2018年苏教版数学必修2 第2章 2.2.2 学业分层测评21

学业分层测评(十五)(建议用时：分钟)[学业达标]一、填空题．在直角坐标系中，直线＋－＝的斜率是．【解析】直线＋－＝化为斜截式得＝－＋，故直线的斜率为－.【答案】－．已知直线＋－＝在轴上的截距为－，且它的倾斜角是直线－－＝的倾斜角的倍，则＝，＝.【导学号：】【解析】由＋－＝在轴上截距为－，∴＝－，＝－.又－－＝的倾斜角为°.∴直线＋－＝的斜率－＝°，∴＝－.【答案】－－．直线的方程为＋＋＝，若经过原点和第二、四象限，则，，应满足．【解析】过原点，则＝，又过二、四象限，则－<，即>即>.【答案】>且＝．若方程(－－)＋(＋－)＋＋＝表示垂直于轴的直线，则为．【解析】因为方程表示垂直于轴的直线，所以－－＝且＋－≠，解得＝－.【答案】－．若方程(＋－)＋(－)－＋＝表示一条直线，则实数满足．【解析】该方程类似于直线的一般方程，若它表示一条直线，则，的系数不同时为.解＋－＝，得＝－或＝；解－＝，得＝或＝.综上可知实数需满足≠.【答案】≠．直线＋＋－－－＝恒过定点，则此定点是．【解析】＋＋－－－＝，(＋－)＋(－－)＝，则(\\(＋－＝，－－＝，))得(\\(＝，＝.))【答案】()．已知直线－＋＝与两坐标轴围成的三角形面积不大于，则实数的取值范围是．【解析】令＝，则＝；令＝，则＝－，所以直线与两坐标轴所围成的三角形的面积是＝－·≤，即≤，所以－≤≤.【答案】[－]．直线：＋(＋)＋＝的倾斜角大于°，则的取值范围是．【解析】当＝－时，直线的倾斜角为°，符合要求；当≠－时，直线的斜率为－，只要－>或－<即可，解得－<<－或<－或>.综上可知，实数的取值范围是∪(，＋∞)．【答案】∪(，＋∞)二、解答题．求经过点(－)，且在轴上的截距等于在轴上的截距的倍的直线方程.【导学号：】【解】()当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为＝，将(－)代入＝中，得＝－，此时直线方程为＝－，即＋＝.()当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为＋＝，将(－)代入所设方程，解得＝－，此时直线方程为＋＋＝.综上所述，所求直线方程为＋＋＝或＋＝.．设直线的方程为(－－)＋(＋－)＝－，根据下列条件分别求的值．()在轴上的截距为；()斜率为；()经过定点(－，－)．【解】()∵直线过点′()，∴－－＝－，解得＝或＝.又∵＝时，直线的方程为＝，不符合题意，∴＝.。

阶段质量检测(二)平面解析几何初步[考试时间：120分钟试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分)1．点A(2，－3,1)关于点B(－1,0,3)的对称点A′的坐标是____________．2．点P为y轴上一点，且点P到直线3x－4y＋3＝0的距离等于1，则点P的坐标为________．3．若实数m，n满足2m－n＝1，则直线mx－3y＋n＝0必过定点________．4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相平行，则实数m＝________.5．若直线l与直线3x＋y－1＝0垂直，且它在x轴上的截距为－2，则直线l的方程为________．6．三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：x－3y＋2＝0和l3：3x＋ty－1＝0共有两个不同的交点，则t＝________.7．已知两圆C1：x2＋y2＝10，C2：x2＋y2－2x＋2y－14＝0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为__________．8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为________．9．已知以点M(1,3)为圆心的圆C与直线3x－4y－6＝0相切，则该圆C的方程为____________．10．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k 的取值范围是________．11．已知过点P(2,2) 的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.12．与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．13．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．14．设集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}，当A∩B ＝B时，r的取值范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的方程． 16．(14分)求分别满足下列条件的直线方程．(1)经过直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋y ＋1＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行； (2)与直线l ：3x ＋4y －12＝0垂直且与坐标轴围成的三角形面积为6.17.(14分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．18．(16分)已知P 是直线上一点，将直线l 绕P 点沿逆时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)所得直线方程为l 1：3x －y －4＝0，若继续绕P 点旋转90°－α，则得直线l 2的方程为x ＋2y ＋1＝0.(1)求直线l 的方程；(2)已知实数x ，y 满足直线l 的方程，求x 2＋y 2的最小值．19．(16分)已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？20．