角的概念的推广00

角的概念的推广概念角是数学中非常重要的概念，它是指由一个初始点出发，以一定的角度旋转后所形成的图形。

它可以帮助我们理解和描述事物之间的关系以及解决各种实际问题。

然而，角的概念可以进一步推广到更复杂的形式，从而应用于更广泛的领域。

首先，角可以分为几何角和平面角。

几何角是指由两条射线构成的图形，其中初始射线称为边，旋转的射线称为腿。

平面角则是指在一个平面上的角。

几何角和平面角可以相互转换，并且可以按照大小进行比较。

角的概念可以推广到三维空间中。

在三维空间中，角可以由两个非共线的向量构成，并且可以通过点乘和向量的模运算来计算角度。

三维空间中的角可以用来描述物体之间的关系，例如两个平面的夹角或者两个直线的夹角。

角的概念也可以推广到曲线上。

在曲线上，可以定义曲率角，它是指曲线在某一点上的切线与某一特定方向的夹角。

曲率角可以用来描述曲线的弯曲程度，例如在数学和物理学中常用来描述曲线运动的轨迹。

此外，角的概念还可以应用于三角函数中。

三角函数是以角作为自变量的函数，它们描述了角和直角三角形之间的关系。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们在数学和物理学中有广泛的应用，例如在解决三角形的边长和角度问题中。

在物理学中，角的概念也有广泛的应用。

例如，角动量是物体旋转运动的重要物理量，在刚体力学和量子力学中都有非常关键的作用。

角速度也是用来描述物体旋转运动的重要概念，它是物体单位时间内旋转的角度。

在计算机图形学和计算机游戏中，角的概念也有重要的应用。

例如，计算机游戏中的角色会随着玩家操作而改变角度，而计算机图形学中的三维模型也是由许多角所构成的。

因此，理解和运用角的概念对于计算机图形学和游戏开发非常关键。

总之，角是数学中的重要概念，它可以被推广到几何角、平面角、三维空间角、曲线上的角、三角函数中的角，甚至在物理学和计算机科学中有广泛的应用。

理解和掌握角的概念，可以帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

角概念的推广一、知识点归纳1．角概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2．象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

3．终边相同的角的表示：终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等。

4. 几种终边在特殊位置时对应角的集合为：角的终边所在位置 角的集合X 轴正半轴{}Z k k ∈︒⨯=,360|ααY 轴正半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90360|αα X 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,180360|αα Y 轴负半轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,270360|ααX 轴{}Z k k ∈︒⨯=,180|ααY 轴{}Z k k ∈︒+︒⨯=,90180|αα坐标轴{}Z k k ∈︒⨯=,90|αα5、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k kαα⋅+<<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z二、例题解析例1、自上午8点整上学到中午11点40分放学，时钟的时针和分针各转了多少度？上午8点整和中午11点40分两针所成的最小正角各是多少度？例2、给出下列命题：①小于90的角是锐角；②第二象限的角是钝角；③相等的角必是终边相同的角；④若角α和β有相同的终边，则βα-的终边必在x 轴的正半轴上.其中正确的命题序号是______________ 例3、已知 1845-=θ，在与终边相同的角中，求满足下列条件的角：（1）最小的正角 （2）最大的负角 （3）在720~360-内的角例4、若α为第三象限角，则α-，α2的终边落在何处？练习4.1、已知α为第一象限角，求α21-180是第几象限角.例5、已知α为第三象限角，求32αα，所在的象限 例6、已知集合{}Zk k k A ∈+⋅<<+⋅=,9018030180 αα，集合{}Zk k k A ∈+⋅<<-⋅=,4536045360 αα。

【引入】
经过30分钟，时针，分针，秒针各旋转了多少度？
【结论】：
1.旋转产生了角；
2.方向不同体现在角上应有什么不同？
3.角的大小不能限定为周角，需要扩大。

【新课】：
1.概念：
（1）角的概念的推广：
由一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的。

按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的。

特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，这个角叫做零角
1）范围扩大
2）过程
3）正负角的形成
4）任意大小的角都有意义
2.象限角：
端点在原点，始边为x 轴的正半轴，则终边在第几象限，则角为第几象限角。

