概率与统计初步复习
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概率论与数理统计总复习知识点归纳页数:19
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第十章概率与统计初步知识点总结
第十章概率与统计初步知识点总结1、一般地，完成一件事，有n类方式．第1类方式有k种方1法，第2类方式有k种方法，……，第n类方式有n k种方法，那么2完成这件事的方法共有种，称为原理。
2、一般地，如果完成一件事，需要分成n个步骤，完成第1个步骤有k种方法，完成第2个步骤有2k种方法，……，完成第n1个步骤有k种方法，并且只有这n个步骤都完成后，这件事才能n完成，那么完成这件事的方法共有种，称为原理。
3、我们通常使用试验和观察的方法来研究随机现象，这类试验和观察，事先可以预测到可能会发生的各种结果，但是无法预测发生的确切结果．在相同的条件下，试验和观察可以重复进行．我们把这类试验和观察叫做．试验的结果叫做，简称，常用等表示．4、在一定条件下，必然发生的事件叫做，用表示．在一定条件下，不可能发生的事件叫做，用表示。
5、作为试验和观察的基本结果，在试验和观察中不能再分的最简单的随机事件，叫做6、像这样如果一个随机试验的，并且，那么称这个随机试验属于古典概型．7、事件A的概率：=)(Ap，∈)(A p（试验共有n个基本事件，事件A包含m个基本事件）8、不可能同时发生的两个事件叫做事件．9、在统计中，所研究对象的全体叫做，组成总体的每个对象叫做．被抽取出来的个体的集合叫做总体的，样本所含个体的数目叫做.10、当总体所含的个体较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取一定数目的个体．这种抽样叫做．从容量为N 的总体中，用系统抽样抽取容量为n 的样本，按照下面的步骤进行：（1）编号：将总体的N 个个体编号；（2）确定间隔：考虑用N n（取整数）作间隔分段，将总体分成n 段； 【（取整）样本容量总体容量抽样距=】 （3）抽样：按照一定的规则抽取样本．如抽每段的第k 个顺序号的个体(k 为小于N n的整数)，得到容量为n 的样本． 11、当总体是由有明显差异的几个部分组成时，可将总体按差异情况分成互不重叠的几个部分——层，然后按各层个体总数所占的比例来进行抽样，这种抽样叫做 ．抽样比该层个体总数每层抽取个体数总体容量样本容量==k 12、均值： 121()n x x x x n=+++ 方差：2222121()()()1n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦- 标准差：s=13、频率分布直方图：（1（2（3）频率分布直方图中各小长方形的面积和为1.。
(完整版)概率论与数理统计复习提纲
二、矩估计法
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
1.基本思想: 用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩.
2.求总体X的分布中包含的m个未知参数 的矩估计步骤：
① 求出总体矩,即 ；② 用样本矩代替总体矩，列出矩估计方程：
③ 解上述方程（或方程组）得到 的矩估计量为：
④ 的矩估计值为：
3. 矩估计法的优缺点：
优点：直观、简单; 只须知道总体的矩,不须知道总体的分布形式.
（1） 分布的 分位点 （2） 分布的 分位点 其性质：
（3） 分布的 分位点 其性质
（4）N(0,1)分布的 分位点 有
第六章 参数估计
一、点估计:设 为来自总体X的样本， 为X中的未知参数， 为样本值，构造某个统计
量 作为参数 的估计，则称 为 的点估计量， 为 的估计值.
2.常用点估计的方法：矩估计法和最大似然估计法.
合概率函数（或联合密度函数） （或
称为似然函数.
3. 求最大似然估计的步骤：
（1）求似然函数:X离散： X连续：
（2）求 和似然方程：
（3）解似然方程，得到最大似然估计值：
（4）最后得到最大似然估计量：
4. 最大似然估计法是在各种参数估计方法中比较优良的方法，但是它需要知道总体X的分布形式.
