20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题9.3 空间几何体外接球和内切球(原卷版)

空间中的外接球摘要：本文主要讨论一些常见空间几何体的外接球半径的求解方法，总结相应的公式。

对于更一般的几何体的外接球，用多种方法进行求解，本文引用了最新高考题以及课本中的例题，对于教师教学和学生自学都有参考作用。

一、旋转体外接球的公式在高中阶段，忧外接球的旋转体就是圆台，圆柱，圆锥，任何一个这三类旋转体，都有外接球，下面推导相应的外接球公式 1、圆台外接球半径公式的推导圆台的外接球公式为()hr r r r h h r r l l R 24242221222212212-++=+=……（1），其中l 为圆台的母线长，h 为圆台的高，1r 、2r 为圆台的上、下底面的半径，下面推导公式。

先证明一个引理：引理1：ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，c h 为c 边上的高线，ABC ∆外接圆半径为：ch ab R 2=。

证明：由三角形面积公式c ABC ch C ab S 21sin 21==∆，不难得到R Cc h ab 2sin ==，即ch abR 2=。

所有参数的意义如上文，设一个圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，其中CD AB //，12r AB =，22r CD =，l BC AD ==。

显然梯形ABCD 的高即为圆台的高h 。

由托勒密定理可得2124r r l BC AD CD AB BD AC +=⋅+⋅=⋅。

由于BD AC =，所以2124r r l AC +=。

不难得到等腰梯形ABCD 的外接圆即为圆台外接球的大圆，ABC ∆的外接圆半径与等腰梯形ABCD 半径相同，故只需求ABC ∆的外接圆半径。

而由引理1可得：hr r l l R 24212+=。

考虑等腰梯形ABCD 的腰()2212r r h l -+=，代入公式整理可得：()hr r r r hR 242221222212-++=。

例1：（2022年高考卷II 第七题）正三棱台高为1，上下底边长分别是33和34，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（） A 、π100 B 、π128 C 、π144 D 、π192 代入公式（1）可得圆台外接球半径为5，则外接球表面积为π100，选A 2、圆柱与圆锥的外接球半径公式若令r r r ==21，h l =，即可得到圆柱的外接球半径公式：224r l R += (2)，其中r 为底面半径，l 为母线长。

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

空间几何体的外接球与内切球问题高考分析： 球与几何体的切接问题是近几年高考的高频考点，常以选择题和填空题的形式出现，以中档题和偏难题为主. 一、几种常见几何体的外接与内切球 1.长方体的外接球 (1)球心：体对角线的交点；(2)半径：R ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 (1)外接球：球心是正方体的中心；半径R ＝32a(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体的中心；半径r ＝2a(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体的中心；半径=2r a (a 为正方体的棱长)． 3.正四面体的外接球与内切球(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径R (a 为正四面体的棱长)；(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r (a 为正四面体的棱长)．求外接球问题常用方法：1.补体法。

将几何体补形成长方体正方体等常见模型去求解2.外接球的球心都在过底面外接圆圆心的垂线上（注意球体可以滚动所以可以选择较为方便计算的那一面作为底面）3.利用外接球球心到几何体各顶点距离都等于半径4.球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆求外接球的关键是确定球心位置，进而计算出外接球半径。

题型一：柱体的外接球1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_________．2.已知三棱柱111ABC A B C －的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12 ，则该三棱柱的体积为_________．3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π4.已知圆柱的底面半径为12，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π4题型二：锥体的外接球5.求棱长为1的正四面体外接球的体积为_________．6.已知正四棱锥P －ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P －ABCD 体积的最大值是( )A.16R 381B.32R 381C.64R 381 D ．R 3 7.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PB ⊥底面ABCD ，O 为对角线AC 与BD 的交点，若PB ＝1，∠APB ＝∠BAD ＝π3，则三棱锥P －AOB 的外接球的体积是_________．8.已知△ABC 是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A.B.C. 1D.9.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．将一堑堵沿其一顶点与相对的棱切开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均是直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ＝5，AB ＝3，BC ＝4，则阳马C 1－ABB 1A 1的外接球的表面积是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π11.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π12.已知正三棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为3，E,F ,G 分别为为侧棱AB,AC,AD 的中点.若O 在三棱锥A -BCD 内，且三棱锥A -BCD 的体积是三棱锥O -BCD 体积的3倍，则平面EFG 截球O 所得截面的面积为微专题 球与几何体的切接问题——内切球1.半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为_________，体积为_________．2.若正四面体的棱长为a ，则其内切球的半径为_________．3.已知正三棱锥的高为6，内切球(与四个面都相切)的表面积为16π，则其底面边长为( ) A ．18 B ．12 C ．6 3 D ．434.将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计)，则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3 B.3π3 C.4π3D ．2π 5.如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3 C.π6 D.33π题型三 最值问题6.已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为_________．7.四棱锥S －ABCD 的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于8＋83，则球O 的体积等于( )A.32π3B.322π3 C ．16π D.162π38.已知SAB 是边上为2的等边三角形，045ACB ∠=，则三棱锥体积最大时，CA = ;其外接球的表面积为。