【练习】
指出下列的角是第几象限角？
30,60,90,280,315︒︒︒︒︒
【注】终边在坐标轴上的角不属于任何象限
3.终边相同角的表示：
360()k k Z βα=+⋅︒∈
4.练习：
（1）判断下列角是第几象限角，写出与下列角终边相同的角的集合
︒︒-︒︒-︒
45,405,200,1450,630
（2）α为锐角是α为第一象限角的________条件；（3）写出终边落在下列各处的角的集合：
①终边在x轴的正半轴上的所有角的集合;
②终边在x轴的负半轴上的所有角的集合;
③终边在y轴的正半轴上的所有角的集合;
④终边在y轴的负半轴上的所有角的集合;
⑤角所在象限表示：
第1象限
第2象限
第3象限
第4象限
课堂小结：
1.角的概念的推广；
2.象限角的概念；
3.终边相同的角的表示。

角的概念的推广角是几何学中的重要概念，它在日常生活中的应用广泛且重要。

角的概念使我们能够更好地理解和描述物体之间的关系，从而更好地解决实际问题。

本文将探讨角的概念以及它在不同领域的推广应用。

一、角的定义和性质角是由两条射线共同起源的部分平面，常用三个字母表示。

根据角的大小，可以将角分为锐角、直角和钝角。

锐角指小于90度的角，直角指等于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角。

角的大小可以通过角度来测量，角度是角所对应的弧长在单位圆上的长度比值。

除了大小外，角还具有其他一些重要性质。

首先，两个角互为补角当且仅当它们的和为90度。

其次，两个角互为余角当且仅当它们的和为180度。

此外，角的顶点、起始射线和终止射线确定一个平面。

这些性质为我们研究角的性质和应用提供了基础。

二、角的推广应用1. 几何学中的角在几何学中，角是研究平面和空间图形间相对位置关系的重要工具。

角的推广应用在多边形的研究中尤为重要。

例如，我们可以通过计算多边形的内角和来判断它们的类型，进而帮助解决诸如平行四边形的判定、多边形的内切圆问题等。

2. 物理学中的角角的概念在物理学中也有着广泛的应用。

例如，角度被广泛用于描述力的作用方向和大小。

在机械学中，角度还用于描述转动运动和力矩的计算。

此外，角速度和角加速度也是物理学中经常使用的概念，通过这些概念可以描述物体的旋转状态以及旋转的快慢程度。

3. 工程学中的角在工程学中，角的概念被广泛应用于测量和布局。

例如，利用角度可以确定建筑物的方向，帮助制定建筑物的布局方案。

此外，在电气工程中，角度也用于描述交流电的相位差，从而确定电路中电压和电流的相对位置。

4. 地理学中的角在地理学中，角被广泛应用于测量和描述地球表面上的地理位置和方向。

例如，利用经纬度可以确定地理位置的坐标，并且通过计算角度可以确定两个地点之间的方位角和航向角。

这些信息对于导航和地图制作非常关键。

5. 计算机图形学中的角在计算机图形学中，角的概念被广泛用于描述和渲染三维图形。

角的概念的推广1. 引言角是几何学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

了解和掌握角的相关知识，对于学习几何学、物理学以及工程学等学科都具有重要意义。

本文将通过推广角的概念，介绍角的定义、分类以及角的应用。

2. 角的定义角可以理解为两条射线的相交部分，通常用符号α、β、γ 等表示。

在几何学中，角的大小通常用弧度（radian）或度（degree）来表示。

通过测量角的顶点和射线之间的夹角，可以确定角的大小。

3. 角的分类根据角的大小，可以将角分为以下几类：3.1 零角（Zero Degree Angle）零角是指两条重合的射线所形成的角。

零角的度数为0度或0弧度。

3.2 直角（Right Angle）直角是指两条相互垂直的射线所形成的角。

直角的度数为90度或π/2弧度。

3.3 锐角（Acute Angle）锐角是指小于90度的角。

锐角的度数小于90度，弧度小于π/2。

3.4 钝角（Obtuse Angle）钝角是指大于90度、小于180度的角。

钝角的度数大于90度，弧度大于π/2。

3.5 正角（Oblique Angle）正角是指大于0度、小于180度的角，不包括直角。

正角的度数大于0度，小于180度，弧度大于0，小于π。

4. 角的应用角的概念在各个领域都有重要的应用，下面我们将介绍几个常见的应用：4.1 几何学在几何学中，角的概念经常被用于计算和描述图形的属性。

例如，在三角形中，角的大小和性质决定了三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）以及边长比例关系。

