递推关系的建立及其求解方法

数学递推关系问题：解决递推关系数学中的递推关系是指一个序列中的每一项都可以由前面一项或多项递推出来的关系。

在解决数学递推关系的问题时，我们通常需要确定递推关系的形式，进而找到规律并求解特定项或整个序列的值。

本文将介绍解决递推关系问题的一般方法和常见技巧。

一、确定递推关系的形式对于给定的数学递推关系，我们首先需要确定它的形式。

递推关系的形式可以通过观察序列中的数值规律来确定。

常见的递推关系形式包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等。

以等差数列为例，递推关系通常可表示为：an = an-1 + d，其中an表示第n项，d表示公差。

通过观察序列中相邻项之间的差值是否恒定，我们就可以判断出递推关系的形式。

对于其他形式的递推关系，也可以通过类似的方法进行确定。

需要注意的是，递推关系的形式不一定是唯一的，可能存在多种可能性。

因此，在确定递推关系的形式时，我们需要仔细观察序列中的数值规律，并进行推断和验证。

二、找到规律求解确定递推关系的形式后，我们就可以利用找到的规律来求解特定项或整个序列的值。

以等差数列为例，如果我们已知了序列的首项a1和公差d，可以通过递推公式an = an-1 + d来求解其他项的值。

例如，要求解第n项的值an，可以通过递推公式反复递推计算得到。

除此之外，还可以借助数学方法和工具求解递推关系问题。

例如，对于等比数列，我们可以通过求解特征方程来找到递推关系的通项公式，进而求解特定项的值。

另外，对于一些特殊的递推关系，可能存在已知的求解方法和技巧。

例如，斐波那契数列的递推关系可以通过矩阵乘法或黄金分割公式求解。

三、举例分析为了更好地理解解决递推关系问题的方法和技巧，我们来看一个具体的例子：求解斐波那契数列的第n项的值。

斐波那契数列是一个经典的递推关系，其递推关系可以表示为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。

为了求解第n项的值Fn，我们可以使用递推公式反复计算。

用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。

本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。

一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。

1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。

（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。

（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。

（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。

（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。

（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。

2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。

（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。

（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。

（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。

最终的通项公式为Un=2^n。

二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。

1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。

递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一)引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。

我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。

递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。

(二)教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。

这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。

从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。

无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。

这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。

递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。

递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。

一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。

所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。

）1．递推关系的定义和求解递推关系的方法有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。

二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。

常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。

设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。

如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。

常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。

2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。

3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。

二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。

1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。

5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。

通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。

三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。

数列递推公式的九种方法1.等差数列递推公式：在等差数列中，相邻两项之间存在相同的差。

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，可以求得递推公式为an = a1 + (n-1)d，其中n为第n项。

2.等比数列递推公式：在等比数列中，相邻两项之间的比值相同。

如果已知等比数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

3. 几何数列递推公式：几何数列是一种特殊的等比数列，其公比是常数项。

如果已知几何数列的首项为a1，公比为r，可以求得递推公式为an = a1 * r^(n-1)，其中n为第n项。

4. 斐波那契数列递推公式：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列的递推公式为an = an-1 + an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

5. 回型数列递推公式：回型数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由周围的四个数字决定的。

回型数列的递推公式为an = an-1 + 8 * (n-1)，其中n为第n项，a1为第一项。

6. 斯特恩-布洛特数列递推公式：斯特恩-布洛特数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的约数个数决定的。

斯特恩-布洛特数列的递推公式为an = 2 * an-1 - an-2，其中n为第n项，a1和a2为前两项。

7. 阶乘数列递推公式：阶乘数列是一种特殊的数列，它的每一项都是前一项的阶乘。

阶乘数列的递推公式为an = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1，其中n为第n项，a1为第一项。

8. 斯特林数列递推公式：斯特林数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之积的和决定的。

斯特林数列的递推公式为an = an-1 * n + 1，其中n为第n项，a1为第一项。

9. 卡特兰数列递推公式：卡特兰数列是一种特殊的数列，它的每一项都是由前一项和当前项之和的乘积决定的。

卡特兰数列的递推公式为an = (4*n - 2) / (n + 1) * an-1，其中n为第n项，a1为第一项。

数列递推的技巧
数列递推是指根据已知的数列前几项，通过某种规律或公式来确定数列的后续项。

下面列举一些常见的数列递推的技巧：
1. 线性递推法：对于满足线性递推关系的数列，可以使用线性递推法来求解。

线性递推关系一般可以表示为an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + ... + ck * an-k，其中c1,c2,...,ck为常数。

