大学高等数学统考卷下10届期中考试附加答案

彭晓华授课班 高等数学（下）期中考试试卷本次考试 90 分钟， 25 道小题，共计 4 页，总分 100 分订装（装订线内不准做 1.平面0122=-++z y x 和0322=+++z y x 之间的距离为（A ）4 （B ）2 （C ）34 （D ）32 2.曲面 3=+-xy z e z 在点（0,1,2）处的切平面方程为（A ）042=-+y x （B ）062=-+y x （C ）062=-+y x （D ）042=-+y x 3.计算dV z I ⎰⎰⎰Ω=的值，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。

（A ）4π （B ）0 （C ）2π（D ）π 4.将dV z y x f ⎰⎰⎰Ω++)(222化为球面坐标系下的三次积分，其中Ω是由22y x z +=与1=z 围成的区域。

（A ）⎰⎰⎰1224020sin )(rdr r r f d d φφθππ（B ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10222020sin )(dr r r f d d（C ）⎰⎰⎰φππφφθcos 10224020sin )(dr r r f d d （D ）⎰⎰⎰φππφφθcos 0224020sin )(dr r r f d d5.已知x x x f =)2,(，且2)2,(1='x x f ，则=')2,(2x x f（A ）1 （B ）2 （C ）21 （D ）21- 6.设 D 由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，确定以下积分大小的顺序 dxdy y x I D⎰⎰+=71)( ,dxdy y x I D⎰⎰+=72)][sin(，dxdy y x I D⎰⎰+=73)][ln(（A ）132I I I << （B ）123I I I << （C ）213I I I << （D ）无法确定 7.设),(y x f 是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为8.函数 32--=yz xyz u 在点 )1,1,1( 处沿方向 k 2j 2i l ++= 的方向导数为（A ）31- （B ） 31（C ）1- （D ）19、函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪⎩⎪200222222在点(0,0)处：(A)连续且偏导数存在 (B)不连续且偏导数不存在(C)连续但偏导数不存在 (D) 偏导数存在但不连续10.过点M )1,1,1(且同时垂直于{}1,3,21=s 和{}2,1,32=s 的直线方程为（A ）611151--=--=-z y x （B ）710151--=-=-z y x （C ）712151--=-=-z y x （D ）711151--=--=-z y x 11.设xy y x z arcsin )1(4-+=，那么(1,1)zx∂∂=（ ）。

-------------1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积. 解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程.2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。

现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。

2010级《高等数学》（下）期中试卷（考试时间 120分钟）班级 姓名 学号 成绩 一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求du dx。

二（10分）设函数()x,y f 在点(1,1)处可微，且()(,)(,),11111112,3,f f f ,x y∂∂===∂∂()()(x)f x,f x,x ϕ=，求()1d d 3=x x xϕ。

三（10分）求曲面22z x y =+垂直于直线2122x z y z +=⎧⎨+=⎩的切平面方程。

四（10分）求曲面224y x z --=和)(3122y x z +=所围闭区域Ω的体积.五（10分）求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 是由圆422=+y x 和1)1(22=++y x 所围成的平面区域.六（10分）求面密度为常数μ的锥面22y x z +=（)10≤≤z ）对z 轴的转动惯量。

七（10分）求函数22222),(y x y x y x f -+=在闭区域}0,4),({22≥≤+=y y x y x D 上的最大值和最小值。

八（10分）计算积分224L xdy ydx x y -+⎰Ñ，其中L 为圆周222(1)(1)x y R R -+=≠（按逆时针方向）．九（10分）计算曲面积分⎰⎰∑++=xydxdy zydzdx xzdydz I 32，其中∑为有向曲面)10(4122≤≤--=z y x z 方向取上侧。

十（10分）设函数),(||),(y x y x y x f ϕ-=，其中),(y x ϕ连续，问： （1）),(y x ϕ应满足什么条件，才能使偏导数)0,0(x f ，)0,0(y f 存在。

（2）在上述条件下，),(y x f 在点)0,0(处是否可微？中国矿业大学2010级《高等数学》（下）期中试卷参考解答（考试时间 120分钟）一（10分）设(,,)u f x y z =有连续偏导数，()()和y y x z z x ==分别由方程0xye y -=和0z e xz -=所确定，求dudx。

