七年级暑假特训讲义13：含字母系数的一次不等式

学习是一件很有意思的事定 义示例剖析含字母系数的方程：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．含字母系数的一元一次方程总可以化为ax b =的形式，方程的解由a 、b 的值来确定：⑴ 当0a ≠时，bx a=，原方程有唯一解；⑵ 当0a =且0b =时，解是任意数，原方程有无数个解； ⑶ 当0a =且0b ≠时，原方程无解．【例1】 ⑴ 已知方程24(1)2x ax +=-的解为3x =，则a = ； ⑵ 已知4-是方程3602kx -=的解，则1999k = ．【解析】⑴ 根据方程解的意义，把3x =代入原方程，得234(31)2a⨯+=-，解这个关于a 的方程，得10a =．⑵ 根据题意可得3(4)602k ⨯--=，1k =-，则19991k =-．【例2】 如果3826x x +--与2113x +-互为相反数，且x 满足方程3ax a x -=+，求a 的值． 夯实基础模块一 含字母系数的一元一次方程10含字母系数的 方程和不等式【解析】 212x =，2719a =.【拓展】若12x m =是方程21423x m x m ---=的解，求代数式()211428142m m m ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭的值． 【解析】将12x m =代入方程21423x m x m---=， 得112()122423m m m m---=，解得3m =．化简代数式：原式221121122m m m m =-+--+=--当3m =时，原式9110=--=-．【例3】 ⑴ 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．⑵ 解关于x 的方程()()134m x n x m -=-．【解析】 ⑴ 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，.⑵ 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，解为任意值；当34m =，34n ≠时，方程无解．【例4】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无穷多个解，那么a = ，b = ；⑵ 已知关于x 的方程3(2)(21)5a x b x +=-+有无穷多个解，求a 与b 的值．【解析】⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +=，即53a =，109b =-；⑵ 方程可以化为：(321)56a b x a -+=-，因为方程有无数多个解，所以3210,560a b a -+=-=，解得：56a =，74b =．【巩固】已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无穷多个解，能力提升学习是一件很有意思的事试求2011()5aba b x x a b a b+-=-++的解. 【解析】 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，所以23a b ==-，，把23a b ==-，代入2011()5aba b x x a b a b+-=-++得610x x --=，解得107x =-.【例5】 已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．【解析】由题意得：(23)2a x a -=-，故230a -=且20a -≠，即32a =时方程无解．【例6】 ⑴ 若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2236ka x bx--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求a 和b 的值．⑵ 如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123kx a x bk+--=-的解，则a = ，b = ．【解析】⑴ 因为该方程的解为1x =，代入原方程可得到：21236ka b--=，即413ak b =-①，又因为原方程的解不论k 取何值时都是1x =，这说明方程①有无数多个解， 即40a =且130b -=，所以0a =，13b =．⑵ 原方程整理为以k 为未知数的方程(32)310b k a -=+．对于任何实数k 的方程有1x =-，所以有3203100b a -=⎧⎨+=⎩，求得103a =-，32b =．【例7】 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．（人大附中期中练习）【解析】 由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．探索创新定 义示例剖析含字母系数的不等式：当不等式中的系数用字母表示时，这样的不等式叫做含字母系数的不等式，也叫做含参数的不等式．对于含字母系数的不等式，未知数的系数含有字母时需要分类讨论： 如不等式ax b <：① 当0a >时，不等式的解集为b x a <； ② 当0a <时，不等式的解集为bx a>；③ 当0a =时，若0b >，则不等式的解集为任意数；若0b ≤，则这个不等式无解．【例8】 解关于x 的不等式：⑴ 13kx +> ⑵ 132kx x +>- ⑶ 36mx nx +<--⑷ ()212m x +<【解析】 ⑴ 移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k> 当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑵ 移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<- 当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑶ 不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论夯实基础模块二 含字母系数的一元一次不等式学习是一件很有意思的事①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑷ ∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+【例9】 ⑴ 已知关于x 的不等式()()3419x a x -<-+的解集是1x >，求a 的值．