常见的线性递推数列有斐波那契数列、等差数列等。

2. 指数递推法：对于满足指数递推关系的数列，可以使用指数递推法来求解。

指数递推关系一般可以表示为an = c * an-1^k，其中c和k为常数。

常见的指数递推数列有幂函数数列、几何数列等。

3. 差分递推法：对于满足差分递推关系的数列，可以使用差分递推法来求解。

差分递推关系一般可以表示为an = an-1 + dn，其中dn为常数。

常见的差分递推数列有阶乘数列、等差数列等。

4. 递归递推法：对于满足递归递推关系的数列，可以使用递归递推法来求解。

递归递推关系一般可以表示为an = f(an-1, an-2, ...)，其中f为一个函数。

常见的递归递推数列有斐波那契数列、双核函数数列等。

5. 其他递推技巧：还有一些特殊的递推技巧，如矩阵快速幂递推法、莫比乌斯反演递推法等，可根据具体的问题和数列特点选择合适的方法进行递推求解。

线代递推法
线代递推法指的是在线性代数中，通过递推关系式来求解一系列线性方程组的方法。

具体操作步骤如下：
1. 设定初始条件。

给出递推关系式之前，首先需要给出起始的一组线性方程组解。

这些解可以通过已知条件、初值或者自选来确定。

2. 建立递推关系式。

假设我们已经知道了第n个方程组的解，我们希望求解出第n+1个方程组的解。

通过观察已知的方程
解的规律，我们可以得到一个递推关系式，将第n+1个方程
组的解与第n个方程组的解建立起联系。

3. 求解递推关系式。

根据递推关系式，我们可以通过已知的第n个方程组的解求解出第n+1个方程组的解。

这可以通过矩阵
运算来实现，例如求解矩阵的特征值和特征向量，进行矩阵相乘等。

4. 迭代求解。

通过不断重复第2步和第3步，我们可以计算出连续的方程组解，直到达到所需的精度或者满足其他终止条件。

5. 检验结果。

最后，我们需要检验所求得的方程组解是否满足递推关系式，并对计算结果进行验证。

线代递推法常用于求解具有递推性质的问题，在数学、物理等领域中有广泛的应用。

三项递推关系求通项要求一个递推关系的通项，需要知道递推关系的初始条件和递推公式。

以下是三种常见的递推关系的通项求解方法：1. 线性递推关系：假设线性递推关系为 a_n = p*a_(n-1) + q*a_(n-2)，其中p和q为常数，a_n为第n项的值。

我们需要知道的初始条件为 a_0和 a_1。

假设通项形如a_n = x^n，其中x为常数。

将其代入递推关系，得到：x^n = p*x^(n-1) + q*x^(n-2)整理，得到特征方程：x^2 - p*x - q = 0解特征方程，得到x1和x2，这两个根就是递推关系的通项的形式。

2. 非线性递推关系：假设递推关系为 a_n = f(a_(n-1), a_(n-2))，其中f为一个函数。

我们需要知道的初始条件为 a_0 和 a_1。

通常情况下，求非线性递推关系的通项比较困难，没有统一的解法。

需要根据具体的递推关系和函数f的性质来进行分析和求解。

3. 递归递推关系：递归递推关系是一种常见的递推关系形式，常用于定义数列的递推关系。

比如斐波那契数列的递推关系为：F_n = F_(n-1) + F_(n-2)，初始条件为 F_0 = 0 和 F_1 = 1。

可以通过数学归纳法证明，斐波那契数列的通项为F_n = (φ^n - (-φ)^(-n)) / √5，其中φ=(1+√5)/2为黄金分割比。

总结来说，要求一个递推关系的通项，需要根据具体的递推关系形式进行分析和解决。

对于线性递推关系，可以通过特征方程解得通项表达式；对于非线性递推关系，需要具体问题具体分析；对于递归递推关系，可以通过数学归纳法证明通项的形式。

递推关系的解简介递推关系是数学领域中一种常见的描述数列的方式。

通过建立递推关系，我们可以根据已知的数值计算出后续的数值，从而得到数列的规律和性质。

本文将介绍递推关系的概念、求解方法以及应用举例。

递推关系的定义递推关系是指数列中的每一项都可以通过它的前一项或前几项计算得出。

一般来说，递推关系可用一个递推公式来表示，例如：a n=f(a n−1,a n−2,…,a n−k)其中a n表示数列的第n项，f是一个函数，a n−1,a n−2,…,a n−k是已知的前几项。

递推关系的求解就是要找到该函数f的具体形式，以便计算出数列的任意项。

递推关系的求解方法直接求解法对于一些简单的递推关系，我们可以直接观察规律，找到递推公式的具体形式。

例如，斐波那契数列的递推关系是a n=a n−1+a n−2，我们可以通过观察发现a n等于前两项的和。

递推公式的代入法对于一些较为复杂的递推关系，我们可以通过代入的方式求解。

首先，我们可以列出递推公式的前几项，然后将这些项代入递推公式中。

通过计算，我们可以发现一些规律，从而找到递推公式的具体形式。

递推关系转化为矩阵形式对于一些特殊的递推关系，我们可以将其转化为矩阵形式，进而求解。

如果递推关系具有如下形式：[a n a n−1⋮a n−k+1]=A⋅[a n−1a n−2⋮a n−k]其中A是一个矩阵，[a n a n−1⋮a n−k+1]和[a n−1a n−2⋮a n−k]分别表示数列的第n项和第n−1项到第n−k项的向量。