(16分)已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B 两点，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．答案1．解析：由中点坐标公式的A ′的坐标是(－4,3,5)． 答案：(－4,3,5)2．解析：依题意，设P (0，y 0)，则d ＝|－4y 0＋3|32＋(－4)2＝1，即|4y 0－3|＝5，解得y 0＝－12或2，所以点P 的坐标为(0，－12)或(0,2)．答案：(0，－12)或(0,2)3．解析：由已知得n ＝2m －1，代入直线mx －3y ＋n ＝0得mx －3y ＋2m －1＝0，即(x＋2)m ＋(－3y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－3y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－13.所以此直线必过定点(－2，－13)．答案：(－2，－13)4．解析：由于两直线平行，故m ＋4＝0，从而m ＝－4，当m ＝－4时，两直线平行． 答案：－45．解析：因为直线3x ＋y －1＝0的斜率为－3，所以直线l 的斜率为13.又直线在x 轴上的截距为－2，即直线l 与x 轴的交点为(－2,0)，所以直线l 的方程为y －0＝13(x ＋2)，即x－3y ＋2＝0.答案：x －3y ＋2＝06．解析：依题意可得l 1∥l 3或l 2∥l 3.若l 1∥l 3，则32＝t 1，解得t ＝32；若l 2∥l 3，则31＝t－3，解得t ＝－9.答案：32或－97．解析：将两圆方程相减得x －y ＋2＝0，此即为过两圆交点的公共弦所在的直线方程． 答案：x －y ＋2＝08．解析：圆心为M (3，－1)，半径为2.圆心到直线x ＝－3的距离为3－(－3)＝6，所以|PQ |的最小值为6－2＝4.答案：49．解析：圆心到直线的距离d ＝|3×1－4×3－6|32＋(－4)2＝3，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9. 答案：(x －1)2＋(y －3)2＝910. 解析：如图，设圆的圆心为C ，则C (3,2)．作CD ⊥MN 于D ，则|CD |＝|3k ＋1|k 2＋1，于是有|MN |＝2|MD |＝2|CM |2－|CD |2 ＝24－9k 2＋6k ＋1k 2＋1≥23，即4－9k 2＋6k ＋1k 2＋1≥3，解得－34≤k ≤0.答案：[－34，0]11．解析：设直线斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，圆心(1,0)到直线的距离|k ＋2－2k |k 2＋1＝5，即|2－k |k 2＋1＝5，解得k ＝－12.因为直线与直线ax －y ＋1＝0垂直，所以k ＝－1a ＝－12，即a ＝2.答案：212．解析：结合图形，可知满足条件的直线有4条．答案：413．解析：设平面上的点为P ，易知ABCD 为凸四边形，设对角线AC 与BD 的交点为P ′，则|P A |＋|PC |≥|AC |＝|AP ′|＋|P ′C |，|PB |＋|PD |≥|BD |＝|BP ′|＋|P ′D |，当且仅当P 与P ′重合时，上面两式等号同时成立，由AC 和BD 的方程解得P ′(2,4)．答案：(2,4)14．解析：∵A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤r 2(r ＞0)}均表示圆及其内部的点，由A ∩B ＝B 可知两圆内含或内切．∴2≤2－r ，即0＜r ≤2－ 2.答案：(0,2－ 2 ]15．解：圆心显然在线段AB 的垂直平分线y ＝6上，设圆心为(a,6)，半径为r ，则(x －a )2＋(y －6)2＝r 2，得(1－a )2＋(10－6)2＝r 2，而r ＝|a －13|5∴(a －1)2＋16＝(a －13)25，解得a ＝3或a ＝－7，r ＝25或r ＝4 5.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －6)2＝20或(x ＋7)2＋(y －6)2＝80.16.解：(1)将2x ＋y ＋2＝0与3x ＋y ＋1＝0联立方程组解得交点坐标为(1，－4)． 由所求直线与直线2x ＋3y ＋5＝0平行， 则所求直线斜率为－23，从而所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0. (2)设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0， 令y ＝0得到x ＝－m 4，令x ＝0得到y ＝m3，则S ＝12×m 212＝6，解得m ＝±12.从而所求直线方程为4x －3y ±12＝0.17．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.18．解：(1)依题意，直线l 过直线l 1：3x －y －4＝0与l 2：x ＋2y ＋1＝0的交点P ， 故可设l 方程为3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0.又直线l 1绕点P 逆时针方向旋转角α到l 1，再绕点P 逆时针方向旋转90°－α到l 2，知l ⊥l 2，由两条直线垂直的条件得3＋λ1－2λ(－12)＝－1⇒λ＝－15，代入3x －y －4＋λ(x ＋2y ＋1)＝0得： l 的方程为2x －y －3＝0(2)x 2＋y 2的最小值即为原点O 到直线l 的距离d ＝35＝355.19．解：(1)∵k ＝mm 2＋1，∴km 2－m ＋k ＝0(*)，∵m ∈R ，∴当k ≠0时Δ≥0，解得－12≤k ≤12且k ≠0又当k ＝0时，m ＝0，方程(*)有解．所以，综上所述－12≤k ≤12.(2)假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点则∠ACB ＝120°. ∵圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆心C (4，－2)到l 的距离为1.