平面向量正交分解及坐标表示及坐标运算

B
4 3 2
j -1 o i A
a
A1
1
-4
-3
-2
1
2
3
4
x
-1 -2
c
-3 -4
-5
d
练习 2：判断下列说法是否正确 （1）对于 a ，有且仅有一对实数 ( x, y ) 与之对应； （

） ）
（2）相等的向量的坐标相等；两个向量坐标相同则这两个向量相等； （
（3）从原点引出的向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标；反过来点 A 的坐标 ( x, y ) 也就
D.(7，-1)
6.已知平行四边形 ABCD 中， AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 AC、BD 交于 O，则 CO 的 坐标是( )
1 A.(- 2 ，5)
1 B.(- 2 ， -5)
1 C.( 2 )，-5)
3
1 D.( 2 ，5)
7. OM =（1，2）则 M 点坐标为
8. a b =（1,3） ， a b =（5，7）,则 a = 9.已知 a＝(3,2),b＝(0,-1)，则 3a-2b＝
.
13.已知 a＝(1,-1),b＝(3,0),c＝(1,7). (1)求：m＝a+b+c; (2)用 a、b 为基底来表示 m.
AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD . 14.已知 A(1， -2)， B(2， 1)， C(3， 2)和 D(-2， 3)， 以 AB 、
4
课题 学习 目标
平面向量的正交分解及坐标表示、 坐标运算 1、理解平面向量的坐标的概念； 2、掌握平面向量的坐标运算； 教学过程与内容

(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝_(1_,_0_)_，j＝_(_0_,1_)，0＝_(_0_,0_)_．
3．向量与坐标的关系
设
→ OA
＝xi＋yi，则向量
→ OA
的坐标_(_x_，__y_) _就是终点A的坐
标；反过来，终点A的__坐__标___就是向量
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R)，则有下表：
文字描述
符号表示
两个向量和的坐
加法
标分别等于这两 a＋b＝_(x_1_＋__x_2，__y_1_＋__y_2)__
个向量相应这两个向量相应坐标的
_差____
__(x_1_－__x_2，__y_1_－__y_2)___
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算
1．平面向量的正交分解 垂直
把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做平
面向量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向 __相__同___的两个_单__位__向量i，j作为__基__底__． (2)坐标：对于平面内的一个向量a，_有__且__只__有__一___对实数 x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_(_x_，__y_) _叫做向量a的 坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在 x 轴上的坐标，y叫 做向量a在 y轴上的坐标．
→ OA
的坐标(x，y)．因
此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序
实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是
__一__一__对__应___的．
[破疑点]向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相 同．当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量 终点的坐标才相同．

第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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自主预习 阅读教材P94－98回答下列问题． 1．平面向量的正交分解
垂直 把一个平面向量分解为两个互相________的向量，叫做
平面向量的正交分解．
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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第二章
2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2．3.3 平面向量的坐标运算
第二章
平面向量
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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课前自主预习
如图所示，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列是 正交分解的是( )
→ → → A.AB＝OB－OA → → → C.AD＝AB＋BD
→ → → B.BD＝AD－AB → → → D.AB＝AC＋CB
第二章
2.2 2.3.2 、2.3.3
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3．向量与坐标的关系 → → (x，y) 设 OA ＝xi＋yi，则向量 OA 的坐标_______就是终点A的坐 → 坐标 标；反过来，终点A的_______就是向量 OA 的坐标(x，y)．因 此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序 实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是

平面对量旳正交分解及坐标 表达
复习:
1.向量旳数乘运算:实数λ与向量a旳积是一种向 量，记作λa， 它旳长度和方向要求如下：
(1) |λa|=|λ| |a|
(2) 当λ>0时,λa旳方向与a方向相同； 当λ<0时,λa旳方向与a方向相反；
尤其地，当λ=0或a=0时, λa=0
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb
则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
，
a b (x1 x2 , y1 y2 )
两个向量和与差旳坐标分别等于这 两个向量相应坐标旳和与差
（2） 若 A(x1, y1 ) B(x2 , y2 )
则 AB x2 x1, y2 y1
一种向量旳坐标等于表达此向量旳 有向线段旳终点坐标减去始点旳坐 标
（3）若 a (x, y) 和实数
则 a (x, y)
实数与向量旳积旳坐标等于用这个实 数乘原来向量旳相应坐标
例5.已知 a=(2，1)，
b =(例-354，．4)已，知求例6a b
3a 4b 旳坐标.
ab
作业P101习题A1,B1,3,4 P118A3,4B4
尤其地:
()a (a) (a)
(a b) a b
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 有且只有一种实数λ，使得 b=λa
新课讲解
设e1、e2是同一平面内旳两个不共
线旳向量，a 是这一平面内旳任历来量，
我们研究 a 与 e1、e2之间旳关系.
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON = 1OA + 2OB

