数学-8年级-第4讲-整式方程与分式方程

初中数学之分式方程知识点汇总
分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：
（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 初中数学分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。

在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。

因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。

解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.。

八年级数学上册 各章知识点汇总第十一章 三角形一、知识结构图边与三角形有关的线段 高中线角平分线三角形的内角和 多边形的内角和三角形的外角和 多边形的外角和二、知识定义三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。

角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

三、公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。

（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线。

第十二章 全等三角形一、全等三角形角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4．证明两个三角形全等的基本思路：多边形的角和：多边形的外角和为360°。

多边形内角和公式： n 边形的内角和等于（n-2）·180°角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)3．全等三角形的判定③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识结构说明：在本局部，代数式分为整式和分式讨论。

在实数X围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。

二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包括符号〕；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

4.整式：单项式、多项式统称为整式。

5.分式：两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为AB.如果B中含有字母，那么AB叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

6.同类项：所含的字母一样，且一样的字母的指数也一样的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

合并同类项的法如此：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变〔合并同类项，法如此不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。

7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法如此和合并同类项来完成整式的加减运算。

去括号法如此：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞 号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。

〔括号前面是“+〞 号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。

〕8.同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

m n m+n a a =a •.〔m 、n 都是正整数〕9.幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mn a =a .〔m 、n 都是正整数〕10.积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即()nn n ab =a b .〔n 为正整数〕11.整式的乘法：〔1〕单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。

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分式方程课标解读
一、课标要求
《义务教育数学课程标准（2011年版）》对15．3分式方程一节的相关内容提出了教学要求：
1．能解可化为一元一次方程的分式方程．
2．能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型．
3．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
二、课标解读
1．本章之前学生已经分两次学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程组），他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉．与整式方程相比，分式方程具有自身的特殊性，本节内容只探究可化为一元一次方程的分式方程的解法，在带领学生探索分式方程的解法步骤时，不仅要让学生掌握解分式方程的程序和步骤，得出解分式方程的通性通法，还应讲清形成这样的解法步骤的合理性，其中所包含的算理,并引导学生体会化归思想和程序化思想等重要数学思想．
2．根据具体的问题情境，引导学生审题、分析数量关系、有效建立等量关系从而正确列出方程，并用解分式方程的一般步骤进行求解，进而检验方程解的合理性．激发学生探索问题的欲望，引导学生理解题意，解决问题．通过探索、提炼、应用和总结，让学生体会和掌握模型思想．
3．利用分式方程模型解决相应的实际问题，除了考虑分式方程的解的存在性，还要考虑具体问题的实际意义，确定分式方程的解的合理性．
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八年级上册数学分式和分式方程一、分式的概念。

1. 定义。

- 一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。

例如(x + 1)/(x)，(2)/(x - 1)等都是分式。

- 整式和分式的区别在于分母是否含有字母，整式的分母不含有字母，而分式的分母含有字母。

2. 分式有意义、无意义和值为零的条件。

- 分式有意义的条件：分母不为零。

例如对于分式(1)/(x - 2)，当x-2≠0，即x≠2时，分式有意义。

- 分式无意义的条件：分母为零。

如在分式(3)/(x + 1)中，当x + 1=0，即x=-1时，分式无意义。

- 分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。

对于分式(x)/(x - 3)，当x = 0且x-3≠0（即x≠3）时，分式的值为零。

二、分式的基本性质。

1. 基本性质。

- 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即(A)/(B)=(A× C)/(B× C)，(A)/(B)=(A÷ C)/(B÷ C)（C≠0）。

例如(2)/(3)=(2×2)/(3×2)=(4)/(6)，对于分式(x)/(x + 1)，(x)/(x + 1)=(x×2)/((x + 1)×2)=(2x)/(2x + 2)。

