当前位置：文档之家 › 高三数学复习函数的连续性

高三数学复习函数的连续性

  • 格式：doc
  • 大小：270.50 KB
  • 文档页数：8

第四节 函数的连续性及极限的应用

1.函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在点x=x0处有定义，0limxxf(x)存在，且0limxxf(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0处连续.

2．.函数f(x)在点x=x0处连续必须满足下面三个条件.

(1)函数f(x)在点x=x0处有定义；

(2)0limxxf(x)存在；

(3)0limxxf(x)=f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值.

如果上述三个条件中有一个条件不满足，就说函数f(x)在点x0处不连续.那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义．

3.函数连续性的运算:

①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，)()(xgxf(g(x)≠0)也在点x0处连续。

②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。

4.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.

f(x)在开区间(a，b)内的每一点以及在a、b两点都连续，现在函数f(x)的定义域是［a，b］，若在a点连续，则f(x)在a点的极限存在并且等于f(a)，即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a)， f(x)在(a，b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).

5.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有axlimf(x)=f(a)，在右端点x=b处有bxlimf(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.

6. 最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值

7.特别注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”

二、 问题讨论

●点击双基

1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_________条件.

A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分又不必要

解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.

答案：A 2.f（x）=xxπcosπcos的不连续点为

A.x=0

B.x=122k（k=0,±1,±2,…）

C.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）

D.x=0和x=122k（k=0,±1,±2,…）

解析：由cosxπ=0,得xπ=kπ+2π（k∈Z）,∴x=)(122Zkk.

又x=0也不是连续点,故选D

答案：D

3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是

xyOx0xyOx0xyOx0xyOx0①②③④

A.① B.②③ C.①④

D.③④

答案：A

4.四个函数:①f（x）=x1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上）

答案：②③④

例1：讨论下列函数在给定点或区间上的连续性

)0(1)0(11)()1(11xxeexfxx ，点x=0；

)1(4)1(2)()2(2xxxxxf，点x=－1。

解：（1）当x→0－时，x1，0lim10xxe，因此0limx1111xxee=－1，

而0limx1111xxee=0limx)121(1xe=1，∵)(lim)(lim00xfxfxx，

∴)(xf在x=0处极限不存在，因此)(xf在x=0处不连续。

（2）∵3)2(lim)(lim211xxfxx，)(lim1xfx3)4(lim1xx，3)1(f，∴)1(3)(lim1fxfx，因此函数)(xf在x=－1处连续。

【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续（闭区间的端点例外）。 2.(2081)(1),00,3Px例优化例1 (x>0)讨论函数f(x)=0 (x=0)在点处的连续性-1 (x<0)x(2)讨论函数f(x)=在区间上的连续性x-3剖析：（1）需判断0limxf（x）=0limxf（x）=f（0）.

（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.

解:（1）∵0limxf（x）=－1, 0limxf（x）=1,

0limxf（x）≠0limxf（x）,

∴0limxf（x）不存在.∴f（x）在x=0处不连续.

（2）∵f（x）在x=3处无定义,

∴f（x）在x=3处不连续.

∴f（x）在区间［0,3］上不连续.

练习：讨论函数24)(2xxxf的连续性；适当定义某点的函数值，使)(xf在区间(－3,3)内连续。

解：显然函数的定义域为),2()2,(，当2x时，2)(xxf，

∴)(xf在)2,(上连续，在),2(上连续。而)(xf在2x处不连续。

又∵4)2(lim24lim222xxxxx，不妨设4)2(f，

于是)2(4)2(24)(2xxxxxf此时，)(xf在区间(－3,3)内连续。 3.(2082)Paxx例优化例e (x0)设函数f(x)= (x0)当a为何值时,函数f(x)是连续的

解:0limxf（x）= 0limx（a+x）=a, 0limxf（x）=0limxex=1,而f（0）=a,故当a=1时,

0limxf（x）=f（0）,

即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x≠0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,

f（x）在（－∞,+∞）内是连续的.

评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.

例4.如图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法:从原点出发,在x轴上向正方向前进a(a>0)个单位后,向左转900,前进ar

(0

(1) 若有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?

(2) 若其中的r 为变量,且0

备用：

例题：利用连续函数的图象特征，判断方程：01523xx是否存在实数根。

解：设152)(3xxxf，则)(xf在R上连续，又038)3(,1)0(ff，因此在[－3，0]内必存在点x0使得0)(0xf，所以x0是方程01523xx的一个实数根，因此方程01523xx有实根。

【思维点拨】要判断方程是否有实根，即判断对应的连续函数)(xfy的图象是否与x轴有交点。

五、小结

1．函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。

2．如果函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数，那么函数f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值。

六、课后作业：

合集下载

数学函数的练习题 高三复习 文科

数学函数的练习题 高三复习 文科

高中数学辅导网

京翰教育中心 09届高三文科数学第一轮复习函数统考统阅卷

20080910

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．已知函数yfx()1的图象过点（3，2），则函数fx()的图象关于x轴的对称图形一定过点

A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2） D. （4，-2）

2．如果奇函数fx在区间,0abba上是增函数，且最小值为m，那么fx在区间,ba上是

A.增函数且最小值为m B.增函数且最大值为m C.减函数且最小值为m D.减函数且最大值为m

3. 与函数lg210.1xy的图象相同的函数解析式是

A.121()2yxx B.121yx C.11()212yxx D.121yx

4．对一切实数x，不等式1||2xax≥0恒成立，则实数a的取值范围是

A．(，－2］ B．［－2，2］ C．［－2，) D．［0，)

