递推关系式

递推关系知识点总结一、递推关系的基本概念1.1 递推关系的定义递推关系是一种反映事物发展变化规律的数学模型。

通常来说，递推关系是指数列的前项与后项之间的关系。

例如，斐波那契数列就是一个经典的递推关系，它的递推式是F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示第n个斐波那契数。

1.2 递推关系的元素递推关系一般包括以下几个元素：- 初始条件：递推关系的第一个数值，通常是已知的特定值。

- 递推公式：描述数列前后项之间关系的公式，用于计算数列后续项的值。

- 递推方程：将递推公式用代数方式表示的方程。

1.3 递推关系的类型根据递推公式的性质和形式，递推关系可以分为线性递推关系、非线性递推关系、齐次递推关系、非齐次递推关系等类型。

不同类型的递推关系有不同的性质和求解方法。

二、递推关系的性质2.1 线性递推关系的性质线性递推关系具有以下性质：- 线性组合性：若数列{an}与{bn}分别满足递推关系an=an-1+an-2和bn=bn-1+bn-2，则任意常数c1和c2的线性组合{c1an+c2bn}也满足递推关系an=an-1+an-2。

- 独立性：若数列{an}和{bn}都满足递推关系an=an-1+an-2，则其线性组合{an+bn}也满足该递推关系。

2.2 齐次递推关系的性质齐次递推关系是指递推关系的递推式中不包含任何常数项或者其他特殊项。

对于齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2，其中c1和c2是任意常数，n1和n2是特征方程的两个不同实根，那么其特解为包含初始条件的实数数列。

2.3 非齐次递推关系的性质非齐次递推关系是指递推关系的递推式中包含有常数项或者其他特殊项。

对于非齐次递推关系，如果其通解为an=cn1^n+cn2^n2+fn，其中cn1^n+cn2^n2是其对应的齐次递推关系的通解，fn是递推式的非齐次项对应的特解。

三、递推关系的求解方法3.1 通项公式法通项公式法是求解递推关系最直接的方法。

组合数学讲义3章递推关系递推关系§3.1 基本概念（一）递推关系定义3.1.1 （隐式）对数列aii 0 和任意自然数n，一个关系到an和某些个ai i n 的方程式，称为递推关系，记作F a0,a1, ,an 0 (3.1.1)__例an an 1 an 2 a0 n 0an 3an 1 2an 2 2a1 1 0定义3.1.1＇（显式）对数列aii 0 ，把an与其之前若干项联系起来的等式对所有n≥k均成立（k为某个给定的自然数），称该等式为ai 的递推关系，记为an F an 1,an 2, ,an k (3.1.1)＇例an 3an 1 2an 2 2a1 1 （二）分类（1）按常量部分：① 齐次递推关系：指常量＝0，如Fn Fn 1 Fn 2；② 非齐次递推关系，即常量≠0，如hn 2hn 1 1。

（2）按ai的运算关系：组合数学讲义① 线性关系，F是关于ai的线性函数，如（1）中的Fn与hn均是如此；② 非线性关系，F是ai的非线性函数，如hn h1hn 1 h2hn2 hn 1h1。

（3）按ai的系数：① 常系数递推关系，如（1）中的Fn与hn；② 变系数递推关系，如pn npn 1，pn 1之前的系数是随着n而变的。

（4）按数列的多少：① 一元递推关系，其中的方程只涉及一个数列，如(3.1.1)和(3.1.1)＇均为一元的；② 多元递推关系，方程中涉及多个数列，如an 7an 1 bn 1bn 7bn 1 an 1（5）显式与隐式：yn 1（三）定解问题xn 1yn h yn 1 2 yn 1定义3.1.2 （定解问题）称含有初始条件的递推关系为定解问题，其一般形式为F a0,a1, ,an 0,(3.1.2)a0 d0,a1 d1, ,ak 1 dk 1所谓解递推关系，就是指根据式(3.1.1)或(3.1.2)求an的与a0、a1、、an－1无关的解析表达式或数列{an}的母函数。