四、估计量的评价标准
4.伯努利概型：
1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）
2.若 则 。（X）
3. 。(X)
4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为 。(∨)
5.n个事件若满足 ，则n个事件相互独立。(X)
6.当 时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）
第二章 随机变量及其分布
一、随机变量的定义：设样本空间为 ，变量 为定义在 上的单值实值函数，则称 为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。
中考复习——统计与概率
统计初步与概率初步一、统计考点一、统计学中的几个基本概念 （4分） 1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
5、平均数：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 那么，)(121n x x x nx +++= 叫做这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。
6、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
7、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
考点二、平均数的计算方法 （1）定义法：当所给数据,,,,21n x x x 比较分散时，一般选用定义公式：)(121n x x x nx +++=（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：nf x f x f x x kk ++=2211，其中n f f f k =++ 21。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，a x x -=11'，a x x -=22'，…，a x x n n -='。
)'''(1'21n x x x nx +++=是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据，,',,','21n x x x 叫做新数据）。
考点三、方差与标准差 （3分）1、极差：在一组数据中，最大值与最小值的差。
1、方差的概念在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用“2s ”表示，即])()()[(1222212x x x x x x n sn -++-+-=3、方差的计算公式：])()()[(1222212x x x x x x nsn -++-+-=4、标准差方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s ”表示，即])()()[(1222212x x x x x x nss n -++-+-==，标准差是方差的算术平方根。
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中考统计与概率初步复习[下学期]
2、总体、个体、样本、样本容量
1）总体：考察对象的全体。 2）个体：总体中每一个考察对象。 3）样本：从总体中抽出的一部分个 体。 4）样本容量：样本中个体的数目。
3、平均数 平均数：显示数据的集中趋势（集中位置）的一种 重要的特征数；通常用样本平均数去估计总体平 均数，样本容量越大，估计越准确。 1）样本平均数的计算公式： 1 ⑴ X ( X1 X 2 X 3 X n ) ;
8、概率的意义 必然事件：在一定条件下必然会发生的事件。 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件。 随机事件：在一定条件下可能会发生也可能不发生 的事件。 事件A的概率P（A）：一般地，在大量重复进行同 一试验时，若事件A发生的频率总是接近于某个 常数，这个常数就是该事件的概率。0≤P（A） ≤1
3、右图是一个被等分成 12个扇形的转盘。请在转 盘上选出若干个扇形涂上斜线（涂上斜线表示阴 影区域，其中有一个扇形已涂），使得自由转动 这个转盘，当它停止转动时，指针落在阴影区域 的概率为1/4。
5 、如图为宁波港 1998 年～2003 年集装箱吞吐量统计图， 根据图中信息可得宁波港2003年集装箱吞吐量是1999年集 装箱吞吐量的________倍(结果保留两个有效数字)
300
吞吐量(万TEU)
250 200 150 100 50 0
1998
1999
2000
2001
2002
2003
（第 6 题图）
年份(年)
6、初三(1)班共有48名团员要求参加青年志愿者活 动，根据实际需要，团支部从中随机选择12名团 员参加这次活动，该班团员李明能参加这次活动 的概率是_________． 7、口袋中放有3只红球和11只黄球，这两种球除颜 色外没有任何区别 . 随机从口袋中任取一只球，取 到黄球的概率是_____.
初中数学总复习统计与概率总复习
初中数学总复习统计与概率总复习一、统计与概率的基本概念统计与概率是数学中非常重要的两个分支，也是我们在初中阶段学习的重点内容之一。
统计是通过数据的收集、整理、分析和解释，来研究和描述事件的发生规律和特征的一门学科。
概率则是用来度量事件发生的可能性的一种数学工具。
二、统计的基本知识统计的基本知识包括数据的收集、整理和分析。
以下是一些常用的统计方法：1. 数据的收集数据的收集是统计分析的第一步，通过采取问卷调查、观察实验、抽样调查等方法，我们可以获得一定数量的数据用于分析。
2. 数据的整理数据的整理包括数据的分类、汇总和展示。
常用的整理方法有频数表、频率表、直方图等。
3. 数据的分析数据的分析是统计的核心内容，通过对数据的分析，我们可以了解数据的分布规律、趋势等。
常用的分析方法有平均数、中位数、众数、四分位数等。
三、概率的基本知识概率是用来度量事件发生的可能性的一种数学工具。
在统计与概率中，我们需要了解以下几个基本概念：1. 随机试验随机试验是指在相同的条件下，能够重复进行，且每次结果不确定的试验。
比如掷骰子、抽卡等。
2. 样本空间随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间，通常用S表示。
3. 事件与概率事件是样本空间的子集，表示我们感兴趣的结果。
概率是一个事件发生的可能性的度量，通常用P(E)表示。
4. 事件的运算事件的运算包括并、交、差、互斥等运算，通过这些运算，我们可以得到更复杂的事件。
5. 概率的计算方法计算概率有两种基本方法：古典概型和统计概型。
古典概型适用于样本空间中的每个结果发生的可能性相等的情况，而统计概型适用于每个结果可能发生的可能性不等的情况。
四、总复习要点在初中数学的统计与概率中，有一些重要的要点需要温习和掌握：1.对数据进行整理和分析，计算平均数、中位数、众数等指标；2.理解统计图表的含义，能够读懂直方图、条形图等图表信息；3.掌握概率的基本概念和计算方法，能够运用概率进行问题的求解；4.理解事件的运算法则，能够进行事件的并、交、差等运算；5.熟练运用古典概型和统计概型进行概率计算。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