2. 约分和通分。

- 约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

例如对于分式(6x^2y)/(9xy^2)，分子分母的公因式是3xy，约分后得到(2x)/(3y)。

- 通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

例如将(1)/(x)和(1)/(x + 1)通分，先找最简公分母为x(x + 1)，则(1)/(x)=(x+1)/(x(x + 1))，(1)/(x + 1)=(x)/(x(x + 1))。

三、分式的运算。

八年级数学下册分式方程疑难分析1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．2．分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系式的代数式是分式而已．一般地，列分式方程解应用题的步骤：（1）审题，理解题意；（2）设未知数；（3）找出相等关系；（4）解这个分式方程；（5）检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；（6）写出答案．例题选讲例1 解下列方程：（1）2233x xx x++=+-；（2）5102552xx x+-=--.解：（1）原方程可变为：（x+2）(x-3)=(x+2)(x+3)x2-x-6=x2+5x+66x=-12∴x=-2检验：当x=-2时，公分母（x+3）(x-3)=-5≠0.∴原方程的解为x=-2.（2）原方程可变为：5102525xx x--=--，方程两边同乘以2x-5得：x-5-(2x-5)=0解这个整式方程得：x=0检验：把x=0代入最简公分母：2x-5=-5 ≠0. ∴x=0是原方程的根.评注：检验是解分式方程不可缺少的一步，在检验时，只需把整式方程的解代入最简公分母判定它是否为零．例2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购贷方式不同，其中，采购员A每购买1000千克，购贷员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购贷方式合算？解：设两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元（m>0,n>0,m≠n），购货员A两次购买饲料的平均单价为10001000100010002m n m n++=+（元／千克）．购货员B两次购买饲料的平均单价为8008002800800mnm nm n+=++（元／千克）．而222()2()mn mn m nm n m n m n--=+++＞0.∴22m n mnm n+=+．也就是说，购货员A所购饲料的平均单价高于购货员B所购饲料的平均单价，所以选用购货员B的购买方式合算．评注：此例告诉我们，学会应用数学知识去处理日常生活中的经济问题，可以帮助我们获得较好的经济收益．例3：一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12升水，第2次倒出水量是12升的13，第3次倒出水量是13升的14，第4次倒出水量是14升的15……第n次倒出水量是1n升的11n+……按照这种倒水的方法，这1升水经多少次可以倒完？解：倒n次水的总倒水量为111111 2233445(1)(1)n n n n++++++⨯⨯⨯-+①根据分式的减法法则：11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++反过来有111(1)1n n n n=-++②利用②可以把①改写成111111111 ()()()() 2233411n n n n+-+-+-+--+③合并③中的相反数，得111n-+，即倒n次水的总倒水量为：111n-+=1nn+（升）评注：你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出水量，当倒出水量很小时测量的难度非常大，我们能否用数学方法替代实验解决这个问题呢？可以发现，按这种方法倒水，随着倒水次数n 的不断增加，总倒水量1nn +也不断增加，然而，不论倒水次数n 有多大，总倒水量1nn +总小于1，因此容器中的1升水是倒不完的，这样，我们就用数学方法分析解决了上面的问题．基础训练一、选一选（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）1．甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇，若同向而行，则b 小时甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ）.（A ）a b b + (B)b a b + (C)b a b a +- (D)b ab a-+ 2．要把分式方程3124x x=-化成整式方程，方程两边需要同时乘以（ ）. （A ）2x-4 (B) x (C)2(x-2) (D)2x(x-2) 3．方程21111x x =--的解是（ ）. （A ）1 （B ）-1 （C ）±1 （D ）0 4．把分式方程11122xx x--=--的两边同时乘以（x-2），约去分母得（ ）. （A ）1-（1-x ）=1 （B ）1+(1-x)=1 （C ）1-（1-x ）=x-2 （D ）1+(1-x)=x-25．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x 公顷，根据题意列方程正确的是（ ）.