2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算．3.2&2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算预习课本P94～98，思考并完成以下问题怎样分解一个向量才为正交分解？如何由a，b的坐标求a＋b，a－b，λa的坐标？[新知初探]．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．．平面向量的坐标表示基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．坐标：对于平面内的一个向量a，有且仅有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序实数对叫做向量a的坐标．坐标表示：a＝．特殊向量的坐标：i＝，j＝，0＝．[点睛] 平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝，b＝．．平面向量的坐标运算设向量a＝，b＝，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa＝重要结论一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A，B，则＝[点睛] 向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]．判断下列命题是否正确．相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．两向量差的坐标与两向量的顺序无关．点的坐标与向量的坐标相同．答案：√√××．若a＝，b＝，则3a＋2b的坐标是A．B．c．D．答案：c．若向量＝，＝，则＝A．B．c．D．答案：A．若点，点N，用坐标表示向量＝______.答案：平面向量的坐标表示[典例]如图，在边长为1的正方形ABcD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．[解] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B，D．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.求点和向量坐标的常用方法求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知o是坐标原点，点A在象限，||＝43，∠xoA＝60°，求向量的坐标；若B，求的坐标．解：设点A，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A，＝．＝－＝.平面向量的坐标运算[典例] 已知三点A，B，c，则向量3＋2＝________，－2＝________.已知向量a，b的坐标分别是，，求a＋b，a－b,3a,2a ＋3b的坐标．[解析] ∵A，B，c，∴＝，＝，＝．∴3＋2＝3＋2＝＝．－2＝－2＝＝．[答案]解：a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，a＝3＝，a＋3b＝2＋3＝＋＝．平面向量坐标运算的技巧若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]．设平面向量a＝，b＝，则a－2b＝A．B．c．D．解析：选A ∵2b＝2＝，∴a－2b＝－＝．．已知，N，＝12，则P点坐标为______．解析：设P，＝，＝，∴＝12＝12＝－4，12，∴x－3＝－4，y＋2＝12.∴x＝－1，y＝－32.答案：－1，－32向量坐标运算的综合应用[典例] 已知点o，A，B及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？[解] 因为＝＋t＝＋t＝，若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.[一题多变]．[变条件]本例中条件“点P在x轴上，点P在y轴上，点P在第二象限”若换为“B为线段AP的中点”试求t的值．解：由典例知P，则1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t＝2.．[变设问]本例条件不变，试问四边形oABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由．解：＝，＝．若四边形oABP为平行四边形，则＝，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形oABP不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程，解这个方程，就能达到解题的目的．层级一学业水平达标．如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A，B，则可以表示为A．2i＋3jB．4i＋2jc．2i－jD．－2i＋j解析：选c 记o为坐标原点，则＝2i＋3j，＝4i＋2j，所以＝－＝2i－．