中考复习初中数学概率与统计复习重点整理
中考复习初中数学概率与统计复习重点整理概率与统计是初中数学的一个重要分支，也是中考数学考试中的一大重点内容。
复习概率与统计不仅要熟悉基本概念和公式，还要能够灵活运用，解决实际问题。
下面是中考复习初中数学概率与统计的重点内容整理。
一、概率1. 基本概率公式基本概率公式为：P(A) = 事件A的可能性/总的可能性其中，事件A的可能性是指事件A发生的次数或数目，总的可能性是指所有可能事件发生的次数或数目。
2. 事件间的关系- 互斥事件：两个事件不能同时发生。
- 互逆事件：事件A发生的概率与事件A不发生的概率之和为1。
- 独立事件：事件A的发生与事件B的发生没有关系。
3. 概率的应用- 抽样：从一大群体中取出一小部分进行调查，通过样本推断总体特征。
- 排列与组合：计算不同元素的排列和组合个数。
- 条件概率：在已知其他事件发生的条件下，某个事件发生的概率。
二、统计1. 统计调查统计调查是通过对一定数量的个体进行观察和测量，并对结果进行整理与分析，得出总体特征的方法。
2. 数据的收集与整理- 原始数据：未经处理的数据。
- 频数与频率：频数是指每个数值出现的次数，频率是指频数与总数的比值。
- 统计表与统计图：用于展示统计数据的表格和图形。
3. 数据的分析与应用- 平均数：一组数的算术平均值，用于表现数据的集中趋势。
- 中位数：将一组数据从小到大排列，位于中间的数据。
- 众数：出现频率最高的数值。
- 极差：一组数的最大值与最小值的差别。
4. 直方图与折线图- 直方图：用于表示连续数据的统计图，横轴表示分组区间，纵轴表示频率或频数。
- 折线图：用于表示离散数据的统计图，横轴表示数据类别，纵轴表示频率或频数。
总结：中考复习初中数学概率与统计重点内容主要包括概率的基本概念与公式、事件间的关系、概率的应用，以及统计的统计调查、数据的收集与整理、数据的分析与应用，以及直方图与折线图的应用。
熟练掌握这些内容，能够解决与概率与统计相关的实际问题，对应试有很大帮助。
中职数学单招一轮总复习《概率与统计初步》复习课件
第4页
互斥事件概率加法公式 相互独立事件概率乘法公式
众数、中位数、平均数、方 差、标准差 频率分布直方图
章节导航
知识点1 分类计数与分步计数 知识点2 排列、组合与二项式 知识点3 随机事件及其概率 知识点4 总体、样本和抽样方法 知识点5 用样本估计总体 知识点6 一元线性回归分析
第5页
目录
01
活学活练
三、解答题
书架上层有15本不同的英语书，下层有12本不同的数学书． （1）从中任取一本书，共有多少种不同的取法？ （2）从中抽取英语、数学各一本，有多少种不同的取法？
第 18 页
课堂小结
第 19 页
这小结我们学习了分类计数与分步计数包括：概念、表 示、画法、基本性质 ，希望大家课下多加复习，理解排列与 组合的意义。
Amn
(n
n m)
n (n
1)(n
2)
(n m 1) ，m，n N ，且 m
n．
根据排列数的概念和公式，排列数有以下性质．
性质1 性质 2 列有．
用．
典例精讲
第 14 页
变式训练2 5名同学选报百米、跳高、铅球三个项目，每人只能报一项，共有（
）种报名方法．
A．15
B．75
C．81
D．243
活学活练
一、单项选择题
第 15 页
1．袋中有2个红球、3个白球和4个蓝球，从中任意摸取1个球，共有（ ）
种取法．
A．2
B．5
C．9
D．24
2．用数字0，1，2，3可以组成的三位数有（ ）个．
高职单招总复习：数学
第2页
第10章 概率与统计初步
考情聚焦
第3页
考查方向
成人高考数学复习教案—概率论与统计初步
第二部分概率与统计初步
第七章排列与组合
本章知识
◆分类计数原理和分布计数原理
◆排列、组合的意义，排列组合数的计算公式
◆排列、组合的简单应用
◆二项式定理
7.1两个基本原理
7.2排列与组合
1.随机事件
在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，例如交通事故
必然事件
在一定条件下一定发生的事件，如：太阳东升西落
不可能事件
在一定条件下不可能发生的事件，如：公鸡生蛋
2.随机事件的概率（统计的定义）
在相同条件下大量重复同一个实验，事件A 出现m 次，增加实验的次数，事件A 出现的频率总是接近m/n ，并在他附件摆动，则称m/n 为事件A 的概率：
()10,≤≤=p m m A P
二、等可能事件及其概率
如果一次实验中可能出现n 个结果，这n 个结果出现的可能性都相等，则每一个结果所对应的时间是基本事件，其概率为，如果实验中的事件A 包含其中m 个结果，那么事件A 的概率记为：
()n
m A P = 三、互斥事件及其概率。
高考《概率与统计初步》知识点和高考题、配套练习题(很全面)
专题十：《概率与统计初步》I、考纲1．统计与统计案例（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性。
② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法。
（2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，了解它们各自的特点。
② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差。
③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。
④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。
⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题。
（3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系。
② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（不要求记忆线性回归方程系数公式）。
（4）统计案例了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题。
①独立性检验了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
②假设检验了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用。
③回归分析了解回归的基本思想、方法及其简单应用。
2．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。
② 了解两个互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型① 理解古典概型及其概率计算公式。
② 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。
②了解几何概型的意义。
