项、合并同类项得：33x -=-，系数化为1得：1x =，经检验，1x =是原分式方程的解，故方程的解为1x =．【点睛】本题考查了零指数幂、立方根、化简二次根式、解分式方程，熟练掌握各运算法则和方程的解法是解题关键．34．（2021·湖南娄底市·中考真题）计算：101)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭． 【答案】2【分析】直接利用零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：101)2cos 452π-⎛⎫+-︒ ⎪⎝⎭1222=+-⨯112=+2=．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式分母有理化、负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则，解题的关键是：掌握相关的运算法则．35．（2021·北京中考真题）计算：02sin 60(5π--．【答案】4【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解．【详解】解：原式=2514+-=． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键．36．（2021·湖北黄石市·中考真题）先化简，再求值：2111a a a -⎛⎫÷ ⎪⎝⎭-，其中31a ．【答案】11a +，3【分析】 先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最简二次根式即可．【详解】 解：原式=1(1)(1)()aa a a a a 1(1)(1)a a a a a 1=1a +，将31a 代入，原式3===． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关键．37．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）先化简，再求值：222414816a a a a a ---÷+++，其中2a =．【答案】22-+a ，【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行求解即可．【详解】解：原式=()()()242421142222a a a a a a a a +-+-+-⨯=-=-+++；把2a =代入得：原式==． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算及分式的化简求值，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键．38．（2021·湖南怀化市·中考真题）先化简，再求值：221262443x x x x x x x+-+⋅-++，其中2x =+．【答案】1;22x - 【分析】 先将乘法部分因式分解并约分化简，再通分合并，最后代值计算即可求解．【详解】解：原式=()()()()()223121222132222x x x x x x x x x x x x x +--++⨯=+==+----当2x =+时，原式=12x ===-故答案是：1;22x -． 【点睛】 本题考察分式的化简求值、因式分解和分母有理化，题目难度不大，属于基础计算题．解题的关键是掌握分式的计算法则．。

山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．二次根式的混合运算（共1小题）1．（2021•临沂）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．二．二次函数的应用（共2小题）2．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？3．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？三．三角形综合题（共1小题）4．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）5．（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．6．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？五．切线的判定与性质（共1小题）7．（2023•临沂）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BD 是⊙O 的直径，AB ＝AC ，AE ∥BC ，E 为BD 的延长线与AE 的交点．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若∠ABC ＝75°，BC ＝2，求的长．六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）8．（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y ”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××组员××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点A ，C ，D ，B 在同一条直线上，EF ⊥AB ，点A ，C 分别与点B ，D 关于直线EF对称．∠A 的大小28°AC 的长度84m 测量数据CD 的长度12m请利用表中提供的信息，求主塔顶端E 到AB 的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．七．频数（率）分布直方图（共2小题）9．（2023•临沂）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：81 90 82 89 99 95 91 83 92 9387 92 94 88 92 87 100 86 85 96（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；频数分布表成绩分组 划记 频数（2）①这组数据的中位数是 ；②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　；（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．10．（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2（1）图1中，a＝ ，b＝ ；（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 内的可能性最大；A.800≤W＜805B.805≤W＜810C.810≤W＜815D.815≤W＜820（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．山东省临沂市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．二次根式的混合运算（共1小题）1．（2021•临沂）计算|﹣|+（﹣）2﹣（+）2．【答案】见试题解答内容【解答】解：解法一，原式＝+[（）²﹣+]﹣[（）²++]＝+（2﹣+）﹣（2++）＝+2﹣+﹣2﹣﹣＝﹣．解法二，原式＝+（﹣++）（﹣﹣﹣）＝+2×（﹣1）＝﹣2＝﹣．二．二次函数的应用（共2小题）2．（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？