故有|4m ＋2(m 2＋1)－4m |m 2＋(m 2＋1)2＝1，整理得3m 4＋5m 2＋3＝0. ∵Δ＝52－4×3×3＜0，∴3m 4＋5m 2＋3＝0无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧．20．解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2×(－1)＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，即圆心C 的坐标为(0,0)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入，求得r 2＝2. 于是圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)依题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设l P A ：y －1＝k (x －1)，l PB ：y －1＝－k (x －1)，A 点坐标为(x A ，y A )，B 点坐标为(x B ，y B )．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2， 得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋k 2－2k －1＝0，因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，所以可得 x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理x B ＝k 2＋2k －11＋k 2.设直线AB 的斜率为k AB ，则k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)x B －x A ＝2k －k (x B ＋x A )x B －x A＝1， 而直线OP 的斜率k OP ＝1，所以k AB ＝k OP ， 所以直线OP 和AB 一定平行．。

学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2-1-19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2-1-19【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎨⎧3，5， 33＝⎩⎨⎧7，9，11，43＝⎩⎨⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m (m －1)2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1. ∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45.验证453＝91 125＝(1 979＋2 071)×452.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________．【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n .故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)． 【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2) 5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件)【答案】 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋) 6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________． 【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125. 【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2-1-20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2-1-20(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n 按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.【解析】 由于2 015＝4504行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－(24)504]1－24＝22 018－415.【答案】22 018－415 二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)，证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n .故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝4＝4a1，∴对任意正整数n，都有S n＋1＝4a n.10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a.类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a.证明：设M是正四面体P-ABC内任意一点，M到面ABC，面P AB，面P AC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC＝V M-ABC＋V M-P AB＋V M-P AC＋V M-PBC＝13·S△ABC·(d1＋d2＋d3＋d4)，而S△ABC ＝34a2，VP-ABC＝212a3，故d1＋d2＋d3＋d4＝63a(定值)．