已知＝a，且A12，4，B14，2，又λ＝12，则λa等于A．－18，－1B．14，3c．18，1D．－14，－3解析：选A ∵a＝＝14，2－12，4＝－14，－2，∴λa＝12a＝－18，－1.．已知向量a＝，2a＋b＝，则b＝A．B．c．D．解析：选A b＝－2a＝－＝．．在平行四边形ABcD中，Ac为一条对角线，＝，＝，则＝A．B．c．D．解析：选c ＝－＝－＝－＝．．已知，N，点P是线段N上的点，且＝－2，则P点的坐标为A．B．c．D．解析：选D 设P，则＝，＝，由＝－2得10－x＝4＋2x，－2－y＝－14＋2y，所以x ＝2，y＝4.．已知向量a＝，b＝，若a＋nb＝，则－n的值为________．解析：∵a＋nb＝＝，∴2＋n＝9，－2n＝－8，∴＝2，n＝5，∴－n＝2－5＝－3.答案：－3．若A，B，c，则＋2＝________.解析：∵A，B，c，∴＝，＝．∴＋2＝＋2＝＋＝．答案：．已知o是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xoA ＝150°，向量的坐标为________．解析：设点A，则x＝||cos150°＝6cos150°＝－33，y＝||sin150°＝6sin150°＝3，即A，所以＝．答案：．已知a＝，B点坐标为，b＝，c＝，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝，c＝，∴3b－2c＝3－2＝－＝，即a＝＝.又B，设A点坐标为，则＝＝，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为．0．已知向量＝，＝，点A．求线段BD的中点的坐标．若点P满足＝λ，求λ与y的值．解：设B，因为＝，A，所以＝，所以x1＋1＝4，y1＋2＝3，所以x1＝3，y1＝1，所以B．同理可得D，设BD的中点，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，所以－12，－1.由＝－＝，＝－＝，又＝λ，所以＝λ＝，所以1＝－7λ，1－y＝－4λ，所以λ＝－17，y＝37. 层级二应试能力达标．已知向量＝，＝，则12＝A．B．c．D．解析：选D 12＝12＝12＝，故选D.．已知向量a＝，b＝，c＝，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为A．－2,1B．1，－2c．2，－1D．－1,2解析：选D ∵c＝λ1a＋λ2b，∴＝λ1＋λ2＝，∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.．已知四边形ABcD的三个顶点A，B，c，且＝2，则顶点D的坐标为A．2，72B．2，－12c．D．解析：选A 设点D，则由题意得＝2＝，故2＝4，2n －4＝3，解得＝2，n＝72，即点D2，72，故选A.．对于任意的两个向量＝，n nn＝．设f f f等于A．B．c．D．解析：选B 由⊗f＝，得p－2q＝5，2p＋q＝0，解得p＝1，q＝－2，所以f f．已知向量i＝，j＝，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝≠，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝，且a≠0，则a的起点是原点o；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是，则a＝．其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝≠，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是时，a＝是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：1．已知A，B，o为坐标原点，点c在∠AoB内，|oc|＝22，且∠Aoc＝π4.设＝λ＋，则λ＝________.解析：过c作cE⊥x轴于点E，由∠Aoc＝π4知，|oE|＝|cE|＝2，所以＝＋＝λ＋，即＝λ，所以＝λ，故λ＝23.答案：23．在△ABc中，已知A，B，c，，N，D分别是AB，Ac，Bc的中点，且N与AD交于点F，求的坐标．解：∵A，B，c，∴＝＝，＝＝．∵D是Bc的中点，∴＝12＝12＝12＝－72，－4.∵，N分别为AB，Ac的中点，∴F为AD的中点．∴＝－＝－12＝－12－72，－4＝74，2.．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，c，若＋＋＝0，求的坐标．若＝＋n，且点P在函数y＝x＋1的图象上，求－n. 解：设点P的坐标为，因为＋＋＝0，又＋＋＝＋＋＝．所以6－3x＝0，6－3y＝0，解得x＝2，y＝2.所以点P的坐标为，故＝．设点P的坐标为，因为A，B，c，所以＝－＝，＝－＝，因为＝＋n，所以＝＋n＝，所以x0＝＋2n，y0＝2＋n，两式相减得－n＝y0－x0，又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，所以y0－x0＝1，所以－n＝1.。