⑵ 已知关于x 的不等式24132m x mx +-≤的解集是34x ≥，那么m 的值是多少？ 【解析】⑴ 解这个不等式：33449x a x -<-+34349x x a -<-+ 35x a >--∵解集是1x >，∴351a --=，解得2a =-． ⑵ 由24132m x mx +-≤得(102)3m x -≥， 要使其解集为34x ≥，则1020m ->且331024m =-，即35m =【巩固】当3a >时，不等式23ax x b +<+的解集是0x <，则b =（重庆市竞赛题）【解析】 2b =【例10】 ⑴ 已知3x =是关于x 的不等式22323ax xx +->的解，求a 的取值范围． ⑵ 已知关于x 的不等式()110m x m -+->的解集是1x <-，求m 的取值范围．【解析】⑴ 将3x =代入不等式，得32922a +->．解这个不等式，得4a <． ⑵ ∵()110m x m -+->∴()()11m x m ->-- ∵最终的解集为1x <-， ∴10m -<， ∴1m <．【例11】 已知12(3)(21)3a a -<-，求关于x 的不等式(4)5a x x a ->-的解集．【解析】由12(3)(21)3a a -<-解得174a <，故有50a -<，能力提升所以解关于x 的不等式(4)5a x x a ->-可得5ax a <--．【例12】 已知关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解是107x <．求0ax b +>的解集． 【解析】根据题意有20a b -<且51027b a a b -=-，可得35b a =，0a <，所以0ax b +>的解集为35x <-．【巩固】已知m 、n 为实数，若不等式(2)340m n x m n -+-<的解集为49x >， 求不等式(4)230m n x m n -+->的解集．【解析】由不等式(2)340m n x m n -+-<得(2)43m n x n m -<-，因为它的解集为49x >，所以有20m n -<，且43429n m m n -=-，可得：78n m =且0m <，把78n m =代入(4)23m n x m n -+-＞0得52m x -＞58m ， 由m ＜0，得解集为 14x >-．学习是一件很有意思的事知识模块一 含字母系数的一元一次方程 课后演练【演练1】 已知关于x 的方程332axa x +=+的解为4x =，求代数式23456...99100a a a a a a a a -+-+-++-的值．【解析】方程332ax a x +=+的解为4x =，则有43432aa +=+，求得1a =-，23456...991005050a a a a a a a a a -+-+-++-=-=．【演练2】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ；⑵ 如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无穷多个解，求k 值． 【解析】 ⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，即53a =，109b ≠-⑵ 原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，52k =．【演练3】 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值． 【解析】方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，即(4)132b k a +=-，又k 值为任意，故401320b a +=⎧⎨-=⎩，231a b +=．知识模块二 含字母系数的一元一次不等式 课后演练【演练4】 ⑴ 解关于x 的不等式：21123x a x a --+>+； ⑵ 解关于x 的不等式：23mx +＜3x n +； ⑶ 解关于x 的不等式：32(1)x a x +≥-．【解析】⑴ 去分母，得336642x a a x -+>+-移项，合并同类项得98x a ->- ∴98x a <-+⑵ 由原不等式，得：(23)m x -＜3n -当230m ->，即32m >时，其解集为323n x m -<-实战演练当230m -<，即32m <时，其解集为323n x m ->- 当230m -=，即32m =时，若30n ->，即3n >，解集为所有数；若30n -≤，即3n ≤，原不等式无解． ⑶ 由不等式32(1)x a x +≥-得(3)2a x a -≤+若30a ->，则23a x a +≤-；若30a -=，即3a =，原不等式可变形为：23≥-恒成立，所以x 可取任意数；若30a ->，则23a x a +≥-．【演练5】 ⑴ 若不等式ax a <的解集是1x >，则a 的取值范围是______．⑵ 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为13x <，则0bx a -<的解集是（ ）A. 3x >-B. 3x <-C. 3x >D. 3x <【解析】⑴ 0a <；⑵ B【演练6】 已知关于x 的不等式()230a b x a -+>的解集为32x >，求不等式ax b >的解集． 【解析】原不等式可化为()23a b x a ->-．由于它的解集是32x >，∴203322a b a a b ->⎧⎪⎨-=⎪-⎩①②，化简②，得4b a =，代入①，解得0a <． 所以不等式ax b >的解集为bx a<，即4x <．为大家整理的资料供学习参考，希望能帮助到大家，非常感谢大家的下载，以后会为大家提供更多实用的资料。