【答案】（1）b的值是，c的值是65；（2）①x＝10t；②当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50m，∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），∴点B的坐标为（50，15），∵点A（0，65），点B（50，15）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，∴，解得，即b的值是，c的值是65；（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，因为点（0，0），（5，50）在该函数图象上，∴，解得，即x关于t的函数解析式是x＝10t；②设直线AB的解析式为y＝px+q，∵点A（0，65），点B（50，15）在该直线上，∴，解得，即直线AB的解析式为y＝﹣x+65，则h＝（﹣x2+x+65）﹣（﹣x+65）＝﹣x2+x，∴当x＝﹣＝25时，h取得最值，此时h＝，∵25＜50，∴x＝25时，h取得最值，符合题意，将x＝25代入x＝10t，得：25＝10t，解得t＝2.5，即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是m．3．（2021•临沂）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【答案】（1）87.5m；（2）6秒时两车相距最近，最近距离是2米【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s＝at2+bt，一次函数表达式为v＝kt+c，∵一次函数经过（0，16），（8，8），则，解得：，∴一次函数表达式为v＝﹣t+16，令v＝9，则t＝7，∴当t＝7时，速度为9m/s，∵二次函数经过（2，30），（4，56），则，解得：，∴二次函数表达式为，令t＝7，则s＝＝87.5，∴当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是87.5m；（2）设t秒后相距w，则w＝20+10t﹣（﹣t2+16t）＝（t﹣6）2+2，∵＞0，∴t＝6时，w有最小值，最小值为2，∴6秒时两车相距最近，最近距离是2米．三．三角形综合题（共1小题）4．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；（2）（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，∴＝＝+1，∴AB＝（+1）BD；（2）证明：如图2中，在△BCD和△ECF中，，∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，∴BD∥EF，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB；（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ，∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，∴CE＝EJ＝CB，∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，∴FJ＝AB＝AC，∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH（AAS），∴AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）5．（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？说明理由．（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）见解答过程；（2）不会发生变化，证明见解答过程；（3）AQ＝CP．【解答】（1）证明：连接BD，等边△ABC中，AB＝BC＝AC，∵点B、D关于直线AC对称，∴DC＝BC，AD＝AB，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于60°，理由如下：∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，∴PQ＝PD，等边△ABC中，AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝EP＝AE，而PF⊥AB，∴∠APF＝∠EPF，∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，∴PQ＝PB，∴∠PDA＝∠PBA，∠PBA＝∠PQA，∴∠PDA＝∠PQB∴∠DPQ＝∠DAQ＝60°；解法二：连接BP，通过证明△ADP≌△ABP，利用旋转和全等三角形的性质分析求解；（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：∵AC＝AB，AP＝AE，∴AC﹣AP＝AB﹣AE，即CP＝BE，∵AP＝EP，PF⊥AB，∴AF＝FE，∵PQ＝PB，PF⊥AB，∴QF＝BF，∴QF﹣AF＝BF﹣EF，即AQ＝BE，∴AQ＝CP．6．（2021•临沂）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与∠DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC．（1）求证：AG＝GH；（2）若AB＝3，BE＝1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，∠BHC的大小是否变化？为什么？【答案】（1）证明过程见解析；（2）点D到直线BH的距离为；（3）∠BHC的度数不变．【解答】（1）证明：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，∴∠BAG＝∠GAF＝∠BAF，B，F关于AE对称，∴AG⊥BF，∴∠AGF＝90°，∵AH平分∠DAF，∴∠FAH＝∠FAD，∴∠EAH＝∠GAF+∠FAH＝∠BAF+∠FAD＝（∠BAF+∠FAD）＝∠BAD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAH＝∠BAD＝45°，∵∠HGA＝90°，∴GA＝GH；（2）解：如图1，连接DH，DF，交AH于点N，由（1）可知AF＝AD，∠FAH＝∠DAH，∴AH⊥DF，FN＝DN，∴DH＝HF，∠FNH＝∠DNH＝90°，又∵∠GHA＝45°，∴∠NFH＝45°＝∠NDH＝∠DHN，∴∠DHF＝90°，∴DH的长为点D到直线BH的距离，由（1）知AE2＝AB2+BE2，∴AE＝＝＝，∵∠BAE+∠AEB＝∠BAE+∠ABG＝90°，∴∠AEB＝∠ABG，又∠AGB＝∠ABE＝90°，∴△AEB∽△ABG，∴，，∴AG＝＝，BG＝，由（1）知GF＝BG，AG＝GH，∴GF＝，GH＝，∴DH＝FH＝GH﹣GF＝＝．即点D到直线BH的距离为；方法二：连接BD，由折叠可知AE⊥BF，则△ABE≌△BCM，∴BE＝CM＝1，∴DM＝2，∴，同方法一可知AE＝BM＝，∴点D到直线BH的距离为＝；（3）不变．理由如下：方法一：连接BD，如图2，在Rt△HDF中，，在Rt△BCD中，＝sin45°＝，∴，∵∠BDF+∠CDF＝45°，∠FDC+∠CDH＝45°，∴∠BDF＝∠CDH，∴∠CHD＝∠BFD，∵∠DFH＝45°，∴∠BFD＝135°＝∠CHD，∵∠BHD＝90°，∴∠BHC＝∠CHD﹣∠BHD＝135°﹣90°＝45°．方法二：∵∠BCD＝90°，∠BHD＝90°，∴点B，C，H，D四点共圆，∴∠BHC＝∠BDC＝45°，∴∠BHC的度数不变．五．切线的判定与性质（共1小题）7．（2023•临沂）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E 为BD的延长线与AE的交点．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．【答案】（1）证明见解答；（2）的长是．【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA＝，∠OAC＝∠OCA＝，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，∴＝，∴∠OAB＝∠OAC，∴AF⊥BC，∵AE∥BC，∴∠OAE＝∠AFB＝90°，∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，∴OC＝BC＝2，∴＝＝，∴的长是．六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）8．