II、高考考情解读本章知识的高考命题热点有以下两个方面：1.概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，选择题、填空题、解答题中都可能出现，数量各1道，难度中等,主要考查古典概型、几何概型、分层抽样、频率分布直方图、茎叶图的求解.2.预计在2014年高考中，概率统计部分的试题仍会以实际问题为背景,概率与统计相结合命题.II 、基础知识和题型 一、随机抽样1、简单随机抽样：(1)．简单随机抽样的概念：设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n ≤N )，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)．最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法． 2、系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本： (1)先将总体的N 个个体编号；(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段，当N n 是整数时，取k ＝Nn；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)按照一定的规则抽取样本． 通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ， 再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本． 【提醒】系统抽样的最大特点是“等距”，利用此特点可以很方便地判断一种抽样方法是否是系统抽样. 3、分层抽样(1)．分层抽样的概念：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样．(2)．当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法． (3)．分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的． 4（一）简单随机抽样 1． (2012·宁波月考)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性( )A ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最大B ．与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性最小C ．与第几次抽样无关，每一次抽到的可能性相等D ．与第几次抽样无关，与样本容量无关 2. 下面的抽样方法是简单随机抽样的是( )A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B ．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C ．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D ．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验 3．（2013年高考江西卷（文5））(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()A.08【总结】采用随机数法时，若重复出现或超出范围的要去掉。
8.2古典概型(中职)
子里随机抽取一个球,求：
（1）取到红色玻璃球的概率;
（2）取到白色玻璃球的概率;
（3）取不到红色玻璃球的概率;
解：（1）取到红色玻璃球的概率为
=
（2）取到白色玻璃球的概率为
=
（3）取不到红色玻璃球的概率为
+
=
3.从A、B、C、D四人中选取两人参加会议,求：
（1）A被选中的概率;
4+1=5，4+2=6，4+3=7，
样本点总数为12.
和不大于4有4个样本点：1+2=3，1+3=4，2+1=3，3+1=4
∴从1、2、3、4这4个数中任取两个数求和，和不大于4的概率为：()=
=
练习
1.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只红球，从中一次摸出两只球
(1)共有多少基本事件？
(2)抛掷一颗质地均匀的骰子,观察向上一面的点数,这个随机试验的样本空间
={1,2,3,4,5,6},共六个样本点,它们出现的可能性相同吗?
答：(1) 出现的可能性相同，概率都是 .
(2) 出现的可能性相同，概率都是 .
新授
如果一个随机试验具有如下性质：
(1) 有限性:样本空间的样本点总数有限;
事件A={点数是奇数}包含的样本点个数=3
∴ ()= =
典型例题
例2 从1、2、3、4四个数中任取两个数求和,计算和不大于4的概率.
解：在1、2、3、4这四个数中任取两个数求和,样本空间中包含的样本点为：
（1）取到红色玻璃球的概率;
（2）取到白色玻璃球的概率;
（3）取不到红色玻璃球的概率;
解：（1）取到红色玻璃球的概率为
=
（2）取到白色玻璃球的概率为
=
（3）取不到红色玻璃球的概率为
+
=
3.从A、B、C、D四人中选取两人参加会议,求：
（1）A被选中的概率;
4+1=5，4+2=6，4+3=7，
样本点总数为12.
和不大于4有4个样本点：1+2=3，1+3=4，2+1=3，3+1=4
∴从1、2、3、4这4个数中任取两个数求和，和不大于4的概率为：()=
=
练习
1.一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只红球，从中一次摸出两只球
(1)共有多少基本事件？
(2)抛掷一颗质地均匀的骰子,观察向上一面的点数,这个随机试验的样本空间
={1,2,3,4,5,6},共六个样本点,它们出现的可能性相同吗?
答：(1) 出现的可能性相同，概率都是 .
(2) 出现的可能性相同，概率都是 .
新授
如果一个随机试验具有如下性质：
(1) 有限性:样本空间的样本点总数有限;
事件A={点数是奇数}包含的样本点个数=3
∴ ()= =
典型例题
例2 从1、2、3、4四个数中任取两个数求和,计算和不大于4的概率.
解：在1、2、3、4这四个数中任取两个数求和,样本空间中包含的样本点为：
中职教育数学《概率与统计初步》专题复习
其中正确的是（ B ）
A、①②③④ B、①④⑤ C、①②③④⑤ D、②③
4、下列说法正确的是（ D ）
A、事件A、B中至少一个发生的概率一定比事
件A、B恰有一个发生的概率大；
B、事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B
中恰有一个发生的概率小；
C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一
定是互斥事件；
D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一
排列数。用
表示。
（3）排列数公式：
!
−1 −2 ⋯ −+1 =
=__________________________________。
（ − ）!