.几何体的外接球与内切球1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。

4、体积分割是求内切球半径的通用做法。

一、外接球（一）多面体几何性质法1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 2、一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 。

（二）补形法1、，则其外接球的表面积是 .2、设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===, 则球心O 到截面ABC 的距离是 .小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =3、三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ）A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．224a π4、三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形 ⊥PA 平面62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ）A. π316B. π332C. π48D. π364.答案及解析：10.B点评： 本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．5、如图的几何体是长方体 1111ABCD A B C D -的一部分，其中 113,2AB AD DD BB cm ====则该几何体的外接球的表面积为 (A 211cm π (B) 222cm π (C)211223cm ( D)21122cm π答案及解析：12.【知识点】几何体的结构. G1B 解析：该几何体的外接球即长方体1111ABCD A BCD -的外接球，而若长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，则长方体1111ABCD A B C D -的体对角线为2R ，所以2222211(2)332222R R =++=⇒=，所以该几何体的外接球的表面积222cm π，.故选 B.【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCD A B C D 的外接球的关系，进而得结论.6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ）A ． 12πB ． 4πC ． 3πD ． 12π答案及解析：14.考点： 由三视图求面积、体积．分析： 三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积．解答： 解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作S ﹣ABCD ，其中SA⊥面ABCD ．面ABCD 为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以2r=．∴S 球=4πr 2=4π×=3π． 答案：C点评： 本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题．.（三）寻求轴截面圆半径法1、正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.2、求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积3、三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（） A ． 8πB ．C ．D ． 8π 答案及解析：7.C考点： 球的体积和表面积．专题： 计算题；空间位置关系与距离．分析： 根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．解答： 解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心， 因为△ABC 是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；CDA B SO1图3.因为AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr 3=π×（）3=．故选：C ．点评： 本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题． 8.4、已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的体积为 A. 8π2π42π82答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π2、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A O DB图4.A. 8πB. 16πC. 32πD. 64π3、三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形， PA ⊥底面ABC ，且2PA =，则此三棱锥外接球的半径为（ ）A ．2B ．5C ．2D ．321 4、如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，△ACD 与△BCD 是全等的等腰三角形，且平面ACD⊥平面BCD ，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为．B ．C ．答案及解析：D ．27.E ．F．考点：球的体积和表面积；球内接多面体．G．专题：空间位置关系与距离．H．分析：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解表面积．I．解答：解：取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为．J．故答案为：．K．L．点评：本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题．M．28.N．29.A-中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的5、在三棱锥BCD∆的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为射影为BCDA-外接球的表面积为__________．O．22，则三棱锥BCDP．答案及解析：Q．29.π6R．二、内切球问题1、一气球（近似看成球体）在不变形的前提下放在由长为2的12根木条搭成的正方体中，该气球球表面积最大是__________．..2、正三棱锥的高为 1，底面边长为26 。