（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：活动内容测量主塔顶端到桥面的距离成员组长：×××组员××××××××××××测量工具测角仪，皮尺等测量示意图说明：图为斜拉索桥的侧面示意图，点A，C，D，B在同一条直线上，EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直线EF对称．∠A的大小28°AC的长度84m测量数据CD的长度12m请利用表中提供的信息，求主塔顶端E到AB的距离（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．【答案】主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．【解答】解：延长EF交AB于点G，∵EF⊥AB，∴EG⊥AB，∴∠EGA＝90°，∵点A ，C 分别与点B ，D 关于直线EF 对称，∴CG ＝DG ，∵AC ＝84m ，CD ＝12m ，∴CG ＝6m ，∴AG ＝AC +CG ＝84+6＝90（m ），∵∠A ＝28°，tan A ＝，∴tan28°＝，解得EG ≈47.7，即主塔顶端E 到AB 的距离约为47.7m ．七．频数（率）分布直方图（共2小题）9．（2023•临沂）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：81 90 82 89 99 95 91 83 92 9387 92 94 88 92 87 100 86 85 96（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；频数分布表成绩分组　80＜x≤85　　85＜x ≤90 90＜x ≤95 95＜x ≤100　划记 频数　4 6 7 3　（2）①这组数据的中位数是　90.5　；②分析数据分布的情况（写出一条即可）　成绩在90＜x≤95的人数最多　；（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．【答案】（1）详见解答；（2）①90.5；②成绩在90≤x＜95的人数最多；（3）480．【解答】解：（1）画出频数分布直方图如下：＝90.5，因此中位数是90.5，故答案为：90.5；②从频数分布直方图可知：成绩在90≤x＜95的人数最多，故答案为：成绩在90＜x≤95的人数最多；（3）600×＝480（人），答：该校九年级600名学生中，测试成绩达到优秀等次的人数大约为480人．10．（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2（1）图1中，a＝　2　，b＝　3　；（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在　D　内的可能性最大；A.800≤W＜805B.805≤W＜810C.810≤W＜815D.815≤W＜820（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？简述理由．【答案】（1）2，3；（2）D；（3）从产量角度选择甲，从稳定性角度选乙．【解答】解：（1）由题意a＝2，b＝3，故答案为：2，3；（2）由频数分布直方图可知落在815≤W＜820的可能性最大，故选：D；（3）甲产量较高，但稳定性差，乙产量低，但稳定．从产量角度选择甲，从稳定性角度选乙．。

专题05二次根式一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)若代数式x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x<1B.x≤1C.x>1D.x≥12(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)二次根式1-x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为()A. B.C. D.3(2023·辽宁大连·统考中考真题)下列计算正确的是()A.20=2 B.23+33=56 C.8=42 D.323-2=6-234(2023·山东·统考中考真题)若代数式xx-2有意义，则实数x的取值范围是()A.x≠2B.x≥0C.x≥2D.x≥0且x≠25(2023·湖北荆州·统考中考真题)已知k=25+3⋅5-3，则与k最接近的整数为()A.2B.3C.4D.56(2023·河北·统考中考真题)若a=2，b=7，则14a2b2=()A.2B.4C.7D.27(2023·天津·统考中考真题)sin45°+22的值等于()A.1B.2C.3D.28(2023·山东临沂·统考中考真题)设m=515-45，则实数m所在的范围是()A.m<-5B.-5<m<-4C.-4<m<-3D.m>-39(2023·湖南·统考中考真题)对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=ab．该运算法则成立的条件是()A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a≤0,b≤0D.a≥0,b≥010(2023·山东烟台·统考中考真题)下列二次根式中，与2是同类二次根式的是()A.4B.6C.8D.1211(2023·江西·统考中考真题)若a-4有意义，则a的值可以是()A.-1B.0C.2D.6二、填空题12(2023·湖南常德·统考中考真题)要使二次根式x-4有意义，则x应满足的条件是．13(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)若式子x+5x有意义，则x的取值范围是．14(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)在函数y=1x-1+1x-2中，自变量x的取值范围是．15(2023·黑龙江鸡西·校考二模)函数y=x+3中，自变量x的取值范围是．16(2022春·贵州遵义·八年级校考阶段练习)计算3×12=．17(2023·山东聊城·统考中考真题)计算：48-31 3÷3=．18(2023·四川·统考中考真题)若1x -3有意义，则实数x 的取值范围是19(2023·湖北黄冈·统考中考真题)请写出一个正整数m 的值使得8m 是整数；m =．20(2018·云南·中央民族大学附属中学昆明五华实验学校校考一模)计算:2-8=21(2021春·广西南宁·八年级统考期中)计算(2+3)(2-3)的结果为．22(2023·天津·统考中考真题)计算7+6 7-6 的结果为．23(2023·湖南永州·统考中考真题)已知x 为正整数，写出一个使x -3在实数的范围内没有意义的x 值是．24(2023春·福建福州·九年级福建省福州第一中学校考期中)使x +1有意义的x 的取值范围是．25(2023·上海·统考中考真题)已知关于x 的方程x -14=2，则x =26(2023·湖南怀化·统考中考真题)要使代数式x -9有意义，则x 的取值范围是．27(2023·江苏连云港·统考中考真题)计算：(5)2=．三、解答题28(2023·四川·统考中考真题)计算：183+2-2+20230--11．29(2023·四川内江·统考中考真题)计算：(-1)2023+12-2+3tan30°-(3-π)0+|3-2|30(2023·上海·统考中考真题)计算：38+12+5-13-2+5-331(2023·甘肃武威·统考中考真题)计算：27÷32×22-62．。

中考专题复习-代数篇【整式篇】【学生总结-幂运算公式】 （1） （2） （3） （4）2、若32=n a ，则n a 6= .3、若 3m ,2m y x == 则 =+y x m ____, =+y 2x 3m =______.4、计算：()()()22245+•+•+b b b ().)2y -x (2y)-x (2y -x 432••【换指数】计算：(-2)1999+(-2)200020102009)532()135(⨯【整体带入】变式3、若ab 2=-6 ,则-ab(a 2b 5-ab 3-b)的值为平方差公式公式： ( a+b)(a-b)= a 2-b 2语言叙述：两数的 和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差 ， . 。