（4） 全排列： 个不同元素全部取出的一
个________，叫做
个不同元素的一个全排
排列
列。于是排列数公式写成阶乘的形式为：
63 ∙ 42 ＝120种选法。
（2）方法1：至少1名女运动员包括以下几种情
况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男。由分
类计数原理可得总法数为
41 ∙ 64 +42 ∙ 63 + 43 ∙ 62 + 44 ∙ 61 ＝246种
方法2： “至少1名女运动员”的反面是“全是
男运动员”可用间接求法求解，从10个人中任
定是互斥事件。
5、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知
80
至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率为
81
（ B ）
1
2
A、
B、
4
2
C、
5
3
1
D、
3
设此射手每次射击命中的概率为p，分析可得，至少命中
一次的对立事件为射击四次全都没有命中，
A、①②③④ B、①④⑤ C、①②③④⑤ D、②③
4、下列说法正确的是（ D ）
A、事件A、B中至少一个发生的概率一定比事
件A、B恰有一个发生的概率大；
B、事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B
中恰有一个发生的概率小；
C、互斥事件一定是对立事件，对立事件不一
定是互斥事件；
D、互斥事件不一定是对立事件，对立事件一
排列数。用
表示。
（3）排列数公式：
!
−1 −2 ⋯ −+1 =
=__________________________________。
（ − ）!
（4） 全排列： 个不同元素全部取出的一
个________，叫做
个不同元素的一个全排
排列
列。于是排列数公式写成阶乘的形式为：
63 ∙ 42 ＝120种选法。
（2）方法1：至少1名女运动员包括以下几种情
况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男。由分
类计数原理可得总法数为
41 ∙ 64 +42 ∙ 63 + 43 ∙ 62 + 44 ∙ 61 ＝246种
方法2： “至少1名女运动员”的反面是“全是
男运动员”可用间接求法求解，从10个人中任
定是互斥事件。
5、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知
80
至少命中一次的概率为 ，则此射手的命中率为
81
（ B ）
1
2
A、
B、
4
2
C、
5
3
1
D、
3
设此射手每次射击命中的概率为p，分析可得，至少命中
一次的对立事件为射击四次全都没有命中，
概率与统计的复习知识点
概率与统计的复习知识点概率与统计是数学中的重要分支，在日常生活、科学研究以及各个领域都有着广泛的应用。
为了帮助大家更好地复习这部分知识，下面将对一些关键的知识点进行梳理。
一、概率的基本概念1、随机事件随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。
例如，抛硬币时正面朝上就是一个随机事件。
2、样本空间样本空间是指随机试验中所有可能结果的集合。
比如抛一次硬币，样本空间就是{正面，反面}。
3、事件的概率事件的概率是指某个事件在一次试验中发生的可能性大小，通常用0 到 1 之间的数来表示。
概率的计算方法有古典概型、几何概型等。
古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
其概率计算公式为：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件数／基本事件总数。
几何概型则是适用于试验中每个结果出现的可能性相等，但结果是无限个的情况。
例如，在一个区间内随机取一个点，计算该点落在某个子区间的概率。
二、概率的基本运算1、互斥事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的和事件的概率等于各自概率之和，即 P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
2、对立事件对立事件是指两个事件非此即彼，且它们的概率之和为 1。
即事件A 的对立事件记为A，P(A) ＋ P(A）＝ 1。
3、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
记作 P(B|A)，其计算公式为 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)。
4、乘法公式P(AB) ＝ P(A)P(B|A) （当 A、B 相互独立时，P(AB) ＝ P(A)P(B)）三、随机变量及其分布1、随机变量随机变量是用来表示随机试验结果的变量。
它可以是离散型的，如掷骰子的点数；也可以是连续型的，如某段时间内的气温。
2、离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以用分布列来表示，即列出随机变量取每个值的概率。
河南单招对口升学考试数学复习资料第十章概率与统计初步
（1）简单随机抽样：抽签法是最常用的简单随机抽样方法. （2）系统抽样又称等距抽样（或机械抽样），这种抽样方法是对研究的总体中的个体 按一定规则编号，然后按相等距离或间隔抽取个体组成样本. （3）分层抽样又称类型抽样，这种抽样方法是在抽样之前将总体分成互不交叉的若干 层（类），然后再从各层中独立抽取一定数量的个体组成样本.
典例精析
例
变式训练
变式训练1
下列语句中，表示随机事件的是（ ). A.52张扑克牌中任意抽取4张 B.掷两颗骰子出现点数之和等于1 C.型号完全相同的红、白球各2个，从中任取一个是白球 D.异性电荷互相吸引
典例精析
例
变式训练
变式训练2 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的
概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28.计算这个射手在一次射 击中；
典例精析
例
变式训练
变式训练1
要考察某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命，从该厂生产的灯 泡中随机地抽取200个测试其使用寿命，则200是（）. A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量
典例精析
例
变式训练
变式训练2
某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每
隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是
(3)对于不可能事件∅，P(∅)=0.