能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋ab＝6ab(a，b均为正实数)，则a＋b＝______.【解析】类比已知的3个等式，知a＝6，b＝62－1＝35.所以a＋b＝41.【答案】412．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________．【解析】如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝63，此时点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO ＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3.【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式： ①sin 2θ＝cos θ·2sin θ； ②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)． 则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】 由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n ，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 145．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明．【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32. 则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g(5)＝a5－a－52，因此，g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．(2)g(5)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)，即g(3＋2)＝f(3)·g(2)＋g(3)·f(2)．于是猜测g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)．证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，∴g(x＋y)＝a(x＋y)－a－(x＋y)2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，所以f(x)·g(y)＋g(x)·f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a(x＋y)－a－(x＋y)2＝g(x＋y)．故g(x＋y)＝f(x)·g(y)＋g(x)·f(y).。

1.若两圆的方程分别为x 2＋y 2－4x －1＝0，x 2＋y 2－6x ＋2y －15＝0，则两圆的位置关系为________．解析：C 1(2，0)，r 1＝5，C 2(3，－1)，r 2＝5，|C 1C 2|＝2<5－5，故两圆内含． 答案：内含2.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x －10y －7＝0的公切线共有________条． 解析：C 1(－2，2)，r 1＝1，C 2(2，5)，r 2＝6，|C 1C 2|＝5＝r 2－r 1.∴两圆内切，∴公切线只有1条．答案：13.两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＝0，C 2：x 2＋y 2＋4y ＝0的公共弦所在直线的方程为________． 解析：法一：求出它们的两个交点A ，B ，再用两点式求出直线AB 的方程．法二：设一个交点为(x 0，y 0)，则x 20＋y 20－2x 0＝0且x 20＋y 20＋4y 0＝0，两式相减得2x 0＋4y 0＝0，即x 0＋2y 0＝0，也就是直线x ＋2y ＝0过定点(x 0，y 0)．而(x 0，y 0)是任一交点，∴x ＋2y ＝0过任一交点，而过两个点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y ＝0.答案：x ＋2y ＝04.半径为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为________．解析：设圆心(a ，b )，由题意有⎩⎨⎧|b |＝6，a 2＋（b －3）2＝6－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6. ∴圆心为(±4，6)，又半径为6.∴圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝62.答案：(x －4)2＋(y －6)2＝36或(x ＋4)2＋(y －6)2＝36[A 级 基础达标]1.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0x 2＋y 2＝5， ① ② ②－①得两圆公共弦所在直线方程为x －y －3＝0.∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32. 设公共弦长为l ，∴l ＝25－（32）2＝ 2. 答案： 22.点P 在圆O: x 2＋y 2＝1上运动，点Q 在圆C ：(x －3)2＋y 2＝1上运动，则PQ 的最小值为________．解析：如图．设连心线OC 与圆O 交于点P ′，与圆C 交于点Q ′，当点P 在P ′处，点Q 在Q ′处时PQ 最小，最小值为P ′Q ′＝OC －r 1－r 2＝1.答案：13.