公式结构特点：左边： (a+b)(a-b)右边： a 2-b 2完全平方公式公式： (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2语言叙述：两数的 完全平方和（差）等于这两个数各自平方和与这两个数乘积2倍的和（差）。

，. 。

公式结构特点：左边： (a+b)2; (a-b)2右边：a 2+2ab+b 2; a 2-2ab+b 2 熟悉公式：公式中的a 和b 既可以表示数字也可以表示字母，还可以表示一个单项式或者一个多项式。

公式变形1、a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)22、（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23、(a+b)2 +（a-b ）2=4、(a+b)2 --（a-b ）2= 一、计算下列各题：2)(y x + 2)23(y x - 2)12(--t 5、2)313(c ab +-【十字相乘法】（二次项系数为1）232++x x 232+-x x 322-+x x 322--x x（二次项系数不为1）2522++x x 3522--x x 20322--x x 7522-+x x【分式篇】【分式加减法】例.（1）3b b x x + 242)2(2---x x x例.计算 （1）mm -+-329122 （2）a-b+22b a b +变式练习 1.计算：(1) （2）xx x ----13132（3）222x x x +--2144x x x --+ （4）++y x 1yx -11、计算：（1）))(())((a b c b ca cb b a b a --++--+ （2）x x x x ---3)3(32（3）22n m nn m m n m m ---++ （4） a -242a --【分式乘除法】分子分母因式分解→约分→计算例１.计算 （1）y x yz z xy 32982-•- (2)y x yx y x y x y x +-•-+÷-222)(1计算：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x y y x 346342， （2）xy x xy xy y x y x ++÷++-22222224.【分式混合计算】例.计算：（1））（a ab a b a 222-2a b a · 1-2a 12+++ （2） 4421642++-÷-x x x x变式练习 1.计算（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-÷-111122x x x （2）x x x x x x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+44412222【二次根式篇】【知识点一】：二次根式 1、a 有意义的条件：a 0≥2、二次根式的非负性：①⎩⎨⎧<-≥==0a ,a 0a ,a |a |a 2②0a ≥3、最简二次根式；①被开方数不含能开得尽方的因数和因式； ②被开方数不含分母.4、二次根式的乘除法法则：()0,0a b ab a b =≥≥g()0,0a a a b b b=≥≥例题讲解：例1：a 3-有意义，a 的取值范围____________； 2：已知y=2x -+2x -+5，求=yx_____________； 3：21--=x x y 在实数范围内有意义，x 应满足 ； 例2：02)2(2=++-y y x ，则xy 的值。

专题06二次根式（24题）一、单选题1．（2024·湖南·27）A ．7B ．72C ．14D 14【答案】D【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【详解】解：2714⨯=，故选：D2．（2024·内蒙古包头·2296-所得结果是（）A ．3B 6C ．35D ．35±【答案】C【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．【详解】解：229681364535-=-==；故选C ．3．（2024·云南·x x 的取值范围是（）A ．0x >B ．0x ≥C ．0x <D ．0x ≤【答案】B【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：∵式子x 在实数范围内有意义，∴x 的取值范围是0x ≥．故选：B4．（2024·黑龙江绥化·23m -有意义，则m 的取值范围是（）A ．23m ≤B ．32m ≥-C ．32m ≥D ．23m ≤-【答案】C【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得230m -≥，即可求解．5．（2024·四川乐山·中考真题）已知12x <<2x +-的结果为（）A ．1-B ．1C ．23x -D ．32x-6．（2024·重庆·中考真题）已知m =m 的范围是（）A ．23m <<B ．34m <<C ．45m <<D ．56m <<7．（2024·江苏盐城·，设其面积为2cm S ，则S 在哪两个连续整数之间（）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5【答案】C【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积S ，再利用放缩法估算无理数大小即可．【详解】解：2510S =⨯=，91016<<，∴91016<<，∴3104<<，即S 在3和4之间，故选：C ．8．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（）A ．356a a a +=B ．632a a a ÷=C ．()22a a -=D 2a a=【答案】C【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可【详解】解：A 、3a 与5a 不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意；B 、633a a a ÷=，选项错误，不符合题意；C 、()22a a -=，选项正确，符合题意；D 、当0a ≥时，2a a =，当0a <时，2a a =-，选项错误，不符合题意；故选：C9．（2024·重庆·1223的值应在（）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：∵()1223266+=+，而424265<=<，∴1026611<+<，故答案为：C10．（2024·四川德阳·，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（）A ．B ．CD ．二、填空题11．（2024·江苏连云港·x 的取值范围是．12．（2024·江苏扬州·有意义，则x 的取值范围是．13．（2024·贵州·23的结果是．【答案】6【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行计算．【详解】解：原式=23⨯=6，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，掌握二次根式乘法的运算法则a b ab ⋅=（a ≥0，b ＞0）是解题关键．14．（2024·北京·9x -x 的取值范围是．【答案】9x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得90x -≥，解得：9x ≥．故答案为：9x ≥【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．15．（2024·天津·中考真题）计算()111111-+的结果为．【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式11110=-=．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．16．（2024·四川德阳·()23-＝．【答案】3【分析】根据二次根式的性质“2a a =”进行计算即可得．【详解】解：()2333-=-=，故答案为：3．