（A ）24024054x x +=+ （B ）24024054x x -=+（C ）24024054xx +=- （D ）24024054x x -=-二、填一填6．李明计划在一定日期内读完200页的一本书，读了5天后改变了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，求他原计划平均每天读几页书．解题方案设李明原计划平均每天读书x 页，用含x 的代数式表示： （1）李明原计划读完这本书需用天； （2）改变计划时，已读了页，还剩页；（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需天；（4）根据问题中的相等关系，列出相应方程．7．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：111u v f+=.若f=6厘米v=8厘米，则物距u=厘米．8．已知22334422,33,44,112233⨯=+⨯=+⨯=+若1010a ab b⨯=+（a、b都是整数），则a+b的最小值是．9．已知14xx+=，则2421xx x=++．10．已知113x y-=，则分式2322x xy yx xy y+---的值为．11．某商店经销一种商品，由于进货价降低了6．4%，使得利润提高了8%，那么原来经销这种商品的利润率是%．三、做一做12．解方程（1）31144xx x--=--；（2）311(1)(2)xx x x-=--+.13．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：①1112⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④44 4455⨯=-……（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．14．阅读下面对话：小红妈：“售货员，请帮我买些梨．”售货员：“小红妈，您上次买的那种梨都卖完了，我们还没来得及进货，我建议这次您买些新进的苹果，价格比梨贵一点，不过苹果的营养价值更高．”小红妈：“好，你们很讲信用，这次我照上次一样，也花30元钱．”对照前后两次的电脑小票，小红妈发现：每千克苹果的价是梨的1.5倍，苹果的重量比梨轻．试根据上面对话和小红妈的发现，分别求出梨和苹果的单价．四、试一试15．甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个,现在要求甲生产出168个这种零件,要求乙生产出144个这种零件,他们两人谁能先完成任务呢?16．3 分式方程二、6.(1)200x；(2)5x ,200-5x；(3)20055xx-+；(4)200520015xx x-+=+7.24 8.19 9.11510.35三、12.(1)3；(2)无解 13.(1)555566⨯=-；(2)11n nn nn n⨯=-++14.梨的单价为4元/千克,苹果的单价为6元/千克.四、当乙每小时生产的零件多余48个,则乙先完成任务,如果乙每小时恰好生产48个零件,则两人同时完成任务;如果乙每小时生产的零件少于48个,则甲先完成任务.16.3 分式方程（1）一、教学目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程解的检验方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2．教学难点：检验分式方程解的原因3．疑点及分析和解决办法：解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．三、教学方法启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．四、教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主．五、教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解．解：(1)当x=0时，右边=0，∴左边=右边，这个方程和我们以前所见过的方程不同，它的主要特点是：分母中含有未知数，这种方程就是我们今天要研究的分式方程．(二)新课板书课题：板书：分式方程的定义．分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．练习：判断下列各式哪个是分式方程．在学生回答的基础上指出(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)是分式方程．先由同学讨论如何解这个方程．在同学讨论的基础上分析：由于我们比较熟悉整式方程的解法，所以要把分式方程转化为整式方程，其关键是去掉含有未知数的分母．解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得2(x+1)=5+x2x+2=5+xx=3．如果我们想检验一下这种方法，就需要检验一下所求出的数是不是方程的解．检验：把x=3代入原方程左边=右边∴x=3是原方程的解．（三）应用一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，则轮船顺流航行的速度为（20＋v ）千米/时，逆流航行的速度为（20－v ）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为v 20100＋小时，逆流航行60千米所用的时间为v2060－小时。

