最新奇妙的幻方与数阵

第20讲幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题。

典型问题兴趣篇1．把1～9这9个数分别填人图20-1中的9个○内，使得三个圆周及三条线段上的3个数之和都相等。

答案：答案不唯一，如：解析：全部数字之和等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，而每一个圆圈都算了2次，则三个圆周上的数字和、三条线段上的数字和都加起来的总和，等于全部数字之和的2倍，即45×2=90，则每部分的和为90÷6=15.而15=1+5+9=1+6+8=2+4+9=2+5+8=2+6+7=3+4+8=3+5+7=4+5+6.可发现1、3、7、9只出现2次，优先考虑．若其中一格填1，则与1相连的圆周和线段上的数字分别为6、8和5、9，如图1所示，则与9相连的圆周上只能是2、4．如图2，则竖线第2空为15-2-8=5，但5已经填过了，不合题意，舍去，如图3，则竖线第2空为15-4-8=3，左斜线第2空为15-2-6=7，如答案所示，经检验符合题意，（本题实际上是基本三阶幻方的变形简化：横行对应本题的圆圈，竖行对应本题直线，若熟记此基本幻方，就可以快速得到本题答案）2．(l)如图20-2，在3×3的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等．(2)如图20-3，在4×4的方格表的每个空格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上的各数之和都相等。

答案：(1)(2)解答(1)幻和等于16+11+12=39.第二行已知11和15，中间的数为39-11-15=13.此时两条对角线都可以填出：39-12-13=14, 39-16-13=10.笫一行与第三行也可以填出：39-16-14=9,39-12-10=17.(2)幻和等于8+5+9+12=34.第二列与第三列可以填出：34-4-5-11=14, 34-7-9-16=2.第一行、第三行、第四行可以填出：34-14-7-12=1,34-5-16-3=10,34-8-11-2=13．第一列与第四列可以填出：34-1-10-8=15,34-12-3-13=6.3．在图20-4所示的3×4方格表的每个空格中填入恰当的数后，可以使各行、各列的各数之和都相等．那么标有符号“+”的方格内所填的数是多少？答案：1解析:第一列的和等于2+3+7=12，全部数字之和等于12×4=48，每行的知等于48÷3=16，第一行已经填了2、4、5，则最后一个是16-2-4-5=5，从而标有“*”的格内的数是12-5-6=1．4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方。

小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从如何来填好数阵图开始。

如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。

三年级奥数--数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

学⽽思四年级秋季班幻⽅与数阵图第⼋讲幻⽅与数阵图⼀、幻⽅基本概念1、幻⽅：是指横⾏、竖列、对⾓线上数的和都相等的数的⽅阵，具有这⼀性质的3×3的数阵称作三阶幻⽅，4×4的数阵称作四阶幻⽅，5×5的称作五阶幻⽅……2、幻和：幻⽅中每⾏/列/对⾓线的数的和幻和=总和÷阶数⼆、幻⽅的构造⽅法 1、杨辉⼝诀法（三阶）——九⼦斜排，上下对易，左右相更，四维挺出具体操作如下：九⼦斜排上下对易，左右相更四维挺出2、连续摆数法（罗伯法）适合于连续⾃然数或者等差数列的奇数阶幻⽅。

要点：1、⾸数填在第⼀⾏的正中间 2、连续往右上⽅摆数3、出格了怎么办？——卷纸筒，上⾯出格就卷到下⾯，右⾯出格就卷到左⾯。

4、格⼦中已有数了怎么办？——右上没路了就往下拐弯嘛。

如，构造三阶具体操作：⼀居上⾏正中央上出框时往下填右出框时往左填排重便在下格填（注意是原数3的下格）注意：6的右上⽅经过卷纸筒应该对应的是左下⽅“4”的位置，已经有数“4”了，7就要在原数6的下⽅写。

同学们⾃⼰试试5阶、7阶：）56398742156398742156398742121321342156342156374215638742156398742113、楼梯法（适合奇数阶）要点：1、构造楼梯2、数字按顺序斜排3、把幻⽅外的数字平移进幻⽅——上到下，下到上，左到右，右到左如，构造五阶具体操作：54 103 9 152 8 14 201 7 13 19256 12 18 2411 17 2316 22213 16 9 22 1520 8 21 14 27 25 13 1 1924 12 5 18 611 4 17 10 23 在四边都构造楼梯按顺序排好数把幻⽅外的数字平移进幻⽅——上到下，下到上，左到右，右到左移完后去掉楼梯就OK啦4、四阶（对⾓线法）总体来说，偶数阶的幻⽅构造⽐奇数阶要复杂。

但因为四阶阶数不⼤，作为拓展，程⽼师也给⼤家补充⼀下四阶的⼀种简单构造⽅法——对⾓线法。

数阵图与幻方知识框架一、数阵图定义及分类：定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．三、幻方起源：幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：987654321我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．四、幻方定义：幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33⨯的数阵称作三阶幻方，44⨯的数阵称作四阶幻方，55⨯的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，98765432113414151612978105113216。

奇妙幻方与数阵【例1】把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个自然数填入右图3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和相等。

【例2】根据例1的结果，填空：1、在求和的过程中位置上的数被用了3次。

2、在求和的过程中位置上的数被用了2次。

3、请你计算出这个相等的和(幻和)：。

4、你还发现了哪些规律，请写下来：【例3】在右图的空格中填入不同的自然数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和是18。

例4【例4】将九个连续偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于36。

【例5】在右图的每个空格填入一个自然数，使得每一行，每一列及每一条对角线上的三个数之和都相等。

三、我能行：（一）展现自己：1、用自然数2、3、4、5、6、7、8、9、10编制成一个三阶幻方。

2、用1、3、5、7、9、11、13、15、17编制成一个三阶幻方。

3、用2、4、6、8、10、12、14、16、18编制成一个三阶幻方。

4、将九个偶数制成一个三阶幻方，使幻和等于24。

5、将九个连续奇数制成一个三阶幻方，使幻和等于33。

6、在下面的两个图空着的方格内填里合适的数，使每行、每列及两条对角线上三个数字之和都等于27。

7、在右图中的九个小方格中各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，求x 的值。

8、下图中A ，B ，C ，D 各等于多少时，才能使每行 、每列及每条对角线上三个数之和相等。

9、在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都等于90。

10、在右图中的每个空格中填入一个自然数，使每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。

11、在右图的空格中再填入七个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都是48。

12、在右图中的每个空格里各填入一个不大于12且互不相同的9个自然数（左上角已经填入8），使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。

13、将1—9九个自然数填入右图中各圆圈内，使每个角到中心的三个数的和相等，并且使两个正方形四个顶点上的数的和也都相等。