知识清单 知识点一 随机事件和概率
5.古典概率模型
(1)基本事件：只含一个样本点的事件称为基本事件.
(2)复合事件：含有两个或两个以上样本点的事件称为复合事件.
(3)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型：
①试验中的所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性).
则P（AB）=P（A）P（B）.
典例精析
例
变式训练
变式训练1
下列语句中，表示随机事件的是（ ). A.52张扑克牌中任意抽取4张 B.掷两颗骰子出现点数之和等于1 C.型号完全相同的红、白球各2个，从中任取一个是白球 D.异性电荷互相吸引
典例精析
例
变式训练
变式训练2 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的
概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28.计算这个射手在一次射 击中；
典例精析
例
变式训练
变式训练1
要考察某灯泡厂生产的灯泡的使用寿命，从该厂生产的灯 泡中随机地抽取200个测试其使用寿命，则200是（）. A.总体 B.个体 C.样本 D.样本容量
典例精析
例
变式训练
变式训练2
某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每
隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是
(3)对于不可能事件∅，P(∅)=0.
知识清单 知识点一 随机事件和概率
5.古典概率模型
(1)基本事件：只含一个样本点的事件称为基本事件.
(2)复合事件：含有两个或两个以上样本点的事件称为复合事件.
(3)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型：
①试验中的所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性).
则P（AB）=P（A）P（B）.
概率与统计初步复习共28页
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
概率与统计初步复习
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
概率与统计初步复习
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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（2）步骤： 第一步，将总体的N个个体编号. 第二步，确定分段间隔k，对编号进行分段. 第三步，在第1段用简单随机抽样确定起始个 体编号. 第四步，按照一定的规则抽取样本.
3. 分层抽样 （1）思想：若总体由差异明显的几部分组成，抽 样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一 定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体， 再将各层取出的个体合在一起作为样本. （2）步骤： 第一步，计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定 各层要抽取的个体数. 第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽 取相应数量的个体. 第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所 取样本.
6. 频率分布折线图
在频率分布直方图中，依次连接各小长方形 上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图.
画出频率分布折线图. 频率/组距 (取组距中点, 并连线 )
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.16 0.1 0.08 0.04 0.3 0.44 0.3 0.5
0.1 0.08 0
0.5
三种抽样方法的比较如下表:
类别
共同点
相互联系
适用范围
各自特点
简单随 机抽样
(1)抽样过 程中每个个 体被抽到的 机会相等 (2)抽样过 程都是不放 回的抽样 在起始部 分抽样时 采用简单 随机抽样 每层抽样 时采用简 单随机抽 样或系统 抽样
总体中的 个数较少
从总体中 逐个抽取 将总体均 分成几部 分,按事 先确定的 规则在各 部分抽取
1 A. 999
B.
1 1000
C.
999 1000
1 D. 2
2、某种彩票中奖几率为0.1％，某 人连续买1000张彩票，下列说法 正确的是：（ ） A、此人一定会中奖 B、此人一定不会中奖 C、每张彩票中奖的可能性都相等 D、最后买的几张彩票中奖的可能性 大些
4. 频率分布表
（1）含义：表示样本数据分布规律的表 格.
（2）作法： 第一步，求极差. 第二步，决定组距与组数（强调取整）. 第三步，确定分点，将数据分组. 第四步，统计频数，计算频率，制成表 格.
5. 频率分布直方图 （1）含义：表示样本数据分布规律的图 形.
（2）作法： 第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点， 在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与组 距的商为高，分别画出各组对应的小长 方形.
将总体分 成几层, 按一定的 比例进行 抽取
系统抽样
总体中的 个数较多
分层抽样
总体由差 异明显的 几部分组 成
用样本估计总体:一般分成两种 (1)是用样本的频率分布估计总体的分布; (2)是用样本的数字特征(如平均数､标准差等) 估计总体的数字特征.
所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频 率分布直方图对总体情况作出估计,有时也 利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计
简单随机抽样
随机抽样
系统抽样
分层抽样
统计 用样本估计总体
用样本的频率分 布估计总体分布 用样本 的数字 特征 估计总体数字特征
1. 随机事件与样本空间 （1）随机事件：随机实验中每种可 能的结果。随机事件也简称事件。 不能再分的最简单的随机事件称为 基本事件。 （2）样本空间：全体基本事件构成 的集合叫做随机事件的样本空间。 随机事件是样本空间的子集。
1 1.5
2
2.5
3
3.5 4
4.5 月均用水量/t
7. 茎叶图
作法： 第一步，将每个数据分为“茎”（高位） 和“叶”（低位）两部分； 第二步，将最小的茎和最大的茎之间的 数按大小次序排成一列，写在左（右） 侧； 第三步，将各个数据的叶按大小次序写 在茎右（左）侧.