【点睛】本题考查了化简二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质．17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数32y x =+中，自变量x 的取值范围是．【答案】3x ≥/3x≤【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，解得，3x ≥，故答案为：3x ≥．18．（2024·山东烟台·x 的取值范围为．【答案】1x >/1x<【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【详解】解：由题意，得：10x ->，解得：1x >；故答案为：1x >．19．（2024·山东威海·=．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是．【答案】3x >-且2x ≠-【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，3020x x +>⎧⎨+≠⎩，解得3x >-且2x ≠-，故答案为：3x >-且2x ≠-．三、解答题21．（2024·内蒙古包头·中考真题）（1）先化简，再求值：()()2121x x +-+，其中22x =（2）解方程：2244x xx x --=．【答案】（1）21x -，7；（2）3x =【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x 的值代入计算即可；（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．【详解】解：（1）()()2121x x +-+22122x x x =++--21x =-，当22x =时，原式()22217=-=；（2）2244x x x x --=--去分母，得()224x x x ---=，解得3x =，把3x =代入43410x -=-=-≠，∴3x =是原方程的解．22．（2024·上海·中考真题）计算：1021|13|24(13)23-++--+．【答案】26【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：121|13|24(13)23-++--+2331261(23)(23)-=-++-+-3126231=-++--26=．23．（2024·甘肃·318122【答案】0【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可．24．（2024·河南·中考真题）（1(01；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪．。

专题03二次根式(优选真题60道)一．选择题(共24小题)1(2023•烟台)下列二次根式中，与2是同类二次根式的是()A.4B.6C.8D.12【答案】C【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得出答案即可．【解答】解：A．4=2，和2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B．6和2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；C．8=22，和2是同类二次根式，故本选项符合题意；D．12=23，和2不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．2(2023•岳阳)对于二次根式的乘法运算，一般地，有a•b=ab．该运算法则成立的条件是()A.a>0，b>0B.a<0，b<0C.a≤0，b≤0D.a≥0，b≥0【答案】D【分析】根据二次根式的乘法法则，即可解答．【解答】解：对于二次根式的乘法运算，一般地，有a•b=ab．该运算法则成立的条件是a≥0，b≥0，故选：D．【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．3(2023•金华)要使x-2有意义，则x的值可以是()A.0B.-1C.-2D.2【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x的范围，判断即可．【解答】解：由题意得：x-2≥0，解得：x≥2，则x的值可以是2，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．4(2023•巴中)下列运算正确的是()A.x2+x3=x5B.3×2=6C.(a-b)2=a2-b2D.|m|=m【答案】B【分析】根据二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质计算，判断即可．【解答】解：A、x2与x3，不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意；B、3×2=6，计算正确，符合题意；C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故本选项计算错误，不符合题意；D、当m≥0时，|m|=m，故本选项计算错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是二次根式的乘法、合并同类项、完全平方公式、绝对值的性质，掌握相关的运算法则和性质是解题的关键．5(2023•江西)若a-4有意义，则a的值可以是()A.-1B.0C.2D.6【答案】D【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：a-4有意义，则a-4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的有意义的条件，正确得出a的取值范围是解题关键．6(2023•临沂)设m=515-45，则实数m所在的范围是()A.m<-5B.-5<m<-4C.-4<m<-3D.m>-3【答案】B【分析】将原式进行化简后判断其在哪两个连续整数之间即可．【解答】解：m=515-45=25×15-35=5-35=-25=-20，∵16<20<25，∴16<20<25，即4<20<5，那么-5<-20<-4，则-5<m<-4，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，将原式计算后得出结果为-20是解题的关键．7(2023•天津)sin45°+22的值等于()A.1B.2C.3D.2【答案】B【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．【解答】解：原式=22+22=2，故选：B．【点评】本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．8(2023•扬州)已知a=5，b=2，c=3，则a、b、c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a【答案】C【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行判断即可．【解答】解：∵3<4<5，∴3<4<5，即3<2<5，则a>b>c，故选：C．【点评】本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．9(2023•台州)下列无理数中，大小在3与4之间的是()A.7B.22C.13D.17【答案】C【分析】一个正数越大，其算术平方根越大；据此进行无理数的估算进行判断即可．【解答】解：∵4<7<8<9<13<16<17，∴4<7<8<9<13<16<17，即2<7<22<3<13<4<17，那么13在3和4之间，故选：C．【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．10(2023•云南)按一定规律排列的单项式：a，2a2，3a3，4a4，5a5，⋯，第n个单项式是() A.n B.n-1a n-1 C.na n D.na n-1【答案】C【分析】根据题干所给单项式总结规律即可．