空间几何体的外接球与内切球研究专题补充内容一。

三角形的四心：1。

重心：三条中线的交点。

★重心定理：三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

2。

垂心：三条高线的交点。

3OA OB OC==4。

ABC=r()11112222ABC OAB OAC OBCS S S S ar br cr a b c r =++=++=++补充内容二。

等边三角形中的一些重要的量：设等边三角形边长为a。

★★1；2。

面积2ABCS=；3。

O为正三角形中心（正三角形四心合一），外接圆半径3AO R ==，内切圆半径6OD r ==。

:2:1R r =。

补充内容三：正棱锥。

如正三棱锥、正四面体、正四棱锥。

★★（2）过底面正多边形的中心作底面的垂线，则垂线上任一点到正多边形各顶点的距离都相等，垂线上点（正多边形的中心除外）与底面正多边形均构成正棱锥。

一．棱柱的外接球：一、正方体、长方体外接球与内切球研究：设正方体棱长为a ，。

① 正方体外接球直径为体对角线，即2R =② 正方体内切球直径为棱长，即2r a =。

推广：长方体相邻三棱长为,,a b c 2R =，其中2R 为长方体外接球直径。

题型一：若有三边两两垂直的，则用补形法构造一个长方体，该长方体的体对角2.直三棱柱外接球：规律：直三棱柱外接球的球心位于上下底面三角形外接圆圆心连线的中点上。

例1.在三棱柱中，侧棱垂直于底面，且三棱柱的体积为3，则三棱柱的外接球的表面积为（ ）111ABC A B C -90,301ACB BAC BC ∠=∠==，，111ABC A B C -111ABC A B C -A． B ． C ． D ．解：0090301ACB BAC BC ∠=∠==，，2ACAB ∴==3又三棱柱的体积为 ∴棱柱的高为因三棱柱上下底面三角形的外心在斜边的中点上11,AB A B ∴三棱柱外接球的球心位于中点连线的中点上，如图：12R OA ∴===2416.S R ππ∴==球注意：本题也可以用补形法构造一个长方体。

搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 在四面体S ABC-中，ABCSA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（ ）π11.A π7.B π310.C π340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）(6)题图(3)题-1(引理）AC图2-1第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ； 第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为 （2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为 （4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=； 第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为 （3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（ ）A ．π B.3πC. 4πD.43π（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的 三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的 顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ； 第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,； 第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和俯视图侧视图正视图解答图△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(2)题-2(2)题-1→A(3)题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为(5)在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7(4)题图例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为 ．第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高； 第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（ ） A.3 B.6 C.36 D.92． 三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等B图8-1A图8-2于 .332π3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6． 三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。