茎叶图 (一种被用来表示数据的图) 例: 甲乙两人比赛得分记录如下： 甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙：49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39 用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好． 甲 8 6, 4, 3 8, 6, 3 9, 8, 3 1 0 1 2 3 4 5 乙
概率的基本性质
0≤P（A）≤1
古典概型
1）两个特征：
（1） 有限性。 试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个； （2）等可能性。每个基本事件出现的可能性相等。
2）古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
A所包含的基本事件的个数 P（A）＝ 基本事件的总数
练习： 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续 抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上 的概率是（ ）
随机数表法： 第一步，将总体中的所有个体编号. 第二步，在随机数表中任选一个数作为 起始数. 第三步，从选定的数开始依次向右（向 左、向上、向下）读，将编号范围内的 数取出，编号范围外的数去掉，直到取 满n个号码为止，就得到一个容量为n的 样本.
2. 系统抽样
（1）思想：将总体分成均衡的n个部分，再 按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个 个体，即得到容量为n的样本.
x 表示;
标准差:是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其 1 计算公式如下: s [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ]. n 方差:标准差的平方
注意：中位数和众数不同，中位数不一定在这组数据中。而众数 必定在该组数据）例：2、3、4、5、6、7 中位数：中间的两个数 相加后除2=（4+5）/2=4.5
频率分布直方图的特征： 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布 的总体趋势。 从频率分布直方图得不出原始的数据内容， 把数据表示成直方图后，原有的具体数据信 息就被抹掉了。
频率分布表与频率分布直方图的区别: 频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率。 频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区 间内取值的频率。
梳理要点
1. 简单随机抽样
（1）思想：设一个总体有N个个体， 从 中逐个不放回地抽取n个个体作为样本， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都相等,Leabharlann 则这种抽样方法叫做 简单随机抽样.
（2）步骤： 抽签法： 第一步，将总体中的所有个体编号，并 把号码写在形状、大小相同的号签上. 第二步，将号签放在一个容器中，并搅 拌均匀. 第三步，每次从中抽取一个号签，连续 抽取n次，就得到一个容量为n的样本.
第二种就是为了从整体上更好地把握总体的 规律,可以通过样本数据的众数､中位数､平均 数和标准差等数字特征对总体的数字特征作 出估计
几个概念:
众数:样本数据中出现最多的数据;
中位数:把样本数据分成相同数目的两部分,其中一部分 比这个数小,另一部分比这个数大的那个数; 中位数是 一组数据的中间水平。 平均数:所有样本数据的平均值,用
5, 5, 9, 4, 0
2 4 7, 6, 6, 1, 1 9
叶
茎
叶
茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图 上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从 茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录， 随时添加，方便记录与表示。 （２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且 茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然 能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
概率知识点：
1、频率与概率的意义 2、事件的关系和运算
3、古典概型 4、几何概型
频率与概率的意义:
1、频率本身是随机的，在试验前不能确定。做 同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。 2、概率是一个确定的数，与每次试验无关。是 用来度量事件发生可能性大小的量。
3、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加， 频率会越来越接近概率。
3. 分层抽样 （1）思想：若总体由差异明显的几部分组成，抽 样时，先将总体分成互不交叉的层，然后按照一 定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体， 再将各层取出的个体合在一起作为样本. （2）步骤： 第一步，计算样本容量与总体的个体数之比. 第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定 各层要抽取的个体数. 第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽 取相应数量的个体. 第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所 取样本.
6. 频率分布折线图
在频率分布直方图中，依次连接各小长方形 上端中点得到的一条折线，称为频率分布折线图.
画出频率分布折线图. 频率/组距 (取组距中点, 并连线 )
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
0.16 0.1 0.08 0.04 0.3 0.44 0.3 0.5
0.1 0.08 0
0.5
三种抽样方法的比较如下表:
类别
共同点
相互联系
适用范围
各自特点
简单随 机抽样
(1)抽样过 程中每个个 体被抽到的 机会相等 (2)抽样过 程都是不放 回的抽样 在起始部 分抽样时 采用简单 随机抽样 每层抽样 时采用简 单随机抽 样或系统 抽样
总体中的 个数较少
从总体中 逐个抽取 将总体均 分成几部 分,按事 先确定的 规则在各 部分抽取
1 A. 999
B.
1 1000
C.
999 1000
1 D. 2
2、某种彩票中奖几率为0.1％，某 人连续买1000张彩票，下列说法 正确的是：（ ） A、此人一定会中奖 B、此人一定不会中奖 C、每张彩票中奖的可能性都相等 D、最后买的几张彩票中奖的可能性 大些
4. 频率分布表
（1）含义：表示样本数据分布规律的表 格.
（2）作法： 第一步，求极差. 第二步，决定组距与组数（强调取整）. 第三步，确定分点，将数据分组. 第四步，统计频数，计算频率，制成表 格.
5. 频率分布直方图 （1）含义：表示样本数据分布规律的图 形.
（2）作法： 第一步，画平面直角坐标系. 第二步，在横轴上均匀标出各组分点， 在纵轴上标出单位长度. 第三步，以组距为宽，各组的频率与组 距的商为高，分别画出各组对应的小长 方形.