第5课时§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=-=( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由=得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0)例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =，求3F 的坐标. 解：由题设1F +2F +3F = 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。

§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算一 学习目标1 .理解平面向量的正交分解及坐标表示2 .理解掌握坐标运算二 学习过程1. 预习新知(1) 正交分解：把一个向量分解成 的向量，叫做把向量正交分解（2） 向量的坐标表示： 平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个----------i,j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x,y ，使得a= ,我们把有序数对 叫向量a 的坐标(3) 已知a =(1x ,1y ) b =(2x ,2y ),则a = , a -b = ,m a = . .2 合作探究例1 已知A （1x ,1y ）,B(2x ,2y ),求AB 的坐标变式 你能在图中标出坐标为(2x -1x ,2y -1y )的点吗?例2 已知a =(2,1), b =(-3,4)求a +b ,a -b ,3a +4b 的坐标例3 已知平行四边形的三个顶点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)为，求顶点D 的坐标.三.总结与疑惑四.达标检测1．已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( )．A ．(－2，－1)B ．(2,1)C ．(1,2)D ．(－1，－2)2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( )．A ．(5,3)B ．(4,3)C ．(8,3)D ．(0，－1)3．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )．A ．向量a 的终点坐标为(－2,3)B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称4．已知AB →＝(2，－1)，AC →＝(－4,1)则BC →＝________.5．已知a ＝(－1,1)且a ＝x i ＋y j ，则x ＝________，y ＝________.6．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，O 为原点，若a ＝OA →，求x ，y 的值．7．给出下面几种说法：①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．其中正确说法的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．48．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1)9．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点的坐标为________．10．(2012·洛阳高一检测)设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.11．如图，已知四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线AC ，BD 的交点，AD →＝(3,7)，AB →＝(－2,1)．求OB →的坐标．12．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋t ·AB →，求：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值？若不能，请说明理由．。

变式练习： 变式练习 a + b = (−4,−3), a − b = (2,1), 求a, b.
探究三： 探究三：点的坐标与向量坐标的关系
2.如图 如图， 例r 如图，已知 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) uuu 这是一个重要结论！ 这是一个重要结论！ 的坐标。 求 AB 的坐标。 y uuu uuu uuu r r r 解：
r r a = b ⇔ x1 = x2且y1 = y2
r r a + b = ( x1 + x 2 , y 1 + y 2 ) r r a − b = ( x1 − x 2 , y 1 − y 2 )
2 加、减法法则 减法法则.
3 实数与向量积的运算法则 实数与向量积的运算法则： λa =λ(x +y )=（λx，λy ） i j（ 4 向量坐标 向量坐标.
BD = BA + BC = (−2 − (−1),1 − 3) + (3 − (−1), 4 − 3) = (3, −1)
D A O x
而 uuur uuu uuu r r OD = OB + BD = (−1,3) + (3, −1) = (2, 2) 所以顶点D的坐标为 ， ） 的坐标为（ 所以顶点 的坐标为（2，2）
思考1: 思考1:
分别与x 轴方向相同的两单位向量i 分别与 轴、y 轴方向相同的两单位向量 、j 能否作为平面向量的基底? 能否作为平面向量的基底
y a j O x
任一向量a ，用这组基底 任一向量 能不能表示? 能不能表示
i
探究一、平面向量的坐标表示 探究一、平面向量的坐标表示: r r r y a = xi +y j

它们的坐标表示为：
→ OA
＝(6,2)，
→ OB
＝(2,4)，
→ AB
＝(－
4,2)．
规律总结：向量的坐标表示实质上是向量的代数表示， 引入向量的坐标表示后，可使向量运算代数化，将数和形紧 密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算．
探索延拓创新
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋ b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．
名师辨误作答
已知平行四边形的三个顶点坐标为 A(0,0)，B(0，b)， C(a，c)．求第四个顶点 D 的坐标．
[错解] 设第四个顶点的坐标为 D(x，y)，如图所示．则A→C ＝(a，c)，
B→D＝(x，y－b)， 由A→C＝B→D，得(a，c)＝(x，y－b)． ∴ac＝＝yx－b ⇒xy＝＝ab＋c ， 即 D 点坐标为：(a，b＋c)．
建模应用引路
已知点 A(2,3)、B(5,4)、C(7,10)若A→P＝A→B＋λA→C(λ ∈R)，试求 λ 取何值时，点 P 在第三象限内？
[分析] 要判断点 P 所在的象限，须知 P 点坐标，为此需求 O→P＝O→A＋A→P的坐标．或由A→P＝A→B＋λA→C找出坐标的关系，求出 P 点坐标．
(2)当四顶点按逆时针 ACBD 排列时， 由A→C＝(a，c)，D→B＝(－x，b－y)，及A→C＝D→B得，(a，c) ＝(－x，b－y)． ∴ac＝＝b－－xy ，∴xy＝ ＝－ b－ac ， 则此时 D 点坐标为(－a，b－c)．
(3)当四顶点按逆时针 ADCB 排列时，由A→D＝(x，y)，B→C＝ (a，c－b)，及A→D＝B→C，得(x，y)＝(a，c－b)．
规律总结：准确、熟练掌握向量的加法、减法、数乘的 坐标运算公式．牢记公式、细心计算．

