数学人教版九年级上册二次函数的图像和性质综合应用

增减性： 【a>0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最 低点为（0，0）
）
A．-6 或1 B.-3或2 或-1 或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐 标__________ _
二次函数
图像与性质 一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是 直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线 上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（ ）
x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
对称轴：直线x=h(y轴)
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0

2
一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶 点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小.
顶点都是原点(0，0)， 顶点是抛物线的最 高点；
增减性相同： 当 x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
y O -3
3x
开口都向下； 对称轴都是y轴；
y = ax2（a＜0）
（0，0） y轴
在x轴的下方（除顶点外） 向下
当x<0时，y随着x的增大而增大. 当x>0时，y随着x的增大而减小.
当x = 0时，最大值为0.
Thank you!
A．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1
B．y1＜y3＜y2 D．y2＜y1＜y3
综合应用
3.已知y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x 的增大而减小． (1)求m的值； (2)画出该函数的图象．
解：(1)∵y＝(m＋1)xm2＋m是关于x的二次函数，∴m2＋m＝2且m ＋1≠0.则m＝－2或m＝1.又∵x＞0时，y随x的增大而减小，∴m＋ 1＜0，m＜－1，故m＝－2 (2)画图略
单调性
当x<0 (在对称轴 的左侧)时，y随
着x的增大而减小.
y 9 6 3
-3 O 3 x
当x>0 (在对
称轴的右侧) 时，y随着x的
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增大而增大.
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2 ，y =2x2的图象.
2
解：分别列表，再画出它们的图象，如图.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
函数 y=1 x2，y=2x2 的图象与函数y=x2 的图象相比，有什么共同点

第二十二章 二次函数
∴正方形的边长为
cm，
∴S与C之间的关系式为S =
；
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm.
（4）若S ≥ 4cm2，即 因此C ≥ 8cm.
≥4，解得C，≥或8c≤-8(舍去）.
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题2 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上， 则
巩固练习
第二十二章 二次函数
变式题1
已知 0时，y随ห้องสมุดไป่ตู้增大而增大2，则k=
是二次函数，且当x＞ .
分析
是二次函数，即二次项的系数不
为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即
说明二次项的系数大于0. 因此，
，解得k=2 .
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P33：例1+达标训练
问题1 画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表 表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9
41
0
1
4
9…
知识探究
第二十二章 二次函数
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反 ，大小相同，它们 关于x轴对称.
O
x
y=-ax2
知识探究
第二十二章 二次函数
知识点 3 二次函数y=ax2的性质

探究新知
【思考】函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
y=20x2+40x+20③
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式， 分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
自变量
函数
这些函数有什 么共同点？
y=6x2
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
自变量的最高次数是3
（否） 自变量的最
高次数是1
探究新知 素养考点 2 利用二次函数的定义求字母的值
例2 关于x的函数 y =（m + 1）xm2 -m 是二次函数,
求m的值.
解: 由二次函数的定义得m2-m=2,m+1≠0. 解得 m=2. 因此当m=2时，函数为二次函数.
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
y=6x2①.
探究新知
问题2 多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？
如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶 点出发,可以作 (n-3) 条对角线.
M
N
②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的 关系,对于n的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.
探究新知
问题3 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年
函数关系式；
y=πx2 (x>0)
②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行
将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年
利率为x，两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间
的函数关系式；
③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r 之间的关系式. y=2(1+x)2 (x>0)