9.3 空间几何外接球和内切球一．公式1.球的表面积：S ＝4πR 22.球的体积：V ＝43πR 3二．概念1.2.考向一 长（正）方体外接球【例1】若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球O 的表面上，则此球的表面积为__________． 【答案】29π【解析】因为长方体的顶点都在球上，所以长方体为球的内接长方体，其体对角线l ==为球的直径，所以球的表面积为24292l S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故填29π.【举一反三】1.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________． 【答案】92π【解析】设正方体棱长为a ，则6a 2＝18，∴a ＝ 3.设球的半径为R ，则由题意知2R ＝a 2＋a 2＋a 2＝3，∴R ＝32.故球的体积V ＝43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝92π.2.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是________.【答案】48π【解析】由几何体的三视图可得该几何体是直三棱柱ABC A B C '-''，如图所示：其中，三角形ABC 是腰长为4的直角三角形，侧面ACC A ''是边长为4的正方形，则该几何体的外接球的半径为2=∴该几何体的外接球的表面积为(2448ππ⨯=.故答案为48π.考向二 棱柱的外接球【例2】直三棱柱AAA −A ′A ′A ′的所有棱长均为2√3，则此三棱柱的外接球的表面积为（ ） A ．12π B ．16π C ．28π D ．36π【答案】C【解析】由直三棱柱的底面边长为2√3，得底面所在平面截其外接球所成的圆O 的半径r =2， 又由直三棱柱的侧棱长为2√3，则球心到圆O 的球心距d =√3，根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易得球半径R 满足：R 2＝r 2+d 2=7，∴外接球的表面积S ＝4πR 2=28π．故选：C ．【举一反三】1. 设直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB=AC=AA 1，∠BAC=120°，则此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】设三角形BAC 边长为a ，则三角形BAC外接圆半径为122sin 3a π⋅=，因为2244010R R ππ=∴=所以22210,2a R a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭即直三棱柱的高是.2.直三棱柱AAA −A 1A 1A 1中，已知AA ⊥AA ，AA =3，AA =4，AA 1=5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________． 【答案】50π【解析】AAA −A 1A 1A 1是直三棱柱，∴A 1A ⊥AA ，又三棱柱的所有顶点都在同一球面上，A 1A 是球的直径，∴A =A 1A2；∵AA ⊥AA ，∴AA =√32+42=5 ，∴A 1A 2=52+52=50 ；故该球的表面积为A =4AA 2=4A (A 1A 2)2=AA 1A 2=50A考向三 棱锥的外接球类型一：正棱锥型【例3-1】已知正四棱锥P ABCD -的各顶点都在同一球面上，体积为2，则此球的体积为 （ ）A.1243π B. 62581π C. 50081π D. 2569π【答案】C【解析】如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O '，正四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O1O D ∴'=正四棱锥的体积为22123P ABCDV PO -⨯⨯'∴==，解得3PO '=3OO PO PO R ∴-'=='-在 Rt OO D '中，由勾股定理可得： 222OO O D OD '+='即()22231R R -+=，解得53R =2344550033381V R πππ⎛⎫∴==⨯= ⎪⎝⎭球故选C【举一反三】1.已知正四棱锥P ABCD -的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π 【答案】C【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ',则12,2AO AC PA PO ==''=⊥平面ABCD,故PO =='而底面ABCD 所在截面圆的半径AO '=故该截面圆即为过球心的圆，则球的半径,故外接球的表面积为248,S R ππ==故选C.2．如图，正三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，底面正三角形的边长为3，侧棱长为则球O 的表面积是( )A ．4πB ．323πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】如图，设OM x =，OB OD r ==，3AB =，BM ∴=DB =3DM ∴=，在Rt OMB ∆中，22(3)3x x -=+，得：1x =，2r ∴=，16O S π∴=球，故选：C ．类型二：侧棱垂直底面型【例3-2】在三棱锥P ABC -中， 2AP =， AB = PA ⊥面ABC ，且在三角形ABC 中，有()cos 2cos c B a b C=-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边），则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 20π C. 12π D.203π【答案】A【解析】设该三棱锥外接球的半径为R .在三角形ABC 中， ()cos 2cos c B a b C =-（其中,,a b c 为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边）. ∴cos cos 2cos c B b C a C +=∴根据正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=，即()sin 2sin cos B C A C +=.∵sin 0A ≠∴1cos 2C =∵()0,C π∈∴3C π= ∴由正弦定理，332sin3r π=，得三角形ABC 的外接圆的半径为3r =.∵PA ⊥面ABC∴()()()22222PA r R +=∴210R =∴该三棱锥外接球的表面积为2440S R ππ==故选A.