高三数学复习函数的连续性

第四节 函数的连续性及极限的应用1.函数在一点连续的定义: 如果函数f (x )在点x =x 0处有定义，0lim x x →f (x )存在，且0lim x x →f (x )=f (x 0)，那么函数f (x )在点x =x 0处连续.2．.函数f (x )在点x =x 0处连续必须满足下面三个条件.(1)函数f (x )在点x =x 0处有定义； (2)0lim x x →f (x )存在；(3)0lim x x →f (x )=f (x 0)，即函数f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值.如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f (x )在点x 0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义． 3.函数连续性的运算:①若f(x)，g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续。

②若u(x)都在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x 0处连续。

4.函数f (x )在(a ，b )内连续的定义：如果函数f (x )在某一开区间(a ，b )内每一点处连续，就说函数f (x )在开区间(a ，b )内连续，或f (x )是开区间(a ，b )内的连续函数.f (x )在开区间(a ，b )内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函数f (x )的定义域是［a ，b ］，若在a 点连续，则f (x )在a 点的极限存在并且等于f (a )，即在a 点的左、右极限都存在，且都等于f (a )， f (x )在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：lim f(x)=f(a)，如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有+x→alim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连在右端点x=b处有-→bx续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.6. 最大值最小值定理如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。

“连续必有极限，有极限未必连续。

”二、问题讨论●点击双基1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A2.f （x ）=xx πcosπcos 的不连续点为A.x =0B.x =122+k （k =0,±1,±2,…）C.x =0和x =2k π（k =0,±1,±2,…）D.x =0和x =122+k （k =0,±1,±2,…）解析：由cos xπ=0,得xπ=k π+2π（k ∈Z ）,∴x =)(122Z ∈+k k .又x =0也不是连续点,故选D 答案：D3.下列图象表示的函数在x =x 0处连续的是①②④A.①B.②③C.①④D.③④答案：A4.四个函数:①f （x ）=x1;②g （x ）=sin x ;③f （x ）=|x |;④f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d .其中在x =0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）答案：②③④例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠+-=)0(1)0(11)()1(11x x e e x f x x ，点x=0；⎩⎨⎧->+-≤+=)1(4)1(2)()2(2x x x x x f ，点x=－1。

解：（1）当x →0－时，-∞→x1，0lim1=-→xx e，因此-→0lim x 1111+-x x e e =－1，而+→0limx 1111+-xx e e =+→0limx )121(1+-xe=1，∵)(lim )(limx f x f x x +-→→≠，∴)(x f 在x=0处极限不存在，因此)(x f 在x=0处不连续。

（2）∵3)2(lim )(lim211=+=---→-→x x f x x ，=+-→)(lim1x f x 3)4(lim 1=++-→x x ，3)1(=-f ，∴)1(3)(lim1-==-→f x f x ，因此函数)(x f 在x=－1处连续。

【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。

[]2.(2081)(1),00,3P x ⎧⎪=⎨⎪⎩例优化例 1 (x>0)讨论函数f(x)=0 (x=0)在点处的连续性-1 (x<0)x (2)讨论函数f(x)=在区间上的连续性x-3剖析：（1）需判断-→0lim x f （x ）=+→0lim x f （x ）=f （0）.（2）需判断f （x ）在（0,3）上的连续性及在x =0处右连续,在x =3处左连续.解:（1）∵-→0lim x f （x ）=－1,+→0lim x f （x ）=1,-→0lim x f （x ）≠+→0lim x f （x ）,∴0lim →x f （x ）不存在.∴f （x ）在x =0处不连续. （2）∵f （x ）在x =3处无定义, ∴f （x ）在x =3处不连续. ∴f （x ）在区间［0,3］上不连续. 练习：讨论函数24)(2--=x x x f 的连续性；适当定义某点的函数值，使)(x f 在区间(－3,3)内连续。

解：显然函数的定义域为),2()2,(+∞⋃-∞，当2≠x时，2)(+=x x f ，∴)(x f 在)2,(-∞上连续，在),2(+∞上连续。

而)(x f 在2=x处不连续。

又∵4)2(lim 24lim222=+=+-→→x x xx x ，不妨设4)2(=f ，于是⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=)2(4)2(24)(2x x x x x f 此时，)(x f 在区间(－3,3)内连续。

3.(2082)P a x ⎧<⎨+≥⎩x例优化例e (x 0)设函数f(x)=(x 0)当a 为何值时,函数f(x)是连续的解:+→0lim x f （x ）=+→0lim x （a +x ）=a ,-→0lim x f （x ）=-→0lim x e x =1,而f （0）=a ,故当a =1时,lim→x f （x ）=f （0）,即说明函数f （x ）在x =0处连续,而在x ≠0时,f （x ）显然连续,于是我们可判断当a =1时, f （x ）在（－∞,+∞）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.例 4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x 轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar (0<r<1)个单位,再向左转900,以前进ar 2 个单位,…….,如此连续下去(1) 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?(2) 若其中的r 为变量,且0<r<1 ,则行动的最终目的地在怎样的一条直线上?备用：例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：01523=+-x x 是否存在实数根。

解：设152)(3+-=x x x f ，则)(x f 在R 上连续，又038)3(,1)0(<-=-=f f ，因此在[－3，0]内必存在点x 0使得)(0=x f ，所以x 0是方程1523=+-x x 的一个实数根，因此方程01523=+-x x 有实根。

【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数)(x f y =的图象是否与x 轴有交点。

五、小结1．函数f(x)在x=x 0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x 0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x 0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x 0处的极限值等于这一点处的函数值f(x 0)。

2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。

六、课后作业：。