角的概念还被广泛应用于圆的测量和刻画。

4.2 物理学在物理学中，角的概念被广泛运用于描述物体的运动和力学性质。

例如，角速度和角加速度是衡量旋转运动的重要物理量，角度在电路中也是电流和电压之间的重要参数。

4.3 工程学角的概念在工程学中也具有重要意义。

例如，在建筑工程中，工程师需要通过计算角度来确定墙壁的垂直度和水平度。

在电子工程中，角的概念被应用于天线的定向和辐射角度的测量。

1.1.1角的概念的推广【概念形成】1、在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：和习惯上规定，按照旋转而成的角叫做正角；按照旋转而成的角叫做负角；当时，我们也把它看成一个角叫做零角。

2、角的概念经过这样的推广之后，就应该包括、、；为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为 .3、一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，所形成的角为；旋转开始时的射线OA叫做，OB叫，射线的端点O叫做。

4、象限角：角的顶点与重合，角的始边与重合。

那么，角的终边（除端点外）在，我们就说这个角是；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角。

5、终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身所构成的集合是S=【例题选讲】360间找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角例1、在︒0～︒（1）；（2）；（3）．例3、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：（1）600；（2）-210；（3）41︒，363'例4．写出终边在下列位置的角的集合(1)x轴的正半轴上 (2)x轴的负半轴上（3）y轴正半轴上(4) y轴的负半轴上 (5)终边落在x轴上 (6)终边落在y轴上(7)终边落在坐标轴上例5 （1）分别写出终边落在第一、二、三、四象限的角的集合。

（2）写出终边落在第一或三象限的角的集合（变式：二或四象限呢）【巩固提高】1、表示辨析下列各角：①︒0～︒90间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于︒90的角．2、分别写出：（1）终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合（2）终边落在第四象限角平分线上的角的集合3、将角︒30的终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为 ；如果改为顺时针旋转则角的度数为【课后作业】1、若α与β的终边角相同，则α-β的终边角一定在（ ）A 、x 的非负半轴上B 、x 的非正半轴上C 、y 的非正半轴上D 、y 的非负半轴上2、若α与β的终边关于直线x-y=0对称，且α=-300，则β= _______。

1.1.1角的概念的推广一、复习： 角的概念：（1）在初中我们把有公共顶点的 组成的 叫做角，这个公共顶点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。

(2)角可以看成是一条射线绕着它的 从一个位置旋转到另一个位置所成的 。

二、自主学习：自学53P P ，回答： 1。

正角、负角、零角：一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向：方向和 方向，习惯上规定：按照 方向旋转而成的角为正角；按照 方向旋转而成的角为负角，当射线没有 时为零角。

注意：（1）在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的 和旋转的 ，旋转生成的角，又常叫做 角。

（2）引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α—β可以化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的。

2.终边相同的角：设α表示任意角，所有与α终边相同的角以及α本身组成一个集合，这个集合可记为S ＝ 。

终边相同的角有 个，相等的角终边一定 ，但终边相同的角不一定 。

3.象限角：在直角坐标系中讨论角，是使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做 ，如果终边在坐标轴上，就认为这个角 属于任何象限。

三、典型例题：1。

自学4P 、5P 例1、例2、例4完成练习A 2。

自学5P 例3完成下面填空：终边落在x 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在x 轴负半轴上角的集合表示为终边落在x 轴上角的集合表示为终边落在y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为.第一象限角的集合表示为第二象限角的集合表示为第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为3。

补充例题：例5。

已知α是第一象限的角，判断2α、α2分别是第几象限角？练习：7P 练习B2、3、5 4。

小结： 5。

作业：1.在“①160°②480°③－960°④－1600°”这四个角中属于第二象限角的是（ ）A.①B.①②C.①②③D.①②③④2.下列命题中正确的是（ ）A.终边相同的角都相等B.第一象限的角比第二象限的角小C.第一象限角都是锐角D.锐角都是第一象限角3.射线OA 绕端点O 逆时针旋转120°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC ＝（ ）A.150°B.－150°C.390°D.－390°4.如果α的终边上有一个点P （0，－3），那么α是（ ） A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角5.与405°角终边相同的角（ ）A. k ·360°－45° k ∈zB. k ·360°－405° k ∈zC. k ·360°+45° k ∈zD. k ·180°+45° k ∈z6.（2005年全国卷Ⅲ）已知α是第三象限角，则2α所在象限是（ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限7.把－1050°表示成k ·360°+θ（k ∈z ）的形式，使θ最小的θ值是8.（2005年上海抽查）已知角α终边与120°终边关于y则α的集合S ＝.9.已知β终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界）， 那么β∈°10。