【举一反三】1.已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.214π3 B. 127π3 C. 115π3 D. 124π3【答案】D【解析】根据几何体的三视图可知，该几何体为三棱锥A −AAA 其中AA =AA =2，AA =4且AA ⊥底面AAA ，∠AAA =120° 根据余弦定理可知：AA 2−AA 2+AA 2−2AA ∙AA ∙AAA 120°=42+22−2×4×2×(−12)=28可知AA =2√7根据正弦定理可知∆AAA 外接圆直径2A =AAAAA ∠AAA=2√7AAA 120°=4√7√3∴A =2√213，如图，设三棱锥外接球的半径为A ，球心为A ，过球心A 向AA 作垂线，则垂足A 为AA 的中点AA =1，在AA ∆AAA 中，A 2=AA 2=(2√213)2+1=313∴外接球的表面积A =4AA 3=4A ×313=124A3故选A2.已知三棱锥S ABC －中， SA ⊥平面ABC ，且30ACB ∠=︒， 21AC AB SA ===.则该三棱锥的外接球的体积为( )B. 13π 【答案】D【解析】∵30ACB ∠=︒， 2AC AB ==ABC 是以AC 为斜边的直角三角形其外接圆半径2ACr ==，则三棱锥外接球即为以ABC C 为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球∴三棱锥外接球的半径R 满足R ==故三棱锥外接球的体积34.3V R π== 故选D. 类型三：侧面垂直与底面型【例3】已知四棱锥A −AAAA 的三视图如图所示，则四棱锥A −AAAA 外接球的表面积是（ ）A. 20AB. 101A5C. 25AD. 22A【答案】B【解析】由三视图得，几何体是一个四棱锥A-BCDE,底面ABCD是矩形，侧面ABE⊥底面BCDE.如图所示，矩形ABCD的中心为M,球心为O,F为BE中点，OG⊥AF.设OM=x,由题得AA=√5,在直角△OME中，A2+5=A2(1)，又MF=OG=1,AF=√32−22=√5,AA=√A2−1,AA=A,∴√A2−1+A=√5(2)，解（1）（2）得A2=10120,∴A=4AA2=1015A.故选B.【举一反三】1.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A. 81AB. 33AC. 56AD. 41A 【答案】D【解析】由三视图可得，该几何体是一个如图所示的四棱锥A −AAAA ，其中AAAA 是边长为4的正方形，平面AAA ⊥平面AAAA ．设A 为AA 的中点，A 为正方形AAAA 的中心，A 为四棱锥外接球的球心，A 1为AAAA 外接圆的圆心，则球心A 为过点A 且与平面AAAA 垂直的直线与过A 1且与平面AAA 垂直的直线的交点． 由于AAAA 为钝角三角形，故A 1在AAAA 的外部，从而球心A 与点P 在平面AAAA 的两侧． 由题意得AA =1,AA =A 1A ,AA 1=AA ， 设球半径为A ，则A 2=AA 2+AA 2=AA 2+A 1A 2, 即AA 2+(2√2)2=22+(1+AA )2，解得AA =32， ∴A 2=(32)2+(2√2)2=414， ∴A 球表=4AA 2=41A ．选D ．2．已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，3AB =，AC =BC CD BD ===O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π【答案】C【解析】3AB =，AC =BC =222AB AC BC ∴+=，AC AB ∴⊥，ABC ∴∆ ABC ∆和DBC ∆所在平面相互垂直，∴球心在BC 边的高上，设球心到平面ABC 的距离为h ，则2223()2h R h +==， 1h ∴=，2R =，∴球O 的表面积为2416R ππ=．故选：C ．3．三棱锥P ABC -的底面是等腰三角形，120C ∠=︒，侧面是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A ．12π B ．20πC ．32πD ．100π【答案】B【解析】 如图， 在等腰三角形ABC 中， 由120C ∠=︒，得30ABC ∠=︒， 又2AC =，设G 为三角形ABC 外接圆的圆心， 则22sin sin 30AC CG ABC ==∠︒，2CG ∴=．再设CG 交AB 于D ，可得1CD =，AB =1DG =． 在等边三角形PAB 中， 设其外心为H ， 则223BH PH PD ===． 过G 作平面ABC 的垂线， 过H 作平面PAB 的垂线， 两垂线相交于O ，则O 为该三棱锥的外接球的球心， 则半径R OB ===∴该三棱锥的外接球的表面积为2420ππ⨯=．故选：B ．类型四：棱长即为直径【例3-4】已知底面边长为√2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥A −AAA 的四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3AB. 2AC. 43A D. 4A 【答案】A【解析】由题意得正三棱锥侧棱长为1，将三棱锥补成一个正方体（棱长为1），则正方体外接球为正三棱锥外接球，所以球的直径为√1+1+1=√3，故其表面积为A =4×A ×(√32)2=3A ．选A ．【举一反三】1．已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径．若平面PCA ⊥平面PCB ，PA AC =，PB BC =，三棱锥P ABC -的体积为a ，则球O 的体积为( )A ．2a πB ．4a πC ．23a πD ．43a π【答案】B【解析】如下图所示，设球O 的半径为R ，由于PC 是球O 的直径，则PAC ∠和PBC ∠都是直角，由于PA AC =，PB BC =，所以，PAC ∆和PBC ∆是两个公共斜边PC 的等腰直角三角形，且PBC ∆的面积为212PBC S PC OB R ∆==， PA AC =，O 为PC 的中点，则OA PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC ⋂平面PBC PC =，OA ⊂平面PAC ，所以，OA ⊥平面PBC ， 所以，三棱锥P ABC -的体积为23111333PBC OA S R R R a ∆⨯⨯=⨯==，因此，球O 的体积为33414433R R a πππ=⨯=，故选：B ．考向四 墙角型【例4】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B ．2 C ．3π D ．【答案】B【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的．