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．解析：曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.如图所示，所求的最小圆的圆心在直线y ＝x 上，其到直线的距离d ＝52－322＝2，即为其半径，圆心坐标为(2，2)．所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案：(x －2)2＋(y －2)2＝24.(2012·南京质检)若a 2＋b 2＝4，则两圆(x －a )2＋y 2＝1与x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．解析：∵两圆的圆心分别为O 1(a ，0)，O 2(0，b )，半径r 1＝r 2＝1，∴O 1O 2＝a 2＋b 2＝2＝r 1＋r 2，两圆外切．答案：外切5.两圆相交于A (1，3)和B (m ，－1)两点，且两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是________．解析：由题意知，直线AB 与x －y ＋c ＝0相互垂直，则有3＋11－m×1＝－1， ∴m ＝5，∴AB 中点为(3，1)．由圆的性质知，AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，即3－1＋c ＝0，∴c ＝－2，从而m ＋c ＝5－2＝3.答案：36.求过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2－x －y －2＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0.即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋(4λ－1)x ＋(－4λ－1)y －8λ－2＝0.因为所求圆过点(3，1)，所以有9(λ＋1)＋(λ＋1)＋3(4λ－1)＋(－4λ－1)－8λ－2＝0.解得λ＝－25.所以所求圆的方程为35x 2＋35y 2－135x ＋35＋65＝0. 即3x 2＋3y 2－13x ＋3y ＋6＝0.7.求两圆x 2＋y 2－2x －6y ＋9＝0和x 2＋y 2－2mx －2(m －1)y ＋2m 2－2m ＝0的圆心距的最小值，并判断当这个圆心距取得最小值时两圆的位置关系．解：将两圆方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －3)2＝1，(x －m )2＋[y －(m －1)]2＝1.两圆圆心距d ＝（m －1）2＋（m －4）2＝2m 2－10m ＋17＝2（m －52）2＋92. 故当m ＝52时，d min ＝322，此时，d ＝322>1＋1， ∴两圆相离． [B 级 能力提升]8.若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0和圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是________．解析：∵圆x 2＋y 2＝1的圆心关于直线y ＝x －1的对称点是(1，－1)，它也是圆x 2＋y 2－ax＋2y ＋1＝0的圆心，∴a ＝2，设点P (x ，y )，则有（x ＋2）2＋（y －2）2＝|x |，即y 2＋4x－4y ＋8＝0.答案：y 2＋4x －4y ＋8＝09.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A 、B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是________．解析：两圆的方程相减得直线AB 的方程：x ＋3y ＝0.则AB 的垂直平分线的方程是：y ＝3(x －3)，即3x －y －9＝0.答案：3x －y －9＝010.从圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0外一点P (a ，b )向圆引切线PT ，T 为切点，且PT ＝PO (O 为原点)，求PT 的最小值及此刻P 的坐标． 解：已知圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1，∴圆心C 的坐标为(2，3)，半径r ＝1，如图，连结PC ，CT .由平面几何知识，PT 2＝PC 2－CT 2＝(a －2)2＋(b －3)2－1.由已知PT ＝PO ，∴PT 2＝PO 2，即(a －2)2＋(b －3)2－1＝a 2＋b 2，∴2a ＋3b －6＝0，∴b ＝6－2a 3， ∴PT 2＝PO 2＝a 2＋b 2＝a 2＋(6－2a 3)2＝a 2＋49(a －3)2＝19(13a 2－24a ＋36)，∴PT ＝1313a 2－24a ＋36＝1313（a －1213）2＋32413. ∴当a ＝1213时，PT min ＝1332413＝61313，此时P 点的坐标为(1213，1813． 11.(创新题)已知点P (－2，－3)和以点Q 为圆心的圆(x －4)2＋(y －2)2＝9.(1)Q ′为PQ 中点，画出以PQ 为直径，Q ′为圆心的圆，再求出它的方程；(2)作出以Q 为圆心的圆和以Q ′为圆心的圆的两个交点A ，B .直线P A ，PB 是以Q 为圆心的圆的切线吗？为什么？(3)求直线AB 的方程．解：(1)∵已知圆的方程为(x －4)2＋(y －2)2＝32，∴Q (4，2)．PQ 中点为Q ′(1，－12)， 半径为r ＝|PQ |2＝612，故以Q ′为圆心的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋12)2＝614(如图所示)． (2)∵PQ 是圆Q ′的直径，∴PA ⊥AQ ，∴PA 是圆Q 的切线，同理PB 也是圆Q 的切线．(3)将圆Q 与圆Q ′方程相减，得6x ＋5y －25＝0. 即直线AB 的方程为6x ＋5y －25＝0.。