将总体分 成几层, 按一定的 比例进行 抽取
系统抽样
总体中的 个数较多
分层抽样
总体由差 异明显的 几部分组 成
用样本估计总体:一般分成两种 (1)是用样本的频率分布估计总体的分布; (2)是用样本的数字特征(如平均数､标准差等) 估计总体的数字特征.
所谓第一种就是利用样本的频率分布表和频 率分布直方图对总体情况作出估计,有时也 利用频率分布折线图和茎叶图对总体估计
简单随机抽样
随机抽样
系统抽样
分层抽样
统计 用样本估计总体
用样本的频率分 布估计总体分布 用样本 的数字 特征 估计总体数字特征
1. 随机事件与样本空间 （1）随机事件：随机实验中每种可 能的结果。随机事件也简称事件。 不能再分的最简单的随机事件称为 基本事件。 （2）样本空间：全体基本事件构成 的集合叫做随机事件的样本空间。 随机事件是样本空间的子集。
1 1.5
2
2.5
3
3.5 4
4.5 月均用水量/t
7. 茎叶图
作法： 第一步，将每个数据分为“茎”（高位） 和“叶”（低位）两部分； 第二步，将最小的茎和最大的茎之间的 数按大小次序排成一列，写在左（右） 侧； 第三步，将各个数据的叶按大小次序写 在茎右（左）侧.
茎叶图 (一种被用来表示数据的图) 例: 甲乙两人比赛得分记录如下： 甲：13, 51, 23, 8, 26, 38, 16, 33, 14, 28, 39 乙：49, 24, 12, 31, 50, 31, 44, 36, 15, 37, 25, 36, 39 用茎叶图表示两人成绩，说明哪一个成绩好． 甲 8 6, 4, 3 8, 6, 3 9, 8, 3 1 0 1 2 3 4 5 乙
概率的基本性质
0≤P（A）≤1
古典概型
1）两个特征：
（1） 有限性。 试验中所有可能出现的基本事件只有 有限个； （2）等可能性。每个基本事件出现的可能性相等。
2）古典概型计算任何事件的概率计算公式为：
A所包含的基本事件的个数 P（A）＝ 基本事件的总数
练习： 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续 抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上 的概率是（ ）
随机数表法： 第一步，将总体中的所有个体编号. 第二步，在随机数表中任选一个数作为 起始数. 第三步，从选定的数开始依次向右（向 左、向上、向下）读，将编号范围内的 数取出，编号范围外的数去掉，直到取 满n个号码为止，就得到一个容量为n的 样本.
2. 系统抽样
（1）思想：将总体分成均衡的n个部分，再 按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个 个体，即得到容量为n的样本.
x 表示;
标准差:是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量,其 1 计算公式如下: s [( x1 x )2 ( x2 x )2 ( xn x )2 ]. n 方差:标准差的平方
注意：中位数和众数不同，中位数不一定在这组数据中。而众数 必定在该组数据）例：2、3、4、5、6、7 中位数：中间的两个数 相加后除2=（4+5）/2=4.5
频率分布直方图的特征： 从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布 的总体趋势。 从频率分布直方图得不出原始的数据内容， 把数据表示成直方图后，原有的具体数据信 息就被抹掉了。
频率分布表与频率分布直方图的区别: 频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率。 频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区 间内取值的频率。
梳理要点
1. 简单随机抽样
（1）思想：设一个总体有N个个体， 从 中逐个不放回地抽取n个个体作为样本， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都相等,Leabharlann 则这种抽样方法叫做 简单随机抽样.
（2）步骤： 抽签法： 第一步，将总体中的所有个体编号，并 把号码写在形状、大小相同的号签上. 第二步，将号签放在一个容器中，并搅 拌均匀. 第三步，每次从中抽取一个号签，连续 抽取n次，就得到一个容量为n的样本.
第二种就是为了从整体上更好地把握总体的 规律,可以通过样本数据的众数､中位数､平均 数和标准差等数字特征对总体的数字特征作 出估计
几个概念:
众数:样本数据中出现最多的数据;
中位数:把样本数据分成相同数目的两部分,其中一部分 比这个数小,另一部分比这个数大的那个数; 中位数是 一组数据的中间水平。 平均数:所有样本数据的平均值,用
5, 5, 9, 4, 0
2 4 7, 6, 6, 1, 1 9
叶
茎
叶
茎叶图的特征：
（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图 上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从 茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录， 随时添加，方便记录与表示。 （２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且 茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然 能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰。
概率知识点：
1、频率与概率的意义 2、事件的关系和运算
3、古典概型 4、几何概型
频率与概率的意义:
1、频率本身是随机的，在试验前不能确定。做 同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。 2、概率是一个确定的数，与每次试验无关。是 用来度量事件发生可能性大小的量。
3、频率是概率的近似值，随着试验次数的增加， 频率会越来越接近概率。