第7章 小学数学中图形与几何

小学“图形与几何”主要涉及哪些 内容？P122
• 直观几何、演绎几何、度量几何、运动几 何和坐标几何（解析几何）五个方面 • 具体来看分为（2011）： （2001）： • 1）图形的认识（几何体与平面图形） 1）图形的认识 2）测量 2）测量 3）图形的运动 3）图形与变换 4）图形与位置 4）图形与位置
直观几何（图形）的认识依赖“经验和操作”
• 从认知规律看，人们学习几何的途径主要是四步： • 直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算
图形（概念）观念
经 操
验
作
生活经验
垂直
圆柱和圆锥
操作
《面积》人教版三下年级
用重叠方法不能比较出面积大小，怎么办？
引出面积与面积单位
6.4 关于小学数学中演绎成分
第二学段（4-6年级） 直观几何、演绎几何 • 探索一些图形的形状、大小和位置关系， 了解一些几何体和平面图形的基本特征； • 体验简单图形的运动过程，能在方格纸上 画出简单图形运动后的图形，了解确定物 体位置的一些基本方法； 运动几何 • 掌握测量、识图和画图的基本方法。 度量几何
坐标几何？ 用数对表 示位置
• 古希腊的几何学是演绎几何学。 • 从不加定义的点线面出发，依照公理体系进行演 绎推理，得出图形的性质。 • 学习的目的主要是为了培养人们的理性精神，提 高逻辑思维能力。 • 19世纪末，大数学家希尔伯特把《几何原本》进 一步严密化，形成了形式化的、严格的演绎体系 《几何基础》。 • 这种崇尚演绎、否定直观的数学观，在20世纪传 入中国。
6.2 直观几何（图形的认识、运动和位置）
三、多连块 • 多连块（方），国际上称作Polyominos，是由美 国数学家S.Golmb1于1950年发展而来的。 • 在小学三、四年级，很适合于进行几何图形组合 能力的培养， • • 多连块的实际教学通常分为两个阶段。 • 第一阶段是，学生排出一至五连块的各种可能出 现的图形； • 第二阶段是用正方形组成的多连块，拼合成新的 平面图形。
--《简明数学辞典》，湖北人民出版社 • 几何图形：简称“图形”。点、线、面、体的集合。 • 平面图形：若一个图形上所有的点都在同一个平面上， 则这个图形称为平面图形。 • 空间图形：空间里点、线、面以及它们所组成的图形。
何为图形、几何？
• 几何：几何学简称。 • 几何学：研究几何（平面与空间）图形的形状、大小 和位置的相互关系的学科。 是一门数学分科。 • 几何图形：简称“图形”。点、线、面、体的集合。 • 平面图形：若一个图形上所有的点都在同一个平面上， 则这个图形称为平面图形。 • 空间图形：空间里点、线、面以及它们所组成的图形。
空间、体、平面、直线、射线、线 段等概念如何定义
• 这些概念在小学数学中都采取不定义的方式， • 用类似的实物进行描述，让学生能够体会即可。 • 如“平面”，就用“纸面”、“桌面”、“水面” 来说明， • 也可以从一座立体的房子出发， • 比如说，“一面墙表示一个平面”。
• 直线和线段，用比喻，特别是直接画出来， • 大家立刻明白，以后能够识别，不会混淆， 能够运用就行了。
关于逻辑分类P137
• 分类是一种十分重要的科学思想方法。 • 数学的分类包含两种基本类型： （1）不重不漏型。 例如，三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形； （2）包含套装型。 例如，三角形可以分为等边三角形（即三边分别相 等的三角形），等腰三角形（即两条边相等的三 角形。而三边都不相等三角形，可以不特别指 出）。
6.2 直观几何（图形的认识、运动和位置）
三、多连块 P130 • 多连块（方），国际上称作Polyominos，是由美 国数学家S.Golmb1于1950年发展而来的。 • 在小学三、四年级，很适合于进行几何图形组合 能力的培养， • 在图形形状、特征、性质（对称性、可拼嵌性、 掰开性），关系（相似关系等）方面，突出各种 组合的可能性， • 启发学生积极思考，提高学生分析问题的综合能 力。
“直观几何与演绎几何之间，怎样保 持适当的平衡？”是一个问题