8.在△ABC 中, AB a , AC b ,如果 | a || b |,那么△ABC 一定是( ).
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形




9.在 ABC 中, BC a , CA b ,则 AB 等于( ) A. a b B. ( a b ) C. a b D. b a
15.化简下列各式:
x
,
y
满足
(2x


(1) AB DF CD BC FA ______; (2) ( AB MB) (BO BC) OM ______.

16.在 A ABCD 中, AB a, AD b ,则 AC ______, DB ______.
17.在四边形 ABCD 中有 AC AB AD ,则它的形状一定是______
18.已知四边形
ABCD
中,
AB

1
2
DC
,且
AD

y)a

4b

5a


19.化简: ( AC DP BA) (CP BD) ______.


10.已知 a 、 b 是不共线的向量, AB a b , AC a b ( 、 R ),当且仅当( )时, A 、 B 、 C
三点共线.
A 1
B 1
C 1
D 1
1
二.填空题(每题 5 分)
｜ ｜＝1 0
新疆 王新敞
奎屯

《平面向量的坐标运算》教学设计 本节内容包括“平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算、平面向量共线的坐标表示”，这些内容是上一节所讨论问题的深入，为平面向量的坐标表示奠定理论基础，因为只有确定了任意一个向量在两个不共线的基底上能进行唯一分解，建立坐标系才有了依据,同时，只有正确地构建向量的坐标才能有向量的坐标运算．（1）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示；会用坐标表示平面向量的线性运算；能用坐标表示向量共线的条件．（2）体会平面向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解；引入向量的坐标表示可使向量运算代数化；不仅向量的线性运算可以通过坐标来实现，向量的位置关系也可以通过坐标研究．（3）建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题；理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果.【问题1】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行 于斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力2F ．问重力G 与力1F 和2F 有什么关系？【设计意图】通过学生熟悉的力的分解问题，引出本节的主题，由此可以使学生感受到向量的正交分解与现实的联系．任意一个向量可以分解为两个不共线的向量，实际上是平面向量基本定理的一个应用．【师生活动】（1）学生：12G F F =+．（2）老师：由平面向量基本定理，对平面上的任意向量a 均可以分解为不共线的两个向量11a λ和22a λ，使1122a a a λλ=+.（3）老师：在不共线的向量中，垂直是一种重要的特殊情形.把一个向量分解为两个互相垂◆ 教学过程◆ 教学目标◆ 教材分析 G F 1 F 2直的向量，叫做向量正交分解.正交分解是向量分解中常见的一种情形.【问题2】在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对直角 坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？【设计意图】通过类比平面直角坐标系中点用有序数对表示，提示学生思考在直角坐标系中 表示一个平面向量的方法．【师生活动】（1）老师：结合平面向量基本定理，如何在平面直角坐标系中选两个向量作为基底？（2）学生：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.（3）教师：对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ， 使得a xi y j =+.所以a 就由,x y 唯一确定.有序数对(,)x y 叫做向量的坐标，记作 (,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，(,)a x y =叫做向量的坐标表示.【问题3】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标与点A 的坐标有什么关系？【设计意图】使学生知道向量的的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．【师生活动】（1）老师：O（2）学生：向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标.（3）老师：在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示. 例1.如图，分别用基底i 、j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标.【设计意图】平面向量正交分解的应用，要充分运用图形之间的几何关系，求向量的坐标．