我们可以通过计算矩阵的幂，求得数列的任意项。

递推关系的应用举例斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推关系的例子。

该数列的递推关系是a n=a n−1+ a n−2，其中a1=a2=1。

通过不断求解递推关系，我们可以得到斐波那契数列的前几项：1,1,2,3,5,8,13,…。

等差数列和等比数列除了斐波那契数列，等差数列和等比数列也是常见的递推关系。

对于等差数列，递推关系为a n=a n−1+d，其中a1是首项，d是公差。

数列与级数的递推关系与求和方法数列是一系列按照一定规律排列的数的集合，而级数是数列中各项依次相加所得的和。

数列和级数是数学中重要的概念，研究它们的递推关系和求和方法对数学的发展具有重要意义。

本文将探讨数列与级数的递推关系以及常见的求和方法。

一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项与前一项之间的关系。

根据递推关系，我们可以通过已知的前几项来求得数列的后续项。

常见的数列递推关系包括等差数列、等比数列等。

1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值均相等的数列。

它的递推关系可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值均相等的数列。

它的递推关系可以表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

二、级数的递推关系与求和方法级数是数列中各项依次相加所得的和，它是一个无穷大的和。

求解级数的递推关系以及具体的求和方法是数学中的一类重要问题。

1. 级数的递推关系级数的递推关系可以从数列的递推关系推导得出。

例如，著名的调和级数可以表示为：S(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。

我们可以通过对调和级数的递推关系进行研究，得到其收敛性质以及数值近似等重要结论。

2. 级数求和方法常见的级数求和方法包括部分和、平均项法、倒序相减法等。

- 部分和法：通过计算级数的前n项和的极限值来求解级数的和。

部分和法的关键在于找到递推关系，利用递推关系将级数转化为数列，然后通过求解数列的极限值得到级数的和。

- 平均项法：将级数中的每几项相加求平均得到一个新的数列，然后再对这个数列进行递推求和。

平均项法常用于处理交替级数等特殊类型的级数。

- 倒序相减法：将级数的每一项与其后若干项之和相减，得到一个新的数列，然后对这个数列进行递推求和。

倒序相减法在处理特定级数时具有一定的优势。

高中数学教学备课教案递推关系的建立与计算一、引言在高中数学教学中，备课教案的编写是非常重要的一环。

备课教案旨在帮助教师系统地组织教学内容，提供教学方案和教学步骤，以便学生能够更好地理解和掌握数学知识。

本文将讨论高中数学备课教案中递推关系的建立与计算方法，以帮助教师提高备课效率和教学效果。

二、递推关系的概念递推关系是指一种数列中的每一项都与它的前一项（或前几项）之间存在某种确定的关系，通过这种关系可以逐步推导出数列的每一项。

递推关系在数学中具有广泛的应用，例如在等差数列、等比数列、斐波那契数列等中都存在递推关系。

三、递推关系的建立方法建立递推关系是备课教案中的重要内容之一，下面将介绍一些常用的方法。

1. 观察法观察法是最直观的建立递推关系的方法之一。

通过观察数列的规律，找出数列中每一项与前一项之间的关系，并用代数式表示出来。

例如，对于等差数列1, 3, 5, 7, 9，可以观察到每一项都比前一项大2，因此可以建立递推关系为an = an-1 + 2。

2. 代数法代数法是通过将数列的每一项用代数式表示，然后根据代数式之间的关系建立递推关系。

例如，对于等比数列2, 4, 8, 16，可以将每一项表示为an = 2^n，其中n为项数。

根据代数式an与an-1之间的关系，可以建立递推关系为an = 2 * an-1。

3. 公式法有时候可以利用已知的数学公式建立递推关系。

例如，对于斐波那契数列1, 1, 2, 3, 5，可以利用斐波那契数列的定义公式建立递推关系为an = an-1 + an-2。

四、递推关系的计算方法在建立递推关系之后，需要用递推关系计算数列的每一项。

下面将介绍一些常用的计算方法。

1. 递归法递归法是一种常用的计算递推数列的方法。

首先确定数列的初始项，然后根据递推关系，通过逐项计算得到数列的每一项。

例如，对于斐波那契数列的递推关系an = an-1 + an-2，初始项为a1 = 1, a2 = 1，可以通过递归法计算得到整个数列。

高一年级信息学·竞赛辅导教案【授课教师：张辉】第 1 页共12 页递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一) 引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。

我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。

递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。

(二) 教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。

这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。

从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。

无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。

这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。

递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。

递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。

一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。

（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。

所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，高一年级信息学·竞赛辅导教案【授课教师：张辉】第 2 页共12 页这种方法称为迭代。

递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。

如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。

如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。

下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。

递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。

当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。

一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。

用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。

下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。

一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。

如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。

例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。