5．已知函数)12(xfy是定义在R上的奇函数，函数)(xgy的图象与函数)(xfy的图象关于直线xy对称，则)()(xgxg的值为

A．2 B．0 C．1 D．不能确定

6．把函数)(xfy的图像沿x轴向右平移2个单位，所得的图像为C,C关于x轴对称的图像为xy2的图像，则)(xfy的函数表达式为

A. 22xy B. 22xy C. 22xy D. )2(log2xy

7. 当01ab时，下列不等式中正确的是

A.bbaa)1()1(1 B.(1)(1)abab C.2)1()1(bbaa D.(1)(1)abab

函数的连续性连续函数的定义与性质

函数的连续性连续函数的定义与性质

函数的连续性连续函数的定义与性质

函数在数学中起着重要的作用，而函数的连续性是函数理论中的一个基本概念。本文将探讨函数的连续性以及连续函数的定义和性质。

一、函数的连续性

函数的连续性是指函数在某个区间上的“连续程度”，也就是函数在区间上是否存在间断点。如果函数在某个点上连续，则说明函数在该点上没有间断，可以通过一个流畅的曲线来表示。而如果函数在某个点上不连续，则说明函数在该点上存在间断，无法用一个曲线来表示。

在数学中，有三种类型的间断点：可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。可去间断点指的是当函数在某个点上无定义时，如果通过修改函数在该点的定义，可以使函数在该点上连续，则该点是可去间断点。跳跃间断点指的是当函数在某个点上左右两侧的极限存在，但两个极限不相等时，该点是跳跃间断点。无穷间断点指的是当函数在某个点上的极限为无穷大或无穷小时，该点是无穷间断点。

二、连续函数的定义与性质

连续函数是指在定义域上的每个点上都连续的函数。如果一个函数在其定义域内处处连续，则称为全局连续函数；如果一个函数只在某个区间内连续，则称为局部连续函数。

连续函数具有以下重要性质： 1. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，则它们的和f(x)+g(x)、差f(x)-g(x)以及积f(x)g(x)也是连续函数。

2. 若函数f(x)和g(x)都是连续函数，且g(x)不为0，则它们的商f(x)/g(x)也是连续函数。

3. 连续函数的复合函数仍然是连续函数。换言之，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且函数g(t)在区间[c,d]上连续，且f(b)位于g(t)的定义域内，则复合函数f(g(t))在区间[c,d]上连续。

4. 连续函数在闭区间上一定有最大值和最小值。形式化地表达就是，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则函数f(x)在该区间上存在最大值和最小值。

5. 连续函数的中间值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且f(a)≠f(b)，那么对于任意介于f(a)和f(b)之间的值c（f(a)

最新高三教案-初等函数的连续性1 精品

最新高三教案-初等函数的连续性1 精品

初等函数的连续性教案1

教学目的

使同学了解一切初等函数在它们的定义域(区间)内是连续函数；掌握“利用连续函数的定义和性质”求初等函数在其定义域内一点的极限的方法．

教学重点

理解定理“一切初等函数在它们的定义区间上都是连续函数．”

教学过程

一、复习提问

(1)复习函数f(x)在点x0处连续必须具备的三个条件．从而使同学更好地掌握函数在点x0处连续的定义．

(2)复习函数f(x)在区间(a，b)内(或区间[a，b]上)连续的定义．

(3)复习连续函数的性质(重点是性质2)．

(4)复习基本初等函数和初等函数的概念与内容．

二、新课

1．先给出定理：“基本初等函数在其定义域(区间)内是连续的．”

2．提问：由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，在其定义域(区间)内是不是连续函数？为什么？(同学讨论，举例后，教师给出结论．)

3．给出定理：“如果函数u=g(x)在点x=x0处连续，g(x0)=u0且函数y=f(u)在点u=u0处连续，那么复合函数y=f[g(x)]在点x0处连续．

4．根据上述结论和定理．从而得出：“一切初等函数在它们的定义域(区间)内是连续函数”这个重要结论．

5．上述重要结论给我们提供了计算初等函数极限的一种方法．这种方法就是：如果函数f(x)是初等函数，而且点x0是该函数定义区间内一点，那么f(x)在点x=x0

例1 利用初等函数的连续性，求极限：

例2 求下列极限：

成立，从而得到如下解法．即：

同理可得②的解法如下：

6．利用初等函数的连续性求极限的总结．

①函数f1(x)在点x0处连续；

②函数f(x)与f1(x)在点x0附近的函数值相等，则有：

三、小结与练习

因为有理整函数与有理分函数皆属于初等函数，因此前几节课所讲的，求当

x→x0时的有理函数的极限的问题是本节课的特例．现在可以和“利用初等函数的连续性求极限”的内容统一起来．因此求函数极限的问题，共学过两类．即：

高三数学集合与函数总复习用

高三数学集合与函数总复习用

1.已知集合xyyxyxByxyxyxA为实数，且为实数，且,,,1,,22，则BA的元素个数为（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

2.i是虚数单位，若集合1,0,1S，则（ ）

A.Si B. Si2 C. Si3 D. Si2

3.设集合2,2,1aNM，则“a=1”是“MN”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件

4.设全集为R，集合12xyxM，2xyyN，则（ ）

A．NM B. MN C.M=N D.1,1NM

5.下列命题中，真命题是( )

A．Rm，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数

B．Rm，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

C．Rm，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数

D．Rm，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数

6.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )

A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

7.用适当的符号填空

（1）1|,____2,1,2|______3xyyxxx

（2）32|_______52xx

（3）31|,_______|0xxxRxxxx

8.已知集合}023|{2xaxxA至多有一个元素，则a的取值范围 ；若至少有一个元素，则a的取值范围

9.设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：