故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径2r ==则：343V π=⋅⋅=⎝⎭.故选：B ．【举一反三】1.已知四面体AAAA 的四个面都为直角三角形，且AA ⊥平面AAA ，AA =AA =AA =2，若该四面体的四个顶点都在球A 的表面上，则球A 的表面积为（ ） A ．3AB ．2√3AC ．4√3AD ．12A【答案】D【解析】∵AA =AA =2且AAAA 为直角三角形 ∴AA ⊥AA 又AA ⊥平面AAA ，AA ⊂平面AAA ∴AA ⊥AA ∴AA ⊥平面AAA 由此可将四面体AAAA 放入边长为2的正方体中，如下图所示：∴正方体的外接球即为该四面体的外接球A正方体外接球半径为体对角线的一半，即A =12⋅√22+22+22=√3 ∴球A 的表面积：A =4AA 2=12A 本题正确选项：A2．已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是( )A ．24πB ．20πC ．16πD ．12π【答案】D【解析】该几何体是把正方体1AC 截去两个四面体111AA B D 与111CC B D ， 其外接球即为正方体1AC 的外接球，由1AC ==∴外接球的半径R =∴该几何体外接球的表面积是2412ππ⨯=．故选：D ．3．在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为( ) A ．12π B ．6πC ．4πD ．3π【答案】A 【解析】在三棱锥P 一ABC 中，1PA PB PC ===，PA 、PB 、PC 两两垂直，∴以PA 、PB 、PC 为棱构造棱长为1的正方体，则这个正方体的外接球就是三棱锥P ABC -的外接球，∴三棱锥P ABC -的外接球的半径2r ==∴三棱锥P ABC -的外接球的表面积为：2412S r ππ==．故选：A ．考向五 内切球【例5】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【答案】πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球，33)26(3434-==ππR V 球．∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球．∴33)26(3434-==ππR V 球． 【举一反三】1．球内切于圆柱， 则此圆柱的全面积与球表面积之比是( ) A ．1:1 B ．2:1C ．3:2D ．4:3【答案】C【解析】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，222226S R R R R πππ∴=⨯+⨯=圆柱，24S R π=球．∴此圆柱的全面积与球表面积之比是：226342S R S R ππ==圆柱球．故选：C ．2．若三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，其余各棱长均为 5 ，则三棱锥内切球的表面积为 ．【答案】6316π【解析】由题意可知三棱锥的四个面全等， 且每一个面的面积均为164122⨯⨯=． 设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积14163ABC V S r r ∆==， 取CD 的中点O ，连接AO ，BO ，则CD ⊥平面AOB ，4AO BO ∴==，162AOB S ∆=⨯=12233A BCD C AOB V V --∴==⨯⨯=，16r ∴=，解得r =． ∴内切球的表面积为263416S r ππ==． 故答案为：6316π．3．一个几何体的三视图如图所示， 三视图都为腰长为 2 的等腰直角三角形， 则该几何体的外接球半径与内切球半径之比为( )A BC D 【答案】A【解析】 由题意可知几何体是三棱锥， 是正方体的一部分， 如图： 正方体的棱长为 2 ，内切球的半径为r ，可得：21111222(322)3232r ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得r ==故选：A ．考向六 最值问题【例6】已知球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，2AB =，若四棱锥O ABCD -的体积为2，则当球O 的表面积最小时，球的半径为( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】由题意，球O 的内接长方体ABCD A B C D -''''中，球心O 在T 对角线交点上， 可得：四棱锥O ABCD -的高为1(2h h 是长方体的高）， 长方体的边长2AB =，设BC a =，高为h ， 可得：112223a h ⨯⨯⨯⨯=，即6ah =，6h a∴=那么：23614222R ==+=，（当且仅当a =故选：B ． 【举一反三】1．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】C【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144R ππ=， 故选：C ．1．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3，外接球表面积为16π，则正三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．2【答案】D【解析】正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,故底面的外接圆的半径为：03,2sin 60r r r =⇒=外接球表面积为16π242R R π=⇒=外接球的球心在上下两个底面的外心MN 的连线的中点上，记为O 点，如图所示在三角形1OMB 中，22211112MB r OB R MB OM OB ===+=解得1,2OM MN h ===故棱柱的体积为：133222V Sh ==⨯⨯⨯= 故答案为：D. 2．已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A ．3B C ．D ．16π【答案】A【解析】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC ==∴四边形ADCE 为平行四边形AE DC ∴=，又12DC BC =12DE BC ∴=AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD 作OF PA ⊥，垂足为F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE == 设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x =R ∴==∴球O 的体积：3433V R π==本题正确选项：A3．