分式型递推数列通项公式的求法步骤一：观察数列的前几项，寻找规律。

首先，观察数列的前几项，尝试找出数列之间的关系和规律，看看能否从中找到一些线索。

特别地，注意每一项与其前一项之间的关系，这可能是我们找到递推关系的关键。

例如，给定数列的前几项为：2,5/2,13/5,34/13,...可以观察到每一项的分子和分母都与前一项有关，于是可以猜测数列的递推关系可能是以前一项的分子和分母为基础。

步骤二：列出递推关系式。

基于观察到的规律，我们可以将递推关系表示为一个等式。

通常，在分式型递推数列中，递推关系可以表示为：an = (an-1 ) * f(n)其中，an表示第n项，an-1表示前一项，f(n)表示与前一项相关的一个函数。

例如，对于给定的数列，我们可以猜测递推关系为：an = (an-1 ) * (2n+1) / (n+1)步骤三：证明递推关系。

一旦我们猜测出递推关系，我们需要证明它的正确性。

这可以通过数学归纳法来完成。

首先，我们将递推关系带入前两项，看看是否能够成立。

例如，对于给定的数列，我们将递推关系带入前两项，得到：a2=(a1)*(2*2+1)/(2+1)=(5/2)*5/3=25/6确实，对于数列的前两项是符合递推关系的。

步骤四：求解递推数列的通项公式。

一旦我们证明了递推关系的正确性，我们可以继续求解数列的通项公式。

为了简化计算，我们可以将递推关系展开：an = a1 * f(2) * f(3) * ... * f(n)在猜测的递推关系的情况下，我们可以得到：an = a1 * (2/1) * (3/2) * (4/3) * ... * (n+1/n)化简后，可以得到：an = a1 * (n+1)因此，数列的通项公式为：an = a1 * (n+1)总结：上述步骤提供了求解分式型递推数列通项公式的一般方法。

关键是观察数列的规律，并尝试猜测递推关系，然后通过数学归纳法来证明递推关系的正确性，并最终确定数列的通项公式。

二中二公式表二中二公式是组合数学中的经典定理，是指从n个不同元素中取出k个元素的组合数量，即C(n,k)可以表示为∑C(n-1,m-1)，其中m=1,2,...,k。

该公式有两种常见的表达方式，一种是利用递推关系式进行计算，另一种是通过简化组合式的形式推导出来。

一、递推关系式递推关系式是利用已知的n-1个元素取k-1个元素和n-1个元素取k个元素的组合数计算n个元素取k个元素的组合数。

具体来说，可以利用以下两个递推式计算C(n,k)：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)C(n,0) = 1，C(n,n) = 1其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。

这两个递推式可以递归地计算所有的组合数，时间复杂度为O(nk)。

二、简化组合式的形式另一种常见的求解二中二公式的方法是通过简化组合式的形式得到。

具体来说，可以利用以下等式计算C(n,k)：C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]= (n-k+1)/1 * (n-k+2)/2 * ... * n/k= C(n-1,k-1) * n/k其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*...*2*1。

这种方法的时间复杂度为O(k)，比递推关系式的时间复杂度低。

三、应用二中二公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等领域。

例如，在概率论中，可以利用二中二公式计算从n个球中取k个球的概率；在图论中，可以利用二中二公式计算从n个点中取k个点形成的子图的数量；在密码学中，可以利用二中二公式计算从n个字母中取k个字母组成的密码的种数。

总之，二中二公式是组合数学中的核心定理之一，具有广泛的应用价值。

掌握它的计算方法和应用场景，对于深入理解和应用组合数学至关重要。

通项公式和递推关系
通项公式是指数列中的每一项与项号之间的关系式。

通项公式可以通过观察数列的规律、使用递推关系或利用数学方法推导得出。

递推关系是数列中相邻项之间的关系式。

通过已知的前几项，可以通过递推关系计算出后面的项数。

递推关系可以是线性关系、二次关系、几何关系等。

举例来说：
1.等差数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 + (n-1)d
其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