高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。

答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。

答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。

答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。

答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。

2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。

答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。

答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。

答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。

5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。

答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。

答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。

高等数学（下册）期中考试20110504一、 填空题（每小题4分，共计40分）1、已知三点 A(1,0,2)，B(2,1,-1)，C(0,2,1)，则三角形ABC 的面积为 。

2、已知曲面224y x z --=在点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x ，则点P 的坐标是 。

3、函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件为 , 必要条件为 。

4、设方程az z y x 2222=++确定函数),(y x z z =，则全微分dz 。

5、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ，交换积分次序后，=I 。

6、设∑是曲面22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则曲面面积为 。

7、⎰=+Lds y x )(22 ，其中222:a y x L =+。

8、设Ω为曲面0,122=--=z y x z 所围成的立体，如果将三重积分⎰⎰⎰Ω=dv z y x f I ),,(化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则I= 。

9、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 若将三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 在球面坐标系下化为三次积分,则I= 。

10、设Ｌ是椭圆周1422=+y x 的正向，则曲线积分⎰+-L y x ydxxdy 224= 。

二、求解下列问题（共计14分） 1、 （7分）求函数)ln(22z y x u ++=在点A （1, 0，1）沿A 指向点B （3，-2，2）的方向的方向导数。

2、 （7分）已知函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(1,1)2f =是(,)f u v 的极值，(,(,)).z f x y f x y =+, 求2(1,1).zx y∂∂∂三、求解下列问题（共计16分）1、（8分）计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ，其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。

2、（8分）设)(x f 为连续函数，定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222，其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω，求dtdF 。

2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。

9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

中国矿业大学徐海学院2010－2011学年第二学期《高等数学》（理工类）期中试卷答案一、 填空题（每小题3分，共27分）．1. }1,0,0|),{(2≠>≥-x x y x y x2. 43.)2,1(-4. 320y y y '''-+=5.(1,0)2(2)dz edx e dy =++6.22400y x z ⎧-+=⎨=⎩7. 2220y z x +-=8. 2360x y z -++=或(1)2(1)3(1)0x y z +--++= 9. 4二、计算下列偏导数或导数1、已知arctan()z xy =，而x y e =，求d z d x. 解：d z d x =z z dy x y dx ∂∂+∂∂221()1()xy x e xy xy =+++2(1)1()y x xy +=+2、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z+=+1所确定，求x z ∂∂，z y ∂∂，∂∂∂2zx y.解：zx x ze yz yz e +==+1,)1( (),e z xz x ez y y z+==+113222)1()1()1(1z zz z y zze xye e e z ye e y x z +-+=+-+=∂∂∂ 或 设1),,(--+=xy z e z y x F z,x F y =-,y F x =-1z z F e =+1x x z z F y z F e =-=+，1y y zz F xz F e=-=+ 22231(1)(1)(1)z zz zy z z e ye z z e xye x y e e +-∂+-==∂∂++ 3、设2(,)z f xy x y =+，(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂.解：''12zyf f x∂=+∂ 2'"''''''111122122(2)2z f y xf yf xf yf x y∂=++++∂∂ 三、计算题1、求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为1(1,0,2),n = 2(0,1,3),n =-则所求直线的方向向量12,,s n s n ⊥⊥12102013i j ks n n =⨯=-(2,3,1),=-则所求直线的方程为024231x y z ---==-。

第 1 页/共 6 页华东理工大学2023年年–2023年年学年第二学期 《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2023年年.4 开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时光 120 分钟考生姓名： 学号： 年级 任课教师一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）： 1、微分方程222'y x e yx y -=的通解为 。

答：C e xe e xx y +-=22412122、微分方程0''9)4(=+y y 的通解为 。

答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++=3、函数 z x yu )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。

答：12)(--=z x x yx yz u4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u z y +=，其中f 关于所有变量有一阶延续偏导数， 则=∂∂yu。