公 开 课 教 案学 科： 数 学课 题： 《含字母系数的一元一次不等式（组）》开课教师： 赵涛春开课时间： 2017年6月8日上午第3节开课班级： 漳平三中七年级（13）班【开课课题】《含字母系数的一元一次不等式（组）》漳平三中七年级教学开放周暨“三长进课堂”【开课时间】2017年6月8日上午第三节【开课地点】录播室【开课班级】七年级（13）班【开课教师】赵涛春教学分析：这一块内容，书本上没有，但是作业练习上有这方面出现，从知识的角度上并没有超纲。

相反这一块应用与高中的集合特别是与集合中的子集的应用有密切的联系。

在一元一次不等式学完后，有一定的知识储备，学生完全有可能理解和掌握。

引入这一课，我个人觉得很有必要。

教学地位：这一节课是可以说是一堂复习课，是一堂提升课，是一堂综合应用的体会课，也是潜移默化形成一些数学思想，数学方法，指导学生学习方法和学习习惯的教学课。

教学目标：知识与技能1.理解不等式同解集的概念，利用界点对应相等解决解集含字母的一元一次不等式问题；2.理解应用不等式性质，解决系数含字母的一元一次不等式问题。

过程与方法通过数形结合，由静到动，动静结合，运动变化，分类讨论，由特殊到一般潜移默化数学思想和方法。

情感、态度与价值观1.通过解决解集含字母系数的一元一次不等式问题，让学生体验数形结合，由静到动的变化的规律，体会事物运动变化的哲学思想；2.通过分类讨论解决相关问题，让学生体验同一形态事物，条件不同，结果不同的辩正思想，体会适应条件，改造条件，创造有利条件的积极的生活观念。

教学重点：理解和掌握解决含字母系数的一元一次不等式问题。

教学难点：领会数形结合思想，化归思想和分情况解决问题的思想。

解决一些变量问题。

教学思想：深入浅出，循序渐进教学方法：数形结合形象具体化，简明扼要简练化。

教学关键：尽可能精讲精练，避免无效重复刷题。

x 2m 1 • 若不等式 x 2m 3 的解集中的任
• 何一个x值均不在1<x<3范围内， 则m的取值范围为 .
x 2 1.若不等式组 x a 只含有六个整数解-1，0,1,2,3和4，
4a5 则a, 2.若不等式组 x a
解：由方程组得
∵x+y<0
1 解之得 k 3
1 k 1 7k 0 4 4
1 k x 4 1 7 k y 4
x y 1 a (2)求使方程组: 的 x y 3a 5 解x为正数,y是非负数，求a的取值范
围。
的解集是－１＜x＜2,则m=____, n=____. 这里是一个含ｘ 的一元一次不等 解: 解不等式①,得，ｘ＞m－２ 解不等式②,得，x ＜ n + 1 因为不等式组有解,所以 m-2 ＜ｘ＜ n + 1 又因为 －１＜x＜2
-1
式组，将m,n看 作两个已知数， 求不等式的解集
＜
x
＜
２
m-2 n+1 m-2= －１ ， n + 1 = ２ 所以， m=１ ， n=１
方法总结: 把已知或能算出的解表示在数轴上, 让 带字母的解在数轴上移动,观察何时满足 题目要求,尤其注意界点能否取到.
例4、已知不等式组
的整数 解只有5、6。求a和b的范围．
x 2 a • 解：解不等式组得 b 1 ， x 2
•
x 2 a 2 x 1 b
m为何值时，关于x、y的方程组 2 x 3 y 3m 1 的解满足x 0, y 0? 4 x 5 y m 9 9m-16
x= 11 解：解此法方程组得 y 5m 7 11

4--2.关于 x 的不等式（2a-b）x＞a-2b 的解集是 x＜ 5 ,则关于 x 的不等式 ax+b＜0 的解集为 2
。x＜-8
解：当不等式中 x 前的系数为字母参数时，我们在除以系数前必须对含字母参数的系数进行讨论。分为大于 0 和小于
0 两种情况讨论，如果大于 0，不等式不变号，如果小于 0，除以系数后不等式要反号。则（2a-b）x＞a-2b 的解集为
等号的方向改变了，即是运用了不等式的基本性质 3，因此应有 a 1 0 ，解得 a 1 .故选 D.
评注：当一元一次不等式的解集给出时，可以通过对比不等式的性质和解集法则，求出有关参数的取值范围或值．
4--1.已知关于 x 的不等式（3a-2）x＜2-3a 的解集是 x＞-1，求 a 的取值范围.
不等式的基本性质 3，因此应有 2a-1＜0，解得 a ＜ 1 .故选 B. 2
评注：当一元一次不等式的解集给出时，可以通过对比不等式的性质和解集法则，求出有关参数的取值范围或值．
2--2.若不等式（a-1）x＞1-a 的解集是 x＜－1，则 a 的取值范围是 。a＜1
解析：当不等式中 x 前的系数为字母参数时，我们在除以系数前必须对含字母参数的系数进行讨论。分为大于 0 和小
含有字母的不等式与不等式组的解法
一、含有字母的不等式 注：含字母系数的不等式的标准形式为 ax＞b, ax＜b, ax≥b, ax≤b,四种形式。其中的 a,b 都可以代表一个字母 a,b， 也可代表含字母的多项式如 2a,5b,2a＋3,b－2,等。 因为未知数的系数含字母，它的值可以为正数，也可以为负数，也可以为 0；所以必须分三种情况讨论，以 ax＞b 为 例：
评注：当一元一次不等式的解集给出时，可以通过对比不等式的性质和解集法则，求出有关参数的取值范围或值．