递推关系：an = an-1 + d
2.等比数列的通项公式和递推关系：
通项公式：an = a1 * r^(n-1)
其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

递推关系：an = an-1 * r
除了等差数列和等比数列，还有其他类型的数列，如斐波那契数列、等差三角数列等，它们都有各自的通项公式和递推关系。

拓展：
还有一种特殊的数列称为递归数列，它的每一项都是前面若干项
的函数。

递归数列的通项公式无法通过递推关系直接得出，而是需要
找到项之间的递推规律，通过前面的项算出后面的项。

递归数列常见
的例子是费氏数列，其通项公式为：
Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = F2 = 1。

有时候，数列的规律不仅仅通过递推关系来确定，还需要借助于
其他数学工具，如组合数学中的排列组合、二项式定理等。

在某些情
况下，数列的通项公式可能无法通过已知的方法求得，这时候需要借
助于数值计算、数学推论或者近似方法来获取数列的一些特性和性质。

利用几类经典的递推关系式求通项公式经典的递推关系式是一种常见的数学问题，其中通项公式是递推关系式的一般解。

在数学中，几类经典的递推关系式包括等差数列、等比数列以及斐波那契数列。

一、等差数列等差数列是一种常见的数列，每一项与前一项之差保持不变。

等差数列的递推关系式如下：an = a1 + (n-1)d其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

利用等差数列的递推关系式可以求得通项公式：an = a1 + (n-1)d二、等比数列等比数列是一种常见的数列，每一项与前一项之比保持不变。

等比数列的递推关系式如下：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

利用等比数列的递推关系式可以求得通项公式：an = a1 * r^(n-1)三、斐波那契数列斐波那契数列是一种著名的数列，每一项是前两项之和。

斐波那契数列的递推关系式如下：fn = fn-1 + fn-2其中，fn表示第n项，f1和f2分别表示斐波那契数列的前两项。

利用斐波那契数列的递推关系式可以求得通项公式：fn = [(1+sqrt(5))^n - (1-sqrt(5))^n] / (2^n * sqrt(5))其中，sqrt(5)表示5的平方根。