答：3222211f zy x xz f f xze y u y +++=∂∂ 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(yzxz f z = 所决定，其中f 关于所有变量有一阶延续偏导数，则∂∂zy= 。

答：21222yf f xy y zf ---6、设1)(-=⋅⨯c b a，则=+⨯+⋅)]()[(c b b a b 。

答： 17、函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。

答：228、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。

答： 21C xC y +-= 9、设平面π过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。

答： ]22,0[10、设),(y x z z =由方程2xyz e z =所决定，则=dz 。

答： dy xyze xz dx xyz e yz dz z z 2222-+-=11、求一个最低阶的常系数线性齐次微分方程，使得x 和x x cos sin +都是它的特解，则该常系数线性齐次微分方程为 。

高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。

卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

广东工业大学试卷用纸，共 4 页，第 1 页学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：装 订 线广东工业大学考试试卷 ( )课程名称: 高等数学（二）期中测验考试时间: 第 周星期 ( 月 日) 成绩:一、填空题（每题3分,共15分）1．已知{4,3,4}a =- 在向量{2,2,1}b =上的投影为=_ ２ ____。

2．曲线ttte z t e y t e x 2,sin ,cos ===在相应于0=t 的点处切线与Oz 轴夹角的正弦25sin 1cos 6αα=-=。

3． 设10,1:≤≤≤y x D 。

则⎰⎰σ+Dyd y y x )cos (5＝32 。

4． 已知曲面221z x y =--平行于平面2210x y z ++-=的切平面方程为_____2(1)2(1)10x y z -+-++=, （其中切点P 的坐标为(1,1,1)-）5. 设函数22),(y xy x y x f +-=，则),(y x f 在点)1,1(处沿变化率最大方向的方向导数为2 。

二、单选题：（每题4分,共20分）1．已知直线⎩⎨⎧=+--=--+072072z y x z y x 与平面0453=-+-z ky x 平行，则k 的值为（ Ｄ ）（A ） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34 2. 改变积分次序后⎰⎰-2210),(x x xdy y x f dx = （ Ｃ ）。

(A) ⎰⎰-+xx dx y x f dy 21110),( (B)⎰⎰-+yydx y x f dy 21110),( (C )⎰⎰--yydx y x f dy 2111),( (D)⎰⎰+-yydx y x f dy 2111),(3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xy y x f 在点()0,0处（ Ｃ ）（Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在；（Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在．广东工业大学试卷用纸，共 4 页，第 2 页4．设y x x z --=32，则它在点（1,0）处（ Ｂ ）（A ）取得极大值; (B)无极值;（C ）取得极小值; (D)无法判别是否有极值;5.设),(v u f 具有连续偏导，且x x x x x f ++=3422),(，122),(221+-='x x x x f ，则='),(22x x f （ Ａ ） （A ）1222++x x （B ）xx x 21322++（C ）1222+-x x （D ）1322++x x三、求解下列各题（每题6分，共24分） １．求极限)sin(11lim2320xy yx y x y x +-→→解：原式=lim()sin()x y x yx y x y xy →→-++00232211 3分=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy0021115分=-126分2．已知(,)()xy z f xy g y x=+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2zx y ∂∂∂．解:1221.()z y f y f g x y x∂'''=++-∂2121122232311zx y f f xyf f g g x yyyxx∂'''''''''=-+---∂∂．3．设),(y x z z =由方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y z x z f x ,所确定，其中f 具有一阶连续偏导数，求z d 。