分式方程适用年级八年级所需时间课内共用3课时，每周3课时；课外共用1课时主题单元学习概述主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：经历分式方程概念、分式方程的解放过程，会解渴化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。

过程与方法：经历“实际问题——分式方程模型——求解——检验解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

通过列分式方程解应用题，渗透方程思想。

情感态度与价值观：在获得培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

对应课标对于分式,只要求简单的加、减、乘、除运算,并通过例子明确要求;对于分式方程,只要求解可化一元一次方程的分式方程,并且并且方程中的分式不超过两个;可化为一元二次方程的分式方程没有列入《标准》之内,这就大大降低了难度。

主题单1）什么分式方程？（2）解分式方程基本思路是什么？与整式方程有何区别与联系？元问题设计（3）曾根是在怎样产生的？产生的原因？（4）分式方程解实际应用题的步骤是什么？（5）在归纳分式方程解实际应用题的步骤应该注意哪些问题？专题划分专题一：分式方程的概念及出现增根的原因（ 1课时）专题二：熟悉解分式方程的方法及增根的原因（1 课时）专题三：用分式方程解实际问题的步骤（ 1 课时）专题分式方程一所需1课时课时专题学习目标知识目标： 1了解分式方程的意义解分式方程的基本思路和方法。

2了解出现曾根的原因3掌握验证根的方法。

能力目标：培养自主学习能力、观察能力，渗透化归、类比及归纳的思想。

情感目标：培养学生积极探究、乐于探究、仔细观察、善于归纳的良好学习习惯。

专题问题设计（1）什么是分式方程？（2）分式方程与整式方程什么区别和联系？（3）增根？如何确定根的合理性？所需教学环境和教学资源信息化资源：多媒体课件所需教学环境和教学资源多媒体课件常规资源：教材，学案，练习本学习活动设计学习活动设计活动1、问题导入（多媒体展示）问题1、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种。

中考复习专题 分式方程复习目标：1、了解分式方程的概念；2、掌握分式方程的解法；3、应用分式方程解决实际问题。

复习流程：一、学生展示分享知识点1、分式方程的概念___________________________的方程叫分式方程。

2、分式方程的一般方法（1）解分式方程的思想是将“分式方程”转化为_________。

（2）它的一般解法是：去分母化分式方程为整式方程；解整式方程；检验。

3、列分式方程解应用题的一般步骤二、展示分享完毕学生进行质疑、纠错和补充。

三、教师点评与强调。

四、例题解析例1、（2022广州第14题）方程的解是 例2、（2022贵州铜仁第13题）方程的解为 ． 12＝2xx －35302x x-=-例3、（2022青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480m ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160m/h ，设普通列车的平均行驶速度为m/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）A B C D学生自主完成例题，教师通过展示检查进行补充强调。

五、课时作业1、（2022内蒙古呼伦贝尔兴安盟第19题）解方程：．2、（2022广西来宾第24题）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？学生完成后分组谈论，然后黑板展示。

教师点评。

六、总结反思。

4804804160x x -=+4804804160x x -=+4804804160x x -=-4804804160x x -=-233011x x x +-=--。

初二数学下册知识点归纳初二数学下册知识点归纳篇1第一章分式1、分式及其基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）一个不等于零的整式，分式的只不变2、分式的运算(1)分数的乘除乘定律:分数乘以分数，分子的乘积作为乘积的分子，分母的乘积作为乘积的分母。

除法定律:分数被分数除，除数的分子和分母颠倒后，再乘以除数。

（2）分式的加减加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减3、整数指数幂的加减乘除法4、分式方程及其解法第二章反比例函数1、反比例函数的表达式、图像、性质图像：双曲线表达式：y=k/x（k不为0）性质：两支的增减性相同；2、反比例函数在实际问题中的应用第三章勾股定理1、勾股定理：直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方2、勾股定理的逆定理：如果一个三角形中，有两个边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形第四章四边形1、平行四边形性质：对边相等；对角相等；对角线互相平分。

判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。

推论：三角形的中位线平行第三边，并且等于第三边的一半。

2、特殊的平行四边形：矩形、菱形、正方形（1）矩形性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形具有平行四边形的所有性质判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；推论:直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

（2）菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形具有平行四边形的一切性质判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。

（3）正方形：既是一种特殊的矩形，又是一种特殊的菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质。

3、梯形：直角梯形和等腰梯形等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等；在同一个底边上有两个等角的梯形是等腰梯形。