四、其他递推关系式除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，还有许多其他经典的递推关系式。

例如，阶乘数列是一种常见的递推关系式，每一项是前一项与当前项之积。

阶乘数列的递推关系式如下：an = an-1 * n其中，an表示第n项，n表示当前项。

利用阶乘数列的递推关系式可以求得通项公式：an = n!其中，n!表示n的阶乘。

总结起来，利用等差数列、等比数列、斐波那契数列以及其他经典递推关系式，可以推导出它们的通项公式。

这些递推关系式和通项公式在数学问题中具有广泛的应用，能够帮助我们快速计算数列中任意项的数值。

特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、一阶线性递推式设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式;定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,其中}{n b 是以c 为公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是以c 为公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n 证毕例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位;当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列 解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二、二阶线性递推式定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特征方程;若21,x x 是特征方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A 、B 的方程组；当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,其中A,B 由βα==21,a a 决定即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A 、B 的方程组;例3：已知数列{}n a 满足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式;解法一待定系数、迭加法由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12;则数列{}n n a a -+1是以a b -为首项,32为公比的等比数列, 于是：11)32)((-+-=-n n n a b a a ;把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得：a b a a -=-12, )32()(23⋅-=-a b a a , ••• ,21)32)((---=-n n n a b a a ;把以上各式相加,得：])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-; a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--;解法二特征根法：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++, b a a a ==21,的特征方程是：02532=+-x x ;32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A ; 又由b a a a ==21,,于是：⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=)(32332b a B a b A B A b BA a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三、分式递推式定理3：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx q px x ++=. 1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在；2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3、已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第2部分,则有：∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a1若,51=a 求;n a 2若,31=a 求;n a 3若,61=a 求;n a 4当1a 取哪些值时,无穷数列}{n a 不存在解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第1部分解答.1∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a 2∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在,当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. 3∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ 4、显然当31-=a 时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第1小题的解答过程知,51=a 时,数列}{n a 是存在的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2.∴当11351--=n n a 其中N ∈n 且N ≥2时,数列}{n a 从第n 项开始便不存在. 于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无穷数列}{n a 都不存在.定理3证明：分式递推问题：如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1其中p 、q 、r 、h 均为常数,且r ha r qr ph -≠≠≠1,0,,那么,可作特征方程hrx qpx x ++=.1当特征方程有两个相同的根λ称作特征根时,若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ特别地,当存在,N 0∈n 使00=n b 时,无穷数列}{n a 不存在.2当特征方程有两个相异的根1λ、2λ称作特征根时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第1部分. 作交换N ,∈-=n a d n n λ, 则λλ-++=-=++h ra q pa a d n n n n 11hra hq r p a n n +-+-=λλ)( h d r h q r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ ②将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ 当01≠d 即λ≠1a 时,由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r hp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr h p h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp rd d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n rp rb b n n λ故数列}{n b 是以r p r λ-为公差的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ其中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ当存在,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时,无穷数列}{n a 是不存在的. 再证明定理的第2部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ,∴其中必有一个特征根不等于1a ,不妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整理得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ ⑤由第1部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根,故.,21rp r p ≠≠λλ 故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ ⑥∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ,而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ证毕注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.求数列通项公式的方法很多,利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b a c a d+⋅+=⋅+......① 其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ. 定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++---=⋅---.定理2: 若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+-+-.例109·江西·理·22各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++. 1当14,25a b ==时,求通项n a ;2略. 例2 已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 例 3 已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a例4已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+② 其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈. 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n nn a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩. 定理4: 若12λλλ==,则12()nn a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩. 例5已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a 例6已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a例7:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .。

求不定积分的递推公式求不定积分是高等数学中的重要内容，也是解决很多实际问题的基础。

但无论是在学习还是在实际中，我们都会遇到一些难以求解的不定积分。

此时，递推公式就成为我们求不定积分的重要工具之一。

为了更好地理解递推公式，在此我们先进行一些小学数学的回顾。

我们都知道，小学二年级开始就学习了自然数的递推关系式，即：$a_1$ = a$a_{n+1}$ = $a_n$ + da代表数列的首项，d代表数列的公差，$a_n$代表数列的第n项。

基于这个递推关系式，我们可以求出数列的任意一项。

在微积分中，递推公式同样也是基于递推关系式的思想。

其基本形式可以写为：$I_n$ = $\int{f(x)dx}$$I_{n+1}$ = $\int{u f(x)dx}$ = $f(x)u - \int{u' (f(x)u)dx}$其中，$u$是一个新的函数，$u'$表示对$u$求导数，$I_n$是通式，$I_{n+1}$是下一项的不定积分，$f(x)$是代表被积函数的一般函数。