北京信息科技大学 2010-2011学年第2学期《高等数学》176学时课程期中考试试题（答案）一、填空题（共10分，每小题2分）1．向量 )1,1,1(=a的方向余弦,31cos =α,31cos =β.31cos =γ2. 求过点)3,1,4(-且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程是531124-=+=-z y x3．将yoz 面的抛物线 zy 32= 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是z yx 322=+4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(34:2222y x z yxz C 在xoy 面的投影曲线是⎩⎨⎧==+0122z yx5. 设⎰⎰--=Dyx y x Id d 4224:22≤+yxD由几何意义知316π=I二、解答题（共63分，每小题7分）1. 已知)3,1,3(,)3,0,2(,)2,1,1(C B A -三点，求同时垂直于AB 与BC 的单位向量解：由已知得：)1,1,1(=AB，)0,1,1(=BC)0,1,1(011111-==⨯kj iBC AB┄┄┄┄┄（4分）同时垂直于AB 与BC 的单位向量为)0,1,1(21||-±=⨯±=BC AB e┄┄┄┄┄（7分）2. 已知,2zx eyz y x u++= 求u d解：zzu y yu x xu ud d d d ∂∂+∂∂+∂∂=┄┄┄┄（1分）zxeyy yz xx zexy zx zx d )1(d )(d )2(22++-++=┄┄┄┄（7分）3. 已知(),,2xy x xfz+= 其中f 具有二阶连续偏导数，.,2yx z xz ∂∂∂∂∂求解：xz ∂∂())21(,212x f f x xy x f ⋅'+⋅'++=┄┄┄┄（3分）yx z ∂∂∂2)21(21111x f f x f ⋅''+⋅''+'=┄┄┄┄（7分）4. 设),(y x z z =由方程023=+-y xz z所确定，yz xz ∂∂∂∂,求解：方程两边分别对x 和y 求偏导数得 02232=∂∂--∂∂xz xz x z z ⇒x z z x z 2322-=∂∂┄┄┄┄（3.5分） 01232=+∂∂-∂∂yz xyz z⇒xzyz 2312--=∂∂┄┄┄┄（7分）5. 求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面解：令03),,(=-+-=xy z e z y x F z┄┄┄┄（1分）曲面在点)0,1,2(处的法向量为)0,1,2()0,1,2()0,1,2(|)1,,(|),,(|-==zz y x e x y F F F n )0,2,1(=┄┄（4分）所以曲面在点)0,1,2(处的切平面方程为)0(0)1(2)2(=-⋅+-+-z y x 即 042=-+y x┄┄┄┄（7分）6. 问函数zxy z y x u 2),,(=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值 答：函数zxy z y x u 2),,(=在点)2,1,1(-P 处沿梯度方向的方向导数最大，且=-)2,1,1(|ad r g u )2,1,1(,,-⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂∂ ⎝⎛z u y u x u )2,1,1(22,2,-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=xy xyz z y 2分2分2分)2,1,1(|ad r g -u )1,4,2(-=┄┄┄┄（5分）方向导数的最大值为梯度的模 )2,1,1(|adr g -u 21=┄┄┄┄（7分）7. .333的极值求函数xy yxz -+=解: 令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322x y z y x z y x 解得驻点)1,1(),0,0(┄┄┄┄（3分）又y z C z B x z Ayyxy xx6,3,6=''=-=''==''=┄┄┄┄（4分）又09|)()0,0(2<-=-B AC ，所以)0,0(不是极值点┄┄┄┄（5分） 又027|)()1,1(2>=-B AC，又06|)1,1(>=''=xxz A┄┄┄┄（6分）所以)1,1(是极小值点，且1)1,1(-==f f 极小┄┄┄┄（7分）8．