• 长期以来，我国小学数学教科书对几何概念的表 述要求过高， • 过早地采用逻辑方法给直线、射线、线段、圆等 概念下定义，然后让学生背出来。 。 • 2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准》 （实验稿），对演绎几何的内容和要求做出了较 大调整， • 引起数学家和数学教育界部分人士的质疑。 • 如何对待小学数学里的演绎几何的成分？在直观 几何与演绎几何之间，怎样保持适当的平衡？ 。 直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算
第七章 小学数学中图形与几何
“图形与几何”与“空间与图形” 差异
《义务教育数学课程标准（2011版）》： • “图形与几何” 《义务教育数学课程标准（实验稿）》 （2001版）： • “空间与图形”
• 问题二者有何区别？为什么要改？
何为图形、几何？
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--《现代汉语词典》，商务 印书馆，1999年 ； 几何：多少；几何学简称。 几何学：研究空间图形的形状、大小和位置的相互关 系的学科。 几何图形：点、线、面、体或它们的组合。简称图形。 空间图形：几何图形。特指立体图形。 空间：在哲学上，与“时间”一起构成运动着的物质 存在的两种基本形式。空间指物质存在的广延性。
点、线、面的定义
• 在严密的希尔伯特几何体系中，点、线、面等也 是不定义的概念 。 • 中学教材的定义 ： • 一个物体只研究其形状和大小，而不考虑其他性 质，称之为几何体，简称体。 • 面是体的界限，线是面的界限。 • 点是线的界限。 • 一点在空间沿着同一个方向及其相反方向运动所 成的图形，称为直线。 • 直线上从某一点起，朝向一边的部分，叫做射线。 • 直线上任意两点之间的部分，叫做线段
• 平行线定义 ：在同一平面内，两条不相交 的直线叫平行线 • 这一定义对小学不大合适。 • 原因在于，两条直线不相交，是指“无限 延长”不相交， • 而无限延长是不能检验的，小学几何的学 习仅仅能在有限的平面内。 • 小学生面对这样不能检验的定义，无法真 正把握。
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在小学阶段的学习平行线定义 ： 只有通过折叠等操作， 以及实际“画”出来的直观方式， 感知“平行”、理解“平行”。 平行定义：“两直线若同时垂直于第三条 直线，则这两条直线互相平行”， • 这一定义是可以操作的，可以画的，可以 检验的。 • 小学生能够“画同一条直线的两条垂线”， • 或者“量两条直线与第三条直线的交角都 是直角”。
直观几何 第一学段（1-3年级） • 经历从实际物体中抽象出简单几何体和平 面图形的过程，了解一些简单几何体和常 见的平面图形； 常见平面图形与简单几何体 运动几何 • 感受平移、旋转、轴对称现象； • 认识物体的相对位置； 坐标几何 度量几何 • 掌握初步的测量、识图和画图的技能。
《义务教育数学课程标准（2011版）》“图 形与几何”的学段目标：
正方体
长方体
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正方体
长方体
关于垂直与平行 P137
• 小学数学中是否出现垂直与平行的概念，世界各国的处 理很不相同。 • 在西方发达国家，垂直与平行的初次出现均在初中， • 亚洲某些国家与地区初次出现在小学，但只停留在线段 学习阶段。 • 我国（按2001数学课程标准），小学、初中阶段都进行 “平行”概念的学习， • 小学“平行”的教学应该如何进行呢？ • 有不同观点
作业与思考题
• 小学“图形与几何”学习主要内容是什么？ • 点、线、面等概念在小学需要严格定义吗？ 为什么？怎样办好？ • 小学几何概念学习和概念形成需要哪二个 方面（支柱）？
几何（几何学）一词译自Geometry，其含义是“测地术” 最早是徐光启译定的。 由Geo（地）与metry（度量）合成的 Geometry《原本》包含：是什么？为什么？多少的问题 为(wei)何 为(wei)何 几何 几何:
小学“图形与几何”主要涉及哪些 内容？P122
《义务教育数学课程标准（2011版）》“图 形与几何”的学段目标：
几何学习的顺序：
• 从认知规律看，人们学习几何的途径主要是 四步： • 直观感知→操作确认→演绎推理→度量计算
6.2 直观几何（图形的认识、运动和位置）
• 认识各种图形 P124
6.2 直观几何（图形的认识、运动和位置）
正方体表面展开图---六连块研究 • 有多少种？ • 多少种能？ • 有何规律？