【问题4】已知1122(,),(,)a x y b x y ==，你能得出,,a b a b a λ+-的坐标吗？【设计意图】运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和、差、以及 数乘运算的坐标运算．（1）学生1：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j +=+++=+++1212(,)a b x x y y ∴+=++.（2）学生2：11221212()()()()a b x i y j x i y j x x i y y j -=+-+=-+-1212(,)a b x x y y ∴-=--.（3）学生3：1111()a x i y j x i y j λλλλ=+=+11(,)a x y λλλ∴=.（4）教师：以上推导过程体现了向量的坐标形式与向量形式的相互转化.练习1：已知1122(,),(,)A x y B x y ，求AB 的坐标.（5）学生：22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--.（6）教师：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（7）教师：如何在平面直角坐标系中标出坐标为2121(,)x x y y --的点P ？有什么发现？（8）学生：向量AB 的坐标与以原点为起点、点P 为终点的向量的坐标是相同的.（9）教师：试求向量AB 的模长.（10）学生：222121()()AB OP x x y y ==-+-.例2. 如图，已知ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别是(2,1)(1,3)(3,4--、、），试求顶点D 的坐标.（1）学生：利用AB DC =，求出点D 的坐标.（2）学生：利用OD OB BD OB BA BC =+=++，求出点D 的坐标.（3）学生：利用11()()22OM OB OD OA OC =+=+，求出点D 的坐标. 【设计意图】让学生熟悉向量的坐标运算．解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位 置关系（主要是平行关系），数形结合，将顶点的坐标表示为已知点的坐标.【问题5】设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠.若a 与b 共线，这两个向量的坐标会有 什么关系？【设计意图】向量的线性运算可以通过坐标运算实现，引导学生思考向量的共线、垂直的坐 标表示.【师生活动】（1）学生：若a 与b 共线，则当且仅当存在实数λ，使得a b λ=，从而1122(,)(,)x y x y λ=，所以1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩ 消去λ得到12210x y x y -=. 例3.已知(11)(13),(25A B C --，，，，），试判断A B C ，，三点的位置关系.【设计意图】引导学生三点共线的实质是从同一点出发的两个向量共线.（1）学生：口述解题思路，书写解题过程.（2）老师：引导学生总结思想方法.例4.设点P 是线段12P P 上的一点，12P P 、的坐标分别是1122(,)(,)x y x y 、. （1）当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标；（2）当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.【设计意图】本例实际上是给出了线段的中点坐标公式，线段的三等分点坐标公式.引导学生推导线段的定比分点公式.利用向量共线的坐标表示求线段的定比分点坐标公式，只要通过简单的向量线性运算就可实现，这是向量的坐标运算带来的优越性.【师生活动】（1）学生：利用121()2OP OP OP =+，求得点P 的坐标. （2）学生：利用121233OP OP OP =+（或122133OP OP OP =+），求得点P 的坐标. （3）老师：三等分点有两种可能的位置，如果学生没有回答全面，要引导学生讨论补充.（4）老师：当12PP PP λ=时，点P 的坐标是什么？ （5）学生：由学生类比求得中点坐标及三等分点坐标的过程，给出一般定比分点的坐标公式，进一步熟练向量的坐标运算，体会其中的数学思想方法.【问题6】你能够总结一下本节课我们学习的内容吗？【设计意图】课堂小结，由学生完成，概括本节课所学习的基本概念和运算法则，由教师提炼和总结本节课获得基本原理的数学研究方法.【习题检测】1.课中检测:（完成练习，拍照上传）练习1.已知点(0,0)O ，向量(2,3),(6,3),OA OB ==-点P 是线段AB 的三等分点，求点P 的坐标.练习2.已知(2,3),(4,3)A B -，点P 在线段AB 的延长线上，且32AP PB =,求点P 的坐 标.2.课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。

平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算学习目标1.掌握两向量平行（共线）条件的坐标表示；2.熟练应用向量平行条件的坐标表示解决相关问题。