交换二次积分()⎰⎰yyxy x f y 2202d ,d 的积分次序解: 积分区域为 ⎩⎨⎧≤≤≤≤202:2y yx y D y —型区域 （如图）又积分区域为D 可表示为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤x y xx D 240:┄┄┄┄（3分）()⎰⎰yyx y x f y 2202d ,d ()⎰⎰=xx y y x f x 24d ,d ┄┄┄┄（7分）9．()⎰⎰⎰Ωdv z y x f ,,将三重积分.2:2222y xz yx--≤≤+Ω化为柱面坐标系下的三次积分解:解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222yxz yxz ⎩⎨⎧==+01:22z yx xoy 面投影曲线得于是将Ω投影到xoy 面得投影区域1:22≤+y x D xy（如图）利用柱面坐标Ω可表示为 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤Ω221020:rz r r πθ ┄┄┄┄（3分）()⎰⎰⎰Ωdv z y x f ,,⎰⎰⎰-=221020)d sin cos (d d rrzθ,z θ,r r f r r πθ┄┄┄┄（7分）三、计算下列各题(27分) 1．⎰⎰+Dy x y xd d )(22计算4,12222=+=+yxyxD 由曲线其中及直线.0,所围成的闭区域==x x y (9分)解：如图所示区域21D D D+=用极坐标表示为:1D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤2124r πθπ:2D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤212345r πθπ┄┄┄┄（2分）⎰⎰+Dy x y xd d )(22⎰⎰⋅=21224d d r r r ππθ⎰⎰⋅+2122345d d rr r ππθ┄┄┄┄6分）1615π=1615π+815π=┄┄┄┄（9分）2．⎰⎰Dxy x e,d d 2计算.01,所围成的闭区域及由其中===y x x y D (9分)解：如图所示区域D将区域D 看作x —型区域, ⎩⎨⎧≤≤≤≤xy x D 010:┄┄┄┄（2分）⎰⎰Dxy x ed d 2⎰⎰=xxyex 01d d 2┄┄┄┄（6分）112221d xxex ex ==⎰┄┄┄┄（8分）)1(21-=e ┄┄┄┄（9分）3．.0,,2222所围成的立体体积求由曲面==++=z x yxy xz (9分)解法1：(利用二重积分计算)11⎰⎰+=Dy x y xV d d 22，其中区域D：xyx ≤+22（如图所示）┄┄（2分）用极坐标表示为:D ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-θπθπcos 022r ┄┄┄┄（4分）⎰⎰+=Dy x y x V d d 22⎰⎰=⋅=-θππθcos 02294d d r r r ┄┄┄┄（9分）解法2：(利用三重积分计算）设曲面所围闭区域为Ω，则⎰⎰⎰Ω=dv V ┄┄┄┄（2分） 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤-Ωr z r 0c o s 022:θπθπ┄┄┄┄（4分）⎰⎰⎰Ω=d v V ⎰⎰⎰==-θππθc o s2294dz d d rr r ┄┄┄┄（9分）。