【解答】解：第1个单项式为a，即1a1，第2个单项式为2a2，第3个单项式为3a3，．．．第n个单项式为na n，故选：C．【点评】本题考查数式规律问题，根据已知单项式总结出规律是解题的关键．11(2023•重庆)估计5×6-1 5的值应在()A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【答案】A【分析】先化简题干中的式子得到30-1，明确30的范围，利用不等式的性质求出30-1的范围得出答案．【解答】解：原式=30-1．∵5<30<6．∴4<30-1<5．故选：A．【点评】本题以计算选择为背景考查了无理数的估算，考核了学生对式子的化简和比较大小的能力，解题关键是将式子化简，确定无理数的范围最后利用不等式的性质．12(2022•内蒙古)实数a在数轴上的对应位置如图所示，则a2+1+|a-1|的化简结果是()A.1B.2C.2aD.1-2a【答案】B【分析】根据数轴得：0<a<1，得到a>0，a-1<0，根据a2=|a|和绝对值的性质化简即可．【解答】解：根据数轴得：0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握a2=|a|是解题的关键．13(2022•安顺)估计(25+52)×15的值应在()A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【答案】B【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案．【解答】解：原式=2+10，∵3<10<4，∴5<2+10<6，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．14(2022•广州)代数式1x+1有意义时，x应满足的条件为()A.x≠-1B.x>-1C.x<-1D.x≤-1【答案】B【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式1x+1有意义时，x+1>0，解得：x>-1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．15(2022•聊城)射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/s2，s=0.64m，那么子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为()A.0.4×103m/sB.0.8×103m/sC.4×102m/sD.8×102m/s【答案】D【分析】把a=5×105m/s2，s=0.64m代入公式v=2as，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：v=2as=2×5×105×0.64=8×102(m/s)，故选：D．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．16(2022•青岛)计算(27-12)×13的结果是()A.33B.1C.5D.3【答案】B【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再根据二次根式的性质进行计算，最后算减法即可．【解答】解：(27-12)×1 3=27×13-12×13=9-4=3-2=1，故选：B．【点评】本题考了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．17(2022•绥化)若式子x+1+x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A.x>-1B.x≥-1C.x≥-1且x≠0D.x≤-1且x≠0【答案】C【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a-p=1a p(a≠0)即可得出答案．【解答】解：∵x+1≥0，x≠0，∴x≥-1且x≠0，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，a-p=1a p (a≠0)是解题的关键．18(2021•内江)函数y=2-x+1x+1中，自变量x的取值范围是()A.x≤2B.x≤2且x≠-1C.x≥2D.x≥2且x≠-1【答案】B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0计算即可．【解答】解：由题意得：2-x≥0，x+1≠0，解得：x≤2且x≠-1，故选：B．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．19(2021•泰州)下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是()A.8与3B.2与12C.5与15D.75与27【答案】D【分析】一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先将各选项进行化简，再根据被开方数是否相同进行判断即可．【解答】解：A、8=22和3不是同类二次根式，本选项不合题意；B、12=23与2不是同类二次根式，本选项不合题意；C、5与15不是同类二次根式，本选项不合题意；D、75=53，27=33是同类二次根式，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．20(2021•大连)下列计算正确的是()A.(-3)2=-3B.12=23C.3-1=1D.(2+1)(2-1)=3【答案】B【分析】根据二次根式的性质，立方根的概念，平方差公式进行化简计算，从而作出判断．【解答】解：A、(-3)2=3，故此选项不符合题意；B、12=23，正确，故此选项符合题意；C、3-1=-1，故此选项不符合题意；D、(2+1)(2-1)=2-1=1，故此选项不符合题意，故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质，立方根的概念和二次根式的混合运算，理解二次根式的性质和概念是解题基础．21(2021•益阳)将452化为最简二次根式，其结果是()A.452B.902C.9102D.3102【答案】D【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．【解答】解：452=9×5×22×2=3102，故选：D．【点评】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式的性质，注意：满足以下两个条件：①被开方数中的因式是整式，因数是整数，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．22(2021•娄底)2、5、m是某三角形三边的长，则(m-3)2+(m-7)2等于()A.2m-10B.10-2mC.10D.4【答案】D【分析】直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5-2<m<5+2，故3<m<7，∴(m-3)2+(m-7)2=m-3+7-m=4．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．23(2021•河北)与32-22-12结果相同的是()A.3-2+1B.3+2-1C.3+2+1D.3-2-1【答案】A【分析】化简32-22-12=9-4-1=4=2，再逐个选项判断即可．【解答】解：32-22-12=9-4-1=4=2，∵3-2+1=2，故A符合题意；∵3+2-1=4，故B不符合题意；∵3+2+1=6，故C不符合题意；∵3-2-1=0，故D不符合题意．故选：A．【点评】本题考查了二次根式的运算性质，熟悉二次根式的运算性质是解题关键．24(2021•常德)计算：5+12-1•5+12=()A.0B.1C.2D.5-12【答案】B【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．【解答】解：5+12-1•5+12=5+1-22×5+12=5-12×5+12=(5)2-124=44=1．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式计算是解题关键．二．