自主学习 知识梳理1．两向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．(1)当a ∥b 时，有______________________．(2)当a ∥b 且x 2y 2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．2．若P 1P →＝λPP 2→，则P 与P 1、P 2三点共线．当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的内部，特别地λ＝1时，P 为线段P 1P 2的中点； 当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的延长线上；当λ∈________时，P 位于线段P 1P 2的反向延长线上． 当堂检测1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线2．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( )A ．2 B.12 C ．－2 D ．－123．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．1 4．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )A ．－13B ．9C ．－9D ．13 夯基531一、单选题1.设k R ∈，下列向量中，与向量(1,-1)=a 一定不平行的向量是（ ）A. (,)k kB. (-,-)k kC. 22(+1,+1)k kD. 22(-1,-1)k k2. 若(-1)(1,3)(25)A x B C ，，，，三点共线，则x 的值为（ ）A. -3B. -1C. 1D. 33.已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2)(,32)m m ==-，a b ，且平面内任一向量c 都可以唯一表示成1212(,)R λλλλ∈c =a +b ，则m 的取值范围是（ ）A. (,2)-∞B. (,)-∞+∞C. (2,)+∞D. (,2)(2,)-∞+∞4.已知平面向量(1,2)(2,),m ==-a ,b 且a b ，则2a +3b =（ ）A. (2,4)--B. (3,6)--C. (4,8)--D. (5,10)--5.已知(3,1)(1,2),=-=-a ,b 若k (-2a +b)(a +b)，则实数k 的值是（ ）A. 17-B. 12-C. 1918D. 53 二、填空题6.已知向量(61),(),=(2,3),AB BC x y CD ==--，，若BC DA ,则2x y +的值为 .7.已知向量(12),(45),(10,OA k OB OC k ===，，若A B C ，，三点共线，则实数_____.k = 8.已知平行四边形ABCD 四个顶点坐标为(5,7),(3,),A B x (2,3),(4,),C D x __.x =则三、解答题9.平面内给定三个向量(3,2)(1,2),(4,1)==-=a ,b c ，回答下列问题：（1）求满足m n a =b +c 的实数,;m n（2）若2k (a +c)(b -a)，求实数.k提能11110.设向量)(3,sin ),θθ==a ,b 且//a b ，则锐角θ为（ ）A. 60︒B. 30︒C. 45︒D. 75︒11.已知向量(2,3)(1,2),==-a ,b 若-m n 与a +b a 2b 共线，则m n等于 . 12.设A B C D ，，，为平面内的四点，且(1,3),(2,-2),A B (4,-1)C ，（1）若//AB CD ,求点D 的坐标；（2）设向量AB =a ，BC =b ，若k a -b 与a +3b 平行，实数k 的值.反思领悟1两个向量共线条件的表示方法习题课。

正交分解
（1）当 90 时，把一个向量分解为两个 互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
F
F1
' 1
F
F1'' F2''
F2'
F2 G
（2）当两向量互相垂直并且长度为1时， 我们可以构造出一组特殊的基底—— i , j
j
i
问题二： 在平面直角坐标系中，每一个点都可 以用有序实数对来表示，即A( x, y) 。
人 教 A 版 数 学
求它们的坐标。 a 2i 3 j , a (2,3)
b 2i 3 j , b (2,3)
c 2i 3 j , c (2, 3)
b2 b3)
如图，已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，求 AB 的坐标。
平面向量基本定理的内容是什么？
如果 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 ，有且只有一对实数 ，使： 面内的任一向量
问题一： 已知一个光滑斜坡上放着一个重为 G的物体，如图：

G F1 F2 叫做把重力分解。
a 1e1 2e2 我们也可看做把 a 分解。 所以，
人 教 A 版 数 学
第二章
平面向量
2．平面向量的坐标表示
如图所示，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y轴 方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，对于平面内任意 一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x、y，使得a＝xi＋yj.这样，平面内的任一向量a都可由 有序数对(x，y) x、y 唯一确定，我们把 叫做向量a 的坐标，记作a＝(x，y)，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在 y轴上的坐标．

教学内容
第课
（单元）
主题
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
1课时标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
过程
与方法
情感态度与价值观
教
材
分
析
重点
平面向量的坐标运算
难点
向量的坐标表示的理解及运算的准确性
学情分析
过程
教学内容
自主学习
不看不讲
一、复习引入：1.力的分解（正交分解）；2.平面向量基本定理
二、讲解新课：
1.平面向量的坐标表示：如图，在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底.任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 ，我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 …（2），与 相等的向量的坐标也为 .特别地， 、 .
例3.已知三个力的合力 ，且 , ，求 的坐标.
例4.已知点 , , , ,求点C，D的坐标和的 坐标.
例5.已知 中点A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标。
．
高效训练
不练不讲
1．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则 .
2.已知点 ， ， ，则点D的坐标是.
3.若点A(1，3)，B(2，4)， 与 相等，则x为
如图，当向量起点在原点时，则点 的位置由 唯一确定,定义向量坐标为终点坐标，即若 ，则 .
合作探究
不议不讲
2．平面向量的坐标运算
（1）若 , ，则 ,(终点坐标减去起点坐标)
（2）若 , ，则 , ,
,（两个向量的坐标的对应运算）.
三、讲解范例：
例1.已知原点 ，点 , ，求 、 、 的坐标.