高等数学期中考试题参考解答一、填空题（每小题4分，共20分）12．0 3．22)(y x e y x -+ 4． ⎰⎰-2620d ),(d y y x y x f y 5．8- 二、单选题（每小题4分，共20分）1．C 2．B 3．D 4．D 5．A三、1、解 ⎰⎰⎰⎰-+=+20112211y dyxdx dxdy yx D =π(6分) 2、解 )0,21,21(),0,1,1(0-=-==→l AB l . (1分) )(2)0,21,21()2,2,2(),,(0y x z y x l z f y f x f l f -=-⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂ (3分) 设)122()(2222-+++-=z y x y x F λ.令 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=='=+-='=+=')4(12230220421042222 z y x z F y F x F x x x λλλ,(4分) 解得点2),0,21,21(-=∂∂-l f ,及点2),0,21,21(=∂∂-l f ,故点)0,21,21(-p 为所求。

(6分) 3、解 转动惯量为2222()d ()d I x y v x y v μΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, (2分)利用柱坐标, 有22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰2212200d d d r rr r r z πθ-=⎰⎰⎰(4分)132042(2)d 15r r r r ππ=--=⎰(6分) 4、解 所求流量为d d d d d d Sx y z y z x z x y Φ=++⎰⎰(2分)设四面体为Ω，由高斯公式，有113d 362v ΩΦ==⋅=⎰⎰⎰ (6分)5、解上半球面方程为z =与平面z a =和z b =的交线在xOy 面上的投影分别为2222:a D x y R a +≤-及2222:b D x y R b +≤-，(2分)则所求曲面面积为:2()a ba b D D S S S R b a π=-=-=-.(6分)四 解21yf f x z=∂∂，…………（2分） 322221112212212221122122211yf f f f f f f f f x f f x f f y f f x y x z --=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.…………（8分）五、解 22ln ,2,(yx x Q y x x y y x P -=+=，……（2分）则221y x x x Q y P -=∂∂=∂∂，…（4分）y x x y y yx x x y x x y y x u y x 222),()1,1(ln d )(ln d )2(),(+=-++=⎰.……（8分） 六、解 32d )(d )](arcsin[sin d )2(d 2404sin 20224πθθθθθππθπ=-=-=-⎰⎰⎰⎰----a r ra r r.…………（2分…5分…8分）七、解 添加一有向曲面1,1:221≤+-=∑y x z ，（1分）法线向量指向下侧.(2分） 阶πγβα==++⎰⎰⎰⎰≤+∑1333221d d d )cos cos cos (y x y x S z y x ，……（4分）⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++z y x z y x S z y xd d d )(3d )cos cos cos (2223331γβα⎰⎰⎰-==ϕπππππϕϕθcos 144320109d d sin d r r ，……（6分） 原式=1010911πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰∑∑+∑.（8分） 八、解 设运动质所在位置为),(y x ，则引力方向为},3{)3(1220y x yx F -+--=,引力大小为 222)3(yx GmMr mM G F +-== ,……（2分） 因此 },3{])3[(2322y x y x GmMF -+--= ,……（3分） 引力所作功为 ⎰+-+--=Ly x yy x x GmM W 2322])3[(d d )3(,……（4分） 令32223(3)x P x y -=⎡⎤-+⎣⎦,3222(3)y Q x y =⎡⎤-+⎣⎦,则52223(3)2(3)Q x y Px y x y ∂-∂=-⋅=∂∂⎡⎤-+⎣⎦,（6分） 因此取折线AOB 为积分路径,有=+--++-=⎰⎰]]16)3[(d )3()4(d [0523240232x xx y y y GmM W GmM 103-.……（8分）。

高数考试一．填空（共15分） 1.13lg(1)=++-y x x 的定义域是 ;2.e ,0,()0,0;已知在连续，则⎧<===⎨+≥⎩ x x f x x a a x x ;()ln 13.lim1cos →+=-x x x x.4.设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-则(0)='f .5.曲线(1)xy x e -=+的拐点坐标为 .答案：一.1.[-3,0)∪(0,1); 2.1a =; 3.2; 4. (1)!-nn ；5.21,e ⎛⎫⎪⎝⎭二.选择（共15分） （1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设函数()y f x =在[,]a b 上连续，其导函数的图形如下图所示，则曲线()()y f x a x b =≤≤的所有拐点为（ A ）.选择题（2）图A.112233(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xB.112244(,()),(,()),(,())x f x x f x x f xC.1122(,()),(,())x f x x f xD.3344(,()),(,())x f x x f x（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）当n →∞时，1sinn n是一个（D ） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 （5）0ln sin 5lim ln sin 2x xx+→=（C ）.A.52B.25C.1D.∞ 三. 计算和解答(共70分)1. 求下列极限：（10分） ()2cot 2.lim 13tan ;→+xx a x0e 1.lim(e 1)→---x x x x b x 解：()()2231cot 2233tan 0.lim 13tan lim 13tan →→⎡⎤+=+=⎢⎥⎣⎦xx x x a xx e ｂ． 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.32.arccos3-=-x y 求3x y ='.（5分）解：21(6)3x x y x ---'=- 313x y ='= 3．求由下列参数方程所确定函数的二阶导数22d d yx：（10分）(sin ),(1cos ),x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩ (a 为常数)；解： d d sin sin d d d (1cos )1cos d y y a t t t x x a t t t===--， 2222d d sin d sin 1()()d d d 1cos d 1cos d cos (1-cos )-sin sin 1=(1-cos )(1cos )1=.(1cos )y t t xx x t t t tt t t t t a t a t ==⋅--⋅⋅---4.1e 求由方程确定的二阶导。