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，球的体积与三棱锥体积之比是4π，AC = （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【解析】由于OA OB OC OS ===，且SO ⊥平面ABC ，所以π2ACB ∠=，设球的半径为R ，根据题目所给体积比有34π114π332R R =⋅⋅，解得1R =，故球的表面积为4π.4．某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的外接球表面积是（ ）A ．163π B ．283πC ．11πD ．323π【答案】B【解析】根据几何体得三视图转换为几何体为：该几何体为：下底面为边长为2的等边三角形，有一长为2的侧棱垂直于下底面的三棱锥体，故：下底面的中心到底面顶点的长为：3，所以：外接球的半径为：R =故：外接球的表面积为：27284433S R πππ==⋅=．故选：B ． 5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）A B C ．193πD ．223π【答案】A的四棱锥，且侧面PAB 垂直底面ABCD ，如图所示：还原长方体的长是2，宽为1设四棱锥的外接球的球心为O ，则过O 作OM 垂直平面PAB ，M 为三角形PAB 的外心，作ON 垂直平面ABCD ，则N 为矩形ABCD 的对角线交点，11,233OM ON ===所以外接球的半径222221912R ON AN R =+=+=∴=所以外接球的体积343V R π== 故选A 6．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．√6AB ．6AC ．9AD ．24A【答案】B【解析】如图所示，该几何体为四棱锥A −AAAA ．底面AAAA 为矩形，其中AA ⊥底面AAAA ．AA =1，AA =2，AA =1．则该阳马的外接球的直径为AA =√1+1+4=√6．∴该阳马的外接球的表面积为：4A ×(√62)2=6A ．故选：A ．7．如图，边长为2的正方形AAAA 中，点A、A 分别是AA、AA 的中点，将AAAA ，AAAA ，AAAA分别沿AA ，AA ，AA 折起，使得A 、A 、A 三点重合于点A ′，若四面体A ′AAA 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．5AB ．6AC ．8AD ．11A【答案】B【解析】由题意可知△A′AA 是等腰直角三角形，且A′A ⊥平面A′AA ． 三棱锥的底面A′AA 扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球， 正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：√1+1+4=√6． ∴球的半径为√62，∴球的表面积为4A ·(√62)2=6A ．故选：A ．8．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球A 的球面上，则球A 的表面积是：（ ）A ．8AB ．12√3AC ．12AD ．48A【答案】C【解析】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2． 把该三棱柱补形为正方体，则正方体对角线长为√22+22+22．∴该三棱柱外接球的半径为：√3．则球O 的表面积是：4A ×(√3)2=12π．故选：C ．9．已知三棱锥A −AAA 的底面AAAA 的顶点都在球A 的表面上，且AA =6，AA =2√3，AA =4√3，且三棱锥A −AAA 的体积为4√3，则球A 的体积为（ ） A ．32A3B ．64A3C ．128A3D ．256A3【答案】D【解析】由O 为球心，OA ＝OB ＝OC ＝R ，可得O 在底面ABC 的射影为△ABC 的外心，AB ＝6，AA =2√3，AA =4√3，可得△ABC 为AC 斜边的直角三角形，O 在底面ABC 的射影为斜边AC 的中点M ，可得13•OM •12AB •BC =16OM •12√3=4√3，解得OM ＝2， R 2＝OM 2+AM 2＝4+12＝16，即R ＝4，球O 的体积为43πR 3=43π•64=2563π．故选：D ．10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12A A AB ==，则堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）AB ．8πCD ．43π 【答案】C【解析】由题意，在直三棱柱111ABC A B C -中，因为AC BC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形，且该三角形的外接圆的直径22r AB ==， 又由12AA =，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球的直径2R ==所以R =，所以外接球的体积为334433V R ππ==⨯=C. 11．在三棱锥P ABC -中.2PA PB PC ===.1AB AC ==，BC =则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．163π C ．43π D【答案】B【解析】因为1,AB AC BC ===，由余弦定理可求得23BAC π∠=， 再由正弦定理可求得ABC ∆的外接圆的半径122sin3BCr π==， 因为2PA PB PC ===，所以P 在底面上的射影为ABC ∆的外心D，且PD =，设其外接球的半径为R，则有2221)R R =+，解得R =24164433S R πππ==⨯=，故选B.12．一个各面均为直角三角形的四面体有三条棱长为2，则该四面体外接球的表面积为（ ） A ．6π B ．12πC ．32πD ．48π【答案】B【解析】由题得几何体原图如图所示，其中SA ⊥平面ABC,BC ⊥平面SAB,SA=AB=BC=2,所以SC =设SC 中点为O,则在直角三角形SAC 中，在直角三角形SBC 中，OB=12SC =所以,所以点O所以四面体外接球的表面积为4=12ππ.故选：B13．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2B C ．2π D ．3π【答案】D【解析】根据题意, AC 为截面圆的直径, AC =设球心到平面ABC 的距离为d ,球的半径为R 。