填空题(共26小题)25(2023•滨州)一块面积为5m2的正方形桌布，其边长为 5m　．【答案】5m．【分析】结合已知条件，求得5的算术平方根即可．【解答】解：设正方形桌布的边长为am(a>0)，则a2=5，那么a=5，即正方形桌布的边长为5m，故答案为：5m．【点评】本题考查算术平方根的应用，其定义是基础且重要知识点，必须熟练掌握．26(2023•陕西)如图，在数轴上，点A表示3，点B与点A位于原点的两侧，且与原点的距离相等．则点B表示的数是 -3　．【答案】-3．【分析】根据原点左边的数是负数，由绝对值的定义可得答案．【解答】解：由题意得：点B表示的数是-3．故答案为：-3．【点评】此题考查了数轴，绝对值，掌握绝对值的意义是解本题的关键．27(2023•枣庄)计算(2023-1)0+12-1=　3　．【答案】3．【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可．【解答】解：(2023-1)0+12 -1=1+2=3故答案为：3．【点评】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键，注意非零底数的零指数幂的结果为1．28(2023•安徽)计算：38+1=　3　．【答案】3．【分析】直接利用立方根的性质化简，进而得出答案．【解答】解：原式=2+1=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确掌握立方根的性质是解题关键．29(2023•广安)16的平方根是 ±2　．【答案】±2．【分析】利用算术平方根与平方根的意义解答即可．【解答】解：∵16=4，4的平方根为±2，∴16的平方根为±2．故答案为：±2．【点评】本题主要考查了算术平方根与平方根，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．30(2023•自贡)请写出一个比23小的整数 4(答案不唯一)　．【答案】4(答案不唯一)．【分析】根据算术平方根的定义估算无理数23的大小即可．【解答】解：∵42=16，52=25，而16<23<25，∴4<23<5，∴比23小的整数有4(答案不唯一)，故答案为：4(答案不唯一)．【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．31(2023•天津)计算(7+6)(7-6)的结果为 1　．【答案】1．【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．【解答】解：(7+6)(7-6)=(7)2-(6)2=7-6=1，故答案为：1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．32(2023•永州)已知x为正整数，写出一个使x-3在实数范围内没有意义的x值是 1(答案也可以是2)　．【答案】1(答案也可以是2)．【分析】根据二次根式没有意义即被开方数小于0求解即可．【解答】解：要使x-3在实数范围内没有意义，则x-3<0，∴x<3，∵x为正整数，∴x的值是1(答案也可以是2)．故答案为：1(答案也可以是2)．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式a有意义，则a≥0，若没有意义，则a<0．本题较简单，属于基础题．33(2023•连云港)计算：(5)2=　5　．【答案】5．【分析】(a)2=a(a≥0)，据此即可求得答案．【解答】解：(5)2=5，故答案为：5．【点评】本题考查二次根式的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．34(2022•朝阳)计算：63÷7-|-4|=　-1　．【答案】-1．【分析】先算除法，去绝对值，再合并即可．【解答】解：原式=63÷7-4=3-4=-1．故答案为：-1．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则．35(2022•日照)若二次根式3-2x在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≤32　．【答案】x≤3 2．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：3-2x≥0，解得：x≤3 2，故答案为：x≤3 2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．36(2022•青海)若式子1x-1有意义，则实数x的取值范围是x>1．【答案】x>1．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x-1>0，解得x>1，故答案为：x>1．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键．37(2022•北京)若x-8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥8．【答案】x≥8．【分析】根据二次根式有意义的条件，可得：x-8≥0，据此求出实数x的取值范围即可．【解答】解：∵x-8在实数范围内有意义，∴x-8≥0，解得：x≥8．故答案为：x≥8．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．38(2022•哈尔滨)计算3+313的结果是23　．【答案】23．【分析】先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得答案．【解答】解：原式=3+3×3 3=3+3=23．故答案为：23．【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．39(2022•包头)若代数式x+1+1x在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥-1且x≠0．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得x+1≥0 x≠0，解得x≥-1且x≠0，故答案为：x≥-1且x≠0．【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握这两个知识点的应用，列出不等式组是解题关键．40(2022•荆州)若3-2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式(2+2a)•b的值是2．【答案】2．【分析】根据2的范围，求出3-2的范围，从而确定a、b的值，代入所求式子计算即可．【解答】解：∵1<2<2，∴1<3-2<2，∵若3-2的整数部分为a，小数部分为b，∴a=1，b=3-2-1=2-2，∴(2+2a)•b=(2+2)(2-2)=2，故答案为：2．【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出a、b的值．41(2022•常德)要使代数式xx-4有意义，则x的取值范围为x>4．【答案】x>4．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x-4>0，解得：x>4，故答案为：x>4．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．42(2022•随州)已知m为正整数，若189m是整数，则根据189m=3×3×3×7m=33×7m可知m有最小值3×7=21．设n为正整数，若300n是大于1的整数，则n的最小值为3，最大值为75．【答案】3；75．【分析】先将300n化简为103n，可得n最小为3，由300n是大于1的整数可得300n越小，300n越小，则n越大，当300n=2时，即可求解．【解答】解：∵300n=3×100n=103n，且为整数，∴n最小为3，∵300n是大于1的整数，∴300n越小，300n越小，则n越大，当300n=2时，300n=4，∴n=75，故答案为：3；75．【点评】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．43(2022•天津)计算(19+1)(19-1)的结果等于18．【答案】18．