珠海校区2010学年度第二学期10级高等数学一期中考试题及参考答案完成以下各题,每题10分.考试时间90分钟.1. 求满足条件(sin )(cos )y ydu e x dx xe y dy =++-的函数(,).u x y 解(,)sin ,(,)cos ,,y yy P QP x y e x Q x y xe y e y x∂∂=+=-==∂∂ 故积分与路径无关,于是(,)(sin )(cos )sin cos .xyy yu x y e x dx xe y dyxe y x C =++-=--+⎰⎰2.计算累次积分:211.x I dx dy =⎰⎰21110:xI dx dy dy dx==⎰⎰⎰解221100310012211.63x dy ==-===⎰⎰⎰3.{(,)1},().DD x y x y I x y dxdy =+≤=+⎰⎰若计算二重积分解: 积分区域关于两个坐标轴都对称,且被积函数关于x,y 均为偶函数,故如记{}1(,)(,),0,0D x y x y D x y =∈≥≥1()4()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰11120144()4[(1)(1)].23xdx x y dy x x x dx -=+=-+-=⎰⎰⎰4. 2222,2.CI x y ds C x y x =++=⎰求第一型曲线积分其中是圆周解: 用极坐标:22cos ,2cos ,2cos sin .r x y θθθθ===圆周的方程为故参数方程为2ds d θθ===22222224cos 8.CI x y ds d d ππππθθθ--=+===⎰⎰⎰5.229,0,(3,0)(3,0),C x y y +=>-若是上半圆周方向由点到点求第二型曲线积分 22.CI y dx x dy =+⎰ 解: :3cos ,3sin ,0.x y θθθπ==≤≤圆周的极坐标方程为故22[(3sin )(3sin )(3cos )(3cos )]I d πθθθθθ=-+⎰330220027(cos sin )427(1sin )sin (1cos )cos 27()36.3d d d πππθθθθθθθ=-⎡⎤=-+-=⨯-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 6. 2001(),()()().2aaaxf x f x dxf y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰已知函数连续求证;2000()()()()()()().ax aaxaaaf x dx f y dy f x dx f y dyf x dx f y dy f x dx +⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明;显然()()()()()()aa a y a xxf x dx f y dy f y dy f x dx f x dx f y dy==⎰⎰⎰⎰⎰⎰而变换积分次序后再换积分变量字母,有于是201()()().2aaaxf x dx f y dy f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰证毕.证法2: 0()(),xF x f y dy =⎰记则0()().af x dx F a =⎰于是()()()[()()]aa a xf x dx f y dy f x F a F x dx =-⎰⎰⎰0()()()()a aF a f x dx F x f x dx =-⎰⎰2222200111()()()()()()().222aaa F a F x dF x F a F x F a f x dx ⎡⎤=-=-==⎢⎥⎣⎦⎰⎰7. 求由曲面22222.z x y z x y =--=+与所围立体的体积解: 立体在xOy 坐标面的投影为区域22{(,)1}.D x y x y =+≤故22222()222122(1)2(1).x y x y DDV dV dxdy dz x y dxdyd r rdr πθπ-++Ω===--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.(sin ),.I y z dV z z πΩ=+Ω==⎰⎰⎰求三重积分其中是由锥面所围的区域解: 由对称性,0.ydV Ω=⎰⎰⎰故如记区域在xOy 面的投影区域为D,则230sin sin (1cos )4.rDI zdV rdrd zdzd r rdr πππθθππΩ===+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222(1)(1)9.,1,.(1)2L xdy y dx y I L x x y ++---=+=+-⎰求曲线积分其中方程为逆时针方向 解: 2222(1)(,),(,),(1)(1)y x P x y Q x y x y x y --==+-+-22222(1),[(1)]P y x Qy x y x∂--∂==∂+-∂ 由于点(0,1)位于L +所围区域(记为D )内,作圆周C +: x 2+y 2=r 2,则由格林公式,22()(1)0,(1)L C xdy y dxI x y ++--==+-⎰22222222220(1)(1)cos sin2.(1)(1)L C xdy y dx xdy y dxr r I d x y x y r πθθθπ++----+====+-+-⎰⎰⎰2210.,1,2z Se I dxdy S z z z x y ++====+⎰⎰计算曲面积分其中为锥面所围立体的表面,取外侧. 解: 0,z P Q R ===ΩS 所围的区域为,由高斯公式,22zzS e P Q R I dxdy dV dV x y z x y +ΩΩ⎛⎫∂∂∂==++= ⎪∂∂∂+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2222221010012(1)2.zzz ze d dz rdr d ze dz z e e rππθθππ===-=⎰⎰⎰⎰⎰恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！恭祝各位考生金榜题名！。