a x1i y1 j a b x1i y1 j x2i y2 j b x2i y2 j
x1i x2i y1 j y2 j
x1 x2 i y1 y2 j a b x1 x2, y1 y2
x2 x1, y2 y1
一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段的终点坐标减去起点坐标
例5：如图所示，已知平行四边形ABCD的
三个顶点A, B,C的坐标分别是 - 2，1，-1，3，3，4 y
求顶点D的坐标
B
解：设顶点 D的坐标为x, y
AB 1 2,31 1,2
r
r
（1）| i | ___1__,| j | ___1___,
uuur
| OC | ___5___;
rr
uuur uuur
（2）若用 i, j 来表示OC,OD ，则：
uuur
uuur
OC _3_i __4__j __,OD _5_i___7_j___ .
y
7
D
4
B
j
o iA
C P
的单位向量，若以
rr i, j
为基底，则
y
D
a
C
A
j
x
o iB
这里，我们把（x,y）叫r 做向量a 的（直角）坐标，记作
a (x, y)
①
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做 a 在y轴上的坐标，
①式叫做向量的坐标表示。
r a (x, y)
y
D
a
C
A
j
x
o iB
思考：i, j,0这三个向量的坐标分别是什么？
i 1i 0 j i 1，0 j 0i 1 j i 0，1

例5 :已知平行四边形ABCD的三个顶点
A(2,1), B(1,3),C(3, 4),求顶点D的坐标.
解：设D的坐标为（x, y) B(-1,3）
C(3,4)
uuur
DD(x,y)
Q AB (1, 2)
A(-2,1)
DC (3 x,4 y)
x
uuur uuur
有AB DC得：（1，2）（3-x, 4 y)
y
uuur AB
的坐标.
A(x1, y1)
(x2 , y2 ) (x1, y1) •
B(x2 , y2 )
(x2 x1, y2 y1)
•
O
x
一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
r
r
例4：已知 a (2,1), b (3, 4),
r rr r r r
y
r
a
yA
r rr a xi +y j
uuur r r
r
OA xi +y j
jr
Oi x
x
当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终
点的坐标.
r 向量 a
一一对应
坐标(x,y)
两个向a量相b等，利x用1 坐标x如2且何y表1示？y2
思考
• 与a相等的向量坐标是什么？ • 与a的坐标相等. • 向量与向量坐标间建立的对应关系是什么对应？ • 多对一的对应，因为相等向量对应的坐标相同.
6.3.2平面向量正交分解及坐标表示
思考？
在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
物理背景:

解：设b (x, y),则4b (4x,4 y),3a (6,3)
所以：3a 4b (6 4x,3 4 y) (3,4)
即：6344xy43, 得x
9 4
,
y
1 4
所以：b ( 9 , 1 ) 44
由题意知：3a (6,3)
4b
（
3,4）
3a
（
3,4）（6,3）（
9,1）
得b ( 9 , 1 ) 44
同理可得 a b=(x1-x2,y1-y2) 这就是说，两个向量和（或差）的坐标分别等于这
两个向量相应坐标的和与差.
典例剖析
例4.已知a (2,1),b (3,4),求a b, a b的坐标.
探究:如图，已知 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2，) 求 AB 的坐标.
y
解：AB = OB - OA A
DC (3, 4) (x, y) (3 x, 4 y)
O
x
且AB DC
(1,2) (3 x,4 y) 1 3 x
24 y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
例5.已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐
标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，
求顶点D的坐标。
向量 a 的坐标 一 一 对 应 点A坐标（x ，y）
例3.如图，分别用基底 i ，j 表示向量 a 、b、c 、d ，并求出
它们的坐标。
A2
解：如图可知
a AA1 AA2 2i 3 j a (2,3)
同理
A
A1
b 2i 3 j (2,3); c 2i 3 j (2, 3);
第六章 平面向量及其应用
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加减法的坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示