通过这个递推公式，我们可以将复杂的不定积分通过反复代入式子进行简化，最终求出其解。

下面，我们通过一些例子来更好地理解递推公式：例一：$\int{e^x cosx dx}$首先，我们设$I_n$ = $\int{e^x cosx dx}$，通过递推公式，我们进行递推，得到：$I_{n+1}$ = $e^x sinx - \int{e^x sinx dx}$我们再设$J_n$ = $\int{e^x sinx dx}$，则通过递推公式得到：$J_{n+1}$ = $e^x (-cosx) - \int{e^x (-cosx) dx}$将$J_{n+1}$代入$I_{n+1}$中，得到：$I_{n+1}$ = $e^x sinx - (- e^x cosx - J_{n+1})$化简可得：$I_{n+1}$ = $e^x sinx + e^x cosx - J_{n+1}$将$J_n$代入$I_n$中，得到：$I_n$ = $e^x sinx - e^x cosx - J_n$再将$J_n$代入$I_n$中，得到：$I_n$ = $\frac{1}{2} e^x (sinx - cosx) + C$则原式解为：$\int{e^x cosx dx}$ = $\frac{1}{2} e^x (sinx + cosx) + C$例二：$\int{\frac{1}{x^2+1}dx}$同样，我们设$I_n$ = $\int{\frac{1}{x^2+1}dx}$，通过递推公式，进行递推得到：$I_{n+1}$ = $\frac{1}{2} ln(x^2+1) +\int{\frac{x dx}{x^2+1}}$将$I_{n+1}$代入$I_n$中，得到：$I_n$ = $x \cdot ln(x^2+1) - 2\int{\frac{x^2 dx}{(x^2+1)^2}}$通过分部积分得到：$\int{\frac{x^2 dx}{(x^2+1)^2}}$ = $\frac{1}{2} \int{\frac{(x^2+1-1) dx}{(x^2+1)^2}}$化简得：$\int{\frac{x^2 dx}{(x^2+1)^2}}$ = $\frac{1}{2} \int{\frac{dx}{x^2+1}} - \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}}$代入$I_n$中，得到：$I_n$ = $x \cdot ln(x^2+1) -\int{\frac{dx}{x^2+1}} + \frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x^2+1}} - \frac{1}{4}\int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}}$化简可得：$I_n$ = $\frac{1}{2} ln(x^2+1) + \frac{1}{2} arctan(x) - \frac{1}{4} \int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}} + C$将$I_n$代入$I_{n+1}$中，得到：$I_{n+1}$ = $\frac{1}{2} ln(x^2+1) +\frac{1}{2} arctan(x) - \frac{1}{4}\int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}} - \frac{1}{2}\int{\frac{x dx}{x^2+1}}$进一步化简可得：$I_{n+1}$ = $\frac{1}{2} ln(x^2+1) +\frac{1}{2} arctan(x) - \frac{1}{4}\int{\frac{dx}{(x^2+1)^2}} - \frac{1}{4} ln(x^2+1) + C$则原式解为：$\int{\frac{1}{x^2+1}dx}$ =$\frac{1}{2} arctan(x) + \frac{1}{4} ln(x^2+1) + C$通过以上两个例子，我们可以发现递推公式的运用可以有效地简化不定积分，使得我们可以更快、更准确地求出其解。

递推关系递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。

如正奇数序列可以用递推式描述为：f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。

如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。

下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。

递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)这里f(n)称为k次的。

当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。

一、线性齐次递推式的求解令f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。

用x n来代替上式中的f(n)，得到：x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k两边同时除以x n-k得到：x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k或者写成x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0以上两等式都称为原递推关系的特征方程。

下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。

一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)所以f(n)=a n f(0)是递推的解。

如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。

例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此递推式的解。

初三解数列的递推关系式数列是初中数学中的一项重要内容，初三阶段是数列的深入学习和掌握的关键时期。

在解数列问题过程中，递推关系式是一个至关重要的概念。

本文将对初三解数列的递推关系式进行详细阐述。

一、什么是递推关系式递推关系式是指数列中后一项与前一项之间的关系式，通过递推关系式可以计算数列中任意一项的值。

在解数列题目时，我们常通过观察数列中前几项的规律，找出递推关系式，从而求得数列中后续项的值。

二、常见的数列递推关系式类型1. 等差数列等差数列的递推关系式常用形式为an = an-1 + d，其中an表示数列的第n项，d表示公差。

通过该递推关系式，我们可以轻松计算出等差数列中任意一项的值。

2. 等比数列等比数列的递推关系式常用形式为an = an-1 * r，其中an表示数列的第n项，r表示公比。

通过该递推关系式，我们可以得出等比数列中任意一项的值。

3. 斐波那契数列斐波那契数列的递推关系式为an = an-1 + an-2，其中an表示数列的第n项。

斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项的和，通过递推关系式可以得出斐波那契数列的任意一项的值。