【分析】根据平方差公式即可求出答案．【解答】解：原式=(19)2-12=19-1=18，故答案为：18．【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．44(2022•泰安)计算：8•6-343=　23　．【答案】23．【分析】化简二次根式，然后先算乘法，再算减法．【解答】解：原式=8×6-3×23 3=43-23=23，故答案为：23．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，准确化简二次根式是解题关键．45(2022•遂宁)实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|-(b-1)2+(a-b)2=2．【答案】2．【分析】根据数轴可得：-1<a<0，1<b<2，然后即可得到a+1>0，b-1>0，a-b<0，从而可以将所求式子化简．【解答】解：由数轴可得，-1<a<0，1<b<2，∴a+1>0，b-1>0，a-b<0，∴|a+1|-(b-1)2+(a-b)2=a+1-(b-1)+(b-a)=a+1-b+1+b-a=2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．46(2022•内蒙古)已知x，y是实数，且满足y=x-2+2-x+18，则x⋅y的值是　12　．【答案】见试题解答内容【分析】根据负数没有平方根求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可求出值．【解答】解：∵y=x-2+2-x+1 8，∴x-2≥0，2-x≥0，∴x=2，y=18，则原式=2×18=14=12，故答案为：12【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．47(2022•六盘水)计算：12-23=0．【答案】见试题解答内容【分析】先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：12-23=23-23=0．故答案为0．【点评】本题考查二次根式的加减，解题的关键是首先化简各个二次根式，再合并同类二次根式．48(2022•邵阳)若1x -2有意义，则x 的取值范围是x >2．【答案】x >2．【分析】先根据二次根式及分式有意义的条件列出x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵1x -2有意义，∴x -2≥0x -2≠0 ，解得x >0．故答案为：x >2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．49(2021•铜仁市)计算(27+18)(3-2)=3．【答案】3．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后利用平方差公式计算．【解答】解：原式=(33+32)(3-2)=3(3+2)(3-2)=3×(3-2)=3．故答案为3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．50(2021•荆州)已知：a =12 -1+(-3)0，b =(3+2)(3-2)，则a +b =2．【答案】2．【分析】先计算出a ，b 的值，然后代入所求式子即可求得相应的值．【解答】解：∵a =12-1+(-3)0=2+1=3，b =(3+2)(3-2)=3-2=1，∴a +b=3+1=4=2，故答案为：2．【点评】本题考查二次根式的化简求值、平方差公式、零指数幂、负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．三．解答题(共10小题)51(2023•内江)计算：(-1)2023+12-2+3tan30°-(3-π)0+|3-2|．【答案】4．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式=-1+4+3×33-1+2-3=-1+4+3-1+2-3=4．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．52(2023•十堰)计算：|1-2|+12-2-(π-2023)0．【答案】2+2．【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式=2-1+4-1=2+2．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．53(2023•岳阳)计算：|-3|+4+(-2)×1．【答案】3．【分析】利用绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则化简运算即可．【解答】解：原式=3+2+(-2)=3+2-2=3．【点评】本题主要考查了实数的运算，绝对值的意义，算术平方根的意义和有理数的乘法法则，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．54(2023•上海)计算：38+12+5-13-2+|5-3|．【答案】-6．【分析】根据立方根定义，二次根式的化简，负整数指数幂，绝对值的性质进行计算即可．【解答】解：原式=2+5-2(5+2)(5-2)-9+3-5=2+5-2-9+3-5=-6．【点评】本题考查实数的运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．55(2023•陕西)计算：5×(-10)-17-1+|-23|．【答案】-52+1．【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：原式=-52-7+|-8|=-52-7+8=-52+1．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．56(2023•岳阳)计算：22-tan60°+|3-1|-(3-π)0．【答案】2．【分析】先化简特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，再根据实数的运算法则计算即可．【解答】解：22-tan60°+|3-1|-(3-π)0．=4-3+3-1-1=2．【点评】本题考查了实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．57(2023•眉山)计算：(23-π)0-|1-3|+3tan30°+-1 2-2．【答案】6．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式=1-(3-1)+3×33+4=1-3+1+3+4=6．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．58(2023•武威)计算：27÷32×22-62．【答案】62．【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案．【解答】解：原式=33×23×22-62=122-62=62．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．59(2022•陕西)计算：5×(-2)+2×8-13-1．【答案】-9．【分析】先算乘法，负整数指数幂，求出算术平方根，再算加减即可．【解答】解：原式=-10+16-3=-10+4-3=-9．【点评】本题考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数相关运算的法则．60(2022•襄阳)先化简，再求值：(a+2b)2+(a+2b)(a-2b)+2a(b-a)，其中a=3-2，b=3 +2．【答案】6ab，6．【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．【解答】解：原式=a2+4b2+4ab+a2-4b2+2ab-2a2=6ab，∵a=3-2，b=3+2，∴原式=6ab=6×(3-2)(3+2)=6．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算与整式的混合运算--化简求值，正确掌握整式的混合运算法则是解题关键．。