三、解题思路与方法在解初三数列问题时，我们首先要观察数列的前几项，寻找数列中的规律。

通过观察可以得出数列的递推关系式，从而求得数列中后续项的值。

一般来说，对于等差数列和等比数列，我们可以通过观察前几项之间的差异来找出递推关系式。

例如，对于等差数列，如果相邻两项之间的差值是一个常数，那么递推关系式很可能是an = an-1 + d；对于等比数列，如果相邻两项之间的比值是一个常数，那么递推关系式很可能是an = an-1 * r。

对于斐波那契数列，通常需要观察数列中的前两项来找出递推关系式。

一旦找到递推关系式，我们就可以根据这个关系式计算数列中后续项的值。

四、举例说明1. 假设我们要求等差数列2, 6, 10, 14, ...的第8项的值。

观察可知，该数列的公差为4，第一项为2。

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。

四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。

等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知aa =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

求数列递推式常用的八种方法1. 直接法直接法是最简单和直接的方法，通过观察数列的规律，直接写出递推式。

例如，对于等差数列，递推式可以直接表示为：an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。

2. 分析法分析法是通过对数列进行数学分析，找出其中的规律，并根据规律推导出递推式。

这种方法通常需要一定的数学知识和分析能力，适用于较复杂的数列。

3. 求通项法求通项法是通过求出数列的通项公式，然后根据通项公式得到递推式。

对于一些特殊的数列，可以通过求通项的方式得到简洁的递推式。

4. 差分法差分法是通过对数列的前后项进行差分，找出差分序列的规律，并根据差分序列得到递推式。

差分法适用于一些变差规律较为明显的数列。

5. 指标法指标法是通过设立指标，将数列的各项表示为指标的函数，然后根据指标的变化规律得出递推式。

指标法通常用于描述具有规律性的数列。

6. 递推法递推法是通过递推关系式，从已知的前几项不断递推得到后面的项，并找到递推关系的规律性。

递推法适用于对于递推关系有一定了解的数列。

7. 求和法求和法是通过数列的和式表达式，将和式中的各项表示为数列的递推式，然后得出递推式。

求和法常用于求解数列的递推式，特别是对于等差数列和等比数列。

8. 递归法递归法是通过将数列的递推关系式表示为函数的递归定义，然后根据递归定义得到递推式。

递归法适用于递推关系较为复杂的数列。

以上是求数列递推式常用的八种方法，通过不同的方法可以找到适合不同数列的递推式，帮助我们更好地理解和描述数列的规律。

计算行列式的一种常用方法是递推关系。

以下是一个基本的递推关系式：
Dn = Dn-1 * (-1)^(n-1) / (n-1)
其中，Dn表示n阶行列式，Dn-1表示(n-1)阶行列式。

这个递推关系是基于余子式的概念。

余子式是去掉一个元素后剩下的子矩阵的行列式。

对于n阶行列式，其展开式中的每一项都可以表示为对应元素的余子式的乘积。

具体来说，对于n阶行列式Dn，其展开式为：
Dn = a11M11 + a12M12 + ... + a1nM1n + a21M21 + ... + an1Mn1
其中，M11, M12, ..., Mn1是Dn的余子式。

利用递推关系，我们可以从低阶行列式开始计算，逐步推导出高阶行列式的值。

例如，我们可以先计算3阶行列式的值，然后利用递推关系计算4阶行列式的值，以此类推。

需要注意的是，递推关系只能用于计算给定结构的行列式，对于一般结构的行列式可能无法直接应用。

此外，递推关系需要小心处理符号和计算精度等问题。